matemática 1 secundaria

I.E. “RAFAEL NARVÁEZ CADENILLAS” – UNT MATEMÁTICA 1°

1 Gloria Chávez V. – Marcial Vásquez M.

MATEMÁTICA PRIMER GRADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA

Tercer TRIMESTRE

INICIO: 18/09/2010 TÉRMINO: 18/12/2010

Lic: Gloria Elizabeth Chávez Vásquez Lic: Marcial Vásquez Medina

TRUJILLO, 2010

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

FACULTAD DE EDUCACIÓN Y CIENCIAS DE LA COMUNICACIÓN

I.E. “RAFAEL NARVÁEZ CADENILLAS” Teléfono: 287813

Alumno (a).................................................................................................................... Sección: ................... Nº de Orden: ................................ Dirección: .................................................................................................................. Telef.: ............................... E-mail: ........................................................... ................

HORARIO DE CLASES:

HORA LUNES MARTES MIERCOLES JUEVES VIERNES SÀBADO

Vº Bº …………………...……..………….

Lic. Ladislao Castillo Tuya ASESOR DEL ÁREA DE

MATEMÁTICA

Vº Bº …………………...……..………….

Lic. Soledad Cruz Gamboa JEFE DE DEPARTAMENTO DEL

NIVEL SECUNDARIO

Vº Bº …………………...……..………….

Lic. Emilio Fernández Salas COORDINADOR ACADÉMICO



VIII UNIDAD:

SESIÓN DE APRENDIZAJE Nº 11

Conjunto de los números racionales.

Definición de un número racional.

Fracciones. Clasificación

Adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación y radicación.

Identifican al conjunto de los números racionales.

Identifican propiedades de los números racionales a través de ejemplos..

Resuelven problemas que implican cálculos con operaciones de números racionales.

Resuelven operaciones básicas de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación con números racionales.

Resuelven operaciones combinadas de adición, sustracción, multiplicación, división potenciación y radicación con números racionales.

Resuelven situaciones problemáticas referidas a operaciones con números racionales.

Demuestra perseverancia en la búsqueda de soluciones.

Participa en clase con empeño y perseverancia.

Valora la utilidad de las propiedades de las operaciones en la solución de situaciones problemáticas.

Muestra seguridad y confianza en la aplicación de algoritmos.

Resuelve los problemas de más de una forma.

Realiza sus trabajos con orden y limpieza en su cuaderno y su módulo.

Presenta con puntualidad sus trabajos asignados

Cumple las normas de convivencia

Mantiene ordenado el ambiente y el material de su aula.

Contenidos

Aprendizaje esperado

Actitudes ante el curso



CONJUNTO DE LOS NÚMEROS

RACIONALES (Q)

¿Qué puedes afirmar tras establecer esta relación de los conjuntos de números?

...................................................................

...................................................................

...................................................................

...................................................................

...................................................................

...................................................................

...................................................................

...................................................................

N Z Q

Los números racionales Q

Los racionales se originaron por la necesidad de dividir un

todo en partes iguales. Por ejemplo si se quiere repartir una torta

entre 5 personas, lo que le toca a cada uno se representa 1

5 donde

el numerador un número entero y el denominador también

es un número entero pero diferente de cero, y lo que toca a

dos personas se representa por 2(1

5), equivalente a

2

5.

Matemáticamente, los números racionales se originaron para salvar

una de las limitaciones de los números enteros en la división, es

decir para poder resolver la ecuación ax = b donde “a” y “b” son

números enteros, estableciéndose el valor de x como b

a.

No es posible representar una secuencia de números racionales, por ser un conjunto muy denso1,

pero podemos expresarlo así:

Q = {. . . ;8

17 ; ... ; -2; ... ; 23 ; ... ; -1; ... ;

52 ; ... ; 0; ... ;

21 ; ... ; +1; ... ;

23 ; ... ; +2; ... ;

37 ; ... ; +3; . . .}

En el siguiente diagrama podemos

apreciar la relación que existe entre

los conjuntos de números

naturales, enteros y racionales.

1 El conjunto de los números racionales es denso porque entre dos números racionales hay infinitos números racionales

Q

2

1;

3

5;

8

6; etc.

Z

. . . -3; -2; -1.

N 0; 1; 2; 3; …



¿Por qué se denomina número racional?

....................................................................................

....................................................................................

....................................................................................

....................................................................................

....................................................................................

....................................................................................

....................................................................................

....................................................................................

Los Números Racionales (Q)

1. Número racional

Se define como número racional a todos

aquellos que se pueden expresar por la

forma b

a; donde “a” y “b” son números

enteros, siendo b 0.

Simbólicamente lo definimos así:

Ubica en la recta a los siguientes números racionales:

a = 4

1; b =

2

5; c =

4

3; d =

5

7 ; e =

10

7; f =

5

4; g =

2

7; h =

5

16 ; i =

5

13; j =

2

3

2. FRACCIONES

aF

b

donde a Z, b Z b 0

Concepto: Es el número que representa una o

más partes de la unidad.

Numerador (indica las partes que se consideran)

Denominador (indica las partes que en que se divide la unidad)

Q = {b

a / a Z , b Z b 0}

0-1-2-3 +1 +2 +3 +4



IINNTTEERRPPRREETTAACCIIÓÓNN GGRRÁÁFFIICCAA::

Cada parte es 5

1 (total)

Parte sombreada es 5

2 (total)

Parte NO sombreada es 5

3 (total)

3. CCLLAASSIIFFIICCAACCIIÓÓNN DDEE LLAASS FFRRAACCCCIIOONNEESS

II.. PPOORR LLAA CCOOMMPPAARRAACCIIÓÓNN DDEE SSUUSS TTÉÉRRMMIINNOOSS..

3.1. Fracción Propia Es aquella que representa estrictamente a una parte de la unidad. Se caracterizan porque el numerador es menor que el denominador. Al hacer la división correspondiente el resultado es menor que la unidad.

Ejemplo gráfico: Otros ejemplos:

Son fracciones propias:

2 1 6 3; ; ; ; ;

5 4 7 11

En general: a

1 a bb

3.2. Fracción Impropia

Es aquella que representa a unidades completas más otra parte de una unidad. Se caracterizan porque el numerador es mayor que el denominador. Al hacer la división correspondiente el resultado es mayor que la unidad. Ejemplo gráfico:

Otros ejemplos:

15 9 7 19; ; ; ; ;

11 5 2 13

En general: a

1 a bb

IIII.. DDEE AACCUUEERRDDOO AA SSUU DDEENNOOMMIINNAADDOORR..

2.1. Fracción Ordinaria o Común

Es aquella cuyo denominador es diferente de una potencia de 10.

Ej: 9 3 1

; ; ; ; ;3 11 2

2.2. Fracción Decimal

Es aquella cuyo denominador es una potencia de 10.

Ej: 7 13

; ; ; ;10 100

Tenemos a la unidad o al todo dividida en

cinco partes de igual

medida.

3

8



IIIIII.. PPOORR LLAA CCOOMMPPAARRAACCIIÓÓNN DDEE LLOOSS DDEENNOOMMIINNAADDOORREESS

3.1. Fracciones Homogéneas Dos ó más fracciones son homogéneas si presentan denominadores diferentes.

Ejemplo: 1 3 5 9

; ; ; ; ;7 7 7 7

3.2. Fracciones Heterogéneas:

Dos ó más fracciones son heterogéneas si presentan denominadores diferentes.

Ejemplo: 2 7 10 13

; ; ; ; ;3 5 11 4

IIVV.. PPOORR LLAA RREELLAACCIIÓÓNN DDEE LLOOSS DDIIVVIISSOORREESS DDEE SSUUSS TTÉÉRRMMIINNOOSS

4.1. Fracciones Reductibles Son aquellos cuyos términos no son primos entre sí, es decir tienen divisores comunes. (Admiten ser simplificadas)

Ejemplos: 6 15 8 32

; ; ; ; ;9 12 24 10

4.2. Fracciones Irreductibles

Son aquellos cuyos términos son primos entre sí o sea no tiene divisores comunes. (No se pueden simplificar más)

Ejemplos: 2 3 5 11

; ; ; ; ;7 10 4 13

VV.. PPOORR SSUU VVAALLOORR

Fracciones Equivalentes: Son aquellas que utilizando términos diferentes expresan un mismo valor. Ejemplo:

Fracción Fracciones equivalentesirreductible

3 6 9 12 ...

5 10 15 18

4. CONVERSIÓN DE UNA FRACCIÓN IMPROPIA A NÚMERO MIXTO.

Ejemplos:

7

3

7 12

3 3

29

6

29 54

6 6

52

3

7 3

(1) 2

29 6

(5) 4

Sólo se puede

convertir en

número mixto a

las fracciones

impropias.



5. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES:

Proceso que consiste en transformar una fracción reductible en otra equivalente, pero irreductible. Ejemplos:

6. CCOOMMPPAARRAANNDDOO FFRRAACCCCIIOONNEESS

Realizamos La comparación mediante la aplicación de la transposición de términos

(productos cruzados)

7. ORDENACIÓN DE FRACCIONES: Para realizar la ordenación se procede a dar a las fracciones un común denominador (homogeneizar) y se los ordena ya sea en forma creciente o decreciente.

Ejemplos:

a) Ordenar en forma creciente: 1 3 7 9 1 4

; ; ; ; ; 2 5 8 2 10 3

1 1 3 7 4 9

; ; ; ; ; 10 2 5 8 3 2

b) Ordenar en forma decreciente:

60 52 105 35 7; ; ; ;

120 12 120 14 10

¡Ahora aprenderemos como determinar cuándo una

fracción es >, < o = que otra fracción!

5

6 ……

7

8

8×5 …… 6×7

40 < 42

Entonces

5

6 <

7

8

2

5 ……

3

8

8×2 …… 5×3

16 > 15

Entonces

2

5 >

3

8

3

7 ……

39

91

91×3 …… 7×39

273 = 273

Entonces

3

7 =

39

91

Simplificar: 90

150

90

150

Simplificar: 126

294

126

294

El proceso

contrario a la

simplificación es la

AMPLIFICACIÓN.



Actividad Nº 01 TRABAJANDO CON FRACCIONES

INSTRUCCIÓN: A continuación se te presenta un grupo de ejercicios, los cuales debes de resolverlos en los espacios respectivos en forma clara, coherente y ordenada.

1. Según la clasificación por comparación de los denominadores escribe la clase fracciones a la

que corresponde cada grupo:

a) 2 4 6

; ;3 7 5

Fracciones …………………………

b) 3 2 1 5

; ; ;5 5 5 3


c) 1 2 3 4

; ; ;7 7 7 7


d) 3 3 3 3 3

; ; ; ;5 4 7 9 13


2. Encierra con una circunferencia a las fracciones propias:

3 7 9 3 4 7 ; ; ; ; ;

5 11 5 2 4 5

3. Completar:

a) Si una fracción presenta como elementos a dos números primos entre sí, entonces, se le

conoce como fracción ___________________.

b) Fracciones __________________ son aquellas cuyos ____________________ son iguales.

c) Fracción _______________ es aquella cuyo numerador es menor que el ______________

d) Las fracciones heterogéneas tienen denominadores _______________________

e) Si dos fracciones con elementos diferentes, representan a una misma parte de una unidad,

se les conoce como fracciones ________________________

4. En el siguiente grupo de fracciones determina a la menor y a la mayor fracción.

6 5 3 11 4 5; ; ; ; ;

7 4 9 3 2 11

5. En el siguiente grupo de fracciones determina a la menor y a la mayor fracción.

2 1 8 5 6 11; ; ; ; ;

3 7 9 4 7 2



6. Compara a las siguientes fracciones, escribiendo en la línea punteada, el símbolo de

comparación correspondiente.

a) 7

9……

63

81 b)

3

5……

5

6 c)

2

15……

3

25 d)

5

9……

2

3

e) 2

9 ……

1

10 f)

21

35……

3

5 g)

2

5 ……

3

2 h)

2

3……

12

13

7. ¿Cuántas fracciones impropias hay en el siguiente grupo de fracciones?

9 7 12 14 6 5; ; ; ; ;

3 2 13 11 7 3

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 10

8. ¿Cuántas fracciones reductibles existen en el siguiente grupo de fracciones?

2 8 25 42 15 24, , , , ,

4 32 36 15 32 49

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

9. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles de denominador 24 existen?

a) 6 b) 7

c) 8 d) 9

e) 10

10. Hallar la diferencia entre los términos de una fracción equivalente a 2/5, sabiendo que la suma

de dichos términos es 28.

a) 10 b) 12

c) 14 d) 16

e) 18

TAREA PARA EL ALUMNO

TRABAJANDO CON FRACCIONES

INSTRUCCIÓN: A continuación se te presenta un grupo de ejercicios, los cuales debes de resolverlos en los espacios respectivos en forma clara, coherente y ordenada.

1. Escribe cuatro fracciones equivalentes para cada fracción que se indica a continuación:

a) 2

3……………………..

b) 5

9 …………………………



c) 3

7

d) 2

9

2. Escribe los signos =, >, < entre cada par de fracciones:

a) 3/4 ____ 5/7 b) 8/5 ____ 2/11 c) –3/7 ____ -6/5

d) 3/5 ____ 6/10 e) -12/7 ____ 18/5 f) 8/7 ____ 7/8

3. Ordenar de en forma creciente: a) -3/5, +4/7, -9/2, +1/4, -2/3, +11/6, -4/3, +3/10

b) -2/5, +3/7, -5/2, +1/4, -4/3, +11/6, +1/15

4. Ordenar en forma decreciente: a) +3/4, +4/5, -9/2, +1/10, -2/5, +11/6, -1/3, +7/10

b) +1/4, +3/5, -7/2, +1/10, -1/5, +7/6, -1/3, +3/10

5. Simplificar las fracciones:

c) 1280

4600

d)

500

3125 e)

864

342 f)

1914

33759



COMPRUEBO MIS APRENDIZAJES Instrucciones: A continuación se te presenta varios ítems con el propósito de que verifiques tu nivel de

aprendizaje. Resuelve en el espacio respectivo con honestidad en forma clara, coherente y ordenada. Al finalizar compara tus respuestas con las que tu profesor(a) te dará. Cada problema tiene un valor de 4 puntos.

1. Completar:

a) Fracción _______________ es aquella cuyo numerador es menor que el ______________

b) Las fracciones heterogéneas tienen denominadores _______________________

c) Si al numerador y al denominador de una fracción se le multiplica por una misma

cantidad diferente de cero se obtiene una fracción __________________________ a la

original.

2. Hallar la suma de todos los valores de “a” sabiendo que la fracción a/12 es propia e irreductible. a) 12 b) 13

c) 24 d) 23

e) 20

3. ¿Cuál de las siguientes fracciones es irreductible?

a) 2/4 b) 8/12 c) 49/21 d) 5/6 e) 36/24

4. Simplificar las fracciones:

a) 300

600 b)

240

720

5. Escribe los signos =, >, < entre cada par de fracciones:

a) -1/7 ____ 6/5 b) 7/5 ____ 1/10 c) – 6/8 ____ - 3/4 d) 8/7 ____ 10/9



ADICIÓN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES

SESIÓN DE APRENDIZAJE Nº 12

Operaciones con fracciones:

- Adición, sustracción

- Multiplicación, división

- Potenciación y radicación.

Resuelve situaciones problemáticas referidas operaciones de Adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación con números racionales.

Participa en clase con empeño y perseverancia.

Respeta las participaciones de sus compañeros.

Presenta con puntualidad sus trabajos asignados.

Realiza sus trabajos con orden y limpieza en su cuaderno y su módulo.

Cumple las normas de convivencia

Se presenta cuidadosamente, uniformado, aseado y ordenado.

Manifiesta un trato amable y cordial con las personas de su entorno

I. ADICIÓN DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS:

VVeeaammooss::

Esto se puede resolver así: 5

3

5

111

5

1

5

1

5

1

51 5

1 51 5

1 51

53

Aprendizaje esperado

Actitudes ante el curso

Contenidos



a) 3 2 5

7 7 7 7

b) 7 2 3

8 8 8 8

II. ADICIÓN DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS

24

1y

6

1 son fracciones heterogéneas

Efectuar: 24

1

6

1

MÉTODO I

Multiplicamos los denominadores el resultado viene a ser el denominador de la fracción

suma, luego multiplica en y los resultados parciales lo colocamos en el numerador de la

fracción suma, de esta manera:

24

5

144

30

)24(6

)1(6)1(24

24

1

6

1

MÉTODO II

Paso 1: M.C.M. de los denominadores

6 24 2

3 12 2 M.C.M. (6, 24) = 2 x 2 x 2 x 3

3 6 2 = 24

3 3 3

1 1

Paso 2:

24

5

24

)1(1)1(4

24

1

6

1

Efectúa:

61 6

1 241 24

1

241 24

1

61 6

1 61

x x

¡Ahora Práctica tú!

¡Usando el método que prefieras!



a) 9

6

7

4 b)

5

1

20

3

c) 53

7 d) 2 +

2

1

3

2

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN

Clausura: Si b

a Q

d

c Q

d

c

b

a Q

Conmutativa: Si b

a Q

d

c Q

b

a

d

c

d

c

b

a

Asociativa: f

e,

d

c,

b

a Q

f

e

d

c

b

a

f

e

d

c

b

a

Elemento: Neutro: b

a Q, existe

b

0 Q

b

a

b

0

b

a

Inverso Aditivo: b

a Q, existe

b

a Q

b

0

b

a

b

a

OOBBSSEERRVVAACCIIÓÓNN

b

0 = Se llama fracción nula

Teniendo como referencia las propiedades resolvemos:

1. El elemento neutro de la adición está representado por:

a) b

b b)

b

0 c)

b

b d)

b

1 e) N.A.

2. ¿Cuál de las siguientes fracciones es el inverso aditivo de 4

3?

a) 3

4 b)

3

4 c)

4

3 d)

4

3 e) N.A.



PRACTICAMOS LA ADICIÓN CON FRACCIONES

INSTRUCCIÓN: Copia en tu cuaderno de trabajo los siguientes situaciones problemáticas y resuélvelos en forma clara, ordenada y coherente.

1. Escribe en las líneas en blanco los símbolos: =, >, <, según corresponda en cada uno de los siguientes casos:

a)

7

6

7

5

___

4

2

4

3 b)

7

3

7

6

___

3

1

2

1

c)

4

1

5

3

___

5

2

3

2

2. Resolver cada uno de los siguientes ejercicio propuestos:

a) 11/ 4 + 1/2 + 2/7 + 3/14

b) 13/20 + 5/8 + (- 6/9) + 7/4

c) 3/8 + 5/12 + 7/10

d) 8/13 + 7/13 + (-3/13)

e) 11 ¼ + 3 ½ + 5 ¾

f)

2

13

11

11



INSTRUCCIÓN: A continuación se te presenta un grupo de ejercicios, los cuales debes copiar en tu cuaderno de trabajo y resolverlos en forma clara, coherente y ordenada.

a) 3/4 + 5/2 + 6/7 + 1/14

b) 12/30 + 4/5 + (- 7/15) + 7/10

c) 5/8 + 7/12 + 9/10

d) 9/11 + 7/11 + (-3/11)

e) 31 ¼ + 23 ½ + 15 ¾

f)

3

13

11

15

ACTIVIDAD N° 2



SUSTRACCIÓN EN EL CONJUNTO DE

LOS NÚMEROS RACIONALES

I. SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS

la torta ha sido dividida, en 6 partes de igual tamaño.

Luego si consumimos una porción nos queda.

Luego: 6 1 6 1 5

6 6 6 6

9

5

9

8 *

5

3

5

7

II. SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS

Observa los siguientes ejemplos:

4

2 6

4

¿Cómo son estas fracciones? Ahora restemos: 4

2

6

4 =

MÉTODO 1:

Se procede de igual forma que en la suma.

6

1

24

4

)4(6

)2(6)4(4

4

2

6

4

Uy, qué rica

torta…!

El proceso es

igual que en la

adición



MÉTODO 2:

Paso 1: M.C.M. de los denominadores

6 - 4 2

3 - 2 2 M.C.M.(6, 4) = 2 x 2 x 3 = 12

3 - 1 3

1 - 1

Paso 2:

6

1

12

2

12

)2(3)4(2

4

2

6

4

a) 10

2

4

3 b) 2

1

7

5

c) 5

32 d)

7

68

e) 5

23

7

14 f)

4

32

2

15

III. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS

Al efectuar la adición o sustracción de dos o más fracciones con igual denominador, se escribe primero el denominador común y luego se suman o restan los numeradores.

Ejemplos:

a. 8

7

8

4

8

3

b. 8

310

8

83

8

58

8

25

8

57

8

13

c. 3

21

3

5

3

2

3

7

d. 3

1

9

3

9

7

9

4

× ×

¡Ahora Práctica tú!

¡Usando el método que tú

prefieras!



IV. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS

Al sumar o restar fracciones de distinto denominador, se trabaja de esta manera:

Ejemplo:

a. Efectuar: 20

7

3

2

2

1

Resolución:

Se busca el M.C.M. de los denominadores

2 - 3 - 20 2

1 - 3 - 10 2

1 - 3 - 5 3

1 - 1 - 1 5

Luego dividimos el M.C.M. entre cada denominador y el cociente lo multiplicamos por du respectivo numerador; teniendo como resultados:

Entonces: 60

311

60

91

60

214030

20

7

3

2

2

1

b. Efectuar: 10

7

8

3

4

12

Resolución:

Transformando el número mixto a fracción, se tiene: 10

7

8

3

4

9

Se busca el M.C.M. de los denominadores

4 - 8 - 10 2

2 - 4 - 5 2

1 - 2 - 5 2

1 - 1 - 5 5

1 - 1 - 1

Luego dividimos el M.C.M. entre cada denominador y el cociente lo multiplicamos por du respectivo numerador; teniendo como resultados: 309440

303840

2871040

Entonces40

371

40

77

40

281590

10

7

8

3

4

9

:

M.C.M. (2; 3; 20) = 5323 = 60

M.C.M. (4; 8; 10) = 40523



ACTIVIDAD N° 3

PRACTICAMOS OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN Y

SUSTRACCIÓN CON NÚMEROS RACIONALES INSTRUCCIÓN: Copia en tu cuaderno de trabajo los siguientes situaciones

problemáticas y resuélvelos en forma clara, ordenada y coherente.

I. Efectúa las siguientes operaciones:

a) 16

15

16

7

b) 6

3

6

57

6

18

c) 7

58

7

33

7

25

II. Efectúa las siguientes operaciones:

a)

5

3

5

4

2

1

4

3

b)

4

1

8

7

2

1

4

3

8

1

c)

7

13

7

6

7

2

7

32

III. Resuelve:

a) De 4/21 restar 3/14 . b) Restar –11/240 de – 13/120

d) Resta 8/9 de la suma de 5/6 con – 1/12

e) Efectuar:

1 1 14 3 2

7 2 142 5 1

6 5 103 9 18

f) Efectuar:

2 3 1

5 10 202 1 5

3 9 6

Efectuar: E =

2 3 4 4 16 3

5 5 25 25 25 201 1 2 2 4 1

10 25 5 5 5 5

d. 6

5

4

1

e. 2

12

8

73

f. 7

1

5

34

2

15

d)

5

124

4

3

4

34

5

12

e)

3

2

6

1

6

1

3

2

3

2

6

1

6

1

3

2

f)

4

3

8

32

4

13



MULTIPLICACIÓN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES



INSTRUCCIÓN: A continuación se te presenta un grupo de ejercicios, los cuales debes copiar en tu cuaderno y resolverlos en forma clara, coherente y ordenada.

I. Efectúa las siguientes operaciones:

a) 15

17

5

36

b)

5

1

3

1

c)

8

59

4

1

3

24

d)

9

8

3

215

e)

6

1

3

25

2

12

3

1

3

1

2

12

f)

5

36

5

41

8

55

g)

2

3

1

9

4

9

8

h)

8

1

4

32

5

3

3

16

12

1

4

1

II. Desarrolla:

a) Resta 5/9 de la suma de 5/6 con – ½ b) De ¾ restar 7/8

c) Efectuar:

1 1 13 1 2

7 2 142 5 1

4 13 6 18

d) Efectuar: 1

11

21

34

e) Efectuar:

2 3 1

5 10 23 1 5

22 9 6

f) Efectuar:

3

11

13

13

4

1

4

1de

4

3 =

16

3

La palabra “de” en medio de 2 fracciones funciona como una orden que indica que tenemos que

multiplicar: 1 3 1 3 3

4 4 4 4 16

¡Observa los

siguientes gráficos!



5 2

7 11

3 1

6 9

5 2

3 7

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES:

a c, p ; b 0 y d 0

b d

3 1 3

5 4 20

Factores Producto.

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES:

A) Para multiplicar fracciones, primero se aplica la regla de signos en la multiplicación y luego se multiplican los numeradores y denominadores entre sí.

B) Cuando sea posible conviene simplificar las fracciones antes de realizar la operación.

Ejemplos: Efectuar:

a. 7

5

3

2

21

10

7

5

3

2

b.

5

3

7

2

35

6

5

3

7

2

c. 8 3

5 7

d. 7

53

7

15

7

5

1

3

e. 1 3 9

2 5 11

f. 1 2 15

2 33 7 23

g. Hallar los 2

de 205

4

1

2 2 20 820 8

5 5 1 1

h. Hallar los 6 7 8

de de de 187 8 9

Regla de los signos

+ . + = +

- . - = -

+ . - = -

- . + = -



PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN EN Q

Clausura: b

a Q

d

c Q

d

cx

b

a Q

Conmutativa: b

a Q

d

c Q

d

cx

b

a=

b

ax

d

c

Asociativa: f

e,

d

c,

b

a Q

f

ex

d

cx

b

a

f

ex

d

cx

b

a

Distributiva: f

e,

d

c,

b

a Q

f

ex

b

a

d

cx

b

a

f

e

d

c

b

a

Elemento Neutro: b

a Q, existe

b

b Q

b

a

b

bx

b

a

Inverso Multiplicativo: b

a Q, existe

a

b Q 1

a

bx

b

a

OOBBSSEERRVVAACCIIÓÓNN:: b

b = 1

INSTRUCCIÓN: Copia en tu cuaderno de trabajo los siguientes situaciones

problemáticas y resuélvelos en forma clara, ordenada y coherente.

I. Efectúa: (simplificando, si se puede previamente, ntes de operar)

a. 21

12

40

35

30

10

b. 36

21

9

30

13

18

c. 15

24

90

66

36

35

44

45

21

6

II. Determina:

a) Los 100de4

3 b) 18de

4

1de

2

1 c) Los 120de

3

2

d) 60de3

2de

2

1

e)

3

13de

4

1

f) Los

5

412de

10

9

9

8de

8

7de

7

6

AACCTTIIVVIIDDAADD NN°° 44

d) 32

24

15

18

22

6

10

12

e)

27

25

20

18

15

12

45

4

f) 40

38

19

15

39

26

33

22



III. Efectúa:

a)

9

1

3

12

9

1

3

12

c) 29

11

6

5

5

2

4

13




I. Efectúa: (simplificando, si se puede previamente, antes de operar)

a) 8

3

2

127

5

13

b)

14

15

25

39

13

8

c) 1015

8

2

12

5

3

d)

11

63

7

0

4

13

II. Calcular:

a) Los 5

de 2008

b) 1 3 1

de de 52 8 3

c) Los 2 5 1

de de 125 8 2

d) 1 5 4

de de de 249 8 5

III. Efectúa: (simplificando, si se puede previamente, antes de operar)

3 2 1 2 5 11 7a) b)

8 3 5 3 4 8 10

7 4 2 1 1 3c) d) 6 1 6

8 14 5 3 3 2

COMPRUEBO MIS APRENDIZAJES Instrucciones: A continuación se te presenta varios ítems con el propósito de que verifiques tu nivel de

aprendizaje. Cópialos en tu cuaderno de trabajo y resuélvelos en forma clara, coherente y ordenada. Al finalizar compara tus respuestas con las que tu profesor(a) te dará. Cada problema tiene un valor de 4 puntos.

Efectuar:

5 14 1 20 50 110 701) 2)

4 3 10 30 40 80 100

3 15 7 6 73) 4) 5 6

5 14 9 5 6

5) Resuelve:

a) Hallar los 3/4 de 2/7 de 480

b) Hallar los 15/4 de {-7/30[8/21(13/4 - 2/8)]} – 3/4

b)

2

12

17

3

4

35

5

13

d)

4

111

3

18

4

15

2

14

3

13

5

16



DIVISIÓN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES

MÉTODO 1:

Por ejemplo, dividir 5

3 entre 3

5

3 3 =

5

3

1

3=

= 5

3

3

1 =

35

13

= 15

3

MÉTODO 2:

Se forma una fracción con numerador y denominador fraccionarios. El cociente es la fracción

formada por el producton de extremos entre el producto de medios. Así de esta manera:

35

12

)7(5

)3(4

3

75

4

3

7

5

4 4 y 3 extremos; 5 y 7 medios

a) 5

6

9

5 =

b) 3

11

9

4

¡Ahora, práctica tú usando el

método que prefieras!

Cuando se dividen números con signos

diferentes el resultado lleva signo (-).

Cuando se dividen números con signos

iguales el resultado lleva signo (+)

LEY DE SIGNOS:

a) )(

b) )(

c) )(

d) ( )

Dividir entre 3

significa sacar la

tercera parte . . .

La tercera parte

de 5

3es

15

3

Veo que la fracción

divisor se invierte y la

división se convierte

en multiplicación



INSTRUCCIÓN: Resuelve las siguientes situaciones problemáticas en los espacios respectivos en forma clara, coherente y ordenada.

PARTE I

1. Para averiguar las veces que 5

3 contiene a

1

9, se plantea:

a) 5 1

3 9 b)

5 1

3 9 c)

1 5

9 3 d)

5 1

3 9

2. Escribe frente a cada expresión escribe (V) si es verdad o (F) si es falso:

a) 2 3 2 7

5 7 5 3 ( ) b)

48 68

7 7

( ) c)

13 2 65

8 5 16

( )

3. Efectúa las siguientes divisiones:

a) 4

1

3

1 b)

5

2

2

1

c)

4

33

7

6

d)

4

11

4. Resuelve: d) [-1/4 (1/2 + 1/6)] ÷ [-1/45 (1/3 – 1/2)] e) (7 × 5/7) ÷ (10/7 - 1/14)

f) 1 4 3 3 3

:3 9 4 5 10

g)

2 12 35 3

4 47 115 5

1 1 20 24 54 5

1 24

2




PARTE II

INSTRUCCIONES: Copia en tu cuaderno de trabajo y resuelve problemas en forma clara, coherente y ordenada.

1. Un tanque contiene 50 litros de un líquido A, 40 litros de un líquido B, 10 litros de un líquido C. Si extraemos 30 L de mezcla. ¿Cuántos litros de líquido B salen?

a) 6 b) 3 c) 5 d) 12 e) 18

2. La mitad de una botella de gaseosa de 1 litro se puede llenar por un caño en 8 segundos. ¿En cuánto tiempo se podrá llenar 3/4 de una botella de un litro?

a) 6 b) 12 c) 16 d) 32 e) N.A.

3. Un niño tiene S/. 140 de propina. Si se sabe que gastó las 3/4 partes de lo que no gastó. ¿Cuánto gastó?

a) S/. 80 b) S/. 60 c) S/. 75 d) S/. 64 e) N. a.

4. Cierto día Alina reflexionaba diciendo: “la mitad del tiempo que ha pasado desde las 8 am es la quinta parte del tiempo que falta para las 10 pm” ¿Qué hora es?

a) 4 a.m. b) 12 m. c) 4 p.m. d) 10 p.m. e) 1 p.m.

5. Un empresario reparte proporcionalmente las utilidades del mes entre sus socios de la siguiente manera: A Fernando le da la cuarta parte, a César la tercera parte y a Lidia le da la sexta parte, quedándole aún 1800 soles. ¿Cuánto le tocó a César?

a) 1800 b) 1600 c) 3200 d) 2400 e) N. a.

6. Repartir 7810 soles entre 4 personas de tal manera que la segunda recibe 2/5 de la primera, la tercera 3/7 de la segunda y la cuarta 11/13 de lo que recibe la tercera. Entonces, la primera y la segunda tienen en total:

a) 4550 b) 6370 c) 6730 d) 3360 e) 4320

7. ¿Qué parte de 2/3 representa lo que le falta a 2/7 para ser 2/5?

a) 6/25 b) 9/35 c) 3/19 d) 6/35 d) 7/45

8. Un tejido al lavarse pierde 1/20 de su longitud y 1/16 de su anchura. Averiguar cuántos metros de esta tela deben comprarse para obtener después de lavarla 136,80 m2. Si el ancho primitivo de la tela es de 6/5 de metro.

a) 120 b) 128 c) 132 d) 160 e) 146

9. Un tanque puede ser llenado por un 1er. caño en 3 horas por un 2do. caño en 4 horas y un desagüe puede desalojar todo su contenido en 12 horas. ¿En cuántas horas se llenaría el tanque, si funcionan a la vez los dos caños y se abre el desagüe?

a) 2 h b) 3h c) 4 h d) 6 h e) N. a.

10. ¿Qué hora es cuando los 2/3 de lo que queda del día es igual al tiempo transcurrido?

a) 16 h 36 min b) 16 h 16 min c) 9 h 08 min d) 9 h 36 min




1. Escribe frente a cada expresión escribe (V) si es verdad o (F) si es falso:

a) 18

10

6

5

3

2 ( ) b)

3

1

5

3

5

9 ( ) c)

3

2

21

15

7

6 ( )



2. Efectúa las siguientes divisiones:

e) 4

3

3

2

f)

5

3

5

21

g)

5

24

h)

9

77

i) 10

96

j) 2

5

4

k) 3

11

6

l) 6

23

18

3. Resuelve:

a) [-3/4 (1/2 + 5/6)] ÷ [-13/45 (4/3 – 1/2)] c) -120/22 ÷ 60/33

d)

1 4 59 :

1 5 123

16 :

12

PROBLEMAS SOBRE FRACCIONES

INSTRUCCIONES: Copia en tu cuaderno de trabajo y resuelve problemas en forma clara,

coherente y ordenada.

1. De una pieza de tela que tiene 72 m. de longitud. ¿Cuántos retazos de 3/4 m. se pueden cortar?

a) 48 b) 96 c) 27 d) 36 e) N.A.

2. Se desea embotellar 900 litros de gaseosa en botellas de 12

1 litro. ¿Cuántas botellas se necesitarán?

a) 450 b) 300 c) 600 d) 720 e) N.A.

3. Si se divide la edad de Toño entre 3/2 se obtiene 20 años. ¿Cuál es la edad de Toño?

a) 90 b) 60 c) 30 d) 20 e) N.A.

4. Un automóvil recorre 300 km. en 4 horas. ¿Cuántos km. recorre en 33

1 de hora?

a) 150 km. b) 250 c) 450 d) 350 e) N.A.

5. Si a los 2/5 de una cantidad se le quita los 2/3 de los 3/7 de la misma cantidad se obtiene los 2/9 de los 4/5 de 909. Hallar la cantidad original.

a) 1638 b) 1234 c) 1414 d) 1242 e) 1534

6. Una señora va al mercado con 340 soles. Si se sabe que ha gastado la tercera parte de los 2/5 de lo que no ha gastado. ¿Cuánto gastó?

a) S/. 300 b) S/. 24 c) S/. 40 d) S/. 260 e) N. a.



POTENCIACIÓN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES

LOS NUMEROS RACIONALES

Q

POTENCIACIÓN DE FRACCIONES:

5.1. Potencia de exponente natural

La potencia de exponente natural de una fracción es el resultado de multiplicar tantas veces una misma fracción como lo indique su exponente.

Así:

n factoresn n

n

n factores n factores

a a a a a a a a a a..........a a..........

b b b b b b b b b b..........b b

donde

b 0

Ejemplo: 5

2 2 2 2 2 2 32

3 3 3 3 3 3 243

En consecuencia: n

nn

b

a

b

a

5.2. Regla de signos:

Se cumple las mismas que enunciamos para la potenciación de números enteros.

Ejemplos:

a) 2 2

2

2 2 4

3 93

b) 3 3

3

2 2 8

3 273

c) 2 2

2

2 2 4

3 93

d) 3 3

3

2 2 8

3 273

5.3. Leyes de exponentes con la potenciación de números racionales

5.3.1 Multiplicación de potencias de bases racionales iguales

Ejemplo:

53232

b

a

b

a

b

a

b

a

nmnm

b

a

b

a

b

a

Regla de los signos

par o impar

Par

Im par

b p

b p

b p



5.3.2 Potencia de potencia

0b

Ejemplo:

32 2 3 6

2 a 2

3 b 3

5.3.3 Potencia de una multiplicación

Ejemplos:

3 3 32 1 2 1

3 5 3 5

Efectúa:

24 3

2 3 3E

3 2 2

Resolución

24 3 4 2 3 2 2 1

8 6 2

8 6 2

8 6 2

2 3 3 2 3 3E

3 2 2 3 2 2

2 3 3

3 2 2

2 3 3 =

3 2 2

8 8

8 8

2 3 = 1

3 2

5.3.4 Potencia de un exponente negativo

Ejemplos:

3

3 1 14

4 64

5

512 32

2

2 2

2 5 25

5 2 4

33

17

7

nm m n

a a

b b

n n na c a c

b d b d

nn

n

1 1a a 0

aa



RADICACIÓN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES

1. RADICACIÓN DE FRACCIONES:

La raíz enésima de un número racional es otro número racional que elevado a un número llamado índice, nos reproduce otra cantidad denominada radicando.

Donde:

a es el radicando

b es el signo operador radical

n es el índice de la raíz p

es la raízq

Signos en una radicación:

Ejemplos:

4

9

2

3porque

2

3

4

92

;

25

4

5

2porque

5

2

25

42

;

8

1

2

1porque

2

1

8

13

3

;

243

32

3

2porque

3

2

243

325

5

;

6.1. Regla práctica

Puesto que una fracción es un cociente indicado, se aplica la propiedad distributiva con respecto al cociente. Ejemplos:

4

44

16 16 2

81 381

33

3

125 125 5

8 28

6.2. Exponente fraccionario

Si se tiene:

Ejemplos:

b

a

q

p

q

p

b

an

n

par

impar

par

impar

no existe en

Q

n

nn

b

a

b

a

m mmn

n na a a

b b b



77

55

2 2

3 3

1 1

2 21 9 9 32

4 4 4 2

También, podemos aplicarlo de la siguiente manera:

99

44

2 2

7 7

4 44

7 77

3 3 5

5 5 3

6.3. Leyes de la radicación con números racionales

6.3.1 Raíz de una multiplicación

Ejemplos:

44 42 3 2 3

5 7 5 7 33 3

8 1 8 1 2 1

27 125 27 125 3 5

6.3.2 Potencia de una raíz Potencia de una raíz

Ejemplos:

2 2

33 32 2 4

5 5 25

4 4

55 53 3 81

2 2 16

6.3.3 Raíz de una raíz

Ejemplos:

3 5 3 5 152 2 2

7 7 7 4 3 4 3 2 24

3 3 3

5 5 5

nnnd

c

b

a

d

c

b

a

m m

nna a

b b

nmmnb

a

b

a



PRACTICAMOS LA POTENCIACIÓN CON NÚMEROS RACIONALES


I. Efectúa:

1) 2

1

2

2) 4

2

3

3)3

1

5

4)0

4

5

5)4

0

7

6) 4

1

5

7)5

1

2

8)7 7 7 7

2 3 5 14

3 5 9 2

9)

2 8 3 47 7 7 7 7

9 9 9 9 9

10)

07

65

2

3

11)

13

22

5

12)20 2 6 4 8

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

II. Efectúa:

1) 327

125) 2) 4

1

625 3) 4

16

81 4) 3

1

27 5) 5

1

32 6)

91

16

III. Efectuar:

1)

2

1

121

16

2)

3

2

8

1

3)

3

1

64

8

4)

3

1

125

124

5)

3

1

64

611

6)

3

1

64

27

7)

3

2

8

1

1000

1

27

102

8)

32

27

8

9)

5 480

3

2

10)

312

25

1

IV. Calcula:

a) 124243

b)

31

11

4

11

3

11

2

11 .........

c)

4

125

4

33

5

3

8

75

3

8

7

d) 2

1

3 530

9

4

4

31

4

13

4

32

7

2




e)

7

36

9

5

16

114

4

16

f) 3 40

7

2

3

5

2

1

3

1

2

1

3

1

g)

112

2

416

h)

2

1

40

15

6

3

1

16


PRACTICAMOS LA POTENCIACIÓN CON NÚMEROS RACIONALES


I. Resolver las siguientes potencias:

a)

0

3

2

b)

2

4

3

c)

3

4

1

d)

32

2

1

e)

503

47

23

f)

3

10

6

6

5

3

2

g)

2

3

11

h)

0234

9

5

7

6

5

2

II. Resuelve:

1)

2

5

4

1

2)

2

1

49

22

3)

3

2

27

8

4)

2

1

9

17

5)

3

1

216

125

6)

2

1

9

25

4

1

6)

3

1

125

64

27

8

7)

3

1

125

1

8

1

64

27

8)

2

1

9

17

9

49

4

16

III. Resuelve:

a) 2

1323

3

1

9

2

5

12

2

1

b) 24

2

122

2

11

5

7



c) 4

1

2

12

6

11

21

10

8

7

25

122

36

d) 9

3

17

6

5

3

2

2

13

2

1

7

3

e) 625

16

5

4

10

1

5

32

f) 16

15

2

1

4

33

3

22

COMPRUEBO MIS APRENDIZAJES INSTRUCCIONES: A continuación se te presenta un grupo de ejercicios con el propósito de que verifiques

tu nivel de aprendizaje. Cópialos en tu cuaderno de trabajo y resuélvelos en forma clara, coherente y ordenada. Al finalizar compara tus respuestas con las que tu profesor(a) te dará. Cada ítem tiene un valor de 4 puntos.

1) Aplicando las propiedades respectivas reduce las siguientes expresiones:

a) 18

318

2

3

b) 36

9

100

16

c) 3

125

64

8

27 d)

633 2

2) Efectuar: 2

5 / 12 3 / 4

1 / 2 1 / 3

3) Efectuar:

1

1 2

2

1 3 8 4

4 6 9 9

21

3

4) Efectuar: 3

5 / 12 3 / 4

1 / 2 1 / 3

5) Efectuar:

2 4 13 3 34 1 1

3 3 4



3

5

12

6

3

5

9

64

4

3

2

32

3

1

2

1

2

33

2

12M 3

3

1

2

5

3

8

4

1

4

3S

OPERACIONES COMBINADAS EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES

Antes de efectuar debes tener en cuenta lo siguiente:

Primero deben de cancelarse los símbolos de colección, si los hubiera, efectuando las operaciones contenidas en los mismos, empezando por la parte interna.

Las operaciones combinadas deben resolverse teniendo en cuenta la jerarquía siguiente:

1° Efectuar las operaciones de POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN.

2° Efectuar las operaciones de MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

3° Finalmente efectuar las operaciones de ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN.

Si se tienen operaciones consecutivas del mismo orden jerárquico, estas se deben resolver en el orden como se encuentran.

Signos de agrupación:

a) Paréntesis ( )

b) Corchetes [ ]

c) Llaves { }

RESOLVEMOS OPERACIONES COMBINADAS EN EL CONJUNTO DE LOS

NÚMEROS RACIONALES


I. Resolver:

1) 5444

4444

333

4444

E

2)

520

346

4.4

4.4.4

3)

33

2

3

81

16

3

2

4

123

2

1

2

181)3(2

4)

5) 6)


Criterios de solución

1° Se eliminan los signos de agrupación de adentro hacia fuera.

2° Cumplir la jerarquía indicada de las operaciones combinadas.

3° Utilizar las técnicas operativas o propiedades.



4

10

3

24

2

13

19

10

3

7

3

14

2

1

21

2

8

7

4

1

5

9

4

5

2

35

6

25

18

8

7

3

10

64

1

7

23

322

125

64

2

1

5

6

321

32

52

125

216

9

427

32

4

15

2

3

8

3

216

125

6

1

6

53

3

2

1

6

5

5

32

2

11

4

32 . 3

4

11

3

12

5

41

5

3

15

8

9

2

6

5

9

2

M

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15)

II. Resolver las siguientes situaciones problemáticas:

1. ¿Cuántas botellas de 3

4 de litro se necesitarán para embotellar 108 litros de aceite?

2. Se repartieron los 27

39 de una cantidad de dinero a cierto número de personas tocando a

cada uno 1

8 de ella. ¿Cuántas personas recibieron el dinero?

3. Cortando una cuerda de 27 m en pedazos de 3

4 metros. ¿Cuántos pedazos resultan?

4. Las 5

8 partes de las frutas que tengo valen S/. 450. ¿Cuánto valen los

4

9 de las mismas?

5. Una pelota cae desde un tercer piso de una altura de 10 m. Si en cada rebote alcanza

una altura equivalente a 4

5 de la altura que cayó, ¿qué altura alcanzará al dar el cuarto

rebote?

I.E. “RAFAEL NARVÁEZ CADENILLAS” – UNT MATEMÁTICA: 1°

Gloria Chávez Vásquez - Marcial Vásquez Medina.

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