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engranajes y transmiciones
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UNIDAD Nº 4 -
DIMENSIONAMIENTO DE ENGRANAJES
4.1. LEY FUNDAMENTAL DEL ENGRANE
La ley fundamental del engrane define las condiciones que se deben cumplir para transmitir el movimiento con relación de transmisión constante.
Se tiene entonces por hipótesis que i cte
2
1
. y consideremos que el sólido S1 de la
figura, por contacto directo en el punto N arrastra al sólido S2. La velocidad del punto N según se considere pertenezca a S1 o S2 será :
v 1 = 1 R1
v 2 = 2 R2
Mecanismos
Descomponiendo las v 1 y v 2 según la normal nn y tangente tt a los perfiles, por semejanza de triángulos se puede escribir :
de O NN
N
y de O
N 2
1 1 1 1
1
1
1
11 1
1
11 1
2 2 2 2
2
2
2
22
2
22 2
A N V
N
V
Rb
RV
Rb
RRb
A N NN V
N
V
Rb
RV
Rb
RRb
.
Ilustración 1
Como las velocidades N1 y N2 deben ser iguales para que se mantenga el contacto:
Rb RbRb
Rb1 1 2 22
1
1
2
Además por semejanza de los triángulos O1 A1 I ~ O2 A2 I
Rb
Rb
O I
O I
Rp
Rp1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
Rp
Rp = cte.
2
Mecanismos
En consecuencia el punto I es un punto fijo o lo que es lo mismo cualquiera sea el punto N de contacto de los perfiles, para que la relación de transmisión sea constante, la normal a I es fija porque además debe cumplirse que O1O2 = Rp1 + Rp2 = cte.
El punto I recibe el nombre de Punto Primitivo.
LEY DE ENGRANEPara que la relación 2/1 = i se mantenga constante; la perpendicular a los perfiles, en el punto de contacto debe pasar en todo instante por el punto primitivo.
Perfiles que cumplen con esta ley reciben el nombre de perfiles conjugados.
Circunferencias primitivas son aquellas que con centro en O1 y O2 pasan por el punto primitivo.
Pueden concebirse los perfiles conjugados solidarios a las circunferencias primitivas. Estas rotarán con velocidades 1 y 2 respectivamente y tendrán un rodamiento puro en el punto de tangencia I.
Se plantea un primer problema; el de la determinación de los perfiles que cumplan con esta condición.-
Se pueden presentar dos casos:1. Dado un perfil cualquiera hallar el conjugado.2. Elegir perfiles conjugados con características adecuadas para la
transmisión del movimiento.
Perfiles conjugados empleados en la técnicaEn las aplicaciones practicas en general no se requiere fijar a priori una de las superficies conjugadas. Es practica común adoptar partes de curvas conjugadas constituidas por curvas geométricas que tengan características aptas para la transmisión del movimiento.Las curvas casi universalmente utilizadas pertenecen a la familia de las cicloides. Son curvas que se generan como trayectorias de un punto de una circunferencia (Ruleta) que rueda sin resbalar sobre otra circunferencias fija. (Base).
1) Cicloide.La cicloide es aquella curva definida como la trayectoria de un punto P de una circunferencia que rueda sin resbalar sobre una recta. En este caso la ruleta tendrá un radio finito y la base puede interpretarse como una circunferencia de radio Rb de valor infinito.
3
Mecanismos
Ilustración 2
2) EpiciloideEn este caso la ruleta rueda exteriormente sobre la base de radio finito Rb.
3) HipocicloideLa ruleta rueda interiormente sobre la base de radio Rb.
4) PericiloideEn este caso el radio de la ruleta es mayor que el radio Rb de la base.
Epicicloide Hipocicloide Pericicloide
Ilustración 3
5) Evolvente de circuloEn el caso extremo que el radio de la ruleta tome un valor infinito transformándose en una recta.
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Mecanismos
Ilustración 4
Casi la totalidad de los engranajes empleados en la industria tienen sus dientes con perfiles tallados con evolventes de circulo. Estos dentados se destacan por las siguientes características:
a) Permiten su tallado con mayor rapidez y precisión.b) Resultan insensibles a deficiencias en el montaje en lo que
respecta a la distancia entre ejes.c) Resulta un diente mas robusto. Esta característica es importante
para la transmisión de potencia.d) Todas las ruedas de igual paso son armónicas (Pueden engranar
entre si).
Los perfiles basados en las otras cicloides tienen su mayor aplicación en relojería y mecanismos afines. Sus características son:
a) Engrane mas correcto.b) En ruedas chicas los dientes se comportan mejor.c) Tienen mayor superficie de contacto superficial, y por
consiguiente menor presión de contacto superficial, en consecuencia el desgaste es menor.
d) Para que las ruedas de igual paso sean armónicas deben haber sido trazadas con ruletas del mismo diámetro.
Propiedades de la curva evolvente
5
Mecanismos
La evolvente de circulo puede concebirse como la trayectoria de un punto de una recta que rueda sin resbalar sobre una circunferencia que toma el nombre de circunferencia base.
En la figura Rb es el radio de la circunferencia base de la evolvente e que tiene su punto de arranque en A; la recta es tangente a la circunferencia en el punto T. El punto P es el punto de la recta que va generando la evolvente.
De acuerdo a la definición pueden enunciarse las siguientes propiedades de la curva evolvente:
Ilustración 5
a) Arco AT = PT La longitud del arco de la circunferencia base comprendido entre el punto de arranque A y el punto de tangencia T es igual a la longitud del segmento de tangente comprendido entre el punto de tangencia T y el punto P.
b) La recta tangente a la circunferencia base es normal a la evolvente . En la figura la evolvente es generada por la trayectoria del punto P de la tangente que rueda sin resbalar sobre la circunferencia. En consecuencia, T es centro instantáneo de rotación del movimiento relativo y la trayectoria de P es normal a la tangente.
c) El segmento de tangente TP es el radio de curvatura de la evolvente e en el punto P.
d) La circunferencia base es el lugar geométrico de los centros de CURVATURA de la evolvente en consecuencia la circunferencia base es la evoluta de la evolvente.
e) Supongamos la curva evolvente materializada, rígida y solidaria con su circunferencia base (Supongamos recortada en cartón la curva evolvente y su circunferencia base como se indica en la figura).
6
Mecanismos
Ilustración 6
Supuesta la tangente con una dirección fija en el plano y la circunferencia base con centro fijo girando, la velocidad tangencial. VA del origen A, es igual a la velocidad del punto P a lo largo de la tangente.
La evolvente e de punto de arranque A cortara a la tangente en P al girar la circunferencia base y pasar el punto de arranque a la posición A’, la evolvente (solidaria a la circunferencia base) ocupará la posición e’ y cortará a la tangente fija en el punto P’.
Se verificara:
AT = PT
A’T = P’T
7
Mecanismos
Si consideramos un intervalo de tiempo infinitamente pequeño, en cuyo caso los desplazamientos de A y de P serán también infintesimos, podemos decir:
AA
t
PP
t
' '
VA = Vp
Ilustración 7
Siendo:
VA = Velocidad tangencial del punto de arranque de la evolvente.
Vp = Velocidad lineal de desplazamiento del punto P sobre la tangente fija.
Si es la velocidad angular de la circunferencia base, podemos escribir:
VA = Rb = Vp.
La expresión es valida para velocidades instantáneas, en general VA, y Vp no tienen porque ser constantes.
Acciones reciprocas entre dos curvas evolventesDispongamos dos evolventes materializadas de tal manera que las mismas se hallen en contacto en un punto P sobre la tangente común a ambas circunferencias bases. Al girar una de ellas, por ejemplo la e1 arrastrará a la e2 por contacto directo.
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Mecanismos
De esta manera se podrá transmitir el movimiento de rotación con las características que más adelante se enumeran.
Ilustración 8
1) El punto de tangencia P de dos curvas evolventes en contacto se halla ubicado sobre la tangente común a las dos circunferencias bases. (Teoría fundamental del engrane).
2) La relación entre las velocidades angulares de las circunferencias bases se mantiene constante.
La envolvente e1 solidaria a la Circunferencia base de radio Rb1 se mueve alrededor del centro O1 con velocidad angular 1.
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Mecanismos
e1 impulsa por contacto directo a la evolvente e2 solidaria a la base de radio Rb2 que se mueve alrededor del centro O2 con velocidad angular 2 . Para que se verifique el contacto, la velocidad lineal del punto P supuesto perteneciente a una u otra evolvente, deberá ser la misma.
V Rb RbRb
Rbp 1 1 2 2
2
1
1
2
3) Variando la distancia entre los centros de las circunferencias bases se mantiene el contacto y no varia la relación de velocidades angulares.
Si suponemos las evolventes en contacto en una posición determinada y hacemos rodar una de las circunferencias bases sobre la tangente común, el contacto se mantiene en todo instante, variando únicamente la distancia entre centros. Si en la nueva posición una de las evolventes impulsa a la otra, la relación de velocidades angulares, que solo dependen de los radios de las bases no variara respecto de la relación que correspondía en la posición original.
Ilustración 9
Interesa encontrar las circunferencias primitivas del par de evolventes conjugadas definidas por las circunferencias bases de radios Rb1 y Rb2 con centros en O1 y O2
respectivamente.
Evidentemente la tangente común a las bases, a su vez normal a las curvas en contacto, pasara por el punto primitivo I que por otra parte estará ubicado sobre la línea de los centros.
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Mecanismos
Ilustración 10
De la figura : O1T1I1 O2T2I2
Rp
Rp
Rb
Rbcte
Rp
Rp
Rb
Rb
1
2
1
2
2
1
1
1
2
2
.
cos
El ángulo de presión queda determinado cuando se fija la posición de los centros O1
y O2.-
Ruedas cilíndricas de dientes rectos. Elementos geométricos. DefinicionesLas ruedas dentadas o de engranajes, consisten en una llanta o corona en la cual se empotrados una serie de dientes iguales cuyas superficies laterales o flancos cumplen con las leyes cinemáticas del engrane.
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Mecanismos
Estas superficies están limitadas radialmente, en el caso más general, por los cilindros de cabeza, de raíz y sus proyecciones sobre el plano radial representan respectivamente:
Perfil del diente: Constituido por curvas cíclicas o evolventes.
Circunferencia de cabeza o exterior: De diámetro De.
Circunferencia primitiva: Diámetro Dp. (Intersección de las superficies primitivas).
Circunferencia de raíz o interior: De diámetro Dp.
Circunferencia base: La circunferencia desde la cual se desarrolla la curva evolvente. de diámetro Db.
Ilustración 11
Se definen además como:
Altura de cabeza k: A la distancia radial ente la circunferencia de cabeza y la circunferencia primitiva.
Altura de raíz W: A la distancia radial entre la circunferencia primitiva y la de raíz.
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Mecanismos
Altura del diente h: k + W a la altura total del diente. Se verifica entonces que De = Di + 2h = Dp + 2k
Juego de cabeza: Sk = W - k
Ancho del diente b: A la dimensión del diente en dirección paralela al eje de rotación
Espesor del diente :Llamado también lleno.
Hueco del diente v: Llamado también vacío.
Juego de los flancos:Sf = v - Diferencia entre el vacío y el lleno de los dientes. Elespesor y el vacío del diente teóricamente tendrían que ser iguales, condición que en las máquinas modernas de tallado prácticamente se consigue, pero siempre se da cierta diferencia que consigue, pero siempre se da cierta diferencia que constituye el juego de los flancos.
Cubo : Es la parte de la rueda que se vincula al eje o árbol por medio de una chaveta.
Brazos : Son los elementos de la rueda que unen la llanta al cubo.-
Radio del acuerdo: Es la curva de transición de radio que une el diente a la corona
Paso del dentado: Se llama paso del dentado t a la distancia medida sobre la cir-cunferencia primitiva entre dos puntos homólogos de dos dien-tes consecutivos.
Si z es el número de dientes, se verificará lo siguiente:
z . t = . Dp
Dp = t/ . zDe la que se deduce que: como z es siempre un número entero, el Dp será un número racional, siempre que lo sea el cociente t/. Esto obliga a que el paso t sea siempre un múltiplo de a fin de que su irracionalidad quede excluida como magnitud determinante del diámetro de la circunferencia primitiva Dp.
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Mecanismos
En la práctica resultan ser mediciones muchísimo más fáciles las del diámetro primitivo Dp ó del exterior de antes que el paso t, por lo tanto reviste interés que tales dimensiones sean números racionales. Estas circunferencias han llevado a adoptar en la práctica una unidad ó módulo como característica del dentado, que se estandariza y en función del cual se expresan las dimensiones de las ruedas dentadas. Tal unidad ha sido definida según el país de origen, aunque siempre partiendo de la relación:z.t=.Dp; por lo tanto haremos distinción entre:
a) Sistema métrico o alemán :En este sistema se define como módulo M a la relación:
M mmt mm Dp mm
z
Recibe además el nombre de paso diametral porque resulta también de dividir el Dp por el número de dientes z. Los valores de M se hallan normalizados por el DIN 780.
Tabla de valores de modulo standard M (mm)11.251.51.7522.252.52.75
33.253.53.7544.254.54.75
55.255.55.7566.256.5---
7---7.5---891011
1213141516171820
b) Sistema inglesSe define el modulo ingles o Diametral Pitch
Ppu t pu
z
D pup
' 'lg. lg lg
1
El valor t pu Ppu
Cp pulglg
lg
1 recibe el nombre de Circular Pitch .
Los valores de P” también se hallan normalizados.
Tabla de valores estandard de P” y su equivalencia con el móduloP” Mmm P’ Mmm P” Mmm11 ¼1 ½1 ¾2
25.420.3216.9314.5112.7
3 3 ½456
8.477.266.355.084.23
1011121416
2.542.312.121.811.59
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Mecanismos
2 ¼2 ½2 ¾
11.2910.169.24
789
3.633.172.82
182022
1.411.271.15
Como ha de haber un número entero de dientes en cada engranaje, los Dp en consecuencia y las distancias entre centros posibles no tienen una variación continua.Los intervalos son menores a mayor P”.[Dp = z/P”]Por ejemplo :
si z y P Dp
z P Dp
si z y P Dp
z P Dp
= "
= = " = "
cada diente significa una
variación en el Dp de 1
= "
= = " = "
cada diente significa una
variación en el Dp de 1
20 4 5
21 4 5 1 4 4
20 2 10
21 2 10 1 2 2
"
"
"
"
En el caso que la distancia entre centros deseada no pueda ser obtenida para el diametral Pitch dado, es necesario el uso de un circular Pitch especial.
El sistema de circular Pitch se aplica también a los engranajes fundidos y en los casos en que los dientes sean mayores que el diametral Pitch (P < 1).
Equivalencia entre el Módulo y el Diametral PitchPodemos escribir:
t mm t
M mm
Ppu
M mmP
". , ...
.
"lg
, ...
,
"
25 4
125 4
25 4
en consecuencia, dada la equivalencia irracional de la pulgada con los milímetros, no existe correspondencia exacta entre M y P”.
Relación de Transmisión en función de los Diámetros Primitivos y del Número de Dientes.Se define a la relación de transmisión como el cociente del número de vueltas n2 de la rueda conducida sobre el número de vueltas n1 de la rueda motriz.
in
n 2
1
Teniendo en cuenta que en el punto de tangencia de las circunferencias primitivas las velocidades son iguales:
vDp n Dp n
Dp n Dp Dp
. . . .
. .
1 1 2 2
1 1 2 2
60 60
y además, como :
15
Mecanismos
Dp z M
in
n
Dp
Dp
z
z
.
2
1
1
2
1
2
Elementos Cinemáticos del Engrane. Definiciones.
Recta de presión :Es la recta de acción de la fuerza con que el flanco del diente de la rueda conductora actúa sobre el correspondiente de la rueda conducida.
Evidentemente, la presión transmitida entre los flancos actuará siempre sobre la normal común y que por su condición de superficies conjugadas ha de pasar todo instante por el punto primitivo.
En el caso de perfiles a evolvente la recta de presión es invariable. Es la tangente común a las circunferencias bases.
= 20º ALEMAN = 14,5º INGLES
Ilustración 12
Ángulo de Presión :
16
Mecanismos
Es el ángulo que forma la recta de presión con la tangente común a las circunferencias primitivas.
En el caso de los perfiles a evolvente es invariable. Se encuentra normalizado según DIN 867 en 20º, en otras normas, según veremos, también se emplea 14º30’; 15º y 22º30’. Cuanto mayor es el ángulo de presión :
1. Los dientes resultan más anchos en su base y en consecuencia son más resistentes.
2. Disminuye el zpmin que evita la interferencia. (z < 14).
3. Disminuye la velocidad relativa entre los flancos.
4. Aumenta la presión radial, y por lo tanto sobre los apoyos.
5. Disminuye la duración del engrane.
6. La forma de los flancos es más convexa.
Ilustración 13
Línea de EngraneEs el lugar geométrico de los puntos en que se verifica el contacto entre los flancos de los dientes.
En los dientes a evolventes la línea de engrane es la recta de presión limitada por los respectivos círculos de cabeza. En razón de la interferencia que veremos más
17
Mecanismos
adelante, la longitud de la línea de engrane no puede sobrepasar los puntos de tangencia con las circunferencias base.
Ilustración 14
Flanco Activo:No todo el flanco de los dientes de una rueda toma parte en el engrane. La parte del flanco de los dientes que efectivamente toma contacto con los dientes de la otra rueda se llama flanco activo .
Todos los puntos de la cabeza de un diente pertenecen al flanco activo, pero no todos los puntos de la raíz.
Para determinar el límite del flanco activo sobre la raíz, bastará encontrar el punto de ella que se pone en contacto con el extremo de la cabeza del diente de la otra rueda.
18
Mecanismos
Ilustración 15
Refiriéndose a la figura, el contacto se inicia en A, sobre la línea de engrane, entre los puntos Fa’, límite del flanco activo del diente de la rueda motora (1) y K” extremo de la cabeza del diente de la rueda conducida (2).
El contacto se seguirá verificando según los puntos definidos por la línea de engrane entre puntos de la raíz de la motora y la cabeza de la conducida durante el ángulo de acceso hasta el punto primitivo I, pasando éste, durante el ángulo de receso en forma invertida.
Conociendo la línea de engrane, la determinación de los puntos Fa de las raíces de los dientes es inmediata teniendo en cuenta que su trayectoria es circular. Por ejemplo, el punto Fa’ de la rueda (1) tomará contacto siempre en el punto A, en consecuencia, la circunferencia de radio O1 A nos define el punto Fa’.
En la figura se observa que las longitudes de los flancos que se pondrán en contacto son distintos, razón por la cual existirá un deslizamiento. Este deslizamiento que se produce durante el contacto de todos los puntos del flanco activo, excepto los que están sobre la primitiva, se traduce en perdida de potencia por roce, desgaste etc.
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Mecanismos
Arco de Engrane:Es el arco de primitiva barrido por el diente mientras dura su contacto.
El contacto del punto extremo k” con su conjugado tendrá lugar cuando el punto r de la primitiva p2 determinado por la normal al perfil en k” pase por el punto primitivo I. Ello es lógico, en cada instante k”-r es normal común a las superficies en contacto y debe pasar por I. En consecuencia, mientras los puntos de p2
comprendidos en el arco r - I van pasando por I entran en contacto los puntos de la cabeza del perfil de la rueda (2): k”- I con los puntos de la raíz de la rueda (1): I - Fa’.
Asimismo el contacto del punto extremo k’ con su conjugado tendrá lugar cuando el punto q de la primitiva p1 pase por I (q se determina trazando por k’ la normal del perfil del diente) mientras los puntos de p1 comprendidos en el arco I-q pasan por I, entran en contacto los puntos de la cabeza del perfil de la rueda (1): k’-I con los puntos de la raíz del perfil de la rueda (2) comprendidos entre k”y I.
Ilustración 16
20
Mecanismos
El arco de engrane, que indudablemente tiene el mismo valor para cualquiera de las 2 ruedas.
a = Arco (r - I) + Arco (I - q)comprende dos partes:
Arco de Acceso: Desde el comienzo del engrane hasta la posición en que el con-tacto se verifica en correspondencia del punto primitivo.(Arco r - I).
Arco de Receso : Desde que el contacto se verifica en I hasta el final del engrane (Arco I - q) (si admitimos el sentido de giro indicado en la
figura de referencia).
Se define como: duración de engrane, grado de recubrimiento o seguridad, a la relación:
arco de engrane
paso
a
t
Es importante definir ( ); debe asegurarse que el engrane no quede interrumpido en ningún momento, procurando que cuando deje el contacto un diente, comience o haya comenzado el engrane del diente siguiente.
Si esto no sucediera, se producirían irregularidades de marcha con choques inadmisibles, la rueda motora se aceleraría y la conducida se frenaría. Es necesario en consecuencia que el arco de engrane sea mayor o igual que el paso y la duración del engrane igual o mayor que la unidad:
a t ó 1
Técnicamente sin embargo, no es suficiente esta condición y para aliviar el trabajo de los dientes se adopta :
1,2 a 1,4
El grado de seguridad aumenta en los engranajes de perfil cicloidal cuando se aumenta el radio de la ruleta y en los engranajes de perfil a evolvente cuando se disminuye el ángulo de presión .
En ruedas de gran número de dientes y paso relativamente pequeño, hay siempre dos o más dientes en contacto ( > 2), lo cual es una ventaja, la marcha es más suave a medida que aumenta el número de dientes en contacto.
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Mecanismos
Ilustración 17
22
Mecanismos
Perfiles Normalizados Usuales:A fin de obtener engranajes económicos y de buen rendimiento es conveniente un conocimiento de los problemas que ordenan las proporciones apropiadas para los dientes.
Surge de inmediato que, como resultado del gran número de variables que gobiernan este problema, son infinitas las soluciones posibles al proporcionamiento del diente. Sin embargo su importancia ha obligado preferente atención e investigación por lo que las mejores formas para diente se reducen en la práctica a algunos perfiles normalizados que cubren satisfactoriamente la gran mayoría de las aplicaciones. Varios sistemas especifican detalladamente las distintas magnitudes que configuran el diente, generalmente referidas al módulo o al diametral Pitch.
En algunos casos esos mismos sistemas se corrigen para acentuar algunas de sus características y extraer mayores posibilidades, otras veces las condiciones impuestas de resistencia dinámica, desgaste, velocidad periférica, tamaños, son tan criticas que obligan a desarrollar sistemas especiales que aunque más complejos y precisos solucionan los problemas planteados.
Como es obvio, por naturaleza de este trabajo nos limitaremos a los sistemas estandard más usuales, derivando a la bibliografía indicada toda atención a este problema.
Las características de los sistemas más importantes se describen en lo que sigue, siempre a través de la cremallera básica.
Debe observarse que con estos sistemas estandard resultan engranajes intercambiables; se supone además su fabricación con métodos generativos, por lo que todo problema posible de interferencia es salvable por el recorte que se produce en la raíz del diente. Por esta razón se indica en cada caso el número estandard mínimo de dientes que origina recortes indeseables.
1) Sistema de Módulo
Ilustración 18
23
Mecanismos
El radio de acuerdo puede expresarse teniendo en cuenta la figura:
S
S
k
k
sen
sen1
por lo que para los valores de y Sk fijados
Ilustración 19
S
S Mkk1 20
1 52 0 252sen º
, ,
2) Sistema Diametral Pitch
Ilustración 20
a) Sistema AGMA = 14º 30’ y profundidad total
kP P
WP
SS
Z
k
kk
p min
1 0 157
1157
11 33
32 22
"
,
"
,
" sen,
S
Los piñones de menos de 32 dientes resultan recortados. El recorte es inadmisible para menos de 22 dientes, para un par de 22 dientes cada uno, la duración del engrane es =1,4 , valor que aumenta si los dientes en uno o en ambos engranajes es mayor.
24
Mecanismos
b) Sistema AGMA = 20º y profundidad total
kP P
WP
SS
Z
k
kk
p min
1 0 157
1157
11 52
18 14
"
,
"
,
" sen,
S
En este sistema con el mayor ángulo de presión resulta un segmento de engrane mayor, la circunferencia base menor y en consecuencia admite menor número de dientes sin recorte Zp mín. = 18.
El recorte es excesivo con menos de 14 dientes. Para un par de 14 dientes cada uno, la duración del engrane resulta = 1,4.
Es interesante comparar estos dos sistemas AGMA de = 14º 30’ y 20º : suponiendo un diametral Pitch de 1” = P” los piñones de mínimo tamaño posible en ambos sistemas son:para :
Z D pulg.
Z D pulg
p
p
14 30 22 22
20 14 14
º '"
º"
.
mín
mín
Z
PZ
P
Resultan piñones 36% más pequeños (14/22 = 0,64) las demás consideraciones no varían. Suponiendo la misma velocidad de rotación, la importante magnitud que es la velocidad tangencial se reducirá en consecuencia.
Por otro lado, el mayor ángulo de presión incrementa la carga sobre los cojinetes y también la fricción sobre los dientes. Los engranajes generalmente serán más ruidosos.
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Mecanismos
c) Sistema estandard = 20º y diente STUB
kP P
WP
SS
Z
k
kk
pmin
0 8 0 2
1
11 52
12
,
"
,
"
" sen,
S
Con este sistema se procura atenuar el recorte en piñones de pocos dientes acortando la altura total del diente.
El ángulo de presión de 20º en combinación con un diente más corto le confiere gran capacidad de carga; ventaja que en cierto modo se reduce por el aumento de carga dinámica debido a su pequeño arco de engrane. Su mayor problema reside en su baja duración del engrane. Por ejemplo un par de engranajes de 12 dientes cada uno es de = 1,13.
Resultan engranajes más ruidosos a menos que se compense con una mayor precisión de fabricación y montaje.
El diente STUB es ampliamente usado en transmisiones para automotores donde se requieren engranajes helicoidales está más difundida la aplicación de estos dientes ya que por sus características de funcionamiento se atenúan los inconvenientes apuntados.
Interferencia en engranajes a evolventeEl contacto entre dos perfiles de evolvente se produce siempre sobre la tangente común a las circunferencias bases y siempre debe ser dentro del segmento T1 - T2.
26
Mecanismos
Ilustración 21
En el engranaje la evolvente es materializada por los perfiles de los dientes y los puntos de contacto (recta de engrane) quedan limitados por las circunferencias de cabeza en los puntos xy de la figura.
En consecuencia la línea de engrane siempre debe ser interior al segmento comprendido entre los puntos de tangencia T1 T2 de las circunferencias bases. De no ser así se produce el llamado problema de interferencia en engranajes.
Supuesto O2 fijo, reduciendo el diámetro de p1 , el punto T1 se aproxima a x hasta un valor limite mínimo cuando T1 x
Es decir para cada valor Dp existe un valor Dp1 mínimo por debajo del cual se produce interferencia.
27
Mecanismos
Ilustración 22
Trataremos de calcular ese valor Dp1 min..
Del triángulo O2 T2 x
O x O T xT2
2
2 2
2
2
2
con:
28
Mecanismos
O x Rp k
O T Rb Rp
xT xI IT
Rp Rp
2 2
2 2 2 2
2 2
1 2
cos
sen sen
mín.
R k R Rp Rp p p2
22
2 1 2
2
cos sen sen min.
Desarrollando los cuadrados
R k R k R R R R R
R R R R k k
p p p p min p p p
p min p p p
22 2
2 22 2
12 2
22 2
1 22
12 2
1 22
22 2
2 2
2 2 0
cos sen sen sen
sen sen
.
.
mín.
mín.
Es la ecuación de una hipérbola de asintota horizontal.
Rpk
Rpk
2 1
1 2
0
02
Rp
Rp mín.
sen
Ilustración 23
Conocidos y k para cada valor Rp2 se tiene un Rp1 mín . Para Rp2 es decir para la cremallera, el Rp1 mín. resulta (dividiendo por Rp2):
29
Mecanismos
RpRp K
k
R
k
Z M kk
M
p
1 21
22
2
1 2
12 1 2
2 2 0
2
2
mín.
2 mín.
mín.
mín. mín
Rp
Rp
Z
sen sen
sen
sen sen
Aplicando esta formula a los distintos dentados normalizados se pueden definir los números de dientes mínimos posibles para el piñón sin que aparezca interferencia.
Dentado sen k
MZ1 mín.
AGMA plena profundidadAGMA plena profundidadAGMA diente Stub
14 30’2020
0,250,340,34
110,8
321812
La recta a 45 define el punto A con Z1 mín. para dos ruedas iguales. Es evidente que la zona de validez de la curva es a la derecha del punto A.
Para dos ruedas iguales Rp1 mín. = Rp2
R R R k k
R R k k
p p p
p p
21
2 21
21
2
21
21
2
2 2 0
3 2 0
mín. mín. mín.
mín. mín.
sen sen
sen .
ecuación de 2º grado en Rp1 mín. en consecuencia:
Rk k
kZ M
Zk
M
p1
2 2 2
2
2
21
1
2
2
2 4 4 3
2 3
1 1 3
3 2
2
3
1 1 3
mín.
mín.
mín.
k
.
. sen .
sen
sen
sen
. .sen
sen
30
Mecanismos
Para y dientes
Para y = 20º dientes
mín.
mín.
k
MZ
k
MZ
1 14 30 22
1 12
1
1
º '
Perfiles Corregidos.
Aunque la mayoría de los engranajes utilizan los sistemas standard de igual altura de cabeza para piñón y rueda, no siempre es necesario y a veces no es deseable el uso de tal proporción. Es interesante entonces aprovechar la característica de los perfiles a evolvente que da la posibilidad de variar las proporciones de la cabeza y espesor del diente sin que se alteren sus condiciones cinemática y lo que es más, estas variaciones en los métodos por generación pueden producirse con herramientas standard.
A los efectos de transmitir el movimiento y potencia en forma uniforme y con un mínimo de perdida de energía, los perfiles de los dientes deben cumplir en su engrane con las siguientes condiciones fundamentales:
a) Perfiles conjugados: La ley cinemática del engrane requiere que “la normal común a los perfiles en los sucesivos puntos de contacto debe pasar en todo instante por el punto primitivo”. Cumpliendo esta ley cualquier par de perfiles puede ser utilizado y se dice que con conjugados.
b) Continuidad del engrane: Las dimensiones del flanco activo deben ser tales que se cumpla que antes de terminar el engrane de un par de dientes ya haya comenzado el del par siguiente. La satisfacción de esta condición es perfectamente interpretada a través de la duración de engrane .
Estas dos condiciones pueden ser cumplidas con una adecuada elección de las superficies utilizadas como flancos al mismo tiempo que las proporciones del diente. Los perfiles normalizados vistos indudablemente han sido estudiados para que cumplan estas condiciones pero es interesante analizar y comprender hasta que punto puede apartarse de esos sistemas corrigiendo los perfiles para solucionar problemas planteados en aplicaciones particulares.
31
Mecanismos
La línea de engrane es el lugar geométrico de los puntos de contacto. La forma de esta línea depende de los perfiles conjugados. En el caso de perfiles constituidos por evolventes de círculo es una recta coincidente con la recta de presión y es válida en el segmento comprendido entre las circunferencias de cabeza o exteriores. La máxima longitud alcanzable por el segmento de engrane sin que las evolventes pierdan su condición de conjugadas esta fijado por los límites T1 y T2 de tangencia con las circunferencias bases. Es inmediato entonces que los máximos diámetros exteriores posibles para piñón y rueda quedan definidos por esos puntos T1 y T2 . El engrane siempre ha de verificarse dentro de la zona rayada en la figura.
Ilustración 24
El punto primitivo I define el punto de tangencia de las circunferencias primitivas. En los sistemas normalizados vistos los dientes se distribuyen y proporcionan sobre estas circunferencias fundamentales cumpliéndose por ejemplo para el sistema de M.
32
Mecanismos
ZDp
MZ
Dp
M11
22 ;
k k M
W W M
t M ;
1 2
1 2 1166
,
. etc
Según estas proporciones la altura de cabeza K es igual para piñón y rueda y los diámetros exteriores que resultan no alcanzan los valores máximos establecidos por los límites de la línea de engrane, T1 ; T2.
En la practica moderna de tallado de engranajes por generación (peines o creadoras) se aprovecha la posibilidad de variar la altura de cabeza del diente acercando o separando la herramienta generatriz de su posición teórica respecto de la circunferencia primitiva.
A fin de obtener la profundidad total correcta del diente los diámetros exteriores de los cuerpos de las ruedas se harán mayores o menores que lo indicado por el sistema standard en cantidad doble al acercamiento o separación de la herramienta.
Ilustración 25
Es decir, si la herramienta es separada a una distancia C el diámetro exterior del cuerpo se hará 2 C mayor que el indicado por el sistema standard.
En la figura se muestra un par corregido en el cual se aumentó la altura de cabeza de la rueda al máximo valor posible. La altura de cabeza de piñón resulta acortada en la misma cantidad.
En general, para evitar recorte y para alcanzar igualdad de resistencia de los dientes de rueda y piñón es costumbre acortar la cabeza de los dientes de la rueda.
Ruedas cilíndricas con dientes inclinados
En este tipo de ruedas los dientes tienen cierta inclinación definida por el ángulo con respecto al eje de rotación.
33
Mecanismos
Ilustración 26
Se pueden definir dos pasos:
tc : Paso circunferencial. Medido sobre la rueda frontaltn : Paso normal . Distancia entre dos puntos homólogos de dos dientes consecutivos
medida sobre el cilindro primitivo normalmente a los dientes.
Se puede establecer :t tn c cos
(aproximadamente porque los pasos están medidos sobre los arcos)
Al definir dos pasos quedan definidos dos módulos:
Módulo circunferencial: Mc = tc / n
Módulo normal : Mn = tn / Mc cos
y dos ángulos de presión:
Ángulo de presión circunferencial : c
Ángulo de presión normal : n
El primero es un ángulo de presión tomado sobre la rueda frontal y el segundo es el ángulo que forma la fuerza que actúa normalmente a los dientes en contacto con el plano que es tangente común a los cilindros primitivos.
34
Mecanismos
Ruedas cilíndricas con dientes helicoidales
Si el tallado de los dientes inclinados de una rueda cilíndrica se realiza de tal manera que el flanco del diente es una superficie helicoidal se dice entonces que es una rueda cilíndrica de dientes helicoidales.Estudiaremos previamente la superficie denominada helicoide desarrollable.
Helicoide desarrollableEn la figura se representa en perspectiva un helicoide desarrollable y a dicha figura habrá que remitirse para interpretar adecuadamente lo que a continuación se enuncia.
Sobre un cilindro de radio r0 cilindro base, tracemos una hélice de paso p y ángulo de inclinación 0.
El lugar geométrico de todas las tangentes a la hélice es una superficie reglada denominada helicoide desarrollable.
Las principales cualidades de esta superficie, son :1) Es una superficie reglada y desarrollable.2) Los planos tangentes al cilindro base cortan al helicoide según una de
las rectas generatrices.3) Las secciones del helicoide con planos normales al eje del cilindro base
son evolventes de circulo con su punto de arranque sobre la hélice.4) Las secciones del helicoide con cilindros concéntricos al cilindro base y
de radio R > r0 son hélices de igual paso y en consecuencia tendrán un ángulo de inclinación menor. En efecto, si R es el radio del cilindro concéntrico al cilindro base, el ángulo de inclinación de la hélice que se obtiene como traza de su intersección con el helicoide, debe verificar la condición:
35
Mecanismos
Ilustración 27
Ilustración 28
36
Mecanismos
Ilustración 29
Características del engraneAl estudiar el engrane de los engranajes de dientes rectos se definió la recta de engrane como lugar geométrico de los sucesivos puntos de contacto. La recta de engranes será tangente a las circunferencias bases.
Considerando el contacto ya no del perfil solamente sino del flanco del diente, se tendrá el plano de engrane como lugar de las rectas de contacto a lo largo del diente. El plano de engrane será tangente a ambos cilindros bases.
Es decir entonces que cuando un diente de un engranaje cilíndrico de dientes rectos comienza a engranar, el contacto, teóricamente, se extiende a lo largo del diente sobre una recta paralela al eje de rotación. (La recta intersección del flanco con el plano de engrane).
En los engranajes helicoidales los dientes toman contacto de manera completamente distinta, siendo esta una de sus características más importantes.
El plano de engrane sigue siendo el plano tangente a ambos cilindros bases y la intersección del flanco con dicho plano será la línea de contacto. De acuerdo a las propiedades del helicoide desarrollable, la intersección de la superficie helicoidal con un plano tg. al cilindro base es una recta. En consecuencia las líneas de contacto son en cada instante. recta tgs. a la hélice de retroceso del flanco del diente, y forman un ángulo (90 - r ) cte. con en eje. Los dientes por lo tanto no entran en contacto íntegramente en forma instantánea, como en las ruedas de dientes rectos, sino que el engrane comienza, en un punto del borde extremo del mismo y se extiende gradualmente según rectas diagonales sobre el flanco a medida que el engranaje gira para ir reduciéndose nuevamente hasta terminar el contacto en un punto sobre el otro borde.
El engrane y la aplicación de carga en forma gradual, reduce el ruido y las tensiones dinámicas, de modo que pueden funcionar a mayores velocidades y soportar mayores fuerzas tangenciales que los engranajes cilíndricos del mismo tamaño de dientes rectos. Son comunes velocidades de 20 m/s hasta 36 m/s en engranajes de automóviles y turbinas (se han usado hasta velocidades de 60 m/s)
37
Mecanismos
Ilustración 30
Duración del engrane en engranajes helicoidalesEn estos engranajes la duración del engrane se define por:
arco de engrane
t c
en la que tc es el paso circunferencial (sobre la rueda frontal) .
38
Mecanismos
El engrane comienza con el contacto del extremo de la cabeza del perfil frontal de una cara (punto A) y finaliza con el contacto del extremo del perfil activo (punto B de la raíz de la otra cara). En consecuencia, el arco de engrane de un diente helicoidal abarca:
1) El arco de engrane de la rueda frontal, mas:2) El arco que existe entre los ejes de los dos perfiles frontales tomado
sobre la primitiva. Este arco se denomina salto del diente S y con suficiente aproximación puede tomarse como:
S b tg
Ilustración 31
En consecuencia:
f
c
S
t
Siendo f duración del engrane de la rueda frontal equivalente. La duración del engrane de las ruedas helicoidales resulta entonces mayor que la duración del engrane de la rueda frontal equivalente de dientes rectos, lo cual trae como consecuencia que se tenga un mayor número de dientes simultáneamente en contacto. Se favorece con ello la suavidad del movimiento y disminuye la solicitación que soporta cada uno de los dientes.
39
Mecanismos
Ilustración 32
Proporciones de los dientesLas proporciones de los dientes de los engranajes helicoidales son usualmente las correspondientes a los del diente STUB 20º, utilizándose este tipo de dentado por sus condiciones de resistencia ya que sus problemas de ruido se encuentran superados por las características del engrane.
Los valores mas comunes son:Máx. Medio Mín.
Ángulo de presión circunferencialÁngulo del dienteAltura de cabezaAltura de raízJuego de cabezaÁngulo del diente en dientes en ángulo
c KWSk
25º15ºM
1,157M0,3 M
45º
20º10º
30º
15º,23’
0,7MM
0,157M
c = 25º combinado con = 45º dan un n = 18º 15’c = 15º23’ combinado con = 20º dan un n = 14º 30’
El número mínimo de dientes para el piñón se puede reducir en la siguiente relación:
Z’p mín. = Z p min cos 3 en la cual: Z’p min. : es el número de dientes mínimo del piñón de dientes helicoidales.
Z p min. : ídem del de dientes rectos.
0 19º 28º 35º 43ºZp mín 14 12 10 8 6
40
Mecanismos
Acciones reciprocas y reacciones de apoyoInteresa para el dimensionamiento conocer las acciones entre los dientes. El diente motor actuará sobre el conducido con una fuerza normal a los flancos en contacto. Esta fuerza Pn conviene descomponerla según tres direcciones adecuadas como se indica en el esquema.
Ilustración 33
De las relaciones geométricas se deduce:
tg tg cos
tg tg cos
.
tg
tg
cr
tn
r t
n c
t
r t c
a t
P
P
P
H
P
H
PN
nDp
P P
P P
=
71620
2
41
Mecanismos
Reacciones de los apoyos
Ilustración 34
1) Componentes Pt , Pr y Pa sobre el punto A.2) Componentes sobre el punto A trasladadas al punto B (se agregan los
pares de traslación Mf y Mt ).3) Pt Provoca las reacciones R’Pt y R”Pt .4) Pr Provoca las reacciones R’Pr y R”Pr .5) Pa Provoca la reacción axial R”Pa en el apoyo fijo.6) El momento Mf provoca en los apoyos R’Mf y R”Mf (par de igual
momento que Mf).7) El momento Mt constituye un momento torsor que se utiliza para la
transmisión de potencia y no tiene ningún efecto sobre los apoyos.
42
Mecanismos 43
Mecanismos
4.2. ENGRANAJES PARA EJES CONCURRENTES
Superficies primitivas cónicasSuponiendo dos sólidos rotando sobre sendos ejes que se cortan en un punto 0 sus rotaciones relativas a un bastidor B, quedarán expresadas por:
A
Bx
A
Bx
11 1 1
22 2 2
;
;
Ilustración 35
Interesa estudiar el movimiento relativo A
A1
2
A
A
A
B
B
A
A
B
A
B
1
2
1
2
1 21 2 12
44
Mecanismos
El movimiento relativo es otra rotación. Si la relación i
2
1
es constante la dirección
de 12 también lo será. El movimiento relativo de A1 / A2 puede reemplazarse por el rodamiento de los conos que serán las superficies primitivas.
Relación de transmisión
La relación de transmisión i
2
1
aplicando el teorema del seno puede expresarse
para este caso:
i
2
1
1
2
sen
sen
En general i será un dato, lo mismo que el ángulo . Además = 1 + 2
Para i = cte; 1 + 2 serán fijos. Interesa conocer su valor:
si = 90ºtg 2 = 1
i
Estudio cinemático sobre la superficie esféricaEl movimiento relativo (A1 / A2) o el equivalente de los conos primitivos es un movimiento polar. Este movimiento puede representarse y estudiarse a través del movimiento de las figuras que se obtienen sobre las superficies de las esferas cuyo centro coincide con el polo o punto fijo.
En nuestro caso adoptamos una esfera con centro en el punto de intersección de los ejes x1 y x2. Estos ejes cortarán a la superficie de la esfera en los punto O1 y O2 .
i
i
sen
sen
sen
sen
sen cos sen cos
sen
sencos tg
sen
cos
1
2
2
2
2 2
2
22 i =
45
Mecanismos
Los conos primitivos giran en torno de los ejes x1 x2 y su intersección con la superficie esférica determinarán dos circunferencias que constituyen las circunferencias primitivas p1 y p2.
La traza de la generatriz de contacto de los conos primitivos con la superficie esférica será el punto primitivo I.
De esta manera pueden definirse sobre la superficie esferica todos los elementos vistos en engranajes para ejes paralelos sobre el plano normal a los ejes, En realidad el caso de engranajes para ejes paralelos es un caso particular del movimiento polar analizado, en el cual el punto fijo es un punto impropio y la superficie esferica se transforma en una superficie plana.
La línea de los centros O1 y O2 sobre la superficie esférica se encuentra sobre la circunferencia máxima (Meridiano) que pasa por los puntos O1 O2. Sobre ese meridiano se encontrará el punto I y se verificara el contacto de las circunferencias primitivas que rodarán como los conos primitivos.
Ilustración 36
46
Mecanismos
Vista en perspectiva de la superficie Corte por el meridiano queesferica y los conos primitivos. pasa por O1 O2
Ilustración 37 Ilustración 38
La tangente común a las circunferencias primitivas sobre la superficie esférica estará constituido por otro meridiano perpendicular al que pasa por O1 O2.
La recta de presión será otro meridiano que forma el ángulo de presión con el anterior y así sucesivamente.
Si ligamos solidariamente a una de las circunferencias primitivas una curva esférica K2 a p2 por ejemplo, en el movimiento relativo (p2 / p1), K2 va a ser envuelta por una curva esférica K1 solidaria a p1 . A su vez K1 es envuelta por K2 en el movimiento relativo (p1 / p2).
K1 y K2 son pares de curvas esféricas conjugadas. La transmisión del movimiento puede verificarse también por el contacto entre pares de curvas esféricas conjugadas que, en general, tienen un movimiento relativo de rodamiento con resbalamiento.
K1 y K2 estarán en todo instante en contacto en un punto denominado punto característico y tendrán una tangente común en el contacto. La línea esférica normal a la tangente común en el contacto y por tanto a K1 y K2 pasa en todo instante por el punto primitivo.
Veamos como se obtendría el perfil de un diente a evolvente esférica. Trazando por el punto primitivo I una circunferencia de máxima que forme el ángulo como ya se ha explicado, representara la línea de engrane equivalente a la recta de engrane de los
47
meridiano que pasa por O1 O2
conos primitivos
Mecanismos
engranajes para ejes paralelos, concéntricas a las circunferencias primitivas se trazan sobre la esfera dos circunferencias tangentes a la línea de engrane. Serán las circunferencias bases de las evolventes esféricas que definen el perfil de los dientes.
Las líneas evolventes esféricas, intersección de la esfera con las superficies conjugadas, se obtendrán como lugar geométrico de las sucesivas posiciones de puntos de la línea de engrane que rueda sin resbalar sobre las circunferencias bases.
Proyectando las evolventes desde el centro de las esfera se obtienen superficies conjugadas que constituirán los flancos de los dientes de ruedas dentadas cónicas de dientes rectos.
En este caso el contacto se verificará según rectas que pasan por el punto fijo 0.
En general las superficies de los flancos de los dientes pueden tener cualquier forma, bastará que las secciones con esferas concéntricas de centro 0 determinen pares de perfiles para engranajes cónicos.
Los métodos descriptos para el trazado de superficies conjugadas operando sobre secciones esféricas es rigurosamente exacto, pero constituye un proceso muy complicado y laborioso. En consecuencia, en la practica se reemplaza por métodos aproximados que resuelven el problema con mas facilidad.
Distintas disposiciones de engranajes cónicos.En las figuras siguientes pueden verse cortes de engranajes cónicos a partir de sus correspondientes conos primitivos y complementarios. En el primer caso para ejes concurrentes formando un ángulo de 90º y en el otro un ángulo menor.
Ilustración 39
48
Mecanismos
Si el cono primitivo de uno de los componentes de un par de ruedas cónicas se hace igual a 90º, este cono primitivo se convierte en una superficie plana y la rueda resultante se llama rueda plana.
Ilustración 40
Una rueda plana es a los engranajes cónicos como una cremallera lo es a los cilíndricos. El cono complementario de una rueda plana es un cilindro y la evolvente que resulta para sus dientes es una recta.
En la rueda plana la longitud de los dientes debe ser pequeña, pues de lo contrario el espesor interior resulta demasiado delgado.
Ilustración 41
49
Mecanismos
Engranajes cónicos con dientes curvosLos engranajes cónicos de dientes rectos son fáciles de proyectar y sencillos de fabricar, dando un resultado aceptable cuando su montaje es correcto. Sin embargo cuando las exigencias de precisión son mayores su fabricación es mas delicada y se hacen muy ruidosos para valores de velocidad grandes. En estos casos se recurre a otras metodologías de fabricación como la de GLEASON en la que el elemento tallador de los dientes es una rueda con herramientas que enfrenta al engranaje virgen y por rotación va generando el diente. De esta manera resultan los dientes con curvatura que favorecen posteriormente el funcionamiento.
La curvatura del diente puede ser un arco de circunferencia, un arco de espiral, etc. La inclinación se mide por el ángulo formado en la parte media del diente. Si el ángulo de inclinación es nulo se tiene los engranajes tipo ZEROL. Estos engranajes no tienen ventajas substanciales sobre los engranajes cónicos de dientes rectos, se proyectan sencillamente para aprovechar la maquinaria de tallado de engranajes cónicos en espiral.
Ilustración 42-Corte de dientes de un engrane espiral sobre la cremallera de corona básica
50
Mecanismos
Los engranajes hipoides si bien se fabrican con estas talladoras de dientes no son propiamente engranajes cónicos sino engranajes para ejes alabeados y en consecuencia a pesar de su parecido físico no corresponden a estos engranajes.
Ilustración 43
Acciones reciprocas en engranajes cónicosPara determinar las cargas y las fuerzas actuantes durante el funcionamiento de los engranajes cónicos, la practica usual es utilizar la fuerza tangencial proveniente de la potencia en juego considerándola concentrada en el punto medio del diente. En realidad la fuerza resultante real se produce en algún punto situado entre el punto medio y el extremo mayor del diente pero el error cometido es mínimo.
Las fuerzas se pueden visualizar esquemáticamente en el siguiente dibujo. Para su calculo se simplificará el problema considerando engranajes cónicos para ejes concurrentes a 90º entre si.
51
ángulo de inclinación nulo
ENGRANAJES HIPOIDES(eje alabeados)
Mecanismos
Ilustración 44
Ilustración 45
52
Mecanismos
Ilustración 46
La rueda motora empuja a la conducida mediante la aplicación de las fuerzas Fx , Fy
y Pt y ésta reacciona con fuerzas iguales y opuestas - Fx , - Fy y - Pt .
Ilustración 47
La descomposición de fuerzas son evidentes con simple observación de los esquemas.
53
Mecanismos
Reacción de apoyo en Engranajes Cónicos
PIÑON
Ilustración 48
Para la rueda es similar.
54
Mecanismos
4-3- ENGRANAJES PARA EJES ALABEADOS
Transmisiones por tornillo sin fin y rueda helicoidal
Las transmisiones por tornillo sin-fin y rueda helicoidal son en realidad un ca-so particular de transmisión del movimiento entre ejes alabeados por medio de ruedas de dientes helicoidales, en el cual una de las ruedas tiene un diámetro menor y un án-gulo de inclinación del diente mayor que los habituales, de manera que para que sus dientes puedan llegar a los flancos frontales deben seguir enroscándose en la corona , transformándose en filetes.
Los dientes helicoidales tienen forma de hélice, sucediendo habitualmente que se em-plea una parte limitada de la hélice; pero cuando el ángulo de inclinación de la hélice es muy pequeño y el radio de la rueda relativamente pequeño (Comparado con las restantes dimensiones) el diente se transforma en filete y la rueda en un tornillo sin-fin. El par de ruedas que engranan se convierte entonces en :1 tornillo sin-fin (Rueda helicoidal transformada)1 rueda de dientes helicoidales común.El tornillo sin-fin puede tener uno o más dientes ubicados en el paso de la hélice y se-rá de una o varias entradas. El número de dientes o filetes comprendidos en el espa-cio del paso de la hélice, será siempre un número entero. Para los perfiles Standard comúnmente empleados, corresponde una sola entrada o filete para un ángulo de in-clinación de la hélice del orden de 4º.Las transmisiones por tornillo sin-fin se emplean en todo tipo de árboles alabeados, pero generalmente se trata de ejes de direcciones normales entre sí. En lo sucesivo nos referiremos en consecuencia a transmisiones entre ejes normales.
55
Mecanismos
Ilustración 49
En el tornillo es necesario distinguir entre el paso de la hélice p el paso entre espiras tc (filetes o dientes).
Hélice de simple entrada Hélice de doble entrada Hélice de triple entradasiempre p = mt con m = Nº de espiras.
Ilustración 50
56
Mecanismos
m = Nº de entrada(en este caso m = 2)
Ilustración 51
Ilustración 52
Un corte longitudinal del tornillo puede dar una sección del filete trapecial o curvo. En ambos casos es una helicoide, la forma depende de la generación.
57
Mecanismos
Ilustración 53
Relación de transmisión
Como siempre in
nR
T
2
1
En función del número de dientes toma la forma
i= m ZR
Ilustración 54
58
Mecanismos
que puede deducirse teniendo en cuenta que
VT = VR
V
mt
m
m n
V R M
V V n R n
im
m
mt
R
m
Z
Mt
R
M
T
T
t t
R R R
T R t T R R
R
T R R R
Espacio recorrido por filete en 1 vuelta
Tiempo en dar 1 vuelta
minuto
m
porque
y ZR
1
2
2
2 2
Formas constructivas
1) RUEDA Y TORNILLO CILÍNDRICOS
59
Mecanismos
Ilustración 55
2) TORNILLO CILÍNDRICO Y RUEDA GLOBOIDE
Ilustración 56
3) TORNILLO Y RUEDA GLOBOIDE
Ilustración 57
60
Mecanismos
Construcción:a) Rueda con tornillo fresa.b) Tornillo con fresa o torneado.c) Materiales de bajo coeficiente de roce.
Tornillo acero. Rueda bronce fosforoso.
ASPECTO EXTERIOR
Ilustración 58
Transmisiones por Tornillo sin finSi se tiene que trasmitir cargas considerables, del orden de decenas y centenares de kilovatios, con una gran relación de transmisión, se emplean las transmisiones por tornillo sin fin. Las formas deseables de los cuerpos primitivos de los elementos de la transmisión de este tipo se representan más abajo.
Las ventajas de las transmisiones por tornillo sin fin comprenden: a) compacidad, es decir posibilidad de efectuar grandes relaciones de
engra-naje, siendo relativamente pequeñas las dimensiones exteriores de la transmisión;
b) seguridad de funcionamiento y sencillez de servicio; a) posibilidad de autofrenado. Las relaciones de engranaje que se conside-
ran normales para las transmisiones por tornillo sin fin de fuerza son i = 25 200; más raramente se emplean las relaciones de engranaje i = 25 8.
61
Mecanismos
Ilustración 59
Ilustración 60
Existen también transmisiones por tornillo sin fin con relaciones de engranaje muy altas, del orden de 500-1000, pero en estos casos estas transmisiones se emplean para transferir pequeñas potencias.
A continuación se enumeran los inconvenientes de estas transmisiones:
1. grandes pérdidas de potencias; o sea bajo rendimiento mecánico.2. necesidad del empleo de bronces de alta calidad;3. necesidad del empleo de herramientas e instrumentos muy caros.
Para fabricar una rueda helicoidal de precisión es necesario disponer de fresas sin fin que correspondan a los parámetros del tornillo, en el par con el cual deberá después trabajar dicha rueda dentada.
Acciones reciprocas entre rueda y tornillo
62
Mecanismos
Ilustración 61
TORNILLO MOTOR : H = PN . COS N
63
Mecanismos
Fx = - H cos n + Pn sen n
Fy = - Pn sen n
FZ = - H sen n - Pn cos n
como H = Pn cos n
Fx = - Pn [cos n cos n - sen n]
Fy = - Pn sen n
FZ = - Pn [cos n sen n + cos n]
Si la rueda es motora :Fx = - Pn [ cos n cos n + sen n]
Fy = Pn sen n
FZ = - Pn [cos n sen n - cos n]
Reacciones de apoyo
En el tornillo
Ilustración 62
Para la rueda es similar.
64
Mecanismos
Condiciones de ReversibilidadResulta de interés determinar la fuerza tangencial que debe aplicarse al engranaje motor para que la F tangencial del conducido tenga un valor determinado.
Si el tornillo es motor
F
F
F
Fmotor
cond
z
x
n m m
n m m.
cos sen cos
cos cos sen
Si suponemos n = 0; cos n =1
F F F
F F
z xm m
m mx
m
m
z x m
sen cos
cos sen
tg
tg
tg tg
1
Si la rueda es motora
Fx = -Pn (cos n cos n + sen n)
Fy = - Pn sen n
FZ = -Pn (cos n sen n - cos n)
F
F
F
F
F F
F F
motor
cond
x
z
n m m
n m m
x zm m
m m
m
m
x zm
.
cos cos sen
cos sen cos
cos sen
sen cos
tg
tg
tg
1
1
Cuando la rueda es motora no siempre es posible la transmisión del movimiento.
n > condición de reversibilidad.n < condición de irreversibilidad.
Rendimiento
65
Mecanismos
Si el tornillo es motor
pot. ú til en la rueda
pot. motor en el tornillo
V F
V FR x
T z
VN = VR cos n = VT sen m,
V
VR
T
m
mm
sen
costg
Ilustración 63
V
VF
F
F
F
Si
N
m
N
m
X
Zm
x
Z
mn m m
n m m
n m
mm
m
m
m
cos
sen
. tg
tgcos cos sen
cos sen cos
cos
tgtg tg
tg tg
tg
tg
0 1
1
; y tg =
66
Mecanismos
Derivando se obtiene que el rendimiento máx. se verifica para n = 45º - /2
Ilustración 64
= 0,02
= 0,05 = 0,1 a 0,15
y
VV
V
dT
d
cos
,
24
0 6
Ilustración 65
Tornillos muy bien tallados.En baño de aceite, valor común en ascensores.En rozamiento seco.
Algunos autores sostienen que depende de la velocidad de deslizamiento.
67
Mecanismos
Con Vd en [pies/minuto]
68
Mecanismos
4.4. MECANISMOS DE ENGRANAJES
Pares de Engranajes.El conjunto o juego de 2 engranajes, de los cuales uno es motriz o conductor y el otro conducido, recibe el nombre de par de engranajes.
Sean para el engranaje conductor:
n1 : número de vueltas por unidad de tiempo.z1 : número de dientes.Dp1 : diámetro de la circunferencia primitiva.
y n2 , z2 , Dp2 los valores correspondientes al engranaje conducido.
Ilustración 66
Se define como relación de transmisión RT del par, a la relación:
69
Mecanismos
in
n
2
1
2
1
Teniendo en cuenta la igualdad de las velocidades tangenciales a la altura de las primitivas, en el caso de ejes paralelos y concurrentes:
vt = .Dp1 . n1 . = . Dp2 . n2
y además por la igualdad de módulos en ambos engranajes
Dp1 = z1 . M Dp2 = z2 . M
se puede expresar:
in
n
Dp
Dp
z
z
2
1
2
1
1
2
1
2
Estas distintas formas de expresar la RT no son todas generales, es decir no son aplicables cualquiera sea el tipo de engranajes considerado. Por ejemplo, la tercera forma: Dp1 / Dp2 no expresa en general la RT de un par de ruedas helicoidales para ejes alabeados donde intervienen otros factores.
En cambio son expresiones generales:
in
n
z
z
2
1
2
1
1
2
La expresión i = 2 / 1 permite definir signo al valor de i. Si bien no es común tener en cuenta el signo de i, en algunas aplicaciones resulta muy útil.
Adoptando una terna de referencia los vectores tendrán un signo que se considerará
en el módulo i =
2
1
será z positivo o negativo según coincidan o no los signos
de 1 y 2
70
Mecanismos
Ilustración 67
En consecuencia resultará:
i < 0 cuando exista inversión del sentido de giro en la transmisión del movimiento.i > 0 si no hay inversión.
Es común denominar Rueda al engranaje de diámetro mayor y Piñón al de diámetro menor.
Un par es multiplicador cuando | i | > 1 | n2 | > |n1 |
Un par es reductor cuando | i | < 1 | n2 | < |n1 |
En los reductores el piñón es motor y la rueda conducida, y viceversa en los pares multiplicadores.
Trenes de EngranajesCuando entre la rueda motora y la rueda conducida se intercalan otras ruedas dentadas para la transmisión del movimiento, se obtiene un tren de engranajes.
Se define como relación de transmisión del tren a la siguiente relación:
in
nu 1
v / min. del ultimo engranaje del tren.
v / min. del primer engranaje del tren.
si | i | > 1 el tren es multiplicador.
71
iz
z
2
1
1
2
iz
z
2
1
1
2
Mecanismos
| i | < 1 el tren es reductor.
i será (+) cuando la última rueda gire en el mismo sentido que la primera; y será (-) en caso contrario.
Los trenes de engranajes tienen por fin fundamental obtener relaciones de transmisión de un orden tal que no sea posible conseguir con un solo par de engranajes.
Por ejemplo:La relación i de un par de engranajes reductor de ejes paralelos y dientes rectos se aconseja no sea inferior a 1/5 a fin de evitar interferencias y además para que no resulten ruedas de demasiado diámetro. Una relación del orden de 1/12 por ejemplo, puede conseguirse utilizando dos pares de relaciones 1/3 y ¼ .
Relaciones de MomentosEn algunos casos es muy útil considerar la relación de momentos (cuplas) aplicadas a la entrada y salida del tren.
El momento resistente aplicado a la primer rueda motora y el momento resistente aplicado a la última rueda conducida son, respectivamente:
M
M
M
mm
ru
u
m
r
m u
u
m
u
mr
N
n
N
n
M
M
N n
N n
N
Ni
Mi
71620
71620
1
1
.
.
siendo N
Nu
m
el rendimiento de la transmisión.
72
Mecanismos
Clasificación de los Trenes de Engranajes
Ordinarios
Simples
Compuestos
Comunes
Coaxiles
caja de veloc. automotriz.
mecanismos de relojeria.
cajas de maq. herram.
Planetarios
y
Diferenciales
Planos
Pares Simples
Con ruedas parasita
Trenes
Simples
Compuestos
Coaxiles (Pecquer)
Esfericos diferencial del automovil
Trenes ordinariosSon aquellos en los cuales la posición relativa de los ejes de los engranajes que los componen se mantiene fija.
Se designan como trenes simples aquellos que tienen una rueda sobre cada eje y por trenes compuestos a los que tienen dos o más ruedas en por lo menos uno de sus ejes.
Sea por ejemplo, el tren de engranajes representado en la figura, formado por 5 engranajes:
73
Mecanismos
Ilustración 68
La RT es: in
n
Nº vueltas del ultimo engr.
Nº vueltas del primer engr.5
1
Si expresamos las RT parciales:
in
n
n
n
n
n
n
n
2
1
3
2
5
4
5
1
. .
dado que n3 = n4
Se puede definir:i = producto de las RT parciales
Expresando en función de los número de dientes:
iz
z
z
z
z
z
z z
z z
1
2
2
3
4
5
1 4
3 5
. . .
.
Se observa que las ruedas 1; 2 y 4 son conductoras y las 2; 3 y 5 conducidas, en consecuencia la RT del tren también puede expresarse por:
i producto de los Nº de dientes de los engr. conduct.
producto de los Nº de dientes de los engr. conducidos
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Mecanismos
Puede notarse que en el ejemplo considerado la rueda 2 influye únicamente en el signo de la RT y no en su valor.
Este tipo de rueda se llaman parásitas .
Cuando en un eje intermedio se monta una sola rueda, ésta es parásita.
Trenes CoaxilesSon aquellos en los cuales coinciden la recta de acción de los ejes de la primera y última rueda.
Los trenes coaxiles no presentan respecto de los trenes comunes ninguna particularidad excepto que por la condición geométrica impuesta, no existe tanta libertad para fijar el número de dientes de las ruedas.
En el tren coaxil de dos etapas indicado en la figura, la coaxialidad impone la siguiente condición:
R1 + R2 = R3 + R4
Si además M es constante
RM z
ii
.
2
z1 + z2 = z3 + z4 I
y la RT
75
Mecanismos
iz z
z z 1 3
2 4
.
.II
Ilustración 69
DETERMINACIÓN DEL NÚMERO DE DIENTESEn un reductor, al transmitir la misma potencia a través de todas las ruedas, resulta que la cupla transmitida por el último engranaje es mayor que la transmitida por el primero.
En consecuencia el diseño podrá hacerse con distintos módulos. En general es conveniente disponer las mayores reducciones en los ejes de mayor velocidad.
La distribución de las reducciones entre los sucesivos pares de un tren puede complicarse cuando se requieren relaciones de transmisión exactas.
Ejemplos de Trenes de Engranajes1. Caja de velocidades de un automóvil.2. Tren de retardo de un torno.3. Caja Norton de los tornos.4. Tren del mecanismo horario de un reloj.
Trenes PlanetariosLos trenes planetarios son aquellos en los cuales los ejes de algunos de los engranajes se desplazan con respecto a los ejes de los otros engranajes que componen el tren.
Estos mecanismos incluyen como componentes:
1. un engranaje llamado Sol.2. uno o varios engranajes llamados Satélites.3. un brazo Porta satélite.
76
Mecanismos
EPICICLOIDAL HIPOCICLOIDAL
Ilustración 70
Al rodar los satélites sobre el sol describirán en su movimiento epiciloides o hipocicloides. Por esta razón se denominan mecanismos epi o hipocicloidales.
Pueden distinguirse:
1. Los planetarios planos cuando todos los ejes son paralelos y en consecuencia los engranajes cilíndricos.
2. Los planetarios esféricos cuando los ejes son concurrentes y en consecuencia los engranajes cónicos.
Estudio Cinemático de los Mecanismos PlanetariosPara analizar las velocidades en estos trenes existen varios métodos, por su potencialidad y simplicidad. utilizaremos el método de la formula de WILLIS.
Método de la fórmula de WILLISEn este método se tiene en cuenta que el movimiento de cada rueda podrá considerarse como absoluto (respecto del bastidor, supuesto fijo) o relativo respecto del brazo porta satélite que es móvil.
Para cada rueda i corresponde considerar:
1. una velocidad angular absoluta ni.2. una velocidad angular relativa al brazo (B) niB.3. una velocidad angular de arrastre del brazo (B) o una velocidad
angular absoluta del brazo nB.
Recordando la expresión del movimiento relativo; la velocidad absoluta es igual a la velocidad relativa más la velocidad de arrastre, tendremos:
ni = niB + nB
expresión valida para todos los valores de i = 1; ... ; u siendo u el número total de ruedas.
Si se supone el brazo fijo, el mecanismo resulta un tren ordinario y la RT relativa al brazo, por definición:
in
n
n n
n nuB
B
u B
B
1 1
veloc. angular de la ultima rueda
veloc. angular de la primer rueda
77
Mecanismos
como por otra parte la RT de un tren es: i = producto RT parciales,
producto RT parc.=
n n
n nu B
B1
que es la expresión de la formula de Willis.
La formula de Willis permite relacionar los Nº de dientes de los engranajes que componen el tren con las velocidades angulares.
De esta manera es posible resolver la totalidad de los problemas que se presentan, aún cuando el mecanismo actúe como diferencial que es cuando se imprimen movimientos distintos a dos de los elementos del tren, por ejemplo al brazo y una de las ruedas, resultando el movimiento de las resultantes.
Ejemplos y Aplicaciones
1) JUEGO EPICICLOIDAL SIMPLE
z
z
n n
n nB
B
1
2
2
1
formula que resuelve el sistema
Ilustración 71
a) si la rueda 1 es fija: n 1 = 0
y si nB es motor
78
Mecanismos
z
z
n n
nB
B
1
2
2
in
n
z
zB
2 1
2
1
si la rueda 2 es motora
in
n
z
z zB
2
2
1 2
b) si el brazo es fijo n B = 0 y el sistema es un par ordinario
in
n
z
z 2
1
1
2
2) JUEGO HIPOCICLOIDAL SIMPLE
z
z
n n
n nB
B
1
2
2
1
fórmula que resuelve esta configuración
79
Mecanismos
Ilustración 72
a) si la rueda 1 es fija n 1 = 0 y si nB es motor.
z
z
n n
nB
B
1
2
2
in
n
z
zB
2 1
2
1
y si la rueda 2 es motora.
in
n
z
z zB
2
2
1 2
3) JUEGO CON RUEDA PARÁSITA
.
z
z
z
z
n n
n nB
B
1
2
2
3
3
1
z
z
n n
n nB
B
1
3
3
1
fórmula que resuelve esta configuración.
Ilustración 73
80
Mecanismos
a) si la rueda 1 es fija n 1 = 0. El juego es epicicloidal.
z
z
n n
ni
n
n
z
zB
B B
1
3
3 3 1
3
1
b) si la rueda 3 es fija n 3 = 0. El juego es hipocicloidal.
z
z
n
n ni
n
n
z
zB
B B
1
3 1
1 3
1
1
c) si 1 y 3 son motores y B conducido actúa como mecanismo diferencial.
z
z
n n
n n
n n z n n z
n z n z n z n z
n z z n z n z
nn z n z
z z
B
B
B B
B B
B
B
1
3
3
1
1 1 3 3
1 1 1 3 3 3
1 3 1 1 3 3
1 1 2 3
1 3
. .
Trenes PlanetariosCuando sobre el brazo móvil se montan varios engranajes se tiene un tren planetario.
En este caso se aplica la fórmula de Willis de la misma manera que en los planetarios simples.
Sea por ejemplo:
81
Mecanismos
Ilustración 74
. .
z
z
z
z
z
z
n n
n n
z z
z z
n n
n n
B
B
B
B
1
2
2
3
4
5
5
1
1 4
3 5
5
1
a) si la rueda 1 es fija n 1 = 0 y B es motriz:
z z
z z
n n
ni
n
n
z z
z zB
B B
1 4
3 5
5 5 1 4
3 5
1
Ejemplo:Si
z1 = 80z2 = 20z3 = 20z4 = 30z5 = 121
in
nB
5 180 30
20121
1
121
.
.
TRENES PLANETARIOS COAXILESComo en el caso de los trenes de engranajes de ejes fijos, puede disponerse un tren planetario de manera que los ejes motriz y conducido sean coaxiles, obteniéndose un tren planetario coaxial.
82
Mecanismos
a) Tren planetario coaxial epicicloidal (Tren de Pecquer)
.
z
z
z
z
n
n
n n
n nB
B
B
B
1
2
3
4
4
1
4
1
z z
z z
n n
n nB
B
1 3
2 4
4
1
Formula que resuelve esta configuración.
Ilustración 75
Si la rueda 1 es fija n1 = 0 y el brazo motor :
z z
z z
n n
ni
n
n
z z
z zB
B B
1 3
2 4
4 4 1 3
2 4
1
=
Ejemplo:
si z1 = 49z2 = 50z3 = 51z4 = 50
in
nB
= 4 149 51
5050
1
2500
.
.
de manera que por cada 2500 resoluciones del brazo, la rueda 4 experimenta sólo 1 vuelta.
b) Tren planetario coaxial hipocicloidal
83
Mecanismos
.
z
z
z
z
n
n
n n
n nB
B
B
B
1
2
3
4
4
1
4
1
z z
z z
n n
n nB
B
1 3
2 4
4
1
formula que resuelve esta configuración.
Ilustración 76
Si la rueda 1 es fija, la rueda 4 conducida y el brazo motor, se tendrá:
z z
z z
n n
ni
n
n
z z
z zB
B B
1 3
2 4
4 4 1 3
2 4
1
Si B es fijo nB = 0 (deja de ser un planetario).
z z
z z
n
n1 3
2 4
4
1
resulta una inversión del movimiento.
Si la rueda 4 es fija n4 = 0, el brazo motor y la rueda 1 conducida:
z
z
n
n n
z
z
n n
n
z
z z
n
n
n
n
z
z z
B
B
B
B
B B
1 3
2 4 1
2 4
1 3
1
2 4
1 3
1 1 2 4
1 3
1 1
z
z
z
z
z i
z
84
Mecanismos
4.5. PROCEDIMIENTOS CONSTRUCTIVOS PARA LA FABRICACIÓN DE ENGRANAJES
A) Procedimientos por fundición : Las ruedas dentadas fundidas en moldes de arena, solo son convenientes para transmisiones de muy poca velocidad debido a que resultan con muy poca precisión y donde convenga obtener un precio muy bajo, como por ejemplo en maquinarias agrícolas, montacargas manuales, etc.Las ruedas dentadas obtenidas por fundición a presión son de pequeñas dimensiones y de materiales no ferrosos como aluminio, zamak, etc. o materiales plásticos. Se emplean en aparatos de mecánica fina en los que la exigencia de exactitud y el gran número de piezas justifican la construcción de las matrices necesarias.Para los mismos usos y por similares razones es muy común el procedimiento por embutido o estampado.
B) Procedimientos con útil de forma Son procedimientos que utilizan fresas o herramientas con formas adecuadas.
1) FRESAS DE FORMA
1.a) Fresas de disco: Son fresas cuyo perfil se corresponde con el hueco entre los dientes. El tallado se realiza girando la fresa y avanzando a lo largo del diente. Tallado un hueco la rueda se hace girar de un paso por medio de un divisor y se talla el siguiente hueco.
Ilustración 77
Se usa un juego de fresas para cada modulo, según el número de dientes.
85
Mecanismos
Distribución del juego de fresas(8 fresas para módulos M 10 mm.)
Fresa Nº 1 2 3 4 5 6 7 8Nº de dientes 12
131416
1720
2125
2634
3554
55134
135cremallera
para módulos M >10mm. existe una distribución similar.
El fresado de ruedas dentadas con divisor y fresas de disco produce ruedas que, si bien son apropiadas en mecanismos para aplicaciones corrientes, debe tenerse en cuenta que su empleo esta limitado a velocidades tangenciales bajas hasta un máximo de 5 m/seg.
Las ruedas con dientes inclinados también pueden fresarse con estas fresas de disco en la fresadora universal. En este caso la fresa corresponde al módulo normal (Mn = tn /) y no se escoge para el número de real de dientes sino para el numero de dientes teórico correspondiente a la sección normal a los dientes. El número de dientes teórico depende del ángulo de inclinación de los dientes y vale:
ZD
Mf
pc
n
cos .
1.b) Fresas de punta.
1.c) Cepillado y amortajado. Por medio de herramientas de filo guiadas por plantillas. Este procedimiento se utiliza para grandes pasos.
Ilustración 78
C) Procedimiento por generación El tallado, amortajado y rectificado de los dientes por el procedimiento de generación, es imprescindible para las ruedas dentadas de transmisiones
86
Mecanismos
rápidas de maquinarias en general, en maquina, herramientas y en construcción de automóviles.
Las herramientas usadas para el tallado por generación, son por lo general de corte múltiple, formando con sus filos cortantes, un piñón o una cremallera. La maquina tiene todos los movimientos apropiados para que la herramienta y la rueda a tallar rueden sin resbalar a la altura de sus primitivas y además se produzca el tallado. De este manera los flancos de todos los dientes se van perfilando progresivamente.
Una herramienta trabajando por generación puede tallar todas las ruedas de su modulo, cualquiera sea el número de dientes. Este detalle es importante por la reducción de herrametal que significa.
HERRAMIENTAS UTILIZADAS:
a) Tornillos Fresa con perfil de cremallera (Creadoras)b) Cremallera o peine (Maag y Sunderland)c) Piñón de amortajar (Fellow)d) Discos de piedra para rectificar.
c.1.) Tornillos Fresa : Consisten en un tornillo sin fin sobre cuyos filetes se hacen cortes y de esta manera obtener los bordes cortantes que producirán el tallado.
Ilustración 79
Los movimientos realizados en el proceso de tallado con tornillo fresa son:
Giro del tornillo fresa. Giro de la rueda a tallar de tal manera que la velocidad tangencial
a la altura de la circunferencia primitiva es exactamente igual a la velocidad axial del filete del tornillo fresa.
87
Mecanismos
Un movimiento de avance en el sentido axial de la rueda a tallar.
Ilustración 80
Dos formas de avance de la fresa.
Ilustración 81
Máquina creadora o Pfauter con herramienta de tornillo fresa.
2) CREMALLERA O PEINE El perfil se genera por las sucesivas posiciones que relativamente van ocupando los flancos de los dientes de la cremallera.
88
Mecanismos
Ilustración 82
3) PIÑÓN DE AMORTAJAR Sigue el mismo procedimiento pero la herramienta en vez de ser una cremallera es un piñón de 32 dientes. De esta manera es posible tallar dentados interiores.
Ilustración 83
89
Engranaje a tallar
HerramientaLa herramienta ademas de girar tiene un movimiento vertical alternativo
Ambas giran Engranaje a tallar
Herramienta
Mecanismos
Procedimiento de la GLEASON WORKS para la generación de dientes en engranajes cónicos.
Ilustración 84
El campo de aplicación del procedimiento por generación no se limita a las ruedas dentadas, con él se pueden construir todos los perfiles que se repiten de un modo uniforme con tal que su forma permita el movimiento de rodadura como por ejemplo arboles estriados, ejes poligonales, dentados triangulares, etc.
Acabado y rectificado de engranajesLas ruedas dentadas templadas para transmisiones rápidas y de mucha carga deben rectificarse en los flancos de los dientes debido a las inevitables deformaciones que se producen durante los tratamientos térmicos.
La mayor parte de las maquinas de rectificar ruedas dentadas trabajan según el procedimiento de generación. El útil de estas maquinas esta constituido por dos
90
Mecanismos
piedras dispuestas de tal manera que forman el flanco de los dientes de una cremallera.
Ilustración 85
FuncionamientoLas máquinas MAAG de rectificar los engranajes trabajan segun el proceso de generación, por medio de dos muelas en forma de plato. El plano de rectificación formado por el borde de la muela en rotación representa el flanco de una cremallera que engrana con un diente del engranaje a rectificar.
El movimiento de generación se produce por medio de arcos de rodamiento y de cintas de acero, de conformidad con la evolvente teórica del circulo de base correspondiente al arco de rodamiento. El movimiento de avance tiene lugar en la dirección del eje del engranaje a rectificar y, durante esta carrera, todo el ancho de los dientes pasa debajo de las muelas. El avance se para automáticamente, después de una o dos pasadas; al mismo tiempo se inicia el movimiento de división.
El plano de rectificación toca cada flanco en dos puntos, o en el punto más bajo de la muela, según la disposición de las muelas. Por ser muy reducida la superficie de contacto, el desarrollo de calor es insignificante, no precisando, pues, las máquinas MAAG de dispositivos de refrigeración por agua para evitar las resquebraduras o el requemado sobre los flancos de los dientes. El polvo que procede de la rectificación lo elimina un dispositivo de aspiración incorporado a la máquina. El desgaste de las muelas es compensado automáticamente cuando alcanza 1000 mm., por intervención
91
Mecanismos
de un dispositivo patentado. La mayoría de las máquinas MAAG de rectificar los engranajes pueden suministrarse con dispositivo de corrección de la cabeza y del pie de diente, y ciertos tipos de máquinas con dispositivo de bombeado sobre toda la anchura del diente.
La rueda dentada que se ha de rectificar se hace rodar sobre esta cremallera. Despues de esmerilar un par de flancos se hace girar la rueda en un paso y asi se procede sucesivamente. Según la forma de las piedras y la relación de la velocidad de avance con la de rodamiento la superficie de los flancos que se labran resultan diferentes.
Así, por ejemplo, las piedras de plato de borde estrecho al avanzar lentamente y con giro rápido a lo largo de los flancos, producen un esmerilado cruzado (MAAG); las muelas cónicas o de doble cono, al avanzar rápidamente con rotación, producen un rectificado estriado (Niles y Kolb).
El afeitado de los dientes de los engranajes (Lapping) es un proceso que produce un alisado de los flancos que da por resultado una reducción del ruido del engranaje en marcha. Debido a la pequeña cantidad de material; que se saca en la operación, no se pueden corregir defectos bastos de la forma de los flancos.
Algunas veces el engranaje previamente se desbasta en maquinas fresadoras o mortajadoras y luego del tratamiento térmico se terminan en máquinas por generación, resultando así un procedimiento preciso y económico.
Actualmente el terminado se realiza con gran precisión mediante el procedimiento de Shawing que consiste en el engrane con un engranaje - herramienta constituido con dientes de flancos estriados y montado sobre un eje alabeado. El deslizamiento axial que se origina por esa disposición de los ejes hace que los flancos de los dientes del engranaje a terminar queden completamente lisos por el efecto de rascado o afeitado producido por las estrías del engranaje - herramienta.
Ilustración 86
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Mecanismos
Ilustración 87
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Mecanismos
Rectificadora
Ilustración 89
94
Tallado en SUNDERLAND por generación.
Ilustración 88
Mecanismos
Materiales usados para la construcción de engranajesLa industria usa para la construcción de engranajes una amplia variedad de aceros, fundiciones, bronces, aluminios, laminados fenolicos, plásticos y algunos otros materiales. Pretender exponer en forma amplia y exhaustiva el tema escapa a los limites de este trabajo. En consecuencia, en lo que sigue se enunciarán únicamente los elementos básicos que gobiernan el problema.
En la practica, generalmente ocurre que las posibilidades de adquisición en plaza, existencia de materiales en stock o simplemente especificaciones generales de diseño, limitan a unos pocos los materiales posibles de usar. De ellos nos limitaremos a los materiales ferrosos por ser los mas importantes.
Materiales ferrosos:Los aceros provenientes de las acerías pueden ser forjados o laminados en frío o en caliente. Este origen trae como consecuencia una falta de uniformidad en la dureza. Por lo tanto el material generalmente es normalizado para uniformar su dureza, eliminar tensiones internas y facilitar así el control de sus características mecánicas.
En los derivados del hierro, la presencia de carbono modifica profundamente sus características de tal manera que pueden clasificarse en:
Fundiciones :Cuando el contenido de Carbono es elevado, del orden del 2 al 4%.
Aceros :Con porcentajes de Carbono del 0,15 a 1,5 %.
Hierros :Con porcentajes por debajo del 0,15 %.
En los aceros principalmente, pequeñas variaciones en el contenido de Carbono modifican substancialmente sus características y su respuesta a los tratamientos térmicos. Esta circunstancia puede apreciarse fácilmente con la observación de las tablas generales de materiales.
Por esta razón distintas normas (SAE, AISI, etc.) especifican en forma muy precisa los contenidos tanto de Carbono como de cualquier otro elemento agregado para mejorar o atenuar características interesantes en las distintas aplicaciones.
Estas normas son muy estrictas asegurando al usuario la calidad requerida del material pero trae como consecuencia un costo mas elevado. En algunas aplicaciones, sin embargo, los requerimientos son mas amplios y, en consecuencia, existen en el marcado los llamados aceros comerciales que con tolerancias mas bastas en las especificaciones de los elementos agregados resultan siempre mas baratos que los que responden a normas.
95
Mecanismos
Generalmente la composición de los aceros comerciales es similar a la de algún acero especificado bajo norma. El comportamiento podrá predecirse entonces bastante correctamente por comparación pero distintas partidas podrán arrojar diferencias en lo que hace a las distorsiones producidas, la dureza no alcanzará su valor con la misma temperatura y en algunos casos el exceso de impurezas podrá reducir la resistencia en forma significativa.
Con los aceros comerciales pueden fabricarse excelentes engranajes para aplicaciones definidas con la ventaja comercial y administrativa de su menor costo y facilidad de obtención.
Para aplicaciones criticas es conveniente el uso de aceros normados pues se aseguran los resultados requeridos y distintas partidas o series en elaboración no traerán dificultades importantes.
Aceros al carbono y aceros aleados.Las exigencias de algunas aplicaciones obligan a usar aceros en los cuales con el agregado de nuevos elementos se modifican sus propiedades mejorando sus aptitudes. Estos aceros llamados aceros de aleación o aceros aleados en general son de mayor costo con respecto a los aceros al carbono, pero sus ventajas suelen ser notorias y en muchos casos justifican su uso.
En consecuencia el uso de aceros al carbono o de aceros aleados depende ante todo de consideraciones económicas. En la mayor parte de los casos, el empleo de aceros al carbono es satisfactorio. En otros, las condiciones de servicio o de diseño pueden hacer conveniente aprovechar las ventajas de los aceros aleados pero, de todas maneras, nunca se justifica su uso si no están tratados térmicamente.
Podemos agregar, que en la actualidad son tantos los aceros disponibles en el mercado, que el proyectista se encuentra a menudo desconcertado respecto a que acero usar. Como orientación general puede considerarse que los aceros aleados ofrecen:
a) Para un mismo tratamiento térmico, toman mayor dureza y profundidad.b) Mayor tenacidad*(1)
c) Grano mas fino, por consiguiente mayor resistencia al impacto y al desgaste.
d) Mejores cualidades para el maquinado.e) Menores deformaciones por los tratamientos térmicos.
De todas maneras en las consideraciones económicas deben apreciarse conjuntamente el costo del acero y el costo del procesado. En general nunca conviene usar aceros
*(1) Capacidad de un material de absorber energía en la zona plástica a diferencia de la resiliencia que es en la zona elástica
96
Mecanismos
con aleaciones mayores de las necesarias. Si el desgaste es un problema importante puede ser conveniente un alto contenido de carbono, en un bajo contenido de carbono.
Tratamientos térmicos apropiados
El tratamiento térmico de los aceros y de los metales en general es un proceso de calentamiento y enfriamiento controlado que produce cambios en la estructura intima de los granos del metal, provocando alteraciones en las propiedades físicas que pueden aprovecharse para determinadas aplicaciones. Este proceso se verifica acentuadamente en los aceros con alto contenido de Carbono y en los aceros de aleación.
RECOCIDOConsiste en un calentamiento del metal a una temperatura ligeramente superior a la temperatura critica, seguido de un lento enfriamiento en el mismo horno, obteniéndose una igualación en la estructura del grano, una disminución de la dureza y un aumento en la ductibilidad. Generalmente el recocido reduce la resistencia a la tracción. Las deformaciones y las tensiones internas debidas a tratamientos previos de endurecimiento son también eliminados por este proceso de recocido.
NORMALIZADOEs una forma de recocido, pero en este caso, el enfriamiento no se hace en el mismo horno sino que se permite a la pieza enfriarse en el aire quieto son corrientes. Es usado para eliminar los efectos de cualquier tratamiento previo y con el objeto de producir una estructura granular uniforme antes de que se apliquen otros tratamientos térmicos.
TEMPLADOEl templado de los aceros se consigue por un rápido enfriamiento de los mismos desde una temperatura superior a la critica. Este enfriamiento se obtiene por inmersión en agua fría, agua tibia, aceites, plomo fundido, o una corriente de aire exenta de humedad. La dureza resultante se debe a la formación de una estructura denominada martensista. El grado de dureza depende de la cantidad de carbono presente y de la velocidad del enfriamiento. El tratamiento térmico del templado aumenta la resistencia y la resistencia al desgaste, pero lo hace mas quebradizo y le disminuye notablemente la ductibilidad.
REVENIDOEste tratamiento consiste en un recalentamiento lento del metal templado para restaurar algo de su tendencia a ser quebradizo. El aumento de la tenacidad así obtenido es a expensas de una disminución de la resistencia. También el revenido tiene por objeto eliminar las tensiones producidas durante el proceso de temple.
97
Mecanismos
CEMENTACIÓNEl proceso de cementado consiste en calentar el metal en un ambiente rico en Carbono durante un cierto tiempo. En estas condiciones el acero toma carbono del medio ambiente produciéndose una carburación que alcanza cierta profundidad (del orden del milímetro). Terminado el proceso de cementado la pieza puede templarse tomando el temple correspondiente al contenido de carbono alcanzado. Por supuesto que las mayores durezas se alcanzaran en las capas superficiales.
Este tratamiento es muy importante y en consecuencia se han desarrollado distintos procedimientos como la cementación carburante, cianuración, inducción, etc.
ENGRANAJES CEMENTADOSLa resistencia al desgaste de los engranajes es aproximadamente proporcional al cuadrado de la dureza superficial. Esto significa que un diente con una dureza de 600 Br es capaz de transmitir una potencia 9 veces mayor que la de un engranaje de dureza de 200 Br.
En general el limite de maquinabilidad es alrededor de los 350 Br Además la resistencia limite a la flexión de dientes endurecidos es máxima entre los 400 y 450 Br. Tendiendo a decrecer a mayor dureza.
Esta situación lleva el problema a como aprovechar las ventajas de una gran resistencia al desgaste con dureza por encima de los 350 Br y al mismo tiempo tener buena resistencia a la flexión sin problemas de precisión derivados de las deformaciones propias de los tratamientos térmicos.
La solución del problema puede lograrse con endurecimientos parciales localizados donde convenga.
Lo que sigue resume los métodos de cementación mas comúnmente usados, en los cuales se consigue que la superficie del flanco del diente sea muy dura mientras que el núcleo, el cuerpo y cubo de la rueda sean de mediana o baja dureza. Aunque no se pasa de los 500 Br. los dientes con estos tratamientos pueden llevarse hasta durezas del orden de los 600 Br. (60 Rockwell C).
1. Cementación Carburante: Es uno de los métodos más usados. Los dientes son tallados y después de la cementación y templado sufren algún proceso de rectificación o terminado final por las deformaciones que provoca el tratamiento. Los engranajes de diámetros menores de 300 mm. sufren una distorsión suficientemente baja como para admitir su uso sin rectificaciones posteriores.
98
Mecanismos
Los aceros usados son de 0,10 a 0,25% de Carbono. Este porcentaje puede subir en la capa de cementación hasta 1,4% pero los mejores resultados en dureza y resistencia a la fatiga se obtienen con contenidos en dicha capa superficial del 0.80 a 0.90 %. El control del porcentaje de Carbono se obtiene regulando la riqueza del medio carburante. La profundidad de la capa de cementación se regula con probetas de prueba que se van retirando y midiendo la profundidad alcanzada.
La llanta, cuerpo y cubo del engranaje no deben ser cementados, en consecuencia se enmascaran durante el proceso o algunas veces también se cementan pero la superficie carburada, se quita por maquinado antes del temple.
2. Cianuración. Muy similar a la anterior. El medio carburante son sales de Cianuro de Potasio.
3. Nitruración. Este proceso de cementación se aplica únicamente a aceros especiales (Nitralloys) en una atmósfera gaseosa de amoníaco disociado. Si el trabajo es correcto la distorsión es mínima, pero el espesor de cementación es pequeño y no admite rectificación.
4. Inducción. Los dientes son endurecidos bajo la acción de corrientes eléctricas de alta frecuencia.
99
Mecanismos
4.6. DIMENSIONAMIENTO DE ENGRANAJES
El calculo de la capacidad de los engranajes para transmitir potencia es un proceso complejo dado el gran número de variables que influyen en los resultados.
Indudablemente el destino o aplicación del engranaje incidirá en la importancia relativa de cada una de esas variables. De su correcta consideración surgen distintos criterios de calculo para alcanzar en cada caso el mejor comportamiento.
Los criterios generalmente utilizados para el dimensionamiento de los engranajes son los criterios de durabilidad y resistencia que consideran las dos fallas fundamentales que limitan la capacidad de los engranajes :
Durabilidad :El desgaste prematuro de los dientes significa una falla inadmisible que se produce no por abrasión sino por fatigas superficiales.
Resistencia :Es evidente que los dientes deben tener la resistencia necesaria para soportar las cargas que le serán aplicadas, sin deformaciones permanentes, roturas o fatiga.
Los resultados obtenidos con estos dos criterios de calculo serán función de las cargas aplicadas en los dientes, por lo tanto la naturaleza y características de las mismas es importante interpretar adecuadamente.
Denominaremos carga transmitida Pt a la fuerza originada por la potencia en juego. Esta fuerza esta aplicada tangencialmente sobre la primitiva y su magnitud se expresa por:
PN
nDp
CVv
mincm
t
x
71620
21.
..
Se demuestra experimentalmente que, durante la acción del engrane se originan además efectos secundarios que obligan tener en cuenta cargas adicionales de magnitud creciente con la velocidad periférica. En efecto, recordemos que la acción desarrollada entre los dientes en contacto se efectúa según la normal común a los flancos. Esta normal que específicamente se ha definido como la recta de presión debe pasar en todo instante por el punto primitivo I formando el ángulo de presión con la tangente común a las circunferencias primitivas.
100
Mecanismos
Ilustración 90
El punto primitivo es invariable en el plano fijo y su invariabilidad implica la constancia de la relación 2 / 1 . Todo factor que perturbe esta condición fundamental originará variaciones de velocidad, que debido a la masa propia de los elementos en movimiento requieren fuerzas de inercia adicionales que pueden alcanzar valores muy importantes.
Las propiedades geométricas teóricas de las superficies usadas como conjugadas aseguran la invariabilidad del punto primitivo, pero las limitaciones propias de su realización practica introducen errores que, si bien con el grado de precisión actualmente alcanzado en la técnica están comprendidos dentro de tolerancias sumamente estrechas, influyen fundamentalmente en el comportamiento de los engranajes.
En realidad la magnitud de estos errores o tolerancias de fabricación responden mas a aspectos económicos que técnicos pero veamos someramente en que consisten:
Errores de forma :Toda discrepancia del perfil real con el teórico.
Error de paso :Toda discrepancia con la exacta división ó espaciado entre
dientes.Errores varios :
De montaje, alineación, excentricidades, balanceamientos, etc.
así como también factores como :
Elasticidad de los dientes, cuerpos y cojinetes.
101
Mecanismos
Flechas flexotorsionales de los ejes.Masa de los elementos en movimiento.
Ilustración 91
Oscilogramas tomados sobre dientes engranando demuestran la existencia de dos picos de carga. Por ejemplo en la figura que es un diagrama idealizado de la acción de las fuerzas desarrolladas entre dos dientes en contacto, en abscisas, desde el punto a hasta el punto k se representa el segmento de engrane y en ordenadas las fuerzas correspondientes.
Cuando un diente comienza su contacto, por cualquiera de los errores enunciados se produce una variación de velocidad que exige un rápido incremento de la carga a fin de vencer la inercia de las masas rotantes.
El efecto real es acelerar el engranaje conducido retardándose en conductor de tal manera que sus cambios de velocidad son proporcionales a sus masas relativas.
Esta fuerza de inercia alcanza un máximo y luego decrece cuando las masas rotantes establecen sus nuevas velocidades de tal manera que los dientes pueden llegar a perder contacto. Esta separación es inmediatamente anulada por la resistencia de la carga en el engranaje conducido que reduce su velocidad, mientras que la potencia aplicada acelera el conductor. Resultando que los dientes vuelven a tomar contacto, esta vez con un considerable impacto (de). El punto e representa esta fuerza de impacto máxima que recibe el nombre de carga dinámica Pd.
102
Mecanismos
Cuando la acción pasa el punto e se producen efectos oscilatorios por la elasticidad de los dientes, de valor medio (fg) interrumpidos en (gh) cuando toma contacto el par de dientes siguiente.Aún en el caso de perfiles teóricamente exactos, la acción de las cargas sobre cada diente en ningún momento es constante y la variación de las fuerzas en dirección y magnitud respecto del diente durante el proceso de engrane se sumarán a estos fenómenos siendo necesaria la consideración de los efectos de fatiga producidos por esta variación de carga.
Calculo basado en la DurabilidadLa falla de los engranajes por desgaste de los flancos de sus dientes constituye posiblemente la causa fundamental que limita su capacidad, particularmente en aquellas aplicaciones de gran velocidad periférica y funcionamiento continuo.
Bajo el punto de vista técnico el desgaste consiste en la remoción más ó menos uniforme de las capas superficiales del flanco del diente. El desgaste puede obedecer a razones de distinto origen :
a) Fatiga superficial ó picado (Pitting)b) Abrasiónc) Fallas de lubricación (Scoring)
A) FATIGA SUPERFICIAL Consiste en fallas superficiales por sobrepasarse las tensiones limites superficiales del material. Las tensiones en el contacto (Tensiones de Hertz) dan lugar a un campo de tensiones normales y tangenciales variables en el tiempo por así serlo las cargas que lo originan. De este campo de tensiones resultan las mas importantes, las tangenciales correspondientes a elementos superficiales
103
Mecanismos
orientados a 45º respecto de la carga de contacto estas tensiones intermitentes dan lugar a fenómenos de fatiga y conducen a la formación de pequeñas fisuras que comienzan en cualquier irregularidad estructural.
Las máximas tensiones rasantes se producen en las proximidades de la superficie de contacto, a una distancia del mismo orden que la deformación derivada de la acción de las cargas y las fisuras llegan luego de cierto tiempo
a la superficie, formando un hoyo ó pequeño pocito. Producido el picado, el fenómeno es luego creciente por cuanto al reducirse las superficies en contacto se incrementan las tensiones, acelerándose la formación de pocitos o picaduras.
Por esta razón el picado de los flancos puede ser caracterizado por tres diferentes tipos o grados: inicial o correctivo, destructivo y descascarillado.
El picado correctivo ocurre en pequeñas áreas sobretensionadas y tiende a distribuir la carga por su progresiva eliminación de tal manera que la carga se distribuye en forma mas uniforme, se reduce la acción de picado y resulta en cierto modo un pulido de la superficie.
El picado destructivo es más severo y consiste en pocitos de mucho mayor tamaño. La destrucción no admite recuperación alguna e inmediatamente se alcanza el descarrillado con reducción de la sección ya próxima a la rotura.
B) ABRASIÓN : Partículas extrañas en el aceite lubricante ó provenientes del mismo desgaste se interponen entre las superficies en contacto.
C) FALLAS DE LUBRICACIÓN : (SCORING)
Ilustración 92
104
Mecanismos
La rotura de la película lubricante en el área de contacto por cualquier causa, conduce a un contacto directo de los flancos que es motivo de su inmediata destrucción por roce. La elevación de temperatura puede alcanzar valores de magnitud tal que provoquen el fluir plástico del material. Este tipo de falla es un ejemplo característico de lo que, como veremos más adelante en lubricación, acontece al producirse la rotura de la película lubricante. El íntimo contacto de los metales produce pequeñas soldaduras con un efecto de corte, debido al movimiento relativo, que desplaza y destruye rápidamente las superficies metálicas. Aunque el origen de todo el proceso es la falla de la película lubricante su desenlace está influenciado por muchos factores, entre ellos las características relativas de los metales en contacto, terminados y tratamientos superficiales, velocidades, presión de contacto, características químicas, etc. .... que hacen del fenómeno un problema sumamente delicado.
Calculo basado en la resistencia - Ecuación de LEWISLa formula que a continuación desarrollaremos aunque fue presentado por Wilfred Lewis en el año 1892 sigue siendo con algunas variantes ampliamente usada en la actualidad.
Lewis considera el diente como una viga en voladizo empotrada, cargada por la fuerza Fn coincidente con la recta de presión.
Ilustración 93
Como puede apreciarse en la figura esta fuerza actuará consecutivamente a lo largo del flanco activo. De todas sus posiciones existirá una, la más desfavorable, que provocará las tensiones mayores en el diente. Lewis considera que para perfiles a evolvente la posición mas desfavorable coincide con la extrema Ke cuando el contacto está justamente terminado ó empezado. La fuerza normal Fn trasladada hasta el punto A, intersección en el eje del diente puede descomponerse :
105
Mecanismos
Fr Componente radial que actuará normalmente sobre las secciones transversales del diente y los solicitará a la compresión. Se transmite a través del eje de la rueda a los soportes ó cojinetes.
Ft Componente tangencial es la fuerza libre que hace girar la rueda conducida y solicita al diente a la flexión.
Lewis no considera la componente radial y basó su cálculo de resistencia en la tensiones de flexión producidas por la componente tangencial.
Ilustración 94
La sección más solicitada puede calcularse y ubicarse con el siguiente razonamiento. Trazada una parábola con vértice en el punto A y tangente a los flancos del diente según se indica en la fig. quedará representado el contorno del sólido de igual resistencia. Es evidente entonces que la sección más peligrosa del diente es la definida por los puntos de tangencia cd ya que cualquier otra sección tendrá un ángulo mayor que el definido en la parábola.
Podemos escribir :
106
Mecanismos
y si resulta
M W
F ha b
Fa b
hb
a
htt
ya
htF b y t
f
t
t
t
2
2 2
2
6
6 6
6
Si se multiplica y divide por se puede expresar en función del módulo Mt
con
Y = y
Ft = b Y M
La expresión ya
ht
2
6 recibe el nombre de factor de forma y en él reside la
originalidad del método ya que mediante este factor adicional que depende exclusivamente de las proporciones del diente permite estimar su resistencia. En efecto, a y h son dimensiones que pueden considerarse proporcionales al paso t, en
consecuencia yA t
Bt tx
2 2
6 por lo que y resulta independiente del paso. El valor = y
es equivalente.
Resulta entonces que para sistemas standard de perfiles es posible tabular el factor de forma en función del ángulo de presión y del número d dientes z.
Estudiaremos estos dos métodos mediante la aplicación de las fórmulas propiciados por AGMA y que los tienen como fundamento.
107
Mecanismos
Fórmulas propiciadas por AGMA
Durabilidad superficialLa tensión de contacto superficial máxima en los flancos de los dientes, según AGMA, se calcula con la fórmula :
H Po
V
S m fC
PC
C
C
D b
C C
I
.
Obtenida de la teoría de Hertz agregando factores modificativos adicionales y en donde P, la fuerza tangencial transmitida, se calcula con:
PN
nDZ
71620
11
Siendo P : fuerza tangencial transmitida (Kg) Cp : factor de elasticidad ( Kg/mm2
)N : potencia transmitida (cv) C0 : factor de sobrecargan1 : v/minuto del piñónCV : factor de velocidad o factor D1 : Diámetro del piñón (mm)
dinámicoCS : factor de tamañob : ancho del diente (mm)Cm : factor de distribución de car ga
108
Mecanismos
Cf : factor de condición superficial
I : factor geométrico
La tensión de contacto superficial máxima deberá ser :
Hws L H
T R
C C
C C
donde:
ws : límite de fatiga superficial admisible (según AGMA) (kg/mm2)CL : factor de vidaCH : factor de relación de durezasCT : factor de temperaturaCR : factor de confiabilidad
En consecuencia con el criterio de durabilidad superficial la fuerza tangencial capaz de transmitir un par dentado - cilíndrico es :
PC
C
bD
C
I
C C
C C
C C CV
O S m f
W L H
P T R
S
1
2
COEFICIENTE DE ELASTICIDAD CP
1 , 2 : relaciones de Poisson.E1 , E2 : módulos de elasticidad Kg/mm2.
k : factor que tiene en cuenta si el contacto es localizado o no. k = 1 : para engranajes de contacto no localizado (rectos, helicoidales, etc.) k = 1,5 : para engranajes de contacto localizado (la mayoría de los cónicos)
Valores de Cp para engranajes rectos y helicoidales k = 1 y = 0,30
Piñón Rueda
Material E1 Kg/mm2 Acero Fundició
n
Bronce de
AluminioBronce
AceroFundiciónBce de AlBronce
2.1 x 104
1.33 x 104
1.22 x 104
1.12 x 104
61545250
54484847
52484645
50464544
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Mecanismos
Ck
E E
p
1 112
1
22
2
FACTOR DINÁMICO CV
(Factor de velocidad)El factor dinámico considera el efecto de las sobrecargas de origen dinámico. Su evaluación es muy difícil y discutible.
Para evaluar con precisión el efecto de las cargas dinámicas se requieren procedimientos complicados y laboriosos que incluyen - el calculo detallado de los errores de fabricación, inercia, rigidez, etc., no solo de los dientes y del engranaje sino de los demás elementos en movimiento asociados con él.
Cuanto mayores son las velocidades de funcionamiento, los efectos dinámicos por los errores de fabricación son más importantes. En consecuencia, para la evaluación del factor de velocidad CV es necesario prever, por lo menos en líneas generales, el procesamiento a seguir en la fabricación de engranaje que, en cierto modo, también deberá ser congruente con la magnitud de la velocidad tangencial.
El factor dinámico CV depende de :
1. Efectos de los errores de paso y perfil del diente.2. Efectos de la velocidad tangencial sobre la circunferencia primitiva
y la velocidad angular.3. Inercia y rigidez de todos los elementos en rotación.4. Carga transmitida por unidad de ancho del diente.5. Rigidez del diente.6. Propiedades del lubricante.
En general CV responde a expresiones empíricas del tipo:
Ca
a vv
donde a es un número que considera los efectos antes enumerados y v la velocidad tangencial en m/seg.
Para engranajes cilíndricos pueden aplicarse las siguientes referencias :
110
Mecanismos
Ilustración 95
Fabricación Observaciones Utilizable hasta velocid. V (m/seg)
Muy alta precisión En maq. de generación con rectificación y shaving sin
Cuando por las cond. de funcionamiento puede asegurarse que las cargas dinámicas son despreciables
Cv = 1 50
tratamiento posterior Cuando pueden desarrollarse cargas dinámicas.
CvV
6
6 20
PrecisiónEn maq. de
Para dientes helicoi-dales
CvV
12
12 50
generación (Maag, Fellow, etc.)
Para dientes rectosC
vV 6
6 20
Mediana precisiónEn maq. creadoras
CvV
3
3 10
Comerciales económicosEn fresadoras universales
CvV
3
3 5
111
Mecanismos
Factor de sobrecarga C0
Este factor tiene en cuenta la uniformidad de operación tanto de la máquina motora como de la conducida.
En la selección del factor de sobrecarga debe tenerse en cuenta que muchas máquinas motrices desarrollan cuplas momentáneas apreciablemente mayores que las nominales.Para reductores de engranajes rectos y helicoidales AGMA recomienda usar los siguientes valores:
Maq. Motriz Carácter de la carga en la maq. conducidauniforme Choque moderado Choque pesado
uniformeChoque livianoChoque mediano
1.001.251.50
1.251.501.75
1.752.002.25
Esta tabla es válida para reductores solamente.
Para multiplicadores de engranajes de dientes rectos sumar 0.01 a los valores de la tabla. Para multiplicadores con engranajes helicoidales se requieren otras consideraciones.Como ejemplos se da a continuación la característica de la cupla de algunas máquinas motrices.
Uniforme : motores eléctricos.Choque liviano : turbinas y motores policilindricos.Choque mediano : motores monocilindricos y el carácter de la carga de algunas
máquinas conducidas.A continuación el caracter de la carga de algunas máquinas conducidas.
Uniforme : Generadores eléctricosTurbocompresoresCorreas transportadorasMontacargasAvances en máquinas herramientasAgitadores y mezcladores de líquidos homogéneos.
Choque moderado : Comandos principales de máquinas útiles.Montacargas pesados.Tambores de grúas.Ventiladores de minas.Bombas de pistones múltiples.
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Mecanismos
Choque pesado : Prensas de embutirLaminadoresCizallasPalas mecánicasBombas pesadasCentrifugas pesadas.
Factor de Tamaño CS
El factor de tamaño considera la falta de uniformidad en las propiedades físicas del material. Trata de considerar el conocido efecto del tamaño absoluto en los fenómenos de fatiga.
El factor de tamaño CS puede ser tomado igual a 1 para la mayoría de los engranajes, siempre que se haya previsto una adecuada selección del acero en relación al tamaño de la pieza y la profundidad alcanzada por el endurecimiento superficial del cementado.
Para engranajes de dientes rectos cementados de módulo menor de 15 mm. conviene incrementar CS hasta un máximo de 1.25.
Factor de distribución de carga Cm
Este factor evalúa los efectos por falta de uniformidad en la distribución de la carga a lo largo del ancho del diente.Depende de:
1. Desalineamiento de los ejes.2. Error de inclinación del diente.3. Deformaciones elásticas de los dientes, ruedas, ejes, cojinetes,
bastidores, etc.Para problemas muy importantes, estas deformaciones e inexactitudes deberán ser calculadas a fin de evaluar Cm. Para aplicaciones comunes AGMA recomienda la siguiente tabla para engranajes de dientes rectos:
Características Ancho b (mm)menor de 50
150 225 mayor de 400
Fabricación y montajes de precisión, deformaciones mínimas 1.3 1.4 1.5 1.8
Fabricación y montajes de precisión media, contacto en todo el ancho del diente
1.6 1.7 1.8 2.2
Fabricación y montaje de precisión tal
113
Mecanismos
que no llega a establecerse contacto en todo el ancho del diente
mas de 2.2
Para engranajes helicoidales pueden tomarse los mismos valores restándoles 0.1.
Factor de Condición Superficial Cf
Este factor depende de:1. Acabado superficial (si el flanco del diente es tallado, shaving,
hermanado, rectificado, granallado, etc.)2. Tensiones residuales.3. Efectos plásticos.
El factor Cf puede tomarse igual a 1 salvo que ensayos o la experiencia indiquen otro valor.
Factor geométrico IEl factor geométrico tiene su origen en el agrupamiento de algunos términos geométricos en la formula de Hertz. AGMA lo modifica por un nuevo factor mN que tiene en cuenta la repartición de la carga entre dientes simultáneamente cargados.
El factor geométrico puede calcularse con:
Im
m
mN
sen2 1
en la cual: : ángulo de presión.m : relación de transmisión D2 / D1 .mN : factor de distribución de carga.
Para engranajes de dientes rectos y considerando la peor condición del contacto (cuando un diente tiene toda la carga mN =1) AGMA da los siguientes gráficos, considerando como si, además, la carga actuara en el punto donde comienza el contacto.
Factor geométrico IPara ruedas cilíndricas de dientes rectos I
0.120
0.100 =14º 30’
0.080
0.060
114
Mecanismos
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Relación de transmisión m
I 0.14
02
0.120 z1 = 30
0.100 z1 = 24 = 20º
0.080 z1 = 16
0.060
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Relación de transmisión m
dentado standar plena profundidad I 0.120 z1 = 30
0.100 z1 = 24 =20º
0.080 z1 = 16
0.060
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Relación de transmisión m dentado STUB
Para engranajes helicoidales el factor geométrico puede calcularse con :
Im
m
mc c
N
sen cos 2 1
En la cual c es el ángulo de presión circunferencial. El factor de repartición de la carga puede tomarse:
mP
aNN
0 95.
Con PN paso normal a la altura de la circunferencia base y a el arco de engrane.
TENSIÓN LIMITE SUPERFICIAL ADMISIBLE WS (SEGÚN AGMA)Depende de:
1. Composición del material.2. Propiedades Mecánicas del material.3. Número de ciclos.4. Temperatura.5. Tamaño.
115
Mecanismos
6. Tensiones residuales.7. Tratamiento de endurecimiento.
Los valores recomendados por AGMA para propósitos de diseño, son los siguientes:
Material Tratam. Térmico Dureza superficial mínima
ws
Brinell Rockwell C Kg/mm2
Acero 8620
Acero 4140
FundiciónAGMA grado 20AGMA grado 30AGMA grado 40
CementadoCementadoTemplado revenidoTemplado revenidoTemplado revenidoTemplado revenidoTemplado revenido
Sin tratamientoSin tratamientoSin tratamiento
625575440360300240100
---175200
605550------------
---------
175140133112958066
213545
Estos valores corresponden a 10 millones de aplicaciones repetitivas de la carga.
FACTOR DE VIDA CL
El factor de vida ajusta la carga permisible para un determinado número de ciclos de operación de tal manera que el picado en el flanco no exceda el límite entre el picado correctivo y el picado progresivo.
Vida total requerida CL
10.000100.000
1.000.00010.000.000
1.51.31.11.0
La vida total requerida se medirá con el número de veces que se aplica la carga en el flanco del diente.
FACTOR DE RELACIÓN DE DUREZAS CH
Depende de:1. Relación de transmisión.2. Durezas de piñón y rueda.
Para engranajes de dientes rectos AGMA aconseja CH = 1.Para engranajes helicoidales los valores que se extraen del siguiente gráfico:
116
Mecanismos
K = Dureza Brinell del piñón Dureza Brinell de la ruedacuando K = 1.2 usar CH = 1.00
Ilustración 96
FACTOR DE TEMPERATURA CT
Si la temperatura de aceite o de la carga no excede de los 120º C puede tomarse CT = 1.
FACTOR DE SEGURIDAD CR
El mayor conocimiento y divulgación de las propiedades de los materiales, como del comportamiento de los elementos de máquinas sujetos a fatiga ha dado un significado más amplio al término “factor de seguridad”.
El concepto clásico del factor de seguridad tratando de prever la falla o de cubrir ignorancia es reemplazado por las nociones de riesgo o confiabilidad que con criterio estadístico prevé los porcentajes de fallas posibles.
Los valores recomendados para engranajes de dientes rectos y helicoidales son los siguientes:
Confiabilidad requerida CR KR
AltaSuperior al 99%
1.25 y mayor1.00
1.50 y mayor1.00
117
Mecanismos
Entre el 67 y 99% 0.80 0.70
Según esta tabla, falla no significa fractura inmediata por la aplicación de la carga, sino una vida más corta que la esperada.
Cuando se trabaja con la tensión de fluencia KR puede tomarse 1.33 para aplicaciones industriales y KR = 3 para alta confiabilidad cuando el pico máximo de la cupla motriz es conocido.
Flexión de los dientesLa fórmula AGMA de tensión en la base de un diente es una modificación de la fórmula de LEWIS . Se expresa en la forma siguiente.
P K
K M b
K
Jv
s m0 1 K
donde:P : Fuerza tangencial transmitida (Kg.)K0 : Factor de sobrecargaKv : Factor dinámicoM : Módulo (mm).b : Ancho del diente (mm)Ks : Factor de tamañoKm : Factor de distribución de carga.J : Factor geométrico.
La tensión así calculada deberá cumplir:
K
K W L
T RKdonde :W : Resistencia del material, igual, según los casos, al límite de fatiga o al
límite de fluencia admisible según AGMA.KL : Factor de vida.KT : Factor de temperatura.KR : Factor de confiabilidad.
Finalmente la fuerza tangencial capaz de transmitirse, según AGMA, por el criterio de flexión.
PK
K
b
K
J
K
K
K Kv
s m
W L
T R
0
M
FACTOR DINAMICO KV
118
Mecanismos
Este factor al igual que el CV ya visto, considera el efecto de las sobrecargas de origen dinámico. Depende de los mismos efectos enunciados para CV con excepción de la lubricación. En consecuencia en general puede tomarse KV = CV .
FACTOR DE SOBRECARGA K0
Puede tomarse K0 = C0
FACTOR DE DISTRIBUCIÓN DE CARGA KMDepende de los mismos efectos que el factor Cm en consecuencia para aplicaciones corrientes puede tomarse Km = Cm.
En aplicaciones de importancia principalmente en engranajes muy anchos debe evaluarse con cuidado ya que su valor es importante para definir la capacidad del engranaje.
FACTOR DE TAMAÑO KS
Depende de los mismos efectos que el factor Cs y son validas las mismas consideraciones. Puede tomarse Ks = Cs.
FACTOR GEOMETRICO JTiene en cuenta la influencia de:
1. Forma de diente2. Posición más desfavorable de la carga.3. Concentración de tensiones.4. Repartición de la carga entre 2 o más dientes.
Para engranajes de dientes rectos se debe tener en cuenta que si la precisión es alta la posición más desfavorable de la carga se situará en el punto más alto que alcance mientras trabaja un solo diente. En precisiones menores como no puede asegurarse que la carga se distribuirá entre los dientes en contacto simultáneo se supone la posición más favorable en el extremo de la cabeza del diente.
El gráfico siguiente dá el factor geométrico para dientes de evolvente sin corregir y ángulo de presión = 20º
119
Mecanismos
Número de dientes del engranaje cuyo factorgeométrico se desea
Ilustración 97
a) cremallerab) carga aplicada en el punto mas alto alcanzado mientras trabaja un solo diente.
(Engranajes de presión media).c) carga aplicada en extremo superior de la cabeza del diente. (Engranajes de baja
precisión).
En estas curvas se ha supuesto que el factor de concentración de tensiones geométrico kt no esta afectado por el acabado superficial, plasticidad, tensiones residuales, etc.Para otros casos AGMA dá procedimientos de cálculo. (sheet 225.01). Para engranajes helicoidales la posición más desfavorable de la carga ocurre cuando la línea oblicua de contacto pasa por el extremo superior de la cabeza del diente.
Resistencia del material W
Las tensiones máximas utilizadas en el cálculo de engranajes deben seleccionarse con sumo cuidado ya que para cada material varían considerablemente con el tratamiento térmico, composición del material, origen (forjado, fundido) y tratamientos especiales como el shot-peening.
En general se utiliza el limite de fatiga y los valores recomendados por AGMA son:
Material DurezaLímite de fatiga admisible (AGMA)
W Kg/mm2.
120
Mecanismos
mínima Engranajes dientes rectos
Engranajes helicoidales
Acero8620
Fundición AGMA grado 20AGMA grado 30AGMA grado 40
R55C450300180140
----175200
37 - 4632 - 3525 - 2818 - 2014 - 15
369
39 - 4632 - 4225 - 3218 - 2014 - 15
369
Son tensiones límites a flexión intermitente supuestas 107 aplicaciones de la carga.
Son valores nominales para aplicaciones generales que pueden ser reducidos si el material no es el adecuado para la aplicación.
Para engranajes locos y todos aquellos cuyos dientes están sujetos a tensiones alternativas se debe tomar el 70% de los valores tabulados. Cuando el engranaje está sujeto a grandes sobrecargas momentáneas la elección de la tensión máxima es conveniente, definida con criterio estático es decir con el limite de fluencia y no con el limite de fatiga.
En este caso AGMA recomienda el uso de las tensiones de fluencia admisibles siguientes:
Tratamiento térmico Dureza Brinell
r Kg/ mm2
Templado y revenido 400350300250200
11295776042
Recocido y normalizado 250200150
523521
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Mecanismos
Factor de vida K L
El limite de fatiga admisible según AGMA está ajustado a una vida de 107 ciclos. Para vidas menores es posible incrementar el límite de fatiga a los efectos de un mejor aprovechamiento del material. Este incremento se realiza con el factor de vida KL.
La evaluación precisa del factor de vida es difícil como consecuencia de que las tensiones desarrolladas en engranajes no son directamente proporcionales a la carga, la concentración de tensiones varía con el número de ciclos y además la pendiente de la curva = f (ciclos) en la región finita varía con el material, dureza y tratamiento térmico. Para engranajes de dientes rectos y helicoidales AGMA recomienda los siguientes valores de KL para ajustar la tensión admisible al número de ciclos de vida requerido:
Vida total Dureza Brinell Rockwellen ciclos 160 250 450 R 55C
1.00010.000
100.0001.000.000
10.000.000
1.61.41.21.11.0
2.41.91.41.11.0
3.42.41.71.21.0
2.72.01.51.11.0
FACTOR DE TEMPERATURA KT
Como factor de temperatura se empleará KT = 1 si la temperatura del aceite o del engranaje no excede de 70º C (160ºF).
w KL
W
n
Ilustración 98
122
Mecanismos
Hasta que haya más información disponible, se sugiere que se emplee para engranajes rectos y helicoidales la relación empírica.
KT
T 460
620
En la que T es la temperatura máxima del lubricante en grados - Fahrenheit.
Factor de seguridad KR
Ver CR
123
Mecanismos
INDICE – TOMO II
UNIDAD Nº 4 - ................................................................................................................... 1
DIMENSIONAMIENTO DE ENGRANAJES .................................................................. 1
4.1. LEY FUNDAMENTAL DEL ENGRANE.......................................................................1Perfiles conjugados empleados en la técnica.........................................................................3Propiedades de la curva evolvente........................................................................................5Acciones reciprocas entre dos curvas evolventes...................................................................7Ruedas cilíndricas de dientes rectos. Elementos geométricos. Definiciones.........................10Elementos Cinemáticos del Engrane. Definiciones..............................................................15Línea de Engrane...............................................................................................................16Flanco Activo:...................................................................................................................17Arco de Engrane:...............................................................................................................19Perfiles Normalizados Usuales:..........................................................................................23Interferencia en engranajes a evolvente...............................................................................26Perfiles Corregidos.............................................................................................................31Ruedas cilíndricas con dientes inclinados...........................................................................33Ruedas cilíndricas con dientes helicoidales........................................................................35Duración del engrane en engranajes helicoidales.................................................................384.2. ENGRANAJES PARA EJES CONCURRENTES............................................................43Engranajes cónicos con dientes curvos...............................................................................494-3- ENGRANAJES PARA EJES ALABEADOS..................................................................54Transmisiones por tornillo sin fin y rueda helicoidal...........................................................54Relación de transmisión.....................................................................................................57Transmisiones por Tornillo sin fin......................................................................................59Acciones reciprocas entre rueda y tornillo...........................................................................61Condiciones de Reversibilidad...........................................................................................634.4. MECANISMOS DE ENGRANAJES............................................................................66Clasificación de los Trenes de Engranajes...........................................................................70Estudio Cinemático de los Mecanismos Planetarios............................................................744.5. PROCEDIMIENTOS CONSTRUCTIVOS PARA LA FABRICACIÓN DE ENGRANAJES...81A) Procedimientos por fundición :.........................................................................81B) Procedimientos con útil de forma......................................................................81C) Procedimiento por generación...........................................................................82Materiales usados para la construcción de engranajes..........................................................914.6. DIMENSIONAMIENTO DE ENGRANAJES................................................................96Calculo basado en la Durabilidad.......................................................................................99Calculo basado en la resistencia - Ecuación de LEWIS.....................................................101Fórmulas propiciadas por AGMA.....................................................................................104Flexión de los dientes.......................................................................................................113Resistencia del material W..............................................................................................115
124
Mecanismos
INDICE – TOMO II ....................................................................................................... 119
TABLA DE ILUSTRACIONES .................................................................................... 121
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Mecanismos
TABLA DE ILUSTRACIONES
Ilustración 1......................................................................................2Ilustración 2......................................................................................3Ilustración 3......................................................................................4Ilustración 4......................................................................................4Ilustración 5......................................................................................5Ilustración 6......................................................................................6Ilustración 7......................................................................................7Ilustración 8......................................................................................8Ilustración 9......................................................................................9Ilustración 10..................................................................................10Ilustración 11..................................................................................11Ilustración 12..................................................................................15Ilustración 13..................................................................................16Ilustración 14..................................................................................17Ilustración 15..................................................................................18Ilustración 16..................................................................................19Ilustración 17..................................................................................22Ilustración 18..................................................................................23Ilustración 19..................................................................................24Ilustración 20..................................................................................24Ilustración 21..................................................................................27Ilustración 22..................................................................................28Ilustración 23..................................................................................29Ilustración 24..................................................................................32Ilustración 25..................................................................................33Ilustración 26..................................................................................34Ilustración 27..................................................................................35Ilustración 28..................................................................................36Ilustración 29..................................................................................36Ilustración 30..................................................................................38Ilustración 31..................................................................................39Ilustración 32..................................................................................39Ilustración 33..................................................................................41Ilustración 34..................................................................................42Ilustración 35..................................................................................43Ilustración 36..................................................................................45Ilustración 37..............................................................................45 Ilustración 38..................................................................................45Ilustración 39..................................................................................47Ilustración 40..................................................................................47
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Mecanismos
Ilustración 41..................................................................................48Ilustración 42-................................................................................49Ilustración 43..................................................................................50Ilustración 44..................................................................................51Ilustración 45..................................................................................51Ilustración 46..................................................................................52Ilustración 47..................................................................................52Ilustración 48..................................................................................53Ilustración 49..................................................................................54Ilustración 50..................................................................................55Ilustración 51..................................................................................55Ilustración 52..................................................................................56Ilustración 53..................................................................................56Ilustración 54..................................................................................57Ilustración 55..................................................................................58Ilustración 56..................................................................................58Ilustración 57..................................................................................59Ilustración 58..................................................................................59Ilustración 59..................................................................................60Ilustración 60..................................................................................60Ilustración 61..................................................................................61Ilustración 62..................................................................................62Ilustración 63..................................................................................64Ilustración 64..................................................................................64Ilustración 65..................................................................................65Ilustración 66..................................................................................66Ilustración 67..................................................................................67Ilustración 68..................................................................................71Ilustración 69..................................................................................72Ilustración 70..................................................................................73Ilustración 71..................................................................................75Ilustración 72..................................................................................76Ilustración 73..................................................................................76Ilustración 74..................................................................................78Ilustración 75..................................................................................79Ilustración 76..................................................................................79Ilustración 77..................................................................................81Ilustración 78..................................................................................82Ilustración 79..................................................................................83Ilustración 80..................................................................................84Ilustración 81..................................................................................84Ilustración 82..................................................................................85Ilustración 83..................................................................................85Ilustración 84..................................................................................86
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Mecanismos
Ilustración 85..................................................................................87Ilustración 86..................................................................................88Ilustración 87..................................................................................89Ilustración 89..................................................................................90Ilustración 90..................................................................................97Ilustración 91..................................................................................98Ilustración 92................................................................................100Ilustración 93................................................................................101Ilustración 94................................................................................102Ilustración 95................................................................................106Ilustración 96................................................................................112Ilustración 97................................................................................115Ilustración 98................................................................................117
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