Tema: Polinomios de Chebyshev

Objetivo

En matemáticas los polinomios de Chebyshev, el nombre de Pafnuty Chebyshev, son una sucesión de polinomios ortogonales que están relacionados con la fórmula de De Moivre, y que se puede definir de forma recursiva. Por lo general se distingue entre los polinomios de Chebyshev de la primera clase que se denota Tn y polinomios Chebyshev de segunda clase que se denota Un. La letra T se utiliza debido a las transcripciones alternativas del nombre de Chebyshev como Tchebycheff o Tschebyschow.Los polinomios de Chebyshev Tn o Un son polinomios de grado n y la secuencia de polinomios de Chebyshev de uno u otro tipo compone una secuencia polinómica.Polinomios de Chebyshev son importantes en la teoría de aproximación porque las raíces de los polinomios de Chebyshev de la primera clase, que también se llaman nodos de Chebyshev, se utilizan como nodos de interpolación polinómica. El polinomio de interpolación resultante minimiza el problema del fenómeno de Runge y proporciona una aproximación que está cerca del polinomio de la mejor aproximación a una función continua bajo la norma máxima. Esta aproximación conduce directamente al método de Clenshaw-Curtis cuadratura.

Definición

Los Polinomios de Chebyshev están estrechamente ligados a la teoría de la aproximación de funciones, este método presenta notables similitudes con los Polinomios de Legendre, además este es un método muy importante debido a que una de las principales aplicaciones de ambos constituye el desarrollo de los filtros eléctricos, o filtros de ondas, de gran importancia en las ramas de la ingeniería eléctrica y electrónica; esta aplicación la comparten también con las funciones de Bessel, que no se analizarán por el momento.

Función Cn ( x )=cos (nar cos x )Donde cualquier número natura, se conoce como Polinomio de Chebyshev de orden n.Esta función corresponde a un polinomio en x, finito para todos x≠∞, como se estudiará a continuación. Primer análisis para n=0 C0 ( x )=cos (0ar cos x )=cos0=1Segundo análisis para n=1C1 ( x )=cos (ar cos x )=xAhora bien, para calcular los polinomios sucesivos, se puede apelar a la fórmula de recurrencia que demostraremos a continuación:El polinomio de orden n es, por definiciónCn ( x )=cos (nar cos x )Por lo que nosotros le llamaremos de la siguiente forma para simplificarU=ar cos x

Reemplazamos en nuestra función original y nos quedaría de la siguiente forma:Cn ( x )=cos (nU )A su vez, la función inversa de u nos quedaría así:x=cosUDe acuerdo con la definición dada más arriba, el Polinomio de orden n+1 será:Cn+1 (x )=cos [ (n+1 )U ]=cos(nU+U )Para el orden de n-1 nos queda de manera muy semejante a la anteriorCn−1 ( x )=cos [ (n−1 )U ]=cos(nU−U )Al aplicar las conocidas fórmulas del coseno de la suma y del coseno de la diferencia, las dos últimas igualdades quedan modificadas como sigue:Cn+1 (x )=cosU cosnU−senUsennUCn−1 ( x )=cosU cosnU+senUsennUAl sumar miembro a miembro estas dos igualdades, y despejar luego, se obtiene:Cn+1 (x )=2cosU cosnU−Cn−1 ( x )De acuerdo a las anteriores ecuaciones reemplazamos

Cn+1 (x )=2xCn (x ))−Cn+1 (x )A partir de estos resultados es posible determinar por reiteraciones, el polinomio que representa a cada una de las funciones de Chebyshev.Sabiendo que:CO ( x )=1C1 ( x )=x

Comenzamos aplicar la fórmula inicialmente dada con los nuevos datos y calculamos

de manera sucesiva.

C2 ( x )=2xC1 ( x )−C0( x )=2x2−1

C3 ( x )=2 xC2 (x )−C1( x )=4 x3−2x−x=4 x3−3 x

C4 ( x )=2xC3 ( x )−C2 (x )=8 x4−6 x2−2x2+1=8 x4−8 x2+1

C5 ( x )=2 xC4( x )−C3( x )=16 x5−16 x3+2 x−4 x3+3 x=16 x5−20x3+5 x

C6 ( x )=2 xC5( x )−C4 ( x )=32 x6−40 x4+10x2−8 x4+8 x2−1=32x6−48x 4+18 x2−1

C7 ( x )=2 xC6( x )−C5 ( x )=64 x7−96 x5+36 x3−2x−16 x5+20x3−5 x=64 x7−112 x5+56 x3−7 x

Seguimos realizando lo cálculos hasta cuando necesitemos nuestro polinomio.

Existencia de la función de Chebyshev para valores de |x|>1

El rango de existencia de las funciones de Chebyshev se encuentran definidas para un

rango de:−1≤x≤1Puesto que la función arcos x no existe para cualquier valor de x de módulo mayor que

1.

|x|>1

Sin embargo, una simple inspección de los polinomios Cn ( x )

muestra que los mismos

tienen sentido, para cualquier valor no infinito de x, cabe entonces hacerse la

pregunta, ¿Habrá alguna expresión similar a cos(n arcosx), que permita extender la

validez de las funciones de Chebyshev para cualquier valor de x cuyo módulo sea

mayor que 1?

La respuesta es afirmativa, en efecto, la función:γ n (x )=ch (narchx )Tiene, para x < -1 y x > 1, igual significado que cos(n cosx) para -1 < x < 1, como veremos a continuación. Comenzaremos por probar la validez de la expresión siguiente, que nos da el valor del coseno hiperbólico de una suma de dos números: ch (α+β )=chα ch β+shα sh βEfectivamente:

chα ch β+shα sh β= eα+e−α

2eβ+e−β

2+ e

α+e−α

2eβ−e−β

2

=

eα+β+e−(α+β )

2

Efectivamente: archx=v∴

x=chv

A continuación, llamaremos

γ n (x )=ch (narchx )=chnv

Si n=0 ch0=1Vemos también que si n = 1, entonces

γ 1( x )=chv=xAl ir realizados los cálculos pertinentes llegamos a la fórmula de recurrencia siguiente, que, como en el caso anterior, nos permitirá obtener todos los coeficientes, a partir del conocimiento de dos consecutivosγ n (x )=2 xγn−1( x )−γ n−2( x )

Para terminar, debemos decir que, como no existe el arco coseno hiperbólico de

ningún número comprendido entre -1 y 1, tampoco existe la función γ n (x )

en dicho

rango.

Como conclusión las funciones Cn(x) y γ n (x )

son, cada una de ellas, prolongación

analítica de la otra.

Los polinomios de Chebyshev de cualquier orden superior en la serie de potencias se pueden generar utilizando la relación recursiva.T j ( x )=2 xT j−1 ( x )−T j−2( x )

La forma de coseno de los polinomios de Chebyshev en la ecuación

T k( x )=cos (K cos−1 ( x ))

Indican que el mínimo y máximo local en −1≤x≤1

son -1 y 1respectivamente.

Conviene observar también que todos los polinomios de Chebyshev valen 1 en x=1 o -

1 en x=-1, como se ilustra a continuación.

Puesto que la función coseno se anula en ±π/2, 3π/2,…, las raíces de un polinomio de

Chebyshev de orden K satisfacen.

K cos−1( xn )=(K+12−n) π

n=1, 2,3,….., K

O más explícitamente

xn=cos (K+0.5−nK

π ) n=1, 2,3,….., K

Si K=3 por ejemplo, Xn para n=1, 2 y 3 son -0.86602, 0, +0.86602, respectivamente.

Si el rango de interpolación es -1,1 en un intervalo cerrado, las K raíces Xn, i=1,2,…K,

se pueden utilizar como las abscisas de los puntos en la interpolación de Lagrange, en

vez de utilizar puntos con igual separación. Sin embargo, hay que observar que la

numeración de los puntos al obtener los puntos de Chebyshev y la de la fórmula de

interpolación de Lagrange corresponde a puntos distintos. Si se utilizan los tres puntos

de Chebyshev de K-3 como se mostró en el párrafo anterior, el orden de la fórmula de

interpolación de Lagrange es n=2 y los puntos x, en la ecuación analizada son x0=-

0.86602 y las ordenadas de los extremos a saber en x=-1 y x=1 no se utilizan. Por lo

tanto, la fórmula de interpolación de Lagrange se utilizará como extrapolación en (-1, -

0.86602), al igual que en (0.86602, 1).

La interpolación polinomial de Chebyshev se puede aplicar en cualquier rango distinto

de (-1,1), se transforma a (-1,1) sobre el rango de interés. Si escribimos el rango de

interpolación como (a, b), la transformación está dada por:

x=2 z−a−bb−a

O en forma equivalente a la siguiente ecuación:

z=(b−a )x+a+b

2

Donde −1≤x≤1

y a≤z≤b

Por lo tanto, al sustituir los puntos de Chebyshev Xn en (-1,1) dados por la ecuación

inicial en la ecuación analizada, los puntos de Chebyshev zn en (a, b) son:

zn=12 [ (b−a ) cos (K+0 .5−n

Kπ )+a+b]

n=1,2 ,. .. , K

El error de una interpolación que utiliza las raíces de Chebyshev también está dado

por otro tipo de ecuaciones.

Sin embargo, el comportamiento de L(x), es diferente del que se obtiene con los

puntos separados uniformemente, en realidad, el propio L(x) es un polinomio de

Chebyshev ya que pasa por las raíces del polinomio de Chebyshev. En consecuencia,

el error de la interpolación con las raíces de Chebyshev está distribuido de manera

más uniforme que con los puntos con igual separación. Sin embargo, la distribución

real del error e(x) se desvía del polinomio de Chebyshev, ya que depende de x.

Ejemplo

Obtenga los tres puntos de Chebyshev en 2≤z≤4 Por medio de los tres puntos de Chebyshev, escriba la fórmula de interpolación ajustada a ln (z)

Solución

a) Al sustituir a=2, b=4 y k=3 en la ecuación tenemos que n=1,2,3 se encuentran los puntos de Chebyshev como: en la última ecuación y hacer n=1, 2, 3 se encuentra los puntos de Chebyshev como

zn=12 [ (b−a ) cos (K+0 .5−n

Kπ )+a+b]

Donde realizando los cálculos respectivos encontramosz1=2.13397z2=3z1=3.86602

b) Ahora hacemos una tabla de valores con los punto de Chebyshev como se

muestra a continuación:

z Y=ln(z)

3.13397 0.757984

3 1.098612

3.86602 1.352226

La fórmula de interpolación de Lagrange ajustada al conjunto de datos es de la

forma que se muestra a continuación:

g ( z )= ( z−3 )( z−3.86602 )(2 .13397−3 )(2 .13397−3 .86602)

(0.757984 )

+( z−2)( z−3 .86602)

(3−2.13397 )(3−3 .86602)(1 .098612 )

+( z−2 .13397 )( z−3 )

(3 .86602−2 .13397 )(3 .86602−3 )(1.352226 )

CODIFICACIÓN DEL ALGORITMO

% Sea por ejemplo el polinomio de Chebyshev de orden cuarto: % Empezaremos por introducir en la sesión los polinomios de Legendre necesarios: syms x P0 = 1; P1 = x; P2 = 1/2*(3*x^2-1); P3 = 1/2*(5*x^3-3*x); P4 = 1/8*(35*x^4-30*x^2+3); P5 = 1/8*(63*x^5-70*x^3+15*x); % Y también, los polinomios de Chebyshev. Son: C0 = 1; C1 = x; C2 = 2*x^2-1; C3 = 4*x^3-3*x; C4 = 8*x^4-8*x^2+1; C5 = 16*x^5 -20*x^3+5*x; % Expresar C4 en función de los polinomios de Legendre: F2 = C4 - 8*8/35*P4 F2 = - 8/7*x^2+11/35 F0 = F2+8/7*2/3*P2F0 = -1/15 F = F0 + 1/15*P0 F = 0 % Finalmente: C4 = 8*8/35*P4 - 8/7*2/3*P2 - 1/15*P0 C4 = 8*x^4 - 8*x^2+1

EJEMPLO