EXAMEN DE ECUACIONESDIFERENCIALES

Munoz - Sonia

1-2-2002

Teorıa

1. Teorema de existencia y unicidad de solucion para y′ = f(x, y) con f ∈ C(R2) yverifica una condicion global de Lipschitz, respecto de y.(Solucion definida en todo R) (1-2-02)

2. Teorema de Cartan sobre la proyeccion de un sistema de Pfaff al anillo de inte-grales primeras de su sistema caracterıstico. (1-2-02)

3. Teorema de reduccion local de un campo (conocido el teorema de existencia).(5-2-03)

4. Teorema de Darboux (5-2-03)

5. metodo de las caracterısticas de Cauchi para las ecuaciones en derivadas parcialesde 1 orden (15-9-03)

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Problemas

1. Dada la ecuacion: (1-2-02)y′ + p(x) = g(x)

a) Comprobar que admite la transformacion infinitesimal X = φ(x) ∂∂y

, siendo

φ(x) una solucion particular de la ecuacion homogenea.

b) Encontrar la forma mas general de las ecuaciones de primer item y′ = f(x, y)que admiten la transformacion X.

c) Integrarlas.

2. Dada la forma: (1-2-02)

ω = (y − xyz2) dx + dy − x2yz dz

a) Comprobar que el sistema de Pfaff generado por ω es completamente inte-grable. Calcular su sistema caracteıstico.

b) Restringir ω al plano z = 1 e integrar dicha restriccion.

c) Aprovechando el apartado anterior integrar ω.

3. Dada la ecuacion p − q2 = 0 y la curva Γ = {(x, y, z) ∈ R3 : x = 1, z = y2}(1-2-02)

a) Encontrar por el metodo de las caracterısticas de Cauchy una superficie-solucion de la ecuacion que pase por Γ.

b) Encontrar una integral completa de la ecuacion y utilizarla para calcular lasuperficie solucion del apartado anterior.

4. Encontrar la forma general de las ecuaciones diferenciales de primer ordeny′ = f(x, y) que admiten la transformcacion infinitesimal X = x ∂

∂y+ y ∂

∂xy re-

solverlas.

5. Sea F (x, p, q) = 0 una ecuacion en derivadas parciales de primer orden.

a) Encontrar una integral completa.

b) Aplicar lo anterior a la ecuacion xp+p2−q = 0 para encontrar una superficiesolucion que contenga a la recta x=0, y=t, z=t.

6. Dada la 1-forma ω = yz dx + xz dy− (xy− 1) dz, calcular sus sistemas ortogonaly caracterıstico, decidir si es totalmente integrable y calcular la variedad-solucionde dimension maxima que pasa por (1,3,1). (12-9-03)

7. (15-9-03)

a) Encontrar la forma general de las ecuaciones diferenciales de primer ordeny′ = f(x, y) que admiten la transformacion infinitesimal:D = αx ∂

∂x+ βy ∂

∂y, α, β ∈ R.

b) Aplicar lo anterior a la ecuacion y′y = x2(x3 + y).

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8. Sea f(x, p) = φ(y, q) una ecuacion en derivadas parciales de primer orden.(15-9-03)

a) Encontrar una integral completa.

b) Aplicar lo anterior a la ecuacion p2x = q2y para encontrar una superficiesolucion que contenga a la recta x = t, y = t, z = t.

9. Sea M el sistema de Pfaff en R4(x,y,z,u) generado por ω = x dy + z du.(15-9-03)

a) Comprobar que M no es totalmente integrable.

b) Restringir ω a la superficie S de R4 de ecuaciones x = y, z = u2 y calcularlas soluciones de ω en S.

c) Extender las soluciones obtenidas en el apartado anterior, para obtener solu-ciones de M de dimension 2.

10. Dado el campo (12-9-03)

D =∂

∂x1

+ x3∂

∂x2

+ F (x1, x3)∂

∂x3

en R3.

a) Determinar la funciones F para las que D admite la transformacion infinites-imal X = x1

∂∂x1

+ x2∂

∂x2.

b) Utilizando el apartado anterior integrar D.

11. Calcular la superficie solucion de la ecuacion en derivadas parciales, z = xp +yq + pq + q2, que pasa por la curva x = y = z. (12-9-03)

12. Se consideran en R3 los campos:(11-9-01)

D1 = y∂

∂z− z

∂

∂y

D2 = z∂

∂x− x

∂

∂z

D3 = x∂

∂y− y

∂

∂x

Demostrar que en un entorno de cada punto distinto de (0,0,0) generan un algebrade Lie regular de dimension 2 y calcular sus variedades solucion.

13. Considerar la ecuacion en derivadas parciales xp + q2 − z = 0.

a) Calcular una integral completa.

b) Encontrar la superficie solucion que pasa por x = t, y = 2, z = −t2

14. Resolver la ecuacion diferencial (D4 + 2D2 + 1)z = 1 siendo D el campo en R2

dado por:(11-9-01)

D =∂

∂x+

x− y

x + y

∂

∂y

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15. Integrar:(11-9-01)

a) yy′′ + (y′)2 = 0

b)

{∂x∂t

= y∂y∂t

= −x + 1cos t

16. Dada la ecuacion diferencial, y′ + F (x)y = G(x): (8-2-00)

a) Demostrar que su haz integral puede escribirse de la forma: y = Cφ(x)+ϕ(x)(0.5 ptos)

b) Utilizando el resultado anterior probar que si y1(x) e y2(x) son solucionesparticulares entonces: (1 pto)

y − y1

y2 − y1

= K

c) Comprobar que las tangentes a dos elementos del haz integral en los puntosde ordenadas y1, y2 correspondientes a una misma abscisa x se cortan enun punto que solo depende de la abscisa. Queda ası definida la curva guıa;determinar sus ecuaciones.(2 ptos)

d) Resolver la siguiente ecuacion diferencial. y = x(1− y) + y2 (2 ptos)

e) ¿Cual es la ecuacion de la curva guıa de la ecuacion lineal asociada a laanterior? (0.5 ptos)

17. Hallar la forma de un espejo tal que los rayos que pasan por un punto dado P,al reflejarse, salen paralelos a un direccion dada.(4ptos) (8-2-00)

PPPPPPPPPPPPPPPPPPPP

→Y=0

�P=(0,0)

������������

Q=(x,y) α

β

Y-y=y’(X-x)

α = β

4