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PENETRACIÓN DEL CAMPO

TEOREMA COMPLEJO DE POYNTING

Vector complejo de Poynting.· Como herramienta adicional para estudiar las ondas PUM en el dominio de la frecuencia,

especialmente las relaciones energéticas, conviene establecer el teorema complejo de Poynting.

· Los vectores de Poynting instantáneo, complejo y promedio, en el dominio de la frecuencia, se definen de manera análoga a la potencia compleja en las líneas de transmisión; son:

· S E H .

· S E H1

2 * .

· S S E H

Re Re *1

2 .· Donde <S> es el valor medio de S en un período.

Forma puntual del teorema complejo Poynting.· Al tomar la divergencia negativa de S y tener en cuenta las ecuaciones fasoriales de Maxwell:

· · ·

· S E H E H E H E1

22

4 42 2 2* * g

2j

.

· Donde cada término del lado derecho es un promedio en el tiempo por unidad de volumen.· El primero, es la potencia media disipada debido a la conductividad del medio material:

· pg

d 22

E .

· El paréntesis, es la diferencia entre las energías medias almacenadas magnética y eléctrica:

· um

4

2H .

· ue

4

2E .

· Las partes real e imaginaria del teorema puntual son:· Re · S S· p d .· Im · S 2 u um e .

Forma integral del teorema complejo de Poynting.· Al integrar la forma puntual del teorema, en una región arbitraria de volumen V encerrada por

la superficie S, se encuentran la forma integral del mismo y sus partes real e imaginaria:· S A

S d m ed P j U U· 2 .

· Donde los símbolos de los diferentes términos son autoaclaratorios.· Las partes real e imaginaria del teorema son:

· Re S A S A· ·d d PS S d .

· Que corresponde a la potencia media total, o potencia real, disipada en el volumen.· Im S A· d j U U

S m e2 .

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PROFUNDIDAD DE PENETRACIÓN

Conductores buenos y malos.· Que un conductor sea bueno o malo es relativo y depende de la frecuencia; un material es mal

conductor si: g , condición que se satisface bien, a las frecuencias de interés, en los dieléctricos imperfectos o con pérdidas, y que equivale a considerar pequeña la magnitud de la densidad de la corriente de conducción al compararla con la de desplazamiento.

· Un medio material es buen conductor, en cambio, si: g , ello equivale a decir que la magnitud de la densidad de la corriente de conducción es grande comparada con la desplazamiento; la condición se verifica en conductores como la plata, el cobre o el aluminio, incluso en frecuencias tan elevadas como las ópticas; también, en bajas frecuencias, en el agua salada.

Conductores malos.· En éstos, las relaciones relevantes se aproximan, mediante el desarrollo binomial, a:

·

j j

g g gj

g1/21/2 1/2 2

2 2

1/22

2 21

21

81

8.

·

g g

21

8

1 2 2

2 2

/

.

·

1 22

2 21

8

/ g.

·

1 2 1 2 1 2 2

2 21 1

3

8 2

/ / /

jg g

jg

.

· El significado de esas aproximaciones es que aunque la constante de fase, , y la impedancia característica de onda, , son casi iguales a las que corresponderían al mismo medio si su conductividad fuese cero, ahora hay atenuación en la dirección de propagación de la onda.

· Las intensidades del campo electromagnético en la onda “más”, por ejemplo, se atenúan por una pequeña cantidad e-l al recorrer una distancia igual a la longitud de onda, donde:

·

l

g g

2

21

1 2

1 2

/

/ .

Conductores buenos.· Las relaciones importantes se aproximan en estos casos, mediante el desarrollo binomial, a:

·

j g j

g

g

gj

g1 2 1 2

1 2 1 2

12

12

12

/ // /

.

·

g

g21

2

1 2/

.

·

g

g21

2

1 2/

.

· vg gF

21

2

1 2/

.

198

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·

jg

jg g g

jg

1 2

1 2 1 2 1 2

12

12

12

/

/ / /

.

·

g

.

· En los resultados anteriores se observa que las constantes de atenuación y fase son casi iguales; lo mismo ocurre con las partes real e imaginaria de la impedancia característica de onda.

· La mayor diferencia entre esos resultados y los de los conductores pobres es la gran atenuación que ocurre durante la propagación de la onda en los conductores buenos; en la onda “más”, por ejemplo, E y H prácticamente desaparecen al recorrer una longitud igual a la de onda:

· l

2

2 Û e x l 1 87 10 3, .

· La denominación de buen conductor se aplica al cobre, por ejemplo, en frecuencias tan altas como 1x1015 [Hz], o al agua de mar, a frecuencias de 1x105 [Hz]; en efecto:

· Si en el cobre: g xc 5 8 107, [S / m], c x 0

128 9 10, [F / m] , entonces:

· c

cg

x x x

xx

2 10 8 9 10

5 8 109 6 10 1

15 12

74,

,, .

· Si en el agua de mar: g a 4 [S / m] , a x 81 7 2 10010, [F / m] , entonces:

· a

ag

x x xx

2 10 7 2 10

411 10 1

5 104,

, .

· Obsérvese, además, que la impedancia característica de onda en estos materiales es de baja magnitud, incluso en altas frecuencias, comparada con la de dieléctricos de permeabilidades y permitividades iguales a las de aquéllos; ello implica que para iguales intensidades del campo eléctrico en ambos materiales, la intensidad del campo magnético es mayor en los conductores.

· En el cobre y en el aire, por ejemplo, a la frecuencia de 1x1012 [Hz]:

·

cc

cg

x x x

x

1 2 12 7

7

1 22 10 4 10

5 8 100 37

/ /

,, [ ] .

·

0

0

0

1 2

0

0 0

1 2120 377

/

/ [ ] .

Profundidad piel.· Por la gran atenuación que hay en los buenos conductores, esos efectos ocurren en muchos

metales a frecuencias relativamente bajas y aumentan la resistencia eléctrica de los mismos; para apreciar la influencia de tales efectos se define la profundidad de penetración.

· La profundidad de penetración o piel, d, mide la incursión de la onda dentro de un medio material, especialmente cuando éste es un conductor; es la distancia que aquélla recorre para que su amplitud se reduzca a la e-1 parte del valor inicial. A medida que la onda penetra en un material conductor, las amplitudes de E y H tienden a cero de manera exponencial; sin embargo, se acepta en la práctica que después de una penetración superior a 5d la onda ha desaparecido.

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· Las expresiones para d en materiales no conductores, o en conductores malos ó buenos, son:

· d

1

.

· Si: g = 0 Û d = .

· Si: g Û d

42

1 2

g

/

.

· Si: g Û d

21 2

g

/

.

· Obsérvese que la d es mucho menor en un conductor ferromagnético, como el hierro o el níquel, debido a la mayor permeabilidad de estos materiales, que en un conductor como el cobre, el cual no es ferromagnético.

· Además, la penetración decrece en los conductores buenos cuando aumenta la frecuencia, y tiende a cero si ésta tiende a infinito.

· Para apreciar la magnitud de la profundidad de penetración de una onda PUM en un buen conductor, y de su penetración total, a continuación se calculan esas magnitudes en el cobre, a una frecuencia de 1x109 [Hz], y en al agua de mar, en una frecuencia de 1x106

[Hz]:· En el cobre: c x

074 10 [H / m] , entonces:

· d c x x x x x

x

2

2 10 4 10 5 8 102 1 10

9 7 7

1 2

6

,,

/

[m] Û 5d c = 1,05x10 [m]-5 .

· A frecuencias de gigahercios, comunes en la operación de las guías de onda, la penetración de la onda es tan pequeña que el conductor bueno puede ser una delgada película sobre un substrato de material diferente; de allí el nombre de profundidad piel para d.

· La escasa penetración de una onda electromagnética en un conductor bueno explica la habilidad de éstos para ofrecer un blindaje contra esas ondas.

· En el agua de mar: a x 0

74 10 [H / m] , entonces:

· d a x x x x

2

2 10 4 10 40 25

6 7

1 2/

, [m] Û 5d c = 1,25 [m] .

· La baja penetración de la onda electromagnética en el agua de mar revela la dificultad existente para lograr la comunicación con un submarino; ésta debe efectuarse, entonces, a frecuencias bajas.

Conductores perfectos.· En los conductores perfectos la conductividad es infinita, y cero la profundidad piel; en esos

materiales no puede haber un campo electromagnético que varíe senoidalmente en el tiempo. En tal caso:

· , , d 0 y .· 0 .· E 0 y H 0 .

RESISTENCIA ELÉCTRICA.

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Resistencia eléctrica en corriente alterna.· La corriente estacionaria que fluye por un conductor óhmico tiende, para cumplir las

ecuaciones de Maxwell, a distribuirse uniformemente en su sección recta. Pero si la corriente es alterna y de frecuencia angular , para satisfacer las mismas ecuaciones ocurre el efecto piel, debido al cual la magnitud de J es mayor en la superficie del conductor y disminuye hacia el interior.

· Por la razón expuesta, la corriente tiende a circular por un área menor de la sección recta y la resistencia eléctrica del conductor a crecer; el efecto es más significativo en las mayores frecuencias, pues la profundidad piel tiende a cero y la resistencia eléctrica a infinito.

· La resistencia eléctrica del conductor que lleva la corriente alterna puede deducirse al resolver, de acuerdo con su geometría específica, las ecuaciones de Maxwell; solución que se facilita al usar algunas simplificaciones, acordes con las frecuencias de operación y la magnitud relativa entre la profundidad piel y las dimensiones transversales de la sección recta del conductor.

Resistencia por cuadrado.· Supóngase que sobre un macizo semiinfinito y buen conductor, de parámetros , y g, que

llena la región z 0 y cuya interfaz con el aire es el plano z 0 , incide una onda PUM, polarizada en x; en la onda “más” que se propaga en el macizo, se cumplen:

· E i x

zE e0

.

· J i x

zgE e0

.

· H i i y

z

y

zH e

Ee0

0

.

· La densidad fasorial de la corriente inducida en el macizo, J, da lugar a una corriente en la dirección del eje X, cuyo valor total por unidad de longitud en el eje Y, es:

·dI

dyJdz g Edz gE e dz

gE

gH H

z

0 0 0 0 0 0 0

.

· Donde se tomó en cuenta que, en buenos conductores:· g .

· El vector de Poynting medio de la onda, en z 0 , cuando ésta ingresa al macizo, es:·

S S E H H

gH

g

dI

dyz z x y zRe Re * Re0

0 0

2

0

22

1

2

1

2 2

1

2

1

d .

· La potencia media por unidad de área que lleva la onda PUM al ingresar al macizo semiinfinito se disipa por el efecto Joule, al propagarse en éste desde z 0 hasta z .

· Si se supone que esa pérdida equivale a la potencia media que disipa un resistor, se deduce la resistencia equivalente, en corriente alterna, de una unidad de área del macizo conductor:

·

S

g

dI

dyR

dI

dyAC

1

2

1 1

2

2 2

d .

· RgAC 1

d.

· Resultado que equivale a la resistencia en corriente estacionaria cuando en el macizo la corriente se reparte uniformemente por una placa cuadrada, de lado arbitrario, paralela a la superficie de éste y de espesor igual a la profundidad piel, d.

Resistencia de un cilindro circular.

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· En un conductor con la forma de un cilindro circular, de radio R y longitud l, que lleva una corriente alterna, donde la frecuencia y la conductividad son tales que la profundidad piel es muy pequeña comparada con el radio del cilindro, puede suponerse que la corriente, aproximadamente, se distribuye uniformemente en la sección recta de un tubo cilíndrico, de radio R y espesor igual a la profundidad piel d. Así, la resistencia eléctrica en corriente alterna del cilindro, tomando en cuenta el efecto piel, calculada con la fórmula usual en corriente estacionaria, es:

· RgRAC 1

2 d.

· Donde 2Rd es el área de la sección recta de la corona circular por donde se supone que circula la corriente del cable.

Conductores ferromagnéticos.· En éstos conductores, cuyas permeabilidades son muy altas, la profundidad piel es, incluso en

bajas frecuencias, pequeña; ello incrementa la resistencia eléctrica y las pérdidas de energía por las corrientes de Foucault y hace que el intervalo cuasiestacionario cuando se usan en circuitos magnéticos no supere los kilohercios. Para frecuencias mayores deben utilizarse núcleos de ferrita que, aunque tienen una permeabilidad menor, no son conductores.

BIBLIOGRAFÍA

· Magid, L. M. “Electromagnetic Fields, Energy and Waves”; John Wiley.; New York, 1972.· Rao, N. N. “Elements of Engineering Electromagnetics”; Prentice Hall; New Jersey, 1977.· Ramo, S., J. Whinnery y I. Van Duzer. “Fields and Waves in Comunications Electronics”;

John Wiley; New York, 1994.· Johnk, C. T.A. “Engineering Electromagnetics Fields and Waves”; John Wiley; New York,

1987.· Collin, R. E. “ Foundations for Microwave Engineering”; McGraw-Hill; New York, 1992.· Kraus, J.D. “Electromagnetics”; McGraw-Hill; New York, 1984.· Corson, D. y P. Lorrain. “Introduction to Electromagnetic Field and Waves”; W. H. Freeman

and Company; San Francisco, 1962.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS (27)

27-131. Energía recibida del Sol. Si la magnitud del vector medio de Poynting que la atmósfera terrestre recibe desde el Sol es, aproximadamente, 1.340 [W/m2] y se supone que la radiación es una onda PUM, polarizada linealmente, halle las amplitudes de E y H en la onda incidente, la potencia media en el planeta y la energía media que éste recibe en un día.

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27-132. Potencia en ondas “más” y “menos”. Si dos ondas PUM, de igual frecuencia, se propagan en un medio material no conductor, cuyo índice de refracción es 2, a lo largo de las direcciones positiva y negativa del eje Z, halle el vector de Poynting medio, en cada onda, cuando, en el origen y sabiendo que E 0 0 1 , [V / m] , H x0

31 10 [A / m]:E i x E t0 sen y H i y H t0 sen .

27-133. Superposición de ondas PUM. Si una onda PUM se forma al superponer otras dos ondas PUM, que se propagan en un medio material no conductor, halle la densidad volumétrica de energía eléctrica y el vector de Poynting medios en la onda compuesta, y verifique si son o no iguales a la suma de las densidades volumétricas de energía eléctrica y el vector de Poynting medios de las ondas componentes, cuando las intensidades del campo eléctrico en éstas son: a) E i1 1 1 x E t zcos y E i2 2 2 y E t zcos .

b) E i1 1 1 x E t zcos y E i2 2 2 x E t zcos .

c) E i1 1 1 x E t zcos y E i2 1 2 x E t zcos .

27-134. Resistencia de un tubo. Si una tubería de acero, de longitud l 80 [m] , radio interior a x 6 10 3 [m] y exterior b x 8 10 3 [m] , tiene parámetros: g x5 106 [S / m] , 0 y 200 0 , y transporta la corriente I0cost, halle la resistencia estacionaria, la profundidad piel, la resistencia dinámica y la pérdida media de potencia en aquélla, cuando f x5 103 [Hz] e I 2 [A] .

27-135. Resistencia de un coaxial. Si una línea de transmisión, operada a f 500 [MHz] , es un coaxial de bronce, lleno de aire, cuyos radios del conductor interior e interior y exterior del exterior son, respectivamente: a x 1 5 10 3, [m] , b x 6 10 3 [m] y c x 9 10 3 [m] , tiene parámetros: g x14 106 [S / m] , 0 y 0 , halle la resistencia dinámica por unidad de longitud del conductor interior, del exterior y del coaxial.

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