Movimiento relativo

Introducción

El movimiento siempre es un concepto relativo porque debe referirse a un sistema de referencia o referencial particular escogido por el observador. Puesto que diferentes observadores pueden utilizar referenciales distintos, es importante relacionar las observaciones realizadas por aquellos. Por ejemplo la mayor parte de las observaciones hechas en la tierra están descritas en un sistema de referencia ligado a ella, y por lo tanto moviéndose con la tierra, en astronomía suele referirse el movimiento de un cuerpo celeste a las estrellas fijas, en física atómica el movimiento de los electrones se determina con respecto al núcleo, es decir que se escoge el sistema de referencia donde se facilite la toma de datos. El objetivo de esta practica es ligar las observaciones hechas desde dos sistemas de referencia en movimiento relativo hechas al mismo tiempo, con las llamas transformaciones de Galileo, así como comprobar que la aceleración permanece invariante, no importando el sistema de referencia

Desarrollo

Velocidad Relativa

Consideremos dos partículas, A y B, que se mueven en el espacio y sean r Ay r B sus vectores de posición con respecto al origen O de un referencial dado. Vease Fig. 1

Fig.1 Movimiento relativo entre dos partículas en movimiento respecto a un mismo referencial xyz

Las velocidades de A y B medidas en ese referencial serán

vA=d r Adt

y (1)

vB=d rBdt

Los vectores de posición (relativa) de la partícula B con respecto a la A y de la A con respecto a la B están definidos por

r BA=AB→

=r B−r A

y (2)

r A B=B A→

=r A−rB

y las velocidades (relativas) de B con respecto a A y de A con respecto a B son

(3)

Puesto que , también resulta que , de modo que las velocidades relativas de B con respecto a A y de A con respecto a B son iguales y opuestas.

Efectuando las derivadas de (3), resulta

d rBAdt

=d rBdt

−d r Adt

,

(4)

d r ABdt

=d rAdt

−d rBdt

o sea que tenemos

vBA=vB−v A ,

(5) vAB=v A−vB

Por consiguiente, para obtener la velocidad relativa entre las dos partículas, se restan vectorialmente sus velocidades con respecto a un mismo referencial. Derivando nuevamente la ecuación (5), encontramos que

d vBAdt

=d v Bdt

−d v Adt

d v ABdt

=d v Adt

−d vBdt

El primer termino se denomina la aceleración de B con respecto a A, y se designa por aB A. Los otros términos son las aceleraciones de B y de A con respecto a O, respectivamente.

Luego,

aBA=aB−aA , y (6)a AB=aA−aB

Movimiento relativo de traslación uniforme

Ahora consideremos dos observadores O y O´ que se mueven, uno con respecto al otro, con movimiento de traslación uniforme. Esto es, los observadores no rotan uno con respecto al otro. por ello el observador O ve al observador O´ moviéndose con velocidad v, mientras que O´ ve a O moviéndose con velocidad –v. Como estamos interesados en comparar sus descripciones del movimiento de un objeto, como, por ejemplo, cuando un observador se encuentra sobre la plataforma de la estación de un ferrocarril y el otro esta situado en un tren que se desplaza en línea recta, y ambos están mirando el vuelo de un avión que pasa por encima de ellos.

Escogemos, por simplicidad, los ejes YZ e Y´Z´ paralelos entre si; los ejes de coordenadas permanecerán siempre paralelos debido a la ausencia de rotación relativa.

Supondremos también que para t = 0, O, y O´ coinciden, de modo que si la velocidad relativa v es constante, podemos escribir

OO '=v t y v=uxv

Fig. 2 Sistemas de referencia en movimiento relativo de traslación uniforme.

Considerando ahora una particula en A. De la fig.2, vemos que

OA=OO´+OÁ

Y como

OA=r , O´ A=r ´ , y OO ´=v t ,

los vectores posicion de A medidos por O y O´estan relacionados por

r ´=r−v t (7)

la ecuacion vectorial puede expresarse en sus tres componentes, tomando en consideracion el hecho de que v es paralela a OX. Por lo tanto

x ´=x−vt , y ´= y , z ´=z ,t ´=t

(8)

Hemos añadido t´ = t a las tres ecuaciones espaciales pada dar enfasis al hecho de que estamos suponiendo que los observadores estan usando el mismo tiempo; esto es, suponemos que las mediciones de tiempo son independientes del movimiento del observador. Esto parece muy razonable, pero es solo una suposicion, que puede ser desvirtuada en forma experimental.

El conjunto de ecuaciones (8) o la simple ecuacion vectorial (7) combinadas con t´= t, son denominadas una transformacion Galileana.

La velocidad V de A con respecto a O se define por

V=d rdt

=¿

¿uxd xdt

+uydydt

+uzd zdt

Y la velocidad V´ de A con respecto a O´es

V ´=d r ´dt

=¿

¿ux´d x ´dt

+u y 'dy ´dt

+uzd z ´dt

Notese que no escribimos dr ´ /dt ´ devido a que hemos hecho supuesto que t=t ´ y por lo tanto dr ´ /dt ´ es lo mismo que dr ´ /dt. Devido a la ecuacion (7) con respecto al tiempo y notando que v es constante,

tenemos

V ´=V−v (9)

o notando que Vx=dx /dt , V ´ x ´=dx ´ /dt , etc., podemos separar la ecuacion (9) en sus tres velocidades componentes:

V ´ x ´=Vx−v ,Vý ´=Vy ,V ´ z ´=Vz

(10)

Estas pueden tambien obtenerse directamente, derivando las ecuaciones (8), (9) o (10) dan la regla Galileana para comparar la velocidad de un cuerpo medida por dos observadores en movimiento relativo de traslacion. Por ejemplo, si –a se mueve paralelamente al eje OX, tenemos simplemente

V ´=V−v (11)

Siendo las otras componentes nulas. Pero si A se mueve paralelamente al eje OY , Vx=Vz=0 ,Vy=V , luego V ´ x ´=−v y Vý ´=V ,V ´ z ´=0, de modo que

V ´= 2√V 2+v2 (12)

Las aceleracioones de A con respecto a O y O´ son

a=d V /dt y a ´=d V ´ /dt

respectivamente. Notese nuevamente que usamos el mismo tiempo t en ambos casos. A partir de la ecuacion (9) notando que dv /dt=0 ya que v es constante, obtenemos

dV /dt=dV ´ /dt o a=a ´ (13)

la cual, expresada en coordenadas rectangulares es

a ´ x ´=ax ,aý ´=ay , y a ´ z ´=az.

En otras palabrabras, ambos observadores miden la misma aceleracion. Esto es, la aceleracion de una particula es la misma para todos los observadores en movimiento relativo de traslacion uniforme. Este resultado nos ofroce un ejemplo de una cantidad fisica – la aceleracion de una particula– que parece ser independiente del movimiento de un observador; en otras palabras, hemos encontrado que la aceleracion permanece invariante cuando se pasa de un sistema de referencia a otro que se encuentra en movimiento relativo de traslacion uniforme. Este resultado, tiene una profunda influencia en la formulacion de las leyes fisicas.

Material

Analisis

Conclusion