Matemática 0 - III-LIDIweblidi.info.unlp.edu.ar/catedras/ingreso/Material2013/MAT/Modulo 3... · Facultad de Informática Módulo 3 – Polinomios Curso de Ingreso 2013 – Matemática

Facultad de Informática Módulo 3 – Polinomios

Matemática 0

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Curso de Ingreso 2013 – Matemática 0 Página 1



Contenido

1. Polinomios: Definición 4 Ejercicio 4

Grado y Característica de los polinomios 4

2. Valor de un polinomio en un número 5 Ejercicios 5

3. OPERACIONES CON POLINOMIOS 5 Polinomios iguales y opuestos 6

Ejercicios 6 Producto de Polinomios 7

Ejercicios 7 División de polinomios 8

Ejercicios 8

4. Raíces de un polinomio 8

5. Teorema del resto 9

6. Divisibilidad de polinomios 9 Ejercicios 9

7. Factorización 10 a) FACTOR COMÚN 10

Ejemplo 10 b) DIFERENCIA DE CUADRADOS 10

Ejemplo 10 c) FACTOR COMÚN EN GRUPOS 10

Ejemplo 11 Ejemplo 11

d) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 11

Ejercicios 11 Raíces de un polinomio con coeficientes enteros: Teorema de Gauss 12

Ejercicio 12

8. Polinomio Lineal y Ecuación Lineal 13 Definición 13



Ejercicios 1

9. Polinomio Cuadrático y Ecuación Cuadrática 15 Actividad (Miramos de cerca a las ecuaciones cuadráticas) 15

Completar el cuadrado. Se trata de transformar una ecuación cuadrática cualquiera en una ecuación equivalente, pero cuyo aspecto sea el de las estudiadas en la actividad anterior. 17

Actividad 19

Ejercicios 20

Problemas de aplicación 21



MÓDULO 3 Este módulo tiene por objetivo que el alumno opere correctamente con polinomios, expresiones algebraicas y ecuaciones. A partir del módulo anterior, sea capaz de descomponer en forma factorial un polinomio.

1. Polinomios: Definición Se llama monomio a una expresión de la forma M(x) = donde a ∈ℜ nax x es una indeterminada n es un número natural Si a , n 0≠ es el grado del monomio. Si a = 0, el monomio no tiene grado

Un polinomio es la suma de varios monomios y son expresiones de la forma

11 1( ) .......n n

n nP x a x a x a x a−−= + + + + 0 , donde ....., son números reales na 0a

x es la indeterminada y n , n-1, ....., 1, 0 son números naturales.

Ejercicio De acuerdo a la definición ¿Cuáles de las siguientes expresiones son polinomios? a) 4( ) 7 5 2P x x x= + +

b) 35( ) (ln 2) 34

Q x x x= + +

c) 6 51( ) 33

S x x x x−= + −

d)3

7 5 2( ) 6 4 1T x x x x= + + − Así como los polinomios de un sólo término se llaman monomios, los de dos términos se llaman binomios y los de tres, trinomios.

Grado y Característica de los polinomios



El exponente del monomio de mayor grado de un polinomio nos indica el grado de ese polinomio. Ejemplo

7 4( ) 4 5 3 1P x x x x= − + + − es un polinomio de grado 7

0( ) 0 ..... 0 0nxEn particular, x x= + + + , es decir, 0( ) 0x = se llama polinomio nulo y no tiene grado. Éstas son algunas características de los polinomios: a) El coeficiente del monomio de mayor grado es el coeficiente principal. b) Si el coeficiente principal es 1, el polinomio se llama mónico. c) Al término se lo llama 0a término independiente. d) Un polinomio está ordenado cuando los monomios que lo componen están escritos en forma creciente o decreciente según sus grados. En general ordenamos en forma decreciente.

2. Valor de un polinomio en un número Sea un polinomio y a ∈ℜ . Se llama ( )P x valor del polinomio ( )P x en a al valor que toma cuando x se reemplaza por a, o sea, ( )P x ( )P a Ejemplo Sea y a = 1. Entonces: 3( ) 2 2P x x x= + + 3(1) 1 2.1 2 5P = + + =

Ejercicios Dados los siguientes polinomios, ordenarlos, indicar si son mónicos, escribir su coeficiente principal y su grado. a) 5 2 4( ) 5 3 2 9P x x x x x= − + − + −b) 4 3 6( ) 16 2 1 14Q x x x x x x= − − + + + 2

6c) 7 2 9 4 5( ) 3 2 6S x x x x x x x= − − + + −

d) 4 21( ) 10 25

T x x x x= + + −

Luego, hallar , , , . ( 2)P − (2)Q ( 1)S − (0)T

3. OPERACIONES CON POLINOMIOS



Cuando se suman o se restan dos polinomios el resultado es un polinomio. Sean P(x) y Q(x) dos polinomios. Los coeficientes del resultado se obtienen sumando o restando los coeficientes respectivos de iguales potencias de la indeterminada en las expresiones de P(x) y Q(x). Ejemplo Sean

2

3

( ) 3 2 1( ) 3 2

P x x xQ x x x

= − + −

= + − Hallar Q(x) + P(x) y Q(x) – P(x) Q(x) + P(x) Q(x) – P(x)

3 2

2

3 2

0 3 2

- 3 2 1

3 1

x x x

x x

x x x

+ + −−

+ −

+ + −

3 2

2

3 2

0 3 2

- 3 2 1

3 5 3

x x x

x x

x x x

+ + −+

+ −

− + −

El resultado de la suma o la resta de dos polinomios puede ser el polinomio nulo o tiene grado menor o igual que el del polinomio de mayor grado que estamos sumando o restando.

Polinomios iguales y opuestos Si al sumar dos polinomios P(x) y Q(x) el resultado el polinomio nulo 0(x), entonces P(x) y Q(x) son polinomios opuestos. Si al restarlos se obtiene 0(x), entonces son iguales

Ejercicios 1) Sean y 3( ) 2 8 5P x x x x= − + 2 3 . 6 2 7( ) 4 2 7Q x x x x x x= − + − − +Hallar Q(x) + P(x) y Q(x) – P(x). 2) Sean , , 3( ) 4 2S x x= − 3( ) 4T x x x= − + ( ) 6W x x= − . Colocar el símbolo de <, =, >, según corresponda

gr[S(x)] _______ gr [S(x)+T(x)]

gr[S(x)] ________ gr[S(x) + T(x) +W(x)]

gr[S(x)]+gr[T(x)] ________ gr[Sx) + T(x)]

gr[S(x)]_______ gr[T(x)]



3) Hallar el opuesto de ( )3 5( ) 8 2P x x x x4⎡ ⎤= − + − − +⎣ ⎦ .

4) Hallar P(x) en la siguiente ecuación 5 4 3 42 4 ( ) 2 3x x P x x x− − = + − .

Producto de Polinomios Cuando se multiplican dos polinomios, el resultado es un polinomio y su grado es igual a la suma de los grados de los polinomios factores, si ellos no son nulos. Para calcular el producto multiplicamos cada uno de los monomios de un polinomio por cada uno de los monomios del otro polinomio y sumamos. Ejemplo Sean , , entonces 2( ) 2 1P x x x= + + ( ) 1Q x x= −

P(x).Q(x) = (x2+2x+1)(x-1) = x3-x2+2x2-2x+x-1 = x3 + x2 – x – 1.

Ejercicios

1) Dados 6 4 2

2

( ) 2 3 2 4( ) 8 3 5

P x x x xQ x x x

= − + −

= − − Hallar P(x) .Q(x) 2) Decidir si es Verdadero o Falso. Justificar. “El grado del polinomio producto es mayor que cada uno de los grados de los factores”. 3) Hallar el grado, el coeficiente principal y el término independiente del polinomio , sabiendo que son ordenados y completos, que sus expresiones comienzan así y que sus coeficientes cumplen con la secuencia que se evidencia en sus primeros términos.

( ) ( ). ( )W x P x Q x=

50 49 48 47 46 45( ) .....P x x x x x x x= − + − + − +

23 22 21 20 19( ) 2 4 8 16 32 ......Q x x x x x x= + + + + + 4) Sea , , 3( ) 2 2S x x x= − + ( ) 3T x x= − 2( ) 1W x x x= − − − . Hallar: a) [ ]2 ( ) ( ) . ( )S x T x W x⎡ ⎤+⎣ ⎦



b) ( )21 ( ) 4 ( ). ( )3

T x W x S x−

División de polinomios

Definición: Dados dos polinomios , con d(x) ≠ 0, existen y son únicos dos polinomios C(x) y r(x) tales que:

( ) y ( )D x d x

D(x) = d(x).C(x) + r(x) con [ ] [ ]( ) ( ) o r(x) 0( )gr r x gr d x x< = . El polinomio C(x) se llama cociente y al polinomio r(x) resto.

Ejemplo

3 2( ) 6 17 15 8( ) 3 4

D x x x xd x x

= − + −= −

Aquí 2( ) 2 3 1

( ) 4C x x xr x

= − += −

O sea, 3 26 17 15 8x x− + − ( )= ( )23 4 . 2 3 1 ( 4)x x x− + + − x −

Ejercicios

1) Sean 7 6 3

2

( ) 2 3 18 29 10( ) 2 3

P x x x x xQ x x x

= + + + +

= + Hallar el cociente y el resto de P(x) : Q(x) 2) ¿Existe un polinomio T(x) tal que ( )6 4 2 26 9 10 15 ( ). 2 3x x x T x x− + − = − ? 3) Hallar S(x), si es posible, tal que ( ) ( )5 2 29 5 4 5 . ( )x x x x S x x 8+ − = − + − .

4. Raíces de un polinomio Un valor de a es raíz de P(x), si P(x) se anula en ese valor En símbolos

x = a es raíz de P(x) ⇔ P(a) = 0



Ejemplo

3 x = 1 es raíz de pues 5( )P x x x= − 5 3(1) 1 1 0P = − = .

5. Teorema del resto Si se realiza la división de un polinomio P(x) por (x – a) (polinomio mónico de grado 1), puede ocurrir que el resto sea de grado 0 o que sea nulo, es decir el resto es un número al que llamaremos r. Por lo tanto, P(x) = (x – a) .C(x) + r Si x = a, lo reemplazamos en la igualdad anterior resulta: P(a) = (a-a).C(a) + r, entonces r = P(a).

Entonces: Al dividir un polinomio P(x) por uno de la forma (x-a) se obtiene como resto un número que es igual a P(a)

Así, podemos hallar el resto de esa división, sin hacer la división, basta con hallar el valor de P(x) en x = a.

6. Divisibilidad de polinomios Si al realizar la división de P(x) y Q (x) el resto es nulo se dice que P(x) es divisible por Q(x) o que Q(x) divide a P(x). En este caso, el Teorema del resto dirá: Si a es raíz de P(x) entonces el resto de la división entre P(x) y (x-a) es cero. O sea, si P(a) = 0 , se cumple que P(x) = (x-a) C(x). Por lo tanto, un polinomio P(x) puede expresarse como producto de polinomios de la forma (x-a) siempre que a sea raíz de P(x).

Ejercicios

1) Sean

3

1

2

( ) 2 12( ) 2( ) 2

P x x xQ x xQ x x

= + += −= +

Hallar el resto de las divisiones:



a) 1( ) : ( )P x Q xb) 2( ) : ( )P x Q x 2) Calcular el valor de k tal que ( ) 5Q x x= − divida a 3 2( ) .P x k x x k= + − . 3) El polinomio es divisible por S(x) = x – a. 2( ) 2 3 14T x x x= − + +Hallar los valores de a ε ℜ para que eso sea posible.

7. Factorización Polinomios expresados como productos Vamos a aprender algunas técnicas para expresar un polinomio como producto.

a) FACTOR COMÚN A veces sucede que en un polinomio P(x) la variable x figura en todos sus términos; en estos casos es muy conveniente extraer factor común. Observar que al extraer la variable x como factor común la extraemos elevada a la menor de sus potencias. También en algunos ejemplos se extrae un número que es factor en todos sus coeficientes.

Ejemplo

5 4 2 2 3 2( ) 4 8 12 4 ( 2 3)P x x x x x x x= + + = + +

b) DIFERENCIA DE CUADRADOS Cuando se nos presenta la resta de dos términos y cada uno de ellos está elevado a una potencia par, lo expresamos como diferencia de cuadrados.

Ejemplo

( ) (2 2 2( ) 25 5 5 . 5P x x x x x= − = − = + − )

c) FACTOR COMÚN EN GRUPOS



Algunos polinomios presentan una estructura que nos permite formar grupos de igual cantidad de términos y sacar factor común en cada uno de esos grupos. Una vez hecho esto aparece un nuevo factor común en todos los grupos.

Ejemplo

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

5 4 5 4

4 4

2 2

( ) 7 5 14 10 7 5 14 10

7 5 2 7 5 2 . 7 5

3 3 3 6 9

P x x x x x x x

x x x x x

x x x x x

= − + − = − + −

− + − = + −

− = − − = − +

=

A veces esta técnica viene asociada con alguna de las otras técnicas

Ejemplo

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( ) (

6 4 2 4 2 2

4 2 2 2 2

2 22 2

( ) 1 1 ( 1) 1

1 . 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

Q x x x x x x x

x x x x x

x x x x x x x x

= − − + = − + − − =

− − = + − − =

+ + − + − = + + − )

d) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Analicemos el resultado de elevar un binomio al cuadrado, por ejemplo: ( ) ( )( )2 23 3 3 6x x x x x+ = + + = + + 9

9

Si fuese x-3 se tendría

( ) ( )( )2 23 3 3 6x x x x x− = − − = − + Las expresiones difieren en el término 6x, en la primera es positivo y en la segunda negativo. Esto nos dice que para que un polinomio sea un trinomio cuadrado perfecto es necesario que sea de grado par y que tenga la estructura de

( )2 2 22a b a ab b+ = + + ó ( )2 2 22a b a ab b− = − +

Ejercicios Expresar los siguientes polinomios como producto, usando la técnica que corresponda o más de una de ellas: 1) 4 3

1( ) 2 6P x x x x= − + 2



2) 6 22( )P x x x= −

3) 3 23( ) 1P x x x x= − + −

4) 3 24 ( ) 2 6 3P x x x x= − + −

5) 5 4 3 25 ( ) 6 6 9 9P x x x x x x= − + − + −

6) 10 6 46 ( ) 1P x x x x= − − +

7) 27 ( ) 4 4 1P x x x= + +

8) 4 28

3 9( )2 1

P x x x= − +6

Raíces de un polinomio con coeficientes enteros: Teorema de Gauss

Cuando una fracción irreducible p/q es raíz de un polinomio con coeficientes enteros, p divide al término independiente y q al coeficiente principal.

Ejemplo

3( ) 27 3 10P x x x= + −

2( ) 03

P = , entonces x = 23

es raíz de P(x) y 2 divide a -10, 3 divide a 27.

Ejercicio Hallar las raíces racionales de: a) 3 2( ) 3 5 11 3P x x x x= + − + b) 4( ) 16 16 7Q x x x= − +

c) 4 3 213 3 1( ) 34 2 4

x x x x= − + − +T x

Cada polinomio que estudiamos tiene asociada una función de R en R llamada función polinómica.

Hablaremos indistintamente de polinomio o función polinómica. Trataremos aquí sólo los polinomios de grado 1 o lineales y los de grado 2 o cuadráticos.



8. Polinomio Lineal y Ecuación Lineal Un polinomio lineal es un polinomio de la forma

( )L x ax b= + con a , b ε ℜ, a ≠ 0 Si igualamos a cero este polinomio lineal en la variable x, obtenemos una ecuación de la forma:

( ) 0L x ax b= + = (*) Esta igualdad significa la cuestión siguiente: ¿existe algún valor real de x, digamos α , tal que ( ) 0L α = ? Y en ese caso, ¿cómo se halla α? Con esta aclaración se ve que (*) tiene el sentido de una igualdad numérica. Ver que (*) es una ecuación (relación de igualdad entre cantidades algunas de ellas desconocidas, llamadas incógnitas) de primer grado con una sola incógnita. Al valor α tal que L (α ) = 0 se lo llama raíz de la ecuación. Una solución de una ecuación algebraica con una incógnita x es un valor α tal que al reemplazar x por α en la ecuación esta se transforma en una identidad numérica. Resolver una ecuación significa determinar si tiene solución y en tal caso hallarlas. Ejemplos a) 3x – 9 = 0 tiene solución x = 3. b) 2x + 1= 2x, no tiene solución. c) (x – 1) = 5 tiene solución x = 6.

Definición Una ecuación equivalente a otra dada se puede obtener por medio de operaciones elementales: a) Sumando a ambos miembros de una ecuación una expresión racional entera. b) Multiplicando ambos miembros de una ecuación por un número distinto de 0.

Dos o más ecuaciones son equivalentes si y sólo si admiten las mismas soluciones.



Ejemplo Sea la ecuación 2x + 4 = 12, si resto 4 a ambos miembros:

2x + 4 – 4 = 12 – 4 entonces 2x = 8 Multiplico por 1/2 ambos miembros:

12

12

. 2x = 12

.8, entonces x = 4.

Recordemos que si hacíamos L(x) = 0 se obtenía una ecuación lineal con una incógnita a x + b = 0, para resolverla se deben utilizar operaciones elementales y las propiedades de los números reales. La pregunta es ¿cuántas soluciones tiene una ecuación lineal? 1) Si x – 5 = 2 entonces x – 5 + 5 = 2 + 5, x = 7. Solución única. 2) 5 (x + 1) – x = 4 x + 15 ⇒ 5 x + 5 – 4 = 4 x + 15 (propiedad distributiva del producto con la suma) (5 – 1) x + 5 = 4 x + 15 (sacando factor común) 4 x + 5 = 4 x + 15 y restando 4 x + 5 a ambos miembros, 0 x = 10 lo cual es un absurdo: No tiene solución. 3) Sea 2x= 2(x +1) – 2 Aplicando propiedad distributiva: 2 x = 2 x + 2 – 2 Operando: 2 x = 2 x ⇒ 0 x = 0 lo cual se verifica para todo valor real de x: Infinitas Soluciones.

Entonces: Las ecuaciones lineales se caracterizan por ser las únicas que cuando tienen solución, ella es única o tienen infinitas soluciones.

Ejercicios Resolver justificando cada paso: a) 10 -3x = x – 2 b) α- x = 3 (x -α)

c) 3(2 – x) + 1 = - x + 52

(1 –x) + 32

x +

d) 13

x – x = 14

x + 1



9. Polinomio Cuadrático y Ecuación Cuadrática Un polinomio cuadrático es una expresión algebraica que tiene la siguiente forma:

Si igualamos a cero a C(x) se obtiene una ecuación cuadrática que en su forma general viene dada por:

2( )C x ax bx c= + + con a , b y c números reales y a ≠ 0.

2ax bx c+ + = 0. La pregunta es ¿Cómo se pueden resolver este tipo de ecuaciones?

Actividad (Miramos de cerca a las ecuaciones cuadráticas)

1. ¿Es verdad que si una ecuación lineal tiene coeficientes racionales,

entonces su solución (si la tiene) también es un número racional? 2. ¿Lo anterior es cierto para las ecuaciones cuadráticas? Para verlo

considere la ecuación cuadrática: 2 2x = . 3. Repaso sobre la raíz cuadrada de un número. (En lo que sigue, positivo

quiere decir mayor que 0).

Es un hecho que se acepta en la escuela, que para todo número real positivo α, existe un único número real positivo β tal que β2 = α. A tal β se lo indica con α y se lo llama “la raíz cuadrada positiva de α ”.

Como ( ) si β es la raíz cuadrada positiva de α, entonces –β también es una raíz cuadrada de α, y es negativa. Por lo tanto un número real α > 0 tiene exactamente dos raíces cuadradas: una positiva y una negativa. El símbolo

2 2b b− =

α indica siempre a la raíz cuadrada positiva de α.

Como el cuadrado de un número no nulo es siempre mayor que 0, si α < 0 no será posible que exista un número que elevado al cuadrado sea igual a α.

Todo lo anterior puede expresarse usando el lenguaje de las ecuaciones; veamos:



Si α > 0, la ecuación 2x α= admite dos soluciones, una positiva y una negativa, a saber: y α α− . Casi siempre lo anterior se indica x α= ± .

Si α < 0, la ecuación 2x α= no tiene solución.

La ecuación x2 = 0 tiene como única solución x = 0.

2x α= SOLUCIONES

0α > x α= ±

dos soluciones distintas

0α <

NO TIENE

ninguna solución

0α = 0x = solución única

Lo anterior parece demasiado para describir una situación tan sencilla como la de la ecuación 2x α= . Sin embargo, como veremos enseguida, cualquier ecuación cuadrática tendrá un comportamiento similar al descrito para

2x α= .

4. Un tipo de ecuación cuadrática un poco más complicada que la anterior es la de la forma:

2( )x k α− = .

Esta ecuación puede estudiarse con lo visto en el punto anterior. Hágalo en los siguientes ejemplos:

2( 2)x − = 3

0 2( 1)x − =

2( 7) 5x − = −

5. Determine las soluciones de las siguientes ecuaciones cuadráticas:

2 2

2 2

1. ( 3) . (1 )2

. (2 1) 4 . (3 2 )

a x b x

c x d x

− = − =

+ = − =

2

0



6. Lo hecho en los dos puntos anteriores sugiere el siguiente resultado (bastante obvio a partir de lo visto en 3):

2( )x k α− = SOLUCIONES

0α > x k α= ±

dos soluciones distintas

0α <

NO TIENE

ninguna solución

0α = x k= solución única

Completar el cuadrado. Se trata de transformar una ecuación cuadrática cualquiera en una ecuación equivalente, pero cuyo aspecto sea el de las estudiadas en la actividad anterior. Consideramos una ecuación cuadrática cualquiera, digamos: . 2 0ax bx c+ + =Al mismo tiempo haremos un ejemplo con números:

Paso 1: “limpiamos a x2” Ejemplo:

2 32 02 2x x+ − = Multiplicando por 1/a obtenemos la ecuación

equivalente: 2

0x b ca xa a a+ + = Paso 1: multiplicamos por 2:

Paso 2: ¿Quién es el doble producto? 2

2

32. 2.2 2. 2.02 2

4 3 0

x x

x x

+ − =

+ − =

Reescribimos el coeficiente de x:

22

b ba a=

La ecuación queda: Paso 2: Escribimos el coeficiente de x

como el doble de alguien (de su mitad): 2 2 02b cx xa a

+ + =

2 2.(2 ) 3 0x x+ − =

Paso 3: ¿Hay un cuadrado en esta sala? Si recordamos el desarrollo,

Paso 3: Sumamos y restamos para obtener el cuadrado. Para ello, como

22 2

2( ) 22 2b bx x xa a

+ = + +4ba

2 2( 2) 4x x x 4+ = + + podemos escribir nuestra ecuación como:

2

22

2

22

( )2 4

b cx xa a

b b cxa a a

+ + =

= + − + =

Nuestra ecuación queda:

0

2( 2) 4 3x 0+ − − =



Y pasando de miembro: Y pasando de miembro: 2

22( )

2 4b bxa a

+ = −ca

2

2

( 2) 7( 2) 7

xx

0+ − =

+ =

Paso 4: Hago una cuentita Como tu habrás notado (?) nuestra ecuación cuadrática tiene la forma que estudiamos antes. Reformamos el segundo miembro sacando denominador común 4 : 2

Paso 4: Despejo

a 2 7

2 7

x

x

+ = ±

= − ±

22

2

4( )2 4b b axa a

−+ =

c

O bien:

1

2

2 7

2 7

x

x

= − +

= − −

Recordemos que una fracción es positiva cuando su numerador y su denominador tienen el mismo signo. En nuestro caso el denominador es siempre positivo (¿por qué?). El miembro derecho será positivo solamente cuando .

24a

042 >− acbEn ese caso la ecuación que estamos estudiando tiene dos soluciones distintas, a

saber:

2

1

2

2

42

42

b b acxa

b b acxa

− + −=

− − −=

2 4b aα = − c

2 0ax bx c+ + = SOLUCIONES

0α > 2bx

aα− ±

= dos soluciones distintas

0α < NO TIENE ninguna solución

0α = 2

bxa−

= solución única



Actividad 1. Complete el cuadro siguiente

Ecuación a b c discriminante2 4b a− c condiciones soluciones

El propósito de este ejercicio no es que usted piense que hay varios tipos de ecuaciones de segundo grado, sino todo lo contrario. 2. La fórmula deducida en la sección anterior es completamente general, o sea

que puede aplicarse a cualquier ecuación de segundo grado. Muchas veces la forma de la ecuación permite una solución más rápida y sencilla. Por ejemplo:

Si Ud. quiere resolver la ecuación , puede aplicar la fórmula,

pero es algo similar a sacar el auto del garaje para ir al baño. 022 =−x

La ecuación se resuelve simplemente despejando:

2

22

±=

=

x

x

Algo similar ocurre con todas las ecuaciones a las que les falta el

término en x:

23

2332

032

2

2

2

±=

=

=

=−

x

x

x

x

Las ecuaciones cuadráticas a las que les falta el término constante ("les falta c"), se resuelven sacando el factor común ax, por ejemplo:

2x α

=

2( )x k α− = 2 0ax bx c+ + =



0)34(3

043 2

=−−

=+−

xx

xx

Las soluciones de la ecuación anterior son x1 = 0 y x2 = 34 ¿por qué?

Ejercicios 1. Resuelva despejando la incógnita:

9)1(.21)3(.

094.045.

025.012.

22

22

22

−=+=−

=−=−

=+=−

tfde

xdyc

xbma

2. Resuelva sacando factor común:

yydnnc

xxbxxa

2.47.

099.012.22

22

=−=

=+=+

3. Considere la ecuación . Vamos a resolverla de dos formas: xx 214 2 = Primera forma, sacando factor común:

71,0

0)71(14

0214

214

21

2

2

==

=−

=−

=

xx

xx

xx

xx

Segunda forma:

xx 214 2 = divido por x 214 =x

por lo tanto: 71

=x

Responda a las siguientes preguntas: a) ¿Cuáles es la solución correcta al problema? b) ¿Por qué Ud. considera correcta esa respuesta? c) ¿Por qué es incorrecta la otra respuesta? d) ¿Cuál fue el error que condujo a la respuesta incorrecta?

4. Utilice el discriminante para completar la siguiente tabla:

sólo indique cuántas hay



Ecuación Discriminante Soluciones 2

2 63x x− + = 0

22 6 3y y− + = 0

22 2m m= +1

23 2x x+ + = 0 20.32 0.75 0.66 0z z− − =

2ax bx+

2 ( )x a b x ab− + +

5. Encuentre las soluciones de las ecuaciones de la tabla anterior.

Problemas de aplicación Aquí van algunos consejos para encarar un problema. 1. Leerlo con detenimiento, varias veces si fuera necesario, hasta que lo haya

entendido. Trate de determinar qué se quiere encontrar y cuáles son los datos con los que se cuenta.

2. Haga un dibujo o diagrama que lo ayude a entender la situación. 3. Represente una de las cantidades a determinar con una letra (por ejemplo

x). Trate de representar las otras cantidades en términos de x. 4. Plantear la o las ecuaciones que las relacionan las cantidades conocidas

con las incógnitas. 5. Resolver la o las ecuaciones 6. Analizar si las soluciones obtenidas son solución del problema y verificar. 1. Resuelva los siguientes problemas. a) Una modista desea cortar una cinta de 213 cm de longitud en tres tramos.

Si cada tramo debe tener 2 cm más que el anterior, ¿cómo debe hacer los cortes?

b) Si el ángulo vértice de un triángulo isósceles mide 64°, hallar la medida de los otros ángulos del triángulo.

c) Una persona dispone de 28 m de cerca para construir un corral rectangular. Si se desea que el corral mida 6 m más de longitud que de ancho, calcular sus dimensiones.

d) Un cable que mide 60 cm se corta en 4 tramos, y cada tramo sucesivo tiene el doble de longitud que el anterior. Hallar la longitud del tramo más largo.

e) Una propaganda dice “lleve los dos por $655”. Si la TV cuesta $55 más que la video casetera de la oferta, cuánto cuesta la TV?



f) Si el ancho de una pileta de natación rectangular es la tercera parte de su longitud y se sabe que su perímetro es de 96m, determinar las dimensiones del natatorio.

g) Si uno de un par de ángulos suplementarios mide 35° más que el otro, ¿cuántos grados mide el ángulo menor?

La solución de los siguientes problemas dará origen a relaciones cuadráticas. 3. Encuentre dos números consecutivos y positivos enteros cuyo producto sea

168. 4. La suma de un número y su recíproco es 10/3. Encuentre el número.

(Recíproco de a =1/a). 5. Encuentre la base y la altura de un triángulo cuya área es de 2m2. si su

base es 3m. más larga que su altura. (Recordar: A=b.h/2). 6. Determina si las dos ecuaciones son equivalentes:

2

2

16 x=4

x 25 x=5

x= 9 x= 3

x= 64 x=8

x =

=

7. Resuelve la ecuación SIN USAR la fórmula de la ecuación cuadrática.

( )

( )

2

2

2

2

25 9

3 17

4 2 1

361

x

x

x

x

=

− =

+ =

=

1

8. Determina los valores de d que completen el cuadrado en cada una de las

siguientes expresiones:



2

2

2

2

2

9

36

13

8

814

x x d

x dx

x x d

x x d

x dx

+ +

+ +

+ +

− +

+ +

9. Resolver completando cuadrados.

2

2

2

2

6 7 0

8 11 0

4 12 11

4 20 13

x x

x x

x x

x x

+ + =

− + =

− − =

+ + =

0

0

10. Resolver con la fórmula cuadrática.

2

2

2

2

2

5 13 6

3 4 1 02

5 10 2 0

5 19

24 9 16

x x

z z

w w

xx

x x

+ =

− − =

− + =

= −+

+ = −

11. Despeje la variable especificada.



( )

( ) ( )

( )

2

2 20

1 energía cinética2

2 área de un cilindro cerrado

1 distancia de caída de un objeto 2

K mv v

A r r h r

s gt v t t

π

=

= +

= +

12. Indica cuáles de las siguientes expresiones son polinomios, justificando tu respuesta. En tal caso determina su grado y su coeficiente principal.

2

4

5 4

3

123

3 2

x x

x x

x x x

π

−

+ −

− −

+ + −

13. a) Hallar el polinomio p(x), sabiendo que es divisible por q(x)= 5 22 3 2 1x x x− − − , el cociente es c(x)= 32 4x x+ y el resto es r(x)= 23 6 1x x− + + . b) Sabiendo que al dividir p(x)= 3 23 6 3 6x x x− + − por q(x) se obtiene como cociente c(x) = y como resto r(x)=3x − 6 43x − . Responde justificando tus respuestas. ¿Puede ser q(x) de grado 1? ¿Puede calcularse q(x) con estos datos? En tal caso, ¿cuál es el polinomio q(x)? 14. Aplica la propiedad referida a las raíces enteras de un polinomio con

coeficientes enteros para calcular las raíces reales de:

3 2

3 2

3 2

( ) 3 12 4

( ) 2 14 7

( ) 2 10 2 10

p x x x x

q x x x x

t x x x x

= + − −

= + − −

= − − +

15. Encuentra todos los valores de k tales que p(x) sea divisible por el

polinomio lineal dado en cada caso:

3 2 2 2

2 3

( ) 3 11 2

( ) 4 3 1

p x kx x k x k x

q x k x kx x

= + + + + +

= − + −



Para cada una de las ecuaciones siguientes, encuentra, si es posible, las soluciones que sean reales y verifica.

4 2

3 3

2

2 3 2

5 4 0

3 0

(3 1)(5 6) 0

6 ( 1) 2( 1)

4 2

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

− + =

− + =

+ − =

− = −

− = −

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