Análisis Sísmico Modal Espectral

Análisis Modal Espectral

Dr. Alberto Salgado Rodríguez


Ecuaciones modales para sistemas no amortiguados

Ecuación de equilibrio dinámico para un sistema lineal no amortiguado

El vector de desplazamientos se puede expresar en términos de las contribuciones modales

Al sustituir la ecuación anterior en la ecuación de equilibrio dinámico



Premultiplicando, se obtiene

Por el principio de ortogonalidad, todos los términos en cada una de las sumatorias desaparecen excepto en donde r=n, por lo que se obtiene

donde




Ecuaciones modales para sistemas amortiguados


Ecuaciones modales para sistemas amortiguados

Análisis SísmicoModal Espectral


Análisis de la historia de respuesta

0kuucu1um g


gnnnnnn uqq 22

Γn=coeficiente de participación del modo n

Contribución del modo n al desplazamiento del nodo u

n

Tn

n Mm 1


Espectros de Diseño

• Los espectros de sismos reales tienen forma irregular y presentan variaciones bruscas de la respuesta máxima en función del periodo natural. Por lo anterior, para fines de diseño, los reglamentos de construcción indican espectros suavizados en los que se ensanchan los picos y se eliminan los valles


Espectros de Diseño


Análisis Modal EspectralEstructuras sin torsión:

)()()(1 1

tDtutuN

n

N

nnjnnjnj

Los desplazamientos de las masas de los sistemas de varios grados de libertad pueden expresarse como la suma de los desplazamientos debidos a la participación de cada uno de los modos naturales. Para el desplazamiento de la j-ésima masa:

Si la excitación sísmica se define por un acelerograma, la función Dn(t) es posible calcularla con cualquiera de lo métodos numéricos vistos anteriormente. Con la expresión anterior es posible determinar los desplazamientos de la estructura en cualquier instante; conocidos estos es posible el cálculo de otras cantidades de interés para el diseño, como es el caso de las fuerzas cortantes o momentos flexionantes.


Análisis Modal EspectralEl análisis espectral se basa en que interesa la respuesta máxima que producirá un sismo futuro. Debido a que no es posible predecir con exactitud los acelerogramas de eventos sísmicos venideros, los reglamentos normalmente prescriben la intensidad sísmica de diseño mediante espectros suavizados que suministran la seudoaceleración máxima An, para cada periodo Tn. An es igual al desplazamiento máximo por la frecuencia ω al cuadrado; por lo tanto, el espectro de diseño proporciona el valor máximo de Dn(t) dado por An/ωn

2

2/ njnnnmáxjn Au

Nos brinda la contribución máxima del modo n al desplazamiento de la masa j


Análisis Modal EspectralCombinación de respuestas modales:

La expresión anterior permite conocer cualquier respuesta (fuerza cortante, deformación de entrepiso, momento de volteo, etc.) máxima rn de la estructura debido al modo n. sin embargo, para fines de diseño interesa determinar la respuesta máxima R de la estructura por la participación de todos los modos. Debido a que las respuestas máximas de cada uno de los modos no coinciden entre ellos, no se puede hacer una suma directa de los máximos y se han propuesto distintos métodos para combinar los máximos de las respuestas modales; uno de los métodos más sencillos es el que considera:

n

nrR 2

El cual es recomendable utilizar cuando los periodos naturales difieren al menos en un 10% entre sí.



La regla de combinación de modos es la siguiente:

1. Se calcula la respuesta de interés para cada modo2. Se combinan los resultados de cada modo mediante la raíz cuadrada de la

suma de los cuadrados de las contribuciones de cada modo.


Análisis Modal EspectralEjemplo: El marco de cortante de la figura, forma parte de un edificio del grupo A que se construirá en la zona I (terreno firme) de la ciudad de México. Determinar, mediante análisis modal espectral, los cortantes de entrepiso para diseño y las deformaciones de entrepiso.

W3=200 ton

W2=400 ton

W1=400 ton

k3=80 ton/cm

k2=200 ton/cm

k1=200 ton/cm


Análisis Modal EspectralAl resolver la ecuación características, se obtienen las frecuencias y los modos de vibrar; en este caso:

321.0

803.0

000.1

;

969.1

853.0

000.1

;

541.2

751.1

000.1

321

223

222

221 /1375;/4.562;/0.122 segradsegradsegrad

m1=m2=0.40775; m3=0.203875 (ton-seg2/cm)



Masa modales:

97427.2)541.2)(203875.0()751.1)(40775.0()1)(40775.0( 222111 mM T

49485.1)969.1)(203875.0()853.0)(40775.0()1)(40775.0( 222222 mM T

69233.0)321.0)(203875.0()803.0)(40775.0()1)(40775.0( 222333 mM T

Al ortonormalizar los modos, se obtiene

386.0

966.0

202.1

;

610.1

698.0

818.0

;

473.1

015.1

580.0

321



Coeficientes de Participación:

9508.0)473.1)(203875.0()015.1)(40775.0()580.0)(40775.0(1

2896.0)610.1)(203875.0()698.0)(40775.0()818.0)(40775.0(2

1747.0)386.0)(203875.0()966.0)(40775.0()202.1)(40775.0(3

En la zona donde se construirá el edificio se tiene un coeficiente sísmico de c=0.16x1.5=0.24 (estructura del grupo A), los demás datos del espectro de diseño son Ta=0.2seg, Tb=0.6seg, r=1/2

n

Tn

n Mm 1



Las ordenadas espectrales y los factores de reducción por comportamiento sísmico quedan:a1=a2=c=0.24Q´1=Q´2=Q=4

El periodo T3 es menor que Ta, entonces:A3=(1+3T3/Ta)c/4=0.212Q´3=1+(Q-1)T3/Ta=3.535

A1=A2=0.24x981/4=58.9 cm/seg2A3=0.212x981/3.535=58.9 cm/seg2



Se aplica la expresión:

2/ njnnnmáxjn Au

Para obtener los desplazamientos máximos de los pisos y maximas deformaciones de entrepiso



Para los cortantes de entrepiso, debido a que se trata de un marco de cortante, el cortante se calcula multiplicando el desplazamiento relativo del entrepiso δij, por la rigidez respectiva ki:



Debido a que las diferencias entre periodos naturales son mayores al 10%, se puede utilizar la regla de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados.

Para los cortantes Vi, y los desplazamientos relativos δi, en cada entrepiso i, se obtiene:



La estimación de los desplazamientos totales es la siguiente:

Los desplazamientos totales y de entrepiso deben multiplicarse por el valor máximo de Q empleado (en este caso Q=4) para revisar los efectos de segundo orden y verificar que las deformaciones de entrepiso no rebasan los límites permisibles.


Examen

El marco de la figura forma parte de un edificio que se construirá en concreto reforzado con f´c=250 kg/cm2

Entrepiso 1

Entrepiso 3

Entrepiso 2


Estudiante A:Determine en el instante de tiempo 15.2 segs las deformaciones del entrepiso 1.

Problema 1: Para el registro AX130D determinar lo siguiente:

Estudiante B:Determine en el instante de tiempo 10.5 segs la fuerza cortante en la columna corta del entrepiso 1.

Estudiante C:Determine en el instante de tiempo 8.8 segs el momento flexionante en el extremo superior de las columnas centrales del entrepiso 2.

Examen


Examen

Problema 2: Para el marco de la figura (factor de comportamiento sísmico Q=3), mediante análisis sísmico modal espectral, determine lo siguiente:

1. Deformaciones máximas de entrepiso. 2. Fuerza cortante máxima en columnas de planta baja.3. Momento flexionante máximo en columna corta de planta baja.4. Giro máximo en columnas del tercer nivel

Estudiante A: Chilpancingo (Zona I)Estudiante B: Chilpancingo (Zona II)Estudiante C: Distrito Federal (Zona I)

Documents

Análisis Sísmico Modal Espectral