Modelos de difusi on y transporte - Iniciosgpwe.izt.uam.mx/files/users/uami/jhmb/Difusion_mo... · da en las observaciones de Thomas Graham sobre gases. H ector Morales c UAM Iztapalapa

Modelos de difusion y transporte

J. Hector Morales Barcenas

[email protected]

Departamento de Matematicas

Universidad Autonoma Metropolitana, Unidad Iztapalapa

26 de noviembre de 2015

Hector Morales c©

Modelos matematicos [1/53]

¿Que es la difusion?

Hector Morales c© UAM Iztapalapa


Teorıa fenomenologica de la difusion y transporte

• La difusion es uno de los varios procesos de transporte que ocurren en la naturaleza.

• Los procesos de transporte involucran intercambio de masa, energıa y momento entre

sistemas, o dentro de un mismo sistema.

Figura 1: Adolf Eugen Fick (1829 - 1901)

• La difusion fue descrita y estudiada

como una teorıa fenomenologica por

el medico y fisiologo aleman AdolfFick.

• Ley de difusion (Fick, 1855) basa-

da en las observaciones de ThomasGraham sobre gases.



Teorıa fenomenologica de la difusion y transporte

• La primera ley de Fick afirma que el flujo difusivo (difusion) es proporcional al negativo

del gradiente de la concentracion de materia

J = −D∂C(x, t)

∂x(1 dimension espacial x).

• La segunda ley de Fick

∂C

∂t= −

∂J

∂x, Ley de conservacion,

∂C

∂t= D

∂2C

∂t2, Ecuacion de difusion.

• Como el mismo Fick observo, su primera ley no es mas que la ley de Fourier de conduccion

de calor (1822) y la misma que la ley de Ohm de conduccion de corriente electrica (1827).



Teorıa general del transporte

Figura 2: Lars Onsager (1903 - 1976)

fue un fısicoquımico y fısico teorico de

origen noruego, nacionalizado norteame-

ricano. Premio Nobel en Quımica de

1968.

• Teorıa de respuesta lineal. Sistemas que se encuentran

cerca del equilibrio poseen corrientes proporcionales a los

gradientes en sus propiedades: Ley de Ohm, conductividad

termica, fluidos con esfuerzos proporcionales al estres, etc.

• Fue hasta la primera mitad del S. XX que Lars Onsageraclaro que las relaciones anteriores forman parte de una teorıageneral del transporte.

• En el contexto de la termodinamica, Onsager establecio

las relaciones recıprocas entre flujos Xi y fuerzas gene-ralizadas S en sistemas termodinamicos fuera del equilibrio:

Xi = −k∂S

∂xi.



La difusion desde el punto de vista microscopico

• Historicamente, la fısica estadıstica se origino en el intento de describir las propiedades

termodinamicas de la materia en terminos de sus constituyentes.

• La termodinamica, o mejor dicho, la termostatica, es una descripcion fenomenologica de las

propiedades macroscopicas de sistemas en equilibrio termico.



La difusion desde el punto de vista microscopico

(a) R. Brown (b) A. Einstein (c) P. Langevin

(d) L. Boltzmann (e) Smoluchowski (f) L. Bachelier (g) N. Wiener

Figura 3: Cientıficos involucrados en el estudio del movimiento browniano.



La difusion como movimiento browniano

En 1827, Robert Brown observo, en una solucion acuosa, una suspension de organelos de

almidon (6 y 8 µm de diametro), siendo expulsados del polen de Clarkia pulchella en un

movimiento incesante.

Figura 4: Robert Brown (1773 - 1858). Botanico y paleobotanico escoses.




Figura 5: Polen de Clarkia pulchella expulsando su contenido. P. Pearle, K. Bart, D. Bilderback, B. Collett,

D. Newman, and S. Samuels. What Brown Saw and You Can Too. Am. J. Phys. 78 (12), December 2010.




Figura 6: Contenido del polen de Clarkia pulchella despues de abrirse, dos fotos sobrepuestas tomadas con 1

min de diferencia, ampliado ×400. La escala es de 2 µm por division. P. Pearle, K. Bart, D. Bilderback, B. Collett,

D. Newman, and S. Samuels. What Brown Saw and You Can Too. Am. J. Phys. 78 (12), December 2010.





















Einstein, difusion y movimiento browniano

“Sobre el movimiento de pequenas partıculas suspendidas en un lıquidoestacionario demandado por la teorıa cinetico-molecular del calor”Berna, mayo de 1905

• Un proceso de difusion se puede concebir como el

resultado del movimiento irregular y colectivo de muchas

partıculas, producido por el movimiento termico molecular.

• Hallamos el coeficiente de difusion de la sustancia

suspendidad (coloide).

Suponemos equilibrio dinamico de partıculas

suspendidas irregularmente dispersas en un lıquido.

Sea K una fuerza que actua sobre las partıculas en

el eje x, que depende solo de la posicion y no del tiempo.

Sea v el numero de partıculas suspendidas

por unidad de volumen (concentracion).




• Las partıculas suspendidas tienen forma esferica y radio a.

• El lıquido tiene un coeficiente de viscosidad η.

• (G. Kirchhoff) La fuerza K le imparte una velocidad a cada partıcula igual a

K

6πηa.

• Por lo que la cantidadKv

6πηa

es el numero de partıculas que atraviesan una unidad de area por unidad de tiempo.




• Sea D el coeficiente de difusion de la sustancia suspendida.

• Sea m la masa de una partıcula suspendida.

• Como resultado de la difusion, una cantidad de materia cruzara, por unidad de area y por

unidad de tiempo,

−D∂(mv)

∂x, (gramos),

−D∂v

∂x, (partıculas).




• Dado que debe haber un equilibrio dinamico, se debe tener que

vK

6πηa−D

∂v

∂x= 0.

• Completamos esta ecuacion con otra del equilibrio termodinamico

vK =∂p

∂x,

en donde p es la presion osmotica ejercida sobre la sustancia suspendida.

• La presion osmotica esta relacionada con el numero de partıculas por unidad de volumen,

n, por medio de la ley del gas ideal

p = vRT

N.




• Calculamos el coeficiente de difusion a partir de la 1er ecuacion

D =RT

N

1

6πηa.

• Por lo tanto, el coeficiente de difusion de la sustancia suspendida depende (excepto

por las constantes universales y la temperatura absoluta) solamente del coeficiente deviscosidad del lıquido y del tamano de las partıculas suspendidas.




“Sobre el movimiento irregular de partıculas suspendidas en un lıquido y su relacioncon la difusion”Berna, mayo de 1905

(Argumentos de Einstein) Hipotesis:

• El movimiento de cada partıcula es independiente de las demas.

• Los movimientos de una misma partıcula, para diferentes intervalos de tiempo, se de-

ben considerar procesos mutuamente independientes (dichos intervalos de tiempo no son

necesariamente demasiado pequenos).




• Supongamos que simultaneamente hay n partıculas suspendidas en un lıquido.

• En un intervalo de tiempo τ , la coordenadas x’s de las partıculas se incrementaran por una

distancia ∆ (distinta para cada partıcula, + o − sobre el eje x.)

x→ x±∆.

• Para tiempos mayores que τ , los movimientos de las partıculas se consideran independientes

(propiedad de Markov).

• El valor de ∆ esta regido por una ley de probabilidad φ.




• Sea dn el numero de partıculas que experimentan desplazamientos entre ∆ y ∆ + d∆ en

un tiempo τ ; es decir,

dn = nφ(∆)d∆,

donde ∫ ∞−∞

φ(∆)d∆ = 1.

• Para valores muy pequenos de ∆, la funcion φ 6= 0 y satisface la condicion

φ(∆) = φ(−∆).

• Investigaremos como el coeficiente de difusion depende de la funcion φ, de acuerdo

con la hipotesis de que el numero de partıculas por unidad de volumen, v, solo depende de

x y t.




• Sea v = f(x, t) la concentracion o numero de partıculas por unidad de volumen.

• Calcularemos la distribucion de partıculas al tiempo t+ τ a partir del tiempo t.

• A partir de la definicion de la funcion φ(∆), es facil obtener el numero de partıculas

localizadas al tiempo t+ τ , entre dos planos perpendiculares al eje x, de coordenadas x y

x+ ∆

f(x, t+ τ)dx = dx

∫ ∆=+∞

∆=−∞f(x+ ∆, t)φ(∆)d∆.

• Ahora, dado que τ es muy “pequeno”, podemos escribir

f(x, t+ τ) = f(x, t) + τ∂f

∂t.




• Ademas, podemos expandir en potencias de ∆ a f(x+ ∆, t); es decir

f(x+ ∆, t) = f(x, t) + ∆∂f(x, t)

∂x+

∆2

2!

∂2f(x, t)

∂x2+ · · · ad inf.

• Colocamos la ultima expansion bajo el signo de la integral, tomando en cuenta que solo

valores muy pequenos de ∆ contribuyen en la misma integral.

• Obtenemos que

f +∂f

∂tτ = f

∫ ∞−∞

φ(∆)d∆ +∂f

∂x

∫ ∞−∞

∆φ(∆)d∆ +∂2f

∂x2

∫ ∞−∞

∆2

2φ(∆)d∆ + · · ·

• Del lado derecho de la expresion se anulan los terminos impares, ya que φ(x) = φ(−x);

mientras que los terminos pares van siendo menores respecto a sus precedentes.




• Ademas, consideremos que la densidad de probabilidad φ queremos que esta normalizada;

es decir,

1 =

∫ ∞−∞

φ(∆)d∆,

y, definiendo

D :=1

τ

∫ ∞−∞

∆2

2φ(∆)d∆.

• Finalmente, tomando solo en cuenta los primeros dos terminos pares del lado derecho,

obtenemos la ecuacion

∂f

∂t= D

∂2f

∂x2.

• Que se trata de la bien conocida ecuacion diferencial de difusion, y reconocemos que D

es el coeficiente de difusion.




“Una nueva determinacion de las dimensiones moleculares”Berna, 30 de abril de 1905

• Pequenas partıculas de radio a y masa m (azucar como soluto) de mucho mayor tamano

que las moleculas del agua (solvente) de una viscosidad dinamica η.

• Resultado de G. Kirchhoff y G. Stokes de la mecanica de fluidos:

F = 6πηau.

• El coeficiente de difusion del azucar en agua esta dado por la relacion

D =RT

6πη

1

aNA

,

con unidades

[D] = l2t−1.




• En una solucion acuosa con azucar: a3NA = 80, a 20◦C.

• Viscosidad: η = 0.0135, a 9.5◦C.

• Coeficiente de difusion D = 0.38 cm2dıa−1.

• Por lo anterior, se puede estimar que aNA = 2.08×1016 y entonces

aNA =RT

6πη

1

D,

que NA= 3.3×1023, lo que implica que

• a = 6.2×10−8cm es el tamano estimado de las moleculas de azucar.




• Difusion simetrica en una lınea

Prob[partıcula ∈ (x, x+ dx)] ≡ P (x, t)dx, Densidad de probabilidad

• Satisface la ecuacion∂P

∂t= D

∂2P

∂x2,

donde D se llama coeficiente de difusion.

• Sin conocer explıcitamente a P (x, t), ¿cual es el desplazamiento medio de la partıcula?

〈x〉 =

∫RxP (x, t)dx = 0.

• ¿vual serıa el desplazamiento cuadratico medio (segundo momento)?

〈x2〉 =

∫Rx

2P (x, t)dx.




Desplazamiento cuadratico medio (RMS) depende del coeficiente D de difusion y del

tiempo t.

[〈x2〉] = L2, [D] = L

2/T, [t] = T,

por lo que

〈x2〉 ∝ Dt,donde el factor de proporcion depende de la dimension en que describimos el movimiento

de las partıculas.

−20 −10 0 10 20 30 40−30

−20

−10

0

10

20

30

40

Y Po

sitio

n

X Position0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

0

1

2

3

4

5

6x 10−10

Time

Dis

plac

emen

t Squ

ared

Displacement Squared versus Time for 1 Particle in 2 Dimensions

Figura 7: Movimiento browniano en 2D sin restricciones.




−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2x 10−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3x 10−6

X position (m)

Y po

sitio

n (m

)

Combined Particle Tracks

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

2

2.5x 10−11

Time (seconds)

Dis

plac

emen

t Squ

ared

(m2 )

Displacement Squared vs Time

TheoreticalAverage

Figura 8: Superposicion de varias realizaciones (trayectorias) del movimiento browniano en el

plano R2, sin restricciones.



Difusion y escalamiento

• Aplicamos analisis dimensional a la densidad de probabilidad P (x, t;D).

[P ] = L−1

implica que√DtP (x, t;D) es adimensional.

• Formamos una cantidad adimensional: x/√Dt, para transformar a P :

P (x, t;D) =1√DtP(ξ), ξ :=

x√Dt,

en donde la densidad ahora depende de una sola variable de escalamiento y no de x y t.

• Substituyendo esta nueva variable ξ en la ecuacion de difusion, obtenemos

2P ′′ + ξP ′ + P = 0,

que integrada con la condicion P ′(0) = 0 y normalizando, obtenemos

P = (4π)−1/2

e−ξ2/4

,

o bien,

P (x, t;D) =1

√4πDt

exp

(−x2

4Dt

).



Difusion y renormalizacion

• La estrategia del metodo del grupo de normalizacion es entender el comportamiento de

los fenomenos en “escalas grandes” a partir de “escalas pequenas”.

• Ecuacion de Chapman-Kolmogorov (Einstein, 1905)

P (x, 2t) =

∫RP (y, t)P (x− y, t)dy,

que representa la probabilidad de la caminata aleatoria en la posicion x al tiempo 2t, en

terminos de la propagacion del tiempo 0 a t y del tiempo t al 2t.

• Es un proceso de Markov en donde la propagacion de (y, t) a (x, 2t) es igual a hacerlo de

(0, 0) a (x− y, t).



Difusion y renormalizacion

• La convolucion se puede tratar mediante transformadas de Fourier p(k, t) =∫R e

ikxP (x, t)dx, de tal forma que llegamos a que

p(k, 2t) = [p(k, t)]2.

• Del escalamiento ξ, se muestra que p(k, t) = P(q), con q = k√Dt, por lo que la

ecuacion del grupo de renormalizacion es

P(√

2q) = [P(q)]2.

• Tomando logaritmos y definiendo z := q2, Q(z) := lnP(q), llegamos a que Q(2z) =

2Q(z), cuya solucion es Q(z) = −Cz; o bien,

p(k, t) = e−2k2Dt

.

(La constante C = 2 se puede hallar expandiendo en terminos de k la transformada de

Fourier: p(k, t) ≈ 1− k2〈x2〉, y recordando que 〈x2〉 = 2Dt.)

• Otro enfoque importante relacionado con el movimiento browniano es el de la ecuacion

maestra.



Ecuacion de Langevin, 1908



Ecuacion de Langevin

• En 1908, Paul Langevin introdujo una ecuacion diferencial del movimiento de partıculas

sujetas a fuerzas aleatorias R y viscosas γ (fuerzas de Stokes) dentro de un fluido.

“Sobre la teorıa del movimiento browniano”Nota de M. P. Lagevin, presentada por M. Mascart

COMPTES RENDUS, 1908

• La nota esta dividida en 3 secciones:

1. En la 1a establece la importancia del problema, desde el punto de vista de la fısica, y la

relevancia de los hallazgos de Einstein en 1905.

2. En la 2a desarrolla su metodo para obtener la misma explicacion que Einstein, e introduce

la ecuacion diferencial que ahora lleva su nombre.

3. En la 3er seccion, Langevin discute sobre la concordancia entre los resultados experimen-

tales y estos resultados teoricos sobre el movimiento browniano.




• Habıa un gran interes, en esos anos, por comprobar la hipotesis de que el movimiento

erratico y contınuo de las partıculas inmersas en un fluido, era un “eco” de la agitacion

termica de las moleculas del mismo fluido, independientemente de las acciones externas que

modifiquen la temperatura del medio.

• Lagevin senala que fue, precisamente, Einstein quien ha proporcionado una formula que

permite verificar la hipotesis:

∆2x =

RT

N

1

3πµaτ. (1)

• Langevin tambien menciona que Smoluchowski ha obtenido una formula similiar a la de

Einstein, pero que difiere solo por un factor numerico.

• Este fue el punto de partida de Langevin para obtener “una demostracion infinitamente mas

simple” el resultado de Einstein.




• El punto de partida es el teorema de la equiparticion de la energıa cinetica, entre los

diversos grados de libertad de un sistema en equilibrio termico, que exige que una partıcula

en suspension dentro de un fluido posea, en la direccion x, una energıa cinetica media

RT/2N igual a la de una partıcula gaseosa a la misma temperatura.

• Si ξ = dx/dt es la velocidad instantanea dada de una partıcula en la direccion considerada,

tendremos que, un gran conjunto de partıculas cada una de masa m, tienen una energıa

media igual a

mξ2 =RT

N.

• Una partıcula como la consideramos, mas grande que la distancia promedio entre moleculas

del fluido, se movera a dicha velocidad ξ, pero tendra una resistencia igual a −6πµaξ, de

acuerdo con la formula de Stokes.

• En realidad, tal valor de la fuerza de resistencia no es mas que un valor medio al rededor el

cual oscilara su movimiento.




• De lo anterior, la ecuacion de movimiento, en la direccion x, es

md2x

dt2= −6πµa

dx

dt+X. (2)

• Sobre la fuerza complementaria X, solo sabemos que es indiferentemente positiva o

negativa y que, su magnitud es tal que mantiene la agitacion de la partıcula que, de otra

forma, terminarıa por detenerse por el amortiguamiento.

• La Ecuacion (2), multiplicada por x, se puede escribir

m

2

d2x

dt2−mξ2

= −3πµad(x2)

dt+Xx. (3)




• Si ahora consideramos a un gran numero de partıculas identicas y tomamos el valor

medio de la Ecuacion (3), termino a termino, entonces el valor medio del termino Xx es

evidentemente nulo a causa de la irregularidad de las acciones complementarias de X, y

escribimos, definiendo z = dx2/dt,

m

2

dz

dt+ 3πµaz =

RT

N.

Cuya solucion general es

z =RT

N

1

3πµa+ Ce

−6πµam t

,

tomando un valor constante el 1er termino en el regimen permanente al final de un tiempo

del orden m/6πµa; o bien, 10−8 segundos aproximadamente, para las partıculas sobre las

que el movimiento browniano es observable.




• Ası, en el regimen permanente de agitacion,

dx2

dt=RT

N

1

3πµa,

en donde, dentro de un intervalo de tiempo τ ,

x2 − x20 =

RT

N

1

3πµaτ.

• El desplazamiento ∆x de una partıcula esta dado por

x = x0 + ∆x,

y, como estos desplazamientos son indiferentemente positivos y negativos, se obtiene la

formula de Einstein (1):

∆2x =

RT

N

1

3πµaτ.




• La ecuacion de Langevin se trata de una ecuacion diferencial estocastica basada en la

segunda ley de Newton, que describe la evolucion temporal de la posicion x(t) de una

partıcula de masa m y esta dada por

mx(t) = −γx(t) + F (x, t) + γ√

2DR(t), (4)

donde γ es el coeficiente de friccion viscosa, D el coeficiente de difusion, F (x, t) com-

prende a las fuerzas no relacionadas con el fluido, y R(t) es una variable aleatoria conocida

como ruido termico.

• Suponemos que R(t) es ruido blanco estacionario con media temporal cero; es decir,

〈R(t)〉t = 0 y φR(t − t′) := 〈R(t)R(t′)〉t = δ(t − t′), donde φR(t) es la funcion de

autocorrelacion y δ(t) la delta de Dirac.

• El coeficiente de difusion D y la friccion γ son magnitudes conectadas por medio la relacion

de Einstein (Teorema de Fluctuacion-Disipacion)

D =kBT

γ. (5)



Ecuacion de Langevin: sobreamortiguamiento

Sea a el radio de una partıcula browniana.

• Tiempo caracterıstico: Tiempo que le toma a una partıcular perder la “informacion” de

su velocidad inicial por friccion.

• Recorrido libre medio: Distancia que recorre la partıcula antes de detenerse o chocar con

un elemento del fluido.

λrelax := vτrelax = vm

γ. (6)

Caso amortiguadoλrelax

a� 1.

Caso subamortiguadoλrelax

a� 1.



Ecuacion de Langevin: Ley de Stokes

• Fuerza de friccion o arrastre que ejerce un fluido viscoso, con numero de Reynolds “pequeno”

F = 6πηav.

donde η es la viscosidad dinamica del fluido y γ el coeficiente de friccion

γ ∝ aη.

• A partir de esta relacion, se establece la ecuacion de Einstein-Stokes:

D =kBT

6πηa. (7)

• La relacion entre el recorrido libre medio λrelax y el radio a de la partıcula

Re :=λrelax

a=va

ν=

fuerzas inerciales

fuerzas viscosas,

donde ν es la viscosidad cinematica ν = η/ρ y Re se interpreta como la intensidad del

amortiguamiento (adimensional).



Ecuaciones diferenciales estocasticas

• Una ecuacion diferencial (ODE)

f =df

dt= a(t, f)

es un caso particular de una ecuacion diferencial estocastica en ausencia de aleatoriedad.

• Simbolicamente, tenemos una forma diferencial df = a(t, f)dt, o mas precisamente su

representacion integral (Euler)

f(t) = f0 +

∫ t

t0

a(s, f(s))ds,

donde f(t) = f(t; f0, t0) es una solucion que satisface la condicion inicial f(t0) = f0.

• Estas soluciones estan relacionadas por la propiedad de evolucion

f(t; f(s; f0, t0), s) = f(t; f0, t0)

para todo t0 ≤ s ≤ t, que afirma que el futuro esta determinado completamente por el

presente.

• Esta es la version determinista de la propiedad de Markov.




• Siguiendo la explicacion de Einstein sobre el movimiento browniano, fue Langevin el que

formulo dicho movimiento en terminos de una ODE estocastica, que actualmente adopta la

siguiente forma:

dXt = a(t,Xt)dt+ b(t,Xt)Rtdt,

con un termino determinista (conveccion promedio) a(t,Xt), perturbado por un termino

difusivo aleatorio b(t,Xt)Rt, en donde Rt es una variable aleatoria distribuida normal para

cada t y b(t,Xt) es un factor de intensidad dependiente del espacio-tiempo.

• La ecuacion diferencial estocastica se puede interpretar como una ecuacion

Xt(ω) = Xt0(ω) +

∫ t

t0

a(s,Xs(ω))ds+

∫ t

t0

b(s,Xs(ω))Rs(ω)dt,

para cada trayectoria ω; o bien, como una simple realizacion del proceso estocastico.

• En el caso especial en donde a ≡ 0 y b ≡ 1 vemos que Rt deberıa ser una derivada del

movimiento browniano puro, conocido como proceso de Wiener Wt, sugiriendo que

Xt(ω) = Xt0(ω) +

∫ t

t0

dWs(ω)




• Si b(t, x) ≡ b fuera constante, podrıamos esperar que la ecuacion integral previa, sea igual

a

b(Wt(ω)−Wt0(ω)).

Este es el punto de partida de la definicion de la integral estocastica de Ito o Stratonovich.

Figura 9: Kiyoshi Ito (1915-2008) en la Universidad de Cornell, Ithaca, NY, 1970.



Procesos estocasticos

• Un modelo estocastico se formula en terminos de un proceso estocastico.

• Un proceso estocastico es una coleccion de variables aleatorias que, a su vez, es un

numero asociado con el resultado de un experimento.

• Un experimento es cualquier situacion en la que existe un conjunto de resultados posibles.

• Supongamos que se llevan a cabo un gran numero de experimentos para determinar los

valores de la v.a. x.

• Los resultados de un numero M de experimentos se denotan por {Xi}i=1,2,...,M , a partir

de lo cual se construye un histograma de los valores hallados.

• De forma precisa escribimos {X(t; s) | t ∈ T, s ∈ S}, donde T es el conjunto ındice y

S es un espacio muestral comun.



Probabilidad y estadıstica

• La funcion de frecuencia o densidad de probabilidad, sera definida como el lımite, si existe,

a partir del histograma de un gran numero arbitrario de experimentos.

• Idealmente M → ∞, dividido entre las particiones de los valores de los intervalos arbitra-

riamente “pequenos” (enfoque frecuentista).

• Sea la correspondiente funcion de frecuencia lımite:

Px(X)dX (version contınua),

que se interpreta como la fraccion (probabilidad) de los valores de x que se localizan en el

intervalo B = {x |X ≤ x ≤ X + dX}.

• Como consecuencia de la definicion,

Px(X) ≥ 0,

y ∫∀x∈B

Px(X)dX =

∫RPx(X)dX = 1.



Probabilidad y estadıstica

• EL promedio o media o valor esperador se denota por 〈x〉 y se define por

〈x〉 :=

∫∀x∈B

XPx(X)dX = m1.

• La media es el “centro de masa” (analogıa mecanica) o primer momento de la densidad

de probabilidad.

• Usualmente es necesario “predecir” el valor numerico de x, en tal caso lo mejor es optar

por el valor 〈x〉. Es un valor central, pero no es el unico.

• Generalmente escribimosX(t; s) ≡ X(t) oX(t; s) ≡ Xt y lo llamamos serie de tiempo.

• El conjunto ındice comunmente representa al tiempo, tal como T = {0, 1, 2, . . .} o

T ∈ [0,∞) sea respectivamente discreto o contınuo.

• El estudio de los procesos estocasticos se basa en la teorıa de las probabilidades.




Tipos de procesos

• Un proceso {Xt|t ∈ T ⊂ (−∞,∞)} tal que, para cualquier {t1, t2, . . . , tM} ∈ T ,

donde t1 < t2 < · · · < tM , las v. a. ’s

Xt2−Xt1

, Xt3−Xt2

, . . . , XtM−XtM−1

son independientes, recibe el nombre de proceso con incrementos independientes.

• Un proceso estocastico {Xt|t ∈ T ⊂ (−∞,∞)} es estacionario si, para cualquier

{t1, t2, . . . , tM} ∈ T , las distribuciones de probabilidad conjunta de

Xt1+τ , Xt2+τ , . . . , XtM+τ

y

Xt1, Xt2

, . . . , XtM

son las mismas para todo τ ∈ (−∞,∞); y es estacionario en un sentido amplio (“wide-

sense-stationary, wss”), si la funcion de covarianza g(t, t+τ) = Cov(Xt, Xt+τ) = g(τ),

es una funcion unicamente de τ , ∀t ∈ T .




• Un proceso de Markov es un proceso estocastico {Xt|t ∈ T ⊂ (−∞,∞)} para el

cual, dado el valor de Xt, la distribucion de Xs(s > t) no depende en forma alguna de un

conocimiento de Xu(u < t).

• De lo anterior, si

τ0 < τ1 < · · · < τk < t1 < t2 < · · · < tM

entonces las distribuciones conjuntas de

Xt1, . . . , Xtn|Xτ0

= x0, . . . , Xτk= xk

y de

Xt1, . . . , XtM

|Xτk= xk

son las mismas.

• El comportamiento futuro, cuando se conoce el estado presente del proceso, no se altera

por el conocimiento adicional acerca de su comportamiento pasado.

• Los procesos de Markov son, por mucho, la clase mas importante de procesos estocasticos.

• Todo proceso estocastico con incrementos independientes es un proceso de Markov.



Referencias

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