Notas enmecanica de fluidos

Notas de Clase del Curso Mecanica de Fluidos

Manuel J. GarcıaDepartmento de Ingenierıa Mecanica, EAFIT University.

Cr 49 No. 7 sur 50. Medellın, Colombia.

2 de octubre de 2009

VERSION=0.36 DATE=24Sep09

Indice general

1. Propiedades de los Fluidos 11.1. Evolucion de la Mecanica de Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Solido vs lıquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Esfuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4. Densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5. Presion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.6. Presion de vapor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.7. Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.8. Dimensiones y unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.8.1. Ejemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.9. Gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.9.0.1. Ejemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.10. Viscosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.10.1. Flujo entre dos cilindros concentricos (Viscosımetro) . . . 71.10.2. Tipos de fluidos de acuerdo a la viscosidad . . . . . . . . 9

1.11. Compresibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.11.0.1. Modulo de elasticidad volumetrico . . . . . . . . 10

1.12. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.13. Preguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.13.0.2. Problemas recomendados capıtulo 1 . . . . . . . 12

2. Estatica de Fluidos 132.1. Presion en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2. Variacion de la presion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3. Manometros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.2. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4. Presion sobre cuerpos sumergidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5. Caras inclinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5.1. Punto de aplicacion de la fuerza . . . . . . . . . . . . . . 202.5.2. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5.3. Ejemplo2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.6. Fuerzas en superficies curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

iii

iv INDICE GENERAL

2.6.2. Ejercicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.7. Flotacion: Principio de Arquımedes . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.8. Cuerpos sumergidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.8.1. Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.8.2. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3. Sistemas y volumenes de Control 293.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2. Flujo Volumetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3. Teorema de transporte de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3.1. Variables (Propiedades) Extensivas E e Intensivas i : . . . 323.3.2. Flujo de una propiedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3.3. Variacion de E para un sistema . . . . . . . . . . . . . . . 343.3.4. Aplicacion del Teorema de Transporte de Reynolds . . . . 35

4. Flujo de Fluidos Ideales Incompresibles 374.1. Fluidos ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1.1. Flujo Ideal: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.1.2. Ecuacion de Euler: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.1.3. Flujo Uniforme (rectilıneo) . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.1.4. Reduccion en una tuberıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.1.5. Ecuacion de Torricelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1.5.1. Presion en el Chorro . . . . . . . . . . . . . . . . 424.1.5.2. Ejemplo (5.8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2. Ecuacion de Trabajo y Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2.1. Principio de Trabajo / Energia: . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2.1.1. Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2.1.2. Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.1.3. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5. Flujo en dos y tres dimensiones 515.1. Ecuacion de Continuidad (Forma diferencial) . . . . . . . . . . . 515.2. Ecuaciones de Euler en 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.3. Ecuacion de Bernulli en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.4. Tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.5. Ecuacion de Bernulli en 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.6. Interpretacion Ecuacion de Bernulli . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.6.1. Lineas de Corriente (Flujo Permanente) . . . . . . . . . . 585.6.2. Aplicacion (Flujo Irrotacional) . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.7. Efecto de la Curvatura de las Presiones . . . . . . . . . . . . . . 595.8. Efecto de la Curvatura en la Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.8.1. Ejemplo Aplicado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.9. Identificacion de los puntos de Estancamiento para Interpretacion

de Flujos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.9.1. Ejemplos Aplicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Notas de clase de mecanica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garcıa


INDICE GENERAL v

5.10. Vena Contracta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.11. Funcion de Corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.12. Potencial de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.13. ECUACIONES DE LOS FLUIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6. Principio de Conservacion del Momentum 736.1. Momentun lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.2. Conservacion del momentum angular . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.2.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.2.2. Prob 6.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.2.3. Problema 6.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.3. Fuerza de Propulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.3.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.4. Propelers (Helices) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.4.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7. Ecuaciones de Navier-Stokes 877.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.1.1. Tipos de fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.1.1.1. Fuerzas consideradas en fluidos . . . . . . . . . . 87

7.1.2. Estado general de Esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.2. Fuerzas sobre un elemento de un Fluido . . . . . . . . . . . . . . 89

7.2.1. Fuerzas externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.2.1.1. Suma de Fuerzas sobre el volumen de control . . 897.2.1.2. Fuerzas en “x” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.2.1.3. Fuerzas en “z” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

7.2.2. Cambio de momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.3. Hipotesis de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.3.1. Forma compacta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.3.1.1. Operadores vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . 947.3.1.2. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.3.1.3. Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

8. Analisis Dimensional 978.0.2. Dimensiones Basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978.0.3. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

8.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998.1.1. Analisis de semejanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008.1.2. Ejemplo: Copeopod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

8.2. Principio de Homogeneidad Dimensional . . . . . . . . . . . . . . 1018.2.1. Clases de variables y constantes . . . . . . . . . . . . . . 102

8.3. Metodo del Producto de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038.4. Teorema Π de Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

8.4.1. Procedimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1058.4.1.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1058.4.1.2. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107



vi INDICE GENERAL

8.5. Modelacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088.5.1. Semejanza Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098.5.2. Semejanza Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098.5.3. Semejanza Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110



Introduccion

Este documento es realizado con un doble proposito en mente. El primeroservir de practica a los estudiantes del grupo de investigacion en el manejo deLATEX como procesador de documentos. El segundo, y mas duradero, servir comoguıa a los estudiantes del curso IM041 Mecanica de Fluidos. Este documento hasido elaborado como material didactico de apoyo a tal curso.

Estas notas son de libre distribucion con propositos educativos siempre ycuando sea con animos no lucrativos y se conserve el derecho de autor. Estascondiciones pueden sin embargo cambiar en el futuro.

Agradecimiento a los estudiantes Gloria P. Correa, Santiago Mejia, SebastianParra, Mario Gomez, Ronald Martinod, Andres Franco, Esteban Quiroz, LeidySuarez y Jorge Alvarez quienes disfrutaron con la digitacion del documento enLATEX durante el curso de LATEX realizado en la Universidad EAFIT, Junio 11- 14 de 2002

Manuel Garcıa, 2002-2003.

vii

Capıtulo 1

Propiedades de los Fluidos

1.1. Evolucion de la Mecanica de Fluidos

La siguiente tabla es una sipnosis de la historia de la mecanica de Fluidos.Ano Quien Desarrollo

Imperio Romano Acueducto287-212 Arquımedes Flotacion, Principio de Arquımedes

1425-1519 Leonardo da Vinci Primer canal cerrado (Milan). Vuelo deAves

Galileo, Torricelli, Mariotte, Pas-cal, Pitot, Bernoulli, Euler

Desarrollo Teorico y Experimental

1744 d’Alembert ‘La teorıa de fluidos debe necesariamen-te estar basada en experimentos’. LaParadoja de Alembert “NO hay resis-tencia al movimiento en flujos ideales”.Discrepancia entre la teorıa y la experi-mentacion.

1850 Navier & Stokes Modifican las ecuaciones de flujo idealpara incluir los efectos viscosos. Expli-can la diferencia entre la teorıa y la ex-perimentacion.

Helmboltz, Kirchoff Desarrollan modelos teoricos y experi-mentales de vortices los cuales concuer-dan.

1890- Reynolds Desarrolla modelos teoricos y experi-mentales.

Rayleigh Analisis dimensionalFrode Modelos teoricos experimentales

1

2 1.2 Solido vs lıquido

Lanchester, Lilienthasl, Kutta,Joukowsky, Betz, Prandtl

Aeronautica

1904 Prandtl Boundary Layer1900- Mejora de los metodos racionales y uso

de computadores

1.2. Solido vs lıquido

Un solido se deforma bajo la accion de una carga y vuelve a su posicioninicial cuando se libera la carga.

Un fluido se deforma bajo la accion de cargas mınimas y sus partıculas fluiranbajo la accion de estas. Las partıculas cambian de posicion unas respecto a otras.Existe sin embargo una fuerza de cohesion de las partıculas que las mantienesunidas. Para un gas la fuerza de cohesion es nula y el volumen depende delrecipiente que las contiene.

��

��

��

��

Solid Liquido Gas

Fluidos

Figura 1.1: Forma adoptada en diferentes estados de la materia

1.3. Esfuerzo

Esfuerzo es la medida de las fuerzas internas de un objeto. Considere unasuperficie como en la figura 1.5. La fuerza ejercida por la Fuerza F sobre la su-perficie tiene dos componentes. Una normal Fn y una tangencial Ft. El esfuerzosobre esta superficie se define entonces como la fuerza por unidad de area en ellımite cuando el area tiende a cero

σ = lım∆A→0

∆Fn∆A

τ = lım∆A→0

∆Ft∆A

El estado general de esfuerzos normalmente se representa sobre un elementocubico diferencial para el cual se definen esfuerzos normales y tangenciales sobrecada una de sus caras.



1.4 Densidad 3

F∆F∆

F∆A∆

n

t

Figura 1.2: Concepto de esfuerzo

1.4. Densidad

Si ∆∀ es un delta de volumen alrededor de un punto perteneciente a unobjeto, entonces la densidad en ese punto se define como

ρ = lım∆∀→0

∆m∆∀

.

Se supone que los gases como los lıquidos estan distribuidos uniformemente.∆∀ no puede ser completamente cero porque a nivel molecular las partıculas noestan distribuidas uniformemente. Ver figura 1.3

∆Vε

ρ

Figura 1.3: Densidad versus Cambio en el volumen

El Peso especıfico se define como el peso por unidad de volumen: γ = ρg

1.5. Presion

La presion sobre una superficie se define como la fuerza normal ejercida sobreesta superficie por unidad de area. Ver figura 1.5.

p = lım∆A→0

∆Fn∆A



4 1.6 Presion de vapor

donde Fn es la fuerza normal a la superficie.Unidades:

[F ][A|

=F

L2→ kg

m/s2 m2=

Nm2

= Pa (Pascales)

O en sistema estadounidense (US customary system) lb/ft2= PSI (Pound SquareInch)

La presion manometrica se define como la presion medida con respecto a lapresion atmosferica. Una presion manometrica positiva significa que es mayorque la presion atmosferica y una presion manometrica negativa significa que esinferior que la presion atmosferica. La figura 1.4 ilustra este significado.

A

absoluta

Atmosfera estandar Presion manometrica

Presion manometrica devacio (negativa)101.3 KPa

P=0

Figura 1.4: Presion

1.6. Presion de vapor

La presion de vapor a la cual algunas partıculas lıquidas escapan de la su-perficie en forma de vapor. Si el lıquido esta contenido algunas partıculas seevaporan y otras se condensan creandose un equilibrio. Por ejemplo para elagua a 20◦C la P.V = 0.02 veces la presion atmosferica.

1.7. Temperatura

Medida interna de la energıa cinetica de las partıculas. Las dos escalas maspopulares son la Celcius y la Faranheit y se relacionan de la siguiente manera:

100◦C = 212◦F0◦C = 32◦F



1.8 Dimensiones y unidades 5

��

��

Figura 1.5: Presion de vapor

Lo cual nos lleva a la siguiente relacion

◦C = 32 +212− 32

100◦F

Adicionalmente en escalas absolutas tenemos:

◦K = ◦C + 273 (1.1)◦R = ◦F + 459 (1.2)

1.8. Dimensiones y unidades

La 2a ley de Newton dimensionalmente se escribe:

F = ma

[F ] = [m][a] =MLT2

Donde M es la dimension de la masa, L la dimension de longitud y T es ladimension de tiempo.

Las dimensiones fundamentales son: L,M,T,F y tienen las siguientes unidadesen Sistema Internacional (SI): m, gr, seg.



6 1.9 Gas ideal

1.8.1. Ejemplo:

Expresion dimensionalmente homogenea:

m2v2 − m1v1 = ρ2Q2v2 − ρ1Q1v1

M

T

L

T=

M

L3

L3

T

L

T

1.9. Gas ideal

Las Condiciones para asumir que un gas puede ser modelado como gas idealson

Gas ideal

{Temperaturas no muy bajasPresion no muy alta

En un gas ideal se cumple:p = ρRT

De donde, p es la presion ρ es la densidad, T la temperatura y R es la constantedel gas y se define en terminos de la constante universal de los gases Ru como

R =RuM

con M la Masa molar del gas.

1.9.0.1. Ejemplo:

Se tiene un tanque con un volumen de 0.2 m3, con 0.5 Kg de Nitrogeno(masa molar 28 kg/kg-mol), a una temperatura de 20◦C. Calcular la presion.

Respuesta:

p = ρRT

=0,5kg0,2m3

× 8,314kJ28kg.K

(273 + 20)K

= 218KPa(Absoluta)

donde se uso Ru = 8.314 kg/kg-mol.K

1.10. Viscosidad

Principales caracterısticas de la viscosidad:

“Pegajosidad”

Controla la cantidad de fluido que se transporta por una tuberıa

Ligada a la deformacion del fluido. Para un esfuerzo dado un fluido viscosose deforma mas lentamente que uno menos viscoso.



1.10 Viscosidad 7

La viscosidad hace que el fluido se adhiera a la superficie.

T

Viscosidad

T

Viscosidad

Figura 1.6: Viscosidad en liquidos y fluidos

u(y)

Figura 1.7: Perfil de velocidades

Supongase un flujo con perfil de velocidad como el que se muestra en lafigura 1.7. u(y) es la velocidad en funcion de la ordenada (“y”) y el esfuerzocortante esta dado por:

τ = µdu

dy

dondedu

dyrepresenta la razon de deformacion. La viscosidad tiene unidades

[τ ] =Nm2

= [µ]m

s m→ [µ] =

Nsm2

1.10.1. Flujo entre dos cilindros concentricos (Viscosıme-tro)

Se tiene un tubo con φ1= 20 cm y φ2 = 20.2 cm al cual se le aplica untorque T = 0.13 N con una velocidad angular de 400 rpm. Se pide hallar laviscosidad.Respuesta

La fuerza sobre la superficie del cilindro esta dada por los esfuerzos viscososτ = µ

∣∣dudr

∣∣Notas de clase de mecanica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garcıa


8 1.10 Viscosidad

30 cm

Figura 1.8: Viscosımetro

El gradiente de velocidad puede ser aproximado a un gradiente lineal encasos donde h << R :

du

dr=wR

h

R

WWR

r+hR

Figura 1.9: Viscosımetro, perfil de velocidades

Torque = F × brazo= τA× brazo= τ(2πRL)× brazo

= µ

∣∣∣∣dudr∣∣∣∣ (2πRL)×R

= µwR

h(2πRL)×R

=2µwR3πL

h

despejando para µ

µ =T h

2wR3πL



1.11 Compresibilidad 9

reemplazando los siguientes valores

w = 4002π60

h = (0,202− 0,200)/2T = 0,13R = 0,20/2

tenemos

µ = 0,00165Nsm2

1.10.2. Tipos de fluidos de acuerdo a la viscosidad

du/dy

τ

Fluido ideal

Fluidos newtonianos

Dilatante

Pseudoplastico

Figura 1.10: Comportamiento de diferentes tipos de fluidos

Dilatante Arenas movedizas, lodos

Pseudoplasticos Menos resistentes al movimiento

Plasticos ideales Requieren un esfuerzo mınimo para comenzar a fluir

1.11. Compresibilidad

Existen flujos compresibles e incompresibles, la diferencia radica en que losflujos compresibles varıa su densidad con la presion.

lıquidos → incompresibles → no cierto completamente, cambio en la den-sidad → cambio de presion → ondas.

Gas o vapor de alta velocidad (del orden de la velocidad del sonido 300 m/s).



10 1.12 Ejercicios

1.11.0.1. Modulo de elasticidad volumetrico

Eν = −ν dρdν = −∀ dρd∀ = ρdPdρ Donde ν = 1ρ volumen especıfico.

Analogo para el modulo de elasticidad para solidos:

Eν = −ν∆P∆ν

Eν para el agua es 2100 MPa, 21000 la presion atmosferica. Para cambiar un1 % la densidad del agua se requiere una presion de 21 MPa (210 atm)

1.12. Ejercicios

Determine las unidades de c,K y f(t) en:

md2ydt2 + cdydt +Ky = f(t)

kg, m, s.

Exprese las dimensiones usando FLT.

1. Densidad

2. Potencia

3. Flujo masico

4. Presion

5. Energıa

6. Caudal

Dimensiones de las constantes:

d = 4.9t2 distancia, t tiempo

F = 9.8m m masa

Q = 80AR2/3S1/2o A area, R radio, So pendiente, Q flujo

Presion manometrica de 52.3 KPa. Presion absoluta si:

1. Nivel del mar

2. 1000m

3. 30000m

4. 5000m

5. 10000m

Se mide un vacıo de 31 KPa en un flujo de aire. Calcule la presion absolutaen:



1.12 Ejercicios 11

1. kpa2. mmHg3. PSI4. ft H2O5. inHg

La fuerza sobre un area de 0.2 cm2 se debe a una presion de 120 kPa y aun esfuerzo cortante de 20Pa. Calcule la magnitud y direccion de la fuerza.

Cacule la densidad y el peso especıfico del agua si 0.2 slug ocupan 180 in3.

El peso especıfico del mercurio SHg = 13.6 -0.0024T, con T en ◦C. Si seasume 13.6 a 50◦C calcule el error.

El peso especıfico de un lıquido es 12400 N/m3 ¿Que masa de lıquidoesta contenida en un volumen de 500 cm3?. Use:

1. Valor estandar de la gravedad 9.80665 m/s2

2. Valor mınimo 9.77 m/s2

3. Valor maximo 9.83 m/s2

4. Valor nominal 9.81 m/s2 → 32.2 ft/s2

Se tiene una distribucion de velocidades para dos cilindros concentricosgiratorios de 0.2m de largo u(r) = 0,4

r − 1000r m/s. Si los diametros delos cilindros son 2cm y 4cm, calcule la viscosidad del fluido si el momentode torsion medido es 0.026 N.m.

Una banda de 60 cm de ancho se mueve como en la figura. Calcule lapotencia requerida en HP suponiendo un perfil de velocidad lineal en elagua a 10◦C.

4 m

10 m/s 2 mm

Figura 1.11: Banda del problema

La distribucion de velocidad en un tubo de 1.0 cm de diametro esta dadapor u(r) = 16(1−r2

r20)m/s donde ro es el radio del tubo. Calcule el esfuerzo

cortante en la lınea central a r = 0.25 cm y en la pared del liquido si fluyeagua a 20◦C.



12 1.13 Preguntas

Calcule la densidad y el peso especıfico relativo del aire en condicionesestandar (15◦C 101.3KPa)

Un tanque de 5m3 con aire tiene una presion absoluta de 5 Mpa. Calculela densidad y la masa del aire cuando la temperatura alcanza los 8◦C.

Peso del aire contenido en un aula de 10x20x4 m.

Neumatico de un automovil 35 psi en Michigan con temperatura de -10◦F→ arizona T = 150◦F. Presion maxima del neumatico.

1.13. Preguntas

- Grafique la relacion σ VS dudy Para:

1. Flujo Newtoniano

2. B. Plastico

3. Peso en Newtons, kilos, libras (1 Newton = 0.224 Lb).

4. Temperatura 22◦F en ◦C (el agua hierve a 212◦F)

5. El peso especıfico de un lıquido es 12400 N/m3. ¿Que masa de lıquidoesta contenida en un voumen de 500 cm3?. Si:

g = 9,8m/s2

= 9,77m/s2

= 9,83m/s2

- Determine las unidades de c, K y f(t)md2y

dt2 + cdydt +Ky = f(t)

1.13.0.2. Problemas recomendados capıtulo 1

11 - 33 - 46 - 65 - 67 - 68 - 70



Capıtulo 2

Estatica de Fluidos

2.1. Presion en un punto

Para encontrar la presion de una partıcula en un fluido se comienza asumien-do un volumen prismatico infinitesimal al cual se le evalua el equilibrio estatico.Luego se encuentra el lımite cuando el tamano tiende a cero, ası:

P

Py

Px

W

Figura 2.1: Prisma de presion

∑Fx = max = p sin θ ds− px sin θ ds =

dx dy

2ρax

ΣFy = may = p cos θ ds−W − py cos θ ds =dxdy

2ρay

reemplazando ds sin θ = dx y ds cosθ = dy

⇒ p− px =ρax2

dy

p− py =ρax2

dx

13

14 2.2 Variacion de la presion

en el limite cuando dx→ 0 y dy → 0 tenemos

p− px = 0p− py = 0 → p = px = py

Como no se especifico un θ queda demostrado que la presion es igual en cualquierdireccion. Es decir la presion es un campo escalar. Esta afirmacion es valida parafluidos estaticos sin presencia del esfuerzo cortante.

τxy

σ

σy

x

Figura 2.2: Tensor de esfuerzos

Si no hay esfuerzo cortante para ningun θ entonces el cırculo de Mohr debeser un punto.

2.2. Variacion de la presion

y

z

x

z

x

dy

dx

Figura 2.3: Presion en un punto

El anterior resultado nos permite asumir que la presion es un campo escalar.La presion en un punto esta definida por un unico numero p(x) = α con α ∈ R.Adicionalmente si p(x) es la presion en un punto x, la presion a una distancia



2.2 Variacion de la presion 15

pequena dx en la direccion x se puede aproximar como:

p+∂p

∂xdx

Supongamos ahora que deseamos conocer la variacion de la presion en unelemento de volumen diferencial como en la figura 2.3. Si se elige un punto x enel centro del elemento, la presion en la cara superior sera:(

p+∂p

∂z

dz

2

)la fuerza ejercida en esta cara esta dada por :(

−p+∂p

dz

dz

2

)dx dy

de la misma manera la fuerza en la cara inferior sera :(p− ∂p

∂z

dz

2

)dx dy

haciendo sumatoria de fuerzas en z, tenemos :

ΣFz : maz = dFz =(p− ∂p

∂z

dz

2

)dx dy +

(p+

∂p

∂z

dz

2

)dx dy − γ dx dy dz

dFz =− ∂p

∂zdx dy dz − γ dx dy dz.

Donde γ es el peso especıfico del fluido.Para las otras dos caras el procedimiento, es similar pero la accion de la

fuerza de la gravedad no esta presente:

dFx = −∂p∂x

dx dy dz,

dFy = −∂p∂y

dx dy dz.

La division por elemento de volumen, dV = (dx dy dz), da :

dFx

dV= −∂p

∂xdFy

dV= −∂p

∂y

dFz

dV+ γ = −∂p

∂z.

definiendo fx = dFx

dV como la fuerza por unidad de volumen en la direccion xy de la misma forma en las otras dimensiones. Esto se puede escribir en forma



16 2.3 Manometros

vectorial como

(fx, fy, fz + ρg) = −(∂p

∂x,∂p

∂y,∂p

∂z

)o en forma compacta

ρgk + ~f = −∇p = −(∂p

∂x,∂p

∂y,∂p

∂z

)Donde ~f es el vector fuerza por unidad de volumen. Puede concluirse que es elgradiente de presion y no la presion el que equilibra el peso del volumen. Noteseque aquı no se estan teniendo en cuenta efectos viscosos, la ecuacion se puedeescribir como

ρ−→a = −∇p+ ρ−→g

para fluidos en reposo se tiene −→a = (0, 0, 0) por tanto

∂p

∂x=∂p

∂y= 0,−∂p

∂z= ρg

que se reduce a

−dp = ρg dz Ley de Pascal

Esta es una ecuacion diferencial simple que se puede resolver por integracion.Si ρ es constante lo que se cumple para fluidos incompresibles y homogeneos∫ p1

p0

dp = ρg

∫ z1

z0

dz

(p1 − p0) = −ρ g(z1 − z0)

Esto es∆p = −ρ g∆z (2.1)

la cual usualmente se escribe como

p0 = p1 + γh (2.2)

de donde se puede observar que la variacion en la presion es directamente pro-porcional a la altura. Si hay 2 puntos a la misma altura de un mismo fluidoestos estan sometidos a la misma presion.

2.3. Manometros

Los manometros son instrumentos que utilizan columnas de lıquido paramedir diferencias de presiones. Ver figura 2.4. Para este caso la presion en dosse puede medir en comparacion con la presion en uno.



2.3 Manometros 17

��

��

��

��

h

1

2

Figura 2.4: Ejemplo manometro

De la ecuacion 2.2 tenemos que dos puntos a la misma altura tienen la mismapresion. Por tanto el cambio de presion sera,

∆p = −ρg∆h.

Colocando nuestro sistema de referencia a la altura del punto dos tenemos

p2 = p1 + ρgh

Dado que p1 es la presion atmosferica, implica que el termino ρgh mide la presionrelativa a la atmosferica y es llamado presion manometrica.

(p2)manometrica = ρgh

2.3.1. Ejemplo

Cuando la presion es muy alta se utliliza un liquido de mayor densidad conel proposito de tener columnas de liquido mas cortas

��

��

��

��

��

��

1

2

3γ1

γ2h

H

de los puntos 1 y 2

p2 − p1 = γ1(z2 − z1)p3 − p2 = γ2(z3 − z2)



18 2.4 Presion sobre cuerpos sumergidos

sumando

p3 − p1 = −γ1(−h)− γ2(H)p3 − p1 = γ1h− γ2H

asumiendo presion manometrica

p3 = 0 ⇒ p1 = −γ1h+ γ2H

De que tamano es la columna de presion si p1 = 1atm ?

2.3.2. Ejemplo

Considere la siguiente configuracion con 4 diferentes fluidos. La gravedadespecifica del aire puede considerarse igual a cero para este ejemplo.

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

20cm

2cm 13cmAgua

S=1.6

Aire Aceite

1

2

3 4

5

Figura 2.5: Ejemplo3 manometro

(p2 − p1) + (p3 − p2) + (p4 − p3) + (p5 − p4) =−[ρH20g(−20) + ρ1S1(23) + ρ1Saire(13) + ρ1S2(−13)]

= 343Pa

2.4. Presion sobre cuerpos sumergidos

Las cargas distribuidas se manejan igual que en estatica. La magnitud esF = ρghArea y se aplica en el centroide cuando la superficie esta dispuesta deforma plana, la fuerza se aplica de forma perpendicular al area.



2.5 Caras inclinadas 19

h

Figura 2.6: Cargas sobre cuerpos sumergidos

2.5. Caras inclinadas

En el caso de que la superficie sumergida este inclinada respecto al planohorizontal, el area estara sometida a una presion variable al desplazarse de unpunto a otro, ademas la resultante estara aplicada en un punto diferente alcentroide como se demostrara mas adelante.

dy

h

Figura 2.7: Ejemplo2 manometro

La magnitud de la fuerza sobre un diferencial de area dA a una altura h

dF = ρghdA = ρgy sin θdA

integrando ∫dF = ρg

∫y sin θdA = ρg sin θ

∫A

ydA.

Pero por definicion de centroide

yA =∫ydA

RemplazandoF = ρg sin θyA



20 2.5 Caras inclinadas

definiendo y sin θ como h la profundidad del centroide tenemos

F = ρghA

2.5.1. Punto de aplicacion de la fuerza

Para encontrar el punto de aplicacion de la fuerza se procede a realizar unasumatoria de momentos. Por definicion

Fyp =∫A

yp dA

Fyp =∫yρgy sin θdA

ρg sin θyAyp = ρg sin θ∫y2dA

yAyp =∫y2dA = Ix

donde y es el brazo y p dA es la fuerza Por teorema de ejes paralelos tenemos

yAyp = Ix = y2A+ Ic

yp = y +IcAy

sabiendo que Ic, A y y son positivos, se deduce que yp > y, lo que significa queel punto de aplicacion de la fuerza esta mas abajo que el centroide del area.

��

dA

centro depresion

yp

xp




2.5 Caras inclinadas 21

Fxp =∫xρghdA =

∫xρgy sin θdA

(ρgy sin θdA)xp = ρg sin θ∫xydA

yAxp =∫xydA = Ixy

xp =IxyyA

2.5.2. Ejemplo

Encontrar las fuerzas sobre una compuerta rectangular inclinada de ancho 5pies. El peso especifico del agua es 64 lbf/ft3.

θ

h

8ft

6ftB

A


Se encuentra que el centro de gravedad esta a 3ft del fondo pa esta en ambascaras

F = γhA = 38400lbf

Ası el centro de presion esta en

yp = y +IcAy

Ic =bh3

12= 417ft4

IcAy

=417 sin θAh

= 0,417



22 2.5 Caras inclinadas

Bx

By

P5+

0.417

3840

0

Figura 2.10: Distribucion de fuerzas

6ft

h4ft

8ft

θ

Agua

Figura 2.11: Figura del ejemplo



2.6 Fuerzas en superficies curvas 23

2.5.3. Ejemplo2

Cuanto vale h para que se abra la compuerta ?centro de presion

l =IcAy

=Ic

Ahsin θ

h = h+ 4p = γhA = γ(h+ 4)A

l′ =IcAy

=Ic sin θA(h+ 4)

Planteando las ecuaciones de momento

F

P

θ

Figura 2.12: Fuerzas sobre la compuerta

ΣMB = 0F (4− l) = p(4− l)F (4− l) = γA(h+ 4)A− Ic sin θ

donde

h = (F (4− l)− Ic sin θ

A2)− 4

2.6. Fuerzas en superficies curvas

Considere la superficie curva sumerjida que se muestra en la figura 2.13. Elvolumen de fluido adyacente a la superficie se ha subdividido en dos bloquespara facilitar su analisis.



24 2.6 Fuerzas en superficies curvas

La sumatoria de fuerzas da como resultado,

ΣFy = WAire +WH20 +W2 − FvΣFx = FBC = FH

Donde FH y Fv son las fuerzas resultantes que soporta la placa sumergida.Puesto que el fluido no soporta cortante entonces entonces las fuerzas FH pasanpor la misma direccion de las resultantes horizontales y Fv pasa por la direccionde las fuerzas verticales.

2.6.1. Ejemplo

Suponga que un barco con forma rectangular se encuentra sumergido parcial-mente en el agua. Si los bordes de las esquinas sumergidas tienen perfil circular,cual es la fuerza resultante sobre esta superficie.

Fuerza horizontal

γ(24− 1,5/2)(1,5 ∗ b) = FH = 348,8kN

localizado en

l =IcAy

=b ∗ 1,53

12 ∗ (1,5)b(23,25)= 0,008

Fuerza vertical

FBC −W = F ′v

γ(1,5)b(2A)− (1,52 − pi1,52

4)γb = 355,2kn

Fh

Fv

Fbc

Paire

w2

w1




2.7 Flotacion: Principio de Arquımedes 25

24m

Figura 2.14: Fuerzas en las partes curvas de un tanque

aplicada en

−Fve−W (1,17) + FBC(0,75) = 0 ⇒ e = 0,74

F1

FH

W

Figura 2.15: Ejemplo del barco

2.6.2. Ejercicio

Hallar la fuerza vertical.

V =(r2 − pir2

4

)ΣFy = −3

(r2 − pir2

4

)γb+ 2rbγ(2r)− F

Fv = −3(r2 − pir2

4

)γb+ 4r2bγ

2.7. Flotacion: Principio de Arquımedes

Para que un cuerpo permanezca en su posicion al sumergirse en un fluido,debe haber una fuerza que equilibre el peso del cuerpo. Esta fuerza recibe el



26 2.7 Flotacion: Principio de Arquımedes

A

B

C

D2m

Figura 2.16: Ejercicio del circulo

nombre de fuerza de flotacion. Para encontrar esta fuerza se hace un analisisde equilibrio de fuerzas para un volumen sumergido que incluye el cuerpo, elvolumen se escoge de forma que se simplifiquen los calculos.

Para analizar las fuerzas vamos a tomar un cilindro con base igual a laproyeccion vertical del objeto contenido. El volumen de lıquido puede ahora sersubdividido en dos, el que esta por encima del objeto y el que esta por debajo.

��

h

��

��

2p

p1

1

F’2

F’ W1

W2

Figura 2.17: Cuerpo sumergido

Del balance de fuerzas sobre estos volumenes de lıquido se pueden obtener lasreacciones a las fuerzas F1 y F2 ( Resultantes de la presion sobre las superficies).



2.8 Cuerpos sumergidos 27

La fuerza neta que ejerce el agua sobre el objeto sera

Fb = F ′1 − F ′2.

Ası para la parte inferior tenemos

F ′2 −W2 − p2A = 0,

y para la superior,−F ′1 −W1 + p1A = 0.

Sumando las 2 ecuaciones,

(F ′2 − F ′1)− (W2 +W1) + (p1 − p2)A = 0

resolviendoF1 − F2 = −(W2 +W1) + γhA = 0,

donde,

W2 +W1 es el peso del volumen de agua rodeando el objeto

γhA es el peso del cilindro total en el agua

FB = F1 − F2 representa el volumen del objeto por el peso especıfico delagua, es decir el volumen de agua que el objeto desplazo al sumergirse.

2.8. Cuerpos sumergidos

El empuje actua sobre el centro de gravedad del volumen despejado

ESTABLE

INESTABLE

INESTABLE

Figura 2.18: Estabilidad de cuerpos sumergidos

2.8.1. Problema

Determinar la densidad de la corona sabiendo que su volumen es igual a 189in3,



28 2.8 Cuerpos sumergidos

W

F neta

F flotac

= 4.7lb

Figura 2.19: Problema de la corona

2.8.2. Ejemplo

Un barco de area seccional 3000m2 cuyo casco esta sumergido 9m. Cuantopeso en contenedores puede adicionarsele antes de que alcance una profundidadde 9.2m. Considere γ = 10kNm3 .

Wcontenedores = Wc = 3000× 0,2× 104 = 6000 kN



Capıtulo 3

Sistemas y volumenes deControl

3.1. Definiciones

Figura 3.1: Volumen de Control (rojo) y el movimiento de un sistema de parti-culas.

Volumen de Control es la superficie imaginaria que define un volumenconstante sobre el tiempo y por el cual la masa, la energıa y el momentumfluyen. En la figura 3.1 el volumen de control se muestra en rojo.Sistema: Un sistema se define como un conjunto de partıculas que se mueveny deforman. La figura 3.1 muestra el conjunto de particulas en dos tiemposdiferentes t y t + dt. En el primer instante t el volumen del sistema coincidencon el volumen de control. Un dt de tiempo mas tarde, las particulas del sistemase habran desplazado en el sentido del flujo. El volumen en verde muestra elsistema en el instante t+ dt.

Si asumimos que las velocidades en 1 y 2 son uniformes entonces I es elvolumen de fluido que entra la superficie de control y 0 es el volumen de fluido

29

30 3.1 Definiciones

que abandona el volumen de control. Como la masa del sistema es constanteentonces podemos afirmar que

(mI +mR)t = (mR +mO)t+dt , (3.1)

ademas si el flujo es permanente (steady)

(mR)t = (mR)t+dt ,

entonces:(mI)t = (mO)t+dt.

El volumen a la entrada es A1 ds1 y a la salida A2 ds2. Entonces:

(mI)t = ρ1A1 ds1 = (mO)t+dt = ρ2A2 ds2, (3.2)

por definicion de velocidad

ds1

dt= v1,

ds2

dt= v2,

se tiene :ρ1A1 v1 dt = ρ2A2 v2 dt

esto es, la ecuacion de continuidad:

ρ1A1 v1 = ρ2A2 v2,

En otras palabras el flujo a la entrada es igual al flujo a la salida:

m = ρiAi vi = cte. . (3.3)



3.2 Flujo Volumetrico 31

3.1.1. Ejemplo

300 mm d

1

2

200 mm d

50 mm d

3

Figura 3.2: Ejemplo

Se tiene una tuberıa disyunta en uno de sus extremos, el cual fluye un flujouniforme de fluido a razon de 400Kg

s . Si la velocidad en 3 es 5 m/s, cual es lavelocidad en la salida 2 ?Respuesta

La ecuacion de continuidad

ρ1A1v1 = ρ2A2v2 + ρ3A3v3,

en el caso en que ρ1 = ρ2 = ρ3, entonces

400 kg/s = ρA1v1 = ρ (A2v2 +A3v3)400 kg/s

ρ= π(0,025 m)2 (5 m/s) + π(0,1m)2v2

v2∼= 12m/s

3.2. Flujo Volumetrico

Si el fluido viaja a una velocidad v a traves de una superficie, entonces la can-tidad de liquido que pasa un diferencial de area se puede calcular de la siguientemanera. Suponga que el diferencial de area es lo suficientemente pequeno talque el flujo es uniforme en esa area diferencial. Una particula inicialmente en lasuperficie despues de un tiempo dt se encontrara a una distancia ds = v dt en ladireccion de la velocidad v. Si tomamos en cuenta todas estas particulas, estasdefinen un volumen que cruza en un tiempo dt como se muestra en la figura3.3. Para calcular este volumen considere que la velocidad forma un angulo θcon la superficie el volumen sera igual a v = ds dA cos θ. Note adicionalmente



32 3.3 Teorema de transporte de Reynolds

dA cosθ

vθ

n

dA

n

θ

ds

dA

St=0

t=dt

Figura 3.3: Flujo a traves de una superficie arbitraria y su vista de perfil paracalcular el volumen que pasa en un tiempo dt

que el angulo θ es el angulo que hace un vector normal a la superficie con lavelocidad y por tanto v cos θ = v · n. Luego el volumen que pasa un diferencialde superficie en un tiempo dt y considerando que ds = v dt, sera

dV = v dt dA cos θ = v · n dt dA

El flujo se define entonces como la cantidad de liquido que pasa por una super-ficie S por unidad de tiempo

q =∫∫

S

v · n dA

3.3. Teorema de transporte de Reynolds

3.3.1. Variables (Propiedades) Extensivas E e Intensivasi :

Las propiedades de un fluido en un sistema pueden clasificarse en intensivasy extensivas. Las siguientes propiedades son Extensivas:

Masa del sistema.

Energıa del sistema.

Momentum del sistema.

Si E es una variable extensiva entonces una variable intensiva i se definecomo la variable extensiva E por unidad de masa.

i =E

masa.



3.3 Teorema de transporte de Reynolds 33

Una propiedad extensiva es la cantidad total de la propiedad en todo el sistema,por lo tanto

E =∫∫∫

Sistema

i dm =∫∫∫

Sistema

iρ d∀. (3.4)

3.3.2. Flujo de una propiedad

Consideremos ahora un flujo de una propiedad a travez de una superficie deforma arbitraria como en la figura 3.3. El diferencial de volumen que cruza lasuperficie de control en un dt de tiempo es d∀ = dA cos θ ds = v · n dAdt y lacantidad de una propiedad i asociada a este diferencial de volumen sera:

dE = i ρ d∀ dtdE = iρ (v · n dAdt). (3.5)

Por tanto el flujo de la propiedad por unidad de tiempo sera

dE

dt= i ρv · n dA.

Finalmente, la cantidad total de la propiedad E que pasa por unidad de tiempoa traves de una superficie (S) sera:

E =∫∫

S

i ρv · n dA.

La cual es una extension del concepto de flujo de cualquier propiedad i del fluidoa traves del volumen de control.

x

y

RO

I

Figura 3.4: Volumen de Control (VC) y su Superficie de Control (SC) en rojo.El sistema de partıculas en un instante t coincide con el volumen de Control enrojo se desplaza a la posicion en verde luego de un instante dt




3.3.3. Variacion de E para un sistema

El cambio en la propiedad extensiva E de un sistema de partıculas en unlapso de tiempo dt y Et −Et+dt lo podemos calcular observando el volumen decontrol en la figura 3.4. En un instante t las partıculas del sistema coinciden conel volumen de control (volumen en rojo). Un instante de tiempo dt mas tardelas particular del sistema se habran desplazado y se aparecen como el volumenverde en la grafica. Luego el valor de la propiedad del sistema en el tiempo t, Et,es la propiedad del volumen en rojo y en el tiempo t+ dt, Et+dt es la propiedaddel volumen en verde. Si dividimos estos volumenes en los I, R y O, podemosafirmar que el cambio de una propiedad extensiva E en un tiempo dt para unsistema de partıculas esta dada por:

Et+dt − Et = (ER + EO)t+dt − (ER + EI)t (3.6)

Para los cuales EO es el flujo en la salida y EI es el flujo en la entrada:

(EO)t+dt = dt

∫CSSalida

iρ v · n dA

(EI)t = −dt∫

CSEntrada

iρ v · n dA,

El signo menos aparece como resultado del producto punto entre v y n en laentrada. La propiedad del volumen restante R esta dada por

(ER)t+dt =

∫∫∫R

iρ d∀

t+dt

,

(ER)t =

∫∫∫R

iρ d∀

t

.

Reemplazando los anteriores valores en ecuacion 3.6 se obtiene:

Et+dt − Et =

∫∫∫R

iρ d∀

t+dt

−

∫∫∫R

iρ d∀

t

+ dt

∫∫CSSalida

iρ v · n dA + dt

∫∫CSEntrada

iρ v · n dA.

(3.7)



3.3 Teorema de transporte de Reynolds 35

Dividiendo por dt

Et+dt − Etdt

=

∫∫∫R

iρ d∀

t+dt

−

∫∫∫R

iρ d∀

t

/ dt

+∫∫

CSSalida

iρ v · n dA +∫∫

CSEntrada

iρ v · n dA(3.8)

En el lımite cuando dt → 0, R→ (R+ I) entonces

dE

dt|Sistema =

∂

∂t

∫∫∫CV

iρ d∀

+∫∫

CSSalida

iρ v · n dA+∫∫

CSEntrada

iρ v · n dA ,

(3.9)El cual se conoce como el Teorema de Transporte de Reynolds y relacionala rapidez de cambio de una propiedad extensiva en un sistema de particulas,dEdt , con la rapidez de cambio de una variable extensiva dentro del Volumen de

Control ∂∂t

(∫∫∫CV

iρ d∀)

y el flujo neto a traves de la superficie de control es∫∫CS

iρ v · n dA.

3.3.4. Aplicacion del Teorema de Transporte de Reynolds

Supongamos la variable extensiva es la masa E = masa, por tanto i =masa/masa = 1. Adicionalmente debido a que la masa de un sistema se man-tiene constante

∂E

∂t=∂m

∂t= 0

Aplicando el teorema de Reynolds tenemos

∂

∂t

∫∫∫CV

ρ d∀

= −

∫∫CSSal

ρ v · n dA+∫∫

CSEnt

ρ v · n dA

,

si el flujo es de densidad constante ( permanente) tenemos

∂

∂t

∫∫∫CV

ρ d∀

= 0,

por tanto:

0 =∫∫

CSSal

ρ v · n dA+∫∫

CSEnt

ρ v · n dA




para flujo uniforme a la entrada y la salida∫∫CSSal

ρ v · n dA = ρ2v2A2, (3.10)

∫∫CSEnt

ρ v · n dA = −ρ1v1A1. (3.11)



Capıtulo 4

Flujo de Fluidos IdealesIncompresibles

4.1. Fluidos ideales

4.1.1. Flujo Ideal:

Flujo ideal es un flujo no viscoso =⇒ no hay efectos de friccion entre capasde fluido o entre el flujo y la pared.

4.1.2. Ecuacion de Euler:

W

línea de

corriente

z

dzp+dp

v+dvds

dA

p

Figura 4.1: Diferencial de Flujo

37

38 4.1 Fluidos ideales

Analicemos el balance de fuerzas en un tubo de corriente. Un tubo de co-rriente esta formado por un conjunto de partıculas alrededor de otra que semueve con velocidad v tangencial a la trayectoria, describiendo una lınea decorriente( Ver figura 4.1.) Si hacemos esta conjunto lo suficientemente pequenoentonces podemos considerar la trayectoria de estas partıculas son paralelas ydescriben un tubo de corriente. Por la segunda ley de newton tenemos que lasuma de fuerzas a lo largo de un segmento del tubo de corriente sera:

dm as = p dA− (p+ dp) dA−W sin θ

Donde seno θ esta dado por sin θ =(dz/ds

). Adicionalmente as es la acelera-

cion tangencial y el diferencial de peso W se puede expresar en terminos deldiferencial del volumen,

m as = p dA− p dA− dp dA− ρ g(dA ds)dz

ds

ρ (dA ds) vdv

ds= −dp dA− ρ g dA dz

ρ dAv dv = −dp dA− ρ g dA dz

Dividiendo por ρ dA, se tiene la ecuacion de Euler en una dimension

dp

ρ+ g dz + v dv = 0 (4.1)

para flujo incomprensible normalmente se divide por la gravedad

dp

γ+v dv

g+ dz = 0, (4.2)

sabiendo que d(v2) = 2v dv, tenemos

dp

γ+d(v2)

2g+dz

g= 0 (4.3)

Si suponemos que el fluido es incompresible y como g es constante d(p)/γ =d(p/γ), por tanto:

d

(p

γ+v2

2g+ z

)= 0, (4.4)

Puesto que la derivada de una funcion igual a cero significa que la funcion esigual a una constante obtenemos:

p

γ+v2

2g+ Z = H = Constante (4.5)

la cual se conoce como La Ecuacion de Bernoulli y es valida para puntos



4.1 Fluidos ideales 39

arbitrarios sobre una misma lınea de corriente. Los terminos son:

H : Constante de Bernoulli, Cabeza Totalp

γ: Cabeza de Presion

v2

2g: Cabeza de velocidad

z : Cabeza Potencial

Una representacion esquematica esta dada en la figura 4.2 note que la cabezatotal se mantiene constante.

Es importante notar que esta ecuacion se deriva partiendo del hecho de queel fluido se acelera como consecuencia de una diferencia de presion.

hidraulica

Datum

Linea de Energia

z2

z3

v21/2g

v22/2g

v23/2g

p1/γ

p2/γ

p3/γ

z1

Linea

Figura 4.2: Diagrama mostrando los aportes de la ecuacion de Bernoulli

La ecuacion de Bernoulli puede aplicarse en multiples situaciones como:

Flujos unidimensionales.

Extension a tres dimensiones considerando lıneas paralelas de corriente(tuberıas, canales, ductos).

En flujos ideales la velocidad es constante a lo largo de la seccion trans-versal.

4.1.3. Flujo Uniforme (rectilıneo)

Si la trayectoria de una particula es recta entonces su aceleracion centrifugaes cero por tanto para lineas de corriente rectas y paralelas entre si la la ace-leracion centrifuga sera cero. Es decir aceleracion en la direccion normal a las




ds

lineas de corriente

paralelas

Datum

h

α

z1

z2p1

p2

h

z2 − z1α

Figura 4.3: Diferencial de Flujo Uniforme.

lıneas de corriente es cero. Por tanto la suma de fuerzas normales a las lınea decorriente es igual a cero. Ver figura 4.3

(p1 − p2) ds− γ h ds cosα = 0

donde(p1 − p2) ds es el diferencial de presion y γ h ds cosα es el peso. Reempla-zando cosα = (z2 − z1)/h tenemos:

(p1 − p2) ds = γ ds(z2 − z1)p1 − p2

γ= z2 − z1

p1

γ+ z1 =

p2

γ+ z2 . (4.6)

Por lo tanto p1/γ+z es una constante sobre la seccion transversal de las lıneasde corriente paralelas. Esto se denomina Distribucion de Presion Hidrostaticaporque es igual que para un fluido en reposo.

4.1.4. Reduccion en una tuberıa

Considere por ejemplo el flujo a traves de un tubo que sufre un angostamientoen el diametro como se muestra en la figura 4.4

Por la ecuacion de continuidad (ρAv = cte). Por tanto podemos concluirque para flujos uniformes la velocidad aumenta al disminuir el diametro como




baja presion

Figura 4.4: Ecuacion de Bernoulli

consecuencia de la variacion de presion. Si tomamos una linea de corriente enel punto medio, entonces z no cambiara a lo largo de la trayectoria. Aplicandola ecuacion de Bernoulli a lo largo de esta lınea de corriente tenemos(

p

γ+ z

)+v2

2g= cte.

Quiere decir que si la velocidad aumenta entonces la presion debera disminuirpara que la cabeza total se mantenga constante. Se concluye entonces que en lasregiones donde las lıneas de corriente se acercan la presion bajara. Sin embargoesta afirmacion no significa que el aumento en la velocidad sea el causante dela baja en la presion. La forma como ocurre este fenomeno no se explica con laecuacion de Bernoulli.

4.1.5. Ecuacion de Torricelli

La velocidad de salida de un flujo ideal a traves de un pequeno orificio bajouna cabeza estatica varia con la raiz cuadrada de la cabeza.

v =√

2gh ≡ caida libre

Prueba:

En el punto 1, de la figura 4.5,la velocidad es cero y la presion p1 es igual ala presion atmosferica, por tanto

p1

γ+v2

1

2g+ Z1 = h =

p2

γ+v2

2

2g+ Z2,

Z1 = h =p2

γ+v2

2

2g,

h =p2

γ+v2

2

2g.




v

1

h

chorro

2

v = 0

Datum

v

Figura 4.5: Equacion de Torricelli: Para la descarga de un tanque la velocidadde salida se comporta como la caida libre de una partıcula.

Donde Pz es la presion en el chorro. Para calcularla analizamos un diferencialde fluido en el interior de un chorro como se muestra en la figura 4.6

4.1.5.1. Presion en el Chorro

dA

dz

p + dp

p

Figura 4.6: Presion en un chorro libre

Aplicando la segunda ley de Newton en la direccion vertical tenemos:

pdA− (p+ dp)dA− γdAdz = −(dm)g,−dpdA− γdAdz = −(ρdAdz)g,

−dpdA = −γdAdz + γdAdz = 0,dp = 0.




Como el gradiente es cero a lo largo de la seccion transversal se concluye entoncesque la presion al interior del chorro es igual a la presion atmosferica, es decir p2= patm = 0 (manometrica). Por lo tanto, podemos concluir

h =p2

γ+v2

2

2g,

v2 =√

2gh.

Lo cual demuestra la ecuacion de Torricelli !

4.1.5.2. Ejemplo (5.8)

Ver ejercicion 5.8 del texto [1]

1.5m

Datum

A

B

100 mm

1.2C

150 mm

Figura 4.7: Ejemplo 5.8

El petroleo fluye a una velocidad de vA = 2,4m/s.. ¿Cual es el nivel en eltubo abierto C ?

Solucion:

Por continuidad tenemos:

vAAA = vBAB ,

2,4 π(0,150)2

4= vBπ

(0,1)2

4,

vB = 5,4m/s



44 4.2 Ecuacion de Trabajo y Energia

Por ecuacion de Bernoulli:

pAγ

+ zA +v2A

2g=

pBγ

+ zB +v2B

2g,

1,5 + 1,2 +(2,4)2

2g=

pBγ

+5,42

2g,

pBγ

= 1,5m.

Fıjese que si zA = zB =⇒ pBγ

= 0,3 m.

4.2. Ecuacion de Trabajo y Energia

Una forma alternativa de encontrar la ecuacion de Bernoulli es utilizar elprincipio de Trabajo-Energia mecanica. A diferencia de la seccion anterior, eneste caso partimos de un volumen de control y no de una linea de corriente.

Salida

Entrada

Bomba

turbina

Volumen de control

Figura 4.8: Volumen de control para el calculo de la ecuacion de Energia

Supongamos un volumen de control, como el de la figura 4.8 para el cual sehacen las siguientes consideraciones:

Velocidad uniforme en la entrada y salida

Velocidad perpendicular al area de entrada y salida

Una bomba se considera como un instrumento que le anade energia alfluido

Una Turbina se considera como un instrumento que le quita energia lafluido.

Al sistema de partıculas que pasa por este volumen de control se le esta ha-ciendo trabajo debido a las fuerzas de presion y de viscosidad en la superficie delvolumen de control y adicionalmente las bombas y turbinas ejercen un trabajoneto sobre el fluido.



4.2 Ecuacion de Trabajo y Energia 45

4.2.1. Principio de Trabajo / Energia:

La primera ley de la termodinamica sin considerar generacion interna decalor ni la energia interna de las moleculas estipula que el trabajo hecho en unfluido es igual al cambio de energıa potencial y cinetica del sistema.

dW = dE.

En terminos de tasa de cambio de energıa para un sistema tenemos

dW

dt=dE

dt.

4.2.1.1. Energia

El teorema de transporte de Reynolds provee con una ecuacion para evaluarla tasa de cambio de una variable extensiva como la energıa:

dE

dt

∣∣∣∣sistema

=∂

∂t

(∫∫∫VC

i ρ dV

)+∫∫

SC

iρ v · ndA,

donde VC es el Volumen de Control y SC su superficie, E es la energia totaldel sistema (variable extensiva) e i es la energia por unidad de masa (variableintensiva) y esta dada por

i =dE

dm= gz︸︷︷︸

potencial

+(v2/

2)

︸︷︷︸cinetica

Para flujo permanente (no cambia en el tiempo) y dividiendo el termino del flujoen las superficies de entrada y salida, se tiene:

dE

dt

∣∣∣∣sistema

=∫∫

SC entrada

iρ v · n dA,+∫∫

SC salida

iρ v · n dA,

Si ademas ρ es constante

dE

dt= ρ

∫∫salida

(gz +

v2

2

)v · n dA+ ρ

∫∫entrada

(gz +

(v2/

2))v · n dA.

Como se supuso flujo uniforme y perpendicular a la superficie de entrada y lasalida, entonces si v1 es la velocidad a la entrada y v2 es la velocidad a la salida,tenemos

dE

dt= ρ

(gz2 +

(v2)2

2

)v2A2 − ρ

(gz1 +

(v1)2

2

)v1A1,

= ρg

(z2 +

(v2)2

2

)v2A2 − ρg

(z1 +

(v1)2

2

)v1A1.




Utilizando el principio de conservacion de masa

gρ1A1v1 = gρ2A2v2 = Qγ.

TenemosdE

dt= γQ

[(z2 +

(v2)2

2g

)−(z1 +

(v1)2

2g

)].

Es decir el cambio de energıa en el tiempo de un sistema esta dado por el flujoneto de energia en un volumen de control. ¿Por que no es cero si se asumio flujopermanente?

4.2.1.2. Trabajo

Para completar la ecuacion de trabajo energia necesitamos calcular el trabajoejercido sobre este sistema de particulas.

Salida

vsalida

psalida

interaccion fluido−solido

Entrada

ventrada

pentrada

fluido−fluidointeraccion

El trabajo producido por las diferentes fuerzas sobre un fluido se puedeclasificar en fuerzas de volumen y fuerzas de contacto. Entre las fuerzas decontacto encontramos: las fuerzas de presion y las fuerzas cortantes debidas ala viscosidad. Adicional a esto encontramos el trabajo producido por elementosmecanicos como bombas y turbinas. Ver figura 4.2.1.2. Las fuerzas de presionque producen trabajo estan localizadas unicamente a la entrada y salida delvolumen de control porque en la superficie solida las fuerzas de presion sonperpendiculares a la velocidad.

Si el trabajo se define como fuerza por desplazamiento, W = f · s, entoncesel trabajo por unidad de tiempo sera W = f · v. Para la fuerza ejercida por lapresion en una pequena area dA tenemos f = −(p dA) n, el trabajo por unidadde tiempo sobre una superficie dA quedara W = −(p dA)n · v. Por tanto eltrabajo de la presion sobre toda la superficie del fluido esta dado por

Wp =∫sc

−p(v · n)dA




La cual es la tasa de trabajo neto (flujo de trabajo). Esta superficie se puededividir en tres partes: superficie de entrada (interaccion fluido-fluido), superficiede salida (interaccion fluido-fluido) y superficie de contacto con el solido (in-teraccion fluido-estructura). Adicionalmente en la interaccion fluido estructurala presion es perpendicular a la superficie y perpendicular a la velocidad delfluido, por tanto el trabajo neto de la presion en la parte solida es cero. Para unflujo uniforme y perpendicular a la superficie de entrada y salida esta integralse simplifica en

Wp = p1A1v1 − p2A2v2

Que se puede reescribir como:

Wp =p1

γγA1v1 −

p2

γγA2v2 = Qγ

(p1

γ− p2

γ

).

Otras fuerzas importantes son las fuerzas de friccion las cuales son el resul-tado podemos considerar el trabajo hecho por las fuerzas viscosas.

La viscosidad produce fuerzas cortantes principalmente en la interaccion delfluido con la estructura. Estas fuerzas cortantes van en la direccion opuesta alfluido y por tanto producira un trabajo negativo

Wτ = F τ · v = −Fτ v

Esta fuerza cortante depende de la viscosidad del fluido y de la rugosidad.Detalles de como estimar el trabajo de las fuerzas cortantes se vera un capituloposterior. EL trabajo de estas fuerzas se puede escribir en terminos del caudalcomo

Wτ = −Q γEτ

donde Eτ es la cabeza debida a la friccion del fluido en las paredes del volumende control. El trabajo de las neto sobre el fluido de las fuerzas de superficie sera

Wneta(flujo) = Wp + Wτ

Adicional al trabajo de las fuerzas de presion y las fuerzas viscosas sobre lasuperficie de control se encuentra el trabajo neto de elementos mecanicos en elvolumen de control. Este trabajo se puede globalizar de forma generica comotiempo.

Wneta(maquinas) = Q γEp −Q γET

donde Ep y ET se conocen como la cabeza producida por la bomba y la cabezaproporcionada a la turbina. Entonces la tasa de trabajo neta

Entonces el trabajo total sera:

W = Wneta(flujo) + Wneta(maquina) = Qγ

(p1

γ− p2

γ− Eτ + Ep − ET

).




Reordenando tenemos la ecuacion de Trabajo-Energia

Z1 +p1

γ+v2

1

2g+ Ep = Z2 +

p2

γ+v2

2

2g+ ET + Eτ

donde Ep representa la energıa por unidad de peso aportada por la bombaal fluido y ET la energıa por unidad de peso suministrada a la turbina. Estaecuacion es similar a la ecuacion de Bernoulli sin embargo hay sus diferencias: Laecuacion de Bernoulli no incluye terminos de trabajo producido por maquinasni efectos de la viscosidad. Adicionalmente la ecuacion de Bernoulli se cumplesolo para lıneas de corriente y la ecuacion de energıa para volumenes de control.

4.2.1.3. Ejemplo

Ecineticalinea de Energialinea hidraulica

Bomba

EpotencialDATUM

Linea hidraulica

Linea de Energia

37

3.41.16

1

2

Figura 4.9: Ejemplo

El flujo de agua es 0.15 m3/s. ¿Cual es la potencia de la bomba si la presionen el punto uno es p1 = 250 mm Hg(vacıo) y en el punto dos es p2 = 275 KPa?

Presion a la salida

p2

γ=

275000Pa9800N/m3

= 28,1 m (Agua)

Presion Entrada

p2

γ= −250mm

(13,571000

)= −3,4

Ecuacion de continuidad:

Q = A1v1 = A2v2v1 = 4,77v2 = 8,48 m/s.




Ecuacion Trabajo /Energia:

Z1 +p1

γ+v2

1

2g+ Ep = Z2 +

p2

γ+v2

2

2g,

0− 3,4 +4,772

2g+ Ep = 3 + 28,1 +

8,482g

.

⇒ Ep = 320J/N ⇒ Pot =QγEp1000



Capıtulo 5

Flujo en dos y tresdimensiones

5.1. Ecuacion de Continuidad (Forma diferen-cial)

dy

C D

B A

dxY

X

Figura 5.1: Conservacion de masa en un elemento diferencial.

Del teorema de transporte de Reynolds para flujo estacionario aplicado a lavariable extensiva E = masa tenemos:

dE

dt= 0 =

∫∫sc-entrada

ρv · n dA+∫∫

sc-salida

ρv · n dA,

51

52 5.2 Ecuaciones de Euler en 2D

Aplicado a un elemento como en la figura 5.1. En AB tenemos:

ρAB = ρ− ∂ρ

∂x2

dx2

2

Velocidad perpendicular a AB, en AB:

vAB = v2 −∂v2

dy

dy

2

Luego el flujo en AB:∫AB

ρv · n dA =(ρ− ∂ρ

∂x2

dx2

2

)(v2 −

∂v2

dy

dy

2

)De igual manera se pueden obtener expresiones para el flujo en las lineas BC,CD y DA ∫

BC

ρv · n dA =(ρ+

∂ρ

∂x1

x1

2

)(v1 +

∂v1

∂x1

dx1

2

),∫

CD

ρv · n dA =(ρ+

∂ρ

∂x2

dx2

2

)(v1 +

∂v1

∂x2

dx2

2

),∫

DA

ρv · n dA =(ρ− ∂ρ

∂x1

dx1

2

)(v1 −

∂v1

∂x1

dx1

2

).

El flujo total sera por tanto:

0 =∫AB

ρ~v · d ~A+∫BC

ρ~v · d ~A+∫CD

ρ~v · d ~A+∫DA

ρ~v · d ~A

Por tanto, despues de sumar y eliminando los terminos cuadraticos tenemos:

ρ∂v1

∂x2+ v1

∂ρ

∂x2+ ρ

∂v1

∂x1+ v1

∂ρ

∂x1= 0

Si ρ = constante (Flujo incompresible)

∂v1

∂x1+∂v1

∂v2= 0

Una forma mas elegante usando el teorema de la divergencia se encuentra enlas notas.

5.2. Ecuaciones de Euler en 2D

Estas se derivan aplicando la segunda Ley de Newton a un sistema dife-rencial. Por simplicidad tomaremos el un elemento 2D (ver figura 5.2) con di-



5.2 Ecuaciones de Euler en 2D 53

mensiones dx1 por dx3. Sin embargo la derivacion se puede extender a tresdimensiones considerando que las fuerzas en la componente x2 son iguales a lasde la componente x1.

pCdx1dx3

pDdx1dx3

p

B

C

D

W

x1

x3

O

pBdx1dx3

pAdx1dx3

A

Figura 5.2: Fuerzas sobre un Elemento diferencial en dos dimensiones

Segunda Ley de Newton para un diferencial de volumen de masa dm estadado por

dF = (dm)a (5.1)

donde dF representa la suma de las fuerzas vectoriales sobre el diferencial devolumen con componentes en x1 y x3 para el caso bidimensional.

Las fuerzas en la direccion x3 estan dadas porlas presiones en las caras B yD (Figura 5.2) mas el peso del elemento.

dF3 = pB dx1dx2 − pD dx1dx2 −W.

Las presiones en B y D se pueden aproximar a partir de la presion en el centrodel elemento como

pB = p− ∂p

∂x3

dx3

2

pD = p+∂p

∂x3

dx3

2.



54 5.2 Ecuaciones de Euler en 2D

Incluyendo estos valores de la presion en la ecuacion anterior tenemos

dF3 =(p− ∂p

∂x3

dx3

2

)dx dy −

(p+

∂p

∂x3

dx3

2

)dx1 dx2 − ρg dx1 dx2 dx3

dF3 =∂p

∂x3dx3 dx dy − ρ g dx dy dx3.

De manera similar podemos obtener las fuerzas en x1

dF1 = pA dx3dx2 − pC dx3dx2

dF1 =(p− ∂p

∂x1

dx1

2

)dx3 dx2 −

(p+

∂p

∂x1

dx1

2

)dx3 dx2

dF1 = − ∂p

∂x1dx1dx3 dx2

Resumiendo tenemos para las fuerzas sobre el elemento

dF1 = − ∂p

∂x1dx1dx3 dx2 −

∂p

∂x1dx1dx3 dx2, (5.2a)

dF3 = − ∂p

∂x3dx3 dx1 dx2 − ρ g dx1 dx2 dx3. (5.2b)

Adicionalmente la aceleracion de un Flujo esta dada por la aceleracion con-vectiva mas la aceleracion temporal. Para un flujo estacionario en 2 dimensionesla aceleracion esta dada por

a1 = v1∂v1

∂x1+ v3

∂v1

∂x3

a3 = v1∂v3

∂x1+ v3

∂v3

∂x3

en notacion compactaa = [∇v]v (5.3)

Reescribiendo la segunda ley de newton 5.1 con las expresiones obtenidas en(5.2) y (5.3) −

∂p

∂x1dx1 dx3 dx2

− ∂p

∂x3dx3 dx2 dx3 − ρ g dx1 dx2 dx3

= ρ dx1 dx2 dx3 [∇v]v

Dividiendo por la masa ρ dx1 dx2 dx3 y dejando el termino de la gravedad g en



5.3 Ecuacion de Bernulli en 3D 55

un vector aparte tenemos:

1ρ

−∂p

∂x1

− ∂p

∂x3

+

(0

−g

)= [∇v]v

En notacion compacta1ρ∇p+ b = [∇v]v (5.4)

donde b representa las fuerzas de volumen por unidad de masa. La ecuacion 5.4junto con la ecuacion de continuidad ?? constitullen las ecuaciones de Euler.

1ρ∇p+ b = [∇v]v (5.5a)

div v = 0 (5.5b)

Las cuales se pueden escribir en notacion extendida para el caso 2D como

−1ρ

∂p

∂x1= v1

∂v1

∂x1+ v2

∂v1

∂x2+ v3

∂v1

∂x3(5.6a)

−1ρ

∂p

∂x2= v1

∂v2

∂x1+ v2

∂v2

∂x2+ v3

∂v2

∂x3(5.6b)

−1ρ

∂p

∂x3+ g = v1

∂v3

∂x1+ v2

∂v3

∂x2+ v3

∂v3

∂x3(5.6c)

Ecuacion de Continuidad

0 =∂v1

∂x1+∂v2

∂x2+∂v3

∂x3(5.6d)

5.3. Ecuacion de Bernulli en 3D

Partiendo de la ecuacion 5.4 la cual es la segunda ley de newton para unfluido no viscoso podemos llegar a una expresion que contiene la ecuacion deBernoulli previamente desarrollada para una linea de corriente. Para comenzarmiremos el termino de las fuerzas de volumen por unidad de masa b. Estetermino se puede pensar como el gradiente de un potencial φ esto es b = ∇φ.En el caso de la gravedad en efecto representa un potencial de gravedad y sepuede obtener de la siguiente manera

b = ∇φ =

∂φ

∂x1= 0

∂φ

∂x3= −g

De la primera ecuacion podemos ver que φ no es funcion de x1 y de la segundapor separacion de variables tenemos dφ = −gdx integrando obtenemos φ =



56 5.4 Tarea

−g x3+ cte. Reescribiendo la ecuacion (5.4) tenemos

1ρ∇p+∇φ = [∇v]v

Del analysis en las notas de clase tenemos que la aceleracion convectiva se puedeescribir en terminos del rotacional y del gradiente de la norma de la velocidadde la siguiente manera

[∇v]v = (ξ × v) +∇‖v‖2

2.

Reemplazando este resultado en la ecuacion anterior tenemos la segunda ley denewton en terminos de la vorticidad del fluido

1ρ∇p+∇φ = (ξ × v) +∇‖v‖

2

2. (5.7)

para el caso que el fluido es irrotacional (ξ × v) = 0 tenemos

1ρ∇p+∇φ = ∇‖v‖

2

2.

Agrupando en un solo gradiente

∇(

1ρp+ φ+

‖v‖2

2

)= 0

Lo cual concluye que el termino en en parentesis es una constante. Recordandoque φ = −g x3+ cte.

1ρp+ x3 +

‖v‖2

2= cte

La cual es la ecuacion de Bernoulli. La unica diferencia es que esta vez es validapara particulas distribuidas en cualquier parte del fluido y no sobre una lineade corriente solamente. La unica condicion para que esto se cumpla es que elflujo debe ser irrotacional!.

5.4. Tarea

La tarea consiste en demostrar que a partir de la ecuacion (5.7) se puedellegar a la ecuacion de Bernoulli cuando el fluido se considera a lo largo de unalinea de corriente



5.5 Ecuacion de Bernulli en 2D 57

5.5. Ecuacion de Bernulli en 2D

Multiplicando la ecuacion (??) por dx y la ecuacion (??) por dz y sumandoterminos tenemos:

− 1ρ

(∂p

∂xdx+

∂p

ρdz

)= u

∂u

∂xdx+ w

∂u

∂zdx+ u

∂w

∂xdz + w

∂w

∂zdz + gdz (5.8)

Sumando y restando en la ecuacion (5.8) los siguientes terminos:

w∂w

∂xdx y u

∂u

∂zdz

se obtiene:

−1ρ

(∂p

∂xdx+

∂p

ρdz

)=(u∂u

∂xdx+ u

∂u

∂zdz

)+(w∂w

∂xdz + w

∂w

∂zdz

)+ w

∂u

∂zdx− w∂u

∂zdx+ u

∂u

∂xdz − u∂u

∂xdz + gdz︸︷︷︸

A∗

donde en los cuatro ultimos terminos tenemos:

A∗ = wdx

(∂u

∂z− ∂w

∂x

)+ udz

(∂w

∂x− ∂u

∂z

)=(∂u

∂z− ∂w

∂x

)(wdx− udz)

y los dos primeros terminos corresponden a:

d

(u2 + w2

2

)porque

du =∂u

∂xdx+

∂u

∂zdz

entonces

udu = u∂u

∂xdx+ u

∂u

∂zdz

Reorganizando estos resultados se obtiene:

−dP∂z

1ρ

= d

(u2 + w2

2

)︸︷︷︸v2=u2+w2

+(∂w

∂x+∂u

∂z

)︸︷︷︸ξ:vorticidad

(udz − wdx) + gdz

Se tiene:



58 5.6 Interpretacion Ecuacion de Bernulli

−dPγ

(dP ) = ddv2

2g+ ξ (udz − wdx) + dz

Integrando:

− pγ− v

2

2g+ Z = H − 1

ρ

∫(udz − wdx) (5.9)

5.6. Interpretacion Ecuacion de Bernulli

La ecuacion (5.9) muestra que la suma de los terminos de Bernulli es iguala una constante si la vorticidad ξ es igual a cero. Esto es si el flujo es IRRO-TACIONAL es decir, cada masa de fluido en flujo irrotacional tiene la mismaenergıa unitaria. Si el flujo es irrotacional entonces la integral en la ecuacion(5.9)debe ser evaluada.

5.6.1. Lineas de Corriente (Flujo Permanente)

dx

dy

w

u

v

Figura 5.3: Lineas de corriente

Segun la Figura (5.3) wu = dz

dx ⇒ wdx = udz por tanto el termino de laintegral

∫ξ (udz − wdx) = 0

En flujo rotacional los terminos de Bernulli son constantes, sin embargo laconstante es diferente para cada linea de corriente

5.6.2. Aplicacion (Flujo Irrotacional)

Aunque H es constante solo se puede calcular(pγ + v2

2g

)como H−z (Figura

5.4), las presiones pA y pB no se pueden calcular hasta conocer vA y vB . sin



5.7 Efecto de la Curvatura de las Presiones 59

H

ZA

ZB

Linea de Energia

A

B

( )+p v2

2gγA

B( )+

p v2

2gγ

Figura 5.4: Aplicacion flujo irrotacional

embargo para calcular v se puede usar la ecuacion de continuidad (??). “Soloque no se tiene una tecnica para resolver estas ecuaciones.”

5.7. Efecto de la Curvatura de las Presiones

De acuerdo a la Figura(5.5) efectuando sumatoria de fuerzas sobre el ele-mento y considerando la segunda ley de Newton obtenemos:∑

Fr = dm ar

(p+ dP ) ds− Pds+W cos(θ) = dm ar (5.10)

Aproximando el diferencial de masa en terminos conocidos,

dm = ρ ds dr (5.11)

W = gdm = gρ ds dr (5.12)

hallando el angulo de inclinacion del diferencial respecto al eje vertical,

cos(θ) =dz

dr(5.13)

y determinando la aceleracion radial en terminos de la velocidad lineal deldiferencial y el radio

ar =v2

r(5.14)



60 5.7 Efecto de la Curvatura de las Presiones

dz

dx

r

ds p+dp

w

v

p

dsdz

θ

Figura 5.5: Diferencial en trayectoria curva

Podemos remplazar las ecuaciones (5.11),(5.12),(5.13)y (5.14) en (5.10) ob-teniendo:

dPds+ ρ g ds dr

(dz

dr

)= ρ g ds dr

v2

r

dP + ρ g dr

(dz

dr

)= ρ g dr

v2

r

dP

γ+ dz =

v2

grdr

d

(p

γ+ z

)=v2

grdr

d

dr

(p

γ+ z

)=v2

gr(5.15)



5.8 Efecto de la Curvatura en la Velocidad 61

Lo cual quiere decir que ddr

(pγ + z

)> 0 SIEMPRE, es decir

(pγ + z

)es

creciente respecto a r como lo indica la Figura (5.6)

+p

γZ

r

Figura 5.6: Relacion(pγ + z

)vs r

Si se tienen dos lıneas de corriente con la misma curvatura (Figura (5.7)entonces:

r

A

B

Figura 5.7: Lineas de corriente con misma curvatura

(p

γ+ z

)B

>

(p

γ+ z

)A

5.8. Efecto de la Curvatura en la Velocidad

Derivando la ecuacion de Bernulli en la direccion radial

d

dr

(p

γ+v2

2g+ z

)=

d

dr(H) = 0

d

dr

(p

γ+ z

)+

d

dr

(v2

2g

)= 0 (5.16)



62 5.8 Efecto de la Curvatura en la Velocidad

remplazando la ecuacion (5.15) en (5.16) tenemos:

v2

2gr= − 2

2gvdv

dr

Luego

vdr + rdv = 0d(vr) = 0

Integrando para un fluido con un solo centro de curvatura (Torbellino) te-nemos

v.r = cte→ v =cte

r

La velocidad es inversamente proporcional al radio(Flujos irrotacionales).Intuitivamente esto representa un remolino en el lavamanos. Sin embargo estaecuacion no puede ser usada en general. Intuitivamente significa que curvascerradas implican alta velocidad.

rv

Mayor Presión

Menor Presión

v uniforme

Figura 5.8: Efecto de la curvatura en la velocidad

Un ejemplo de esto se puede observar en la Figura (5.8)

5.8.1. Ejemplo Aplicado

Tomando la tuberia mostrada en la Figura (5.9) y (5.10) un fluido que correpor esta se pueden realizar las siguientes afirmaciones:

Para ambas paredes la presion estatica es la misma:



5.8 Efecto de la Curvatura en la Velocidad 63

r

A

A'

1 2 3

v1 No curvada

Alta Curvatura Alta Velocidad

Uniforme

Figura 5.9: Perfil de velocidad en curvatura

p estatica =(p

γ+ z

)A

=(p

γ+ z

)A′

pero z es mas grande arriba por tanto p es mas baja arriba. Luego en casode existir cavitacion ocurrira primero arriba.

Por la ecuacion de continuidad tenemos:

Q = A1v1 = A2v2 = A3v3

donde v1 y v3 son uniformes y v2 = 1A2

∫ ∫A2v dA es una velocidad prome-

dio.Bernulli en terminos de potencia en 1 y 2:

Pot1 = Qγ

(p1

γ+ z1 +

v21

2g

)=∫ ∫

A2

v dA︸︷︷︸caudal

γ

(p2

γ+ z2 +

v22

2g

)= Pot2

Q

(p1

γ+ z1 +

v21

2g

)=∫ ∫

A2

v

(p2

γ+ z2

)dA+

∫ ∫A

v3

2gdA

La lınea de energıa (EL) se aplcia a todos los puntos del fluido.Si se asume vA = vpromedio(v) entonces se puede aplicar la ecuacion de

energıa para obtener valores aproximados de v1 y de Q:

pAγ

+ zA +v2A

2g=p1

γ+ z1 +

v21

2g

v1A1 = vAAA ⇒ vA =v1A1

AA



645.9 Identificacion de los puntos de Estancamiento para

Interpretacion de Flujos

1

2

3

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

0.6 m

vAv1

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

0.75m

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxx

1.5m

Linea de Energia

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

0.6 m

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

0.6 mxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

0.6 m

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxx

v12/2g

vA2/2g

Figura 5.10: Ejemplo practico

Qap = v1A1

dado que vA es mayor que vpromedio, entonces Qap > QrealEl valor real debera calcularse usando:

Q

(p1

γ+ z1 +

v21

2g

)=∫ ∫A2

v

(p

γ+ z

)dA+

∫ ∫A2

(v3

2g

)dA

La cual debe resolverse por ensayo y error.

5.9. Identificacion de los puntos de Estancamien-to para Interpretacion de Flujos

En un punto de estancamiento v = 0, entonces H = pγ + z, lo que quiere

decir que la lectura de la presion en estos puntos conduce al calculo de H y p(Figura (5.11))

5.9.1. Ejemplos Aplicados

1. Tomando como base la Figura (5.12), sea γ = 50lb/ft3, pB = 60psi, pA =20psi Cual es la velocidad en A si el flujo es irrotacional?



5.9 Identificacion de los puntos de Estancamiento paraInterpretacion de Flujos 65

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Figura 5.11: Puntos de estancamiento

Solucion:Punto B es un punto de estancamiento, entonces:

H =pBγ

= 17,28ft

Ecuacion de energıa:

z +p

γ+v2

2g= H − 1

g

∫ξ (udz − wdx)

donde:

−1g

∫ξ (udz − wdx) = 0

Ecuacion de energıa evaluada en A:

zA +pAγ

+v2A

2g= 10ft+

2lb/in2,144in2/ft2

50lb/ft3+v2A

2g= H

v2A

2g= 1,52

vA = 9,89ft/s

2. Segun el esquema mostrado en la Figura (5.13)

El fluido tiene una velocidad vB en B por tanto la lınea de energiaesta por encima del nivel del agua.



665.9 Identificacion de los puntos de Estancamiento para

Interpretacion de Flujos

A

vA

B

10'

EL

17.28'

Figura 5.12: Ejemplo puntos de estancamiento

H =pBγ︸︷︷︸=0

+zB +v2

B

2g

Una vez conocida vB (por experimentacion) la velocidad a lo largode BB se conoce si se conoce la trayectoria de la lınea de corrienteBB

La presion en la seccion L es hidroestatica (lıneas de corriente para-lelas). La presion en A′′ = γ.y

El unico punto de estancamiento es A′′ donde pA′′ = H

En un punto c(pc

γ + v2c

2g

)se puede calcular conociendo la trayectoria

zc y H para calcular vc y pc, facilmente calculables.

La presion a la salida del chorro es la presion atmosferica (Figura(5.14)), sin embargo las lıneas de corriente estan curvadas a la salidad,entonces d

dr

(pγ + z

)> 0

3. Segun el esquema mostrado en la Figura (5.15), calcular el flujo e identi-ficar los puntos de estancamiento.Solucion:

Presion en el chorro es cero por lo tanto la velocidad en el chorro va-ria con z.Cabeza total: ( punto A)



5.9 Identificacion de los puntos de Estancamiento paraInterpretacion de Flujos 67

+P

gv2

2g( )

vb2

2g

vb

vc

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

c

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

y

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

A' A''

A

B

EL

B

zc

Figura 5.13: Ejemplo aplicado

H = z +v2A

2g= 1,5 +

v2A

2g

Cabeza en el chorro:

1,5 +v2A

2g= H =

v2

2g

por tanto

v =

√2g(

1,5 +v2A

2g− z)

El flujo es por tanto:

1,5vA = q =∫ 0,9

0,3

vdz =∫ 0,9

0,3

√2g(

1,5 +v2A

2g− z)dz

Por ensayo y error q = 2,81m3/s/m

Notece que A′ es un punto de estancamiento, entonces

H =(p

γ+ z +

v2

2g

)= z



68 5.10 Vena Contracta

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

p atm

Figura 5.14: Salida del chorro

+p

gv2

2g( )

vb2

2g

vb

vc

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

c

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

y

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx


xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

A' A''

A

B

EL

B

zc

Figura 5.15: Ejemplo aplicado

5.10. Vena Contracta

La presion aumenta en direccion opuesta al centro de curvatura. Por metodosanalıticos se puede demostrar que la dimension de la vena contracta es:

φV =π

π + 2φorificio

5.11. Funcion de Corriente

Concepto basado en el principio de conservacion de masa y el concepto delınea de corriente Conservacion de masa

∂u

∂x+∂v

∂y= 0



5.11 Funcion de Corriente 69

O

Vena Contracta

Líneas paralelas

Distribución de Presiones

Centro de curvatura

Figura 5.16: Vena Contracta

Se define una funcion continua ψ(x, y) como

u =∂ψ

∂yv = −∂ψ

∂x

entonces se satisface la ecuacion de continuidad

∂u

∂x+∂v

∂y=

∂

∂x

(∂ψ

∂y

)− ∂

∂y

(∂ψ

∂x

)= 0

Velocidad tangente a la lınea de coriente

~v × d~s = (u, v)× (dx, dy)

~v × d~s = (u dy − v dx)∧K

∴ u dy − u dx = 0



70 5.12 Potencial de velocidad

V

ds

Figura 5.17: Linea de corriente, ~ds es un vector diferencial perteneciente a lalınea de corriente, ~v es la velocidad en un punto sobre la linea de corriente.

sustituyendo u, v en terminos de ψ

udy − v dx = 0∂ψ

∂xdx+

∂ψ

∂ydy = 0

lo cual es precisamente dψ =⇒ dψ = 0 a lo largo de la lınea de corrienteVorticidad

ξ =∂v

∂x− ∂u

∂y

sustituyendo ψ

ξ = −∂2ψ

∂x2− ∂2ψ

∂y2

para flujos irrotacionales ξ = 0

−∂2ψ

∂x2− ∂2ψ

∂y2= 0

ecuacion de Laplace

∆ψ = 0 ∇2ψ = 0

5.12. Potencial de velocidad

se define φ tal que

V = −gradφ = −[∂φ

∂x,∂φ

∂y

]= −∇φ



5.13 ECUACIONES DE LOS FLUIDOS 71

La ecuacion de continuidad en terminos de potencial

∂2φ

∂x2+∂2φ

∂y2= 0

la vorticidad

ξ =∂v

∂x− ∂u

∂y

= − ∂2φ

∂x∂y+

∂2φ

∂y∂x

= 0

−→ solamente se pueden caracterizar flujos irrotacionales

5.13. ECUACIONES DE LOS FLUIDOS

Aceleracion

ax =∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y+ w

∂u

∂z

ay =∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y+ w

∂v

∂z

az =∂w

∂t+ u

∂w

∂x+ v

∂w

∂y+ w

∂w

∂z

identificando

∇ =(∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

)~v = (u, v, w)

tenemos en forma compacta

~a =∂~v

∂t+ u

∂~v

∂x+ v

∂~v

∂y+ w

∂~v

∂z

~v.∇ = (u, v, w)(∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

)= u

∂

∂x+ v

∂

∂y+ w

∂

∂z



72 5.13 ECUACIONES DE LOS FLUIDOS

⇒ (~v.∇)~v =(u∂

∂x+ v

∂

∂y+ w

∂

∂z

)~v

= u∂~V

∂x+ v

∂~v

∂y+ w

∂~v

∂z

luego la aceleracion ~a = ∂~v∂t + (~v.∇)~v

Conservacion de masaen 2D:

∂u

∂x− ∂v

∂y= 0

en 3D:∂u

∂x+∂v

∂y+∂w

∂z= 0

En forma compacta ∇.~v = 0 “divergencia en ~v”Vorticidad

vel.angular → ω = 1/2 ξ → vorticidad

ξ = ∇× ~v



Capıtulo 6

Principio de Conservaciondel Momentum

6.1. Momentun lineal

Segunda Ley de Newton:(Partıcula)

impulso→ (∑ ~F )dt = d( mv )→ momentum

m = d

Volumen diferencial = d

mv

2

22P A

V

1

1 1P A

VSistema individual

controlVolumen de

ρ

Figura 6.1: Segunda Ley de Newton para el sistema individual

∑~F = m~a = m

dv

dt=

d

dt(mv)

∑~F =

d

dt(ρv d∀)

73

74 6.1 Momentun lineal

Para todo el sistema ∑~Fext =

∫ ∫ ∫sis

d

dt(ρv d∀)

∑~Fext =

d

dt

∫ ∫ ∫sis

(ρv d∀) (6.1)

Ecuacion de Transporte de Reynolds(Flujo Permanete)

dE

dt=∫ ∫

sc

iρv d ~A

Reconociendo E como la variable extensiva igual a el momentum del sistema enun tiempo dado

dE

dt=

d

dt

∫ ∫ ∫sis

ρv d∀

La variable intensiva sera el momentum por unidad de masa mvm = v.

Aplicando estos dos resultados a la ecuacion de Reynolds

d

dt

∫ ∫ ∫sis

ρv d∀ =∫ ∫

sc

vρ(v d ~A

)=∫ ∫

sc-salida

ρv(v d ~A

)−∫ ∫

sc-entrada

ρv(v d ~A

)Para flujo uniforme y perpendicular a la superficie de control a la entrada ysalida ⇒ v d ~A = ±v dA

d

dt

∫ ∫ ∫sis

ρv d∀ = ρv2

∫ ∫2

v2 dA− ρv1

∫ ∫1

v1 dA

= ρv2Q2 − ρv1Q1

=⇒ ddt

∫ ∫ ∫sisρv d∀ −→ Tasa de cambio del momentum del sistema.

De la ecuacion 6.1, segunda Ley de Newton para el sistema∑Fext =

d

dt

∫ ∫ ∫sis

ρv d∀

Por tanto ∑Fext = ρv2Q2 − ρv1Q1

Por conservacion de masa Q1ρ1 = Q2ρ2∑Fext = ρQ(v2 − v1)



6.1 Momentun lineal 75

La cual es una ecuacion vectorial que se puede escribir en terminos de suscomponentes

∑Fextx = ρQ(v2x − v1x)∑Fexty = ρQ(v2y − v1y)

EJEMPLO

2

22

1

11

8 cm diámetro

4 cm diámetro

V

P A

SC

Rx

x

y

Ry

V

P A

Sección Flexible

Atmosfera

Figura 6.2:

flujo=0.01 m3/s (ignorar peso y viscocidad) Velocidades Promedio

v1 =Q

A1=

0,01π(0,08)2/4

= 1,99m/s

v2 =Q

A2=

0,01π(0,04)2/4

= 7,96m/s

Antes de calcular Rx y Ry se necesita calcular P1 y P2 Utilizando la ecuacionde energıa

v21

2g+P1

γ=v2

2

2g+P2

γ→ P2 = Patmosferica

∴ P1 =γ

2g(v2

2 − v21) =

98002(9,81)

(7,962 − 1,992) = 29700Pa



76 6.1 Momentun lineal

Ecuacion de momentum

P1A1 −Rx = m(v2x − v1x)

29700 (π/4) (0,08)2 −Rx = 1000(0,01)(−1,99)

∴ Rx = 169NRy = m(v2y − v1y)Ry = (1000)(0,01)(7,96) = 79,6NRy = 79,6N

EJEMPLO Calcular F/m arrastre por unidad de longitud Volumen decontrol escluye el cilindro: ρ = 1,23Kg/m3 El flujo masico que entra por ∆ B

U = 30 m/s

y

xn

A

B

10mF

C

n

U =30m/s

2 U(y) = 29+y /100D

Figura 6.3:

sale por BC, CD, AB La ecuacion de momentum:

−F =∫

sc

vxρv.n dA

=∫

ACD

ρv2 dA+ U∞mAD + U∞mBC −∫

AAB

ρv2 dA

= 2∫ 10

0

1,23(29 + y2/100)2dy + 2(30)mAD − 1,23(39)2(20) −→ ∗

donde se supuso mAD = mBC Para calcular mAD se usa la ecuacion de conti-nuidad:



6.2 Conservacion del momentum angular 77

0 = mAD +∫ 10

0

ρu(y) dy − ρ(10)(30)

= mAD +∫ 10

0

1,23(29 + y2/100) dy − 1,23(10)(30)

∴ mAD = 8,2Ky/s por metro

Reemplazando en *

F = −21170− 492 + 22140F = 480N/m

6.2. Conservacion del momentum angular

1Z

Z2

o x

y

P1A1

P2A2

Datum

mv

r

P

Figura 6.4: Conservacion del momentum angular

El momento del momentum de un sistema es igual a la suma de los momentosde las fuerzas externas que actuan sobre el.

Para un sistema diferencial con masa m = ρ d∀ y velocidad v se cumple∑F =

d(m~v)dt

=d

dt(ρv d∀)

el momento de esta fuerza sera entonces∑~r × ~F = ~r × d

dt(ρv d∀)

=d

dt(~r × vρ d∀)



78 6.2 Conservacion del momentum angular

Para todo el sistema sera:∑~r × ~Fext =

∫sistema

d

dt(~r × vρ d∀)

∑Mo =

∑~r × ~Fext =

d

dt

∫sistema

~r × vρ d∀

Teorema de Reynolds (Flujo Permanente):

dE

dt=∫

cssalida

iρv · d ~A+∫

csin

iρv · d ~A

donde E = momento del momentum ~r ×mv

i =~r ×mvm

= ~r × v

dE

dt=

d

dt

∫(~r × v)ρ d∀

∴d

dt

∫(~r × v)ρ d∀ =

∫sc

(~r × v)ρv · d ~A

Si las lıneas de flujo son rectas paralelas y perpendiculares a la superficie deentrada y salida ⇒ v · d ~A = dQ

dE

dt=

∫salida

~r × vρ dQ+∫

entrada

~r × vρ dQ

∴∑

~r × ~Fext = ~r × vsalρQ− ~r × vinρQ

∑Mo = ρQ(~r × vsal − ~r × vin) (6.2)

6.2.1. Ejemplo

Si en el ejemplo anterior se coloco un solo alambre para sostener el codo.Donde se debe colocar?

La magnitud y el angulo de la fuerza se obtienen del resultado anterior

F =√

1692 + 79,62 = 186,8

θ = arctan(

79,6169

)= 25,22◦



6.2 Conservacion del momentum angular 79

20cm

15cm

RO

r

Figura 6.5: Ejemplo conservacion del momentum

Distancia de aplicacion

−P2A2(0,2) + ~r × ~R = ρQ(~r × ~vsal − ~r × vin)r(186,8) = (1000)(0,01)(0,20(7,96)− 0vin)r(186,8) = 15,92

r =15,92186,8

= 0,085m

r = 8,5cm

6.2.2. Prob 6.7

Calcular la fuerza ejercida por el agua en el orificio de la placa. Asuma queel agua en el chorro entre el orificio de la placa y la vena contracta pesa 4.0 lb.Ver figura 6.7.

d1 = 10′′ = 0,83ft d2 = 6′′ = 0,5ftA1 = πd21

4 = 0,545ft2 A2 = πd224 = 0,196ft2

z1 = 1ft z2 = 0ftP1 = 3ft · γH2O P2 = 0

79.6N

169 N

Figura 6.6: Suma de fuerzas del ejemplo



80 6.2 Conservacion del momentum angular

8"

10"d

0.75’

0.25’

3’

6"

Figura 6.7: Problema 6.7

Ecuacion de continuidad

A1v1 = A2v2 ⇒ v2 =A1

A2v1 =

259v1

Ecuacion de energıa

P1

γ+ z1 +

v21

2g=v2

2

2g⇒ 4ft+

v21

2g=(

259

)2v2

1

2g

⇒ v1 = 6,17ft/s v2 = 17,15ft/s Q = 3,36ft3/s

Ecuacion de Momentum(∑Fext

)z

= P1A1 +W − Fz = Qρ(v2 − v1)

W = 4lb+ ρA1(0,75ft) = 29,53lb⇒ F = 60 lb

∴ Fuerza en el plato es 60.0 lb ↓.

6.2.3. Problema 6.19

Para el chorro mostrado en la figura 6.9, hallar su altura:

d1 = 1′′ = 0,083ftA1 = πd21

4 = 0,00545ft2

P1 = 0 P2 = 0z1 = 0 z2 = H



6.3 Fuerza de Propulsion 81

Q = 0,05454ft3/s

ContinuidadQ = A1v1 ⇒ v1 =

Q

A110,0 ft/s

Ecuacion de Energıa

v21

2g=v2

2

2g+H ⇒ v2 =

√v2

1 − 2gH

Ecuacion de Momentum

−W = Qρ(−2v2) = −2Qρ√v2

1 − 2gH

W 2 = 4Q2ρ2(v21 − 2gH)

H =v2

1

2g− W 2

8gρ2Q2= 1,21 ft

6.3. Fuerza de Propulsion

Para la figura 6.12, se observa lo siguiente:El volumen de control se toma a la izquierda a una distancia tal que la velo-

cidad es la velocidad no alterada del fluido v1, a la derecha se toma exactamentea la salida

Fuerzas Externas:

contacto:

• Fluido-Fluido: p1A, p1(A−A2), p2A2,

• Fluido-solido Fp (fuerza de propulsion)

volumen: peso despreciable

Fz

F2

F1

W

Figura 6.8: Fuerzas en la placa del problema 6.7



82 6.3 Fuerza de Propulsion

1"d

AA

H

Figura 6.9: Chorro del problema 6.19

1"d

Volumen

H

AAde control

Figura 6.10: Volumen de control en el problema 6.19

V2 V2V2V2

AA1 lb

Figura 6.11: Entradas y salidas del volumen de control del problema 6.19

Sumatoria de fuerzas externas sobre el fluido:∑Fx = p1A− p1(A−A2)− p2A2 + Fp

Considerando ρa la densidad del aire y ma = el flujo masico de aire e igual-mente ρf la densidad del combustible y mf = el flujo masico de combustiblepodemos escribir ka ecuacion de cambio de momentum en la direccion x de la



6.3 Fuerza de Propulsion 83

Volumen de control

V1 V1

p1

p1

Combustible

2

V2

p2

Fp

1

Figura 6.12: Fuerza de propulsion

siguiente manera∫∫cs

ρvx vx · n dA =∫∫

A1

−ρav1 v1 dA+∫∫

A2

ρav2 v2 dA+∫∫

A2

ρfv2 v2 dA

= v2(mf ) + (v2 − v1)(ma)

Por tanto la ecuacion de impulso-momentum se puede escribir como

(p1 − p2)A2 + Fp = ma(v2 − v1) + mfv2

Resolviendo para la fuerza Propulsiva Fp tenemos

Fp = ma(v2 − v1) + mfv2 + (p2 − p1)A2

6.3.1. Ejemplo

Una unidad de propulsion a chorro se disena para tener (proveer) una fuerzade propulsion de 200.9 kN cuando se mueve (vuela) a una altura de 10 km y auna velocidad de 250 m/s. Experimentalmente se mide la velocidad a la salidacomo 1.2 km/s y la presion 35 kPa. Si el area de salida es 1.4 m2 y el flujo de



84 6.4 Propelers (Helices)

aire 198 kg/s, ¿cual es el consumo de combustible?

Fp = ma(v2 − v1) + mfv2 + (P2 − P1)A2

200,9 ∗ 103N = 198kgs

(1200m/s− 250m/s) + mf (1200)

+ (35,0− 26,5) ∗ 103Pa ∗ 1,4m2

∴ mf = 0,75 kg/s

En 1 hora de vuelo

m = 0,75 kg/s ∗ 3600s1h

∗ 1h = 2700 kg

6.4. Propelers (Helices)

A

V

PP

A A

FV

PP

4

4

4321

1

1

Figura 6.13: Propelers o helices

Para la helice mostrada en la figura 6.13, se observa que:

Se seleccionan dos puntos 1 y 4 para los cuales P1 = P4

Por la forma del tubo de aire P2 < P1 , P4 < P3

La fuerza externa en el fluido es F

Ecuacion de momentum en 1 y 4

(P3 − P2)A = F = (v4 − v1)ρQ



6.4 Propelers (Helices) 85

Suponiendo Q = Av, donde v es la velocidad media en A, se tiene entonces

P3 − P2 = (v4 − v1)ρv (6.3)

Bernoulli entre 1 y 2

P1 +12ρv2

1 = P2 +12ρv2

2

Bernoulli entre 3 y 4

P3 +12ρv2

3 = P4 +12ρv2

4

Como se escogio P1 = P4, y sumando las dos ultimas ecuaciones:

P3 − P2 =12ρ(v2

4 − v21) (6.4)

Igualando (6.3) y (6.4)

(v4 − v1)ρv =12ρ(v2

4 − v21)

v =12

(v4 − v1)(v4 + v1)(v4 − v1)

v =v4 + v1

2(6.5)

Potencia que entrega:

Po = Fv1 v1:Velocidad a la que se mueve elpropeler × fuerza de empuje.

Po = (v4 − v1)ρQv1

Potencia que recibe:Para calcular la potencia que recibe el fluido aplicamos equacion de energia enun volumen de contro que va desde el puntos 1 hasta el punto 4.

v21

2g+ EB =

v24

2g,

donde EB es la Energia por unidad de peso transferida al fluido por la helice.Luego la potencia sera

Pi = γQEB

=ρQ

2(v2

4 − v21)

=ρQ

2(v4 − v1)(v4 + v1)

= ρQ(v4 − v1)v



86 6.4 Propelers (Helices)

Eficiencia ideal:η =

PoPi

=v1

v

Dado que v1 < v implica que la eficiencia sera η < 1 siempre.

6.4.1. Ejemplo

Figura 6.14: Ejemplo propelers

Para el avion de helice mostrado en la figura 6.14, calcular el tubo de co-rriente, el empuje y la eficiencia.

γaire = 12 N/m3v = 88,9 m/s Pi = 1120 kW φhelice = 3m

Pi =ρQ

2(v2

4 − v21) , Q =

πd2

4

(v1 + v4

2

)=πd4

4vprom

Pi =ρπd2(v1 + v4)(v2

4 − v21)

2× 4× 2

1120 ∗ 103 =12π(3)4

(2)(9,8)(4)

(88,9 + v4

2

)(v2

4 − 88,92)

⇒ v4 = 103 m/s

Los diametros aguas arriba y aguas abajo se pueden calcular a partir del flujo

Q = Av =πd2

4

(v4 + v1

2

)= 678 m3/s

A1 = Qv1

A4 = Qv4

⇒ d1 = 3,12m d4 = 2,89m

F = (v4 − v1)ρQ = 11,7 kN

η =v1

v= 0,928



Capıtulo 7

Ecuaciones deNavier-Stokes

7.1. Introduccion

Aplicables a flujo laminar y turbulento

Son no lineales

ρ uniforme y constante

Punto de entrada a la mecanica de fluidos moderna.

Su deduccion se hace a traves del Teorema de transporte de Reynolds yel principio de conservacion del momentum. Para el cual:

E = mv → Propiedad extensivai = v → Propiedad intensiva

7.1.1. Tipos de fuerzas

1. Fuerzas de interaccion (Fuerzas de superficie)

2. Fuerzas de volumen (gravedad, magnetica)

7.1.1.1. Fuerzas consideradas en fluidos

Gravedad

Presion (Esfuerzo Normal)

Fuerzas superficiales (Esfuerzo cortante)

87

88 7.1 Introduccion

Fuerzas sobre fluidos en movimiento debido la viscosidad:

τ = µdv

dy

En la figura: 7.1 se muestra el perfil de velocidad de un fluido entre dosplacas.

y

v

Figura 7.1: Distribucion de esfuerzo cortante en un fluido entre dos placas. Laplaca superior se desplaza con una velocidad v haciendo que el fluido tambien sedesplace. Observese que el fluido cercano a la placa inferior, fija, no se desplaza.

7.1.2. Estado general de Esfuerzos

Considere un elemento de material de tamano diferencial como el que semuestra en la figura 7.2. Entonces sobre cada una de las caras actua un par deesfuerzos:

Esfuerzos ={

Normales σCortantes τ

Arreglo en forma matricial de los esfuerzos sobre cada cara del elemento sedenomina Tensor de Esfuerzos:

[σ] =

σx τxy τxzτyx σy τyzτzx τzy σz

En la figura 7.2 se observan los esfuerzos sobre las caras de un elemento infini-tesimal.

En general el esfuerzo en un punto del material sobre una cara plana denormal n = (n1, n2, n3) esta dado por: t1

t2t3

=

σx τxy τxzσy τyz

σz

n1

n2

n3

.Notas de clase de mecanica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garcıa


7.2 Fuerzas sobre un elemento de un Fluido 89

τ

τ

σ

τ

σ

τ

τ

τ

σ

yx

yz

y

xz xy

x

zy zx

z

Figura 7.2: Representacion del estado general de esfuerzos en un Elemento infi-nitesimal

7.2. Fuerzas sobre un elemento de un Fluido

La segunda Ley de Newton F = ma puede ser expresada de la siguientemanera: ∑−→

F︸︷︷︸Fuerzas

Externas

=d

dt(E) =

d

dt(mv)︸︷︷︸

cambio demomentum

(7.1)

7.2.1. Fuerzas externas

En forma vectorial tenemos:∑−→F =

∑Fxi+

∑Fyk

Ahora se procede a calcular las fuerzas sobre una superficie de control detamano diferencial. Para realizar esto localizamos un punto en el centro el cualtiene un estado de esfuerzos determinado y extrapolamos estos valores a lasuperficie del volumen de control usando la definicion de derivada parcial. Lafigura 7.3 muestra los valores de la fuerza para la cara derecha.

7.2.1.1. Suma de Fuerzas sobre el volumen de control

La suma de fuerzas sobre el volumen de control correspondiente al elementoplano mostrado en la figura 7.3



90 7.2 Fuerzas sobre un elemento de un Fluido

(σx +

∂σx

∂x

dx

2

)dz

(τxz +

∂τxz

∂x

dx

2

)dz

σz

σz

τzx

τxz

τxz

dx

W

dzσx

τzx

σx

Figura 7.3: Fuerzas en la cara de un elemento en el plano xz localizado en elcentro de un volumen de control diferencial. Por calculo podemos encontrar lasfuerzas sobre la superficie del volumen de control.

7.2.1.2. Fuerzas en “x”

∑−→F x =

(σx +

∂σx∂x

dx

2

)dz −

(σx −

∂σx∂x

dx

2

)dz

+(τxz +

∂τxz∂z

dz

2

)dx−

(τxz −

∂τxz∂z

dz

2

)dx

Simplificando ∑−→Fx =

∂σx∂x

dx dz +∂τxz∂z

dz dx

7.2.1.3. Fuerzas en “z”

∑−→Fz =

(σz +

∂σz∂z

dz

2

)dx−

(σz −

∂σz∂z

dz

2

)dx

+(τxz +

∂τxz∂x

dx

2

)dz −

(τxz −

∂τxz∂x

dx

2

)dz − ρg dz dx

Simplificando ∑−→Fz =

∂σz∂z

dx dz +∂τxz∂z

dz dx− ρg dz dx



7.2 Fuerzas sobre un elemento de un Fluido 91

B

D C

A

w +∂w

∂x

dx

2

u+∂u

∂x

dx

2u

w

Figura 7.4: Velocidad en la frontera BC

7.2.2. Cambio de momentum

Observese el termino a la derecha de la ecuacion 7.1 Para calculard

dt(mv)

se usa el teorema de transporte de Reynolds

dE

dt

∣∣∣∣sistema

=d

dt

(∫∫∫VC

iρ d∀)

+∫∫

SC

iρv · dA

Para el cual E = mv y i = v. Reemplazando estos valores, y recordando que seesta trabajando sobre un volumen diferencial, el primer termino de la derechaqueda:

∂

∂t

(∫∫∫VC

iρ d∀)

=∂

∂t

(∫∫∫vρ d∀

)=

∂

∂t

(ρ

∫∫∫VC

v d∀)

=∂

∂t(ρv d∀)

=∂v

∂tρ dx dz

=(∂u

∂ti+

∂v

∂tk

)ρ dx dz

Para calcular el segundo termino de la derecha considere un elemento diferencialcomo en la figura: 7.4.∫∫

CS

iρv · dA =∫∫

cs

vρ(v · n)dA

=∫∫

BC

· · ·+∫∫

CD

· · ·+∫∫

DA

· · ·+∫∫

AB

· · ·



92 7.2 Fuerzas sobre un elemento de un Fluido

Resolviendo la integral sobre la frontera BC, ver figura 7.4:∫∫BC

vρ(v · n)dA ∼=∫∫BC

[(u+

∂u

∂x

dx

2

)i+(ω +

∂ω

∂x

dx

2

)k

]ρ

(u+

∂u

∂x

dx

2

)dA

Debido a que la integral es sobre un elemento diferencial, esta se puede suprimir:∫∫BC

vρ(v · n)dA ∼= ρ

(u+

∂u

∂x

dx

2

)(u+

∂u

∂x

dx

2

)dzi

+ ρ

(ω +

∂ω

∂x

dx

2

)(u+

∂u

∂x

dx

2

)dzk

En forma similar se puede calcular la integral sobre las fronteras CD, DA y AB.Luego tomar los terminos en ‘x’ y en ‘z’ y simplificar se obtiene:∫∫

SC

vρ(v · n)dA ∼= ρdxdz

(2u∂u

∂x+ u

∂ω

∂z+ ω

∂u

∂z

)i

+ ρdxdz

(2ω∂ω

∂z+ u

∂ω

∂x+ ω

∂u

∂x

)k

Si a la anterior ecuacion se le aplica el principio de conservacion de masa:

∂u

∂x+∂ω

∂z= 0,

entonces,

u

(2∂u

∂x+∂ω

∂z

)= u

∂u

∂x.

Luego la integral de superficie se transforma en∫∫CS

v(ρv · n)dA ∼= ρ dx dz

(u∂u

∂x+ ω

∂u

∂z

)i+ ρdxdz

(ω∂ω

∂z+ u

∂ω

∂x

)k

Por tanto el cambio de momentumdE

dt=

d

dt(mv) queda:

d

dt(mv) =

∂u

∂tρ dx dz i+

∂ω

∂tρ dx dzk + ρ dx dz

(u∂u

∂x+ ω

∂u

∂z

)i

+ ρ dx dz

(ω∂ω

∂z+ u

∂ω

∂x

)k

Igualando este resultado a la suma de fuerzas externas y reordenando teminos



7.3 Hipotesis de Stokes 93

en i y k:

i

(∂σx

∂x+∂τxz∂z

)= ρ

(∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ ω

∂u

∂z

)(7.2a)

k

(∂σz∂z

+∂τxz∂x− ρg

)= ρ

(∂ω

∂t+ u

∂ω

∂x+ ω

∂ω

∂z

)(7.2b)

7.3. Hipotesis de Stokes

Relaciona los esfuerzos con la viscosidad y la presion de la siguiente forma

σx = −P + 2µ∂u

∂x(7.3a)

σz = −P− 2µ∂ω

∂z(7.3b)

τxz = µ

(∂u

∂z+∂ω

∂x

)(7.3c)

Donde

∂u

∂z+∂ω

∂xTasa de deformacion

P = −12

(σx − σz) Presion termodinamica

Para completar el desarrollo de las ecuaciones dinamicas 7.2, se reemplazanlos valores otenidos por la hipotesis de Stokes 7.3

i : ρ

(∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ ω

∂ω

∂z

)=

∂

∂x

(−P + 2µ

∂u

∂x

)+ µ

∂

∂x

(∂u

∂z+∂ω

∂x

)k : ρ

(∂ω

∂t+ u

∂ω

∂x+ ω

∂ω

∂z

)=

∂

∂z

(−P + 2µ

∂ω

∂z

)+ µ

∂

∂x

(∂u

∂z+∂ω

∂x

)− ρg

Aplicando continuidad∂u

∂x+∂ω

∂z= 0



94 7.3 Hipotesis de Stokes

en i :

ρ

(∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ ω

∂ω

∂z

)= −∂P

∂x+ 2µ

∂2u

∂x2+ µ

∂2u

∂z2+ µ

∂2ω

∂z∂x

= −∂P∂x

+ µ∂2u

∂z2+ µ

∂

∂x

(2∂u

∂x+∂ω

∂z

)Entonces:

ρ

(∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ ω

∂ω

∂z

)= −∂P

∂x+ µ

∂2u

∂z2+ µ

∂2u

∂x2

Similarmente en z se tiene:

ρ

(∂ω

∂t+ u

∂ω

∂x+ ω

∂ω

∂z

)= −∂P

∂z+ µ

∂2ω

∂z2+ µ

∂2ω

∂x2− ρg

Dividiendo por ρ y reordenando:

i :∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ ω

∂ω

∂z= −1

ρ

∂P

∂x+ ν

(∂2u

∂x2+∂2u

∂z2

)(7.4)

k :∂ω

∂t+ u

∂ω

∂x+ ω

∂ω

∂z= −1

ρ

∂P

∂z+ ν

(∂2ω

∂z2+∂2ω

∂x2

)− g (7.5)

7.3.1. Forma compacta:

∇ =(∂

∂x,

∂

∂z

)v = (u, ω)

7.3.1.1. Operadores vectoriales

7.3.1.2. Gradiente

∇v =[uω

] [∂

∂x,∂

∂z

]=

∂u

∂x

∂u

∂z∂ω

∂x

∂ω

∂z

7.3.1.3. Divergencia

∇v =[∂

∂x,∂

∂z

] [uω

]=∂u

∂x+∂ω

∂z



7.3 Hipotesis de Stokes 95

∇2v = ∇ (∇v) =

∂u

∂x

∂u

∂z∂ω

∂x

∂ω

∂z

∂

∂x∂

∂z

=

∂2u

∂x2

∂2u

∂z2

∂2ω

∂x2

∂2ω

∂z2

Aplicando estos resultados

(v · ∇)v = −1ρ∇P + ν∇2v + F

DondeF = gk



Capıtulo 8

Analisis Dimensional

Metodo que permite reducir el numero de variables dimensionales (y comple-jidad) que intervienen en la descripcion de un fenomeno fısico dado. Su objetivoes reducir un sistema descrito por

n variables dimensionales→ k variables adimensionales

es decir la reduccion de variables es n− k

8.0.2. Dimensiones Basicas

Dimensiones basicas en mecanica de fluidos

M MasaL LongitudT TiempoΘ Temperatura

En algunas ocasiones se puede considerar la fuerza como dimension basica

F FuerzaL LongitudT TiempoΘ Temperatura

8.0.3. Ejemplo

Un ciclista al entrenar en un velodromo da vueltas alrededor de la pistadibujando circulo de radio R con una velocidad constante v. Se observa queal girar en cırculos, el ciclista se inclina naturalmente un angulo A. Ver figura8.1. La pregunta que surge es si el ciclista corriera a cierta velocidad v′ dandocırculos de radio R′ cual seria la inclinacion A′? En otras palabras queremos

97

98

Variable UnidadesLongitud [L]Tiempo [T]Masa [M]Temperatura [Θ]Fuerza [MLT−2]Area [L2]Frecuencia [T−1]Velocidad [LT−1]Aceleracion [LT−2]Viscosidad dinamica [ML−1T−1]Tension superficial [MT−2]Energıa(Trabajo) [ML2T−2]Densidad [ML−3]Conductividad termica [MLΘ−1T−2]

Cuadro 8.1: Formulas Dimensionales de Algunas Variables Fısicas

A

Figura 8.1: Inclinacion de un ciclista al girar en una pista de velodromo

calcular el angulo A en funcion del radio y la velocidad,

A = f (R, v) .

¿Cuantos experimentos debo realizar para encontrar esta relacion?



8.1 Generalidades 99

Rta:

Para encontrar la relacion experimentalmente se tendrıa que dejar una de lasvariables fija y variar las otras dos. Por ejemplo para un radio fijo se puede medirel angulo para diferentes velocidades. Entonces el ciclista tendrıa que girar a unnumero n de diferentes velocidades para un radio fijo. Adicionalmente si se deseaobservar la influencia del radio en la variacion del angulo se debe realizar esteconjunto de mediciones para m radios diferentes. El numero total de medicionessera igual a n×m.

Si se utiliza analisis dimensional en problema queda descrito en terminos deuna sola variable

A = f ′ (Π)

A = f ′(v2

gR

)

8.1. Generalidades

Suponga un fenomeno fısico descrito por

F = f (`, v, ρ, µ)

Para el cual no se conoce la relacion y por tanto debe encontrarse experimen-talmente. Para hacer esto se necesitan 10 experimentos por cada variable. Elanalisis dimensional cambia anterior relacion por

F

ρv2`2= g

(ρv`

µ

)es decir

CF = g (Re)

donde CF (coeficiente de fuerza) y Re (Numero de Reynolds) son 2 numerosadimensionales que describen el sistema, ası el problema se transforma en unproblema con una variable adimensional que solo necesita 10 experimentos paradescribir el fenomeno.

Funcion es matematicamente diferente pero contiene la misma informa-cion.

No se necesita cambiar las variables dimensionales por separado sino solouna lo cual significa variar un grupo adimensional.

Ayuda a planear y pensar experimentos.

Da con frecuencia informacion sobre las relaciones fısicas que se intentanestudiar.

Proporciona las leyes de escala (semejanza).



100 8.1 Generalidades

La semejanza se refiere a la relacion hecha entre un modelo y un prototipo

8.1.1. Analisis de semejanza

Se utiliza el analisis de semejanza para realizar experimentos sobre modelosa diferente escala, evitando realizarlos sobre el prototipo de tamano real queresulta un problema para las pruebas del laboratorio. Pero como encontrar lascondiciones a las que debe probarse el modelo sabiendo las condiciones en las queopera el prototipo? Para esto se utiliza el analisis de semejanza y los numerosadimensionales. Los numeros adimensionales caracterısticos del sistema debentener el mismo valor para modelo y prototipo, esto asegura que hay semejanzaentre ambos.

Para el caso dado habra semejanza si.

Re|modelo = Re|prototipo, y ademas (8.1)CF |modelo = CF |prototipo (8.2)

En general, y por simplicidad se usa el subındice p para denotar prototipo y mpara denotar modelo, por ejemplo,

Rem = Rep.

Ahora bien suponga que se desea conocer la fuerza sobre un prototipo conbase en las fuerzas medidas en un modelo. Si hay semejanza entonces los coefi-cientes de fuerzas del modelo y prototipo son iguales,(

F

ρv2l2

)p

=(

F

ρv2l2

)m

.

Por tanto la fuerza en el prototipo, Fp sera igual a

Fp = Fm

(ρpρm

)(vpvm

)2(lplm

)2

8.1.2. Ejemplo: Copeopod

Copeopod: crustaceo acuatico de 1 mm de diametroSe quiere conocer la resistencia al movimiento para esto se construye un

modelo a escala 100:1 en el cual se mide una fuerza de 1.3 N a 30 cm/s elmodelo se pone en glicerina.

Solucion

Agua(prototipo) µp = 0,001kg/ (m.s) ρp = 999kg/m3

Glicerina(modelo) µm = 1,5kg/ (m.s) ρp = 1263kg/m3



8.2 Principio de Homogeneidad Dimensional 101

Figura 8.2: Copeopod

escala de longitud

`m = 100mm `p = 1mm

Rem =ρmvm`mµm

= 25,3

CFm =Fm

ρmv2m`

2m

=1,3N

(1263kg/m3) (0,3m/s)2 (0,1)2

CFm = 1,14

para asegurar semejanza:

Rem = Rep

25,3 =999 vp (0,001)

0,001

por tantovp = 2,53× 10−2 m/s

Adicionalmente se tiene,

CFm = CFp

1,14 =Fp

999 (0,0253)2 (0,001)2

por tantoFp = 7,31× 10−7N

8.2. Principio de Homogeneidad Dimensional

Si una ecuacion expresa correctamente una relacion entre variables de unproceso fısico, debe ser dimensionalmente homogenea, esto es todos los sumandos



102 8.2 Principio de Homogeneidad Dimensional

deben tener las mismas dimensiones.Como ejemplo considere las siguientes ecuaciones. La primera corresponde a

la cinematica de partıculas y la segunda se conoce como la ecuacion de Bernoullipara fluidos.

S(t) = So + vot+12at2 [L]

P

γ+v2

2g+ z = cte [L],

En ambos casos la dimension de cada uno de los sumandos es [L].

8.2.1. Clases de variables y constantes

Para el caso de la siguiente ecuacion cada una de las variables y constanteslas podemos clasificar como

S = So + vot+12gt2 [L] ,

constante dimensional: {So} = L , {vo} = LT−1

variable dimensional: t = T

constante pura:(

1/2)

Una posible forma de adimensionar esta ecuacion es dividirla por So,

S

So= 1 +

vot

So+

12gt2

So

que puede escribirse de la siguiente forma,

S∗ = 1 + t∗ +12gSov2o

t∗2︸︷︷︸Ecuacion adimensional

donde S∗ = SSo

, y t∗ = votSo

son las nuevas variables adimensionales.El problema original:

S = f (t, So, vo, g)

definido con cinco cantidades se transforma en

S∗ = g (t∗, α) , α =gSov2o

3 cantidades

definido con solo 3 cantidades.



8.3 Metodo del Producto de Potencias 103

8.3. Metodo del Producto de Potencias

Motivacion:

No se conoce la teorıa y se intenta encontrar una relacion funcional

S = f (t, So, vo, g) ,

debido al principio de homogeneidad dimensional si la dimension de S es longi-tud ({S}= L) entonces la dimension de f igualmente longitud. Por tanto t, So, voy g se deben combinar para dar [L]. Buckingham demostro que la funcion f debeestar constituida por terminos cuya dimension es [L]

f1 = (cte) (t)a (So)b (vo)

c (g)d ,

donde cte es adimensional y los coeficientes a, b, c y d son desconocidos. Sinembargo la dimension de f1 debe se igual a [L], es decir {f} = L. En terminosdimensionales esta ecuacion se puede escribir como:

[L] = [T ]a[L]b[LT−1]c[LT−2]d,

agrupando las potencias para:

tiempo: 0 = a− c− 2dlongitud: 1 = b+ c+ d

se generan 2 ecuaciones con 4 incognitas, por lo tanto solo se puede resolver enfuncion de 2 variables, despejando c y d en funcion de a y b se obtiene:

c = 2− a− 2bd = a+ b− 1

por lo tanto la ecuacion se convierte en

f1 = cte (t)a (So)b (vo)

2−a−2b (g)a+b−1,

expandiendo y agrupando los terminos en a y b se genera

f1 = ctev2o

g

(tg

vo

)a(Sog

v2o

)b,

donde f1 es un termino tıpico de f y a y b son arbitrarios, lo cual implica quef puede variar en forma arbitraria con los parametros(

gt

vo

)y(gSov2o

)Notas de clase de mecanica de fluidos – version preliminar por Manuel J. Garcıa


104 8.3 Metodo del Producto de Potencias

los cuales son adimensionales. Se puede concluir que la funcion original

S = f (t, So, vo, g)

se transforma en

Sg

v2o

= f ′(gt

vo,gSovo

)S∗∗ = f ′ (t∗∗, α)

El ANALISIS DIMENSIONAL no determina la ecuacion del fenomeno fısico,sino que expresa el problema en terminos de un menor numero de variables.¿Que pasa si se despeja a y b en terminos de c y d?

Parametro Definicion Relacion cualitativa Importancia

Numero de Reynolds Re =ρUL

µ

Inercia

ViscosidadSiempre

Numero de Mach Ma =U

a

Velocidad flujo

Velocidad sonidoFlujo compresible

Numero de Froude Fr =U2

gL

Inercia

GravedadFlujo con superficie libre

Numero de Weber We =ρU2L

γ

Inercia

Tension superficialFlujo con superficie libre

Numero de cavitacion(numero de Euler)

Ca =p− pv

ρU2

Presion

InerciaCavitacion

Numero de Prandt Pr =µCp

k

Disipacion

ConduccionConveccion de calor

Numero de Eckert Ec =U2

CpTo

Energıa cinetica

EntalpiaDisipacion

Relacion de calores es-pecıficos

γ =Cp

Cv

Entalpia

Energıa InternaFlujo compresible

Numero de Struhal St =ωL

U

Oscilacion

Viscosidad mediaFlujo oscilatorio

Rugosidad relativa Re =ε

L

Rugosidad

Longitud del cuerpoTurbulento, pared rugosa

Numero de Grashof Gr =β∆TgL3ρ2

µ2

Flotabilidad

ViscosidadConveccion natural

Cuadro 8.2: Grupos Adimensionales en Mecanica de Fluidos



8.4 Teorema Π de Buckingham 105

8.4. Teorema Π de Buckingham

El teorema Π de Buckingham estipula que si n variables dimensionales in-tervienen en un fenomeno fısico, este problema se puede reducir en j variables

j = n− k

donde k es el numero de variables adimensionales.

La reduccion j es igual al maximo numero de variables dentro de los nvariables que no se pueden combinar para tener un numero adimensional.

La reduccion “j” es en general menor que m el numero de dimensionesfundamentales (como M,L, T...) que intervienen,

j = n− k ≤ m.

Para la mayorıa de los casos j = m.

8.4.1. Procedimiento

1. Encuentre el numero total de variables n. [(ρ, l, g...) −→ n].

2. Encuentre el numero de dimensiones fundamentales.(L,M, T,Θ) −→ m.

3. La reduccion seraj = n− k ≤ m

4. Buscar el maximo numero de variables que combinadas no forman unnumero adimensional j. En general j ≤ m.

8.4.1.1. Ejemplo

Suponga que en un fenomeno fısico la fuerza F es funcion de longitud, velo-cidad, densidad y viscosidad, ası:

F = f (`, v, ρ, µ)

1. n = 5

2. dimensiones fundamentales

F ` v ρ µMLT−2 L LT−1 ML−3 ML−1T−1

dondem = 3



106 8.4 Teorema Π de Buckingham

3. La reduccion seraj = 5− k ≤ 3

4. Numero de variables que combinadas no pueden formar un numero (grupo)adimensional.

Por ejemplo el grupo `vρ.

(L)a (v)b (ρ)c

(L)a (LT−1)b(ML−3)c = LoMoT o

la unica solucion es a = b = c = 0 que quiere decir que no pueden formarun grupo adimensional diferente al trivial en este caso

j = 3 = 5− k = 3

por tanto tenemos

k = 2→ numeros adimensionales

5. Se combina L,U, ρ con cada una de las otras variables para obtener losnumeros adimensionales

a)

Π1 = `avbρcF

{Π1} = (L)a(LT−1

)b (ML−3

)c (MLT−2

)= MoLoT o

Longitud: a+ b− 3c+ 1 = 0Masa: c+ 1 = 0Tiempo: −b− 2 = 0

resolviendo se tiene

a = −2b = −2c = −1

dando por resultado

Π1 =F

ρv2L2= CF



8.4 Teorema Π de Buckingham 107

b)

Π2 = Lavbρcµ−1

{Π2} = (L)a(LT−1)b(ML−3)c(ML−1T−1)−1

= LoMoT o,

agrupando y resolviendo se tiene

a = b = c = 1

dando por resultado

Π2 =ρUL

µ= Re

8.4.1.2. Ejemplo

h

d θ

Densidad=

Tension Superficial=

ρ

γ

Figura 8.3: Experimento de capilaridad

Dadah = f (d, g, ρ, γ, θ)

a) Determinar una expresion adimensional

b) Si h = 3cm en un experimento dado ¿cuanto valdra h en un caso similar siel diametro y la tension superficial son la mitad, la densidad es el doble yel angulo de contacto es el mismo

Solucion

n = 6

Dimensiones fundamentales FLT esto es m = 3 y por tanto

j = 6− k ≤ 3



108 8.5 Modelacion

Variables que no se pueden combinar ensayar:

γ, ρ, g o ρ, g, d

⇒ j = 3

por tanto k = 3

Como θ no tiene dimensiones Π3 = θ

Seleccionar ρ, g, d como variables base para el calculo de los grupos fun-damentales

Π1 = ρagbdch

Π2 = ρa′gb

′dc

′γ

Se obtiene

Π1 =h

dΠ2 =

γ

ρgd2

=⇒ h

d= f

(γ

ρgd2θ

)

8.5. Modelacion

”Las condiciones de flujo para un modelo de ensayo son completamente se-mejantes a los del prototipo si los valores correspondientes al modelo y prototipocoinciden para todos los parametros adimensionales”

Por ejemploΠ1 = f (Π2, ...Πk)

describe un fenomeno fısico, si

Π2m = Π2p, Π3m = Π3p, ... ,Πkm = Πkp

entoncesΠ1m = Π1p

Dependiendo de los numeros adimensionales que intervengan en un fenomenola semejanza puede puede ser

GeometricaCinematicaDinamica



8.5 Modelacion 109

Figura 8.4: Semejanza geometrica en el ensayo con modelos:(a) prototipos; (b)modelo a escala un decimo. (Tomado del libro Mecanica de Fluidos, Frank MWhite, Ed McGraw Hill)

8.5.1. Semejanza Geometrica

Un modelo y un prototipo son geometricamente semejantes si y solo si todaslas dimensiones espaciales en las tres coordenadas tiene la misma escala derelacion. Adicionalmente se debe cumplir:

Todos los angulos se conservan

Todas las direcciones de flujo se conservan

La orientacion del modelo y del prototipo con respecto a otros objetos seconserva

La figura 8.5 ilustra estos aspectos.

8.5.2. Semejanza Cinematica

”Los movimientos de dos sistemas son cinematicamente semejantes si partıcu-las homologas alcanzan puntos homologos en instantes homologos”.

Los flujos no viscosos a bajas velocidades son cinematicamente semejantesdonde:

(a) los flujos sin superficie libre son cinematicamente semejantes con relacionesde escala de longitud y tiempo independiente. Ver figura 8.6

(b) los flujos con superficie libre son cinematicamente semejantes con escalas delongitud y tiempo relacionadas por la conservacion del numero de Froude.Ver figura 8.6



110 8.5 Modelacion

Elipsoide

EsferaEsfera

Esfera Esfera

enormegrande

de tamañomedio

pequeña

Elipsoidegrande 4:1 tamaño medio 3,5:1

Elipsoide de pequeño 3:1

V

V 1 V 2 V 3 V 4

V 1 V 2 3

(a)

(b)

Figura 8.5: Semejanza y no semejanza geometrica de flujos: (a) semejantes; (b)no semejantes.

8.5.3. Semejanza Dinamica

Existe escala dinamica entre modelo y prototipo cuando existe semejanzageometrica y cinematica y si todas las fuerzas del modelo y del prototipo guardanla misma proporcion.

Semejanza dinamica en el flujo por debajo de una compuerta. El modelo yprototipo tienen polıgonos de fuerzas semejantes, en puntos homologos, si losnumeros de Reynolds y Froude son iguales en ambos: (a) prototipo; (b) modelo.Ver figura 8.7

Semejanza dinamica ocurre si:

Flujo compresible: Los numeros de Reynolds y Mach y la relacion de ca-lores especıficos correspondientes son iguales.

Flujo incompresible:

• Sin superficie libre: Reynolds del modelo y prototipo son iguales.

• Con superficie libre. Los numeros de Reynolds, Froude y Weber soniguales en modelo y prototipo



8.5 Modelacion 111

Figura 8.6: Semejanza Cinematica. (Tomado del libro Mecanica de Fluidos,Frank M White, Ed McGraw Hill



112 8.5 Modelacion

Figura 8.7: Semejanza Dinamica.(Tomado del libro Mecanica de Fluidos, FrankM White, Ed McGraw Hill



Bibliografıa

[1] Robert L. Street, Gary Z. Watters, and John k. Vennard. Elementary FluidMechanics. Wiley, seventh edition, 1996.

113

Documents

Notas enmecanica de fluidos