. Clasificacin de las funcionesDados dos conjuntos X, Y, consideremos a todas las posibles aplicaciones (funciones) que pueden formarse entre estos dos conjuntos. Podemos diferenciar los siguientes casos:

Si a cada imagen le corresponde una nica preimagen, inyectiva. Si la imagen de la funcin es igual al codominio, sobreyectiva o suprayectiva. Una funcin que sea inyectiva y sobreyectiva simultneamente, se denomina biyectiva .

Puede haber funciones que sean biyectivas, inyectivas pero no suprayectivas, supreyectiva pero no inyectiva o que no se cumple ninguna de esas condiciones, en cuyo caso no tiene un nombre especfico. 'Definiciones alternas: sea la ecuacin dada y sea b un elemento cualquiera del codominio Y. Consideremos

.

la funcin es suprayectiva o sobreyectiva si, y slo si, la ecuacin (*) siempre tiene al menos una solucin. la funcin es inyectiva si, y slo si, la ecuacin (*) tiene a lo ms una solucin. la funcin es biyectiva cuando, y slo cuando, es inyectiva y suprayectiva a la vez.

Vamos a ilustrar esos diferentes tipos de funciones (aplicaciones) en un Diagrama de Venn, el conjunto universal U, representado por un rectngulo, es el conjunto de todas las posibles aplicaciones, el conjunto A es aquel de las aplicaciones inyectivas, y el conjunto B aquel de las sobreyectivas, esto nos permite ver los distintos tipos de aplicaciones de un modo grfico.

Aplicacin inyectiva y no sobreyectiva

En una funcin inyectiva, cada elemento imagen tiene nica preimgen. Un funcin que no sea inyectiva, tendr al menos dos elementos diferentes del dominio que tienen la misma imagen. En una funcin suprayectiva (sobreyectiva) cada elemento del codominio es imagen de algn elemento del dominio. Una funcin no ser suprayectiva, cuando al menos un elemento del codominio (conjunto final) no tenga una preimagen. En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que pertenecen a A y no pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la diferencia de A y B: A-B. En estas aplicaciones la cardinalidad de X es siempre menor que la de Y, esto es el conjunto Y tendr mayor nmero de elementos que X cuando tratamos de compararlos. Ejemplo en el diagrama de la figura: todos los elementos de Y, que tienen origen, tienen un nico origen, esto hace que la aplicacin sea inyectiva el elemento d de Y, no tiene ningn origen por lo que esta aplicacin no es sobreyectiva. Segundo ejemplo

Partiendo del conjunto de pinceles con pintura de colores: , ,

Sobre el conjunto de caras pintadas: , , ,

Asociando cada pincel con la cara correspondiente:

Dado que cada pincel tiene una cara y solo una cara de su color esta correspondencia es una aplicacin, como las caras que tiene pincel de su color, tienen un solo pincel de su color, la aplicacin es inyectiva, y como la cara pintada de amarillo, no tiene ningn pincel de este color, la aplicacin no es sobreyectiva.

Aplicacin no inyectiva y sobreyectiva

Una aplicacin no inyectiva tiene al menos un elemento imagen que tiene dos o ms orgenes y una sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen al menos un elemento origen. En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a A y si pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la diferencia de B y A: B-A. Para esta aplicacin el conjunto X ha de tener mayor nmero de elementos que Y, la cardinalidad de X ha de ser mayor que la de Y. Ejemplo en el diagrama de la figura: el elemento c de Y, tiene dos orgenes: el 3 y el 4, por lo que esta aplicacin no es inyectiva. todos los elementos de Y, tienen origen, esto hace que la aplicacin sea sobreyectiva. Segundo ejemplo

Igual que en el ejemplo anterior partiremos del conjunto de pinceles con pintura de colores: , , ,

En este caso hay dos pinceles con pintura azul, pero a pasar de tener el mismo color de pintura son dos pinceles distintos. Como conjunto final tenemos el conjunto de caras pintadas: , ,

Asociando cada pincel con la cara del mismo color, vemos que cada pincel tiene una cara pintada de su color y solo una, esto hace que la correspondencia sea una aplicacin, la cara azul tiene dos pinceles de su mismo color, por lo que no es inyectiva, todas las caras tiene un pincel con su color, luego la aplicacin es sobreyectiva.

Aplicacin inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)

Si una aplicacin es inyectiva y sobreyectiva simultneamente, se denomina biyectiva. Por ser inyectiva los elementos que tienen origen tienen un nico origen y por ser sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen origen. En el diagrama de Venn el conjunto A es el de las aplicaciones inyectiva y el conjunto B el de las aplicaciones sobreyectiva, las aplicaciones biyectiva, que son inyectiva y sobreyectiva, ser la interseccin de A y B.

Estas dos circunstancias dan lugar a que el conjunto X e Y tengan el mismo nmero de elementos, la cardinalidad de X es la misma que la de Y, esto tiene una gran importancia cuando se pretende comparar dos conjuntos:

Si dados dos conjuntos podemos encontrar una aplicacin biyectiva entre ellos, podemos afirmar, que los dos conjuntos tienen el mismo nmero de elementos. La cardinalidad de X es igual a la de Y.

Ejemplo

en el diagrama de la figura: todos los elementos de Y, que tienen origen, tienen un nico origen, esto hace que la aplicacin sea inyectiva todos los elementos de Y, tienen origen, esto hace que la aplicacin sea sobreyectiva. Si tomaremos por conjunto inicial el conjunto de los nmeros naturales:

y por conjunto final el de los nmeros naturales pares:

Podemos ver que la relacin

Por el que a cada nmero natural x de X, le asociamos un nmero par 2x de Y, se cumple: 1. f: es una aplicacin, dado que a cada uno de los valores x de X le corresponde un nico valor 2x de Y. 2. esta aplicacin es inyectiva dado que a cada nmero par 2x de Y le corresponde un nico valor x de X. 3. y es sobreyectiva porque todos los nmeros pares tienen un origen Esto nos permite afirmar que hay el mismo nmero de nmeros naturales que de nmeros naturales pares, se da la paradoja de que los nmeros naturales pares en un subconjunto propio de los nmeros naturales, esta circunstancia solo se da con los conjuntos infinitos. Segundo ejemplo

Tomando el conjunto de pinceles como conjunto inicial: , , ,

y el de caras como conjunto final: , , ,

La correspondencia que asocia cada pincel con la cara de su mismo color es una aplicacin porque todos los pinceles tienen una cara con su color y solo una cara de ese color, la aplicacin es inyectiva porque un pincel corresponde con una sola cara, y es sobreyectiva porque todas las caras tiene un pincel de su color, al ser inyectiva y sobreyectiva simultneamente esta aplicacin es biyectiva. Una aplicacin biyectiva hace corresponder los elementos del conjunto inicial con los del conjunto final uno a uno, pudindose decir que hay el mismo nmero de elementos en el conjunto inicial que en el final.

Aplicacin no inyectiva y no sobreyectiva

Una aplicacin no inyectiva tendr al menos un elemento imagen que tenga dos o ms orgenes y una no sobreyectiva tendr al menos un elemento del conjunto final que no tenga elemento origen. Este tipo de aplicaciones no tiene un nombre especfico y quiz sean las que presenten, desde el punto de vista matemtico, un menor inters. Para esta aplicacin los conjuntos X e Y no son comparables, y no podemos plantear ningn supuesto sobre su cardinalidad, partiendo de su comparacin, ni sobre su nmero de elementos.

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a A y no pertenecen a B, esto es las que no pertenecen a la unin de A y B. Ejemplo en el diagrama de la figura: el elemento b de Y, tiene dos orgenes: 1 y 2, esto hace que esta aplicacin no sea inyectiva el elemento a de Y, no tiene ningn origen por lo que esta aplicacin no es sobreyectiva el elemento se obtiene cuando dos funciones con el mismo numerador se conectan de forma biyectiva y no se utiliza en ningn momento la sobreyectiva por medidas de aseguracion la funcin se emplea de forma rotativa y no se representa en las grficas Segundo ejemplo

Si tomamos como conjunto inicial el de pinceles de colores: , , ,

y como conjunto final el de caras coloreadas: , , ,

Vemos que todos los pinceles tiene una cara y solo una cara de su mismo color, luego esta correspondencia es una aplicacin matemtica. Como la cara azul tiene dos pinceles de su color la aplicacin no es inyectiva, y como la cara amarilla no tiene ningn pincel de ese color no es sobreyectiva, luego esta aplicacin es no inyectiva y no sobreyectiva.

Resumen

Sobreyectiva, no inyectiva Inyectiva, no sobreyectiva

Biyectiva

No sobreyectiva, no inyectiva

lgebra de las funcionesLa composicin de funcionesArtculo principal: Funcin compuesta

Dadas las funciones f: A B y g: B C, (o sea, donde la imagen de f est contenida en el dominio de g), se define una funcin composicin (g f ): A C tal que (g f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x de A.

La funcin identidadArtculo principal: Funcin identidad

Dado un conjunto , la funcin que asigna a cada x de funcin identidad. Tambin se simboliza por 1A o idA. Dada cualquier funcin tambin igual a , se cumple que

el mismo x de A, se denomina

es igual a f y que y tambin

es

, puesto que tenemos que para todo

Se verifica que

la composicin de dos funciones inyectivas es inyectiva. la composicin de dos funciones suprayectivas es suprayectiva. la composicin de dos funciones biyectivas es biyectiva.

La restriccin de una funcin

Sea C un subconjunto de A. La inclusin de C en A permite definir una funcin de C en A que asigna a cada elemento de C el mismo elemento, pero considerado como elemento de A. Decimos que tal funcin es la funcin definida por la inclusin. Sea y sea un subconjunto de . Sea i la funcin definida por la inclusin. La composicin define una funcin de en que se llama la restriccin de f a C y que se denota por .

Advertencia: muchas veces, especialmente con funciones numricas, se usa la misma notacin para la funcin y su restriccin, esperando que del contexto pueda deducirse la diferencia.

Funcin inversaArtculo principal: Funcin recproca

Dada una funcin , se llama una (funcin) inversa de cumple las siguientes condiciones:

, a una funcin

tal que se

. Decimos tambin que la funcin f es invertible Cuando existe una funcin inversa de f, se demuestra que esa funcin es nica, por lo que se habla de la inversa y se la denota por .

Se verifica tambin las siguientes propiedades.

Una funcin tiene inversa si, y slo si, es biyectiva. La funcin inversa de una funcin es invertible, y su inversa es la funcin original. O sea que (f 1) 1 = f. La composicin de dos funciones invertibles es invertible, y su inversa es la composicin de las inversas de los factores pero con el orden invertido. .

El grupo simtrico o grupo de las funciones biyectivasSea A un conjunto no vaco y Biy(A) el conjunto formado por todas las funciones biyectivas de A en s mismo. El conjunto Biy(A) no es vaco, porque al menos la funcin identidad est en ese conjunto. Adems, recordando que las funciones biyectivas coinciden con las funciones invertibles, tenemos que la composicin de funciones define una operacin algebraica en Biy(A). Se verifica que 1. La composicin es una operacin asociativa, es decir, dadas tres funciones cualesquiera se cumple que 2. La funcin identidad es un neutro respecto a la operacin. O sea, , tenemos que . 3. Cada elemento f de Biy(A) tiene un inverso respecto a la operacin: la funcin inversa de f. O sea que .

Estas tres condiciones determinan lo que se llama un grupo. Por lo que el conjunto de las funciones biyectivas , Biy(A) es un grupo con respecto a la operacin de composicin de funciones que recibe el nombre de grupo simtrico de . Cuando A es un conjunto finito, digamos con n elementos, las biyecciones de A se llaman tambin permutaciones, por lo que el grupo simtrco de A se llama tambin grupo de permutaciones.

Terminologa, tradicin y conveniosLa nocin de funcin es fundamental en matemticas. la nocin ha evolucionado desde su introduccin en el siglo XVII hasta el presente, al igual que muchas otras de las nociones de matemticas. Una de las fuentes de la nocin es el estudio del movimiento cinemtica, de donde hemos heredado terminologas tales como constante, variable y parmetro. Sea una funcin. La notacin y definicin dadas son posteriores a la invencin de la teora de conjuntos, o sea posterior a los finales del siglo XIX. Cmo se deca anteriormente que x era un elemento de ? Diciendo que x era una variable real. Por extensin del concepto, se llamaba variables tanto a los elementos del dominio como aquellos del codominio; para distinguir entre ellos, los elementos del dominio eran las variables independientes mientras que aquellos del codominio eran las variables dependientes. Por esa razn, funciones cuyo dominio sea un subconjunto de los Reales se denominan funciones de una variable real. Por que "una"? Porque funciones cuyo dominio eran subconjuntos de o se llamaban funciones de dos o tres variables (reales) respectivamente. Actualmente, preferimos decir que se trata de funciones definidas sobre pares o tros de nmeros (usualmente considerados como vectores bidimensionales o tridimensionales, respectivamente). En algunos contextos, la terminologa est adaptada al tema de estudio, por ejemplo, en Fsica es usual la siguiente terminologa.

Funcin escalar: Funcin del tipo Campo escalar: Funcin del tipo Funcin vectorial: Funcin del tipo Campo vectorial: Funcin del tipo

La notacin funcionalEn muchos campos aplicados, inclusive a veces en textos de matemticas, se encuentra la expresin "la funcin f(x)". De acuerdo a nuestra definicin actual, lo anterior no hace sentido, ya que f(x) es una notacin para el elemento del codominio. Otras veces, nos encontramos con algo as como "la funcin f(x) = x^2 - 3x + 7". Aunque aqu hay una posible asignacin, no se ha especificado ni el dominio ni el codominio, por lo que en rigor la funcin f no est bien definida. En ciertos contextos, por ejemplo de funciones numricas (dominio y codominio son subconjuntos de los Reales), hay una serie de convenios para simplificar la escritura. La expresin "la funcin " se debe entender como una abreviacin de lo siguiente: La funcin f definida por dicha igualdad, que suponemos una relacin funciona (a cada x corresponde un nico y) es una funcin cuyo dominio, llamado dominio natural, es el mximo subconjunto para l cual tiene sentido la expresin, y cuyo codominio son todos los Reales. En la "funcin" citada, la aparicin del radical nos dice que el dominio natural consiste de todos los reales no negativos.

Para evitar ambigedades, a veces se usa la notacin asignacin.

para indicar la regla de

Igualmente, por restricciones adecuadas de dominio y codominio se trabaja la composicin de funciones numricas. Por ejemplo: si y , podemos considerar a como la composicin de las funciones g y f, a pesar que esto es i'nconsistente con la definicin dada de composicin. En efecto, f es una funcin de en cuya imagen es todo . Por su parte, g es una funcin de los reales no negativos en los Reales, por lo que no se cumple que la imagen de f sea un subconjunto del dominio de 'g. Sin embargo, como prcticamente o para efectos de otras necesidades matemticas queremos considerar a la funcin h como una composicind de g con f, suponemos que f est restringido al intervalo .

Funciones (con valores) realesLos anteriores apartados se han referido a funciones entre conjuntos cualesquiera. Las funciones entre conjuntos de nmeros son particularmente relevantes por la diversidad de sus aplicaciones prcticas y por sus particulares propiedades matemticas. En algunos textos se reserva para las funciones entre conjuntos de nmeros el trmino funcin mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones o transformaciones. Llamamos funcin real o funcin con valores reales a cualquier funcin cuyo codominio sea un subconjunto de los Reales.

lgebra de FuncionesSea X un conjunto cualquiera no vaco y sea el conjunto formado por todas las funciones de X en , como .

Muchas de las operaciones y propiedades algebraicas de los Reales se pueden extender a veremos a continuacin. Sean

elementos de

. Definimos operaciones entre funciones, punto a punto por Suma de Funciones. Resta de Funciones.

Producto de Funciones.

Extendemos relaciones punto a punto.

.

La manera en que hacemos la extensin garantiza que muchas de las propiedades de los Reales se extienden a . Indicamos a continuacin aquellas ms importantes.

La suma de funciones es asociativa, conmutativa, con neutro la funcin constante aditivo f para cada funcin f. La resta es tal que f g = f + ( g). La multiplicacin es asociativa, conmutativa, con neutro la funcin constante las funciones que nunca tiene valor nulo, tienen recprocos.

, con opuesto

, pero solamente

La multiplicacin es distributiva respecto a la suma.

Note que todas las anteriores propiedades son propiedades de los nmeros reales. Hay, sin embargo, propiedades "extraas". Por ejemplo, Si el conjunto X tiene a lo menos dos elementos, hay divisores de cero en . En efecto, supongamos que X = {a,b} y definamos tales que y . Se ve, inmediatamente, que fg es la funcin constantemente 0, o sea la funcin cero, aunque ninguno de los factores lo es. El conjunto junto con sus operaciones es importante por la gran cantidad de ejemplos diversos que se obtienen al seleccionar el conjunto X.

Sea . Entonces, cada funcin de define una pareja de nmeros f(1),f(2) que si consideramos el orden natural en X, podemos escribir como el para ordenado (f(1),f(2)). Esto nos dice que, en este caso, podemos identificar reales, o sea con . con el conjunto de todos los pares posibles de nmeros con . con .

Sea Sea

Razonado como arriba, podemos identificar a Razonado como arriba, podemos identificar a

Note que en cada uno de los ejemplos anteriores, el conjunto de pares, tros, n-uplas ordenadas aparece provisto de una suma y multiplicacin. La suma coincide con la suma vectorial usual y la multiplicacin por constantes con la multiplicacin por escalar.

Sea , los Naturales. En este caso, es el conjunto de todas las sucesiones de nmeros reales provisto cono la suma y multiplicacin usual de sucesiones.

Funciones numricasLlamamos funciones numricas a funciones cuyo dominio y codominio son subconjuntos de los Reales. Estas funciones son aquellas que aparecen ms frecuentemente en las aplicaciones elementales.

Funciones acotadas

Una funcin se denomina acotada si su conjunto imagen est acotado. Por ejemplo: f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x) tienen por conjunto imagen el intervalo [-1,1]. Si su conjunto imagen est acotado slo superior o inferiormente, se dice que la funcin est acotada superior o inferiormente, respectivamente. Por ejemplo, f("x")=|x| tiene por conjunto imagen , por lo que est acotada inferiormente.

Funciones pares e imparesArtculo principal: Funcin par Artculo principal: Funcin impar

Se dice que una funcin es par cuando presenta simetra sobre el eje de ordenadas, esto es, si

Una funcin es impar si presenta simetra con respecto al origen de coordenadas, esto es si

Una funcin que no presenta simetra par no tiene necesariamente simetra impar. Algunas funciones no presentan ninguno de los dos tipos de simetra o bien la presentan frente a focos o ejes distintos del origen de coordenadas o el eje de ordenadas (o eje Y). Dichas funciones se dice que no poseen paridad. La importancia de los conceptos reside en que funciones cuyo dominio es simtrico respecto al origen, se cumple que son iguales a la suma de una funcin par con una funcin impar

Funciones montonasArtculo principal: Funcin montona

1. La funcin f es estrictamente creciente en 2. f es estrictamente decreciente en Si una funcin es estrictamente creciente o decreciente entonces es inyectiva. 1. f es creciente en 2. f es decreciente en Si una funcin verifica cualquiera de las cuatro propiedades anteriores se dice que es montona.

Funciones peridicasArtculo principal: funcin peridica

Una funcin es peridica si se cumple:

donde

es el perodo.

En particular, una funcin es peridica alternada cuando se cumple: . Estas ltimas tambin son conocidas como funciones simtricas de media onda y constan de dos semiondas iguales de sentidos opuestos.

Funciones cncavas y convexasArtculo principal: Funcin convexa Artculo principal: Funcin cncava

Funcin convexa. Una funcin es convexa en un intervalo si la rectas tangentes a la funcin en ese intervalo estn por debajo de la funcin. Una funcin es cncava en un intervalo si la rectas tangentes a la funcin de ese intervalo estn por encima. La denominacin de convexidad y concavidad depende del punto de vista que se adopte para considerar que es una concavidad, esto es si se mira a la funcin "desde arriba" o "desde abajo". Por ello, algunos textos denominan convexas a las funciones que se curvan "hacia abajo", al contrario de la definicin que se acaba de dar en los anteriores prrafos. Por ello, es frecuente que en ocasiones se adopten las denominaciones convexa hacia arriba y concava hacia abajo para evitar las ambigedades. Las tcnicas del anlisis diferencial permiten determinar si una funcin es creciente, decreciente, concava o convexa a travs del estudio de las derivadas sucesivas de la funcin.

Funciones reales y funciones discretasArtculo principal: Funcin real Artculo principal: Funcin discreta

Si el dominio de una funcin es un intervalo de la recta real la funcin se denominar real. En cambio, si la funcin est definida para los nmeros enteros se denominar funcin discreta. Un ejemplo de una funcin discreta son las sucesiones.

Clasificacin de funciones

Funciones algebraicasEn las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin, potenciacin y radicacin. Las funciones algebraicas pueden ser: Funciones explcitas Si se pueden obtener las imgenes de x por simple sustitucin. f(x) = 5x 2 Funciones implcitas Si no se pueden obtener las imgenes de x por simple sustitucin, sino que es preciso efectuar operaciones. 5x y 2 = 0

Funciones polinmicasSon las funciones que vienen definidas por un polinomio. f(x) = a0 + a1x + a2x + a2x + + anxn Su dominio es , es decir, cualquier nmero real tiene imagen.

Funciones constantes El criterio viene dado por un nmero real.

f(x)= k La grfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas. Funciones polinmica de primer grado f(x) = mx +n Su grfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la funcin. Funcin afn. Funcin lineal. Funcin identidad. Funciones cuadrticas f(x) = ax + bx +c Son funciones polinmicas es de segundo grado, siendo su grfica una parbola. Funciones a trozos Son funciones definidas por distintos criterios, segn los intervalos que se consideren. Funciones en valor absoluto. Funcin parte entera de x. Funcin mantisa. Funcin signo.

Funciones racionalesEl criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los nmeros reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

Funciones radicalesEl criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical. El dominio de una funcin irracional de ndice impar es R.

El dominio de una funcin irracional de ndice par est formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Funciones trascendentesLa variable independiente figura como exponente, o como ndice de la raz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometra.

Funcin exponencial

Sea a un nmero real positivo. La funcin que a cada nmero real x le hace corresponder la potencia ax se llama funcin exponencial de base a y exponente x.

Funciones logartmicasLa funcin logartmica en base a es la funcin inversa de la exponencial en base a.

Funciones trigonomtricasFuncin seno f(x) = sen x Funcin coseno f(x) = cos x Funcin tangente f(x) = tg x Funcin cosecante f(x) = cosec x Funcin secante f(x) = sec x Funcin cotangente f(x) = cotg x

..FUNCION A FINLa funcin afn es del tipo: y = mx + n m es la pendiente de la recta. La pendiente es la inclinacin de la recta con respecto al eje de abscisas. Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.

n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas.

Ejemplos de funciones afinesRepresenta las funciones: 1 y = 2x - 1x y = 2x-1

0

-1

1

1

2y = -x - 1x y = -x-1

0

-1

4

-4

FUNCION LINELLa funcin lineal es del tipo: y = mx Su grfica es una lnea recta que pasa por el origen de coordenadas. y = 2xx y = 2x 0 0 1 2 2 4 3 6 4 8

Pendientem es la pendiente de la recta. La pendiente es la inclinacin de la recta con respecto al eje de abscisas. Si m > 0 la funcin es creciente y el ngulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.

Si m < 0 la funcin es decreciente y el ngulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.

Funcin identidadf(x) = x Su grfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

FUNCIONES CUADRATICASSon funciones polinmicas es de segundo grado, siendo su grfica una parbola. f(x) = ax + bx +c

Representacin grfica de la parbolaPodemos construir una parbola a partir de estos puntos:

1. Vrtice

Por el vrtice pasa el eje de simetra de la parbola. La ecuacin del eje de simetra es:

2. Puntos de corte con el eje OXEn el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos: ax + bx +c = 0 Resolviendo la ecuacin podemos obtener: Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b 4ac > 0 Un punto de corte: (x1, 0) si b 4ac = 0 Ningn punto de corte si b 4ac < 0

3. Punto de corte con el eje OYEn el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos: f(0) = a 0 + b 0 + c = c (0,c)

Representar la funcin f(x) = x 4x + 3. 1. Vrtice x v = (4) / 2 = 2 V(2, 1) 2. Puntos de corte con el eje OX x 4x + 3 = 0 y v = 2 4 2 + 3 = 1

(3, 0)

(1, 0)

3. Punto de corte con el eje OY

(0, 3)

FUNCION A TROZOSSon funciones definidas por distintos criterios, segn los intervalos que se consideren.

El dominio lo forman todos los nmeros reales menos el 4.

Funcin parte entera de xEs una funcin que a cada nmero real hace corresponder el nmero entero inmediatamente inferior. f(x) = E (x)x 0 0.5 0.9 1 1.5 1.9 2

f(x) = E(x)

0

0

0

1

1

1

2

Funcin mantisaFuncin que hace corresponder a cada nmero el mismo nmero menos su parte entera. f(x) = x - E (x)x f(x) = x - E(x) 0 0 0.5 0.5 0.9 0.9 1 0 1.5 0.5 1.9 0.9 2 0

Funcin signof(x) = sgn(x)

FUNCIONES VALOR ABSOLUTO Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos: 1. Se iguala a cero la funcin, sin el valor absoluto, y se calculan sus races. 2. Se forman intervalos con las races y se evala el signo de cada intervalo. 3. Definimos la funcin a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la funcin. 4 Representamos la funcin resultante.

D=

D=

FUNCION PARTE ENTERA DE XSon funciones definidas por distintos criterios, segn los intervalos que se consideren.

El dominio lo forman todos los nmeros reales menos el 4.

Funcin parte entera de xEs una funcin que a cada nmero real hace corresponder el nmero entero inmediatamente inferior. f(x) = E (x)x f(x) = E(x) 0 0 0.5 0 0.9 0 1 1 1.5 1 1.9 1 2 2

Funcin mantisaFuncin que hace corresponder a cada nmero el mismo nmero menos su parte entera. f(x) = x - E (x)x f(x) = x - E(x) 0 0 0.5 0.5 0.9 0.9 1 0 1.5 0.5 1.9 0.9 2 0

Funcin signof(x) = sgn(x)

FUNCIONES RACIONALES El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los nmeros reales excepto los valores de x que anulan el denominador. Dentro de este tipo tenemos las funciones de proporcionalidad inversa de ecuacin:

.

Sus grficas son hiprbolas. Tambin son hiprbolas las grficas de las funciones.