Nac t1 Diferencial 2015ii

7/17/2019 Nac t1 Diferencial 2015ii

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Universidad Nacional de Colombia

Taller I - Calculo diferencial

1000004 Grupo 16

Profesor Raul E. Varela

September 8, 2015

1. Halle el dominio de las siguientes funciones:

• f (x) = √ 20 + x − x2

• g(x) = ln(−x3 − x2 + 5x + 5)

• h(x) = 1

x2 + 1 +

2

x2 − 1 +

2√ x + 2

2. Grafique la funcion y = |2x − 1| − |x + 5| − 3 y halle sus cortes con el ejex.

3. Halle el dominio y el rango, y bosqueje el grafico de las siguientes funciones:

• f (x) =

2x − 1, si x < 1,

x2, si x > 1.

• g(x) =

−2, si x < −1,x + 1, si − 1 ≤ x < 1,

3, si x = 1,

−2x2, si x > 1.

• h(x) = (x − 2)2 + 1, x ∈ (2,∞)

• i(x) = x3 − 1

x2 + x + 1

• j(x) =√

x

• k(x) = 3√

x

• l(x) = | − 2x + 3|• m(x) = x|x|

• n(x) =

|x2 − 1|, si − 1 < x < 1,

−|x + 1| + 3, x ≥ 1.

• p(x) = sen(2x − π) + 2, x ∈ (−π, π)

1



• q (x) = sen(2(x − π))

• r(x) =

−2cos 1

2x−

π

2

4. Encuentre funciones f y g tales que f ◦g = g◦f , y, dominio f ◦g =dominiog ◦ f .

5. Sea y = x2. Exprese las coordenadas de un punto P sobre esta parabolaen terminos del angulo formado entre la semirecta positiva del eje x y lasemirecta que pasa por el origen y P .

6. Sean f (x) = x − 3, g(x) = √

x, h(x) = x3 y j(x) = 2x. Exprese lassiguientes funciones como composicion de las funciones anteriores.

(a) y = x1/4

(b) y = (2x − 6)3

(c) y = √ x3

− 3(d) y = 2x − 3

7. Sean f una funcion par y g una funcion impar, ambas definidas paratodo R. Determinie cuales de las siguientes funciones son pares y cualesimpares.

(a) f g

(b) g2

(c) f ◦ f

(d) f ◦ g

(e) g ◦ f

(f) g ◦ g

8. Si f 0(x) = x2 y f n+1(x) = f 0(f n(x)) para todo n natural, halle un formulapara f n(x).

9. Evalue (log2 3)(log3 4)(log4 5) . . . (log62 63)(log63 64).

10. Empareje los siguientes graficos con las funciones y = tan x, y = cot x, y =sec x, &, y = csc x. Justifique.

a) b)

c) d)

2



11. Para la funciony =

−e(x−1) + 2,

halle el dominio, el rango, bosqueje el grafico; tambien, halle la funcioninversa, su dominio y rango y bosqueje su gr afico.

12. Halle el dominio de las funciones

• y = 1

1 − ex

• f (t) = 1√

1 − 2t

13. Encuentre una formula para la inversa de la funcion y = 4x − 1

2x + 3 .

14. Sea f (x) = 3 + x2 + tan πx2 ,

−1 < x < 1. Halle f −1(3) y f (f −1(5)).

15. Si g(x) = 3 + x + ex, encuentre g−1(4).

16. Encuentre el dominio de f y el de f −1 si f (x) = ln(2 + ln x).

17. Un bosque se reduce a 1112 veces su tamano con respecto al ano anterior

cada ano. Si en principio tenıa 30000 hectareas, ¿cuantas hectareas habrandesaparecido en 5 anos? ¿En cuantos anos se reducira a la mitad?.

18. Para las funciones p, q y r del punto 3, hacer una restriccion adecuadadel dominio para que exista la inversa. Halle el dominio y el rango de lasinversas.

19. Halle los angulos α y β .

20. Muestre que cos−1(x) + cos−1(−x) = π. Sugerencia: Coloque los valoresx y −x en la circunferencia unitaria de radio 1, y dibuje los respectivostriangulos recangulos.

21. Halle los siguientes valores.

• csc(sec−1 2) + cos

tan−1(−√ 3)

• sen(sen−1(−1/2) + cos−1(−1/2))

22. Dado que α = sen−1(5/13), halle cos α, tan α, sec α, csc α y cot α.

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23. De una expresion equivalente para cada una de las siguientes funciones.

• y = sec(tan−1

2x)• sen(tan−1

√ x2 − 2x)

• cos(2 tan−1 x)

24. Determine el dominio y el rango de la funcion g(x) = sen−1(3x + 1).

25. Un avioneta pasa 50 metros justo por encima de la punta de la torre decontrol; esta es su posicion inicial. Despues sigue su movimiento horizon-talmente.

• Halle la altura de la torre si se sabe que el angulo α, formado por lalınea que une a la avioneta con la punta de la torre y la que une a laavioneta con la base, es π/24 cuando la avioneta esta a 50 metros de

su posicion inicial.• Halle una ecuacion para α respecto a la distancia x recorrida por el

vehculo desde su posicion inicial.

• ¿Que distancia tendra que recorrer la avioneta para que α = π/36?.

• Si la velocidad del vehıculo es 100 km/hora, halle la ecuacion para αen terminos del tiempo.

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