Modulo Etnomatematica I Curso

Serie: Interculturalidad y Educacin

Hugo Sierra Valdivia

Etnomatemtica Andina en Educacin Matemtica Hugo Sierra Valdivia

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SUMARIOPg. Prlogo 1. Etnomatemtica y educacin matemtica 1.1 El enfoque intercultural en la reforma educativa del Per. 1.2 Interculturalidad en el rea de matemtica. 2. Las ideas fundamentales de soporte a la etnomatematica en la naturaleza de la matemtica y las metas de la educacin. 2.1 Cmo conceptualizar etnociencia?, y etnomatemtica? 2.2 Relacin Etnomatemtica Matemtica. 2.3 Relacin Etnomatemtica Educacin Matemtica. 3. Primero etnogeometra para seguir con etnomatemtica 3.1 Introduccin 3.2 Qu es etnomatemtica? 3.3 Qu es la etnogeometra? 3.4 Conclusin Conceptos claves del pensamiento matemtico andino: Yupay Nmero 4.1 Sistemas de numeracin. 4.2 Sugerencias metodolgicas. 5. Khipu Signos 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 Introduccin. Numerologa andina: sillares de la filosofa cosmolgica andina Gnesis andino Ley de relatividad andina. Ley de analoga. Primera cualidad. Segunda cualidad. Tercera cualidad. Cuarta cualidad. Quinta cualidad. 5.6 Sugerencias metodolgicas 6. El mundo de las Mandalas 6.1La Mandala: un fenmeno multicultural Asia. Pases rabes. Europa. Australia. Amrica. 6.2Sugerencias metodolgicas. 44 44 45 45 45 45 46 27 28 30 31 31 32 35 37 37 39 41 02 03 03 04 06 06 07 09 11 11 11 14 17 19 19 24 27 27

4.

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PRLOGOEl hombre calcula segn su cultura White, 1947

No considerar esta memoria, equivaldra por un lado a negarnos la posibilidad de pensar y de vivir de un modo distinto; y por el otro, a negar la naturaleza de una lgica distinta en la que se desarrollan nuestras culturas. Este trabajo es probablemente inslito y quizs logre una apertura a lo que nosotros denominamos la lgica del otro, importante porque busca conciliar la matemtica occidental y la matemtica andina entendidas ambas como etnomatemticas de pueblos y culturas distintas pero no antagnicas. Aborda la etnomatematica andina desde una perspectiva cosmolgica, filosfica, antropolgica y religiosa traducida en la dimensin curricular, metodolgica y didctica de la misma. Con esta antologa se demuestra una rigurosidad poco usual en publicaciones sobre etnomatematica, contiene ideas subversivas en el pensamiento, contraviene lo que usualmente es aceptada como verdad nica y reconocida universalmente, se rechaza la hegemona de la visin eurocntrica del conocimiento matemtico y busca el respeto y el dilogo que debe existir entre dos culturas partir de los conocimientos regionales y su forma de comprensin del mundo. Se busca impregnar en las lgicas y juicios distintos, que existe una matemtica no convencional subyacente en las mentes de hombres y mujeres, nias y nios andinos. Se procura aceptar que si la cultura occidental tiene cientficos la cultura andina tiene sabios, si la madre de las ciencias en la cultura occidental es la filosofa, en la concepcin filosfica andina es la etnomatematica entendida como etnociencia. Entender esos principios naturales en la relacin del hombre con el cosmos es y debe ser el punto de partida de nuestra accin educativa en nuestra variada realidad andina. En esa lnea de pensamiento, esta tentativa de aproximarnos e interpretar la realidad andina a partir de la etnomatematica, est abierta, esperando que mentes brillantes como las vuestras sigan investigando, profundizando y proclamando este conocimiento sagrado y extraordinario denominado etnomatematica andina. Hugo Sierra Valdivia

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ETNOMATEMTICA Y EDUCACIN MATEMTICA1.1 EL ENFOQUE INTERCULTURAL EN LA REFORMA EDUCATIVA DEL PER.

C

on los lineamientos de la poltica nacional de educacin intercultural y educacin bilinge intercultural publicados en 1991, en el Per se puso en marcha un cambio de perspectiva. Desde entonces la educacin intercultural no se refiere nicamente a los grupos indgenas, sino que se convierte en un principio que gua la educacin de todos los peruanos: La interculturalidad deber constituir el principio rector de todo el sistema educativo nacional. En tal sentido, la educacin de todos los peruanos ser intercultural. (Proyecto Educativo Nacional al 2021). El concepto se ha ampliado de una orientacin intercultural limitada al marco de la educacin bilinge a una orientacin intercultural general de la educacin inicial y primaria. Los trminos interculturalidad, multiculturalidad o pluriculturalidad se encuentran en los objetivos generales de la educacin de los programas de enseanza de primaria. Se emplean en tres sentidos:

Descriptivo, como denominacin de las condiciones sociales, culturales y

lingsticas del pas. El Per es un pas multicultural y multitnico; diversidad tnica, cultural y lingstica de la sociedad peruana.

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Normativo, para formular los objetivos generales de la educacin. El

tratamiento de la interculturalidad nos lleva a preparar al nio y a la nia para vivir en una sociedad dividida en numerosos estratos y a comprenderla a travs de la integracin en la diferenciacin; la educacin debe concordar con nuestra realidad de pas multicultural y multitnico; la diversidad cultural debiramos estimarla como una riqueza; el nio debe afianzar su sentido de pertenencia a su cultura y al Per colmo pas diverso donde coexisten culturas igualmente valiosas.

Didctico metdico, como dimensin pedaggica (contenido transversal) ocomo principio fundamental para todas las reas, grados y ciclos de estudio: el contenido transversal de interculturalidad constituye un principio rector del sistema educativo, y se entiende como un proceso dinmico que permite construir relaciones ms equilibradas basadas en el respeto y el dilogo entre los actores de diversos universos sociales y culturales coexistentes en el pas.

El trmino general de interculturalidad se emple en los trminos de enseanza tal como se formula en la poltica nacional educativa: Per se describe como un pas multicultural y multilinge que se caracteriza por su variedad de culturas, y ello deber ser considerado en clase. Sin embargo, no slo se presenta un cuadro armnico de esta realidad, sino que se pone nfasis en que la realidad social del Per muestra varios problemas y conflictos: pobreza, discriminacin, desigualdad social, violencia, racismo etnocentrismo, prejuicios, estereotipos, discriminacin tnica. La meta de la educacin intercultural es contribuir a la solucin de conflictos sociales y culturales, contrarrestar actitudes racistas y discriminatorias que se dan en la vida cotidiana. Con esta concepcin de la educacin intercultural para todos los peruanos, orientada a la solucin de conflictos y problemas, los programas de enseanza del pas son, en comparacin con otros pases latinoamericanos, notablemente elaborados, innovadores y consecuentes. 1.2 INTERCULTURALIDAD EN EL REA DE MATEMTICA. La adaptacin de los contenidos y mtodos de las lecciones de matemtica al contexto cultural usualmente abarca una amplia gama de aspectos:

Aspectos socioculturales: las formas usadas en medidas y pesos, lamedicin del tiempo y el entendimiento de ste, la forma como se percibe el espacio y la distribucin del espacio, la funcin del clculo en la vida cotidiana.

Aspectos lingsticos: la construccin de conceptos numricos y de palabras

para designar los nmeros, la terminologa matemtica, el vocabulario empleado para las medidas de masa y peso.

Aspectos semiticos: la representacin de cantidades en forma grficaicnica y numrica; la organizacin del tiempo y del espacio.

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Aspectos aritmtico-geomtricos: la forma de los nmeros (conjuntos,

series, rangos), los mtodos de apoyo para la representacin de cantidades, los algoritmos de las operaciones matemticas, las formas de percepcin y reconstruccin de perspectivas.

Aspectos de conceptualizacin: La teoras numricas, la prototeorasmatemticas, el desarrollo cientfico de sistemas matemticos, entre otros. Las intenciones interculturales se mencionan repetidas veces en los programas de enseanza y en lo relacionado con el rea de matemtica, as como en las bases pedaggicas y los objetivos generales de la educacin.

Se espera tambin que los educandos reconozcan y valoren los conocimientos

matemticos de los diferentes grupos socioculturales y a la vez se inicien en el uso de las tecnologas modernas. (Fundamentacin del rea de matemtica en el DCN)

Reconoce y valora los conocimientos matemticos de los diferentes grupos socioculturales y los de nuestra cultura ancestral.

Con respecto a estos temas, en los programas de enseanza de primaria hay pocas unidades interculturales donde se cristalice estas intenciones, aunque se pone nfasis en el desarrollo de la clase, desde el punto de vista de la vida diaria, situaciones concretas, situaciones problemticas y contextualizacin, as como en la utilizacin de la matemtica como un instrumento de comunicacin. As podra lograrse una orientacin intercultural de la clase a partir de estas bases conceptuales, aunque sera recomendable detallar los contenidos, los temas propuestos, y las sugerencias metodolgicas para facilitar el trabajo docente. En el contenido del programa de enseanza para la formacin docente tambin hay pocas sugerencias sobre el traslado de la interculturalidad como un contenido transversal en la clase de matemtica. Debe resaltarse la incorporacin de la interculturalidad en el sentido de una orientacin de la matemtica a la pluralidad lingstica y sociocultural como tema de formacin docente continua. Se han logrado muy buenas bases en la elaboracin del programa correspondiente para introducir una perspectiva intercultural en el rea de matemtica.

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LAS IDEAS FUNDAMENTALES DE SOPORTE A LA ETNOMATEMTICA EN LA NATURALEZA DE LA MATEMTICA Y LAS METAS DE LA EDUCACIN (Ubiratan DAmbrocio)Es un deber ineludible cooperar con el respeto, la solidaridad de y, con todos los credos humanos que tienen los mismos derechos para la preservacin de todos stos gneros. ste es el ser de la tica de la diversidad: el respeto para el otro (el diferente); la solidaridad con el otro; la cooperacin con el otro. Esto lleva a la calidad de vida y dignidad por la humanidad entera.

2.1

CMO CONCEPTUALIZAR ETNOCIENCIA? Y ETNOMATEMTICA? Etnociencias son los cuerpos de conocimiento establecidos como sistemas de explicaciones y como maneras de hacer, qu han sido acumulados a travs de las generaciones en ambientes naturales y culturales distintos. Esto no difiere de los conceptos actuales de Ciencia y Tecnologa, salvo el nfasis cedido reconociendo la especificidad que es el resultado del ambiente natural y cultural. Etnomatemticas son estos cuerpos de conocimiento derivados de las prcticas cuantitativas y cualitativas, de cmo se cuenta, pesa y mide, compara, ordena y clasifica. Los dos tienen obviamente una relacin de simbitica. El rechazo y exclusin de las culturas de la periferia, tan comn en el proceso colonial, todava prevalece en la sociedad moderna. Grandes sectores de la poblacin no tienen acceso a una completa ciudadana. Algunos no tienen acceso a las necesidades bsicas para la supervivencia. sta es la situacin en la mayor parte del mundo e incluso ocurre en la mayora de las naciones ms desarrolladas y ricas. Para construir una civilizacin que rechaza falta de equidad, arrogancia y fanatismo, la educacin debe prestar atencin especial a la redencin de las culturas que han sido subordinadas durante mucho tiempo y deben dar prioridad al fortalecimiento de los sectores excluidos de sociedades. La Etnomatemtica contribuye a restaurar la dignidad cultural y ofrece las herramientas intelectuales para el ejercicio de ciudadana. La Etnomatemtica se reconoce como una prctica escolar vlida que refuerza la creatividad, los esfuerzos, el mismo-respeto cultural y ofrece una visin amplia de la humanidad con la tendencia creciente hacia el multiculturalismo o pluriculturalismo. En la vida cotidiana, la Etnomatemtica se reconoce cada vez ms como sistemas de conocimiento que ofrece la posibilidad de una relacin ms favorable y8


armoniosa en la conducta humana y entre los humanos y naturaleza. El rechazo del conocimiento que afecta a las poblaciones es de la misma naturaleza que el rechazo del conocimiento a los individuos, particularmente los nios. Proponer direcciones para neutralizar prcticas inculcadas es el desafo mayor de los educadores, particularmente de Educadores en Matemtica. Sobre la Historia de Matemtica, hay necesidad de una historiografa ms amplia. La historia de Matemtica apenas puede distinguirse de la larga historia de la conducta humana en contextos regionales definidos y puede reconocerse la dinmica de intercambios de la poblacin. sta es una manera de identificar el origen de exclusin de las poblaciones y las civilizaciones enteras a travs del rechazo del conocimiento que permite la propuesta de medidas correctivas. La Etnomatemtica permite un mejor entendimiento de la dinmica cultural bajo la que el conocimiento se genera. La historiografa propuesta puede verse como una transdisciplinaridad y transculturalidad que se acerca a la Historia de Matemtica. 2.2 Relacin Etnomatemtica Matemtica. En este apartado nos ocuparemos de la relacin entre etnomatemtica y matemtica, entendida esta ltima como la disciplina acadmica, formal y profesional, que en muchos artculos etnomatemticos se llama matemtica occidental y que por abreviatura llamaremos simplemente Matemtica. Segn Borba en un enfoque etnomatemtico, la matemtica acadmica es slo una entre muchas matemticas. La matemtica producida en la academia es tambin ethno porque tambin es producida en un contexto acadmico con sus propios valores, rituales y cdigos especiales, de la misma manera que otras {etno} matemticas. Como vimos en la seccin anterior, la matemtica es calificada desde la etnomatemtica como un instrumento de opresin, con el que la cultura occidental ha impuesto (muchas veces por la fuerza) su cosmovisin en gran parte del planeta. Uno de los pilares claves de esta cosmovisin es el racionalismo, que encuentra en la Matemtica su paradigma. A partir de registros histricos encontrados, la etnomatemtica asegura que desde la poca griega el racionalismo lo ha sido usado como instrumento de dominacin, por ello hace una crtica a la visin imperante del pensamiento griego como nico tipo de racionalidad posible, no slo porque existen otros tipos de racionalidad, sino porque, segn D'Ambrosio, crea una distincin entre la Matemtica y las matemticas practicadas por grupos culturales identificables, estas ltimas que no responden al concepto de rigor y formalismo de las matemticas acadmicas Las matemticas desde los griegos (y segn D'Ambrosio a causa de ellos) han sido reservadas para una elite selecta, que actualmente es europea, blanca y masculina,9


y que se dice poseedora del verdadero conocimiento, en desmedro de otras formas de este, como los desarrollos matemticos de Egipto, Mesopotamia, China y Amrica precolombina. Se considera entonces que las matemticas griegas y el racionalismo son intrnsecamente opresivos y eurocentristas, por lo que una lucha (poltica) contra la opresin, debe contemplar una lucha (epistemolgica) contra el racionalismo. Rowlands y Carson plantean una contradiccin en el discurso etnomatemtico, por una parte se objeta la herencia griega porque desconoce otras formas de conocimiento, pero en algunos estudios etnomatemticos se reconocen antecedentes de culturas como la egipcia y la babilnica en la propia matemtica griega, por lo que entonces el legado griego incluira parte de esos desarrollos supuestamente olvidados. Si bien es cierto que la Matemtica, como lo dice Borba, es una forma de etnomatemtica, no es cierto que sea una entre muchas y con el mismo valor. No puede ser as, ya que es producto del intercambio entre muchas culturas a lo largo de la historia. Rowlands y Carson anotan que el mundo ha adoptado las convenciones Matemticas por la misma razn que lo hizo occidente, porque han sido examinadas, probadas y refinadas con el crisol de la experiencia prctica, que no se entrega a la pasin o a la persuasin ideolgica. Aunque se acepta el inters de la etnomatemtica por reconocer que las distintas prcticas de cada cultura son realizadas con un grado de intencionalidad y conciencia, es decir obedecen a un pensamiento matemtico, estas prcticas estn inmersas dentro de un entramado mtico propio en el que no se puede reconocer claramente una reflexin sobre el conocimiento matemtico y su estructura; este carcter de abstraccin nos viene dado por los griegos y su estudio de la geometra, realizado con el nimo de inferir y no slo como el desarrollo desde necesidades prcticas de hacer frente a una situacin cotidiana, este hecho no es advertido por D'Ambrosio. Aclaramos que no estamos diciendo que culturas nooccidentales carecieran de este carcter, sino que slo tenemos pruebas provenientes de los griegos. Finalmente hay que hacer dos precisiones, el estudio crtico que realizan Rowlands y Carson se refiere exclusivamente a los usos de la etnomatemtica en la enseanza de las matemticas, es decir, no habla (por lo menos explcitamente) de la etnomatemtica como programa de investigacin en epistemologa e historia. Es ms, no niega su pertinencia y reconoce que ha introducido sensibilidad cultural y respeto por las diferencias culturales. De otra parte, los propios Ubiratan D'Ambrosio y Marcia Ascher niegan un inters por desplazar a la Matemtica, y afirman que se necesitan ms y mejores matemticas. D'Ambrosio aclara que la etnomatemtica no se preocupa tanto por la matemtica (l mismo no ve futuro en denegar los xitos obtenidos en la tecnologa y ciencia desarrollada siguiendo el pensamiento griego), sino por la manera en que el conocimiento es construido, reconociendo que el conocimiento matemtico es10


universal. No importa en qu lugar ni en qu tiempo estemos ubicados, los tringulos equilteros tienen ngulos iguales, pero que su inters est en cmo se producen y usan las matemticas, siendo esto s muy particular. 2.3 Relacin Etnomatemtica Educacin Matemtica. La aparicin de los planteamientos etnomatemticos gener y genera un remezn y una reflexin en los terrenos de la educacin matemtica, por varios aspectos: a) Son puestos en tela de juicio los mtodos generalmente promovidos en la escuela para la construccin de conceptos y realizacin de procedimientos; en distintos estudios se documentan y analizan procedimientos alternativos en comunidades no escolarizadas

b) Se ha venido considerando una invarianza cultural en la enseanza de las matemticas, suponiendo que no haba diferencias de aprendizaje atribuibles a la cultura, por ello no importaba que existiese un nico currculo con el cual abordar el proceso de enseanza-aprendizaje. Estudios antropolgicos sobre las concepciones del espacio y del tiempo, as como investigaciones sobre errores en el aprendizaje de las matemticas han colaborado para reevaluar dicha invarianza. Se plantea entonces la inclusin de elementos culturales en la enseanza de las matemticas; esta inclusin se propone de diversas formas:

La adecuacin de contextos y situaciones de aplicacin del conocimiento matemtico, de tal manera que se logre relacionar la vida diaria de los estudiantes con la matemtica. La inclusin de tpicos culturales en los temas a estudiar. Por ejemplo, el tejido de canastos formara parte de los contenidos del rea de matemtica de cierta comunidad, siendo objeto de enseanza y evaluacin. Aqu surge nuevamente la pregunta Para qu ensear en la escuela cosas que se aprenden fuera de ella? El uso por parte del profesor de formas de enseanza y lenguajes propios del grupo cultural, tambin el uso de elementos autctonos, por ejemplo la yupana, que pueden enriquecer las acciones de enseanza.

Todo lo anterior concluye en una consideracin de la etnomatemtica como una propuesta pedaggica. Recordemos que, fundamentalmente la etnomatemtica es un programa de investigacin en la historia y en la epistemologa de las matemticas, y que como bien apunta Ren Thom Toda educacin matemtica descansa en una filosofa de las matemticas y en tanto esa filosofa valore el trabajo matemtico de distintas culturas a travs del tiempo, la educacin relacionada se comportar igual. La etnomatemtica tiene discrepancias con la manera en que se ha presentado la historia de la matemtica en distintos escenarios, particularmente en la escuela. Por lo que hace una fuerte crtica a la presentacin del desarrollo histrico cultural, ya que segn Adn Pari generalmente se asume un modelo lineal, o uno jerrquico.11


En el primero se interpreta la diversidad del pensamiento como un proceso de diferenciacin, modernizacin y perfeccionamiento en el clculo. Desde esta perspectiva, las invenciones de una cultura se van sumando al acervo matemtico. El cero de la India, por ejemplo, lleg a Arabia, donde se uni con la matemtica griega. Esta matemtica lleg a Europa y all tom su carcter cientfico. Se puede pensar el conocimiento matemtico como un nico edificio, en el que un piso fue colocado por una cultura, el siguiente por otra, y as hasta que llegamos a un piso en el que se toma el mtodo cientfico, de all en adelante los pisos son construidos por una sola comunidad: los matemticos profesionales. El desarrollo sera evolutivo, lineal y todos tendramos la misma matemtica, aunque haya sido construida en un intercambio cultural.

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PRIMERO ETNOGEOMETRA PARA SEGUIR CON ETNOMATEMTICA Oscar Pacheco Ros [email protected] Centro Pedaggico de Informtica Santa Cruz de la Sierra - Bolivia 3.1 INTRODUCCIN En esta ltima dcada la Etnomatemtica se ha presentado, como una nueva corriente del saber matemtico, intentando rescatar los valores que el pueblo y su cultura tienen. Esta corriente es vista por algunos con cierto escepticismo y por otros como la nueva alternativa para el aprendizaje de la Matemtica. Despus de leer a los ms prominentes impulsores hemos llegado al convencimiento de que tienen razn, pero, nosotros consideramos que antes que la propia Etnomatemtica esta la Ethnogeometra como la antesala de la primera. 3.2 QU ES ETNOMATEMTICA? En el intento de situarnos con el tema mismo de lo que trata la Etnogeometra, consideramos que debemos ver, qu es Etnomatemtica. Aunque hay una lista larga de autores que intentan dar una definicin exacta, lo haremos segn lo seala el Prof. D'Ambrosio, por ser uno de los precursores ms activos y consecuentes y segn el resumen analtico del Prof. neozelands Bill Barton. "Las diferentes formas de matemtica que son propias de los grupos culturales, las llamamos Etnomatemtica". Este es un juicio a fortriori, o actual, pues, los grupos culturales existen y se encuentran por toda la faz de la Tierra. Luego todos los modos de matematizacin que realicen esos grupos culturales para solucionar sus problemas cotidianos, se las puede denominar ETNOMATEMTICA. El reconocido Ubiratan D'Ambrosio afirma que "La ETNOMATEMTICA en mi concepcin es etno + matema + tica, eso es, SU ENTORNO NATURAL y CULTURAL [=ETNO] EXPLICAR, ENSEAR, COMPRENDER, MANEJAR, LIDIAR, "To cope with", "se dbrouiller" [=MATEMA] LAS ARTES, TECNICAS, MANERAS, ESTILOS [=TICAS]. Segn esta explicacin, "ETNO" es el "ENTORNO NATURAL y CULTURAL" del hombre en una forma atemporal, es decir, no se refiere al hombre primitivo en su condicin de cazador o recolector, se refiere al hombre

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de todas las pocas hasta llegar a la actual, en su diario accionar en su contexto circundante y circunstancial. Si, "MATEMA" est homologada con "LAS ARTES, TECNICAS, MANERAS, ESTILOS "To cope with" (para cubrir con o abarcar), se dbrouiller" (manejar o dirigir). Significa que es importante referirse, a todas las formas de expresin o exultacin mental y espiritual hechas realidad, abarcando de un modo potico, grfico, pictrico, petroglfico o folklrico con sus propias modalidades. "TICAS" es una referencia clara a la metodologa, es el cmo trasmitir o compartir, cualquier experiencia (inclusive el MATEMA), con otra(s) persona(s) para que esa(s) persona(s) tenga(n) acceso a un nuevo conocimiento. En el entendido que ese nuevo conocimiento le permitir solucionar sus tribulaciones o le causar el placer de lograr sus metas, pese a los factores socio-culturales que puedan influenciarlo positiva o negativamente. El mismo creador del concepto antes interpretado y segn Eduardo Sebastiani Ferreira dir que la Matemtica es una parte de la Etnomatemtica, donde dentro de la Educacin, "la Matemtica se constituira en una parte de la Etnomatemtica", por tanto para aprender Matemtica invariablemente se debe pasar por Etnomatemtica. Al parecer Bill Barton, se preocupa ms con esto ltimo y l, despus de estudiar a los autores citados en su trabajo, aunque observa que D'Ambrosio se ubica ms en la dimensin socio-antropolgica, considera que son cuatro, los trminos crticos para la definicin: Matemtica, Matemtico, Nosotros y Cultura.

"La Matemtica son los conceptos y las prcticas en el trabajo de esa gente quines se llaman a s mismos matemticos." "El Matemtico se refiere a esos conceptos y a las prcticas, que se identifican como si estuvieran relacionadas en alguna manera a la Matemtica". "El matemtico y la Matemtica ambos son culturalmente especficos porque sus referentes dependen de quines usan los trminos. Es posible, que por ejemplo, que algunos matemticos discrepen sobre lo qu es legtimamente Matemtica."

"En el "Nosotros", usamos la definicin como un grupo, quienes comparten una comprensin de Matemtica y quienes estn interesados en Etnomatemtica. Que el grupo incluir comnmente matemticos, quienes toman su propia definicin, pero incluirn tambin a otros, quienes han experimentado Matemtica como una categora en su educacin propia. Cuando una Cultura tnica diferente, anda implicada con el "nosotros", nos referimos a los miembros de una cultura, que contiene la categora de matemticos. El uso puntual del pronombre hace que el etnomatemtico tenga un punto de vista particular". "Cultura se toma para tener el significado usado por D'Ambrosio, que se refiere al grupo de gente quien "desarroll prcticas, conocimiento, y, en particular, jergas y cdigos, que claramente comprende la manera como ellos matematizan, es decir: es la manera que ellos cuentan, miden, relacionan y clasifican, e infieren" (D'Ambrosio 1984). Tal grupo puede ser un grupo tnico,14


un grupo nacional, un grupo histrico, o un grupo social dentro de una cultura ms amplia. La Cultura refiere al conjunto compartido identificable de comunicaciones, comprensin y prcticas. No es necesaria la definicin de Etnomatemtica si el conjunto es descriptible con exactitud." Habiendo definido los trminos, hay cuatro implicaciones de la definicin: a) Etnomatemtica no es un estudio matemtico; es ms como la antropologa o historia b) La definicin en s misma depende de quien lo afirma, y culturalmente es especfico. c) La prctica que describe es tambin culturalmente especfica. d) Etnomatemtica implica alguna forma de relativismo para la Matemtica". Ya no analizamos estas cuatro implicaciones, pues, ello equivaldra a elaborar un tratamiento especfico slo de la Etnomatemtica y ese no es nuestro objetivo por ahora. "En la Etnomatemtica, los etnomatemticos intentan describir el mundo matemtico, como los otros lo ven. "... la Etnomatemtica crea un puente entre la Matemtica y las ideas (conceptos y prcticas) de otras Culturas. La parte de un estudio etnomatemtico esclarecer, por qu esas otras ideas se observan como matemticas, y por lo tanto por qu ellas podran ser de inters a los matemticos. Tal estudio crea la posibilidad de ambas Matemticas que provean una nueva perspectiva sobre los conceptos o prcticas para ellas dentro de la otra cultura, y de los matemticos que ganan una nueva perspectiva sobre (y posiblemente nuevo material), su propio tema...". Consideramos que, aqu cabe como una sntesis del prrafo anterior lo que manifiesta el mismo profesor Ubiratan D'Ambrosio: ". . .el carpintero definitivamente trabaja con una idea Matemtica; los matemticos quienes [arbitrariamente deciden trisecar un ngulo usando nicamente la regla y el comps] tratan con una idea. Para ambos es importante, y aunque ellos son diferentes, ellos se vinculan por una idea". Haciendo un pequeo anticipo al siguiente captulo, queremos ampliar lo anterior y decir: antes que la idea matemtica, est la idea de la forma y es esta forma la que obliga a buscar una "unidad de medida" que luego permitir realizar clculos en el caso del carpintero y en el del gemetra de igual modo primero concibe la idea de la abertura angular del ngulo original que debe ser trisecado o triseccionado, luego determina la abertura del comps (usar una medida) que le permitir realizar el trazado respectivo. Slo ahora podemos decir que realizan distintos trabajos, pero vinculados por una misma idea.

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Desde nuestra visin. "Etnomatemtica es el conjunto de conocimientos matemticos, prcticos y tericos, producidos o asimilados y vigentes en su respectivo contexto sociocultural, que supone los procesos de: contar, clasificar, ordenar, calcular, medir, organizar el espacio y el tiempo, estimar e inferir". El conjunto de los conocimientos matemticos de la comunidad del aprendiz, relacionados con su cosmovisin e historia, fundamentalmente comprende:

El sistema de numeracin propio. Las formas geomtricas que se usan en la comunidad. Unidades o sistemas de medida utilizadas local o regionalmente (tiempo, capacidad, longitud, superficie, volumen). Instrumentos y tcnicas de clculo, medicin y estimacin; procedimientos de inferencia; otros conceptos, tcnicas e instrumentos matemticos usuales. Las expresiones lingsticas y simblicas correspondientes a los conceptos, tcnicas, e instrumentos matemticos.".

Para finalizar este captulo, queremos indicar que en todo lo visto hasta aqu, slo hemos querido tomar lo que consideramos de mayor relevancia en la Etnomatemtica, como una base para sustentar nuestra afirmacin de "Primero ver Etnogeometra para seguir con Etnomatemtica", lo que intentaremos demostrar enseguida. 3.1 QU ES LA ETNOGEOMETRA? "... Al tratar de transmitir la importancia de las ideas, nosotros las elaboramos con nuestras expresiones occidentales que tenemos de ellas. Desde el principio nosotros diferenciamos, entre las matemticas que son implcitas y las que son explcitas, y entre los conceptos occidentales que nosotros usamos para describir o explicar y esos conceptos nosotros los atribuimos a la gente de otras Culturas. [Marcia Ascher]. Ante la falta de literatura y/o de otros autores que hubieran tocado en forma particular a lo que se nos ha ocurrido llamar "Etnogeometra" y considerando que nuestra idea tiene asidero, tanto implcita como explcitamente. Hemos credo conveniente crear, el concepto semnticamente, con la conjuncin de Etno+Etnologa+Geometra = Etnogeometra como el "Estudio y conocimiento de la Geometra bajo el aspecto cultural de los pueblos comparando sus afinidades de antropologa cultural o social y de los lazos de civilizacin que los caracteriza". Adems tomamos el sentido semiolgico del concepto. Porque los cdigos que encierra la composicin del nombre, se refieren al pueblo, a la gente de nuestros das, por tanto hace una prctica diaria de la aplicacin geomtrica en casi todos sus quehaceres. Para aclarar aun ms. Diremos que, cuando se da mayor importancia al aspecto biolgico y natural aunado con el psquico sociolgico, etc., estos estudios caen dentro de la Antropologa. Mas, si se comprenden en ellos, todos los fenmenos16


histrico-culturales, adems de los puramente naturales, se entra en la Etnologa. Ampliando y flexibilizando nuestra visin. Por ejemplo, Etnologa vendra a ser, cada reunin de los ICME, donde nos congregamos centenares de personas de diferentes razas y nacionalidades que nos sentimos afines por la Matemtica o su enseanza, lo que en otras palabras es estudiar nuestra riqueza material y espiritual con respecto de la Matemtica. Mas, sin pretender reuniones tan numerosas tenemos, las de cada da en nuestras comunidades e instituciones educativas, a los que asisten alumnos de diferentes etnias, pero con un fin comn, adquirir conocimientos. Esto implica que el mundo actual tiende a hermanar a los hombres de y en todos los confines de la Tierra, y est lejano el da en que se discuti en las universidades de Europa, el problema de s los negros de frica o los indios del Nuevo Mundo tenan alma y si eran realmente hombres. Mientras en la Etnomatemtica, los etnomatemticos intentan describir el mundo matemtico, como los otros lo ven. Etnogeometra, no es el intento de describir, cmo, las ideas se ven a travs de los otros, muy al contrario, fue y es la generadora no slo de ideas que todos - etnomatemticos o no - ven. Tiene una inmanencia permanente. Es el material que inspira a la Etnomatemtica, estudiar la historia a partir de la Geometra sea esta euclidiana o no-eucludiana. La Etnogeometra da lugar a que "... la Etnomatemtica...", pueda crear "... un puente entre la Matemtica y las ideas (conceptos y prcticas) de otras Culturas." La universalidad de determinadas formas bsicas que son parte de una Cultura tambin universal. Realizar, un estudio etnogeomtrico podra ser de mucho mayor inters a los etnomatemticos, porque partiran de realidades tangibles para luego realizar abstracciones (formular conceptos, o crear teoremas, por ejemplo, sobre equicomposicin de poliedros, al observar, los muros de las fortalezas incaicas) con una nueva perspectiva. Tal estudio permitira la posibilidad de matematizar los conceptos o prcticas dentro de una Cultura y, compararla con la otra Cultura, por ejemplo: que tienen de semejantes la forma de las viviendas de los Uruchipayas del Departamento de Oruro en Bolivia, con la de los africanos de Mozambique; quiz a primera vista diremos la forma cnica de los techos y el material que los cubre. A partir de la Etnogeometra, el etnomatemtico esta obligado a elucidar o aclarar no slo los conceptos resultantes de las prcticas etnogeomtricas, sino, a tomarlos como su material de trabajo para hacer que la Etnomatemtica sea el nexo real con la Matemtica, porque (como ya lo dijimos), la Etnogeometra, no slo tiene fundamentos etnolgicos, socio-antropolgicos, ms tambin, socio-culturales, que han sido y pueden seguir siendo aplicados, al aprendizaje de la Geometra, luego, a la prctica de la Etnomatemtica y finalmente a la Matemtica. Por otro lado, tomemos lo que dice Marcia Ascher. Que, las cosas las vemos con nuestros ojos occidentalizados, o sea que estamos condicionados a ver siempre bajo esa ptica y cuando alguien lo ve desde otra, nos llama la atencin y parece ser incoherente. Eso es comprensible, pues, tantos siglos de academicismo nos han subyugado, que no le damos campo a nuestra mente para pensar de otro modo, sin los smbolos numricos que representan abstracciones (eso no implica que17


prescindamos de ellos). Y posiblemente esa sea la razn por la cual hayan aparecido detractores de la Etnomatemtica, sin intentar comprenderla, como la nueva aurora para la enseanza de la Matemtica. La Etnogeometra es parte intrnseca de la vivencia diaria del hombre y su entorno natural , pues donde quiera que dirija su atencin, a las ruinas de la civilizacin antigua Inca, "La Puerta del Sol"; las edificaciones de las urbes citadinas (arquitectura) como, la ciudad de Sucre -Bolivia- o, Lima - Per -, con influencia, de otra cultura, sea francesa, hispana, etc., etc. Antes que Etnomatemtica o Matemtica, ver Etnogeometra y slo despus, Geometra y Matemtica; lo mismo ser, cuando perciba que una persona es diferente de otra por sus formas anatmicas, complexin fsica, estatura o color, adems su vestimenta, distinta y variada de acuerdo al lugar geogrfico en el que habite, con diseos tejidos o estampados en su mayor parte realizados con moldes de hojas, ptalos o tallados matriciales en madera, as como, otras representaciones bordadas en bajorrelieve con una policroma que muestra la riqueza espiritual de los artesanos. Aleatoriamente comparemos los kimonos de los campesinos japoneses, con la tnica o el sari de los hindes. Las polleras de la chola de las ciudades andinas, que tienen forma arrepollada con la forma de cono truncado de la minifalda de las jvenes citadinas. En la Naturaleza misma se encuentra con expresiones geomtricas, vemos flores de formas poligonales hojas cardioides que inspiran coordenadas polares o helechos que generan fractales. En fin una riqueza espiritual y cultural (inclusive, ideolgica por su aplicacin), que nos hace admirar. En todas esas expresiones, no vemos ni percibimos inmediatamente ideas, smbolos ni conceptos matemticos. Estas y stos se presentarn despus, mediante las abstracciones mentales que realicen, los interesados (matemticos o estudiosos), es decir, se har Etnomatemtica y luego Matemtica, partiendo de la Etnogeometra. Tenemos otros ejemplos, en los que, "forma, medida y cantidad" estn en una simbiosis a primera vista inseparable. Tal el caso de la actividad comercial de los mercados, en los que, las vendedoras colocan sus productos formando montoncitos semejantes a ortoedros, pirmides truncadas o conos, donde 2 montones (pirmides) de papa por 2 soles, cuatro montoncitos (conos) de arvejas por 3 soles. Las vendedoras del mercado pensaran primero en medidas acadmicas? Slo, despus de que toman conciencia de la forma del cuerpo y de otros aspectos singulares pueden realizar conclusiones de tipo cualitativo y cuantitativo referidas a medir, pesar, contar, comparar y calcular - si, es que, a estas actividades se les puede llamar Matemtica. La vendedora del mercado cuando est formando sus "montoncitos" crea las formas que sern ms atrayentes al posible comprador (etnogeometriza -si vale el trmino-), luego determina el valor que tendr en la venta el montoncito, a montoncitos ms grandes con mayor nmero de unidades (papas, arvejas, frutas, etc.), menos18


ganancia y, a montoncitos ms pequeos menos unidades implica ms ganancia segn sus costos, dicho de otro modo hace Etnomatemtica. No se detiene a pensar si est aplicando un conocimiento acadmico curricular de Razones y Proporciones o de Reparto Proporcional. Estos, son ejemplos reales y actuales. Y Qu podemos decir de los hombres primitivos, que aun no conocan la simbologa numeral, cuando trazaron sus pinturas rupestres, luego cuando se hicieron sedentarios y comenzaron a tener nocin del derecho de propiedad y el academicismo no haba nacido aun? Sin tomar en cuenta, el tiempo, pero, la semejanza entre dos culturas. De dnde obtuvieron los Quechuas, el concepto de "Pachatupuy" (Geometra) cuya traduccin literal es, Pacha = Tierra y, Tupuy = Medida La tomaran de los egipcios? Pues, sabemos que ellos dan origen al nombre de "geometra" como resultado de su trabajo anual emprico, al parcelar o reparcelar las tierras aledaas al Ro Nilo despus de cada riada. Y como lo lemos, nos admira, toda esa maravilla construida con unos conocimientos bsicos de Geometra y de Arquitectura y adems con una unidad de medida arbitraria, como era el "codo del arquitecto". A priori podemos afirmar que, la concepcin de las formas les obliga (sin ser totalmente empricos), a crear ciertas unidades de medida y realizar operaciones en ese trabajo y no lo hacen partiendo de hiptesis. Parten de lo que est en su entorno. Utilizan ese conocimiento y el que est, en ellos y con ellos mismos o sea la Etnogeometra. Parecera que no teorizaron diciendo: "si la base es de n codos entonces la cspide estar a n codos de altura". Dado que la pirmide para los egipcios no slo es una tumba para el Faran. Es la "luz que ilumina el camino", posiblemente dependiendo a qu Faran iba destinada la pirmide, sera ms alta y con menos o ms galeras. Dicho de otro modo, el ver formas y reproducir formas, est, en l y con el hombre, sin importar la poca en la que vive. Por esta observacin llamamos parte intrnseca de la vida del hombre. Quiz haya otras maneras de explicarlo mejor y con otras palabras, luego, creemos que, es aqu donde la crtica ayudar a mejorar o retirar esta concepcin nuestra proposicin. Luego, desde el punto de vista etnogeomtrico. Toda percepcin, sea sta real o de abstraccin, es global. Quin podra pensar, en la primera contemplacin, en conceptos, reglas o axiomas matemticos al visitar las pirmides Mayas; al contemplar desde el aire, las figuras petroglficas del Valle de Nazca? o las figuras zoomorfas de la Puerta del Sol en Tiwanaku? 3.4 CONCLUSIN Parangonando con la proposicin del Prof. Ubiratan D'Ambrisio, diremos que dentro de la Educacin, la Matemtica es parte de la Etnomatemtica y Etnogeometra. Para finalizar queremos manifestar que, quiz deberamos haber puesto nfasis, slo en esta ltima parte, como la prueba irrefutable de que para ver la Etnomatemtica a profundidad, no se puede ignorar a la Etnogeometra como un primer paso. Es decir, partir del valor cultural que tienen las formas geomtricas, para luego ir al valor19


cultural de la matematizacin. Sin embargo como la vida continua y ella, est ligada a los problemas no slo socio-culturales, sino, a los socio-econmicos, no podemos quedarnos en el pasado, cuando la realidad del "sistema" nos golpea inmisericordemente, tal como vemos en el ejemplo de la vendedora de hortalizas. BIBLIOGRAFIA

Ascher, Marcia. Mathematics of the Incas. Dover Publications Inc. New York 1981

Barton, Bill. Teniendo el Sentido de la Etnomatemtica. The University of Auckland. New Zeland. 1997. Pacheco Ros, Oscar. Ensear Matemtica Partiendo de Geometra. Ed. CEPDI S.C.-Bolivia- 1993 Santal, L. A. Geometra No-Euclidiana. Eudeba Buenos Aires Argentina 1985

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CONCEPTOS CLAVES DEL PENSAMIENTO MATEMTICO ANDINO YUPAY NMERO 4.1 SISTEMAS DE NUMERACIN. MONTALUISA CHASIQUIZA, Lus. 1988. Comunidad, Escuela y Currculo. Santiago de Chile. UNESCO / OREAL. p. 45 52. Las primeras ideas desarrolladas en el campo matemtico han sido la cantidad, la proporcin, la agrupacin, el aumento, la disminucin, la repeticin, la distribucin. A partir de ellas se han tomado las medidas de tiempo, espacio y masa. Segn las circunstancias que le ha tocado vivir a cada cultura se han ido creando trminos para designar estos elementos de las matemticas. Como ejemplo de la manera especfica de organizar las cantidades, se analizar el sistema de numeracin o la forma de numerar de algunas culturas. Ello mostrar que algunos pueblos slo han requerido contar hasta veinte o menos, mientras que otros han llegado hasta millones. Despus, se presentarn algunos instrumentos utilizados por los indgenas para el clculo, la manera de calcular de los analfabetos y el reto que representa la enseanza de las matemticas en la educacin bilinge. Toda cultura ha desarrollado un sistema para cuantificar y medir los elementos importantes para ella. En lo que respecta a los nmeros, los pueblos indgenas han elaborado sus sistemas de numeracin desde tiempos muy antiguos. Para ello, han creado palabras para cada nmero, o se han ayudado con las manos, con los pies, y con el concepto de veces. Hay culturas que han tenido un sistema de numeracin de base 10 (decimal), como la quechua; otras que han tenido un sistema de numeracin de base 20 (vigesimal), como la maya; y otras han combinado varios sistemas, tomando como referencia el cuerpo humano.

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Es muy importante empezar a reflexionar como los nmeros se expresan en la lengua, para descubrir el sistema que los sustenta y as desarrollar un programa de enseanza de las matemticas ms adecuado. Para ampliar la visin sobre las diferentes maneras de numeracin, se harn a continuacin varios ejemplos extrados de diferentes culturas. Empezaremos con los nmeros de 1 a 10 en la lengua Candoshi, pueblo indgena de la amazona peruana, en la lengua quechua del Ecuador y en castellano.

Nmero 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

CANDOSHI minamta tsibono tochpa iponponaro zamiatpata minam matayaro tsibon matayaro tochip matayaro iponponaro matayaro chunka o koviz iptaro

QUECHUA (Ecuador) shuc ishcai quimsa chuscu pichca sucta canchas pusac iscun chunca

CASTELLANO uno dos tres cuatro cinco seis siete ocho nueve diez

Si analizamos los nmeros de 1 a 10 de cada lengua, podemos notar lo siguiente: el quechua y el castellano tienen una palabra diferente para cada nmero, mientras que el candoshi llega hasta 5, despus vuelve a repetir los nmeros 1 2 3 4 aadiendo la palabra matayaro. Tambin se observa que el candoshi utiliza para el nmero 10 un prstamo de la lengua quechua, u otra expresin que significa con todos los dedos de la manos. La numeracin maya es un sistema vigesimal, cuya base se refiere al mismo hombre. El nmero 20 resulta del conteo de los 20 dedos que tiene el hombre; podemos decir entonces, que es la base cientfica de la numeracin maya, porque en la mayora de los idiomas mayas, hombre se dice winaq y el nmero 20 se dice winaq tambin. Como podemos notar en la siguiente tabla, la lengua aymara presente en Per, Bolivia y Chile, presentan algunos trminos que son similares a los del quechua (tres, cinco, seis, diez)

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Nmero1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

AYMARA (Bolivia)maya paya kimsa pusi pishqa suxta paqallqu kimsaqallqu llatunka tunka

QUECHUA (Per)huk iskay kimsa tawa pisqa suqta qanchis pusaq Isqun chunka

CHACHI (Ecuador)main pallu pema taapallu manda manchismain manchispallu manchis pema manchis taapallu paitya

WAO (Ecuador)aruke mea meagoaruke meagomea emenpuke emenpuke goaruke emenpuke gomea emenpuke meagoaruke emenpuke meagomea tipenpuke

Otra particularidad de esta lengua es que el 7 y el 8 estn formados sobre la base de los nmeros 2 y 3 (pa- y kimsa), seguidos por la palabra qallqu. Por eso, algunos autores han opinado que tal vez antiguamente en esta lengua 5 se deca qallqu y despus, con la influencia del quechua se ha introducido el phisca. En realidad, esta hiptesis no est demostrada, sin embargo se puede suponer que qallqu significaba algo que expresaba las cinco unidades. Tendramos as:

7 = paqallqu 2 + algo para expresar 5 8 = kimsaqallqu 3 + algo para expresar 5. El nmero 9 en cambio est formado de la partcula lla seguida de tunka (diez). Es probable que llatunka quiera decir casi diez y que lla sea una transformacin de mya (que significa casi)

Estos detalles parecen mostrar que el idioma fue decimalizado sobre la base de alguna forma antigua de organizar los nmeros, que no fue precisamente la decimal (posiblemente una de base cinco) Ahora trataremos de explicar la numeracin de la cultura wao de la amazona ecuatoriana. Nmero1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 aruke mea meagoaruke meagomea emenpuke emenpuke goaruke emenpuke gomea emenpuke meagoaruke emenpuke meagomea tipenpuke tipenwa emenwake

WAO (Ecuador)1 2 2+1 2+2 5 (mano izquierda) 5+1 5+2 5+2+1 5+2+2 10 (mano derecha) 10 + 5 (dos manos y pie izquierdo) 20 (dos manos y dos pies)23


Como se puede observar, el sistema de numeracin est basado en las manos y los pies, comenzando por los izquierdos en su orden. Existe tambin la idea del par subyacente en el sistema. En la lengua de la cultura chachi de la costa ecuatoriana se ha organizado el sistema de la siguiente manera: Nmero1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 main pallu pema taapallu manda manchismain manchispallu manchis pema manchis taapallu paitya Manchalura

CHACHI (Ecuador)

2+2 5+1 5+2 5+3 5+4 5x2 1x4x5

(pai = 2; tyapa = pedazo, extremidad) (man = 1; cha = persona; lura = bulto La persona est constituida por cuatro extremidades de 5 dedos cada una.

Estos pocos ejemplos nos dan una idea de las distintas formas como los indgenas han organizado la numeracin y de las dificultades que se pueden presentar para manejar nmeros con muchas cifras y cantidades muy altas. Tambin nos dan idea de la asociacin entre conceptos numricos y lengua. En Costa Rica por ejemplo, en las lenguas bribri y cabecar, el nmero se asocia a la forma, tamao y masa del objeto. As 5 casas, 5 palmeras, 5 naranjas se dice de manera diferente, a pesar de ser siempre el nmero 5. Trataremos ahora de analizar ms detenidamente el sistema de numeracin quechua, que como ya afirmamos es estrictamente decimal. En esta lengua hay nombres diferentes para cada uno de los nmeros del 1 al 10. A partir del 10 hay un nombre especfico para cada una de las potencias de esta base. 101 102 103 106 = = = = 10 100 1 000 1 000 000 chunka pachak huaranca hunu

Este sistema decimal quechua facilita enormemente la enseanza de la escritura de los nmeros a los nios y adultos, as como las operaciones matemticas. En tanto que el espaol, al igual que el ingls, el francs, el portugus, el alemn, etc. no representan el sistema decimal de manera tan clara.

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El castellano, para los nmeros a partir de 10, no tiene regla de composicin fija, sino que presenta algunas irregularidades como se observa en la tabla siguiente: Nmero 11 12 13 14 15 16 17 18 19 CASTELLANO once doce trece catorce quince diecisis diecisiete dieciocho diecinueve QUECHUA chunka hukniyuq chunka iskayniyuq chunka kimsayuq chunka tawayuq chunka pisqayuq chunka suqtayuq chunka qanchisniyuq chunka pusaqniyuq chunka isqunniyuq (10 y 1) (10 y 2) (10 y 3) (10 y 4) (10 y 5) (10 y 6) (10 y 7) (10 y 8) (10 y 9)

Como se puede observar, en el idioma castellano hasta el quince nombramos primero a las unidades y despus las decenas. A partir del nmero diecisis, anteponemos las decenas y despus nombramos las unidades. Por el contrario, en quechua las unidades siempre siguen a las decenas para los nmeros del diez al diecinueve. Por eso, un nio o una nia quechua tiene mayor dificultad con los nmeros en castellano, que un nio o una nia castellano hablante. De hecho, al comienzo, los nios y las nias que hablan castellano se confunden y dicen diez y uno, diez y dos, etc. En la cultura quechua no hay posibilidad de confusin porque existe una sola regla para la composicin de los nmeros. Esta regla es la siguiente:

Ejemplo: 29 = iskay chunka isconnyuc 2 x 10 + 9 El nio y la nia quechua distingue de inmediato que en 29 hay dos 10 (decenas) y nueve unidades, mientras que el nio y la nia indgena no lo hace. La misma regla se observa tambin en el aymara. Ejemplo: 17 = tunka paqallquni 10 + 7 243 = pa patak pusi tunk kimsani 2 x 100 + 4 x 10 + 325


A partir de estos ejemplos nos podemos dar cuenta de la conveniencia de ensear las matemticas a nios y nias a partir de su idioma materno, de otra manera se obstaculiza el desarrollo del pensamiento matemtico del nio o la nia, puesto que los sistemas numricos de su lengua materna y aquel del castellano pueden estar basados sobre dos lgicas distintas. 4.2 SUGERENCIAS METODOLGICAS. En la siguiente propuesta didctica se pone nfasis en ofrecer a las/los estudiantes la posibilidad de reflexionar un poco sobre lo que es un sistema numrico y con qu trminos cientficos (lingsticos) se le puede describir. El texto bsico previo se puede utilizar como fuente de informacin y/o para elaborar una separata que est a su disposicin y agregamos algunas hojas de trabajo como material complementario. Es importante partir de los idiomas (los vernculos o el castellano) que habla nuestro alumnado, y siempre relacionarlos con nuestras reflexiones en el aula. DESCRIPCIN Y COMPARACIN DE SISTEMAS NUMRICOS. Se presenta a los estudiantes una hoja de trabajo que muestra los nmeros del 1 al 10 en diferentes idiomas 1.- Escriben los nmeros en su propia lengua materna y en castellano. (Hoja de ejercicios 1) 2.- Observan los sistemas de numeracin y articulan sus observaciones al comparar estos sistemas diferentes. 3.- Tratan de formular reglas en cuanto a la estructura lingstica de cada uno de los sistemas, en un trabajo grupal. EJEMPLOS:

En castellano hay diez palabras diferentes para los diez primeros nmeros. El sistema wao tiene como base el cinco.

4.- Despus formulan observaciones a la comparacin de los sistemas entre s. EJEMPLOS:

En el aymara y quechua las palabras para el 3, 5, 6 y 10 son parecidas. El candoshi utiliza un prstamo lingstico del quechua para el 10.

5.- Se recogen los trminos utilizados por los alumnos y las alumnas para la descripcin de los sistemas numricos, se aclara su uso correcto y se explica su significado. (Trabajar el paso 5 en la hoja de ejercicios 2, considerando el nivel de desarrollo de las capacidades lingsticas y comunicativas de los nios/nias)

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Hoja de ejercicios 1 (Per)Candoshiminamta aruke main te moo

Castellano (Bolivia)Aymaramaya

(Ecuador)Wao

(Ecuador)Chachi

(Per)Secaya

paya

tsibono

mea

pallu

cayaye

kimsa

tochpa

meagoaruke

pema

toasoe

pusi

iponponaro

meagomea

taapallu

cajese

pishqa

zamiatpata

emenpuke

manda

teejete

suxta

minam matayaro

emenpuke goaruke

manchismain

yeque tete ejatupe

paqallqu

tsibon matayaro

emenpuke gomea

manchispallu

ejatupe queno maca ayo

kimsaqallqu

tochip matayaro

emenpuke meagoaruke

manchis pema

jopoayo

llatunka

iponponaro matayaro

emenpuke meagomea

manchis taapallu

jopoayo quenomaca ayo

tunka

chunka o koviz iptaro

tipenpuke

paitya

siajena


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QuechuaNmero en

10 28

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Hoja de ejercicios 2 Anlisis etimolgicouno solo indivisibleel cosmos, la existencia, la unidad 1

vernculaTrmino en lengua

Aproximacin significativa

Estructura de formacin

1

huk

2

3

4

5

6

7

8

9

10


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KHIPU SIGNOS5.1 INTRODUCCIN. La cosmovisin de las culturas andinas tiene su fundamento en una matemtica ritual o simblica. La matemtica est conceptuada como otro medio de representacin y recreacin del orden csmico. No hay sociedad sin creaciones mitolgicas, prcticas rituales y representaciones iconogrficas. Mientras que el mito presenta el orden de la sociedad, el rito lo actualiza y el icono lo ilustra. Enunciar el mito, celebrar el rito y fijarlos grficamente son formas de perpetuar el orden. As, hacer operaciones de clculo y construcciones geomtricas no tiene un sentido solamente funcional y tcnico, sino que tambin intenta expresar una particular visin del mundo. En este acpite se presenta una introduccin a la numerologa andina y al significado de algunos smbolos numricos y se explica las formas de representar cantidades grficamente, lo que nos permite entrar al mundo de los nmeros rituales andinos. 5.2 NUMEROLOGA ANDINA. LUIZAGA, Jorge. Filosofa andina. Fundamentos, alteridad y perspectiva. La Paz. pp. 27 44. 1996. Sillares de la filosofa cosmolgica andina. Nos preguntamos si la cultura andina conoci y utiliz un ordenamiento csmico, si cre una filosofa cosmolgica; si los tuvo Qu signos utiliz para documentar estos conocimientos? Los signos numricos rituales fueron los instrumentos con los cuales se registr este conocimiento y est ampliamente documentado por hallazgos arqueolgicos de toda ndole, por el arte textil andino, arcaico y contemporneo; adems, otras fuentes utilizaron y utilizan dichos signos. El significado filosfico de estos signos es un estudio que tiene que documentarse con otras fuentes, que esta vez son: el idioma, sus traducciones etimolgicas, los mitos, la tradicin oral y las crnicas de la poca colonial. Un mito recopilado en la regin del lago titicaca y documentado fragmentariamente en diferentes trabajos de investigacin nos servir de argumento para demostrar los enunciados que emanan de la filosofa numerolgica, y lo presentaremos como fundamento de la temtica del presente trabajo.30


Lamentablemente los mitos andinos han sido cercenados, arbitrariamente fragmentados y sufrido la inquisicin de la religin intolerante que los conquist. Entonces, lo deplorable de la recuperacin de estos mitos es que se han rescatado muchos, pero han sido depurados de todo lo que no les serva a los intereses hegemnicos y a la misin imperialista envenenados de poder, de los conquistadores. Eso significa que la mitologa andina que conocemos es parcial y fragmentada por intereses creados de destruccin cultural. La tradicin oral ha mantenido muchos mitos, pero sin los elementos fundamentales de su esencia, cercenados no solo por la intolerancia religiosa, como ya lo dijimos, sino tambin por el transcurso del tiempo. Antroplogos, como Lvi y Strauss, han recuperado y estudiado los mitos, pero sin llegar a la conformacin de un corpus mtico, donde se puede integrar los fragmentos para tener una mejor y total visin del contexto mtico andino y/o amaznico. El trabajo que hizo Jorge Luizaga por ms de cinco aos tiende a la reconstruccin de mitos a partir de los fragmentos existentes. El grueso de su trabajo se orient a la reconstruccin de un mito fundamental del gnesis andino, que se pudo recuperar fragmentariamente desde la regin de la Patagonia hasta la amazona, donde encontramos diferentes acepciones pero el mismo mensaje. El centro geogrfico de este mito es el rea del Lago Titicaca en s y su periferia, la zona circunlacustre. El mito del gnesis andino que se pudo restaurar de forma coherente reza de la siguiente manera.

GNESIS ANDINOEn la oscuridad de los tiempos, Chamak Pacha, era de tinieblas. All donde todo cohabitaba un solo espacio ilimitado, Sol y Luna en la inmensidad de la soledad que los acompaaba, buscaron en el fuego del amor, que naci ante la sola presencia de ambos, saciar aquel anhelo que los acosaba. Ese amor pasional tena que ser fugaz, pues el ordenador del espacio sideral ( Pachakamac) no permitir generacin alguna en un estado donde la efectividad del Sol y la melancola de la Luna iban a perturbar a un mismo tiempo a aquellos seres que poblarn un mundo futuro. Ese mundo futuro: la tierra (Pachamama) se interpone al amor del Sol y la Luna, generando as el da y la noche en un mundo que sentir calor y fro, alegra y tristeza, vida y muerte, a lo largo de su existencia cclica en el devenir de los tiempos. El Sol resignado a su destino busca solucionar la ausencia de su amada Luna con fortuitos amores que se le presentan en el azar de la vida. La Luna en ausencia perturbada, no concibe aquella separacin y desconsoladamente llora por muchas noches y das, ocasionando as el primer y nico diluvio andino. Las lgrimas cuajadas de cristalizan tristeza son albergadas en la Tierra y generan el lago sagrado de los Andes: el Lago Titicaca. 31


Pasaron muchas dcadas o quizs siglos que vivan para s en soledad sentida: Sol y Luna. Fue as como el Sol quiso dar fin a la oquedad que rega el universo y decidi encontrase con ese primer amor que todava quemaba sus entraas: la Luna, y volver a sentir nuevamente el calor que los haba unido en el amanecer de los tiempos, an, cuando ese encuentro sea solo por algunos instantes. La Luna, dolida an, no poda concebir estar nuevamente frente a frente con aquel ser que amaba todava. Ella evitaba ese encuentro recogindose lo ms temprano posible a sus aposentos de ausencia y desconsuelo. El Sol buscaba a toda costa poder encontrarla, amaneciendo cada da ms temprano, con la esperanza de volver a reflejarse en aquellos ojos azabaches, donde la melancola fue el origen de esa necesidad de vida. Por aquellos azares del destino, despus de tanto tiempo de desesperada bsqueda y encuentros fallidos, la Luna se atras unos instantes en el horizonte e esperanza que dibujaban las montaas de la cordillera. El Sol acababa de salir regalando luz a la Tierra, en un calor de entrega desinteresada. En ese instante. Aquel instante siempre soado, aquel instante que ayer fuera imposible, hoy se convierte en realidad. All estaban nuevamente frente a frente, en el universo. La Luna reflejaba su faz en las cristalinas aguas del lago, otras lgrimas de desconsuelo por ella vertidas. El Sol, embellecido por aquella imagen amada, logr por un instante detener su cotidiano viaje por el firmamento. Son sus imgenes reflejadas en el lago sagrado de los Andes (Lecho preconcebido) que, con abrazo infinito logran en ese anhelado momento de unin fecundarse en inconmensurable dicha. Cuentan nuestros antepasados que cada que las imgenes del Sol y la Luna copulan en las aguas sagradas del lago, se genera la fuerza vital ( Wira) que dio origen y hoy regenera y consolida nuestras vidas en el devenir cclico del gnesis andino.

Volviendo al contexto filosfico, podemos decir que el ordenamiento de las especies en el pensamiento andino se entiende como un ordenamiento basado en la reflexin. Mediante ella todas las especies y objetos (individuales) obtienen un lugar en el espaciotiempo del mundo andino (Pacha).32


Esta reflexin del orden csmico, utiliza signos matemticos de ordenamiento, que se diferencian fundamentalmente de la numeracin arbiga utilizada hoy en da, porque en s son ya una construccin matemtica. Adems el ordenamiento numrico andino, considera una compleja interrelacin de contenidos:

Principio csmico. Contenido filosfico (concepto.) Signo cosmolgico.

El sentido de la numeracin cosmolgica con progresin numrica del 1 al 5, podemos considerarlo como la doctrina del gnesis andino. Este gnesis no es una simple creacin, sino una emanacin progresiva e infinita de generacin de vida a partir de una primera unidad. Los nmeros sacros del 1 al 5 son pasos fundamentales de dicha emanacin y cada nmero manifiesta un plano de realizacin concreta. Todos estos planos juntos, por interrelacin, forman el concepto de realidad andina en si concluida, pero no finalizada en el proceso evolutivo de la humanidad. La realidad andina est configurada por las cinco cualidades numrico filosficas, que son los fundamentos de la vida como tal. Ahora bien, en que relacin se encuentran los planos o esferas de la realidad? Estos planos o esferas se encuentran en una relacin anloga. Entonces, todo lo que existe en un plano ser analgicamente replicado en el plano subsiguiente, bajo dos conceptos fundamentales, y son la ley de relatividad y la ley de analoga que se definen de la siguiente manera: 5.4 LEY DE RELATIVIDAD ANDINA: Toda rplica entre planos y/o esferas se rige bajo el principio de relatividad, por el cual nunca sern iguales sino nicamente similares en su contenido conceptual, bajo un sistema simblico sincrnico, en el que la energa potencial es representada por el Sol, y que, a su vez, tiene sus correspondencias:

La estelomorfa (la constelacin de Orin), La zoomorfa (el cndor), La fitomorfa (el maz), La geomorfa (los achachila de las montaas), y La humanomorfa (hombre) La energa dinmica es representada por la Luna, y sus correspondencias son:

La estelomorfa (la constelacin de Cuz del Sur), La zoomorfa (el puma),33


La fitomorfa (el cactus), La geomorfa (la apachita de las montaas), y La humanomorfa (mujer) 5.5 LEY DE ANALOGA: En consecuencia, esta ley, bajo ese principio de relatividad, considera al microcosmo reflejo del macrocosmo, o en su versin esotrica, lo de abajo es como lo de arriba, y viceversa. Entonces, analoga en el pensamiento andino es el factor generador del sistema y no entiende como atributo o estructura de formacin lgica ni substancial en busca de una causa final. Por las razones anteriormente discutidas, los nmeros rituales andinos comprenden estados relativos a lo social, administrativo y econmico, etc. No son simples codificaciones numricas sino una necesidad cultural para reflejar estados dinmicos de procesos que transmiten el devenir del cosmos, expresado por el misterio de la vida. Bajo esa visin filosfica, es que ahora podemos dedicarnos a explicar los contenidos filosficos de nmeros rituales andinos que devienen del mito gentico andino. PRIMERA CUALIDAD. La cualidad primera tiene el significado de ser primognito, causa nica y el principio del cosmos por excelencia su signo es la abstraccin de la espiral. La espiral es la forma bsica de todo movimiento csmico, comprendiendo su sentido ascendente y descendente, respectivamente, que cumple la categora de complementariedad de opuestos. Y es la espiral el signo para simbolizar el inicio primigenio.

La primera cualidad no es cuantificable, lo uno todava no es un nmero. El uno absoluto es incontable, indeterminable e irreconocible. Lo uno necesariamente solo puede ser reconocido si existe lo otro. Pero mientras la primera unidad no se divida, ser la negacin del todo y por ende de la vida. El concepto de la primera unidad en s es la representacin del cosmos en su totalidad y abarca la infinitud que se despliegan en todas las direcciones.

Como Unidad en s, su despliegue o dilatacin es, en s misma, hacia adentro.34


Como unidad en la dualidad, su despliegue es la reflexin recproca e invertida de s. Como unidad en la multiplicidad (en la trinidad, en la tetracidad, etc.), su despliegue configura la concepcin del espacio-tiempo en la cultura andina. De esa manera, la primera cualidad es la pre-manifestacin del gnesis. A partir de esta cualidad las subsiguientes estn definidas por su posicin en torno a la emanacin generada por ella. Las cualidades numricas se encuentran intrnsecamente unidas, pero mantienen su independencia y su posicin con valoracin propia. La primera cualidad como tal no es ni nmero ni cantidad, obedece a la caracterstica de blanco (jan-qu), que no es color. Jan-qu traducido etimolgicamente del aymara, significa sin energa, por ende si color. Finalmente, se desprenden de esta cualidad dos axiomas fundamentales de la filosofa andina.

La unidad en s nicamente se concibe en la multiplicidad (por lo menos en la dualidad) La unidad es inseparable e inconcebible fuera de la dualidad. La importancia de la primera unidad en s reside en ser el motor energtico en el proceso de emanacin que se autogenera a partir del despliegue de las cualidades numricas siguientes. SEGUNDA CUALIDAD La cualidad segunda es el impulso creador manifestado, que se origin en la causa primera del ser primognito y el cosmos como tal (comparar, en el mito del gnesis andino, con la metfora del Sol y la Luna) La filosofa europea, no considera esta categora filosfica; lo ms cercano a este enunciado lo encontramos en Platn con su concepto de dualidad indeterminada, o en algunas teoras metafsicas europeas que consideran al principio generador como algo que tiene que volverse en s para ser productor. En la actualidad, el pensamiento netamente racional y las religiones monotestas no aceptan la concepcin de dualidad, porque niega la omnipotencia de la unidad y considera a la totalidad inherente a la dualidad. Esto significa que el todo solo se expresa dentro de esta categora como el par de opuestos complementarios, no antagonistas (complementariedad de opuestos, no antagonistas). Profundizando en el pensamiento andino, diremos que esta cualidad representa el movimiento generador de la particin primigenia de la unidad en s; y se ha simbolizado dentro de los nmeros sacros andinos como la suma de la unidad en s y su imagen reflejada:

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La segunda unidad todava no es la pluralidad, ella pertenece a la esfera de la totalidad unitaria, pero introduce en el todo el movimiento. Mientras que la primera cualidad expresa la totalidad en reposo e inercia, y la segunda es la manifestacin y el impulso. De ese impulso del estado inerte es que se genera la primera particin. En una primera etapa se trata de una divisin interna (por esa razn se habla de particin aparente), porque todava no se separa de la unidad total. El impulso primigenio genera la primera polarizacin interna de la primera unidad y ocasiona el despliegue de la imagen reflejada de la totalidad. El mito utiliza la metfora del Sol, como imagen y de la Luna como imagen reflejada. Qu, quin y cmo ocurre la reflexin? La totalidad busca auto reconocerse y lo hace por medio de la reflexin, originando su imagen reflejada como la diferencia complementaria de si. El pensamiento andino utiliza una reflexin diferente y sui generis. Utiliza la reflexin en un espejo cncavo, donde la imagen reflejada es el opuesto inverso de la imagen en s. La reflexin no solamente produce la imagen reflejada, sino que tambin, despus de liberar a la imagen reflejada, deja espacio a la segunda fuerza csmica: la imagen y la imagen reflejada. Por esa razn la primera unidad busca su auto sacrificio. Ese auto sacrificio tiene gran significado, pues ocasiona un retorno a la oscuridad, a la muerte y provoca la dualidad de contrarios (luz y no-luz; positivo y no-positivo; negativo y no negativo, el ser y el no-ser; el estar y el no-estar, etc.) Al retornar la primera unidad a lo inconmensurable, al vaco, (chusa), a un estado sin contenido, sin determinacin, esta se convierte en un punto de paso que rige lo estar y lo no-estar y es el nexo neutro entre los opuestos complementarios (tinku). Ese punto, donde retorna la primera cualidad, es un estado sin cuerpo, sin sombra, sin atraccin y sin lmites. Un aspecto importante del auto sacrificio de la primera unidad es tambin el despliegue de los elementos primognitos.

El elemento fuego (nina) El elemento agua (yaco) El elemento aire (wayra) El elemento tierra (pachamama)

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Estos elementos energticos, son energas o potencialidades de transformacin y por ello tienen un gran significado en la emanacin a partir de la primera unidad. Estos elementos primognitos se encuentran en posicin opuesta a la primera unidad, porque carecen de neutralidad, all donde se encuentran juegan un papel decisivo, porque se confrontan, se conglomeran y aportan a la complementariedad de los opuestos. Observemos el papel que juega el elemento aire en la reflexin de la primera unidad. El impulso primigenio de la primera unidad proita el despliegue de la imagen y su imagen reflejada, bajo que circunstancias se realiza esta reflexin?, dnde, cuando y en qu se reflejar la primera unidad? En el Universo, en la inmensidad donde espacio y tiempo no existen, se encuentra el escenario donde se genera la primera reflexin en el espejo aire. Solo el elemento aire puede cumplir con los requerimientos de esta primera reflexin que es a-espacial y a-temporal y a-causal. Para el pensamiento racional, la presencia del elemento aire antes de la reflexin es una contradiccin, ya que los elementos se generan por la participacin de la totalidad, es decir por intermedio de la reflexin. Pero aqu estamos frente a un problema a-lgico para el entendimiento racional propiamente dicho. Y es la concepcin de simultaneidad no secuencial, ni lineal, con el que opera el pensamiento andino a-causal. La simultaneidad es una nocin que el pensamiento andino considera como un proceso de autntica simultaneidad, en el que origen, causa y efecto, se generan al unsono. Adems el despliegue de los elementos obedece a una secuencia preconcebida: el elemento aire aparece simultneamente con los elementos fuego y agua, generando el escenario propicio para la reflexin. Estos elementos (fuego, agua y aire) conforman la primera trinidad andina, origen de la concepcin filosfica de la segunda cualidad. Finalmente, la aparicin del elemento tierra servir para la reflexin de los elementos fuego y agua (segunda trinidad generatriz), definiendo un espacio, es decir, que generar la localizacin de la segunda reflexin de las imgenes del Sol y la Luna, como reza en el mito del gnesis andino. Los elementos aire y tierra son energas de trans-substanciacin intermediarias y los elementos fuego y agua son energas de trans-substanciacin determinantes o consecuenciales que se encuentran en un estado de oposicin complementaria, formando dos pares de oposicin: aire / tierra y fuego / agua. Estos dos pares de oposicin forman la tetra-complementariedad del pensamiento andino. Se entiende por tetra-complementariedad al sistema lgico de pensamiento no antagonista del pensamiento andino, que se basa y fundamenta en el manejo de dos pares mnimos (uno intermediario y el otro determinante) para la conformacin de un instrumento con cuatro elementos diferentes, que sin aislar a ningn elemento de anlisis, logra consenso. Especialmente la lgica andina utiliza este tipo de inferencia, donde no se elimina al tercero (tercero excluido) y se logra hacer aseveraciones de verdad a partir de premisas dudosas o aparentemente no-ciertas, para lo lgica formal. Entonces, el origen de la imagen reflejada produce la diferenciacin de la totalidad en sus opuestos complementarios, este estado de diferenciacin lo podemos considerar37


como la tendencia a la separacin, al aislamiento, a la disolucin, pero a la vez se encuentra en re-sonancia, con una relacin de tendencia a la re-unin, al reencuentro. Las dos tendencias juntas (de separacin y de unin) originan la tensin y la crisis que precede a toda creacin. El mito utiliza como metfora el desconsuelo amoroso y el momento de re-encuentro y unin. En esta cualidad encontramos una expresin fundamental de la ley de analoga. El proceso de reflexin de la totalidad se repite en todo lo creado, hasta la expresin ms nfima de vida, es decir que todo se rige por esta categora filosfica andina, ya que esta reflexin es dinmica y el ser reside en la totalidad. TERCERA CUALIDAD La tercera cualidad representa la creacin individualizada de la primera dualidad generatriz complementaria. Representa la vida (terrenal), la fuerza, el sonido y la manifestacin material de todo lo creado; es por eso que cada forma y contenido concretos son parte de la creacin y representan la unidad en la trinidad. Esta cualidad es la expresin de la vida en s: la humana, la animal, la vegetal y la mineral como gnero. Por analoga esa creacin tambin es generatriz: vida material es vida generadora de vida, que asume, a partir de la analoga por reflexin, las caractersticas generatrices de la primera dualidad. Su signo se constituye a partir del signo del dualismo generatriz como base y fundamento, ms el producto de ste como espiral simple que se adhiere, generando as, todas las especies en lo femenino y masculino respectivamente.

Aqu nos encontramos con la tercera reflexin, donde lo masculino y/o femenino no se refleja en su opuesto complementario para que despus de su individuacin por gnero aseguren la vida. Esta reflexin es una paso a lo concreto y experimenta una disminucin energtica que asegura la libertad de accin de los individuos para su propio desarrollo.

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En otras palabras, la doble espiral en la tercera cualidad no solamente representa la dinmica primigenia, sino tambin su capacidad de creacin para asegurar el desarrollo de la vida y la emanacin csmica. La creacin andina no es un acto de voluntad de un dios creador y aislado de la vida, es un proceso de emanacin. Por esa razn el pensamiento andino contiene un concepto de convivencia implcita con la creacin que se expresa con la categora filosfica de convivencia de smiles o desiguales. La verdadera trinidad andina (como ente de transicin de la dualidad a la cuaternidad, es decir a momentos de equilibrio real) est profundamente arraigada en el pensamiento andino, y a continuacin presentamos algunos ejemplos:

TRINIDAD DIVINA: Inti (Sol), Qilla (Luna) y Pachamama (Tierra) TRINIDAD HUMANA: Hatun Ayaju (gran espritu), Jiska Ayaju (alma, esprituencarnado o espritu menor) y Runa (cuerpo)

TRINIDAD FONTICA: vocales I A U; consonantes: simples, aspiradas,glotilizadas.

TRINIDAD

DE ESFERAS SACROCONCIENCIALES: las esferas sacroconcienciales inician y fluyen de lo as llamado oscuro (no lumnico), estado de frecuencias bajas, pasando por el estado vivencial momentneo hasta el estado lumnico de alta frecuencia:

HANAQ PACHA: esfera, espacio-temporal lumnica KAY PACHA: esfera, espacio-temporal vivencial UKHU PACHA: esfera, espacio-temporal no lumnicaEstas esferas son eminentemente concienciales y no consideran limitacin de dimensin esttica, ni localizacin geogrfica (la localizacin geogrfica que comnmente confunden con estos estados de conciencia tienen otra definicin y a saber son: urqusuyu, taypi y umasuyu. No tenemos que localizar estas esferas ni arriba ni abajo; ellas son en realidad esferas de la capacidad de captacin de la conciencia y su experiencia en torno a la naturaleza de la vida csmica.

TRINIDAD DIVISORIA SACROGEOGRFICA (divisin de SIQI) Siqi principal (Qullana) Siqi secundario (Payana) Siqi terciario (kallau)

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CUARTA CUALIDAD La cualidad cuarta es el desenvolvimiento de la creacin en la ida terrenal que corresponde al reyno de la complementariedad luz y no-luz (juntamente a la complementariedad espritu materia) y se expresa simblicamente por el cruce de los espirales dobles o la sobreposicin de dos signos opuestos de la tercera cualidad, que ya renen en s ese par de complementariedades.

En esta cualidad se enfrentan los entes (creados) al mismo problema que se enfrent la primera dualidad: encontrar su opuesto complementario por medio de la reflexin, expresada en la pro-creacin de su especie, pero esta reflexin, en el sentido andino, va ms all de solo asegurar la existencia de la especie, se enfrenta a la situacin de vida (y muerte) y a entablar dentro de la vida terrenal ordenamientos y estructuras sociales, conjuntamente con estados de complementariedad de conciencia e inconciencia (intuicin). Es decir, la cuarta categora considera la concepcin social y cultural esquemtica de ordenamiento que rige hasta lo ms insignificante de la vida exterior e interior de una especie o del ser humano, en busca de una armona de relacin con el todo. Conocemos un gran nmero de manifestaciones de esta cualidad: el Puyisuyu con sus cuatro provincias, las cuatro pocas cclicas de evolucin del pensamiento andino:

Chamal Pacha, poca de inexperiencia y bsqueda. Thuru Pacha, poca de consolidacin sedentaria. Khana Pacha, poca de apogeo cultural. Kaxa Pacha, poca de expansin y decadencia.Todas estas pocas se repiten en un proceso de ciclicidad y transformacin de un nuevo orden, el pensamiento andino lo denomina Pachakuti. Este ordenamiento cuaternario de la sociedad y de la humanidad tiene un sinnmero de expresiones. QUINTA CUALIDAD. En la cuarta cualidad nos hemos referido al proceso de la procreacin de las especies, pero el pensamiento andino a ms all de esta necesidad pragmtica y considera este proceso con mucho ms profundidad, seriedad y cuidado. A esta particularidad acerqumonos primeramente de forma analtica.40


La oposicin contraria del par masculino / femenino se fundamenta en otra oposicin contradictoria del par mnimo de contenido estar / no-estar (ser / no-ser) donde aparecen los elementos primognitos, es decir, donde ya se expresa la vida; esta mezcla de elementos est relacionada con la dualidad positivo / negativo La oposicin estar / no-estar no es un simple paso de una oposicin a otra (Taqi tupu chatana), porque la dimensin de la creacin material no tiene la capacidad de generar por s misma un paso neutral de oposiciones. Entonces, se tiene que recurrir al proceso de generacin de la primera cualidad para realmente realizar este acto trascendental de repetir la creacin como tal. Este estado de trascendencia creativa es la caracterstica de esta cualidad. Este signo se obtiene por medio de un corte transversal del smbolo de la doble espiral atravesando pro el punto de unin de la doble espiral o, de una manera ms geomtrica, del corte transversal de dos pirmides unidas por sus pices. Estas representaciones consideran la fuerza simtrica reflejada y concentrada en la unin de ambas (tinku).

Este punto de unin, esa junta es el paso entre oposiciones contradictorias. Entonces, tendremos que preguntarnos si esta quinta cualidad rene las caractersticas y las condiciones para transportarnos al estado de desindividuacin de la primera cualidad. Previamente debemos hacer hincapi en que el pensamiento andino utiliza la dualidad positivo negativo slo considerndola como la convergencia de fuerzas, y no tiene nada que ver con estructuras lgicas ni morales. La dualidad positivo / negativo en este sentido est ntimamente unida a las concepciones de vida material temporal y de muerte material. Todo lo que vive en oposiciones vive junto con los diferentes matices de estas dualidades contradictorias. Vida terrenal Claridad Arriba Derecha muerte material. no-claridad abajo izquierda.

Situacin que es considerada y reflejada en esta cualidad como contenido y forma del encuentro con la fuerza vital primigenia (Wira). Encontrase con el paso entre oposiciones es una tarea que nos remonta a la particin primigenia, donde la primera cualidad pasa al estado de no-ser, a la oscuridad; es decir, sacrifica su existencia y cede la prioridad a las dualidades que regirn la vida. Ese es el estado que se trata41


de alcanzar cuando uno se encuentra en el nexo o convergencia esencial y primigenia. En el pensamiento andino ese estado se conoce con la denominacin Usnu, como localizacin geogrfica vivencial de ese punto. La experiencia de ese estado vivencial es la mxima realizacin de la convivencia en totalidad divina, es el misterio de transmutacin y recomposicin momentnea (tukuyana) por medio del xtasis (musphata). En ese proceso cada ser viviente tiene que experimentar el efecto de la transmutacin y recomposicin momentnea de la experiencia de la primera cualidad. El instrumento para alcanzar ese estado es, como ya lo dijimos, el xtasis que dinamiza la vida y facilita el paso entre oposiciones contradictorias. Sin ese ejercicio la vida es esttica y no se logra la correlacin entre lo positivo y lo negativo. El xtasis pasa por diferentes estados o etapas: la crisis personal o individual, situaciones de duda, prdida de seguridad y, lo que es principal, la prdida del ego. Para ello se utiliza el baile, la msica, las abstinencias, el xtasis sensual, y las iniciaciones, entre otras tcnicas ms, como vehculos para ampliar estados de conciencia que, junto a las ofrendas y los ritos, constituyen la hermenutica de este proceso. Para llegar a ese estado, que es la esencia de esta cualidad, se tiene que pasar y/o llegar a una relacin de conciencia y propsito en la vida. La naturaleza en su totalidad tiene mecanismos intrnsecos para llegar al estado del Usnu. 5.6 SUGERENCIAS METODOLGICAS. El pensamiento andino toma el espiral como icono central para la descripcin del orden csmico. Los nmeros simblicos que podemos encontrar en la artesana o en la arquitectura andina reflejan y expresan muy bien esa visin espacial. Como lo muestra el texto bsico antes abordado, es muy interesante la forma como en la cosmovisin andina la lgica filosfica tiene su equivalente en una lgica matemtica. Por eso la visin del mundo, puede reconstruirse utilizando algunos algoritmos de la geometra moderna. 1.- Dibuje por separado smbolos para los nmeros 1, 2, 3, 4 y 5 en tarjetas de cartn cartulina. Empiece con el 1, explique su significado simblico y siga hasta el 5. 2.- A continuacin presentamos una tabla con las correlaciones simblicas ms importantes de la mitologa andina.

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cndor kuntur fuego nina este antisuyu

puma agua yaco oeste qontisuyu

serpiente katari tierra pacha norte qollasuyu

guanaco wanacu aire wayra sur chichaysuyu

encuentro simbiosis ter wira centro chawpi

3.- Si tiene un tejido o un vaso ornamental con los smbolos numricos a su alcance, selo porque es ms ilustrativo empezar la explicacin con un objeto concreto. 4.- Elabore hojas de ejercicios para el aprestamiento de la representacin grfica o escrita de los nmeros andinos; la Hoja de Ejercicios N 3 muestra algunos ejemplos para ello. 5.- De acuerdo al grado y nivel en el que laboramos presentamos a los alumn@s la Hoja de ejercicios N 4 indicando que hagan las tareas sealadas en dicha hoja de trabajo.

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Hoja de ejercicios N 3

1

huk iskay kimsa tawa pisqa

Uno Dos Tres Cuatro Cinco

=

1-------------------

1 2 3 4 5

=-------------

huk

=

=-------------

iskay

=----------

=-------------

kimsa

=----------

=-------------

tawa

=----------

=-------------

pisqa

Hoja de ejercicios N 4

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Consigna1.2.3.4.Observen detenidamente el siguiente grfico Tomen papel cuadriculado, un comps y una regla para la reconstruccin de los nmeros simblicos andinos del 1 al 4 Presenten sus resultados a sus compaeros y compaeras del aula explicando las diferentes etapas de la construccin con trminos de la geometra Comparen los algoritmos inventados por los diferentes grupos de trabajo (verifiquen cuntos algoritmos diferentes existen para llegar al mismo resultado)

Construccin Geomtrica de los nmeros en los Andes

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EL MUNDO DE LAS MANDALAS Joachim Schroeder Cuntas perspectivas hay? Ministerio de Educacin de la Repblica del Per Fundacin GTZ

Una mandala es un diagrama simblico. Normalmente es un crculo o un cuadrado en el centro. Es un modelo del ser, de la vida, del mundo o de la cosmovisin. Pero es un universo imaginado. Las mandalas intentan representar el orden del mundo en una figura geomtrica: as dan una imagen y un modelo del cosmos. Mandalas encontramos en muchas culturas y pueblos del mundo: en la India y en los pases rabes islmicos, en los pueblos indgenas de Australia o de los Estados Unidos y en el arte europeo. Por su estructura geomtrica, su multiculturalidad y su belleza, la mandala es un medio didctico hermoso y plurivalente. Primero presentamos un poco de la historia cultural de la mandala, y luego se ofrece sugerencias para la prctica. 6.1 LA MANDALA: UN FENMENO MULTICULTURAL La fascinacin por el crculo como figura geomtrica puede encontrarse a lo largo de la historia humana, incluso en tiempos arcaicos. En muchas culturas, cosmovisiones y religiones, el crculo es el smbolo del mundo entero y eterno. El nombre mandala, que proviene del antiguo idioma snscrito, significa crculo. ASIA. Las mandalas del budismo, una importante religin practicada en pases del sur y sudoeste asitico, se basan en un cuadrado de 8 x 8 de 9 x 9 cuadros. En ellos estn representados las cuatro direcciones, los cinco elementos, los cinco sabios, etc. El crculo representa la rueda de la vida y simboliza el renacimiento. Se pueden encontrar mandalas en los conventos de los frailes budistas. Las formas en el piso con arena fina y coloreada hasta llegar a cuadros impresionantes. Tienen una duracin temporal: las mandalas sern destruidas por los frailes o por fuerzas naturales (viento, lluvia). As se repite el camino eterno del mundo en la repeticin de la elaboracin de mandalas. A veces se han construido templos (pagodas), bar

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Modulo Etnomatematica I Curso