Medida, simulación y análisis de eficiencia espectral para ...investigación se presenta un análisis de la eficiencia espectral de un canal MIMO real en condiciones de propa-gación

13SISTEMAS& TELEMÁTICA

Medida, simulación y análisis de eficienciaespectral para canales MIMO en entornos

indoor en la banda de 2 GHz*

Alexis Paolo García ArizaIngeniero Electrónico Universidad Industrial de Santander, E3T,2002.

Lorenzo Rubio ArjonaIngeniero de Telecomunicaciones. Universidad Politécnica de Valencia, España,

1996.

ABSTRACTThe space-time wireless communica-tion systems will use the advantagesof the MIMO (Multiple Input Multi-ple Output) channels. Precedentstudies have focused less attention onthe capacity analysis considering cor-related indoor channels under differ-ent frequency bands and polariza-tions. In practice, there is certain cor-relation degree between the differentpropagation sub-channels, whichmakes interesting to evaluate the

impact that this correlation has onthe system performance under differ-ent frequency bands and polariza-tions. The paper shows a detail studyaround of real MIMO channel and itsspectral efficiency behavior whenchange both the number of antennaelements and SNR (Signal to NoiseRatio). The results showed in the pa-per demonstrate that to increase thediversity order could not be a goodtechnique to improve the perfor-mance of the MIMO systems in some

Fecha de recepción: 20-01-2006 Fecha de aceptación: 20-04-2006

* Este trabajo ha sido financiado por el Programa AlBan, programa de becas de alto nivel de la UniónEuropea para América Latina, beca No. E04D044088CO, y por la Generalitat Valenciana dentro de laconvocatoria de ayudas 2006 para el desarrollo de proyectos de I+D+i.

14 SISTEMAS& TELEMÁTICA

highly correlated cases when picocellsor indoor environments are consid-ered. Besides, increasing the numberof array antenna elements, both inthe transmitter and receiver side, doesnot offer linear capacity increases un-der correlated cases. The results de-rived from a frequency measurementcampaigns performed between 2 and2.6 GHz show polarization depen-dence and less frequency band depen-dence in the MIMO channel correla-tion matrix for indoor environments.

In other hand, under the WSS (WideSense Stationary) channel conditionand guaranteeing a minimum SNRlevel, remarkable changes on the ca-pacity probability distribution func-tion shape, and on the cumulativedistribution function of the MIMOsystem eigenvalues, were observed indifferent correlated cases.

KEY WORDSCapacity, eigenvalues, mobile radiochannels, MIMO- Multiple InputMultiple Output, space-time commu-nications.

RESUMENLos futuros sistemas inalámbricos decomunicaciones digitales emplearántécnicas de procesado espacio-tiempo,como por ejemplo la transmisión através de múltiples canales de pro-pagación, para aumentar la capaci-dad frente a los sistemas tradiciona-les, en lo que se ha denominado sis-temas MIMO (Múltiple Input Múlti-ple Output). Aunque existen nume-rosas publicaciones sobre las posibi-lidades de mejora introducidas por lossistemas MIMO, en la mayor partede los estudios se asumen canalesincorrelados. En la práctica, existecierta correlación entre los diferentes

subcanales de propagación, por lo queresulta interesante evaluar el impac-to de la correlación sobre las presta-ciones del sistema en función de labanda de frecuencia y la polarizaciónutilizada en entornos indoor. En estedocumento se presenta un estudiodetallado de un canal MIMO real,analizando además, de forma simu-lada y referenciado a medidas, su efi-ciencia espectral cuando se modificael número de elementos de antena yel nivel de SNR (Signal to Noise Ra-tio). Se muestra que el incremento delorden diversidad del sistema podríano suponer una mejora significativaen la ganancia de los valores propiosdel sistema, en el caso de tener sub-canales con un alto grado de correla-ción, afectando así las prestacionesdel sistema MIMO. También se mues-tra que un aumento en el número deantenas, en lo que conforma el siste-ma radiante del transmisor y/o recep-tor, no necesariamente supone un in-cremento lineal de la capacidad si lossubcanales están correlados. Conbase en una campaña de medidas rea-lizada en el dominio de la frecuenciaentre 2 y 2.6 GHz, en un entorno in-door, se ha observado una dependen-cia de la matriz de correlación quecaracteriza el sistema MIMO con eltipo de polarización utilizado, y unmenor grado de dependencia con labanda de frecuencia. Además, pormedio de un análisis detallado de losvalores propios del sistema se ha en-contrado que un simulador basado enla transformada inversa de Fourier,utilizado para incluir la variabilidadtemporal de los subcanales de propa-gación aleatorios, presenta mejoresprestaciones que su contraparte IIR(Infinite Impulse Response). Por úl-timo, bajo la hipótesis de canal WSS(Wide Sense Stationary), garantizan-


do un nivel mínimo de SNR, y paradiferentes grados de correlación, sehan observado cambios significativostanto en la función de distribución deprobabilidad que caracteriza la capa-cidad, como en la función de distri-bución acumulativa que caracterizalos valores propios del sistemaMIMO.

PALABRAS CLAVECapacidad, Canal Radio Móvil, Co-municación Espacio-Temporal,MIMO - Múltiple Input MúltipleOutput, Valores Propios.

Clasificación Colciencias: A


INTRODUCCIÓNEn este artículo se da continuidad auna aportación previa sobre el mode-lado del canal radio móvil y los siste-mas MIMO.1 En esta contribución serealiza un análisis sobre un canalMIMO real con una mayor profundi-dad, ofreciendo al lector una nuevavisión sobre la actualidad de los siste-mas MIMO, sus alcances futuros y laslíneas de investigación relacionadas.

Como es bien conocido, el canal deradio móvil2 es un medio físico de co-municación altamente hostil queafecta directamente el comporta-miento de los sistemas de comunica-ción móviles digitales.3 Los futurossistemas de comunicaciones móvilesutilizarán técnicas de procesado es-pacio-tiempo,4 como por ejemplo elempleo de técnicas MIMO (MúltipleInput Múltiple Output).5 Estos siste-mas dispondrán de arrays de ante-nas en ambos lados del enlace, pu-diendo conseguir un incremento en laeficiencia espectral, tal como sugie-ren estudios realizados tanto a nivelteórico como a nivel práctico.6,7 Aun-que son numerosos los estudios pu-blicados sobre sistemas MIMO, se haprestado menos atención al análisisde la capacidad para subcanales co-rrelados (un grupo de subcanales con-forman un canal MIMO) en diferen-tes bandas de frecuencia y distintas

Tx2

Tx1

sMT(t)

s2(t)

s1(t) Rx1

RxTx

yMR(t)

Rx2

RxMRTxMT

y2(t)

y1(t)

Filtro Adaptado

Canal MIMO

Elemento de canal

Canal Desacoplado

Conformador

condiciones de polarización en esce-narios picocelulares o de interiores.

Estas diferentes configuraciones yentornos de propagación sobre loscuales se pondrán a prueba los siste-mas MIMO requieren del estudio decaracterísticas adicionales relaciona-das con el canal radio móvil. Es allídonde adquirirá un mayor grado deimportancia el análisis de la eficien-cia espectral del sistema y su relacióncon la naturaleza compleja del canal,la doble direccionalidad incluida, y losefectos de la correlación entre ele-mentos de canal (o subcanales de pro-pagación)8,9 sobre la ganancia dearray6 y sobre la ganancia de los ca-nales paralelo “independientes” (ocanales desacoplados que se diferen-cian de los subcanales de propagación)del canal MIMO; véase la Figura 1.

Siguiendo esta perspectiva, en estainvestigación se presenta un análisisde la eficiencia espectral de un canalMIMO real en condiciones de propa-gación para interiores. Se realiza unanálisis por valores propios del siste-ma MIMO, de capacidad media y deoutage, verificando además la ganan-cia de array y el orden de diversidadpara sistemas que trabajarán en labanda de 2 GHz. Por otro lado, se in-cluyen diferentes polarizaciones dearray (vertical y 45° en el transmi-

sor), buscando extraerde los análisis algunastendencias como conse-cuencia de factores ex-ternos, y definir así,cómo éstas afectan alcanal MIMO y a las pres-taciones del sistema.

El artículo está estructu-rado en cuatro secciones.En la primera se anali-

Figura 1. Configuración del array transmisor y receptorpara el análisis de un canal MIMO.


za la capacidad en sistemas MIMOcorrelados. En la segunda se abordael problema de la simulación y medi-da para evaluar la capacidad en ca-nales MIMO correlados; con la hipó-tesis de estacionariedad en sentidoamplio (WSS). En la tercera se anali-zan los resultados derivados de lacampaña de medidas realizada y losanálisis de eficiencia espectral en in-teriores. Finalmente, en la cuarta sepresentan las conclusiones más im-portantes derivadas de la investiga-ción.

I. CAPACIDAD EN CANALESMIMO CORRELADOSSe ha comprobado teóricamente6 quelos canales MIMO ofrecen la posibili-dad de un incremento lineal de capa-cidad en los sistemas que hace usode técnicas de procesado espacio-tiempo a medida que aumenta el nú-mero de elementos de array en am-bos lados del enlace. Este comporta-miento lineal es válido sólo en la hi-pótesis de incorrelación total entre loselementos que definen la matriz decanal, lo cual no siempre se da en lapráctica.

La capacidad de un canal MIMO estárelacionada con el número de cana-les desacoplados, k, y sus gananciasasociadas.6 Dicho número y ganan-cias dependen de la configuración delos arrays y del entorno de propaga-ción, que al final afectarán la corre-lación entre los elementos de la ma-triz del canal MIMO, ocasionando asíque existan más o menos canales des-acoplados con más o menos ganancia.

Se denominará H a la matriz que ca-racteriza el canal MIMO, de dimen-siones MR x MT, siendo MR y MT, elnúmero de elementos de antena en

los array receptor y transmisor, respec-tivamente (véase la Figura 1). En estaconfiguración MIMO sj (t) y yo/i

o(t) co-rresponden, respectivamente, a lasseñales banda base compleja trasmi-tida y recibida. Como aproximación,no se consideran efectos de los con-formadores de pulso y filtros adapta-dos en cada lado del enlace, restrin-giéndose el análisis a los elementosde canal o subcanales de propagaciónque unen el array transmisor con elreceptor Indica que los elementos decanal incluyen los posibles efectosderivados de las características de lasantenas en cada array, diferencián-dose además de los canales desaco-plados, o equivalentes, utilizados enlos análisis de capacidad MIMO.

La capacidad del canal MIMO vienedada en términos del sumatorio de lascapacidades individuales de cada ca-nal desacoplado mediante la expre-sión: 6,10

(1)

donde λ1 es la ganancia de cada sub-canal equivalente (o canal desacopla-do), P es la potencia total transmiti-da, y σ2 es la potencia de ruido. Enconcreto, el canal MIMO ofrece k ca-nales desacoplados, siendo k el ran-go de HHH (el superíndice H indicatranspuesta conjugada), estando limi-tados por k min {MT,MR,Q}, dondeQ corresponde al número de subca-nales discretos de propagación. Porotro lado, para los casos analizadosen este artículo se ha consideradouna distribución uniforme de poten-cia entre los elementos del arraytransmisor, de forma que en cada ele-mento j, Pj = P /MT. Téngase en cuen-


ta que no se está aplicando Waterfi-lling.6

La ecuación (1) puede escribirse tam-bién como:

C= log2 det I+ HHH , (2)

donde I es la matriz identidad y elproducto HHH es válido siempre ycuando H sea una matriz hermíticade dimensiones MR x MT,con MT ≥ MR . Partiendo de(2), el análisis del canalMIMO se puede realizarconsiderando las propie-dades de la matriz H. In-dicar entonces, que es im-portante garantizar quela matriz H esté normali-zada, sin importar la po-sición y entorno de análi-sis, debiendo cumplir conlas siguientes condicio-nes: 10

H MRMTE E

HHHH TrMR

i=1

MT

j=1

MR

l=1 (4)

Desarrollar con los requisitos ante-riores permite realizar un análisiscorrecto de la capacidad del canalMIMO parcialmente correlado conbase en los valores propios de la ma-triz HHH. En (3) y (4) hij correspondea cada uno de los elementos de lamatriz H del canal (subcanales alea-torios variables en el tiempo), E [.] aloperador valor esperado, al ope-rador norma cuadrada de Frobenius,Tr[.] al operador traza de una matriz,y λl son los valores propios de la ma-

Figura 2. Variación de la capacidad media conMT = MR = {1,2L 9}, SNR = {0,1L 20} [dB], fre-cuencia Doppler máxima de simulación de90Hz y 100 mil muestras. Casos en correla-ción total e incorrelación entre los elementosde la matriz del canal MIMO.

triz HHH, correspondientes a la ga-nancia de cada canal desacoplado.

Como se ha planteado para este tra-bajo, sería interesante determinar laeficiencia espectral de un canalMIMO en condiciones aproximadas alas reales. Para ello, como punto decomparación para la investigación, yutilizando las ecuaciones menciona-das anteriormente, se ha determina-do la capacidad media del canal en

los casos donde existe completa inco-rrelación entre los elementos de H, ydonde estos elementos están total-mente correlados; ello desde diferen-tes niveles de SNR. Como se puedeapreciar en la Figura 2, a medida queaumenta MR y MT el incremento dela capacidad se presenta únicamentecon tendencia lineal en condicionesideales de incorrelación entre los ele-mentos del canal MIMO.

(3)


Figura 3. Variación de la CDFde la capacidad con MT = MR ={1,2L 9}, SNR=20dB, frecuenciaDoppler máxima de simulaciónde 90Hz y 100 mil muestras.Casos en correlación total e in-correlación entre los elementosde la matriz del canal MIMO.

Por otro lado, en la Figura 3 se apre-cia la función de distribución acumu-lativa (CDF, Cumulative DistributionFunction) de la capacidad del canalMIMO, en las dos condiciones de co-rrelación para un nivel de 20 dB deSNR. Se observa que, tal como se in-dicaba en las ecuaciones (1) y (2), Ces un proceso dependiente del núme-ro de elementos de antena en losarrays, del nivel de potencia trans-mitida, de la potencia de ruido, y delas características de H. Esto últimohace de la capacidad un proceso alea-torio con una CDF y una función dedensidad de probabilidad (PDF, Pro-bability Distribution Function) espe-cíficas, que como se puede apreciarvariarán en función de la correlaciónentre los elementos de H. En estascurvas se consigue distinguir una delas situaciones más significativas enel uso de los canales MIMO: garanti-zar una decorrelación suficiente en-tre los elementos de canal. Ello sepuede lograr aprovechando los fenó-menos de propagación multitrayecto-ria aplicando diferentes técnicas detransmisión, buscando también unincremento en la eficiencia espectraldel sistema al aumentar el númerode elementos de antena en los arrays

transmisor y receptor. Esta condiciónse puede apreciar en la Figura 3, conun mayor impacto en la capacidadmedida del sistema para el caso (9,9),MT = MR = 9. Se observa que, para unenlace con 20 dB de SNR, el hecho demodificar la correlación entre los ele-mentos de la matriz del canal, al pa-sar de un estado totalmente correla-do a uno incorrelado, ocasiona una di-ferencia de capacidad de aproxima-damente 40 bits/s/Hz; véase tambiénla Figura 1 para el mismo caso a di-ferentes niveles de SNR.

II. SIMULACIÓN Y MEDIDASPara el estudio se ha realizado unacampaña de medidas en el dominiode la frecuencia, implementándoseademás un algoritmo para la simula-ción del canal MIMO que permitacomparar, en diferentes condiciones,las prestaciones obtenidas del siste-ma. A partir del modelo de variablealeatoria IID (Independent Identica-lly Distributed),10 en el cual todos loselementos de la matriz del canal es-tán incorrelados, se realizan compa-raciones con los canales MIMO cuyoselementos están total y parcialmen-te correlados.


Además, se ha establecido un proce-dimiento de validación de resultados,basándose en medidas en interioresrealizadas en el Instituto de Teleco-municaciones y Aplicaciones Multi-media (iTEAM) de la UniversidadPolitécnica de Valencia (UPV), don-de se ha utilizado un Analizador deRedes Vectorial, antenas omnidirec-cionales de banda ancha (respuestaplana entre 2 y 18 GHz y polariza-ción lineal) y diferentes configuracio-nes de array para distintos casos (véa-se la Figura 4). El entorno de análi-sis corresponde a un escenario de ofi-cinas, en una configuración con divi-siones blandas, ventanales, con unpasillo de comunicación y una estruc-tura de hormigón (véase la Figura 5).Alrededor del edificio se encuentrauna vía interna del campus de laUPV, una vía principal, un aparca-miento, y diferentes edificios de nomás de 5 plantas; todos ubicados auna distancia mayor de 60 m del cen-tro del entorno de medidas.

En esta investigación se han consi-derado diferentes configuraciones,relacionadas con la polarización delas antenas, separación entre elemen-tos, número de antenas en ambos

arrays, bandas de frecuencia, dos ti-pos de entorno en interiores diferen-ciados por las condiciones LOS (Line-Of-Sight) y N-LOS (No-LOS), y dife-rentes separaciones entre transmisory receptor (véanse las Figuras 4 y 5,y la Tabla 1).

A. Simulación de un canal MIMO debanda estrecha

Considerando el modelo estocásticode canal MIMO,12 se ha establecidoun procedimiento para la obtenciónde una matriz equivalente a la ma-triz del canal MIMO; ello a partir demedidas y haciendo uso de un algo-ritmo computacional. Esta matrizobtenida corresponde a un array bi-

Tabla 1. Separación entre elementos del arraytransmisor para cada una de las configuracio-nes del array receptor en las dos bandas deanálisis.

Separación en Longitudesde Onda (λ)

Casp Rx d(cm) Tx 2.0 GHz 2.6 GHz

(1) 5 0.3333λ 0.4333λ

(2) 10 0.6667λ 0.86667λ

(3) 15 λ 1.3λ

(4) 20 1.3333λ 1.733λ

Figura 4. Geometrías de las configuracionesde array en ambos lados del enlace. Las confi-guraciones para el receptor se han mantenidopara todas las bandas analizadas y polariza-das del transmisor.


Figura 5. Entornos de medida en interiorespara los casos LOS y N-LOS. Salas MCG-iTEAM de la UPV.

dimensional complejo de dimensionesMR x MT, que describe la transforma-ción lineal entre los dos arrays deantenas. Para el caso de estudio, loselementos de la matriz de canal sonlos coeficientes de transmisión com-plejos, αij , desde la antena transmi-sora j -ésima a la receptora i -ésimapara un canal de banda estrecha. Unadescripción matemática detallada delprocedimiento aplicado se puede en-contrar en.11

Para conservar la simplicidad del mo-delo se asume que αij , tiene una dis-tribución gausiana compleja de me-dia cero, lo que equivale a que αij ten-ga una distribución Rayleigh3 man-teniendo además la misma potenciamedia en todos los coeficientes.

Para el desarrollo de las simulacio-nes del canal medido, fue necesarioademás calcular los coeficientes decorrelación entre los coeficientes detransmisión que conectan los dosarrays de antenas (correlación entrelos elementos de la matriz de canal),y que se define por:

para i1 i2 y j1 j2, y bajo lasuposición de independenciaentre arrays, pues se conside-ra que la dispersión angular delos caminos de propagación10

vista por el array transmisorno está correlada con la disper-sión angular vista por el array

receptor. La ecuación (5) es aplicablea los valores obtenidos a partir de lamedida de la respuesta en frecuenciade cada subcanal de propagación.

En las condiciones anteriores, la ma-triz de correlación espacial del canalMIMO, R, podrá ser expresada me-diante el producto Kronecker entre latranspuesta de la matriz de correla-ción espacial del transmisor, , y lamatriz de correlación espacial del re-ceptor, Rr,:

10

Además, la matriz R será equivalen-te a la matriz de correlación calcula-da a partir de las medidas directasdel canal para cada posición deltransmisor y receptor. Gracias a ello,la simulación del canal MIMO par-cialmente correlado puede conseguir-se mediante la generación de MT x MRx k procesos aleatorios gausianoscomplejos e incorrelados (donde kserá el número de muestras de cadaelemento de canal de la matriz decanal MIMO), seguido de un filtradopara obtener la correlación deseadaentre elementos.

El proceso de filtrado, para generarlas matrices de canal H parcialmen-

(5)

Ventanal (vidrio)

Muebles

Equipo de medida

OutdoorOutdoor

(6)


te correladas, se realizó aplicando elmétodo de descomposición de raízcuadrada de una matriz estándar,denominado factorización estándarde Cholesky.13 Dicho método hace usode la matriz de correlación R del ca-nal, y se aplica si dicha matriz es cua-drada, simétrica y definida positiva.Además, a cada uno de los elementosαij, de la matriz del canal se le agregóel espectro Doppler deseado, para in-cluir así la variabilidad temporal delcanal. Este proceso aleatorio puedeser modelado utilizando distintos mé-todos. Para todos los casos presenta-dos en la investigación se ha utiliza-do un único algoritmo de simulaciónpara dichos subcanales de propaga-ción aleatorios variantes en el tiem-po, el cual está basado en la transfor-mada inversa de Fourier(IFFT, Inverse Fast FourierTransformation), y que fren-te al algoritmo de filtrado IIR(Infinite Impulse Response)presenta un mejor comporta-miento.

Se comprobó así las prestacio-nes del algoritmo basado enla transformada inversa deFourier realizando pruebascon diferente número demuestras por elemento de ca-nal y distintas frecuenciasDoppler. Como conclusión, unsimulador con 100 mil muestras porsubcanal de propagación, con un pe-ríodo de muestreo de 10-4 segundos,presenta un comportamiento acepta-ble; ello analizando las variables pre-cisión de los resultados y tiempo decómputo. En función de los resulta-dos obtenidos por medio del análisisde la ganancia de los valores propiosde la matriz HHH, al comparar el si-mulador IIR con el IFFT, y variando

Tabla 2. Desviación típica (STD) promedio dela variación en potencia media de los valorespropios y de la traza de HHH para un caso (4,4)cuando la frecuencia Doppler máxima del ca-nal varía entre 3 a 90 Hz; simuladores basa-dos en IFFT y filtrado IIR. Se han realizado 5simulaciones independientes, de 100 mil mues-tras cada una, con cada simulador, para obte-ner los valores promedio.

STD promedio por valor propio y traza [dB]

λλλλλ1 λλλλλ2 λλλλλ3 λλλλλ4 λλλλλ l

IIR 0.0595 0.0633 0.1011 0.2049 0.0551

IFFT 0.0216 0.0327 0.0638 0.1330 0.0117

la frecuencia Doppler máxima de lossubcanales de propagación entre 3 y90 Hz, se encontró una diferencia deprecisión de alrededor del 50% paratodos los valores propios calculadosen un caso IID de configuración (4,4)(Véase la Tabla 2).

Por otro lado, en la Figura 6 se puedeapreciar la función de distribuciónacumulativa de los valores propios y

Figura 6. Comportamiento del simulador delcanal MIMO por IFFT para el caso (4,4) condiferente número de muestras para cada ele-mento de canal. Función de distribución acu-mulativa de los valores propios de HHH. Lafrecuencia Doppler máxima utilizada fue de200 Hz y el período de muestreo establecidofue de 10-4 segundos.


de la traza de HHH, para el caso MT =MR = 4, con diferente número demuestras por elemento de canal ypara una frecuencia Doppler de 200Hz. Se encontraron pequeñas diferen-cias en las distribuciones según elnúmero de muestras utilizadas porsubcanal de propagación, incremen-tándose las diferencias al variar lafrecuencia Doppler de simulación, yhaciéndose más notorias para valo-res reducidos de potencia en cadavalor propio (los menos probables se-gún las curvas de CDF). Debido a loanterior, se optó por el análisis de lavariación en la potencia media de losvalores propios, lo cual se expone enla Tabla 2, y ha permitido confirmarque el simulador basado en IFFT esmás adecuado para la investigación.

Por último, indicar que el modelo decanal MIMO utilizado, y el procedi-miento aplicado para su simulación,proporcionarán una versión aproxi-mada de la matriz del canal MIMOpara un caso de canales banda estre-cha, y en las condiciones aquí anali-zadas. En posteriores investigacionesse buscará la formulación de un mo-delo de canal propio, validado y ajus-tado por medio de las medidas y si-mulaciones aquí expuestas.

B. Condiciones mínimas para lascampañas de medidas

Para garantizar la validez de las cam-pañas de medidas, se eligió un núme-ro mínimo de adquisiciones según elerror y varianza calculados a partirde la comparación del perfil de poten-cia (PDP, Power Delay Profile)3 obte-nido con el número máximo de adqui-siciones. Se constató que a partir de50 medidas se garantiza un error bajoy una estabilización de la varianza.Además, dada la posibilidad de va-

riabilidad del entorno, aun en condi-ciones controladas, se optó por tomareste valor de 50 medidas por posiciónde análisis, y obtener un valor pro-medio con las mismas, en busca deeliminar una posible variabilidadtemporal.

Indicar además que todas las medi-das se realizaron con un ancho debanda de 500 MHz (SPAN habilitadoen el Analizador de Redes Vectorial),y cada ventana espectral ubicada al-rededor de la frecuencia central de labanda en análisis; en nuestro caso a2 y 2.6 GHz. Dichas medidas se rea-lizaron en condiciones prácticamen-te de estacionariedad, por lo que elefecto Doppler podría considerarsedespreciable, pudiendo afirmar ade-más que el tiempo de coherencia3 ex-perimentado por el canal radio essuperior al tiempo necesario para laadquisición de las respuestas en fre-cuencia. Así, satisfaciendo la condi-ción de estacionariedad en sentidoamplio3 (canal WSS) y garantizandoque la relación señal a ruido fuesesuperior a 15 dB9 se garantiza la va-lidez y precisión estadística de losresultados obtenidos.

Por otro lado, al confirmar por mediode medidas de perfiles de potencia,que los difusores más cercanos seencontraban alrededor de los 20 ns(tiempo de llegada de las primerascontribuciones multicamino en unacondición LOS), se estableció 60 cmcomo longitud máxima de análisis porrecorrido para una posición determi-nada (10% de la distancia al difusorsegún las condiciones WSS para elcanal), lo que disminuye la distanciade muestreo espacial para examinarla fluctuación de la capacidad y de loscoeficientes de correlación del canal.


En concreto, para el escenario dondese efectuaron las medidas, los reco-rridos no superaron los 4λ de distan-cia para la banda de 2 GHz; véasenuevamente la Figura 5.

Así mismo, se definió en 5 MHz elancho de banda de análisis. Éste esutilizado como referencia para agru-par secciones de espectro sobre lasbandas de frecuencia estudiadas, ypoder así aplicar el procedimientomencionado en la sección anterior.Este valor se ha considerado como laalternativa más acertada para garan-tizar que todas las componentes es-pectrales estén correlacionadas encada ventana frecuencial. Además,dicho ancho de banda corresponde auna ventana espectral menor a la ocu-pada por el ancho de banda de cohe-rencia (Bc)

3 encontrado en la prácti-ca, pues los valores de delay spread3

medidos oscilaron entre 20 y 26 nspara condiciones LOS, y entre 45 y76 ns para N-LOS. En este sentido,se ha constatado que para el entornoanalizado los valores más probablesde Bc están alrededor de 20 MHz,14 locual deja un amplio margen a la ven-tana elegida, evitándose posibleserrores en el procesado de los datosobtenidos en la campaña de medidas.

Por último, indicar que el efecto quesupone el acoplamiento mutuo, exis-tente entre los elementos que confor-man el array, y que afecta a los coefi-cientes de correlación entre los sub-canales, puede considerarse despre-ciable,15 por lo cual no se ha analiza-do en la investigación realizada.

C. Condiciones WSS del proceso alea-torio de medida

Por medio de un análisis estadísticodel proceso aleatorio bajo medida

puede garantizarse la correcta con-formación del array sintetizado encondiciones controladas tomando unaaproximación WSS en el canal. Lasmedidas realizadas corresponden a larespuesta en frecuencia de los ele-mentos de canal MIMO, que se handenominado , tomando un anchode banda de 500 MHz alrededor de2.0 y 2.6 GHz (Véase la Figura 7).

Para el caso de estudio, el procesoaleatorio utilizado para los análisisde eficiencia espectral corresponde auna porción de la respuesta en fre-cuencia del canal, en concreto, la res-puesta ubicada dentro de una venta-na de 5 MHz (rango considerado es-table y que es menor que el ancho debanda de coherencia). Esta ventanade análisis se denominará . Así,el proceso variable en el tiempo (que es complejo), será un procesoaleatorio cuando el valor de , encualquier tiempo fijo t=t1, correspon-da a una variable aleatoria, la cualdeberá tener definida una PDF, unaCDF, un valor esperado, media, va-rianza y desviación estándar especí-ficos. Debido a que t1 puede tomarcualquier valor, los parámetros paradicha variable aleatoria podrían serfunciones del tiempo. Lo anterior in-dica que para garantizar la estacio-naridad en el proceso sus propieda-des estadísticas no deberán cambiarcon el tiempo. Así, la función de den-sidad de probabilidad p(.) para el pro-ceso aleatorio , deberá satisfa-cer:

p(T ’(f), t1)= p(T ’(f), t1 + ’), (7)

donde τ’ corresponde a un tiempo ar-bitrario de desplazamiento. Ade-más, para garantizar que el proceso


sea WSS, la función de autocorrela-ción de ,

(8)

deberá ser función exclusivamentedel desplazamiento temporal τ’:

(9)

De esta manera, si , es WSS,su espectro de potencia estará deter-minado por la transformada deFourier de su función de autocorre-lación:

d

Figura 7. Respuesta en frecuencia Tw(f,t) delos elementos de canal MIMO para el caso (9,9),con 5 cm de separación entre elementos de an-tena en ambos lados del enlace y polarizaciónvertical. a) a 2.0 GHz, b) a 2.6 GHz.

(10)

El modelo de canal MIMOutilizado en esta investiga-ción7 hace una suposición deconfianza sobre las condicio-nes WSS antes mencionadas.Es así, y por regla general,que además de garantizar elescenario WSS al buscar en-tornos de medida estaciona-rios, los difusores encontra-dos en los trayectos de pro-pagación (véase la Figura 8),deberán estar a 10 veces eltotal de la distancia recorri-da por el transmisor deprueba. Esta distancia co-rresponde a la distancia deanálisis local, definida en lasección anterior en 60 cmpara la banda de 2 GHz, y alo largo de ella se deberáconseguir apreciar un fren-te de onda uniforme para ga-rantizar así la condiciónWSS en la campaña de me-didas.

En la práctica, para entornos de in-teriores especialmente, puede nocumplirse con la anterior premisa,requiriéndose en algunos casos lamedida del PDP para establecer lostiempos de llegada de las componen-tes multicamino y definir así las dis-tancias a los difusores más próximos.

Figura 8. Condición WSS para la toma de me-didas en un recorrido dentro de un entornoIndoor (caso ejemplo).

(b)

(a)


Como ya se mencionó, la distanciapropuesta por recorrido en cada loca-lización del array transmisor es deaproximadamente 4λ a 2 GHz(aproximadamente 60 cm para pro-pagación en espacio libre). Esto hacenecesaria una separación entre reco-rrido y difusor de aproximadamente40λ (alrededor de 6 metros a 2 GHzen espacio libre), algo difícil de cum-plir en todos los entornos de interio-res (Figura 5), pero fundamental parala validación de modelos de canal.

Por otro lado, ha de considerarse ade-más que para el modelo de canal im-plementado, y para los casos de aná-lisis aquí presentados, también se harecurrido a la aproximación de scat-tering incorrelado (US, UncorrelatedScattering),10 convirtiendo la aproxi-mación del canal a WSSUS (WideSense Stationary Uncorrelated Scat-tering). Esto supone que, además deconsiderar la estacionalidad del ca-nal, los difusores que causan los efec-tos multicamino están incorrelados.

Avanzando un poco más en el análi-sis de las condiciones WSS, y defi-niendo la función de auto-covarianza

para el proceso aleatorio, como

£T (t1,t2)= E [T ’(f,t1)T ’*(f,t2)]

-E[T ’(f,t1)]E [T ’*(f,t2)] (11)

la condición WSS para esta mismaestará determinada por:

(12)

En condiciones prácticas, como en elcaso de las muestras obtenidas en lainvestigación, la ergodicidad en lasmedias se

asume en un sentido local, de mane-ra que la estima de

pueden ser definidassobre un intervalo finito 2T como:

(13)

(14)

con

Aunque las consideraciones presen-tadas anteriormente no tienen efec-tos sobre los análisis dados a conti-nuación, dan una visión amplia so-bre los posibles análisis requeridosalrededor de un canal MIMO real.Para entornos Indoor u Outdoor, seresalta la importancia de cumplir conlas condiciones WSSUS del canal, oen su defecto aproximarse a ellas.

III. ANÁLISIS DE RESULTADOSLos resultados obtenidos indicancambios significativos en la capacidaddel sistema MIMO y en la gananciade array para los diferentes casos(MT,MR) analizados, para las distin-tas relaciones señal a ruido, y sin con-siderar en ningún momento Waterfi-lling.6

Se constató que la configuración (4,4)proporciona 11 bits/s/Hz como capa-cidad promedio en condiciones de in-correlación entre los elementos de lamatriz H (condición IID), 10.5 bits/s/Hz en el caso parcialmente correla-do, y 4.7 bits/s/Hz para el caso total-mente correlado; a diferencia de los3 bits/s/Hz para el canal SISO (Sin-


Figura 10. Variación de la capacidad mediacon MT = MR = {1,2L 9}, SNR = {0,1L 20 dB},para los casos totalmente correlado e incorre-lado en la matriz del canal MIMO. Efectos demantener constante el número de elementosde array mientras se aumenta el SNR.

Figura 9. Capacidad al 10% de Outage paracanales MIMO incorrelados, totalmente corre-lados y parcialmente correlados con 0.7λ deseparación en el array, condición N-LOS y SNRde 10dB. a) a 2 y 2.6 GHz en polarización 90°.b) a 2 y 2.6 GHz en polarización a 45°.

gle Input Single Output), con un ni-vel de 10dB de relación señal a ruidoen todos los análisis.

Los resultados obtenidos para unaprobabilidad de outage del 10% indi-can una disminución en la capacidaddel sistema MIMO de entre 3 y 4 bits/s/Hz para todas las configuraciones(MT,MR), frente a la capacidad mediadel canal (compárense la Figura 2 yla Figura 9), lo cual se ha apreciadopara los casos totalmente correlado eincorrelado. La Figura 9 ha sido ob-tenida, en el caso parcialmente corre-lado, para un array con separaciónentre elementos de 0.7λ, en condiciónN-LOS, 2 y 2.6 GHz de frecuenciacentral, polarización a 90° y 45°, y10dB de SNR.

Por otro lado, al analizar la variaciónde la capacidad del sistema en fun-ción del nivel de SNR, manteniendoconstante los valores de MT y MR, seencontró una dependencia no lineal(véase la Figura 10), la cual ademásdepende del grado de correlación en-tre los elementos de la matriz H delcanal. Para el caso (4,4) la capacidaddel canal se incrementó en alrededorde 7 bits/s/Hz al pasar de 0 a 10 dBde SNR, y en 11 bits/s/Hz al pasar de10 a 20 dB. En el caso (9,9) las dife-rencias fueron notorias, encontrándo-se un incremento de aproximadamen-te 17 bits/s/Hz al pasar de 0 a 10 dBde SNR, y de aproximadamente de 25bits/s/Hz al pasar de 10 a 20 dB.

Por otro lado, el efecto de la correla-ción sobre la función de distribuciónde probabilidad de la capacidad esmuy claro (véase la Figura 11). Se haobservado cambios significativos enlas formas de su distribución paradiferentes niveles de relación señal aruido, además de cambios importan-


tes en la media de cada distribución.En este sentido, es predominante eldecremento no lineal de la capacidaden todas las configuraciones, lo quese puede apreciar tanto en la Figura9, para las capacidades a 10% de pro-babilidad de outage, como en la Figu-ra 11 para la distribución general.

Se pudo apreciar además que tantola correlación como el incremento delnúmero de elementos en los arraystransmisor y receptor ocasionan uncambio importante en el comporta-miento estadístico de la capacidad.Ésta podría ser modelada a través deuna distribución gausiana en los ca-sos parcialmente correlados donde elnúmero de elementos de array enambos lados del enlace es elevado;esto se aprecia claramente para laconfiguración (5,5) parcialmente co-rrelada de la Figura 11.

Figura 11. Funciones de distribución de pro-babilidad (PDF) de la capacidad para MT ={3,4,5} y MR = {3,4,5} en canales MIMO inco-rrelados, correlados y parcialmente correlados(parcialmente correlado: 0.7λ de separación enel array, N-LOS, 2 GHz, polarización verticaly 10dB de SNR).

Por otro lado, para el caso (3,3) seobtuvo una ganancia de array deaproximadamente 9.5 dB (que corres-ponde a la ganancia del valor propiomás grande de la matriz HHH), ello

para el caso totalmente correlado, loque supone un incremento de alrede-dor de 1.5 dB con respecto al canalMIMO IID (véase la Figura 12). Tam-bién se ha observado que el orden dediversidad alcanzado con una confi-guración de array (4,4), puede ofre-cer una ganancia por diversidad de16dB para el 99% de las muestrasestadísticas; esto para canales IID.

En el análisis de la matriz del canalMIMO haciendo uso de la matrizHHH, se ha observado que para algu-nos casos donde existe correlaciónentre los elementos de la matriz H, ycon MT > MR, mejorar la ganancia delos valores propios más pequeños po-dría no ser una técnica adecuada yaque no existirían cambios importan-tes en las prestaciones del sistema.Esto se puede apreciar en la Figura12, donde el área más oscura mues-tra que no hay mejoras significativasentre los diferentes casos para MT >4 y MR = {2,3}. En concreto, para unaconfiguración inicial con 2 elementosde antena en el array receptor y másde 4 elementos en el transmisor, y conun grado de correlación elevado en H,el hecho de aumentar el número de

Figura 12. Ganancias de array (MT = {1,2L,40},MR = {1,2,3}) para los casos MIMO total-mente correlados e incorrelados.


elementos receptores a 3 no signifi-caría una mejora sustancial en lasprestaciones del sistema, pero sí unincremento innecesario en la comple-jidad hardware del equipo receptor.

Las anteriores afirmaciones generanuna posible confusión alrededor delanálisis de la ganancia de array, puesdicha ganancia se incrementa con lacorrelación entre los elementos de H.En este sentido, ha de tenerse encuenta que el incremento en la corre-lación entre los subcanales de propa-gación causa un empeoramiento im-portante en la capacidad del canalMIMO, tal como se aprecia en las Fi-guras 9, 10 y 11, pues la ganancia delos valores propios más pequeños dis-minuye en gran medida, perdiéndo-se entonces parte de la capacidadMIMO de trasmitir por medio de ca-nales paralelo “independientes”.

Por otra parte, se han encontradograndes cambios en las distribucio-nes de probabilidad de las gananciasde los valores propios de HHH cuan-do se modifica el número de elemen-tos en los arrays transmisor y recep-tor. Ello se ha observado al incremen-tar el orden de diversidad del siste-ma en busca de mejorar la gananciade array; lo que se pudo constatarpara varias configuraciones MT > MR.Realizando una comparativa en loque correspondería a un escenario deenlace downlink indoor (tipo pico-cel-da donde el equipo transmisor tienela capacidad de albergar más elemen-tos hardware que el equipo receptor),se muestra en la Figura 13 las CDFde los valores propios de HHH paralos casos (4,4) y (9,4) en una configu-ración MIMO IID. Como se puedeapreciar, todos los valores propios (yen correspondencia la traza de la

Figura 13. Efectos del incremento del ordende diversidad para los casos (4,4) y (9,4) en uncanal MIMO IID: cambios en la ganancia delos valores propios de HHH.

matriz) sufrieron un incremento deganancia, siendo de alrededor de 12dB la del valor propio más pequeño(λ 4). Se pudo comprobar además quelas mejoras en la ganancia de los de-más valores propios son significati-vas, pero totalmente dependientes delgrado de correlación entre los elemen-tos de la matriz H, lo que afecta lasprestaciones del sistema tal como semencionó anteriormente.

Por otro lado, en las condiciones rea-listas de medida en el entorno pro-puesto, se encontraron algunas varia-ciones en la eficiencia espectral delsistema, provenientes del tipo de po-larización implementada y de la ban-da de frecuencia utilizada en las me-didas. Considere los casos (3,3) y (4,4)para los canales MIMO incorreladosy parcialmente correlados presenta-dos en la Figura 9; donde el caso par-cialmente correlado se ha obtenido demedidas a 2 y 2.6 GHz, con 0.7λ deseparación entre elementos de array,para las polarizaciones vertical y 45°,y a 10dB de SNR.

En estos casos se observó en la ma-triz de correlación del canal MIMO,R, una dependencia a la polarización


en cada uno de los escenarios anali-zados en interiores, y una menor de-pendencia a la banda de frecuenciaestudiada. Lo anterior se traduce enmodificaciones en la capacidad delcanal MIMO, lo cual se puede apre-ciar en las curvas de la Figura 9 paralos casos parcialmente correlados. Eneste sentido, se observaron leves me-joras en la capacidad al 10% de pro-babilidad de outage en los casos conpolarización a 45°, tanto a 2 y 2.6GHz, frente al caso con polarizaciónvertical. Lo anterior podría indicarque los subcanales de propagación seven modificados considerablementeal cambiar de polarización en eltransmisor, pero lo hacen en menorproporción al cambiar de banda defrecuencia.

IV. CONCLUSIONESLos resultados presentados han de-mostrado que la capacidad de un sis-tema MIMO para interiores es alta-mente dependiente de la correlaciónexistente entre los elementos de lamatriz del canal, lo cual ocurre endiferentes condiciones de entorno yconfiguración del sistema. Dicha de-pendencia está relacionada con lapolarización de los arrays, la separa-ción entre elementos, distancia entretransmisor y receptor, nivel de rela-ción señal a ruido, clase de entorno y,en menos proporción, con la variaciónde frecuencia de funcionamiento den-tro de la banda de 2 GHz.

Se ha constatado que el aumento delnúmero de elementos de array enambos lados del enlace en condicio-nes de correlación entre los elemen-tos de H no ofrece incrementos linea-les en la capacidad del canal MIMO.Además, se ha verificado que en al-gunos casos correlados donde MT >

MR no se obtienen mejoras significa-tivas en la ganancia de array y en lasprestaciones del sistema al aumen-tar el número de elementos del arrayreceptor. Por otro lado, en las mismascondiciones MT > MR, se encontrarongrandes cambios en la CDF de losvalores propios del sistema frente alos casos MT = MR, apreciando mejo-ras en la ganancia de los canales des-acoplados, lo que incrementó la ca-pacidad del sistema, pero que a su vezse ha visto ligada al nivel de correla-ción entre los elementos de la matrizdel canal.

En casos incorrelados ideales IID, aun valor específico de relación señala ruido, se constató un crecimientolineal de la capacidad en función delincremento del número de elemen-tos de array del transmisor y del re-ceptor. Caso contrario se apreció almantener constante el número deelementos de array e incrementar larelación señal a ruido, verificándoseaumentos sustanciales en la capaci-dad del sistema pero con una tenden-cia no lineal. En general se detecta-ron leves ascensos en la capacidaddel canal MIMO parcialmente corre-lado para todos los casos donde seutilizó polarización a 45° en el trans-misor, frente al caso con polarizaciónvertical.

El análisis realizado alrededor de lascondiciones WSS del canal indica queuna campaña de medidas en interio-res debe, además de cumplir con lascondiciones de estacionareidad, bus-car que los difusores más cercanos alas rutas de análisis estén al menosa diez veces la distancia total reco-rrida. Se debe además garantizar enel enlace una relación señal a ruidosuperior a 15 dB, buscando que los


análisis de capacidad tengan la pre-cisión requerida, sin olvidar cumplircon las condiciones norma cuadradade Frobenius para la matriz de canalobtenida a partir de medidas.

Finalmente, al constatar que la efi-ciencia espectral de los canalesMIMO es altamente dependiente dela correlación entre los subcanales depropagación, y que dicha correlaciónse interrelaciona con los parámetrosde configuración del sistema y con elentorno de propagación, la investiga-ción realizada sugiere el desarrollo deun análisis más detallado a través dela matriz de correlación R del canalMIMO, considerando para ello distin-tas configuraciones de array, entor-nos de interiores y otras bandas defrecuencia.

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CURRÍCULOSAlexis Paolo García Ariza nació en

Bucaramanga, Santander, Co-lombia, en 1978. Es IngenieroElectrónico por la Universidad

Industrial de Santander, E3T,2002. En la actualidad es Beca-rio del Programa Alßan (progra-ma de becas de alto nivel de laUnión Europea para AméricaLatina), y estudiante de Ph.D. enTelecomunicación desde 2004 enla Universidad Politécnica de Va-lencia, España. Realiza investiga-ciones en canales MIMO (canalesde Múltiples Estradas y MúltiplesSalidas) y modelos de propagaciónaplicables a la región Andina.

Es miembro del Grupo de Comu-nicaciones Móviles –MCG, delInstituto de Telecomunicacionesy Aplicaciones Multimedia -iTEAM, en la Universidad Poli-técnica de Valencia, España (te-léfono: +34 963877007-Ext.73009; fax: +34 963879583).También es miembro del GrupoRadioGIS de la Escuela de Inge-nierías Eléctrica, Electrónica yTelecomunicaciones - E3T, de laUniversidad Industrial de San-tander, Bucaramanga, Colombia(teléfono: +57-7 6344000-Ext.2356; fax: +57-7 6359622; e-mail: [email protected],[email protected]).

Lorenzo Rubio Arjona nació en ElBallestero, Albacete, España, en1971. Se graduó como Ingenierode Telecomunicación en la Uni-versidad Politécnica de Valenciaen 1996. En 2004 obtuvo el títulode Doctor Ing. de Telecomunica-ción, también por la UniversidadPolitécnica de Valencia, con la lec-tura de su Tesis Doctoral sobretécnicas de ecualización adapta-tiva en sistemas de comunicacio-nes móviles digitales de bandaancha.


En 1996 se incorporó al Departa-mento de Comunicaciones de laUniversidad Politécnica de Valen-cia en calidad de profesor asocia-do. Desde 2001 es profesor nume-

rario adscrito al Departamento deComunicaciones, donde impartelas materias de Radiocomunicacio-nes y Comunicaciones Móviles.


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