Matematica 2 Informe de volumenes

7/24/2019 Matematica 2 Informe de volumenes

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VOLUMENES DE SOLIDOS

Los slidos de revolucin son slidos que se generan al girar una regin planaalrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un slido que resulta al girar untringulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un

rectngulo alrededor de uno de sus lados.

Existen 3 mtodos para hallar el volumen de un solido de revolucin

1. Mtodo del disco

Si giramos una regin del plano alrededor de un

eje obtenemos un slido de revolucin. l

volumen de este disco de radio ! " de anc#ura

$ es:

%olumen del disco & '!()

Para ver cmo usar el volumen del disco " para

calcular el volumen de un slido de revolucin

general, se #acen n particiones en la gr*ica.

stas divisiones determinan en el slido n discos cu"a suma se apro+ima alvolumen del mismo. eniendo en cuenta que el volumen de un disco es ! ()' ,la suma de !iemann asociada a la particin, " que da un volumen apro+imado

del slido es:


2/25

Por tanto, recordando la de*inicin deintegral de*inida de !iemann se obtieneque:

1.1.+tensin de la *ormula, Mtodo del anillo

Si el slido de revolucin es generado por la rotacin alrededor del - de la regin encerrada entre dos curvas continuas /& 0+2 " /&3+2,

desde +&a #asta +&b, donde para todo + 4a,b5 :

0+2 6 3+2 6 7 o 0+2 8 3+2 8 7 ,ntonces la seccin plana transversal es una corona circular o anillo2cu"a rea 9+2 es una di*erencia de reas de dos discos concntricos:

9+2& [F(x )]2[G (x ) ]2 , + 4a,b5

e modo que el volumen % de solido generado est dado por la *ormula

% & a

b

{[F(x)]}2

{[G (x )]}2

dx

jemplo 1:


3/25

;allar el volumen % del solido de revolucin generado al rotar el reaubicada debajo de la gr*ica de la curva "&+(, encima del - , " limitada porlas rectas +&7 " +&1, alrededor del - :

!espuesta:

%& 0

1

[ f(x )]2 dx

%& 0

1

[x2 ]2

dx

%&

5unid .

3

(. Mtodo de las capas concntricas

Se llama capa cil


4/25

9#ora queremos encontrar el volumen de revolucin generado por la rotacinen torno al eje de las " de la regio bajo la curva " & *+2 de + & a + & b .9dmitamos que 7 8 a 8 b " que *+2 es no negativa en 4 a A b 5 .*igura BC (2

0igura BC (

Para encontrar % , comencemos con una particin regular de 4a A b5 en n

subintervalos iguales de longitud D+ & bEa2 ? n .E Seaxi

*

el punto medio del iEesimo subintervalo 4+iE1 , +i5 el radio medio r2 " considrese el rectngulo de

base D+ & +i@ +iE1el espesor t2 " altura *xi

*

2 #2.E este cascaron cil


5/25

" en consecuencia de acuerdo a la suma riemanniana se tendr:

% &

=1i

( 'xi

*

*xi

*

2 D+ &

b

a

(' + *+2 d+ 12

sta apro+imacin del volumen % es una suma riemanniana que se acerca a

b

a

(' + *+2 d+ cuando D+ G 7, por lo que resulta que el volumen de nuestroslido de revolucin est dado por:

% &

b

a

(' + *+2 d+

onde 0+2 7 es continua sobre 4a,b5 " a 0

(.1.+tensin de la *ormula, eorema 1

l volumen % del solido generado al rotar el rea encerrada porlas gr*icas de las *unciones continuas "&0+2 , "&3+2 , donde : 0+2

3 +2, desde +&a #asta +&b con 7 a b 2 , alrededor del -

/ es :

%&( a

b

x [F(x)G (x )] dx

(.(. +tensin de la *ormula, eorema (

l volumen % del solido de revolucin obtenido al rotar la reginlimitada por el - " por la gr*ica de "&0+2 desde +&a #asta +&b,alrededor de L9 !H9 +&c, es igual a:


6/25

%& %&(

a

b

xc[F(x )]dx

onde c I a, b J "

0+2 7 para +

4a, b59qu< se presentan las dos posibilidadesSiguientes K2 o KK2:

K2 a + b c +Ec & cE+2

KK2 c a + b +Ec & cE+2

(.. +tensin de la *ormula, eorema

l volumen % del solido de revolucin obtenido al rotar la reginlimitada por las gr*icas de las *unciones /&0+2 " /&3+2 , desde

+&a #asta +&b , alrededor de la recta vertical +&c, donde c

Ia,bJ , 0+2 G(x) , para + 4a, b5, es igual a :

%&( a

b

xc[F(x )G (x )] dx

jemplo (:

Sea el arco de la parbola cubica "&+, + 47,15, calcular el

volumen del solido de revolucin obtenido al rotar alrededor de la recta

+&1.

Solucin:


7/25

;aciendo f(x )=x3, x [0,1 ]

%&( 0

1

|x1|. f(x ) dx

%&( 0

1

(1x) . x3 dx

%&

10

. %olNmenes de solidos de revolucin de coordenadas polares

Honsiderar la *uncin polar r&0q2 continua en q 4a,b5Para determinar

el volumen del slido de revolucin S obtenido al rotar una regin *ormadapor el gr*ico de 0 con las rectas, q&a, q&b alrededor del eje polar.omamos una particin P& Oq7&a ,.......,qn&b de 4a,b5.Luego nosapro+imamos por volNmenes de slidos S iobtenidos al rotar las regiones ! isectores circulares2 alrededor del eje polar.

n coordenadas cartesianas sabemos que:


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q1q2

cos()

cos

Vsi=2P3r3

q1+ q1q1

cos()

cos

Vsi=2P3 r3{

K q1

Si P G 7 podemos usar integral de !iemann para obtener:

Vs=2P

3

a

b

r3sinq dq=

2P

3

a

b

(F(q ))3 sin(q)dq

.1.Horolario

l volumen %"S2 del solido S generado al rotar la regin plana de la

teor cos 2, [0,2] , a>0,alrededor 92 el - A R2 e la recta

r cos=a4.

Solucin:


9/25

92 9lrededor del - :

Vx(S )=2

3

0

r3 ( ) sin d

Vx(S )=2

3

0

a3 (1+cos )3 sin d

Vx(S )=8 a

3

3

R2 9lrededor de la recta +&a4 A

Pues +&r cos :

Pendiente de la recta tangente !:

m& tan &

tan [dr /d]

r+

A donde1+cos

r=a 2

ntonces ! es vertical si el denominador de m es H!:

r tan+(dr /d)=0 G sin (1+2cos )=0

G =0 , ="2/3

Se puede veri*icar que la recta +& a/4 corresponde a & 2/3 .

Luego, utiliTando la *ormula para H9P9S HULUB!UH9S

HBHB!UH9S:

%& 2a /4

2a

x(a /4)# (x ) dx , donde

x=r cos &

1+coscos

a


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1+cossin

#=r sin=a

dx=x $( )d=a (sin +2sincos ) d

9si, el volumen % es obtenido como di*erencia de dos volNmenes derevolucin:

V=2 {2 2

3

0

(x [ ]+ a4 )# (x [ ] )x $[ ] d223

(x [ ]+ a4 )# +4 x $ [ ] d

x [ ]+a4

()# (x [ ])x $[ ]d

V=4 0

!eemplaTando x [ ] % # (x [ ])& x$[]

V=13 2 a3/4

E!E"#I#IOS

1. Halcular el volumen del solido generado por la rotacin alrededor del eje

V"W, de la gr*ica acotada por la curva: x2/3+#2 /3=a2 /3 .

a

Ea a


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Ea

des'e(ando :x2=(a

2

3#2

3 )3

d)=2 x2 d#

a

2

3#( 2/3)3d#

V=20

a

V=2 0

a

(a2#23 (a# )2

3 (a2

3#2

3))d#

(a2#23a43 #

23+3a

23 #

43 )d#

V=20

a

V=2 [a2 ##3

3

9a4 /3#

5/3

5+9a

2 /3#

7 /3

7 ]0a

V=2 [a3a

3

3 9a

3

5 + 9a

3

7]V=2 a3(11395 + 97 )V=(2 a3 ) 16

105


12/25

V=32 a

3

105 u

3

(. Halcular el volumen del solido generado por la regin que quede debajode: "&1>Sen+, sobre el eje V+W entre +&7 " +&(' rotado alrededor del ejeV"W.

1

7 '?( ' '?( ('

d)=2 x#dx

V=2 0

2

x (1+Senx ) dx

V=2 0

2

(x+xSenx ) dx

V=2 [0

2

xdx+0

2

xSenxdx]

V=2 [(x2

2)02

+(x*osx+*osxdx )02

]V=2 [22+(2 0 )]

V=4 2 ( 1 )u3


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. ncontrar el volumen del solido generado por la rotacin de la regin

entre las curvas: #=x2+4,#=2x2 alrededor del eje V+W.

#=2x2

#=x2+4

E( (

d)=((x2+4 )2 (2x2 )2)dx

V=2

2

((x2+4 )2(2x2 )2 )dx

V=2

2

(3x4+8x2+16) dx

V=[3x5

5+8x

3

3+16x ]

2

2

V=

[(3(2)

5

5 +

8(2)3

3 +16 (2))(3 (2)

5

5 +

8(2)3

3 +16 (2))

]V=2 [32015 + 48015 28815]

V=1024

15 u

3


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X. Halcular el volumen del solido que genera la circun*erencia:

x2+(#3)2=1

al girar alrededor de V+W.

#=3+1x2

#=31x2

E1 1

d)=((3+1x2 )2(31x2 )2 )dx

V=1

1

((3+1x2 )2(31x2 )2 )dx

V=1

1

[(9+(1x2 )+61x2 )(9+(1x2 )61x2 )]dx

V=1

1

(121x2) dx

V=12 1

1

1x2 dx

V=12 [x2 1x2+12

2arcSen

x

1 ]11

V=12 [12arcSen (1 )12arcSen (1 )]


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V=|6 [/23 /2]|

V=6 2 u3

Y. ncontrar el volumen del solido generado al rotar alrededor del eje V+W la

regin acotada por la curva #=x3

" las rectas "&7, +&(.

#=x3

7 (

d)= #2 dx

V=0

2

#2

dx

V=0

2

x6

dx

V=[x7

7]02

V=

[2

7

7

07

7

]


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V=128

7 u

3

Z. Halcular el volumen que genera la elipse:x

2

4+#

2

3=1 , al girar

alrededor del eje V+W.

3

E( (

3

d)= #2 dx

V=2

2

(33x2

4)dx

V=2

2

(3

3x2

4

)dx

V=[3xx3

4]22

V=[4+4 ]

V=8 u3


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[. l rea acotada por las curvas "&Hos+, "&Sen+ entre +&7 " +&'?X esrotada alrededor del eje V+&'?(W. \Hul es el volumen del solidogenerado] " "^

"&Sen+

7 '?X '?( '

"&Hos+

d)=2 ((/2)x )#dx

V=2 0

/4

(

2x) Senxdx

V=2 [0

/4

( 2)Senxdx0

/4

xSenxdx]V=2 [/2 (*osx )0/4(x*osx+Senx )0/4 ]

V=2 [2(cos4)2 (cos0)] E[4(cos4 )+Sen4]

V=2 [(2 (22 )2 (1))(4( 22)+ 22)]

V=2

[2

2(2 + 2+41)]

V=2( 2

41)u3

_. ;allar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje V"W, la

parte de la parbola:#

2=4ax, que intercepta la recta +&a.


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#2=4ax

(a

a

E(a

d)=(x12x

2

2) d#

V=2a

2a

(a2 #4

16a2 )d#

V=

[a2# #

5

80a2 ]2a

2a

V=[(2a3a35)(2a3+ a3

5)]

V=[4 a32a3

5]

V=2a3 [215 ]

V=18a

3

5 u

3


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`. Halcular el volumen del solido engendrado por la rotacin de la regin

entre: x2+#2= `, 4x

2+9#2=36 regin del primer cuadrante2

alrededor del eje V"W.

(

7

des'e(a+os #:

#1=(1x

2

9)9 #2=(1x

2

9)4d)=2 x (#1#2) dx

V=2 0

3

x (31x2

921x

2

9)dx

V=2 0

3

x 1x2

9 dx

V=2 0

3x

3

1x2dx

V=2

3

0

3

x 1x2

dx

V=2

3[(9x2 )3

3 ]03

V=6 u3


20/25

17.Para una compa


21/25

11. Halcular el volumen del solido generado por la rotacin de la reginlimitada por las curvas dadas alrededor de la recta dada:

x2#

2+16#2=16 , x=0,#=0,x=4, alrededor de +&X.

1

7 X

E1

d)=2 (4x )#dx

V=2 0

4

(4x ) 16x2+16 dxV=8 0

4

4xx2+16

dx

V=8 {[4 ln (x+x2+16)]04

[x2+16 ]04}

V=8 {4 ln (4+32 )ln 432+4 }u3

1(.Halcular el volumen del solido obtenido al #acer girar alrededor del eje

V+W, la regin limitada por las gra*icas #=x2

, #=x , x=2.


22/25

7 1 (

V=V1+V2

V1=0

1

(xx4 ) dx

V1=[x2

2x

5

5]01

V1=

3

10

V2=1

2

(x4x ) dx

V2=[x5

5

x2

2]12

V2=47 10

V=V1+V2=3

10+

47

10=5 u3

1.;allar el volumen del solido de revolucin que se obtiene al girar

alrededor del eje V"W, a la regin encerrada por las curvas x2= (" e

#=x3 +>X " las rectas +&7, +&(.

X


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7 (

d)=(#1#2 )2 xdx

V=0

2

2 x(x33x+4x2

2)dx

V=0

2

(2x 4x36x2+8x) dx

V=[2x

5

5x

4

42x3+4x2]0

2

V=[ 645 164 16+16 ]

V=44

5 u

3

1X.La base de un solido es la regin limitada por la elipsex

2

a2+

#2

b2=1 .

;allar el volumen del solido, suponiendo que las secciones transversalesperpendiculares al eje V+W son cuadrados.

b " Ea a "

Eb


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- (.)=(2# )2

des'e(a+os y :

#2=

b2

a2(a2x2 )

d)=(2# )2 dx

V=a

a

4(b

2

a2(a

2x2))dx

V=4 b

2

a2

a

a

a2x2dx

V=4 b

2

a2[a2xx

3

3]aa

V=4 b

2

a2 [(a3a33)(a3+ a

3

3)]

V=16ab

2

3 u

3

1Y.Halcular el volumen del solido generado por la revolucin de la regin !

limitada por las curvas "&ln+A x=e2

alrededor del eje V"W.


25/25

7 e2

d)=2 x# dx

V=0

e2

2 xlnxdx

V=2 0

e2

x lnx dx

V=2 [x2

2 lnxx

2dx ]

0

e2

V=

2(3e4+1) u3

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