44

SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES

Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales

Los determinantes son herramientas muy poderosas para resolver con

relativa facilidad sistemas de ecuaciones lineales.

Ejemplo: Consideremos el sistema:

−=−−=−

932246

yxyx

Este sistema de ecuaciones es equivalente a la siguiente ecuación matricial:

−−

=

−−

92

3246

yx

En el que las matrices que la componen se llaman, de izquierda a derecha,

matriz de coeficientes, vector de incógnitas y vector de términos independientes.

En general, cualquier sistema de ecuaciones lineales de la forma:

=++++

+=+++=+++

nnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

.......... ..................................... ......

...................................... ................ ..........

2211

22222121

11212111

Se puede escribir de manera más compacta: A X = B

Siendo las matrices A, X y B según quedó indicado anteriormente, la matriz

de coeficientes, el vector de incógnitas y el vector de términos independientes,

respectivamente.

Importante...! Si A X = B, entonces X = A-1 B, (operaciones entre matrices) y no

como se procede en una ecuación real.

Es decir: 0 a , R b , a ; a b ba ab

x b x a-1-1

≠∈∀===⇔=

45

Solución de un sistema de ecuaciones lineales (Regla de Cramer)

La regla de Cramer sirve para dar solución a cualquier sistema de

ecuaciones lineales que satisfaga estas dos condiciones:

1.) El sistema tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas. O lo

que es equivalente: la matriz que se forma con los coeficientes de dicho sistema,

es una matriz cuadrada.

2.) El determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. O sea

0≠A .

Si las dos condiciones se cumplen, entonces la solución del sistema se

puede obtener aplicando la regla de Cramer.

Ejemplo: Resolver el sistema indicado (Aplicando la regla de Cramer).

=+−

=+−=+−

6254

32329

zyx

zyxzyx

Según lo visto anteriormente, la matriz de coeficientes y el vector de términos

independientes son, respectivamente:

−−−

=541321111

A ,

=

62329

B

El determinante de la matriz de coeficientes es

( ) ( ) 2191751223410 541321111

A =+−=−−−−−−−+=−−−

=

Por lo tanto tenemos:

1.) Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas

2.) 0≠A

46

En consecuencia, es posible aplicar la regla de Cramer, la cual nos

proporciona la solución del sistema:

6 x6 2

12 2

54-6232-3211-9

A

aabaabaab

x 33323

23222

13121

−=⇒−=−===

7 7 2

14 2

56213321191

abaabaaba

33331

23221

13111

−=⇒−=−=== yA

y

88 2

16 2

624-1322-191-1

baabaabaa

33231

22221

11211

=⇒==== zA

z

Luego, la solución del sistema es:

=

−=−=

8 z

7y 6 x

Ejemplo: (Aplicación de la Regla de Cramer)

La compañía ALSANCA requiere de los servicios de tres especialistas en

diseños gráficos. El personal a ingresar se le asignará un sueldo base en función

de la experiencia que posea y el trabajo a realizar. Si el sueldo base de los tres

especialistas es de 1.240.000 Bs; el sueldo base del especialista A más el doble

del de cada uno de los restantes especialistas es de 2.120.000 Bs y el sueldo

base del especialista C más el doble del de cada uno de los restantes

especialistas es de 2.050.000 Bs. Encontrar el sueldo base de cada uno de los

especialistas?.

47

Solución:

Sean z, , , yx los salarios en bolívares de los especialistas listados A, B y C,

respectivamente.

Construimos el siguiente sistema a partir de las condiciones dadas:

=

⇒

=++

=++=++

2.050.000

2.120.0001.240.000

z

yx

122

221111

000.050.222

000.120.222000.240.1

zyx

zyxzyx

Aplicando la regla de Cramer:

1)14(4 - 4) 22 ( 122221111

M Mdet 122221111

M −=++++===⇒

=

Luego:

360.000 1 -

360.000 -

1 -

122.050.000222.120.000

111.240.000

===A

450.000 1 -

450.000-

1 -

12.050.000222.120.000111.240.0001

==

=B

430.000 1 -

430.000-

1 -

2.050.000222.120.000211.240.00011

===C

El salario en bolívares de los especialistas listados son:

=

==

000.430

000.450B000.360

C

A

Verifica estos valores sustituyendo los mismos en el sistema original.

48

Solución de sistemas de ecuaciones lineales (Método de Gauss).

Usualmente al resolver problemas que conducen a sistemas de ecuaciones

lineales hemos utilizado métodos algebraicos (igualación, reducción y sustitución)

los cuales nos ayudan a encontrar la solución a dicho sistemas. Sin embargo,

dichos procedimientos pueden ser tediosos y complicados cuando se aplican a

sistemas de ecuaciones más grandes.

A continuación desarrollaremos el método de eliminación de Gauss como

recurso para resolver sistemas mayores. Este procedimiento, consiste en

transformar, por medio de operaciones básicas la matriz original en una matriz

equivalente, pero más sencilla.

Es decir: una matriz

=

nmn2m1m

2n22221

1n11211

ba....aa....................

ba....aaba....aa

A

se puede transformar en otra matriz equivalente de la forma:

=

n

223

1n11312

d1....000........................

............100d.......b10

db....bb1

B

En donde la matriz B, tomada hasta la línea interrumpida, es una matriz

triangular superior que se obtiene por columnas, hallando en cada columna, en

primer lugar el uno de la diagonal principal y luego los demás elementos.

Importante...! Para desarrollar el método de eliminación de Gauss, es necesario

emplear una variedad de operaciones sobre las líneas de la matriz. Por tanto, los

pasos que conllevan a la solución no son únicos, pero la solución del sistema si lo

es.

49

Teorema 3: Dada una matriz de un sistema de ecuaciones lineales, se

puede obtener una matriz de un sistema equivalente si:

• Se intercambian dos renglones de una matriz.

• Se multiplican un renglón por una constante diferente de cero.

• Se suma a u renglón un múltiplo constante de otro renglón.

Ejemplo: Resolver el sistema.

=++

=++

=++

15 12z6y3x

10 z7 y4x

11 z8 y5x2

Ecuaciones Matrices

Paso 1: Escribir el sistema.

=++

=++

=++

15 12z6y3x

10 z7 y4x

11 z8 y5x2

Paso 1: Escribir la matriz aumentada.

1512631074111852

Paso 2: Intercambiar las 2 primeras

ecuaciones.

=++

=++

=++

15 12z6y3x

11 z8 y5x2

10 z7 y4x

Paso 2: Intercambiar los 2 primeros

renglones.

151263

1185210741

Paso 3: Sumar la primera ecuación multiplicada por –2 a la segunda, y la primera multiplicada por –3 a la tercera.

=−

−=−=++

15 - 9z6y-

9 6 3 - 10 7 4

zyzyx

Paso 3: Sumar el primer renglón multiplicado por –2 al segundo, y el primero multiplicada por –3 al tercer renglón.

−−−

−−−

15960

963010741

Paso 4: Multiplicar la segunda ecuación

por –1/3.

=−

=+=++

15 - 9z6y-

3 2 10 7 4

zyzyx

Paso 4: Multiplicar el segundo renglón

por –1/3.

−−− 15960

3 21010741

50

Paso 5: sumar la segunda ecuación multiplicada por 6 a la tercera.

=

=+

=++

3 3z

3 z2 y

10 z7 y4x

Paso 5: sumar el segundo renglón multiplicada por 6 al tercer renglón.

3 300

3 21010741

A continuación se presenta un algoritmo base como guía para aplicar la

eliminación de Gauss en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales:

Paso 1: Realizar operaciones entre renglones con el fin de obtener en la

primera columna un elemento superior igual a uno.

Paso 2: Sumar o restar los múltiplos adecuados del primer renglón a los

otros renglones, de manera tal que los elementos restantes de la primera columna

se hagan cero.

Paso 3: Sin alterar la primera columna, realizar operaciones entre

renglones con el propósito de hacer el segundo elemento de la segunda columna

igual a uno. Después se suman o se restan múltiplos adecuados del segundo

renglón a los otros renglones, con el fin de obtener ceros en los elementos

restantes de la segunda columna.

Paso 4: Sin alterar las dos primeras columnas, se realizan operaciones

para que el tercer elemento de la tercera columna sea igual a uno. Después se

suman o se restan múltiplos adecuados del tercer renglón a los otros renglones,

con el fin de obtener ceros en los elementos restantes de la tercera columna.

Paso 5: Se continua el proceso columna por columna hasta obtener la

matriz reducida. Es decir, hasta que la matriz ampliada adopte la forma de una

matriz triangular acompañada de una columna de elementos transformados de la

columna de valores independientes del sistema en estudio. La solución de las

variables se obtiene empleando la sustitución hacia atrás o de retroceso.

51

Importante...! El método de Gauss aplicado a la resolución de sistemas de

ecuaciones lineales presenta operativamente una variante, la cual consiste en

cambiar la operación de sustitución hacia atrás o de retroceso empleada hasta

ahora, por las operaciones sobre renglones de la matriz aumentada para

transformarla en una matriz identidad. Este proceso sé denomina eliminación de

Gauss-Jordan.

Las operaciones sobre las ecuaciones de la columna de la izquierda

produjeron sistemas equivalentes de ecuaciones. Por tanto, tiene idénticas

soluciones. En lo referente a la eliminación de Gauss, también llegamos a una

matriz equivalente cuyo sistema lineal correspondiente está en su forma triangular.

A partir de esta forma se despejan las variables empleando la sustitución

hacia atrás o de retroceso. Es decir, se encuentra el valor de la variable ¨z¨ con la

última ecuación (la tercera) y se sustituye en la anterior (la segunda) para

determinar y¨ . Por último, se sustituyen los valores en la ecuación anterior (la

primera) para determinar x. También se puede realizar operaciones sobre la matriz

resultante en el paso 5, con el fin de transformarla en la matriz identidad

(eliminación de Gauss-Jordan).

=

=+=++

3 3z

3 2 10 7 4

zyzyx

⇒

=⇒=++

=⇒=+

=⇒=

1 - x 10 ) 1 ( 7 ) 1 ( 4 x

1 y 3 ) 1 ( 2 y

1 z 3 z 3

La solución es la terna ordenada (-1 ,1 ,1).

Importante...! Los símbolos que a continuación se indican, se utilizan

frecuentemente para desarrollar las operaciones o transformaciones que se

realizan entre los renglones de una matriz al aplicar el método de eliminación de

Gauss.

52

Símbolo Significado

Reemplaza

Ejm: jL →iLκ : iLκ remplaza a jL

ii L L →κ Multiplicar por κ al renglón iL

ji L L ↔ Intercambiar los renglones ji Ly L

jji L L L →+κ Sumar jLk +iL al renglón jL

Ejemplo: Resolver el sistema

=−+=++−=+−

7 3z2y x1 zy2x 9 10z4y3x

• Transformemos el sistema en una matriz aumentada (incluye los

coeficientes y las constantes del sistema en estudio en el orden dado).

−

−−

7321

111291043

• Iniciemos una serie de operaciones con los renglones para transformar

el sistema matricial en otro equivalente.

−

−−

7321

111291043

112 L LL →+ ⇒

−

−−

7321

1112101131

221 L LL 2 →+ ⇒

−

−−

7321

212350101131

331 L LL -1)( →+ ⇒

−−

−−

31450

212350101131

53

332 L →+ LL ⇒

−−

18900212350101131

33 L L91

→ ⇒

−−

2100212350101131

113 L L 11- →+L ⇒

−

−−

2100

21235012031

223 L L 32- →+L ⇒

−−−−

2100

2505012031

22 L 51

- →L ⇒

−−

2100

501012031

112 L L 3 →+L ⇒

2100

50103001

Hemos obtenido la matriz transformada que consta de la matriz identidad de

orden 3x3 y la matriz solución:

2

53

(método de eliminación de Gauss-Jordan).

Por tanto, la solución del sistema en estudio es:

=

==

2 z

5 y 3 x

TRABAJO PROPUESTO (III)

23.) Hallar los determinantes de las siguientes matrices:

−

−−

=

131

420321

A

=

412

314321

B

−−

−=

443

302211

C

24.1) Utilizando menores complementarios.

24.2) Usando la regla de Sarrus.

54

25.) Resolver las siguientes ecuaciones matriciales:

11

214

2101

−=

−

− xx

0

21

3 1 34

=

−−

+

xx

xxx

2

11

2214

−=

−−

++

xxx

xxxx

26.) Factorizar los determinantes:

111

111111

y

x+

+ ; 111

yxzxyzzxy

27.) Resolver los siguientes sistemas:

=−−

=++=++

523

4452134

zyx

zyxzyx

=+

−=−=+

343

26654

zx

zyzx

=−

=+=−+

538

267542

zy

yxzyx

28.) Resolver los siguientes ejercicios utilizando matrices.

a.) A y B trabajando juntos pueden hacer una obra en 9 días. A y C juntos

hacen la misma obra en 8 días, mientras que B y C juntos pueden

realizarla en 12 días. ¿Cuánto tiempo le tomará a cada uno por

separado realizar la obra?.

b.) Hallar dos números enteros positivos cuya diferencia sea 43 y cuya

suma sea 337.

c.) Un triángulo tiene 60 m de perímetro. La suma del primer lado con el

segundo es de 36 m, mientras que la diferencia entre el tercer lado y el

segundo es de 4 m ¿Cuál es la longitud de cada lado?.

d.) Hallar tres números tales que el primero más el segundo sumen 10; el

primero más el tercero sumen 19 y el segundo más el tercero sumen

23.

55

29.) Resolver: (método de eliminación de Gauss)

=++−=++−−=+−

7 10 3 2 2 10 4 2 3 2

zyxzyxzyx

;

1 4z 2x 3w-

2- z 3y -4x 0 3z -y - 2w 0 2z 2y x -

=++

=+==++w

30.) Durante un cierto período de tiempo, una función de costo total está

definida por la ecuación: CT = mC0 + Cf , donde:

CT = costo total de manejar un carro. M = número total de kilómetros recorridos. C0 = costo de manejo por kilómetro. Cf = costo fijo total y costo por kilómetro.

Si el costo total es de 18.000 Bs al manejar 6.000 kilómetros y 22.500 Bs al

manejar 9.000 kilómetros. ¿Cuál es el costo total y el costo por kilómetro?.

B I B L I O G R A F I A

- Ayra Jagdish y Robin Lander. (1992). Matemáticas Aplicadas a la

Administración y a la Economía. Editorial Prentice Hall. S,A. México.

- Fleming Walter y Dale Varberg. (1991). Algebra y Trigonometría con

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