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SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES
Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales
Los determinantes son herramientas muy poderosas para resolver con
relativa facilidad sistemas de ecuaciones lineales.
Ejemplo: Consideremos el sistema:
−=−−=−
932246
yxyx
Este sistema de ecuaciones es equivalente a la siguiente ecuación matricial:
−−
=
−−
92
3246
yx
En el que las matrices que la componen se llaman, de izquierda a derecha,
matriz de coeficientes, vector de incógnitas y vector de términos independientes.
En general, cualquier sistema de ecuaciones lineales de la forma:
=++++
+=+++=+++
nnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
.......... ..................................... ......
...................................... ................ ..........
2211
22222121
11212111
Se puede escribir de manera más compacta: A X = B
Siendo las matrices A, X y B según quedó indicado anteriormente, la matriz
de coeficientes, el vector de incógnitas y el vector de términos independientes,
respectivamente.
Importante...! Si A X = B, entonces X = A-1 B, (operaciones entre matrices) y no
como se procede en una ecuación real.
Es decir: 0 a , R b , a ; a b ba ab
x b x a-1-1
≠∈∀===⇔=
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Solución de un sistema de ecuaciones lineales (Regla de Cramer)
La regla de Cramer sirve para dar solución a cualquier sistema de
ecuaciones lineales que satisfaga estas dos condiciones:
1.) El sistema tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas. O lo
que es equivalente: la matriz que se forma con los coeficientes de dicho sistema,
es una matriz cuadrada.
2.) El determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. O sea
0≠A .
Si las dos condiciones se cumplen, entonces la solución del sistema se
puede obtener aplicando la regla de Cramer.
Ejemplo: Resolver el sistema indicado (Aplicando la regla de Cramer).
=+−
=+−=+−
6254
32329
zyx
zyxzyx
Según lo visto anteriormente, la matriz de coeficientes y el vector de términos
independientes son, respectivamente:
−−−
=541321111
A ,
=
62329
B
El determinante de la matriz de coeficientes es
( ) ( ) 2191751223410 541321111
A =+−=−−−−−−−+=−−−
=
Por lo tanto tenemos:
1.) Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas
2.) 0≠A
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En consecuencia, es posible aplicar la regla de Cramer, la cual nos
proporciona la solución del sistema:
6 x6 2
12 2
54-6232-3211-9
A
aabaabaab
x 33323
23222
13121
−=⇒−=−===
7 7 2
14 2
56213321191
abaabaaba
33331
23221
13111
−=⇒−=−=== yA
y
88 2
16 2
624-1322-191-1
baabaabaa
33231
22221
11211
=⇒==== zA
z
Luego, la solución del sistema es:
=
−=−=
8 z
7y 6 x
Ejemplo: (Aplicación de la Regla de Cramer)
La compañía ALSANCA requiere de los servicios de tres especialistas en
diseños gráficos. El personal a ingresar se le asignará un sueldo base en función
de la experiencia que posea y el trabajo a realizar. Si el sueldo base de los tres
especialistas es de 1.240.000 Bs; el sueldo base del especialista A más el doble
del de cada uno de los restantes especialistas es de 2.120.000 Bs y el sueldo
base del especialista C más el doble del de cada uno de los restantes
especialistas es de 2.050.000 Bs. Encontrar el sueldo base de cada uno de los
especialistas?.
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Solución:
Sean z, , , yx los salarios en bolívares de los especialistas listados A, B y C,
respectivamente.
Construimos el siguiente sistema a partir de las condiciones dadas:
=
⇒
=++
=++=++
2.050.000
2.120.0001.240.000
z
yx
122
221111
000.050.222
000.120.222000.240.1
zyx
zyxzyx
Aplicando la regla de Cramer:
1)14(4 - 4) 22 ( 122221111
M Mdet 122221111
M −=++++===⇒
=
Luego:
360.000 1 -
360.000 -
1 -
122.050.000222.120.000
111.240.000
===A
450.000 1 -
450.000-
1 -
12.050.000222.120.000111.240.0001
==
=B
430.000 1 -
430.000-
1 -
2.050.000222.120.000211.240.00011
===C
El salario en bolívares de los especialistas listados son:
=
==
000.430
000.450B000.360
C
A
Verifica estos valores sustituyendo los mismos en el sistema original.
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Solución de sistemas de ecuaciones lineales (Método de Gauss).
Usualmente al resolver problemas que conducen a sistemas de ecuaciones
lineales hemos utilizado métodos algebraicos (igualación, reducción y sustitución)
los cuales nos ayudan a encontrar la solución a dicho sistemas. Sin embargo,
dichos procedimientos pueden ser tediosos y complicados cuando se aplican a
sistemas de ecuaciones más grandes.
A continuación desarrollaremos el método de eliminación de Gauss como
recurso para resolver sistemas mayores. Este procedimiento, consiste en
transformar, por medio de operaciones básicas la matriz original en una matriz
equivalente, pero más sencilla.
Es decir: una matriz
=
nmn2m1m
2n22221
1n11211
ba....aa....................
ba....aaba....aa
A
se puede transformar en otra matriz equivalente de la forma:
=
n
223
1n11312
d1....000........................
............100d.......b10
db....bb1
B
En donde la matriz B, tomada hasta la línea interrumpida, es una matriz
triangular superior que se obtiene por columnas, hallando en cada columna, en
primer lugar el uno de la diagonal principal y luego los demás elementos.
Importante...! Para desarrollar el método de eliminación de Gauss, es necesario
emplear una variedad de operaciones sobre las líneas de la matriz. Por tanto, los
pasos que conllevan a la solución no son únicos, pero la solución del sistema si lo
es.
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Teorema 3: Dada una matriz de un sistema de ecuaciones lineales, se
puede obtener una matriz de un sistema equivalente si:
• Se intercambian dos renglones de una matriz.
• Se multiplican un renglón por una constante diferente de cero.
• Se suma a u renglón un múltiplo constante de otro renglón.
Ejemplo: Resolver el sistema.
=++
=++
=++
15 12z6y3x
10 z7 y4x
11 z8 y5x2
Ecuaciones Matrices
Paso 1: Escribir el sistema.
=++
=++
=++
15 12z6y3x
10 z7 y4x
11 z8 y5x2
Paso 1: Escribir la matriz aumentada.
1512631074111852
Paso 2: Intercambiar las 2 primeras
ecuaciones.
=++
=++
=++
15 12z6y3x
11 z8 y5x2
10 z7 y4x
Paso 2: Intercambiar los 2 primeros
renglones.
151263
1185210741
Paso 3: Sumar la primera ecuación multiplicada por –2 a la segunda, y la primera multiplicada por –3 a la tercera.
=−
−=−=++
15 - 9z6y-
9 6 3 - 10 7 4
zyzyx
Paso 3: Sumar el primer renglón multiplicado por –2 al segundo, y el primero multiplicada por –3 al tercer renglón.
−−−
−−−
15960
963010741
Paso 4: Multiplicar la segunda ecuación
por –1/3.
=−
=+=++
15 - 9z6y-
3 2 10 7 4
zyzyx
Paso 4: Multiplicar el segundo renglón
por –1/3.
−−− 15960
3 21010741
50
Paso 5: sumar la segunda ecuación multiplicada por 6 a la tercera.
=
=+
=++
3 3z
3 z2 y
10 z7 y4x
Paso 5: sumar el segundo renglón multiplicada por 6 al tercer renglón.
3 300
3 21010741
A continuación se presenta un algoritmo base como guía para aplicar la
eliminación de Gauss en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales:
Paso 1: Realizar operaciones entre renglones con el fin de obtener en la
primera columna un elemento superior igual a uno.
Paso 2: Sumar o restar los múltiplos adecuados del primer renglón a los
otros renglones, de manera tal que los elementos restantes de la primera columna
se hagan cero.
Paso 3: Sin alterar la primera columna, realizar operaciones entre
renglones con el propósito de hacer el segundo elemento de la segunda columna
igual a uno. Después se suman o se restan múltiplos adecuados del segundo
renglón a los otros renglones, con el fin de obtener ceros en los elementos
restantes de la segunda columna.
Paso 4: Sin alterar las dos primeras columnas, se realizan operaciones
para que el tercer elemento de la tercera columna sea igual a uno. Después se
suman o se restan múltiplos adecuados del tercer renglón a los otros renglones,
con el fin de obtener ceros en los elementos restantes de la tercera columna.
Paso 5: Se continua el proceso columna por columna hasta obtener la
matriz reducida. Es decir, hasta que la matriz ampliada adopte la forma de una
matriz triangular acompañada de una columna de elementos transformados de la
columna de valores independientes del sistema en estudio. La solución de las
variables se obtiene empleando la sustitución hacia atrás o de retroceso.
51
Importante...! El método de Gauss aplicado a la resolución de sistemas de
ecuaciones lineales presenta operativamente una variante, la cual consiste en
cambiar la operación de sustitución hacia atrás o de retroceso empleada hasta
ahora, por las operaciones sobre renglones de la matriz aumentada para
transformarla en una matriz identidad. Este proceso sé denomina eliminación de
Gauss-Jordan.
Las operaciones sobre las ecuaciones de la columna de la izquierda
produjeron sistemas equivalentes de ecuaciones. Por tanto, tiene idénticas
soluciones. En lo referente a la eliminación de Gauss, también llegamos a una
matriz equivalente cuyo sistema lineal correspondiente está en su forma triangular.
A partir de esta forma se despejan las variables empleando la sustitución
hacia atrás o de retroceso. Es decir, se encuentra el valor de la variable ¨z¨ con la
última ecuación (la tercera) y se sustituye en la anterior (la segunda) para
determinar y¨ . Por último, se sustituyen los valores en la ecuación anterior (la
primera) para determinar x. También se puede realizar operaciones sobre la matriz
resultante en el paso 5, con el fin de transformarla en la matriz identidad
(eliminación de Gauss-Jordan).
=
=+=++
3 3z
3 2 10 7 4
zyzyx
⇒
=⇒=++
=⇒=+
=⇒=
1 - x 10 ) 1 ( 7 ) 1 ( 4 x
1 y 3 ) 1 ( 2 y
1 z 3 z 3
La solución es la terna ordenada (-1 ,1 ,1).
Importante...! Los símbolos que a continuación se indican, se utilizan
frecuentemente para desarrollar las operaciones o transformaciones que se
realizan entre los renglones de una matriz al aplicar el método de eliminación de
Gauss.
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Símbolo Significado
Reemplaza
Ejm: jL →iLκ : iLκ remplaza a jL
ii L L →κ Multiplicar por κ al renglón iL
ji L L ↔ Intercambiar los renglones ji Ly L
jji L L L →+κ Sumar jLk +iL al renglón jL
Ejemplo: Resolver el sistema
=−+=++−=+−
7 3z2y x1 zy2x 9 10z4y3x
• Transformemos el sistema en una matriz aumentada (incluye los
coeficientes y las constantes del sistema en estudio en el orden dado).
−
−−
7321
111291043
• Iniciemos una serie de operaciones con los renglones para transformar
el sistema matricial en otro equivalente.
−
−−
7321
111291043
112 L LL →+ ⇒
−
−−
7321
1112101131
221 L LL 2 →+ ⇒
−
−−
7321
212350101131
331 L LL -1)( →+ ⇒
−−
−−
31450
212350101131
53
332 L →+ LL ⇒
−−
18900212350101131
33 L L91
→ ⇒
−−
2100212350101131
113 L L 11- →+L ⇒
−
−−
2100
21235012031
223 L L 32- →+L ⇒
−−−−
2100
2505012031
22 L 51
- →L ⇒
−−
2100
501012031
112 L L 3 →+L ⇒
2100
50103001
Hemos obtenido la matriz transformada que consta de la matriz identidad de
orden 3x3 y la matriz solución:
2
53
(método de eliminación de Gauss-Jordan).
Por tanto, la solución del sistema en estudio es:
=
==
2 z
5 y 3 x
TRABAJO PROPUESTO (III)
23.) Hallar los determinantes de las siguientes matrices:
−
−−
=
131
420321
A
=
412
314321
B
−−
−=
443
302211
C
24.1) Utilizando menores complementarios.
24.2) Usando la regla de Sarrus.
54
25.) Resolver las siguientes ecuaciones matriciales:
11
214
2101
−=
−
− xx
0
21
3 1 34
=
−−
+
xx
xxx
2
11
2214
−=
−−
++
xxx
xxxx
26.) Factorizar los determinantes:
111
111111
y
x+
+ ; 111
yxzxyzzxy
27.) Resolver los siguientes sistemas:
=−−
=++=++
523
4452134
zyx
zyxzyx
=+
−=−=+
343
26654
zx
zyzx
=−
=+=−+
538
267542
zy
yxzyx
28.) Resolver los siguientes ejercicios utilizando matrices.
a.) A y B trabajando juntos pueden hacer una obra en 9 días. A y C juntos
hacen la misma obra en 8 días, mientras que B y C juntos pueden
realizarla en 12 días. ¿Cuánto tiempo le tomará a cada uno por
separado realizar la obra?.
b.) Hallar dos números enteros positivos cuya diferencia sea 43 y cuya
suma sea 337.
c.) Un triángulo tiene 60 m de perímetro. La suma del primer lado con el
segundo es de 36 m, mientras que la diferencia entre el tercer lado y el
segundo es de 4 m ¿Cuál es la longitud de cada lado?.
d.) Hallar tres números tales que el primero más el segundo sumen 10; el
primero más el tercero sumen 19 y el segundo más el tercero sumen
23.
55
29.) Resolver: (método de eliminación de Gauss)
=++−=++−−=+−
7 10 3 2 2 10 4 2 3 2
zyxzyxzyx
;
1 4z 2x 3w-
2- z 3y -4x 0 3z -y - 2w 0 2z 2y x -
=++
=+==++w
30.) Durante un cierto período de tiempo, una función de costo total está
definida por la ecuación: CT = mC0 + Cf , donde:
CT = costo total de manejar un carro. M = número total de kilómetros recorridos. C0 = costo de manejo por kilómetro. Cf = costo fijo total y costo por kilómetro.
Si el costo total es de 18.000 Bs al manejar 6.000 kilómetros y 22.500 Bs al
manejar 9.000 kilómetros. ¿Cuál es el costo total y el costo por kilómetro?.
B I B L I O G R A F I A
- Ayra Jagdish y Robin Lander. (1992). Matemáticas Aplicadas a la
Administración y a la Economía. Editorial Prentice Hall. S,A. México.
- Fleming Walter y Dale Varberg. (1991). Algebra y Trigonometría con
Geometría Analítica. Editorial Prentice Hall. S,A. México.
- Goodman Arthur y Lewis Hirsch. (1996). Algebra y Trigonometría con
Geometría Analítica. Editorial Prentice Hall. S,A. México.
- Haeussler Ernest y Richard Paul. (1997). Matemáticas para Administración ,
Economía, Ciencias Sociales y de la Vida. Octava edición. . Editorial Prentice
Hall. S,A. México.
- Kovacic Michael. (1977). Matemática. Aplicaciones a las Ciencias Economico-
Administrativas. Ediciones fondo Educativo Interamericano. Boston (EE.UU)