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Momento Angular
Os slides marcados (*) não serão cobrados.
São derivações matemáticas para alunos interessados.
https://www.youtube.com/watch?v=PwE3eiREYA4&t=101s
https://www.youtube.com/watch?v=-Cc-jGnIwCM
Momento Angular de uma PARTÍCULA
𝐋 = 𝐫 × 𝐩 = 𝑚(𝐫 × 𝐯)
𝑑𝐋
𝑑𝑡= 𝑚
𝑑𝐫
𝑑𝑡× 𝐯 + 𝐫 ×
𝑑𝐯
𝑑𝑡
= 𝐫 × 𝐅
Momento angular da partícula em
relação à origem escolhida
TORQUE da força 𝐅em relação à
origem escolhida
𝑑𝐋
𝑑𝑡𝛕
Sobre |𝐚 × 𝐛|
𝐚𝐛
𝜃
𝑏⊥
𝐚𝐛 𝜃
𝑎⊥
𝐚 × 𝐛 = 𝑎𝑏 sin 𝜃 = 𝑎𝑏⊥ = 𝑎⊥𝑏
𝑂
𝐫
𝐯
𝐯′𝑣⊥
𝐋
𝐯
𝐯′𝑣⊥
𝐋
𝐯𝐋 = 𝟎
𝐋 é ortogonal a 𝐫 e 𝐯
𝐋 = 𝑚𝑟𝑣⊥
𝐋
sentido em que 𝐫 gira em torno de 𝑂
Ilustração 1: Movimento Linear Uniforme
𝐫𝐯
𝑂
b𝐫′
𝐤𝑂’
𝐋 = 0 (𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡)
𝐋′ = − 𝑚𝑣𝑏 𝐤 (𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡)
𝐫′(𝑡1)
𝐫′(𝑡2)
𝐫(𝑡1)
𝐫(𝑡2)𝑂
Ilustração 2: Movimento Circular Uniforme
𝐯(𝑡1)
𝐯(𝑡2)
𝐋 𝑡1 = 𝐋 𝑡2 = − 𝑚𝑅𝑣 𝐤
𝐋′ 𝑡1 ≠ 𝐋′ 𝑡2
𝑂’
𝐤
𝐟
−𝐟
𝐅2
𝐅1
Momento Angular de um SISTEMA DE PARTÍCULAS
𝑂
𝑑𝐋𝑂
𝑑𝑡= (𝛕𝑂)𝑒𝑥𝑡
𝑑𝐥1𝑑𝑡
= 𝐫1 × (𝐅1 + 𝐟)
𝑑𝐥2𝑑𝑡
= 𝐫2 × (𝐅2 − 𝐟)
𝑑(𝐥1 + 𝐥2)
𝑑𝑡= 𝐫1 × 𝐅1 + 𝐫2 × 𝐅2
𝐫1 − 𝐫2 × 𝐟 = 0
𝐫1
𝐫2
(𝐫1−𝐫2)
𝑑𝐋𝑂
𝑑𝑡= (𝛕𝑂)𝑒𝑥𝑡
Apenas forças EXTERNAS são capazes de alterar o momento angular de um sistema
de partículas
Momento Angular vs. Momento Linear
𝑑𝐋𝑂
𝑑𝑡= (𝛕𝑂)𝑒𝑥𝑡
𝑑𝐏
𝑑𝑡= 𝐅𝑒𝑥𝑡
sem atrito
Como fazer para se deslocar?
Como fazer para girar?
https://www.youtube.com/watch?v=-Cc-jGnIwCM
O vetor 𝐋 e o momento de inércia 𝐼
𝑏𝑖
𝑂
𝐤
𝐫𝑖
𝐋𝑂 = 𝑖𝑚𝑖(𝐫𝑖 × 𝐯𝑖)
𝐚 × 𝐛 ∙ 𝐜 = (𝐜 × 𝐚) ∙ 𝐛
= 𝑖𝑚𝑖( 𝐤 × 𝐫𝑖) ∙ 𝐯𝑖
𝜔
= 𝑖𝑚𝑖𝑏𝑖(𝑏𝑖𝜔) = 𝐼0𝜔
𝐯𝑖
CORPO RÍGIDO (direção de rotação fixa)
𝑖𝑚𝑖(𝐫𝑖 × 𝐯𝑖) ∙ 𝐤𝐋𝑂 ∙ 𝐤 =
No caso de direção de rotação ao longo de um eixo de simetria...
𝜔𝜔
𝐋𝑂 = 𝐼𝑂𝜔 𝐤
𝐤
𝑂 𝑂
𝑑𝐋𝑂
𝑑𝑡= (𝛕𝑂)𝑒𝑥𝑡
nos problemas de EIXO FIXO
𝐼0𝛼 = 𝑅𝐹⊥
𝐅⊥
𝑅
𝐅∥ (inútil)
(produz rotação)
𝐼0𝛼 = 𝑅𝐹⊥
𝑂𝐫
𝐤 𝑑𝐋𝑂
𝑑𝑡= 𝐫 × 𝐅
𝐅
𝑑(𝐋𝑂∙ 𝐤)
𝑑𝑡= (𝐫 × 𝐅) ∙ 𝐤
𝑑(𝐼0𝜔)
𝑑𝑡= 𝑅𝐹⊥
𝛼
= ( 𝐤 × 𝐫) ∙ 𝐅
(*)
Um resultado útil:
𝐋𝑂 = 𝑀 𝐑 × 𝐕 + 𝐋𝐶
𝐑
𝐋𝑂 = 𝑀 𝐑 × 𝐕 + 𝐋𝐶
𝐕𝐫𝑖
𝐯𝑖
𝐶
𝑂𝑂
⟹ 𝑖𝑚𝑖𝐯𝑖 = 0
𝑖𝑚𝑖𝐫𝑖 = 0
Do ponto de vista do CM...
𝐋𝑂 =
𝑖
𝑚𝑖(𝐑 + 𝐫𝑖) × (𝐕 + 𝐯𝑖)
= 𝑀 𝐑 × 𝐕 +
𝑖
𝑚𝑖(𝐫𝑖 × 𝐯𝑖)
𝐋𝐶
(*)
Ilustração-1
𝑚2
𝑚1𝐯2𝐫2
𝑚1 = 2 kg
𝐫1 = −1, 0 m
𝐯1 = 0, −2 m/s
𝑚2 = 1 kg
𝐫2 = +1, 0 m
𝐯2 = 0, +1 m/s
𝐋𝑂 = 5 kg m2/s 𝐤
𝑀(𝐑 × 𝐕) = 1 kg m2/s 𝐤
𝐢
𝐣
𝑂𝐯1
𝐫1
𝐕
𝐥𝑂1 = 4 kg m2/s 𝐤 𝐥𝑂2 = 1 kg m2/s 𝐤
𝐑 = −13, 0 m
𝐕 = 0, −1 m/s
Do ponto de vista do CM ...
𝐯1
𝐯2
𝑚2
𝐫2𝑚1 𝐫1
𝐫1 = 𝐫1 − 𝐑
= 0, −1 m/s
= +43, 0 m
= 0, +2 m/s
𝐋𝐶 = 4 kg m2/s 𝐤
= −23, 0 m
𝐫2 = 𝐫2 − 𝐑
𝐯1 = 𝐯1 − 𝐕 𝐯2 = 𝐯2 − 𝐕 𝐢
𝐣
𝐶
Ilustração-2 (girando um disco girante)
𝜔
Ω 𝐋𝑂 ∙ 𝐤 = 𝑀 𝐑 × 𝐕 ∙ 𝐤 +𝑀𝑟2
2𝜔
𝑂
𝐑
𝐤
𝐑 × 𝐕 ∙ 𝐤 = ( 𝐤 × 𝐑) ∙ 𝐕
𝐋𝑂 ∙ 𝐳 = 𝑀𝐷2Ω +𝑀𝑟2
2𝜔
𝐷
= 𝐷2𝛺
𝐕 = 𝐷Ω𝐕
A equação do 𝐋𝐶
Observação Chave:
𝑑 𝑀𝐑 × 𝐕 + 𝐋𝐶
𝑑𝑡
𝑑𝐋𝑂
𝑑𝑡= (𝛕𝑂)𝑒𝑥𝑡
= 𝑖(𝐑 + 𝐫𝑖) × 𝐅𝑖
𝑒𝑥𝑡
𝑑(𝑀𝐑 × 𝐕)
𝑑𝑡= 𝑀
𝑑𝐑
𝑑𝑡× 𝐕 + 𝐑 ×
𝑑𝐕
𝑑𝑡= 𝐑 × 𝐅𝑒𝑥𝑡
𝐑𝐫𝑖
𝐶
𝑂𝑂 𝐋𝑂
𝐅𝑖𝑒𝑥𝑡𝐕
= 𝐑 × 𝐅𝑒𝑥𝑡 + (𝛕𝐶)𝑒𝑥𝑡
(*)
𝑑𝐋𝑂
𝑑𝑡= (𝛕𝑂)𝑒𝑥𝑡
𝑑𝐋𝐶
𝑑𝑡= (𝛕𝐶)𝑒𝑥𝑡
Válido mesmo que 𝐶 não seja inercial, como acontece geralmente
𝑀𝐠𝑀𝐠
𝑀𝐀 = 𝐅𝑒𝑥𝑡
𝐼𝐶𝛼 = (𝜏𝐶)𝑒𝑥𝑡
𝑑𝐋𝐶
𝑑𝑡= (𝛕𝐶)𝑒𝑥𝑡
nos problemas de ROLAMENTO
𝐫𝐶
𝐼𝐶𝛼 = 𝑅𝐶𝐹⊥𝑒𝑥𝑡
𝐅⊥
𝑅𝐶
𝐅∥ (inútil)
(produz rotação)𝐶
𝐤 𝑑𝐋𝐶
𝑑𝑡= 𝐫𝐶 × 𝐅
𝑑(𝐋𝐶∙ 𝐤)
𝑑𝑡= (𝐫𝐶 × 𝐅) ∙ 𝐤
𝑑(𝐼𝐶𝜔)
𝑑𝑡= 𝑅𝐶𝐹⊥
𝐅
𝛼
= ( 𝐤 × 𝐫𝐶) ∙ 𝐅
(*)
As equações para a Rotaçãomais geral possível do
CORPO RÍGIDO
𝑑𝐋𝑂
𝑑𝑡= (𝛕𝑂)𝑒𝑥𝑡
𝑑𝐋𝐶
𝑑𝑡= (𝛕𝐶)𝑒𝑥𝑡
𝑀𝐀 = 𝐅𝑒𝑥𝑡
Use quando HÁ um ponto fixo
Use quando NÃO HÁ um ponto fixo
APLICAÇÕES
Conservação de Momento Angular
1- Patinadora girando
𝜔
𝑀𝐠
𝐍
𝜔′
𝑀𝐠
𝐍
𝐼𝑂𝜔 = 𝐼𝑂′ 𝜔′
𝐾 aumentou?
12𝐼𝑂′ 𝜔′2 − 1
2𝐼𝑂𝜔2
= −𝑀𝑔∆ℎ + 𝑊𝑖𝑛𝑡
𝐤
𝑑 𝐼𝑂𝜔
𝑑𝑡= 𝑅𝐹⊥
𝑒𝑥𝑡
Peso e normal NÃO exercem torque em relação ao eixo fixo
∆ℎ
𝑂 𝑂 = 12𝐼𝑂𝜔2 𝐼𝑂
𝐼𝑂′ − 1
https://www.youtube.com/watch?v=PwE3eiREYA4&t=101s
https://www.youtube.com/watch?v=0RVyhd3E9hY
𝐼𝑐𝑎𝑚𝑒𝑙 > 𝐼𝑠𝑖𝑡 > 𝐼𝑢𝑝𝑟𝑖𝑔ℎ𝑡
𝜔𝑐𝑎𝑚𝑒𝑙 < 𝜔𝑠𝑖𝑡 < 𝜔𝑢𝑝𝑟𝑖𝑔ℎ𝑡
https://www.youtube.com/watch?v=5cRb0xvPJ2M
2-Cadeira Giratória + Disco
𝑂
𝐶
𝑀 + 𝑚 𝐠
𝑅𝑟
𝑑𝐋𝑂
𝑑𝑡= (𝛕𝑂)𝑒𝑥𝑡
0
𝜔
= 𝑚𝑟2𝜔/2 𝐢
𝐤 𝐣
𝐢
𝐋𝑂 ∙ 𝐤 = 0
𝐋𝑂 = 𝑀 𝐑 × 𝐕 + 𝐋𝐶
1. A componente de (𝛕𝑂)𝑒𝑥𝑡 (peso e eixo) na
direção 𝐤 é zero.
2. O peso e o eixo (sem atrito) têm torque em relação a 𝑂, mas não na direção do eixo. Esses torques tendem a tombar/destombar o eixo, mas não o fazem girar.
3. 𝐋𝑂 = 𝑚 𝐑 × 𝐕 + (𝐋𝐶)𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜
𝐑𝑑𝑠𝑐
1. Agora o disco preto e a cadeira executam também um MCU de raio 𝑅 e velocidade angular Ω
2. (𝐋𝑂′ )𝑑𝑠𝑐∙ 𝐤 = 𝑚 𝐑𝑑𝑠𝑐 × 𝐕𝑑𝑠𝑐 ∙ 𝐤 + (𝐋𝐶)𝑑𝑠𝑐∙ 𝐤
3. (𝐋𝑂′ )𝑐𝑎𝑑∙ 𝐤 = −𝐼𝑐𝑎𝑑Ω
0 = −𝐼Ω − 𝑚𝑅2 Ω + 𝑚𝑟2/2 𝜔
Ω =𝑚𝑟2/2
𝐼 + 𝑚𝑅2𝜔
𝑂
𝐤 𝐣
𝐢
= −𝑚𝑅2Ω + 𝑚𝑟2/2 𝜔
Conservação de 𝐋𝑂 ∙ 𝐤:
𝑅
Ω
𝜔
𝐕𝑑𝑠𝑐
3-Massa jogada na porta
𝐯0
𝑏
𝑂
𝐤
𝑂
𝜔
𝐋𝑂 ∙ 𝐤 = 𝑚𝑏𝑣0 𝐋𝑂′ ∙ 𝐤 = 𝑚𝑏 𝑏𝜔 + 𝐼𝑝𝑟𝜔
𝑑𝐋𝑂
𝑑𝑡= (𝛕𝑂)𝑒𝑥𝑡
Eixo e peso não exercem
torque na direção 𝐤
𝜔 =𝑚𝑏𝑣0
𝑚𝑏2 + 𝐼𝑝𝑟
Em detalhe
𝑂
𝐑
𝐯0 𝐤 𝑏
𝑚 𝐑 × 𝐯0 ∙ 𝐤 = 𝑚 𝐤 × 𝐑 ∙ 𝐯0
= 𝑚𝑏𝑣0
E se a massa não grudar na porta?
𝑂
𝜔′
𝐯𝑏
𝐋𝑂′ ∙ 𝐤 = −𝑚𝑏𝑣 + 𝐼𝑝𝑟𝜔′𝜔′ =
𝑚𝑏(𝑣0 + 𝑣)
𝐼𝑝𝑟𝜔 =
𝑚𝑏𝑣0
𝑚𝑏2 + 𝐼𝑝𝑟
gruda não gruda
4-Bola solta no carrossel𝑑𝐋𝑂
𝑑𝑡= (𝛕𝑂)𝑒𝑥𝑡
𝜔′
𝑂
𝜔
𝑂 Energia é conservada?
𝐤𝑑
Eixo e pesos não exercem
torque na direção 𝐤𝑚𝐯
𝐋𝑂 ∙ 𝐤 = 𝐼𝑐𝑟𝑠𝜔 𝐋𝑂′ ∙ 𝐤 = (𝐼𝑐𝑟𝑠 + 𝑚𝑑2)𝜔′