OBJETIVOS. Realizar las mediciones de tiempo y distancia en una rampa con un determinado intervalo de tiempo.

Mediante mtodos numricos y la fsica calcular su velocidad y aceleracin con los datos adquiridos.

Realizar un programa en Matlab que permita obtener los mismos datos clculos.

DESCRIPCIN DEL PROBLEMA.Los ingenieros en general encuentran con frecuencia el problema de funciones que estn definidas en forma grfica y no como funciones explcita, para esto se pueden utilizar mtodos grficos, pero los mtodos numricos son mucho ms precisos.JUSTIFICACINLos mtodos que se estudian en el curso, proporcionan al estudiante de ingeniera un conocimiento bsico de las aplicaciones matemticas para la solucin numrica de problemas, permitiendo as mismo presentarle las pautas utilizadas para el diseo de algoritmos y la construccin de programas que, con la ayuda del computador, facilitan el trabajo al Ingeniero.MARCO TEORICOFrmulas para la primera derivada: La definicin de la derivada de una funcin f(x) en el punto "x" esta dada en trminos del lmite:

De esta definicin podemos decir que si "h" es pequeo entonces:

(Note el smbolo de aproximacin). Esto nos da inmediatamente la primera formula numrica para aproximar la derivada:

ECUACIONES DIFERENCIALESUna ecuacin diferencial (ordinaria) es aquella que involucra una variable independiente, una variable dependiente y la derivada ( derivadas ) de esta ltima. En una ecuacin diferencial, la incgnita es la variable dependiente y se espera encontrarla como funcin de la variable independiente, de tal forma que si se sustituye dicha variable dependiente, as como las derivadas que aparecen en la ecuacin diferencial, la igualdad que resulta es verdadera.De cursos anteriores de ecuaciones diferenciales, sabemos que en general, existen una infinidad de funciones (curvas) que resuelven una misma ecuacin diferencial. Por ejemplo, la ecuacin:

tiene como solucin general:

donde c es una constante arbitraria que puede ser cualquier nmero real (y de aqu la infinidad de curvas solucin que mencionamos arriba).En este curso, estudiaremos solamente ecuaciones diferenciales de primer orden del tipo:

donde es una funcin de dos variables.Cuando se desea que la curva solucin pase por algn punto especfico, digamos , entonces se dice que se trata de una ecuacin diferencial con una condicin inicial dada.As, estudiaremos ecuaciones diferenciales de la forma con la condicin inicial . Obviamente, la importancia de los mtodos numricos radica en la aparicin de ecuaciones diferenciales que no pueden resolverse por mtodos tradicionales, y de ah la necesidad de implementar algn mtodo de aproximacin. Veremos tres mtodos numricos: El mtodo de Euler. Predictor corrector El mtodo de Runge-Kutta de orden 4. En todos estos mtodos se busca aproximar el valor donde es un valor cercano a (el de la condicin inicial dada). Comencemos con el primer mtodo que como siempre, no es el ms exacto, pero si el ms sencillo y simple de explicar, as como el que marca la pauta para desarrollar los otros mtodos. MTODO DE EULER La idea del mtodo de Euler es muy sencilla y est basada en el significado geomtrico de la derivada de una funcin en un punto dado. Supongamos que tuviramos la curva solucin de la ecuacin diferencial y trazamos la recta tangente a la curva en el punto dado por la condicin inicial.

Ilustracin 1 Mtodo De EulerDebido a que la recta tangente aproxima a la curva en valores cercanos al punto de tangencia, podemos tomar el valor de la recta tangente en el punto como una aproximacin al valor deseado .

Ilustracin 2 Aproximacin mtodo de EulerAs, calculemos la ecuacin de la recta tangente a la curva solucin de la ecuacin diferencial dada en el punto . De los cursos de Geometra Analtica, sabemos que la ecuacin de la recta es: donde m es la pendiente. En este caso, sabemos que la pendiente de la recta tangente se calcula con la derivada: Por lo tanto, la ecuacin de la recta tangente es : Ahora bien, suponemos que es un punto cercano a , y por lo tanto estar dado como . De esta forma, tenemos la siguiente aproximacin:

De aqu, tenemos nuestra frmula de aproximacin: Esta aproximacin puede ser suficientemente buena, si el valor de h es realmente pequeo, digamos de una dcima menos. Pero si el valor de h es ms grande, entonces podemos cometer mucho error al aplicar dicha frmula. Una forma de reducir el error y obtener de hecho un mtodo iterativo, es dividir la distancia en n partes iguales (procurando que estas partes sean de longitud suficientemente pequea) y obtener entonces la aproximacin en n pasos, aplicando la frmula anterior n veces de un paso a otro, con la nueva h igual a . En una grfica, tenemos lo siguiente:

Ahora bien, sabemos que: Para obtener nicamente hay que pensar que ahora el papel de lo toma el punto , y por lo tanto, si sustitumos los datos adecuadamente, obtendremos que: De aqu se ve claramente que la frmula recursiva general, est dada por: Esta es la conocida frmula de Euler que se usa para aproximar el valor de aplicndola sucesivamente desde hasta en pasos de longitud h. PREDICTOR CORRECTOREste mtodo se basa en la misma idea del mtodo anterior, pero hace un refinamiento en la aproximacin, tomando un promedio entre ciertas pendientes. La frmula es la siguiente: donde Para entender esta frmula, analicemos el primer paso de la aproximacin, con base en la siguiente grfica:

Ilustracin 3 Predictor correctorEn la grfica, vemos que la pendiente promedio corresponde a la pendiente de la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condicin inicial y la recta tangente a la curva en el punto , donde es la aproximacin obtenida con la primera frmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente hasta el punto de la condicin inicial, y se considera el valor de esta recta en el punto como la aproximacin de Euler mejorada. frmulas.

MTODO DE RUNGE KUTTA 4Sin entrar en mucho detalle, mencionamos solamente que el mtodo de Runge-Kutta cambia la direccin en el sentido de que no sigue la misma lnea de los mtodos de Euler. De hecho est basado en una aplicacin de los polinomios de Taylor. Comentamos sin embargo, que el mtodo de Runge-Kutta si contiene como casos especiales los de Euler. Las frmulas donde Se conocen como las reglas o frmulas de Runge-Kutta de orden cuatro para la ecuacin diferencial:

Cada de un cuerpo por un plano inclinado:

Ilustracin 4 Plano inclinado

Si se trata de un plano inclinado la cruz de fuerzas del sistema queda como vemos a la derecha. Esta vez, la fuerza que produce el movimiento de cada no es nicamente el peso del cuerpo sino su componente en la direccin del plano, el seno del ngulo de inclinacin. Y la fuerza normal N es la componente del peso que va en direccin perpendicular al plano, el coseno del ngulo de inclinacin. Es decir, que la fuerza aplicada a la cada ser:Fa=mgsen, y la normal: N=mgcos.El valor de la fuerza de rozamiento ser: Fr=N=mgcos.Por lo tanto, la fuerza efectiva ser la suma de fuerzas del sistema: F=Fa-Fr=mgsen-mgcos.Si aplicamos laSegunda Ley de Newton, la ecuacin fundamental de la dinmica de traslacin (F=ma), podemos plantear:ma=mgsen-mgcos de donde:a=gsen-gcos=g(sen-cos).