mod_geo_primer_grad_2010

1er Año Geometría y Medición 2

PRESENTACIÓN

El COLEGIO DE CIENCIAS APLICADAS “VÍCTOR VALENZUELA GUARDIA” pone a disposición de nuestros alumnos el presente Módulo Teórico-Práctico, del curso de Geometría y Medición correspondiente al área de Matemática, el cual permitirá a nuestros estudiantes la aprehensión de la asignatura con la visión de sostenerla y aplicarla en la realidad multidisciplinaria en que hoy se desarrolla la educación del país.

Queremos manifestar el agradecimiento respectivo a la totalidad de nuestra Plana Docente, la cual en largas sesiones de trabajo, elaboración y coordinación han podido lograr la realización de este Módulo, y extender el agradecimiento a todas las personas que han aportado para que dicho material sea el más óptimo posible.

Estas últimas líneas son para agradecer y felicitar a ustedes por confiarnos su preparación, y en este binomio que hemos conformado, sabemos por anticipado que la calidad en servicios educativos, está asegurada.

La Dirección

COCIAP “Víctor Valenzuela COCIAP “Víctor Valenzuela COCIAP “Víctor Valenzuela COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”Guardia”Guardia”Guardia”


La presente obra, está dirigida a

estudiantes que cursan el primer año de educación secundaria en la Institución Educativa “Víctor Valenzuela Guardia” (COCIAP), de la UNASAM, y ha sido elaborada en base al módulo de “Geometría y Medida” aplicado el año 2009. Contiene los tópicos de geometría y medida, cuyos contenidos han sido tomados de acuerdo a la programación que hace el Ministerio de Educación. En la elaboración de esta obra se ha tenido en cuenta consignar aparte de los contenidos conceptuales, el desarrollo de actividades que deben permitir al estudiante, potencializar un conjunto de habilidades que están enmarcadas dentro del razonamiento y demostración, pensamiento geométrico, asimismo habilidades de tipo procedimental.

Al estudiante a quien va dirigida esta obra, se le recomienda practicar los ejercicios y problemas, realizar dibujos al momento de la resolución del ejercicio o problema, el cual le permitirá visualizar los datos y así desarrollar el pensamiento geométrico indicado más arriba. Asimismo, se le recomienda tener habilidades en resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones, pues siempre los problemas geométricos se resuelven mediante técnicas del álgebra.

¿En qué momento apreció el hombre la

maravillosa idea de lo que es un punto? ¿Cuándo comprendió las propiedades básicas de la línea? ¿Cómo tuvo conciencia de lo que es una superficie? ¿Cuándo empezó apreciar la forma de las cosas? ¿Cuándo tuvo conciencia de lo que es grande o pequeño, o lo que es extremadamente grande o extremadamente pequeño? A pesar de la complejidad que hay detrás de estas ideas, el hombre parece no necesitar demasiado para entenderlas porque forman parte de sí mismo. Son componentes fundamentales de su inteligencia.

Es difícil contestar por qué ocurre esto, pero a decir verdad el ser humano no ha desarrollado los conceptos que comprende la geometría como un ejercicio intelectual, lo ha hecho porque le es claro cómo aprovechar algunos hechos más evidentes y esto le abre nuevas vías de conocimiento que al desarrollarse vuelven a ser de utilidad y así sucesivamente en un ciclo interminable. La magnífica construcción que el hombre ha hecho de la geometría es en verdad enorme, sin embargo sus principios básicos son accesibles a cualquier persona

Observemos por ejemplo la actitud de un niño mirando pacientemente la inquietud de un grano de polvo vagando en el aire, en el fondo este niño está haciendo geometría. El grano de polvo es pequeño e insignificante, sin embargo el niño fácilmente puede comprender que ése es el bloque formador de todo lo existente.

Introducción.

I Bimestre

Geometría plana conceptos primitivos – estudio

de la recta

MS.c Miguel Ángel Yglesias Jáuregui

Historia de la Geometría

COCIAPCOCIAPCOCIAPCOCIAP “Víctor Valenzuela Guardia“Víctor Valenzuela Guardia“Víctor Valenzuela Guardia“Víctor Valenzuela Guardia””””


Continuemos observándolo, ahora

extiende su dedo y después de rascar el muro mira a contraluz el resultado que es verdad sorprendente: el muro está hecho de granos de polvo, pequeños e insignificantes. Ahora el niño repite el mismo ejercicio con su propia piel y con los objetos que le rodean, entonces en su mente se forma una idea clara: todo su entorno está hecho de granos de polvo.

Pero un grano de polvo se puede dividir, y aún dividir el resultado de la división y continuar sin fin. ¿Qué queda después de repetir un millón de veces la división de un grano de polvo? Lo que queda es en extremo pequeño, casi no tiene peso ni dimensiones, se parece a la nada y sin embargo existe en el universo.

¿Y qué hay de la línea recta? ¿Se puede intuir a partir de la imaginación humana? Bien, miremos hacia la luz de un foco y luego cerremos nuestros ojos lentamente. Lo que se ve son segmentos rectilíneos emergiendo del origen de la luz. Hagamos ahora otra cosa, imaginemos a un hombre primitivo pendiendo de una liana. ¿No es éste un modelo de segmento rectilíneo? Será aun más interesante el cuadro con un león hambriento esperando en tierra la caída de nuestro amigo, para este último no es difícil comprender que la trayectoria que hará las delicias del león es la línea que va directo hacia abajo, y entenderá, nadie sabe cómo pero lo entenderá, que la longitud del segmento rectilíneo que le separa de las fauces de la fiera, para su desgracia, la distancia más corta posible.

Y así podríamos continuar analizando las manifestaciones de nuestra intuición en materia geométrica para al fin entender lo natural que nos resultan estas ideas. Esto justifica sin duda por qué las civilizaciones más notables del planeta han hecho geometría, y una buena medida de su grado de avance se ha establecido en términos del conocimiento geométrico que alcanzaron.

Lectura tomada de [1]

CONCEPTO: La geometría es parte de la matemática que trata del estudio de figuras geométricas, de sus propiedades y su extensión. También podemos decir que la geometría es una rama de la matemática que trata con medidas, propiedades y relaciones entre puntos, líneas, ángulos, superficies y sólidos

Etimológicamente la palabra geometría proviene de las raíces griegas: geo = tierra y metron = medida; de lo que se deduce que la geometría literalmente quiere decir “medida de la tierra”, es decir “agrimensura”, lo cual nos indica que uno de los orígenes de la geometría fue práctico y surgió de la necesidad de medir la tierra, para luego con el transcurrir del tiempo, ésta se transforme en una ciencia.

Como se dijo, la geometría tuvo un origen práctico, agrario (extensión de un terreno), Lo que se aprendió a medir (con los geómetras griegos) fue la extensión de una línea, recta o curva; de una superficie limitada por líneas y de un volumen limitado por superficies. Pero rápidamente la expresión medir adquirió entre los griegos un sentido muy general de "establecer relaciones". Desde las antiguas civilizaciones surgió la necesidad de medir distancias entre puntos o localidades, como así también cantidades y volúmenes de objetos, por lo que se comenzaron a conocer conceptos tales como punto, recta, plano, etc.

Más tarde seria en la civilizaciones de Egipto, Asiria, India, en donde se hablaría de figuras geométricas y la noción de ángulo, principalmente en Grecia (Siglo VI y III a.C.) donde tuvo su principal desarrollo. Durante los años 330 y 275 a. c. en Alejandría vivió un hombre que sistematizó y amplió los conocimientos geométricos. Sin embargo en aquella época su obra, en la cual establece las relaciones entre conceptos primitivos y sus principales propiedades, pasa desapercibida. Hoy en día solo nos queda un nombre, Euclides, y a través de comentarios, la existencia de trece libros Stoikheia (elementos), en los que se encontraban los axiomas y teoremas deducidos



por él, los serán estudiados en el transcurso de la asignatura.

ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍA – CONCEPTOS PRIMITIVOS

El término de concepto primitivo hace referencia a aquellos elementos sobre los cuales se construye la geometría, sin embargo, dichos elementos sólo son entes abstractos que la mente los concibe, a los cuales no podemos definir, sólo aceptar en nuestro modo de razonar. Dichos conceptos primitivos son: el punto, la recta, el plano y el espacio. Tenga en cuenta que la Geometría es una rama de la Matemática, que justamente tiene como cimientos a estos conceptos primitivos, a partir de los cuales se establecen los axiomas y postulados, los cuales a la vez van a servir de sustento para que a partir de ellos, a través de razonamientos, se construyan los Teoremas. Este proceso en cadena, es justamente el método que a través de siglos, han dado origen a la Geometría. EL PUNTO: Como idea de punto se tienen las marcas de un lápiz sobre un papel, una partícula de polvo, un punto ortográfico, etc.

Un punto es un objeto ideal, abstracto, que no tiene dimensiones, sin embargo nos será útil en geometría para indicar una posición. Representación: Un punto será representado mediante una marca redonda y se le designará con letras mayúsculas.

Más adelante, el punto nos servirá para determinar una posición, aun más, será posible hablar de las coordenadas de un punto.

LA RECTA: Como idea de recta se tiene el borde de una regla, un hilo extendido, el borde de una mesa, etc.

Podemos pensar la recta como un conjunto de puntos alineados en una dirección, extendiéndose infinitamente en ambos sentidos, algunas características de la recta son las siguientes:

• No tiene principio ni fin. • Es infinita en ambos sentidos. • Contiene un conjunto infinito de puntos:

Al respecto se afirma, que entre dos puntos distintos, siempre es posible encontrar al menos un punto entre ellos.

Representación: Una recta se representa mediante una línea con flechas en sus extremos. A continuación se muestran figuras que representan una recta y sus formas de notación.

EL PLANO: Como idea de plano tenemos la superficie de una cancha de fulbito, la superficie de una mesa, el piso del aula, etc. Representación: Un plano se representa mediante un paralelogramo designándose con una letra mayúscula en una de sus esquinas.

EL ESPACIO: Como idea de espacio tenemos el lugar geométrico que se extiende indefinidamente, y que contiene a la totalidad de los objetos geométricos y de cosas existentes imaginables.

A

B C

P

A B

L

Notación: �� Se lee: recta ��

Notación: �� Se lee: recta �.



Actividad:

1. Describa algunos objetos del mundo real, en los cuales sea posible identificar: puntos, rectas y planos.

2. Elabore un resumen acerca de la vida y obra de “Euclides”

3. ¿Qué es un axioma? 4. ¿Qué es un Teorema? 5. ¿Cuándo dos rectas son paralelas? 6. ¿En qué consiste el quinto postulado de

Euclides?

A continuación iniciamos el estudio detallado de los elementos de una Recta.

LA RECTA

Como se dijo anteriormente, el borde de una regla, el pliegue de una hoja doblada, etc., nos dan una idea aproximada de lo que es una Recta.

La recta es una línea que se extiende indefinidamente en ambos sentidos. Se lo considera como un sub conjunto de plano, el cual a la vez contiene infinitas rectas.

En una recta podemos identificar los siguientes subconjuntos:

I. SUBCONJUNTOS DE LA RECTA

En una recta podemos identificar: A. La semirrecta: Si sobre una recta ��

se escoge un punto � entre � y �, El punto � divide a la recta en dos subconjuntos (o partes), los cuales se llaman semirrectas de origen �. Tenga en cuenta que el punto � no es parte de ninguna de las semirrectas.

Observación: el punto � se llama punto frontera y no pertenece a ninguna de las semirrectas.

B. El rayo: Un rayo es la unión de una semirrecta con su punto frontera.

El punto � en cada uno de los casos es el origen del rayo.

C. El segmento Un segmento es la porción de recta que se encuentra entre dos puntos. Los puntos que determinan un segmento se llaman puntos frontera y forman parte del segmento.

(i) Medida de un Segmento: Un segmento tiene la propiedad de ser medible, es decir posee longitud. La longitud del segmento �� se denota mediante ��, y es la distancia que hay desde el punto �, hasta el punto �.

(ii) Congruencia de un Segmento: El segmento �� es congruente al segmento �, lo cual se denota mediante �� ≅ ��, si y sólo si, �� = �. Es decir: tienen igual longitud.

(iii) Sistemas de medida de longitud La medición de un segmento se hace por comparación con una medida estándar. Dentro de las medidas

Se denota por

�� , y se lee: La semirrecta �, �.

Se denota por

�� , y se lee: La semirrecta �, �.

A O B

A O B O

Se denota por ��, y se lee: El rayo �, �.

Se denota por ��, y se lee: El rayo �, �.

A O B

A O B O

A B

Se denota por ��, y se lee el segmento �, �.

A B



19

estándar se tiene a los siguientes sistemas de medición:

Sistema métrico decimal

1 Kilómetro(Km) 1000 m 1 Hectómetro (Hm) 100 m 1 Decámetro(Dm) 10 m 1 metro(m) 1 m 1 decímetro(dm) 0,1 m 1 centímetro(cm) 0,01 m 1 milímetro(mm) 0,001 m

Sistema inglés Las unidades de medida usadas en el sistema inglés son la milla, la yarda, el pie y la pulgada, cuyas equivalencias con unidades del sistema métrico decimal son las siguientes:

1 milla = 1609,34m 1 yarda = 0,9144 m 1 pie = 30,48 cm 1 pulgada = 2,54cm

Operaciones con Segmentos Las operaciones se realizan con los números que indican las longitudes. En la siguiente figura:

�� = �� + � + � Es decir: la medida de todo el segmento �� es la suma de las longitudes de sus partes:

Actividad 1. Elabore un mapa conceptual sobre los temas:

elementos de la geometría y la recta. 2. El tamaño de una pantalla de televisor se

expresa mediante pulgadas (‘’). Así por ejemplo, se habla de televisores de 14’’, 21’’, 40’’, etc. Aludiendo a la medida de la diagonal de su pantalla. En casa, usando una cinta métrica, realiza la medida de la pantalla de tu televisor.

3. ¿Cuál es la unidad más idónea para medir la distancia de Huaraz a Lima? ¿y la más idónea

para medir la mesa de centro en tu habitación?

4. Un automóvil recorrió 500 millas, ¿a cuánto equivale en kilómetros?

5. En la etiqueta de un carrete de hilo de pescar se puede leer que la longitud de hilo es de 50 yardas, ¿cuántos metros de hilo contiene dicho carrete?

6. ¿Qué es el punto medio de un segmento? 7. Usando una cinta métrica, realice mediciones

sobre algunos objetos de tu aula. Ejemplo: Con respecto a la figura que se muestra, realizar las operaciones siguientes:

1) AM + MN – NB Rpta. _ _ _ _ _ _

2) 2AM + 3MN Rpta. _ _ _ _ _ _

3) AM . MN + MN . NB Rpta. _ _ _ _ _ _

4) NBMNNB.AM2

+

Rpta. _ _ _ _ _ _ PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. En una recta se toman los puntos

consecutivos P, Q y R, PR =20; QR = 4. Hallar PQ

2. Si: M y N son puntos medios de ó . Calcular: AB

3. Si: AC + AB = 32. Hallar BC

4. Del gráfico �� = 30 �, calcular �.

A B C D

� ��



5. Calcular BC, si AC = 9; BD = 11, AD = 15

6. En una recta se ubican los puntos consecutivos �, �, y �, tal que: �� =

2 �, � = �, �� = 40 �. Calcule �.

7. En una recta se ubican los puntos consecutivos �, �, y �, tal que: �� = �, � = �, �� = 60 �. Calcule �.

8. Una cuerda de 30 cm se ha dividido en tres partes, sus longitudes medidas en centímetros forman una progresión aritmética de razón 2. Halle la longitud de la parte más pequeña.

9. En una misma carretera están ubicadas las ciudades �, � y . ¿Qué distancia hay entre � y , si del punto medio de �� al punto medio de � hay 10 km?

10. En una misma carretera se encuentran los paraderos �, � y , a mitad del trayecto �� se encuentra el peaje � y a mitad del trayecto � se encuentra el peaje �. Si los peajes se encuentran separados 15 km, ¿qué distancia separa de los paraderos � y ?

11. En una calle recta de 190 m de longitud, están ubicados 20 árboles separados a igual distancia. Calcular la distancia de separación, si en los extremos de la calle hay árboles.

12. En un terreno de forma cuadrada se ubica un bastón en cada esquina y cada 20m otro bastón, ¿cuántos bastones se han puesto si el perímetro del cuadrado es de 320 m?

13. Un rayo derriba un árbol y lo rompe en tres pedazos, uno de ellos mide el doble que otro y el restante mide 10 m. Si el árbol en pie medía 40 m, ¿cuánto mide el pedazo más pequeño?

14. En una recta se ubican los puntos consecutivos �, �, y �, tal que: �� = 5 �, �� = 32 � y �

!=

"

#. Calcular �.

15. En una línea recta se ubican los puntos consecutivos �, �, y �. Si �� = �, � = 10 � y � = 12 �. Calcule ��.

1. En una recta se toman los puntos consecutivos A, B y C; AC = 30, BC = 12. Hallar AB. A) 16 B) 15 C) 14 D) 18 E) 20

2. Si: 2AB = 3BC = 7CD = 84, Hallar AC.

3. Si: B y C son puntos medios de y . Hallar AD.

4. Si: AB = CD = 18; BC = DE = 16. Hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de y

5. Si: AC + BD = 36. Hallar AD

6. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C tal que AB – BC = 6 y AB + BC = 10. Hallar AB

7. En una recta se ubican los puntos A, B, C y

D tal que 2

CDBC3

AB == , siendo AD = 12.

Calcule BC.

TareaTareaTareaTarea DomiciliariaDomiciliariaDomiciliariaDomiciliaria



8. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C tal que AB = 2BC y AC = 6. Calcule: BC

9. Si: M es punto medio de y AC – CE = 32. Hallar MC

10. Si: AB = 10, BC = 18. Hallar BM, siendo M punto de

11. Si M es punto medio de y AB + AC = 38. Hallar AM.

12. Si P y Q son puntos medios de y . Hallar MR

A) 12 B) 20 C) 24 D) 26 E) 28

13. Si: PR + PQ = 64. Hallar QR

A) 14 B) 15 C) 16 D) 18 E) 20

14. Calcular QR, si. PR = 18; QS = 22, PS = 30

A) 8 B) 9 C) 10

D) 11 E) 12

15. Si: 3PQ = 4QR = 5RS = 60. Calcular PS

A) 41 B) 43 C) 47 D) 48 E) 60

16. Si: M y N son puntos medios de y , Hallar PQ

A) 24 B) 36 C) 48 D) 46 E) 50

17. Si: N es punto medio de PR y PQ – QR = 48. Hallar NQ

A) 15 B) 28 C) 29 D) 34 E) 17

18. En una calle recta de 280 m de longitud, se encuentran ubicados una cantidad de árboles separados a 20 m de distancia uno del otro. ¿Cuántos árboles hay en la avenida, si hay un árbol en cada extremo?

19. Sobre una línea recta se tienen los puntos consecutivos �, �, y � tal que � = 2 ��, � = 3 �� y �� = 30 �. Calcule ��.

20. Si N es punto medio de QR y además PQ+PR=30. Hallar PN

A) 10 B) 15 C) 20 D) 30 E) 40



EL ÁNGULO

LECTURA: La matemática prehelénica fue algo más que un empirismo factible, una colección de procedimientos prácticos que si bien llegaron a aciertos notables, como es el caso de la fórmula para calcular el volumen de un tronco de pirámide cuadrada, puede llevar a errores como hubo varios. El razonamiento lógico se contrapone a los procedimientos empíricos porque no basa sus aseveraciones en la observación, ciertamente la usa como medio para ganar intuición, pero es más bien el uso de la lógica formal la que nos ayuda a encontrar la verdad. Pongamos un ejemplo, sabemos que todas las rocas son duras y sabemos además que el cuerpo humano cuando cae desde una altura superior a los dos metros sobre una cosa dura se daña de manera severa. Si alguien nos propusiera lanzarnos de la azotea de una construcción sobre un conjunto de piedras desde una altura de 10 metros, realmente no necesitamos experimentar lo que puede pasar, seguro vamos a resultar lastimados y esto es una consecuencia lógica de los hechos que se enunciaron al principio de este párrafo. Del mismo modo, si sabemos que dos rectas a lo más se intersectan en un punto, entonces no es posible que por dos puntos dados pase más de una recta porque de lo contrario estas rectas se intersectarían en dos puntos y ya habíamos dicho que esto es imposible. Así, a partir de uno o varios resultados geométricos, es posible demostrar otros sin necesidad de hacer experimentos. No estamos diciendo que la experimentación sea inapropiada, al contrario, la experimentación sirve para plantear conjeturas y para corroborar los resultados que se obtengan a partir del razonamiento lógico. Este modelo de pensamiento es el que finalmente les permitió a los griegos construir la Geometría Sistemática o Matemática. No se sabe bien a bien cómo lograron asimilar los griegos los conocimientos científicos

de los egipcios. Lo que si está claro es que los griegos fueron muy respetuosos de la sabiduría en oriente, Egipto y Babilonia. A pesar que este auge de los griegos fue mucho más reciente que el de los egipcios, actualmente no se tienen escritos griegos originales sobre Geometría. La fuente más importante sobre esta historia es el sumario de Eudemo escrito por Proclo quien vivió en el siglo V d. de C., varios cientos de años después del decaimiento de la cultura griega. Este texto es un resumen de otra obra mucho más extensa y antigua escrita por Eudemo, alumno de Aristóteles, en algún año anterior a 335 a. de C., que también se llama el Sumario de Eudemo y ahasta donde se puede apreciar por unas cuantas hojas que se conservan de este trabajo, se trató de un compendio muy completo de la historia de los griegos.

DEFINICIÓN Ángulo es la unión de dos rayos que tienen un origen común.

ELEMENTOS - Lados: Son los rayos y - Vértice: Es el origen común “B”

Notación: En general los ángulos se designan con tres letras mayúsculas; la letra central corresponde al vértice.

Algunas veces, cuando no hay lugar a confusión un ángulo se nombra con la letra del vértice.

∢ABC, CBA∧

El símbolo ∢ se lee “ángulo”

MEDIDA DE UN ÁNGULO La medida de un ángulo está determinada por la abertura que forman los dos rayos que lo conforman. Para realizar la medición de un



ángulo, se cuenta con tres sistemas de medida muy conocidos:

El sistema sexagesimal El sistema centesimal Sistema radial

a. Sistema sexagesimal Consiste en dividir el ángulo de una vuelta (circunferencia) en 360 partes iguales (ángulos iguales), de modo que cada una de esas partes se toma como unidad de medida y se le llama grado sexagesimal (1°). De este modo una vuelta consiste de 360 grados sexagesimales. Asimismo, un grado se vuelve a dividir en 60 partes iguales, siendo cada una ellas un minuto sexagesimal (1’). Si un minuto sexagesimal se divide nuevamente en 60 partes iguales, cada una de ellas es un segundo sexagesimal. 1 vuelta = 360° 1° = 60’ 1’ = 60’’ El instrumento que se usa para medir ángulos en este sistema se llama transportador.

b. Sistema centesimal Consiste en dividir el ángulo de una vuelta, en 400 partes iguales, siendo cada una de ellas un grado centesimal (1g) 1 vuelta = 400g

c. Sistema radial Su unidad de medida es el radián

ACTIVIDAD 1. Realice con el Profesor una experiencia,

mediante la cual determine, en qué consiste un radián.

2. Usando tu transportador, dibuja ángulos cuyas medidas sean: 25°, 40°, 75°, 90°, 125°, 175°, 275° y 340°.

3. Convertir 1224’’ en minutos y segundos. 4. Exprese 24356’’ en grados, minutos y

segundos. 5. Expresar 32546’’ en grados minutos y

segundos. 6. Efectuar: 79°50’24’’+20°42’18’’.

7. Efectuar 128°30’56’’-53°56’58’’ 8. Calcular: 190°-42°25’45’’ BISECTRIZ DE UN ÁNGULO Es el rayo que partiendo del vértice, divide al ángulo en dos ángulos congruentes.

Divide al ∢A0B en dos ángulos. P0A∧

y B0P∧

que son congruentes por tener la misma medida “α” luego.

es bisectriz de ∢A0B Actividad: 1. Usando regla y compás, determine la

bisectriz de cualquier ángulo. 2. Dibuje un ángulo de 55°, luego usando regla y

compás, dibuje la bisectriz del ángulo.

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU MEDIDA

Ángulo Nulo Cuando sus dos lados coinciden midiendo de esta manera 0º.

. m∢A0B = 0º .

Ángulo Agudo Es el ángulo cuya medida es menor que 90º y mayor que 0º.

. 0º < m∢A0B < 90º .



Ángulo Recto Es el ángulo cuya medida es igual a 90º.

. m∢A0B = 90º .

Ángulo Obtuso Es el ángulo cuya medida es menor que 180º pero mayor que 90º.

. 90 < m∢A0B < 180º .

Ángulo Llano Es aquel cuya medida es 180º. (sus lados se encuentran extendidos en direcciones opuestas)

. m∢A0B = 180º .

Ángulo de una Vuelta Es el ángulo cuya medida es 360º

. m∢A0B = 360º .

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU POSICIÓN

Ángulo Consecutivos Son los que tienen lados en común y el mismo vértice

Ángulo Opuestos por el Vértice Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y sus lados son opuestos (tienen la misma medida)

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN LA COMPARACIÓN DE SUS MEDIDAS

Ángulo Complementarios Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90º.

. α + β = 90º .

Ángulo Suplementarios Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180º

α + β = 180º .



Actividad: 1. Elabore un mapa conceptual referente al

tema de ángulos. 2. Dibuje ángulos que sean opuestos por el

vértice, luego con la ayuda del transportador mida los ángulos opuestos y compruebe que tienen la misma medida.

3. Con la orientación de tu profesor, descubre una propiedad mediante la cual se pueda determinar el complemento o el suplemento aplicado a un ángulo muchas veces.

TEOREMAS FUNDAMENTALES Teorema I La suma de las medidas de los ángulos consecutivos formados alrededor de un mismo vértice y a un mismo lado de una recta es 180º

. α + β + θ + φ = 180º .

Teorema II La suma de las medidas de los ángulos consecutivos formados alrededor de un punto en un plano es 360º.

. α + β + θ + γ + φ = 360º .

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. En la figura, hallar “θ”

2. Hallar “x”

3. Se tiene los ángulos consecutivos B0A∧

,

C0B∧

y D0C∧

, m∢A0C=60º y m∢BOD=40º,

m∢ D0B∧

=80º. Hallar m∢ C0B∧

.

4. En la figura, hallar “α”

5. En la figura mostrada, hallar “α”

6. En la figura mostrada: α=3x – 10º;

β=2x+5º. Hallar el complemento de “α”



7. En la figura mostrada, es bisectriz del

ángulo A0B, es bisectriz del ángulo B0C,

m∢A0C = 72º. Hallar m∢x0y

8. En la figura, Calcular el valor de “θ”, si

α=x+5º, β = x + 20º ; θ = 4x + 10º, φ = 100º - x.

9. En la figura, m∢A0D = 90º. Determinar el

valor de “x”

10. Calcula el complemento y el suplemento del ángulo que mide 30°28’16’’

11. Hallar el suplemento del complemento de 20º

12. Hallar el complemento de un ángulo que mide el doble de 16º.

13. Halar el suplemento de la mitad de un ángulo que mide 66º.

14. El suplemento de θ es igual a 4θ; hallar “θ” 15. El complemento de “α” más el suplemento de

“α” es igual a 170º. Hallar “α”

16. Si el suplemento de “x” es igual a “2x”. Hallar “x”

1. En la figura, hallar “α”

A) 12º B) 20º C) 10º D) 15º E) 16º

2. Hallar “x”

A) 90º B) 80º C) 100º D) 110º E) 120º

3. Se tienen los ángulos consecutivos B0A∧

,

C0B∧

y D0C∧

. m∢A0C=50º, m∢B0D=30º. Y

m∢A0D=70º.

Hallar m∢B0C

A) 5º B) 10º C) 15º D) 20º E) 25º

4. En la figura, calcular “α”




A) 70º B) 80º C) 90º D) 100º E) 60º

5. En la figura, m∢A0D = 100º. Hallar el valor

de “x”.

A) 15º B) 12º C) 10º D) 15º E) 16º

6. En la figura que se muestra, hallar “x”

A) 10º B) 15º C) 20º D) 25º E) 30º

7. En la figura mostrada: α=4x–15º y β=x–5. Calcular el valor de �.

A) 52º B) 42º C) 32º D) 22º E) 12º

8. Hallar el complemento del complemento del complemento de 50º A) 40º B) 50º C) 60º D) 80º E) 30º

9. El suplemento de un ángulo es 5θ y el complemento del mismo ángulo es θ. ¿Cuál es ese ángulo?

A) 20º B) 22º30'

C) 23º D) 23º30' E) 24º

10. Hallar el suplemento del complemento de 40º. A) 120º B) 130º C) 140º D) 110º E) 90º

ÁNGULOS DETERMINADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA

SECANTE A ELLAS.

Lectura: Tales de Mileto (640- 546 a.C)

Nació y murió en la ciudad de Mileto (en lo que actualmente es Turquía). La opinión antigua es unánime al considerar a Tales como un hombre excepcionalmente inteligente y como es primer filósofo, el primero de los siete sabios griegos.

El hecho, concreto que más aseguró su reputación fue la predicción de un eclipse de sol, que tuvo lugar exactamente en el año que él había predicho.

Igualmente fue el primero en mantener que la luna brillaba por el reflejo del sol. Tomó prestada la geometría de los egipcios y dio en ella un avance fundamental ya que fue el primero en emprender la tarea de demostrar exposiciones matemáticas mediante series regulares de argumentos. En otras palabras inventó la matemática deductiva. Se le asignan entre otros, los siguientes teoremas: 1° Teorema de Tales: un ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto. 2° Todo círculo queda dividido en dos partes iguales por un diámetro. 3° Los ángulos básicos en un triángulo isósceles son iguales, etc.

Tales busca el fundamento natural de las cosas y cree, al respecto, que el principio originario, la sustancia primordial de todas las cosas, es el agua. Pensaba asimismo que el agua llenaba todo el espacio. Se imaginaba a la tierra como un gran disco flotando sobre las aguas, sobre las cuales existiría una burbuja hemisférica de aire, nuestra atmósfera sumergida en la masa líquida. La superficie



convexa de la burbuja sería nuestro cielo y los astros según expresión de Tales “Navegarían por las aguas de arriba”. Escribió un libro de navegación y se decía que usó la constelación de la Osa Menor que él había definido como una característica importante de la navegación. Se cree que Tales pudo haber sido maestro de Anaximandro y que fue el primer filósofo natural de la escuela milesiana.

Actividad: Con la orientación del profesor dibuje rectas paralelas usando regla y compás.

1. Alternos

Internos Externos

Si: //

Entonces:

. α = β .

Si: //

Entonces:

. θ = γ .

2. Ángulos Conjugados Internos Externos

Si: //

Entonces:

. α + β = 180º .

Si: //

Entonces:

. θ + γ = 180º .

3. Ángulos Correspondientes

Si: // , Entonces:

. α = β .

Propiedad

Si: //

Entonces:

x = α + β .


1. En la figura // . Aplicando las propiedades que conoces calcula todos los ángulos que faltan.






5. En la figura identifica qué tipo de parejas son los ángulos “marcados” y escribe la propiedad que le corresponde, sabiendo que:

// .

6. Si: // . Hallar “x”

7. Si: // . Hallar “x

8. Si: // Hallar “x



1. Dos ángulos son complementarios, uno de ellos mide 38°24’52’’. Hallar la medida del otro ángulo.

2. Si el suplemento del complemento de un ángulo es igual a 124°34’20’’. Hallar la medida del ángulo.

3. La medida de un ángulo es igual a ocho veces su complemento. Encontrar el suplemento de dicho ángulo.




4. Los ángulos consecutivos �� y �� forman

un ángulo que mide 130°. Hallar la medida del ángulo formado por sus bisectrices.

5. Si: // Hallar “x+y”

6. Si: // Hallar “x” y “2y”

7. Si: // Hallar “x”

8. En la figura adjunta, las rectas �% y �" son paralelas, ¿cuánto mide el ángulo representado por �?

9. En la figura �% es paralela con �", Calcular la medida del ángulo que mide �.

10. En la figura mostrada, �% es paralela con �", Calcular la medida del ángulo que mide �.

11. Si las rectas �%, �" y �& son paralelas, ¿cuánto vale � en la siguiente figura:

12. En la figura, las rectas �%, �" y �& son paralelas. Calcular la medida del ángulo que mide �.

L1

L2

65' �

40'

35'

�

40'

L1

L2

�

150'

L1

L2

��(

�

80'

L1

L3

L2

*+(

�

*�(

L1

L3

L2 *+(



Lectura: Euclides Casi nada se sabe de Euclides, fuera de las noticias que menciona Proclo en su resumen histórico, según el cual Euclides fue un sabio Alejandrino que floreció hacia el 300 a.C, que publicó numerosas obras científicas, destacándose entre ellas los célebres “Elementos”, cuya importancia científica y didáctica se pone en evidencia ante el hecho de que hasta hace pocos años eran aún utilizados como texto escolar. Por lo demás, ese trabajo fue siempre considerado como sinónimo de geometría, y su extraordinaria difusión le permite rivalizar con las obras cumbres de la literatura universal: la Biblia, la Divina Comedia, el Quijote, etc. Euclides se educó probablemente en Atenas, lo que explicaría su buen conocimiento de la geometría elaborada en la escuela de Platón, aunque no parece que estuviera familiarizado con las obras de Aristóteles. Enseñó en Alejandría, donde alcanzó un gran prestigio en el ejercicio de su magisterio durante el reinado de Tolomeo I Soter. CONCEPTO El triángulo es una figura geométrica formada por tres segmentos que resultan de unir tres puntos no colineales en el plano.

Los triángulos son las figuras más

importantes en el estudio de la geometría, gran parte de las propiedades y teoremas que se

estudian están relacionados con las propiedades del triángulo.

Grandes matemáticos dedicaron su tiempo al estudio de estas figuras y han descubierto extraordinarias propiedades que se cumplen el triángulo.

Actividad 1. Con la orientación de tu profesor, recorta

tiras de papel de diferentes longitudes, agrúpalos de tres en tres, luego pega por los extremos para formar triángulos. Debes descubrir una propiedad, la cual te permita decidir cuándo es posible construir un triángulo y cuando no.

2. Con tres medidas que te proponga el profesor, construye triángulos que tengan por lados, dichas medidas exactas, usando regla y compás.

3. Con la propiedad que has descubierto en la parte 1, evalúa si es posible construir triángulos con las siguientes medidas: a) 6, 6 y 9 cm. b) 12, 15 y 21 cm. c) 6, 9 y 18 cm. d) 5, 6 y 11 cm.

4. Con la orientación de tu profesor, dibuja triángulos de diferentes tamaños, luego recorta sus tres ángulos y júntalos por sus vértices. Descubrirás con esta experiencia una importante propiedad geométrica.

5. Ahora dibuja triángulos de diferentes tamaños, pero que todos ellos posean dos lados de igual longitud. Después de identificar los lados iguales, recorta los

II Bimestre

El Triángulo

MSc. Miguel Ángel Yglesias Jáuregui



ángulos que se les oponen (o que están frente a ellos) en el triángulo. ¿qué ocurre con ellos? ¿tienen la misma medida? Enuncia la propiedad que has descubierto con esta experiencia.

6. Usando las rectas paralelas, demuestra que la suma de los ángulos internos en un triángulo es 180°.

7. Usando la propiedad anterior ¿qué ocurre si sumas los ángulos externos del triángulo? ¿cuánto suman? Enuncia la propiedad.

8. Dibuja triángulos equiláteros de diferentes tamaños, luego con tu transportador mide sus ángulos ¿qué ocurre? Enuncia la propiedad que has descubierto.

9. Dibuja un triángulo, luego marca dos ángulos internos y el ángulo externo no adyacente a ellos. Recorta los ángulos internos y trata de cubrir con ellos el ángulo externo, ¿qué ocurre? ¿has descubierto alguna propiedad con esta experiencia?

10. Hay una propiedad que se llama la propiedad del pantalón, pide a tu profesor que lo enuncie, y con su orientación demuestra dicha propiedad.

11. Pide a tu profesor, ejemplos con los cuales puedas aplicar las propiedades descubiertas.

CLASIFICACIÓN

Según la Medida de sus Lados

Escaleno Isósceles Equilátero

Según la Medida de sus Ángulos

Obtusángulo Acutángulo Rectángulo

PROPIEDADES BÁSICAS 1. La suma de los ángulos interiores en un

triángulo es 180º

. α + β + γ = 180º .

2. Un ángulo exterior cualquiera es siempre igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él.

. γ = α + β .

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Hallar α en:

2. Hallar “x”:

3. Hallar θ:

4.



5. Calcular “x”

6. Hallar “x”, si BD es bisectriz

7. Hallar “x” si SL es bisectriz

8. Hallar “x”

9. Hallar “x” en

10. En la figura, hallar “x”

11. Determinar “x”

12. Calcular “x”, si AB = BC = CD

13. Determinar “x”. Si AB = BC, BP = BQ

14. Hallar “θ”

15. Hallar la suma de los ángulos ∧A ,

∧B ,

∧C ,

∧D

y ∧E .

16. Hallar “α” en:



17. En un triangulo Rectángulo, uno de sus

ángulos agudos es el doble del otro. Hallar el mayor de los ángulos.

18. En un triangulo isósceles la medida de su ángulo diferente es igual al triple del ángulo común. Cual es dicho ángulo.

19. Los angulos de un triangulo miden; x, 2x y 7x. Hallar el mayor de los angulos

1. Hallar “α” en:

A) 12º B) 13º C) 14º D) 15º E) 16º

2. Hallar “x” en:

A) 10º B) 20º C) 30º D) 40º E) 50º

3. Hallar θ en:

A) 10º B) 30º C) 20º D) 40º E) 5º

4. Hallar “α” si:

A) 30º B) 40º C) 38º D) 25º E) 20º


A) 70º B) 80º C) 90º D) 60º E) 100º


A) 10º B) 20º C) 30º D) 40º E) 50º


A) 15º B) 12º C) 11º D) 10º E) 14º


A) 30º B) 40º C) 50º




D) 60º E) 70º


A) 5º B) 50º C) 30º D) 60º E) 40º

10. Hallar el valor de “x”

A) 10º B) 30º C) 40º D) 20º E) 60º

Lectura: Arquímedes

Arquímedes fue un gran matemático de todos los tiempos, sin lugar a dudas el mayor de la antigüedad. Nació en la ciudad griega de Siracusa en la isla de Sicilia aproximadamente en 287 a. de C., y murió durante el saqueo romano de Siracusa en 212 a. de C.,

Es altamente probable que Arquímedes haya pasado cierto tiempo en Egipto, en la Universidad de Alejandría, porque tenía estrechos lazos de amistad con matemáticos muy cercanos a Euclides.

A diferencia de sus predecesores, Arquímedes no se dedicó a compilar resultados, sus trabajos son completamente originales y hoy en día son consideradas obras maestras de exposición matemática que aún en la actualidad se utilizan como modelos de producción científica. Actualmente se tiene conocimiento de unos diez tratados de Arquímedes y se tiene conocimiento de otros que se encuentran perdidos. Su contribución más importante a la Matemática es su anticipación al cálculo integral,

Tres de sus obras existentes están dedicadas a la Geometría Plana. Son Medidas de una Circunferencia, Cuadratura de la Parábola y sobre Espirales. En la primera de estas obras, Arquímedes propuso el método clásico para el cálculo del número ,, que consiste en computar sucesivamente el perímetro de polígonos regulares llevando el proceso al límites.

Sobre su vida no se sabe mucho. Su padre fue un astrónomo reconocido llamado Fidias que tenía una relación muy cercana con el rey Hiero II de Siracusa. Parte de su formación matemática lo obtuvo en la Universidad de Alejandría donde trabajó con sucesores directos de Euclides, y posiblemente, con el mismo Euclides. Cuando regresó a Sicilia, Roma y Cártago se encontraban luchando en las Guerras Púnicas, y Sicilia era una posición estratégica en el Mediterráneo para ambos bandos. A Arquímedes se atribuyen la invención de muchos mecanismos de aplicación en la Guerra que le permitieron a Siracusa soportar por buen tiempo el asedio Romano.

Aún después de la caída de Siracusa, Arquímedes continuó estudiando matemáticas. Un día estaba haciendo diagramas en la arena y estaba allí absorto en sus pensamientos cuando los soldados romanos le derribaron.

ALTURA:

Segmento que sale de un vértice y corta en forma perpendicular al lado opuesto o a su prolongación.

Ortocentro (H):

Es el punto donde se intersectan las tres alturas de un triángulo.

Líneas y Puntos Notables



H:es el Ortocentro.

MEDIANA:

Segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto a dicho vértice.

BARICENTRO (G):

Es el punto donde se intersectan las tres medianas de un triángulo.

G: es el Baricentro

��TEOREMA

GSCGGNAGGMBG

222

===

PARA RECORDAR.

TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO BARICENTRO.

DIVIDE A CADA MEDIANA EN RELACIÓN COMO 1 ES

A 2.

EL BARICENTRO ES SIEMPRE UN PUNTO INTERIOR.

ES LLAMADO TAMBIÉN GRAVICENTRO O CENTRO DE

GRAVEDAD DE LA REGIÓN TRIANGULAR.

BISECTRIZ:

Segmento que divide a un ángulo interior o exterior en dos ángulos de igual medida.

INCENTRO (I):

Es el punto donde se intersectan las tres bisectrices interiores de un triángulo, es el centro de la circunferencia inscrita

PARA RECORDAR.

TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO INCENTRO.

EL INCENTRO EQUIDISTA E LOS LADOS DEL

TRIÁNGULO.

EL INCENTRO ES SIEMPRE UN PUNTO INTERIOR

DEL TRIÁNGULO.

EXCENTRO (E):

Es el punto donde se intersectan dos bisectrices exteriores con una bisectriz interior en un triángulo, es el centro de la circunferencia exinscrita

E: Encentro relativo de



PARA RECORDAR.

TODO TRIÁNGULO TIENE TRES EXCENTROS.

LOS EXCENTROS SON SIEMPRE PUNTOS

EXTERIORES AL TRIÁNGULO.

MEDIATRIZ:

Es una recta que pasa por el punto medio de un lado cortándolo en forma perpendicular.

: Mediatriz de

CIRCUNCENTRO (O):

Es el punto donde se corta las tres mediatices de un triángulo.

C: Circuncentro, es el centro de la circunferencia circunscrita

PARA RECORDAR.

TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO CIRCUNCENTRO.

EL CIRCUNCENTRO EQUIDISTA DE LOS VÉRTICES DEL TRIÁNGULO.

ES UN PUNTO INTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES ACUTÁNGULO.

ES UN PUNTO EXTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES OBTUSÁNGULO.

SI ES RECTÁNGULO ESTÁ EN EL PUNTO MEDIO DE LA HIPOTENUSA.

Propiedad: Si: “0” es circuncentro

⇒ . x = 2α .

CEVIANA:

Segmento que une un vértice con un punto cualquiera del lado opuesto o de su prolongación.



CEVACENTRO (C)

Es el punto donde se intersectan tres cevianas de un triángulo.

PARA RECORDAR:

TODO TRIÁNGULO TIENE INFINITOS

CEVACENTROS.

OBSERVACIONES:

- PARA UBICAR UN PUNTO NOTABLE SÓLO ES

NECESARIO TRAZAR DOS LÍNEAS NOTABLES DE

LA MISMA ESPECIE. - EN TODOS LOS TRIÁNGULOS ISÓSCELES SI SE

TRAZA UNA DE LAS CUATRO PRIMERAS LÍNEAS

NOTABLES HACIA LA BASE; DICHA LÍNEA

CUMPLE LAS MISMAS FUNCIONES QUE LAS

OTRAS. - EN TODO TRIÁNGULO EQUILÁTERO EL

ORTOCENTRO, BARICENTRO, INCENTRO Y

CIRCUNCENTRO COINCIDEN. - EN TODO TRIÁNGULO ISÓSCELES, EL

ORTOCENTRO, BARICENTRO, INCENTRO Y EL

EXCENTRO RELATIVO A LA BASE, SE

ENCUENTRAN ALINEADOS EN LA MEDIATRIZ

DE LA BASE.

PROPIEDADES CON LÍNEAS NOTABLES

1. Ángulo formado por dos bisectrices interiores:

� = 90' +.'

2

2. Ángulo formado por dos bisectrices exteriores:

� = 90' −.'

2

3. Ángulo formado por una bisectriz interior y una exterior:

� =.'

2

4. Propiedad:

� = �+( −0

1



TEOREMA DE PITÁGORAS: En todo triángulo recto (o triángulo rectángulo), el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos.

21 = 01 + 31 ACTIVIDAD: 1. Elabore un mapa conceptual, sobre el tema:

“líneas y puntos notables” 2. Dibuje un triángulo y ubique exactamente el

incentro. 3. Demostrar con la orientación de tu profesor

las propiedades (teoremas) 1, 2 y 3. 4. Con la ayuda del profesor, recorta un

triángulo, luego usando regla y compás determina los puntos medios de cada lado. A continuación ubica el baricentro y sostén por medio de un hilo el triángulo en dicho punto. Si el baricentro (centro de gravedad) fue bien ubicado, el triángulo permanece en posición horizontal. Investiga porqué ocurre esto.

5. Pídele a tu profesor que te enseñe a construir la mediatriz de un segmento. Luego dibuja un triángulo y en cada uno de sus lados traza la mediatriz respectiva. El punto en que se cruzan las tres mediatrices ¿ cómo se llama?. Verifica que dicho punto es el centro de una circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo (circunferencia circunscrita)

6. En un pueblito del Callejón de Huaylas, hay un parque que tiene la forma de un triángulo. El Alcalde dispone de un solo farol para poner en dicho parque, de modo que todos sus vértices sean igualmente iluminados. Como Usted estudia en el COCIAP está en

condiciones de sugerir al alcalde la ubicación del farol, ¿dónde debe hacerlo?

7. Un triángulo equilátero de lado � está inscrito en una circunferencia, ¿calcule el radio de la circunferencia ( este problema debe entender plenamente su solución, porqué será muy aplicado en próximos temas)


1. Hallar “x” si BM es bisectriz

2. Hallar “a” si BM es mediana

3. Hallar “α” si BH es altura.

4. Hallar el valor de “x”, si G es el baricentro.

5. Hallar “x”:

4

5

6 7

� *

� 0

8

4

5

6

�

2

0

3

2



6. Hallar el valor de “x” en







13. Hallar de “x” en

14. Hallar “x”

15. Hallar “x”, si BH es bisectriz



1. Hallar “x”

A) 10º B) 20º C) 30º D) 40º E) 50º

2. Hallar “x” en

A) 40º B) 30º C) 20º D) 10º E) 15º

3. Hallar “x”, si BF es bisectriz

A) 10º B) 15º C) 17º D) 20º E) 30º

4. Hallar “x” si BM es bisectriz

A) 30º B) 35º C) 36º D) 40º E) 20º

5. Hallar AM si BM es mediana

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

6. El baricentro de un triángulo se encuentra a 6 cm de uno de sus vértices. ¿cuál es la longitud de la mediana correspondiente a dicho vértice?

7. Hallar el valor de “x” si G es el baricentro

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

8. Hallar “x” en la siguiente figura

A) 30º B) 40º C) 60º D) 70º E) 45º





A) 60º B) 90º C) 120º D) 140º E) N.A.

10. Hallar “x”

A) 80º B) 90º C) 100º D) 110º E) 120º

11. Hallar “x”

A) 30º B) 60º C) 90º D) 70º E) 120º



Isaac Newton (1642 - 1727)

Científico y matemático inglés nacido en Woolsthorpe y fallecido en Lóndres. Newton ha sido considerado por muchos como la mayor inteligencia que jamás ha existido. Su padre murió antes del nacimiento del enfermizo Isaac, y su madre se volvió a casar cuando su hijo tenía tres años de edad. El muchacho fue criado por su abuela, hasta que un tío suyo se dio cuenta de la inteligencia inusual del pequeño y convenció a su madre para que lo matriculase en Cambridge. A finales de 1664 Newton, tras estudiar las obras de Euclides, Kepler, Vieta y sobre todo la de los conocimientos matemáticos de la época, se encontraba preparado para hacer sus propias contribuciones originales. Sus primeros descubrimientos datan de 1665, se derivan de su habilidad para expresar funciones en términos de series infinitas. También empezó a pensar por esas fechas, en la velocidad del cambio o fluxión de magnitudes que varían de manera continua o fluentes, tales como longitudes, áreas, volúmenes, distancias, temperaturas … En 1666, la peste asoló Lóndres y se retiró a la finca de su madre huyendo del peligro, y fue durante este período cuando llevó a cabo sus principales descubrimientos: el teorema binomial, el cálculo, la ley de gravitación y la naturaleza de los colores. Sus obras más importantes son: “Philosophiae naturalis principia mathematica”, el tratado más admirado de todos los tiempos, en que se

presentan los fundamentos de la física y astronomía formulados en el lenguaje de la geometría pura; “Methodus fluxionum et serierum infinitorum” en que se describe el método de las fluxiones para explicar sus métodos infinitesimales; “Optics”, en el que se describen los experimentos con la luz y el color que le condujeron a enunciar teorías sobre la naturaleza de la luz; “Arithmetica Universalis”, famoso tratado que contiene las fórmulas para las sumas de las potencias de las raíces de una ecuación algebraica. Sin embargo a pesar de sus propias contribuciones al álgebra, Newton parece haber preferido el análisis geométrico de los antiguos, y en consecuencia la sección más larga de “Arithmetica Universalis”, es la que está dedicada a la resolución de cuestiones geométricas. Introducción: El hombre en el transcurso de su desarrollo ha buscado delimitar los terrenos donde habita o trabaja mediante líneas cerradas que suelen presentar partes rectilíneas (principalmente formas rectangulares, cuadradas, etc.); para esto, recurrió a formas poligonales, cuyas propiedades son necesarias conocer. También en la naturaleza se observan formas poligonales por ejemplo: el panal de abejas está formado por celdas hexagonales, la piedra de los doce ángulos. Definición: El polígono es la figura geométrica plana que tiene varios ángulos y resulta den unir

III Bimestre

El Polígono


Lectura



tres o más puntos no colineales mediante segmentos de recta no secante. Etimológicamente, “polígono” proviene de las raíces griegas “POLI” que significa varios y “GONO” que significa ángulo.

N° de lados = N° de vértices = N° de s internos.

ELEMENTOS: Vértice : A, B, C, D, E

Lados : EA,DE,CD,BC,AB

m internos : α, β, θ, γ, ψ m externos : x, y, z, … POLÍGONO CONVEXO Es cuando tienen todos sus ángulos internos convexos. Es decir mayores que cero y menores que 180.

POLÍGONO NO CONVEXO O CÓNCAVO Cuando algunos de sus ángulos internos son mayores de 180° y menores que 360°.

α, β, θ > 180°

CLASIFICACIÓN DE LOS POLIGONOS CONVEXOS 1. Polígono Equiángulo.-

Cuando tienen todos sus ángulos internos (congruentes) iguales. Ejm:

2. Polígono Equilátero.- Cuando tienen todos sus lados (congruentes) iguales. Ejm:

Pentágono no convexo equilátero 3. Polígono Regular.-

Cuando sus lados son ≅ (iguales) y sus ángulos son ≅ (iguales). Ejms:

Triángulo equilátero

El cuadrado

Interno )

Externo )

A

B

C

E

D

β

θ

Diagonal

Zy°

x°

β

θ

120° °

°

°°

°

120° 120°

120° 120°

120°

a

a

a

aa

a a

a

60°

60° 60°



El pentágono regular

Etc. Actividad: 1. Elabore un mapa conceptual para el tema “el

polígono”. 2. Discute e investiga, si la circunferencia es

un polígono. 3. Usted sabe que al sumar los ángulos del

polígono de tres lados (triángulo), nos da 180°. Aplicando el método de razonamiento inductivo, descubra una propiedad para sumar los ángulos internos de cualquier polígono.

4. Usando la propiedad descubierta, ahora ¿qué ocurre si suma los ángulos externos de cualquier polígono?

5. Aplicando el método inductivo, descubra una propiedad para calcular el número de diagonales de cualquier polígono.

6. ¿Cuál es otra forma de identificar un polígono convexo y un polígono cóncavo?

7. Dibuje 5 polígonos convexos y cinco polígonos cóncavos.

PROPIEDADES Para todo polígono convexo.- Si “n” es el número de lados de un polígono convexo, se cumple que 1ra Propiedad.- Suma de las medidas de los ángulos internos

2da Propiedad.- Suma de las medidas de los ángulos externos.

3ra Propiedad.- Número total de diagonales.

4ta Propiedad.- Número de diagonales desde un solo vértice

5ta Propiedad.- Número de diagonales medias

PARA POLÍGONOS REGULARES 6ta Propiedad.- Medida del interior

7ma Propiedad.- Medida del exterior

8va Propiedad.- Medida del central (θ)

9na Propiedad.- Suma de los ángulos centrales.

108°

108° 108°

108° 108°



DENOMINACIÓN DE LOS POLÍGONOS

Triángulo 3 lados Cuadrilátero 4 lados Pentágono 5 lados Hexágono 6 lados Heptágono 7 lados Octágono 8 lados Nonágono 9 lados Decágono 10 lados Undecágono 11 lados Dodecágono 12 lados Pentadecágono 15 lados Icoságono 20 lados Enégono n lados


01) En un polígono convexo, la suma de las medidas

de sus ángulos interiores y exteriores es 1620°. Calcular el número de diagonales de dicho polígono.

02) En un polígono, la diferencia entre la suma de sus ángulos interiores y exteriores es 180°; entonces el doble del número de lados es:

03) La suma de las medidas de los ángulos internos

y centrales de un polígono es igual a 2700°. Calcular el número de diagonales.

04) La suma de las sumas de las medidas de los ángulos internos de dos polígonos es 900°. ¿Qué polígonos cumplen con dicha condición?

05) Calcular el número de lados de un polígono regular, donde al aumentar en dos su número de lados, la medida de su ángulo externo disminuye en 9.

06) En un cuadrado ABCD, se construye interiormente el triángulo equilátero AED. Calcular �∡�:�

07) En un polígono regular ABCDE… la �∢�: =

144' ¿Cuántas diagonales medias tiene? 08) La diferencia entre el número de diagonales de

cierto polígono regular y el número de ángulos rectos a que equivale la suma de los ángulos internos es 8. calcular la medida del ángulo central.

09) Calcular la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono regular. Si: 9. �∢ext = 5. �@ DT: Diagonales Totales

10) En un polígono convexo, la diferencia de entre la suma de sus ángulos internos y la suma de sus ángulos externos es igual a 1440°. Calcular el número de diagonales de dicho polígono.

01) En un pentágono regular, ¿cuánto mide cada uno de sus ángulos interiores?

02) Si el número total de diagonales de un polígono es 9; entonces el número de lados que tiene el polígono es:

03) En un hexágono regular, ¿cuánto mide cada

uno de sus ángulos interiores?

04) En un polígono de “n” lados desde 4 vértices consecutivos se trazan 81 diagonales. Calcular “n”.

a) 12 b) 14 c) 16 d) 24 e) 20

05) Si en un polígono regular su número de lados aumenta en 5, entonces las medidas de su

Tarea DomiciliariaTarea DomiciliariaTarea DomiciliariaTarea Domiciliaria



ángulo exterior disminuye en 6. calcular su número de lados. a) 15 b) 12 c) 18 d) 20 e) 25

06) En un polígono regular al disminuir en 6 el número de sus lados, la medida de su ángulo externo aumenta en 80°. ¿Cuántos lados tiene dicho polígono? a) 10 b) 7 c) 9 d) 12 e) 8

07) Calcular el número de diagonales de un polígono,

si la suma de las medidas de sus ángulos

internos es igual a 2

9de la suma de sus ángulos

externos. a) 19 b) 28 c) 34 d) 37 e) 44

08) Dos polígonos regulares tienen ángulos

centrales que se diferencian en 9°. Si uno de ellos tiene la mitad del número de lados del otro. Calcular el número de lados de los dos polígonos. a) 10 y 20 b) 20 y 40 c) 30 y 60 d) 15 y 30 e) 40 y 80

09) Cuantos lados tiene aquel polígono

equiángulo, Si la suma de las medidas de 7 ángulo internos es 1134. a) 25 b) 40 c) 35 d) 20 e) 30

10) La suma y diferencia de las medidas de los

ángulos exteriores e interiores de dos polígonos regulares es 100 y 20 ¿Cuánto mide el ángulo central del polígono de mayor número de lados? a) 20 b) 30 c) 40 d) 36 e) 50

Leibniz (1646 - 1716) Gottfried Wilhelm Von Leibniz nació en

Leipzig, Alemania; fue diplomático, lingüista, filósofo y matemático; son conocidas sus contribuciones a la lógica simbólica y a la filosofía; también perfeccionó la máquina de calcular inventada unos años antes por Pascal, pero su mayor fama se debe a que inventó, igual que Newton, el cálculo diferencial e integral. Lo curioso es que Leibniz empezó a estudiar matemáticas cuando tenía 26 años; estaba en París, desempeñando un puesto diplomático cuando conoció a Christian Huygens (1629 - 1695) un sabio holandés famoso por sus investigaciones en física y astronomía pero también por sus trabajos en matemáticas y éste, adivinando el genio de su futuro discípulo, aceptó sin vacilaciones.

Unos años después, en 1684, apareció la primera publicación sobre cálculo diferencial: unas 7 páginas escritas por Leibniz, en la revista alemana “Acta Eruditorum”. La utilidad del invento y la sencillez de la notación utilizada por Leibniz hicieron que el nuevo cálculo se divulgara rápidamente a pesar de no tener todavía fundamentos lógicos. Los últimos años de su vida de Leibniz fueron amargados por la recia polémica que mantuvo con Newton sobre la prioridad de la invención del cálculo infinitesimal. También lo afectó mucho que su patrono por más de 40 años, el duque de Brunswick, no lo llevara con él cuando fue llamado a ocupar el trono de Inglaterra (1714). A pesar de los valiosísimos aportes de Leibniz a la matemáticas, murió olvidado por todos, y se dice que sólo su secretario presenció su entierro.

Lectura



DEFINICIÓN.- un cuadrilátero es el polígono que tiene 4 lados, teniendo dos a dos un extremo común.

ELEMENTOS.-

1) LADOS ( )DAyCD,BC,AB

Son los segmentos rectilíneos que lo limitan. Los lados que no tiene vértice común recibe el nombre de lados opuestos.

Ejm: AB y CD , son lados opuestos como

BC y DA .

2) VÉRTICES: (A, B, C y D) Son las intersecciones de dos lados consecutivos. En todo cuadrilátero, el número de lados es igual al número de vértices.

3) ÁNGULOS INTERIORES (α1, α2, α3 y α4) Son los ángulos que se forman por dos lados consecutivos, la suma de s interiores en un cuadrilátero es = 360°. Se cumple que:

α1 + α2 + α3 + α4 = 360°

4) ÁNGULOS EXTERIORES (B1, B2, B3 y B4)

Son los ángulos formados en un vértice por un lado y la prolongación del lado consecutivo. Los ángulos exteriores son adyacentes a los interiores.

La suma de sus ángulos exteriores en un cuadrilátero es igual a 360°

B1 + B2 + B3 + B4 = 360°

5) DIAGONALES ( )BDyAC

Son los segmentos de recta que unen dos vértices no consecutivos.

CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS Por la forma de su contorno Convexos.- Son aquellos cuadriláteros en los que cualquier recta secante, determina 2 puntos de corte.

Cóncavos.- Son aquellos cuadriláteros en los que existe al menos una secante que determina más de dos puntos de corte.

OJO: en ambos casos se refiere a “secante” como una recta que corta o cruza al cuadrilátero. CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS

CONVEXOS De acuerdo al paralelismo de sus lados los cuadriláteros se dividen en: Trapezoide, Trapecio y Paralelogramo.

A B

CD

B1

B4

B3

B21α 2α

3α4α

A

B

C

D

1

2

1 4

32

El Cuadrilátero



A

B

D

C

θ θLínea de Simetría

m m

L

L : mediatriz de BD

θ θ

B

b BA

D C

A. Trapezoides.- Son aquellos cuadriláteros que no tienen lados opuestos, ningún lado paralelo al otro paralelo. a. Simétrico.- Es aquel en el que una de

sus diagonales es mediatriz de la otra.

Propiedades:

α==θ==

==

CDBBDA

CBDDBA

CDAD;BCAB

b. Asimétrico: Es aquel que no tiene

ninguna simetría. También llamado trapezoide irregular.

B. Trapecios.- Es el cuadrilátero que solo tiene dos lados paralelos denominados bases.

BASES: BC ; AD

AD//MN//BC

MN : Mediana del trapecio. Es el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos. Se le conoce también como “base media”.

CH : Altura del trapecio. Es la distancia entre sus dos bases.

CLASIFICACIÓN DE LOS TRAPECIOS a. Escaleno.- Es aquel que tiene sus lados no

paralelos desiguales.

b. Isósceles.- Es aquel que tiene sus lados no paralelo iguales. Se cumple

ACBD

DC;BA

BCAD

===

=

Los ángulos opuestos son suplementarios θ + α = 180°

βθa

b

c

d

A

B C

D

M N

H

l m

ml

a b

//



c. Rectángulo.- Es aquel trapecio donde uno sus lados no paralelos es perpendicular a sus bases.

PROPIEDADES DEL TRAPECIO

C. PARALELOGRAMOS.- Son aquellos cuadriláteros que tienen sus lados opuestos paralelos y congruentes. Se cumple que los ángulos opuestos son de igual medida y dos ángulos consecutivos siempre suplementarios. Además sus diagonales se bisecan mutuamente.

Se cumple:

BC//ADyDC//AB ⇒ CDAB;BCAD ==

⇒ ODBOyOCAO ==

⇒ :CH altura - Los ángulos opuestos son iguales y los

ángulos adyacentes a un mismo lado son suplementarios.

CA;DB ==

180DC

180BA

=+=+

a. Romboide.- Es el paralelogramo

propiamente dicho.

( BF;BH : Alturas)

b. Rectángulo.- Es el paralelogramo que

tiene sus cuatro ángulos iguales y rectos (equiángulo) y sus lados opuestos iguales dos a dos. Llamado también, cuadrilongo.

Se cumple: CDAB;BDAC

90DCBA

==°====

- Las diagonales son iguales:

BCAD =

c. Rombo.- Es un paralelogramo que tiene sus cuatro lados iguales y sus ángulos opuestos dos a dos. Es un paralelogramo equilátero.

B

A

D

C

b

a

m

b

a

n

0

A

B C

D H

m

n m

n

θ

θ

A

B C

DH

a

b

a

b

F

A B

C D

θ

θ

α + θ = 180°

2

abm

+=

2

abn

−=



a a

a a

C

A

BDθθ

θθ

CBCDABAD ===

BA

DC

= 45°

CADCBDAB ===

- Las diagonales son perpendiculares entre si y bisectriz de sus ángulos.

d. Cuadrado.- Es un paralelogramo que

tiene sus cuatro lados iguales y sus cuatro ángulos iguales y rectos (es un paralelogramo equiángulo y equilátero)

- Sus diagonales son iguales.

BCAD =

PROPIEDADES GENERALES 1. Ángulo formado por 2 bisectrices.

2. ángulo formado por dos bisectrices interiores no consecutivos.

3. cuadrilátero cóncavo.

4.

β

θφ

βx°

A

B

C

D

A

B

C

D

x°

θ

ββ

φ

x

A C

B

D

β

abx

2x

φ+θ=

2x

φ−θ=

γ+β+α=x

2

bax

+=



5.

Definición: el perímetro de polígono es la longitud de la curva que determina el polígono, así que para calcularlo sólo hay que sumar las longitudes de los lados del polígono. Calcular el perímetro de un polígono regular es muy sencillo puesto que todos los lados son iguales y por lo tanto si el polígono tiene A lados, su perímetro será A por la longitud del lado. Actividad 1. Elabore un mapa conceptual acerca del

“cuadrilátero” 2. ¿Cómo se llama el polígono regular de 4

lados? 3. El rombo ¿es un polígono regular? ¿porqué? 4. ¿En qué se diferencia un cuadrado de un

rombo? 5. En qué se diferencia un romboide de un

rectángulo? 6. Recorte un romboide, ¿puede Usted,

convertir dicho romboide en un rectángulo? 7. Recortar trapecios con las medidas que

indique el profesor, luego dibuje la mediana y compare su longitud, con la suma de las longitudes de las bases, ¿qué ocurre?

8. Un agricultor quiere dividir un campo rectangular de 80 m por 60 m en ocho parcelas triangulares iguales, pero no sabe cómo hacerlo. Su nieto, que resulta ser un

muchacho muy inteligente y que estudia en el COCIAP, le dice la manera de hacerlo, ¿cómo crees que es posible hacer eso? Explica tu método.

9. Resuelto el problema anterior, calcula el perímetro de cada una de las parcelas triangulares, sabiendo que del centro del campo dista 50 m de cada uno de los vértices del campo rectangular. PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. El perímetro de un rombo es 20 cm y uno de sus ángulos mide 85°; determina la longitud de cada uno de sus lados y calcula los ángulos.

2. Dibuja un trapecio de bases 5 y 9 cm; une los puntos medios de los lados no paralelos y pasa a medir el segmento así determinado. Compara este resultado con la suma de las longitudes de las bases. ¿qué deduces?

3. En el siguiente trapecio, calcular �.

4. En el paralelogramo ABCD hallar �∡��. 5. El siguiente trapecio rectangular está

formado, como muy bien puedes observar, por la combinación de un cuadrado y la mitad de otro. ¿Cómo lo puedes dividir en cuatro partes exactamente iguales?

b

a

yx

2

abx

−= 2

aby

−=

�

B�(+�C1�′′

4

5 6

E +� −18º

��-40º



6. De un triángulo isósceles sabemos que su

perímetro es 23 cm y que uno de sus lados mide 9 cm. ¿Cuánto medirá el lado desigual?

7. Un trapecio isósceles tiene la base mayor triple que la menor; cada uno de los lados oblicuos mide 10 cm y es 5/4 de la base menor. Determina el perímetro del trapecio.

8. En el gráfico adjunto se sabe que ABC es un

triángulo equilátero y BCDE es un cuadrado. Calcular la medida de la base media del triángulo. Si se sabe que la suma de los perímetros de ambas figuras es igual a 28.

9. En el siguiente rectángulo, la medida del

ángulo � es 90°. si el perímetro de la figura es 80 cm. Calcular la diferencia de sus lados BC y DC. Si sabemos que están en la relación de 1 a 3.

10. Calcular el valor de “x” en el gráfico

mostrado, si se sabe que (BC // AD)

11. Si a un cuadrado cuyo lado mide F, le aumentamos 6 cm a uno de sus lados, se obtiene un trapecio rectángulo cuya mediana mide 15 cm. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado? ¿Cuánto mide su perímetro?

12. Las bases de un trapecio isósceles están en relación de 5 a 7. Si la suma de sus lados no paralelos es 18 cm, y su perímetro mide 42 cm, ¿cuál es la longitud de la base mayor?

01) En el gráfico mostrado, calcular el valor de “x”.

a) 75 b) 72 c) 90 d) 60 e) 54 02) En el paralelogramo FJHC, ¿cuánto miden

los ángulos F y G?

a) ∡G = 66'20′ y ∡G = 113'20′ b) ∡G = 66'20′ y ∡G = 113'40′

A

B

D

E

C

A B

CD

4

3a 3b

12

x

a b

x°

θθ

θ3

7

2

A

B C

D

G

H I

J +� −42º

1� + 1Kº




c) ∡G = 68'20′ y ∡G = 113'40′ d) ∡G = 66'20′ y ∡G = 113'10′ 03) Las bases de un trapecio isósceles están en

la relación de 5 a 7. si además sabemos que el perímetro es 38 y los lados no paralelos miden 7. Calcular el valor de la mediana del trapecio.

a) 14 b) 10 c) 12 d) 16 e) 18 04) Calcular el perímetro del paralelogramo

ABCD

a) 386 cm b) 380 cm c) 300

cm d) 350 cm e) 400 cm

05) Calcular a° + b° + c° en el siguiente gráfico.

a) 240 b) 170 c) 190 d) 200 e) 180 06) Las bases de un trapecio están en la

relación de 6 a 10. Calcular la relación entre la base mayor del trapecio con su respectiva mediana.

a) 7/4 b) 3/2 c) 5/2 d) 5/3 e) 5/4

07) En la siguiente figura se tiene que ABCD es

un cuadrado de lado 4 cm. Determine el perímetro de la región sombreada.

a) 8 cm. b) 10 cm c) 12 cm. d) 16 cm e) 20 cm.

08) Calcular la longitud de la base menor del

trapecio ABCD.

a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 10

09) En la siguiente figura, el centro es un

cuadrado de 4 cm de lado. Calcule el perímetro de la región sombreada, sabiendo que todos los triángulos son equiláteros.

A

B C

D

θ

F

G E

θ

θ θa° b° c°

A

B C

D

A

B C

D 20

16

�

0

K0

3

K3

7 M

�

�

�

NK� + K�O2P

N ��

−�

�O 2

P

N 1�

+�

QO 2

P



a) 28 cm. b) 30 cm

c) 32 cm. d) 36 cm e) 40 cm.

10) En un trapecio donde las bases miden 24

cm y 8 cm, calcular la distancia entre los puntos medios de sus diagonales

a) 8 cm. b) 3 cm c) 12 cm. d) 6 cm e) 4 cm.

11) El Lado mayor de un triángulo es 8/5 del

lado menor y éste 5/6 del lado mediano. Sabiendo que el perímetro es 38 dm, determina la longitud de los tres lados.

12) La figura es un cuadrado, halle su perímetro si las longitudes están dadas en centímetros

Lectura: René Descartes (1596 - 1650) Filósofo y matemático Francés nacido en La Haye y fallecido en Estocolmo. Descartes usó su nombre latinizado: Renatus Cartesus. Esta es la causa de que su sistema filosófico se llame cartesiano y que el sistema más corriente sobre el que se trazan curvas que representan ecuaciones (inventado por él) se llame cartesiano. Descartes contribuyó principalmente a la ciencia con sus matemáticas. Se interesó especialmente en esta materia cuando estuvo en el ejército, ya que la inactividad de que gozó le dejaba mucho tiempo

para pensar. En esta época descubrió la fórmula poliédrica conocida como fórmula de Euler (es decir: R + S = . + 2). Posteriormente sus investigaciones se dirigieron a la consecución de una regla para la construcción de raíces de cualquier ecuación cúbica o cuártica por medio de una parábola. No está claro si ya había descubierto su geometría analítica para el año 1628, pero hay evidencias que demuestran que la invención de la geometría cartesiana no puede ser posterior a esta fecha. Su obra matemática fundamental es La Géometrie cuyo estudio permitió conocer la geometría analítica a sus contemporáneos. En 1635 Descartes publicó un libro sobre la teoría de ecuaciones, incluyendo su regla de los signos para saber el número de raíces positivas y negativas de una ecuación. Unas cuantas décadas más tarde, el físico y matemático inglés Isaac Newton descubrió un método iterativo para encontrar las raíces de ecuaciones. INTRODUCCIÓN: la necesidad de aprovechar adecuadamente la naturaleza llevó al hombre a medir los terrenos de cultivo y viviendas. Para ello, se ha visto obligado a crear ciertos conceptos y postulados que le permitan medir una región poligonal (triangular, cuadrangular, etc.) circular o compuesta.

Es el trajinar de nuestra vida, en donde nos hemos visto con la necesidad de calcular el área de la superficie de una pared para poder pintarla, así también, la necesidad de saber cuánto de madera se necesita para construir una puerta, una ventana, o simplemente saber la extensión del piso de nuestras habitaciones, etc. Por consiguiente, se hace evidente que debemos conocer cómo se calcula el área de una región plana.

�

�

�

K� − T

1� + +T � + T1

Lectura

Área de Figuras Planas



REGIÓN PLANA CERRADA Es una porción de plano, limitada por una línea cerrada.

La línea cerrada es el contorno o borde de una región. Dependiendo de las características de esta línea, a las regiones podemos clasificarlas en regiones, triangulares, cuadrangulares, poligonales, circulares, curvilíneas o mixtilíneas. Por cuestiones prácticas, a una región plana cerrada la llamaremos región plana o simplemente región. DEFINICIÓN.- El área de un cuadrado cuyo lado tiene longitud F es: F"

� = F × F = F"

Si F = 1 V, entonces decimos, que el cuadrado es una región unitaria, cuya área es 1 V". DEFINICIÓN: el área de una región plana es la medida de la extensión o superficie de dicha región, y es el número de veces que ésta contiene a una región unitaria.

- En la figura que sigue se muestra una superficie,

- para calcular su área, cubrimos ésta con cuadrados, donde cada cuadrado se asume que tiene 1cm de lado.

Observamos que la superficie está cubierta por 44 cuadrados pequeños, como cada uno de ellos tiene área � = 1R� × 1R� = 1R�", entonces el área de la superficie �W será:

�W = 44 R�" - Por ejemplo, Usted siempre ha escuchado a

los mayores decir; el área del terreno que se dispone para hacer una casa es de 180m2 ¿Qué significa esto?, pues significa que dicho terreno se podría cubrir con 180 cuadrados pequeños de un metro de lado cada uno.

ACTIVIDAD: A continuación se propone al estudiante un conjunto de actividades, para las cuales debe agenciarse de los siguientes materiales: Papel bond A4, papel dúplex, regla, lápiz o lapicero, tijera, goma, cinta scottch. 1. Área del rectángulo

Recorta un rectángulo cuya base sea de 10cm y su altura 8cm. Luego marca con tu regla cada centímetro sobre el rectángulo y traza líneas como se muestra en la figura

- ¿Cuáles serían las dimensiones de cada

uno de los cuadrados pequeños (cuadrículas)? ¿cuánto es el área de cada uno de ellos? ¿pueden tomarse como regiones unitarias?

- ¿con cuántas regiones unitarias se ha cubierto el rectángulo?

- ¿cuánto es el área del rectángulo?

X

X



- Si tuvieras cualquier otro rectángulo, ¿cuál sería la manera más directa de obtener el total de regiones unitarias que lo cubren?

- En base a lo a tu razonamiento escribe una fórmula para obtener el área del rectángulo.

2. Área del triángulo A estas alturas Usted ya sabe cómo obtener el área de un rectángulo. Para descubrir la fórmula con la cual se pueda obtener el área del triángulo, haga lo siguiente: - Recorte un rectángulo de cualquier

tamaño e identifique la base y la altura (o largo y ancho)

- Dibuje un triángulo sobre el rectángulo, tal como se indica en la figura:}

- Recorte el triángulo siguiendo las líneas punteadas. Luego, ¿puedes cubrir el triángulo más grande con los dos triángulos más pequeños que te sobraron?

- ¿Cuántos triángulos iguales obtuvistes? - Si el área del rectángulo es �▭ = Z × ℎ,

entonces ¿cuánto es el área del triángulo? ¿porqué?

- Escribe la fórmula que has descubierto para calcular el área del triángulo.

3. Área del romboide En este caso, Usted también hará uso de lo que ya sabe, el área del rectángulo - Recorte un rectángulo de cualquier

tamaño e identifique la base y la altura como se indica:

- Trace una línea sobre el rectángulo como se indica en la figura, luego corte

- Una de las piezas obtenidas es un

triángulo. Traslade el triángulo como se indica.

- La figura que Usted ha obtenido se llama

romboide. Si el área del rectángulo es �▭ = Z × ℎ, entonces ¿cuánto es el área del romboide? ¿porqué?

- Escriba una fórmula para encontrar el área de un romboide.

4. Área del rombo

- Recorte un rectángulo de cualquier tamaño e identifique la base y altura como se indica:

h

b

h h h

b

h

b

h

b



- Para dibujar un rombo, ubique los puntos

medios de cada lado del rectángulo y recorte por las líneas punteadas como se muestra en la figura:

- Se obtiene un rombo como en la siguiente figura. Además de eso hay cuatro triángulos sobrantes. Usted puede comprobar que todos ellos son iguales.

En este caso se observa que la diagonal grande y la diagonal pequeña son respectivamente la base y la altura del rectángulo, es decir: � = Z y \ = ℎ. Si esto es así, entonces ¿es cierto que el área del rectángulo también lo podemos escribir como �▭ = � × \?

- Con los triángulos restantes, ¿puedes

cubrir o formar otro rombo idéntico al que has recortado?

- Recuerda que ambos rombos provienen de un rectángulo cuya área es �▭ = � × \, si esto es así, entonces ¿cómo es el área del rombo? ¿porqué?

- Escribe la fórmula para encontrar el área de cualquier rombo.

5. Área del trapecio - Recorte un rectángulo de cualquier

tamaño, luego marque dos segmentos de igual longitud cómo se indica en la figura.

- Trace las líneas que se indican y recorte para formar el trapecio

En este caso se observa que la base del rectángulo es � + Z, mientras que su altura es .Si esto es así, entonces el

área del rectángulo también lo podemos escribir como �▭ = N� + ZO × ℎ.

- A continuación, separe el trapecio del

centro e identifique la base mayor, la base menor y la altura.

- Al separar el trapecio indicado, le sobran dos figuras. Identifique dichas figuras sobrantes, luego ¿puedes cubrir o formar otro trapecio idéntico al que has separado?

- Recuerda que ambos trapecios provienen de un rectángulo cuya área es �▭ = N� +

ZO × ℎ, si esto es así, entonces ¿cómo es el área del trapecio? ¿porqué?

- Escribe la fórmula descubierta para encontrar el área del trapecio.

PROPIEDADES: Para calcular el área de figuras elementales se tienen las siguientes fórmulas, las que Tú ya has encontrado en la actividad anterior.

b

b

B+b

b

b

h h

B



Rectángulo: El lado de mayor longitud se llama base (o largo), mientras que el lado de menor longitud es la altura (o ancho) del rectángulo.

4 = 5. ]

Triángulo: En este caso, dependiendo de la forma del triángulo, tenemos las siguientes propiedades:

4 =5. ]

1

Cuando el triángulo es equilátero

4 =√K

�X1

Cuando se tiene un triángulo recto (o triángulo rectángulo)

4 =0 3

1

Romboide:

4 = 5 . ] Rombo:

4 =E . _

1

Trapecio:

4 =N5 + 3O. ]

1

Círculo:

4 = , `1

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. En la siguiente figura se muestran tres

romboides distintos, que tienen la misma base y la misma altura. Calcule el área de

5

]

5

]

5

]

_

E

3

5

]

X X

X

0

b

a



cada uno de ellos, luego que ¿podría opinar al respecto?

2. Calcule el área de un triángulo cuya base y

altura miden 8cm y 5cm respectivamente.

3. Un terreno tiene la forma de un rombo. Si sus diagonales miden 10m y 25m ¿cuánto vale su área?

4. Las diagonales de un trapecio rectángulo

miden 26cm y 30cm respectivamente; si su altura es de 24cm, calcule el área.

5. La base y la altura de un romboide son respectivamente 18cm y 5cm. Calcule su área.

6. Calcule el área de un terreno que tiene la forma y dimensiones que se indican

7. Al igual que el caso anterior un terreno tiene la forma y dimensiones que a continuación se indican:

8. De dos terrenos de igual superficie se sabe

que uno es un cuadrado de perímetro 160 metros y el otro un rectángulo de 2.5 Dm de anchura. ¿Cuál es la longitud del segundo terreno?

9. En un trapecio isósceles la diferencia de las bases es de 10 cm, la altura de 12 cm y el perímetro 72 cm. Calcular su área.

10. Las dimensiones de un rectángulo ABCD

son: �� = 5 R� y �� = 3 R�. Halla sobre �� un punto b cuya distancia � = b� sea tal que el área del trapecio b�� sea el cuádruplo del triángulo �b�.

1. La base de un rectángulo mide 26 m. Calcular su área, si el segmento que une el punto medio de su base con un vértice superior mide 5√10 �.

a) 234 m2 b) 236 m2 c) 240 m2

d) 250 m2 e) 260 m2

2. Hallar el área del rombo cuyo lado mide 4

cm, si la suma de sus diagonales es 12 cm. a) 10 cm2 b) 12 cm2 c) 14 cm2 d) 16 cm2 e) 20 cm2

3. La suma de los catetos de un triángulo

rectángulo es 16 m y la hipotenusa mide 2√34 �. Calcular el área del triángulo.

a) 10 m2 b) 15 m2 c) 20 m2 d) 25 m2 e) 30 m2

4. Calcular el área de la región sombreada,

teniendo en cuenta que la circunferencia tiene 2 cm de radio:

5 5 5

]

4cm

15cm

10cm

8cm

80cm

30cm

50cm

3cm

5cm




a) 4N5 − cO cm2 b) 4N4 − 2cO cm2 c) 6N4 − cO cm2 d) 5N4 − cO cm2 e) 4N4 + cO cm2

5. Calcular el área de la región sombreada. El

triángulo inscrito en la circunferencia es equilátero y el radio de dicha circunferencia es 2 cm.

a) 4c − √3 cm2 b) 4c − 3√3 cm2 c) 5c − 3√3 cm2 d) 4c − 2√3 cm2 e) 4c − 3√2 cm2

6. En la siguiente figura, el área del cuadrado

ABCD es 169 m2. Calcular el área del triángulo equilátero BRC

a) # √%&

d m2 b) e √%&

d m2

c) %&√&

d m2 d) %fg √&

d m2

e) & √%&

d m2

7. El perímetro del rectángulo mide 40

metros, calcule su área

a) 200 m2 b) 250 m2

c) 300 m2 d) 400 m2

e) 520 m2

8. Calcular el área del cuadrado ABCD. El triángulo CRD es equilátero.

a) 28/3 m2 b) 43/3 m2 c) 32/3 m2 d) 47/3 m2 e) 35/3 m2

9. En la figura, la altura del trapecio es de 6 metros mientras que su área mide 105 m2. Calcule la longitud de su base mayor

a) 20 m b) 22 m c) 25 m d) 30 m e) 35 m

10. Calcular el área del cuadrado, si se tiene en cuenta que M, N, P y Q son puntos medios.

a) 500 m b) 505 m c) 510 m d) 512 m e) 550 m

11. Calcular el área de la región sombreada

de la siguiente figura, teniendo en cuenta que el lado del cuadrado inscrito en la circunferencia mide 6 cm:

4

5

h

6

E

3�

�

4

5

h

6

E

Q P

1�

+�

7

i

M

j

�* P

�* P



a) 18Nc − 2OR�" b) 18Nc − 3OR�" c) Nc − 2OR�" d) 15Nc − 2OR�" e) 18c R�"

12. Calcular el área de la región sombreada, tenga en cuenta que � es diámetro de la circunferencia

a) N"e kl"dO

d R�" b) Ne kldO

d R�" c)

N"e kl"mO

d R�"

d) Ne kl"O

d R�" e) N"e kl"dO

f R�"

A

B C

3 cm

4 cm



Pierre Fermat (1601 - 1665) Matemático Francés nacido en Beaumont de Lomagne y fallecido en Tolouse. Si Descartes tuvo un rival, en lo que ha capacidad matemática se refiere en su época, éste fue Fermat, quien por cierto, tampoco era un matemático profesional, sino mas bien un gran abogado de su tiempo. Pero considerando lo que hizo por las matemáticas se piensa qué hubiera hecho si se hubiera dedicado de pleno a ellas. Fermat tuvo la costumbre de no publicar nada, sino anotar o hacer cálculos en los márgenes de los libros o escribir casualmente sus descubrimientos en cartas a amigos. El resultado de ellos fue perderse el honor de acreditarse el descubrimiento de la geometría analítica, que hizo al mismo tiempo que Descartes.

Descartes sólo consideró dos dimensiones, mientras que Fermat estudio las tres dimensiones. Igualmente pudo adjudicarse el descubrimiento de algunas características que más tarde inspirarían a Newton. También se dedicó al estudio de las probabilidades y al estudio de los números enteros. La ariemética en este campo obtuvo su éxito más sonado al describir el ¨Gran Teorema de Fermat¨, según el cual la ecuación �n + on = pn no tiene solución entera para A > 2.

Este teorema que Fermat aseguraba en uno de sus borradores haber demostrado, ya

fue demostrado por el Doctor Andrew Wiles, hace pocos años. Lo curioso es que Fermat aseguraba una demostración sencilla y que no consignaba dicha demostración por que no alcanzaba en el margen del libro que estaba utilizando. Debe decirse al respecto que Andrew Wiles tuvo que inventar una teoría para lograr dicha demostración, la pregunta que ahora nos hacemos, ¿cómo lo pensaría Fermat? INTRODUCCIÓN: La geometría plana trata de figuras que ¨viven¨ en un plano. Sin embargo, en la realidad, la figura plana de dos dimensiones no existe como tal sino formando parte de un cuerpo del espacio. Así cuando manipulamos papel, cartón, madera, etc., lo hacemos con figuras tridimensionales, ya que éstas tienen un cierto grosor; sólo mentalmente separamos la figura plana de la del espacio, imaginándola aisladamente como si no tuviera relación con los cuerpos sólidos.

En esta parte estudiaremos las figuras cuyos elementos básicos están situados en el espacio, lo que constituye el objetivo de la geometría espacial o sólida.

No obstante, los conceptos dados en geometría plana son aplicables de cierto modo a la geometría espacial. ÁNGULOS DIEDROS: Cuando dos planos se cortan, dividen al espacio en cuatro regiones, cada una de las cuales se llama ángulo diedro o simplemente diedro.

IV Bimestre

Geometría del

Espacio


Lectura



Caras de diedro son los semiplanos que lo determinan y aristas la recta común a las dos caras. ÁNGULOS POLIEDROS: si fijas tu atención en la habitación en que te encuentres puedes observar cómo dos paredes contiguas, junto con el techo, se encuentran en un punto. El espacio alrededor de ese punto y comprendido entre las paredes y el techo recibe el nombre de triedro.

En términos generales se llama ángulo

poliedro a al región del espacio limitada por tres o más planos que se cortan dos a dos según rectas concurrentes en un mismo vértice.

Al igual que los diedros, los ángulos poliedros tienen caras y aristas. Identifícalas tú mismo en la figura adjunta:

Según el número de diedros, el poliedro se llamará: triedro, tetraedro, pentaedro, hexaedro, etc. ACTIVIDAD: 1. Sobre una hoja de papel o cartulina y

usando regla, transportador, dibuja semirrectas concurrentes en un punto � con los ángulos que se indican en la figura:

Recortando por las líneas punteadas y doblando el papel por las líneas restantes, puedes construir un ángulo poliedro alrededor del vértice �, sólo pegando adecuadamente. ¿Qué tipo de ángulo poliedro obtienes, atendiendo al número de diedros que lo componen?

2. Repite la misma operación con los nuevos

datos adjuntos. ¿Qué puedes observar? ¿Cuál crees que sea la diferencia sustancial entre este caso y el anterior? En general podemos decir que en todo ángulo poliedro, el ángulo formado por las dos aristas correspondientes a cualquier cara ha de ser menor que la suma de los ángulos de las restantes.

3. ¿Cuál de las dos series de datos: 30º, 45º, 60º, y 30º, 45º, 90º, crees que nos define un ángulo triedro.

4. Continuando con el método experimental construye ángulos poliedros en los dos casos siguientes:

cara

cara

arista

ángulo poliedro

r�(

*�(

1+(

1�(

�1�( *�(

1+(

1�(



a) b)

CUERPO GEOMÉTRICO Y POLIEDROS

Consideremos los siguientes objetos, podemos observar que todos ellos ocupan un lugar en el espacio

Llamamos cuerpo a todo objeto que

ocupa un lugar en el espacio Encontramos que algunos cuerpos están limitados solamente por superficies curvas como el balón, o solamente por superficies poligonales, como el dado y el bloque de cemento, o solamente están limitadas por regiones planas y curvas como el cono y la tiza. Llamamos cuerpos o sólidos geométricos a todos los cuerpos que están limitados por superficies planas poligonales, planas y curvas.

PRINCIPALES CUERPOS GEOMÉTRICOS POLIEDROS: consideremos los siguientes cuerpos geométricos Observe que todas estas figuras son partes del espacio limitadas por polígonos. (Triángulos, cuadriláteros, pentágonos, etc.). Llamamos poliedro a los cuerpos geométricos que están limitados por regiones poligonales. En un poliedro se distinguen los siguientes elementos: Caras: son las superficies planas poligonales que limitan el poliedro. Aristas: son los lados de los polígonos que limitan las caras. Vértices: son los puntos donde se cortan tres o más aristas del poliedro. Ángulo diedro: es el ángulo formado por cada dos caras que se cortan en una arista. ACTIVIDAD: Distingue con la ayuda del profesor, los elementos de un poliedro.

�1�( B+(

*�(

�+�(

�1�(

r�(



PRINCIPALES CUERPOS GEOMÉTRICOS

A. POLIEDROS REGULARES: De entre

muchos poliedros que nos podemos imaginar, los de mayor interés son los poliedros regulares.

Se llaman poliedros regulares aquellos cuyas caras son polígonos regulares iguales entre sí y de modo que en cada vértice concurren el mismo número de caras.

Existen sólo cinco poliedros regulares, también llamados sólidos platónicos.

- El tetraedro: limitado por cuatro caras que son triángulos equiláteros.

Actividad: recorta la siguiente figura en forma adecuada para formar el tetraedro.

- El cubo o hexaedro: limitado por seis caras que son cuadrados.

- El octaedro: limitado por ocho caras que son triángulos equiláteros.

Actividad: recorta papel como indica la figura, para formar el octaedro.

- El dodecaedro: limitado por doce

caras que son pentágonos regulares. Actividad: recorta papel como indica la figura y forma el dodecaedro.

El icosaedro: limitado por veinte caras que son triángulos equiláteros.

Actividad: recorta la figura para formar el icosaedro

B. EL PRISMA: te habrás percatado de que en general los edificios se construyen verticalmente y con características comunes que sugieren la idea de prismas. En la figura se muestra un prisma de base pentagonal:

Los prismas son poliedros cuyas caras básicas, paralelas entre sí, son dos polígonos iguales, siendo sus caras paralelogramos.

cara básica

cara básica

Aris

ta la

tera

l

cara

late

ral

arista básica



Hay prismas que son oblicuos, en este caso las caras laterales con las caras básicas no forman ángulo recto, se ilustra en la siguiente figura:

Actividad: construya el prisma que se indica en la figura:

Si las aristas laterales del prisma son perpendiculares a la base, se dice que el prisma es recto; en caso contrario, el prisma es oblicuo. Los prismas rectos se llaman regulares si sus bases son polígonos regulares. Según sean los polígonos de la base los prismas se llaman: triangulares, cuadrangulares, pentagonales, hexagonales, etc.

Área lateral y total de un prisma: el área lateral de un prisma es la suma de la superficie de todas sus caras laterales:

4s = i. ] Donde b es el perímetro de la base y ℎ la altura del prisma. Para obtener el área total del prisma, basta con añadir la superficie de las dos bases. En efecto:

4t = i. ] + 1. 43

Donde �u representa el área de la base. Es preciso indicar que estas expresiones no son válidas para prismas oblicuos.

C. EL PARALELEPÍPEDO: es un caso

particular del prisma, sólo que en este caso todas sus caras son paralelogramos. Como ejemplos de paralelepípedos tenemos:

- El cubo

- El ortoedro

- Romboedro

Algunas propiedades que se cumplen en el paralelepípedo son: • Sus diagonales se cortan en su punto medio. • En el ortoedro, todas sus diagonales son

iguales. Para calcular la diagonal de un ortoedro es preciso aplicar el Teorema de Pitágoras

_1 = 01 + 31 + 21

0

3 P

2

_



Actividad: Demuestre la fórmula anterior

D. La pirámide: esta palabra nos recuerda Egipto y los monumentos que allí sirvieron de tumba a sus faraones. La más grande de éstas es la de Keops, que data del 2600 a.J.C., aproximadamente y es de base cuadrada y con unas dimensiones impresionantes: 230 m de arista de la base y 146 m de altura. Está formada por 2,3 millones de bloques de piedra, cada uno de los cuales pesa aproximadamente 20 toneladas.

La pirámide es un poliedro limitado por

un ángulo poliedro y un plano que corta todas sus aristas en puntos distintos del vértice.

La altura de la pirámide es la distancia del vértice al plano de la base. En una pirámide regular, apotema es la altura de una cualquiera de sus caras laterales. Es de notar que la apotema de la pirámide forma, junto con la apotema de la base y la altura de la pirámide, un triángulo rectángulo.

Actividad: Con la orientación del profesor construye diferentes pirámides. Para esto debes usar hilo elástico y una base que puede ser de triplay.

En el caso de pirámides rectas y de base regular, sus caras laterales son triángulos isósceles todos ellos iguales. Por esto:

- El área lateral es:

4s =�

1 i. 0

- El área total es:

4t = 4s +i. 0′

1=

�

1 i N0 + 0′O

En ambos casos, b representa el perímetro de la base, . es la apotema de la pirámide y .′ la apotema del polígono de la base. E. El cilindro: en la vida diaria nos son

familiares cuerpos como un vaso, un bote, un rodillo o una tubería; tales cuerpos dan la idea de cilindro.

Un cilindro de revolución o cilindro circular recto es generado por la rotación de un rectángulo alrededor de uno de sus lados que es tomado como eje de revolución.

apotema

base

altu

ra

cara lateral

vértice

]

3

]

3



Z: es el radio del cilindro. ℎ: es la altura del cilindro.

También existen cilindros oblicuos, el cual se obtiene de cortar un cilindro de revolución por dos planos paralelos no perpendiculares a sus generatrices, como muestra la siguiente figura: Donde: ℎ: es la altura del cilindro. a: es el radio del cilindro. Para conocer el área lateral y total de un cilindro circular recto, basta concebirlo como cortado a lo largo de la generatriz y desplegarlo en el plano. Su desarrollo lo componen un rectángulo de altura ℎ y dos círculos de radio a.

Ello nos permite concluir que las áreas lateral y total del cilindro son: �w = 2ca. ℎ �@ = �w + 2c a" Actividad: De acuerdo al esquema anterior, construya el cilindro. F. El Cono: la idea de un cono nos viene

sugerida por cuerpos como un embudo o un cucurucho.

Un ejemplo de cono es el caso del cono recto de revolución, el cual es obtenido mediante la rotación de un triángulo isósceles alrededor de du altura.

Conviene señalar, al igual que hicimos en prismas, pirámides y cilindros, que también existen conos oblicuos, los cuales se obtienen de cortar un cono recto por un lado no perpendicular a su eje de rotación.

El área lateral y total del cono son respectivamente: �w =

%

". 2ca. . = ca. .

�@ = �w + ca" = ca. N. + aO

Actividad: Construya el cono, que se sugiere en el esquema anterior.

]

`

]

`



Actividad: Elabore un mapa conceptual acerca del tema de poliedros.


1. Averigua la superficie de un octaedro

regular de 16 cm de arista y de un cubo de igual arista. Determina la relación entre las superficies de estos cuerpos.

2. Cuál es el área del triángulo que se obtiene al unir los vértices de un cubo que son extremos de tres aristas concurrentes.

3. Una caja tiene forma de ortoedro de 8 cm de longitud, 6 cm de anchura. Averigua si en dicha caja puede caber un lápiz de 13 cm de longitud.

4. Un edificio tiene forma de prisma cuya base es un rombo de diagonales de 32 m y 24 m, y de altura igual al perímetro de la base. a. Averigua el área de su planta. b. ¿Cuál es el área de sus cuatro

fachadas? 5. Las bases de un prisma recto son

triángulos rectángulos isósceles de área 8 cm2, y la arista lateral mide 7 cm. Encontrar el área lateral del prisma.

6. Halla el área lateral y total de una pirámide cuadrangular regular, sabiendo que la diagonal de la base mide 2,8 cm y la arista lateral 5 cm.

7. La base de una pirámide regular es un hexágono de 6 cm de lado. Calcula la altura de la pirámide sabiendo que su superficie lateral es doble que la de la base.

8. Halla las aristas lateral y básica de una pirámide cuadrangular regular sabiendo que la suma de todas sus aristas es 68 cm, y que la altura de la pirámide mide 7 cm.

9. La base de un ortoedro tiene 6 cm2 de área y 3 cm de largo. Si la altura del ortoedro mide 6 cm, ¿cuánto mide su diagonal?

10. El área de la base de un prisma triangular regular mide 4√3 R�". Hallar el área total del prisma, si su altura mide 8 cm.

11. La altura de un prisma triangular regular mide 5 m y la diagonal de una de sus caras laterales mide √41 m. Hallar el área de la base.

12. La base de un prisma recto es un cuadrado de 3cm de apotema. Si la altura del prisma mide 12 cm, hallar su área total.

13. La base de una pirámide regular es un cuadrado de 100 m2 de área y su altura mide 10 m. Hallar la apotema de la pirámide.

14. La base de una pirámide es un cuadrado inscrito en una circunferencia de 3 cm de radio. Si el área total de la pirámide es 60 m2, ¿cuánto mide la apotema y la altura de la pirámide?

15. Hallar el área lateral del cilindro circular recto en cuya base hay inscrito un cuadrado de 4√2 cm de lado, si su generatriz mide 10 cm.

16. Un prisma triangular de 15 cm de altura está inscrito en un cilindro circular recto. Si el lado del triángulo de la base del prisma mide 8√3 cm, calcula el área total del cilindro.

17. La longitud de la circunferencia base de un cono circular recto mide 37,68 cm y su generatriz mide el doble del radio de su base. Hallar el área total del cono.

18. Hallar el área total de un cono circular recto cuya base tiene 50,24 cm2 de área y cuya generatriz mide 2 cm más que el radio de la base.

1. Las bases de un prisma recto son rectángulos en los cuales el ancho es la mitad del largo y su perímetro mide 36 m. Si su altura mide 12 m, ¿cuánto mide cada uno de sus diagonales?

2. Hallar el área total de un prisma recto cuya base es un cuadrado de 8 m de lado y cuya altura mide 3 m.

3. El área total de un cubo mide 54 m2, hallar la longitud de la arista.

4. Hallar el área total de un cubo si la suma de sus aristas es 48 cm.

5. Si en una pirámide cualquiera, la base tiene A lados, ¿cuántas aristas laterales tiene?

6. El lado de la base de una pirámide pentagonal regular mide 6 cm y su apotema 4,13 cm. Si la apotema de la pirámide mide 8 cm. hallar el área total de la pirámide.

7. El área total de una pirámide regular de base cuadrada es 69 m2. Si la apotema de




la pirámide mide 10 m, hallar el lado de la base y el área de las caras laterales.

8. La altura de un cilindro mide 10 cm. en la base se ha inscrito un triángulo equilátero de 27√3 cm2 de área, halla el área total del cilindro.

9. La generatriz de un cono mide 17 cm y el radio de la base 8 cm. Hallar el área total del cono.

10. El radio de un cono mide 7 cm y su altura 24 cm. Hallar el área total.

Johann Karl Friedrich GAUSS (1777 - 1855) Matemático alemán nacido en Brunswick y fallecido en Götinga. Gauss fue un niño prodigio en matemáticas y continuó siéndolo toda su vida. Hay quienes los consideran uno de los tres mayores matemáticos de la historia junto con Arquímedes y Newton. Su padre era un obrero en Brunswick, obstinado en sus puntos de vista, que intentó evitar que su hijo recibiera una educación adecuada, pero en cambio, su madre, que tampoco había recibido ningún tipo de educación, animó siempre a su hijo en sus estudios. De niño asistió Gauss a la escuela local, dirigida por un maestro de costumbres rutinarias. Un día, con objeto de mantener la clase atareada y en silencio, el maestro tuvo la idea de hacer sumar a los alumnos todos los números de 1 al 100, ordenándoles además que, según fueran terminando colocaran su pizarra sobre la mesa del maestro. Casi inmediatamente Carl colocó su pizarra sobre la mesa afirmando haber calculado la suma. En la pizarra se encontraba la solución correcta 5050 sin ningún cálculo accesorio, Gauss había sido capaz de sumar mentalmente dicha progresión aritmética. Su inteligencia superdotada llamó la atención del duque de Brunswick, quien decidió costearle todos sus estudios, entrando en 1785 en la Universidad de Götinga. Gauss estaba entonces indeciso entre dedicarse a la filosofía o a las matemáticas. Antes de cumplir los veinte años hizo algunos descubrimientos importantes, entre los que se incluye el método de los mínimos

cuadrados. Según este método, se puede trazar la ecuación de la curva que más se adapte a un número de observaciones y el error subjetivo es llevado al mínimo. El día 30 de Marzo de 1796 se decidió por fin por la matemática, porque ese mismo día, cuando le faltaba aún un mes para cumplir los diecinueve años, hizo un brillante descubrimiento. Desde hacia más de 2000 años, se sabía como construir con regla y compás el triángulo equilátero, el cuadrado, el pentágono regular (así como algunos otros polígonos regulares cuyos números de números de lados son múltiplos múltiplos de dos, de tres o de cinco), pero ningún otro polígono regular con un número primo de lados. Ese día en cuestión Gauss halló un método para construir un polígono equilátero de 17 lados con ayuda de regla y compás, e incluso fue más allá, demostrando que ciertos polígonos equiláteros se podían construir con ayuda de regla y compás. Hizo una labor importante en la teoría de números, sintetizada en su obra Disquisitiones arithmeticae, famosísima obra responsable del desarrollo del lenguaje y de las notaciones de la rama de la teoría de números conocida como álgebra de congruencias, ejemplo primitivo de las clases de equivalencia. También construyó una geometría no euclideana, basada en axiomas distintos a los de Euclides, pero se negó a publicarla. Lobachewski y Bolyai ostentan el honor de su descubrimiento al publicarla algo más tarde. En 1799 Gauss demostró el teorema fundamental del álgebra, que afirma que toda ecuación algebraica de grado A, tiene A raíces (contando sus multiplicidades) En 1801 demostró el teorema fundamental de la aritmética, según el cual: todo número natural se puede representar como el producto de números primos de una y solamente una forma. Fuera del dominio de las matemáticas puras, Gauss ganó gran fama en el campo de la astronomía, a él se debe el hecho de haber calculado la órbita del planetoide ¨ceres¨. Fue nombrado director del observatorio de Gotinga en 1807, durante su estancia en el observatorio, construyó un heliotropo, instrumento que reflejaba la luz solar a grandes distancias y con él los rayos de luz solar se podían emplear como líneas rectas que marcaban la superficie terrestre, pudiéndose obtener así determinaciones

Lectura



trigonométricas más precisas de la forma del planeta. También estudio el magnetismo terrestre, llevando la unidad de flujo magnético su nombre. Se levantó una estatua en su honor en su ciudad natal, que descansa sobre un pedestal en forma de estrella de 17 puntas, en celebración de su descubrimiento de la construcción del polígono de 17 lados.

Hemos estudiado las áreas laterales y totales de poliedros; sin embargo, este aspecto, con ser importante, resulta insuficiente para concebir el espacio que los cuerpos geométricos encierran. Así, por ejemplo, el espacio encerrado en ocho cubos en el mismo sea cual fuere el modo de colocarlos; sin embargo, el área total no es la misma, como puedes comprobar:

El volumen de un cuerpo expresa la medida de su extensión en el espacio. En el sistema métrico decimal se utiliza como unidad de medida del volumen, el metro cúbico (m3), que representa el volumen encerrado por un cubo de un metro de arista. En ocasiones es más aconsejable el uso de múltiplos y submúltiplos de esta unidad. Volumen de los Paralelepípedos – una historia genial

Uno de los problemas clásico que preocupó a los griegos fue la duplicación del cubo; es decir, encontrar el lado de un cubo cuyo volumen sea el doble que el volumen de otro cubo dado.

Este fue llamado el problema de Delos. La historia cuenta que los atenienses apelaron al oráculo de Delos para saber cómo detener la peste que desolaba la ciudad en el 430 a.J.C. Se dice que el oráculo respondió que debían doblar el tamaño del altar de Apolo. Siendo este altar un cubo, el problema era el de su duplicación.

También aparece en una carta de Eratóstenes al rey Ptolomeo, cuando dice: ¨Cuéntase que uno de los antiguos poetas trágicos hacía aparecer en escena a Minos en el momento en que se construía la tumba de Glauco, y, al observar que sólo medía cien pies por cada lado, dijo: ¨Es un espacio muy pequeño para sepulcro de un rey; duplicadlo conservando su forma cúbica, duplicando cada lado¨¨ - y sigue Eratóstenes – es evidente que se equivocaba porque duplicando los lados de una figura plana, se cuadruplicaba, mientras que una sólida se octuplicaba; y entonces, se propuso a los geómetras la cuestión de duplicar una figura sólida dada conservando su forma, y ese problema se llamó duplicación del cubo. Volumen de sólidos: Postulado: el volumen de un prisma es igual al producto del área de su base por la altura del prisma. Postulado: El volumen de una pirámide es igual a un tercio del producto del área de su base por su altura. Teorema: El volumen de un cilindro circular recto es igual al producto del área de su base por su altura. Teorema: El volumen de un cono de revolución es igual a un tercio del área de su base por su altura ACTIVIDAD 1. Ilustre cada postulado y teorema sobre los

volúmenes, mediante figuras y sus respectivas fórmulas.

2. Muestre que el volumen de un paralelepípedo recto (ortoedro) coincide con el volumen de uno que es oblicuo, cuando la base y la altura en ambos casos son iguales.

Volumen de Poliedros



3. En el ángulo C del techo de una habitación se encuentra una araña y el suelo, en el ángulo opuesto K duerme una mosca. ¿Cuál es el trayecto que debe recorrer la araña para llegar hasta la mosca por la distancia más corta? Sugerencia: piense bien antes de tomar la decisión.

4. En la pared interior de un vaso cilíndrico de cristal hay una gota miel situada a 3 cm del borde superior del recipiente. En la pared exterior, en el punto diametralmente opuesto, se ha parado una mosca. Indique cuál es el camino más corto que puede seguir la mosca para llegar hasta la gota de miel. La altura del vaso es de 20 cm y el diámetro de 10 cm. (Ojo: la mosca es súper inteligente y conoce bastante de geometría)

5. Toma una hoja de papel, colócala de forma horizontal y enróllala hasta unir los bordes laterales para obtener un cilindro sin tapas. Haz lo mismo con otra otra hoja dispuesta de forma vertical y observa que ambas tienen la misma área lateral. ¿Se puede asegurar lo mismo de sus volúmenes? Compruébalo rellenando ambos cilindros con granos de arroz u otro producto análogo.

6. Cómo medirías el volumen de un cuerpo irregular, por ejemplo, de una piedra.


1. Un prisma tiene una sección recta que es

un triángulo rectángulo isósceles de 20 cm de hipotenusa. La arista del prisma mide 0,5 m. ¿cuál es el volumen del prisma?

2. Por obstrucción de los desagües de un edificio en un día de lluvia se acumula el agua en los sótanos. Sabemos que el edificio tiene como sección un trapecio rectangular de bases 40 m y 32 m, y de altura 20 m. ¿cuál es el volumen de agua

acumulada en el sótano si su nivel alcanza los 15 cm?

3. ¿Qué volumen tiene un cubo de superficie total 1 m2?

4. El agua de lluvia es recogida en un pluviómetro que tiene forma de pirámide cuadrangular regular. El agua recogida en un día de lluvia alcanzó una altura de 9 cm, formando una pequeña pirámide de 15 cm de arista. ¿Cuál es la altura alcanzada por el agua al verterla en un depósito cúbico de 50 cm de arista?

5. Un túnel de sección semicircular de 40 m de diámetro tiene 1,5 km de longitud. ¿Cuántos metros cúbicos de tierra y roca se han extraído para su construcción?

6. Calcula el volumen engendrado por un triángulo equilátero de 2 dm de altura al girar alrededor de ésta.

7. La generatriz de un cilindro de revolución mide 10 cm. Si su rotación alrededor del eje determina una base de área 28,26 cm2, ¿cuál es su volumen?

8. Una granja se abastece de forraje almacenado en un depósito que tiene la forma de cilindro acabado en su parte inferior en un cono, ambos de 1,5 m de radio, y cuyas alturas miden 3 m y 1,2 m respectivamente. a. Calcula la capacidad de dicho depósito. b. Si la granja consume diariamente

800,7 dm3 de forraje, ¿cuántos días tardará en vaciarse el depósito?

9. Determina la capacidad de un vaso cilíndrico de superficie total 251,2 cm2 y de generatriz igual al diámetro de la base.

10. La generatriz de un cono mide 17 cm y el radio de la base 8 cm. Hallar el volumen del cono.

1. En un tanque cuyas dimensiones son 3 m x

2 m x 1 m, se ha depositado agua hasta 0,5 m de altura. ¿Cuántos litros de agua hay?

2. La base de un prisma triangular regular está inscrita en una circunferencia de 20 cm de diámetro. Si la altura del prisma mide el doble del lado de la base, calcular su volumen.

C

K




3. La base de un prisma recto es un cuadrado de 5 m de lado. Si la diagonal de una de sus caras mide 13 m, hallar su volumen.

4. La altura de un prisma regular mide 9 cm y

su volumen 225 cm3. Si su base es un cuadrado, calcular el lado de la base.

5. Se cava una zanja de 4 m x 3 m x 1 m de

dimensiones y la tierra se emplea para hacer adobes de dimensiones 20 cm x 12 cm x 10 cm, ¿cuántos adobes se obtiene?

6. La base de una pirámide regular es un

cuadrado de 6 cm de lado. Si su apotema de la pirámide mide 5 cm, calcule su volumen.

7. Hallar el volumen de una pirámide regular

inscrita en un cubo de 18 m de arista.

8. Los lados de la base de una pirámide triangular miden 3 m, 4m, y 5 m. Si el volumen de la pirámide es 18 m3, hallar su altura.

9. Calcular el volumen de un cilindro circular

recto que tiene un radio igual al lado del triángulo equilátero de 9√3 cm2 de área, si su altura es el triple del radio.

10. Un pozo de agua tiene la forma de un

cilindro circular recto y una capacidad de 37680 litros. Si su altura mide 3 m, hallar el diámetro de la base.

11. Un prisma triangular regular de 15 cm de

altura está inscrito en un cilindro circular recto. Si el lado del triángulo de la base del prisma mide 8√3 cm, calcule el volumen del cilindro.

12. Un cilindro circular recto está lleno de

agua hasta la tercera parte de su altura. Al agregarle una piedrecilla el nivel el agua sube 2 cm, hallar el volumen de la piedrecilla, si el radio de la base es de 3 cm.

13. Sobre la base superior de un cilindro

circular recto de 3 m de radio y 6 m de

altura, se construye un cono cuya altura es los 2/3 de la altura del cilindro. Hallar el volumen del cuerpo formado.

14. El volumen de un montículo de arena que

tiene la forma de un cono circular recto es 10048 m3. Si el diámetro de la base mide 4 m, ¿cuánto mide su altura.


BIBLIOGRAFÍA

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