· Objetivos General de la Asignatura de matemáticas III El estudiante: Resolverá problemas o situaciones, que conlleven el manejo de las nociones de variación e interrelación

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE MICHOACÁN

SEA UNIDAD PÁTZCUARO

DOCENTES DE ASESORIA :

ELEAZAR SASHIDA ROJAS. JORGE LUIS ESTRADA SORIA

PÁTZCUARO, MICH., 2007

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Objetivos General de la Asignatura de matemáticas III El estudiante: Resolverá problemas o situaciones, que conlleven el manejo de las

nociones de variación e interrelación de dos magnitudes de su entorno cultural y

social, mediante el desarrollo de técnicas y métodos, algebraicos y geométricos,

que impliquen el concepto matemático de función , en un ambiente escolar de

tolerancia y respeto, que favorezca el desarrollo de habilidades de exploración,

modelación y obtención de resultados, y el uso del pensamiento crítico y reflexivo

en la aplicación de tales conocimientos.

Objetivos particulares de la Unidad Temática I El estudiante: resolverá problemas sobre relaciones y funciones teórico o práctico

en distintos ámbitos, mediante el uso de la relación funcional entre dos variables,

la realización de operaciones entre funciones, el uso de funciones inversas,

funciones especiales, y las transformaciones de gráficas, en un ambiente escolar

que favorezca la reflexión sobre la utilidad de estos conocimientos y el desarrollo

de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración hacia el

entorno en el cual se desenvuelve.

Desarrollo temático

El tema central es el análisis funciones por lo que se estudia la noción de función

esencial para el estudio de la Dependencia de las magnitudes variables que

intervienen en cualquier fenómeno, proporcionando al estudiante un instrumento

útil para modelar y analizar gran cantidad de situaciones en todos los campos del

conocimiento. Así, el estudio de las funciones, en el cuarto semestre del Plan de

estudios del bachillerato, posibilita no sólo que el estudiante concluya el

componente de formación básica consolidando y ampliando sus conocimientos

algebraicos sobre variables y ecuaciones iniciado en Matemáticas I; los del

comportamiento de las funciones trigonométricas abordados en Matemáticas II

(ubicándolas como un tipo particular de funciones trascendentes) y los de

representación gráfica de ecuaciones adquiridos mediante el estudio de la

Geometría Analítica en Matemáticas III, sino también, permitirá que aplique

específicamente dichos conocimientos en la modelación de fenómenos, en la

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asignatura de Física II que se imparte en el mismo semestre y, más allá,

constituirá una base importante en los semestres subsecuentes, para el estudio

del Cálculo Diferencial e Integral, Matemáticas Financieras y Probabilidad y

Estadística, en el componente de formación propedéutica.

Contenidos del programa de matemáticas III Los contenidos sobre funciones que serán abordados en el curso de Matemáticas

IV comprenden los temas de: relaciones y funciones, funciones polinomiales,

funciones racionales y funciones exponencial y logarítmica. Su tratamiento tendrá

un carácter introductorio, de primer acercamiento a las ideas y nociones, es decir,

se evitarán, en lo posible, desarrollos formales y exhaustivos que pretendan, por lo

demás, agotar todos los aspectos en esta primera aproximación a los temas. Así,

por ejemplo, la noción de continuidad aludirá a gráficas sin interrupciones o saltos;

la especificación del dominio y el rango estará dirigida a las funciones

polinomiales, racionales, exponenciales y logarítmicas, omitiendo el desarrollo de

técnicas algebraicas para la obtención de los mismos en otros tipos de funciones,

particularmente en la primera unidad del curso, donde el profesor: a) desde el

punto de vista geométrico, hará referencia a los ejes y la gráfica destacando en

algunos casos sencillos, cuidadosamente escogidos para tal efecto, la exclusión

de valores donde existan interrupciones o asíntotas; b) desde el punto de vista

algebraico, referirá los primeros o segundos elementos en las parejas ordenadas,

en diagramas de asociación de conjuntos, o en tablas, y se limitará a ilustrar,

mediante ejemplos simples -funciones con subradicales lineales, o cuadráticos

factorizables - la existencia de técnicas algebraicas precisas para su obtención,

que en ocasiones conllevan la resolución de desigualdades con valor absoluto, sin

que esto implique un desarrollo exhaustivo

y formal del tema, ni exigencia alguna respecto a su manejo por parte del estudiante. Índice de contenidos del programa Unidad I. Relaciones y funciones.

Unidad II. Funciones polinomiales.

Unidad III. Funciones racionales.

Unidad IV. Funciones exponencial y logarítmica.

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UNIDAD I. RELACIONES Y FUNCIONES.

OBJETIVO DE UNIDAD El estudiante: resolverá problemas sobre relaciones y funciones teórico o práctico

en distintos ámbitos, mediante el uso de la relación funcional entre dos variables,

la realización de operaciones entre funciones, el uso de funciones inversas,

funciones especiales, y las transformaciones de gráficas, en un ambiente escolar

que favorezca la reflexión sobre la utilidad de estos conocimientos y el desarrollo

de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración hacia el

entorno en el cual se desenvuelve.

1.1 Relaciones y funciones - Noción de relación y noción de función - Diversas formas de representación de una función - Dominio, codominio y rango Funciones

El término función matemática, es usado para indicar la relación o

correspondencia entre dos o más cantidades. Fué usado por primera vez en 1637

por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la

variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el

término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta

recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el

matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una

variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello.

Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X

entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un

valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se

asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la

variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los

valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los

valores que toma Y constituye su recorrido".

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Una función f de A en B es una relación que le hace corresponder a cada

elemento x E A uno y solo un elemento y E B, llamado imagen de x por f, que se

escribe y=f (x). En símbolos, f: A à B

Sean X, Y conjuntos.

Una función f de X a Y es una relación R de X a Y tal que para cada f(x) existe un

solo elemento y � Y. Para estudiar este concepto que es muy importante dentro de la asignatura de

Matemática II, veremos algunos problemas que se muestran a continuación y que

nos permitirán comprenderlo para después formalizarlo, como se marco

anteriormente y estudiarlo con mayor amplitud en el análisis de funciones.

Ejemplos:

1. Una familia viaja en su automóvil moviéndose a una velocidad constante de

120 Km./h. hallar la distancia que recorre en 1, 2, 3, 4, 5 y 6 horas.

Solución. Recordando los conceptos de movimiento de un móvil , sabemos que la velocidad

uniforme es aquella que no varía con el tiempo. También sabemos que la

velocidad es el cociente que resulta de dividir la distancia recorrida entre el tiempo

empleado en recorrerla, es decir:

Velocidad = distancia tiempo O bien; d V = ----- t De donde; d 120 = ----- por tanto d= 120 1 d 120= ----- por tanto d= 240 2

5

d 120= ----- por tanto d= 360 3 d 120= ----- por tanto d=480 4 d 120= ----- por tanto d= 600 5 d 120= ----- por tanto d= 720 6

Con valores dados y los obtenidos se puede construir la tabla linealmente:

t 1 2 3 4 5 6 d 120 240 360 480 600 720

En la que se puede observar que la velocidad es una constante, es decir;

d 120 240 360 480 600 720 v = ----- = ------ ------ ------ ------ ------ ------- t 1 2 3 4 5 6

Se puede observar que los valores que toma la distancia dependen de los valores

que toma el tiempo, de manera que a menor tiempo corresponde menor distancia

y a mayor tiempo corresponde mayor distancia. Por tanto, la distancia y el tiempo

son variables. Quedando pendiente conocer cuales son independientes y

dependientes.

La variable a la que se asignan valores, en este caso el tiempo, se denomina

variable independiente; la variable cuyo valor se determina por el que toma

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aquella, la distancia en este caso, se llama variable dependiente o función.

Además se recomienda hacernos la siguiente pregunta ¿ que variable depende de

ella?, ¿el tiempo depende de… la distancia que recorre? ¿O viceversa?

Para este problema, en consecuencia, diremos que la distancia es una función del

tiempo. Los valores de la tabla se pueden representar en el plano coordenado

para trazar la gráfica correspondiente. Dichos valores también se pueden disponer

en una tabla en forma vertical.

Los valores de la tabla vertical se colocan de manera que queden en el primer

renglón (primera columna), los que corresponden a la variable independiente y en

el segundo renglón (segunda columna), los que corresponden a la variable

dependiente o función.

3000

2500

2000

1500

1000

500

-500

-5 5 10

distancia

tiempo

DE: y = 123x-13

E: (3, 360)

D: (2, 240)

ED

dt

120240360480600720

123456

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En el plano coordenado los valores de la variable independiente se localizan en el

eje X o eje de las abscisas, mientras que los de la variable dependiente ( función )

se localizan en el eje de las Y o eje de las ordenadas.

2. Se tiene un terreno cuadrado que se desea cercar, por lo que se necesita

encontrar el número de metros lineales de cerca que se necesitan si la longitud

del lado mide 10, 11, 12, 13, 14, y 15 metros.

Solución. Por geometría sabemos que el perímetro del cuadrado ser obtiene sumando las

longitudes de sus lados, que tienen la misma medida, por lo que si designamos el

perímetro con P y la longitud del lado igual con a, entonces:

a

a

a

a

B C

A D

P = a + a + a + a o bien; P = 4ª

De donde;

P = 4 (10). Por tanto, P = 40

P = 4 (11). Por tanto, P = 44

P = 4 (12). Por tanto, P = 48

P = 4 (13). Por tanto, P = 52

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Con los valores obtenidos se puede construir la tabla horizontal:

a 10 11 12 13

P 40 44 48 52

En la que se puede observar que si se divide el perímetro entre la correspondiente

longitud de lado se obtiene como constante a 4 que es el número de lados de la

figura.

P 40 44 48 52 ----- ----- ----- ----- ----- = 4 a 10 12 14 16

Verificar que los valores que toma el perímetro dependen de los valores que toma la

longitud de lado de manera que a menor longitud del lado corresponde menor

perímetro y a mayor longitud de lado corresponde mayor perímetro. Por tanto el

perímetro y la longitud del lado son las variables, a es la variable independiente y P

es la variable dependiente o función. Es decir, el perímetro P es una función de la

longitud del lado a.

Otra forma de representar los valores de la tabla horizontal es en el plano

coordenado, trazando la gráfica correspondiente.

90

80

70

60

50

40

30

20

10

-10

5 10 15

perímetro

distancia del lado

D: (16, 52)C: (14, 48)B: (12, 44)A: (10, 40)

AB

CD

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En los problemas anteriores, la función se ha representado por una ecuación con

dos variables, por una tabla de valores que satisfacen la ecuación y por una

gráfica en el plano coordenado. La ecuación nos da información completa y

precisa en general, pero cuando se desea conocer un caso particular unos

cuantos valores expresados en una tabla nos dan información sobre su

comportamiento y si esos valores se representan con puntos en el plano se puede

obtener el bosquejo de una gráfica del problema que se quiere resolver.

Gradualmente se irán incorporando más elementos en el estudio de la ecuación, la

función y sus respectivas gráficas.

Una variable es un símbolo que representa un elemento cualquiera de un conjunto

específico de números. Una constante es un símbolo al que solo se le puede

asignar un valor.

Ejemplos:

1. La longitud C de una circunferencia de radio r se puede determinar con la

fórmula C = 2�r, donde 2 y � sonconstantes mientras que C y r son

variables y como el valor de C depende del valor que toma r , se dice que la

longitud de una circunferencia es una función de su radio.

2. El área A de un cuadrado de lado l se puede obtener con la formula A = l2

en la que 2 es una constante, A y l son las variables y como el valor de A

depende del valor que tome l se dice que el área de un cuadrado es una

función de su lado.

Relaciones Sean A y B conjuntos. Una relación de A a B es cualquier subconjunto R del

producto cartesiano A×B. A se conoce como dominio y B como rango de R.

Formalmente:

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aRb = { <a,b>�R | a�A � b�B � R�A×B }

Ejemplo: Sean

P = { x � | x es primo � x<12 } = { 1, 3, 5, 7, 11 }

I = { x � | x es impar � x<10 } = { 1, 3, 5, 7, 9 }

Por lo tanto:

P × I = { <1,1>, <1,3>, <1,5>, ... , <11,9>, }

Sea:

R � P × I

R = { <1,1>, <3,3>, <5,5>, <7,7>, <11,9> }

Una relación establece la correspondencia o asociación entre los elementos de

dos conjuntos de objetos.

Ejemplos: 1. A un animal se le asocia: un número correspondiente a su peso, edad, altura,

Etcétera.

2. A cada vehículo se le asocia: un modelo, un número de serie de motor, un

número de placas, número de ejes, Etcétera.

3. En una tienda comercial a cada artículo se le asocia: un número del código de

barra para su inventario, precio, volumen, Etcétera.

4. En el hospital a un paciente se le toman datos básico de edad, peso, estatura,

etcétera

5. A cada país se le asocia: Un estado, régimen político, una superficie, una altura

sobre el nivel del mar, un clima, Etcétera.

En las anteriores relaciones se establecen las variables que intervienen en el

estudio de un determinado fenómeno de la naturaleza, social, etc., ya sea para

calcular un valor preciso, o bien, para hacer una estimación de los valores entre

los cuales se espera un resultado.

Una relación constituye una regla de correspondencia que se establece entre los

elementos de un primer conjunto que se llama dominio, con los elementos de un

segundo conjunto que se llama contradominio, de tal manera que cada elemento

del dominio le corresponde uno o más elementos en el contradominio.

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Una función es una relación en la que cada elemento del dominio le corresponde

uno y sólo un elemento del contradominio.

En consecuencia toda función es una relación, pero algunas relaciones no son

funciones.

Para distinguir entre unas y otras veamos los ejemplos siguientes:

2. En la siguiente relación la regla de correspondencia se establece entre cada

estado y su respectiva capital. Como a cada elemento del dominio le corresponde

uno y solo uno del contradominio entonces la relación es una función.

DOMINIO CONTRADOMINIO

Estado Capital

MoreliaChilpancingoTuxtla GutiérrezCuliacán

MichoacánGuerreroChiapasSinaloa

3. En la siguiente relación la regla de correspondencia se establece entre una

marca de automóvil y el país al cual pertenece. Obsérvese que dos elementos del

dominio están relacionados con un mismo elemento del contradominio, sin

embargo a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo uno del

contradominio, por tanto, esta relación es una función.


Marca de vehículo País

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CoreanoJapónRenaultAlemaniaEU

AtosNissanToyotaHondaVwFord

4. En la regla de correspondencia de una relación se establece entre cada país y

el idioma oficial que se habla en él. Por ejemplo se puede observar que un

elemento del dominio (Canadá ) está relacionado con dos elementos del

contradominio ( Francés e Inglés ). Esta relación no es una función porque no se

cumple con el criterio de que a cada elemento del dominio le corresponde uno y

solo uno del contradominio. Completa la representación para hacerlo notar


-----

-Canadá-Francia-Inglaterra-Brasil

IdiomaPaís

Ejercicio de autoaprendizaje. 5. Obtener la representación con números donde se observe la relación donde la

regla de correspondencia se establezca entre un número y su respectivo

cuadrado. Los elementos del dominio ( 3 y -3 ) están relacionados con un mismo

elemento del contradominio ( 9 ) y el el ( 2 y -2 ) están relacionados con el 4. Se

cumplirá con el criterio de que a cada elemento del dominio le corresponde uno y

solo uno del contradominio y por tanto esta relación es una función.

La mayoría de los dominios y contradominios a que haremos referencia son

conjuntos de números cuyos elementos estarán asociados mediante una regla de

correspondencia expresada como una ecuación con dos variables.

NOTACIÓN DE FUNCIÓN. Una vez establecida la definición de función y relación se procede a establecer la

notación que convencionalmente se usa para representar una función a saber:

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Denotamos una función f de un conjunto A en un conjunto B de la siguiente

manera:

F : A B ; x f (x)

Esta notación establece que la función f debe estar definida de forma que las

preimágenes deben pertenecer al conjunto A y se le deben asociar como

imágenes, elementos del conjunto B por medio del criterio f.

Es común que se le dé una gran importancia a la interpretación de esta simbología

en lo referente al dominio, codominio y ámbito de la función f y muy poca o

ninguna al papel que juega el criterio de asociación dentro de esta simbología.

Este es en si un error de consideración por cuanto el abuso de la notación induce

generalmente un error en la evaluación de la función por falta de considerar el

usos del paréntesis.

Por ejemplo si en una función al dominio se le llama conjunto P y al contradominio

se le llama conjunto Q, entonces la función se simboliza: f: P ----Q .

f

O bien: P ----- Q

Que en ambos casos se lee “función de P en Q”

Un elemento cualquiera del dominio se representa con la letra P ( variable

independiente ). Un elemento cualquiera del contradominio se representa con la

letra y (variable dependiente o función ). El elemento y de Q correspondiente a un

elemento x de P recibe el nombre de imagen de éste.

El elemento y de Q que es imagen de un elemento x de P se simboliza de esta

manera: y = f(x) que se lee “ y es imagen de x según la función f, o simplemente “

e igual a f de x”, dado que y = f(x), el par ordenado (x,y) se puede expresar de la

siguiente forma; (x,y) = ( x, f (x) ).

Ejemplo:

En el ejemplo anterior (5) se establece la relación entre un número y su respectivo

cuadrado. La regla de correspondencia se puede expresar así:

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y = x2

O bien: f(x) = x2

El dominio de esta función es A = ( 1, 0, -1, ), de manera que las imágenes de los

elementos de a se obtienen o expresan como sigue:

f (1) = 12 = 1 “ 1 es la imagen de 1”

f (-1) = 12 = 1 “ 1 es la imagen de - 1”

f (0) = 02 = 0 “ 0 es la imagen de 0”

Con estos valores se obtienen los pares ordenados (1, 1), (0, 0) y (-1, 1), por lo

que la función f también se puede expresar como un conjunto de pares ordenados

así: f((1,1),(0,0), (-1,1))

Como se puede observar la primera componente de cada par ordenado es un

elemento del dominio y la segunda componente o imagen es un elemento del

contradominio.

Como ya vimos con ejemplos anteriores , no todo conjunto de pares ordenados

representa una función en la cual, por definición, a cada elemento del dominio le

corresponde una y solo una imagen. Si al aplicar este criterio en un conjunto de

pares ordenados se observa que no existen dos pares diferentes con el mismo

primer elemento entonces es una función. Además en caso de que dentro del

conjunto de pares ordenados existan dos diferentes con el mismo primer

elemento, significará que un elemento del dominio tiene dos imágenes y por tanto

no es una función, como en el ejemplo de dos idiomas oficiales que se hablan en

dos países.

Anteriormente se dieron los conceptos de relación y de función como una regla de

correspondencia. Con base en la información adicional podemos definir cada una

de ellas de manera equivalente como un conjunto.

Una relación es cualquier conjunto de pares ordenados de elementos.

Una función es una relación en la que no hay dos pares ordenados diferentes con

el mismo primer elemento.

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1.2. Clasificación de funciones

- Algebraicas y trascendentes

- Continuas y discontinuas

- Crecientes y decrecientes

- Uno-uno, sobre y biyectivas

Clasificación de las funciones por su naturaleza; algebraicas y trascendentes.

Clasificación de las funciones por sus propiedades:

Función creciente y decreciente

Función par e impar.

Función simétrica.

Función periódica.

Se denominan funciones algebraicas:

Polinómicas: Están definidas por un polinomio.

Racionales: Están definidas por el cociente de dos polinomios.

Irracionales: Son las que la variable independiente está bajo el signo radical.

Las funciones que no son algebraicas se llaman funciones trascendentes.

Exponenciales: Son las que la variable independiente está en el exponente.

Logarítmicas: Son las inversas de las funciones exponenciales.

Trigonométricas: Son las que dan el valor de una razón trigonométrica en función

del ángulo.

1.2.1 Operaciones con funciones

- Suma, resta, división y multiplicación

- Dominio y rango.

- Composición de funciones

Suma de funciones

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Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo.

Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función

definida por

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de

dos funciones reales de variable real f y g, como la función

(f - g)(x) = f(x) - g(x)

Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo

intervalo.

Producto de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo

intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por

(f.g)(x) = f(x).g(x)

Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo

intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por

(f/g)(x) = f(x)/g(x)

(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se

anula.)

Producto de un número por una función

Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es

la función definida por

(a.f)(x) = a.f(x)

Ejercicio: operaciones con funciones

Sean las funciones f(x) = 3 x + 1, y g(x) = 2 x - 4.

Definir la función f + g y calcular las imágenes de los números 2, -3 y 1/5.

Resolución:

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- La función f + g se define como

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = x + 1 + 2 x - 4 = 5 x - 3.

- (f + g)(2) = 5 · 2 - 3 = 7

(f + g)(-3) = 5(-3) - 3 = -18

(f + g)(1/5) = 5 · 1/5 - 3 = -2

Obsérvese que si se calculan las imágenes de f y g por separado y se suman, el

resultado es el mismo.

Por ejemplo, para la imagen del 2,

f(2) = 3.2 + 1 = 7

g(2) = 2.2 - 4 = 0 (f + g)(2) = 7 + 0 = 7

Dadas las funciones f (x) = x ² - 3, y g(x) = x + 3, definir la función (f - g)(x).

Calcular las imágenes de 1/3, -2 y 0 mediante la función f - g.

Resolución:

- (f - g)(x) = f(x) - g(x) = x ² - 3 - (x + 3) = x ² - 3 - x - 3 = x ² - x - 6

- (f - g)(1/3) = (1/3) ² - 1/3 - 6 = - 56/9

- (f - g)(-2) = (-2) ² - (-2) - 6 = - 0

- (f - g)(0) = (0) ² - 0 - 6 = - 6

Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por

separado, y efectuando la resta, se obtiene el mismo resultado.

3) Dadas las funciones f(x) = x/2 - 3 y g(x) = 2.x + 1, definir la función f.g.

Resolución:

- (f.g)(x) = f(x).g(x) = (x/2 - 3).(2.x + 1) = x ² - 11.x/2 - 3

Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por

separado, y multiplicando después, se obtienen los mismos resultados.

Dadas las funciones f(x) = - x - 1, y g(x) = 2 x + 3, definir f/g.

Calcular las imágenes de los números - 1, 2 y 3/2 mediante f/g.

Resolución:

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(f/g)(x) = f(x)/g(x) = (-x - 1)/(2.x + 3)

La función f/g está definida para todos los números reales, salvo para x = -3/2,

donde la función g se anula.

(f/g)(-1) = 0/1 = 0

(f/g)(2) = -3/7

(f/g)(3/2) = (-5/2)/6 = -5/12

Calculando por separado las imágenes de los números mediante las funciones f

y g, y después efectuando su cociente, se obtienen los mismos resultados.

5) Dada la función f(x) = x ² + x - 2, calcular 3.f y f/3.

Obtener las imágenes de los números 2, 1 y 0 mediante la función 3 · f.

Resolución:

- (3.f)(x) = 3.f(x) = 3.(x ² + x - 2) = 3.x ² + 3.x - 6

(1/3).f(x) = (1/3).(x ² + x - 2)

- (3.f)(2) = 3.2 ² + 3.2 - 6 = 12

- (3.f)(1) = 3.1 ² + 3.1 - 6 = 0

- (3.f)(0) = 3.0 ² + 3.0 - 6 = - 6

Composicion de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las

funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de R en R, por (g o f)(x) =

g[ f(x)] .

La función (g o f)(x) se lee « f compuesto con g aplicado a x ».

R f

--® R

g

--® R

x ® f(x) ® g.[f(x)]

Primero actúa la función f y después actúa la función g, sobre f(x).

Cálculo de la imagen de un elemento mediante una función compuesta

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Para obtener la imagen de la función compuesta aplicada a un número x, se

siguen estos pasos:

1. Se calcula la imagen de x mediante la función f, f(x).

2. Se calcula la imagen mediante la función g, de f(x). Es decir, se aplica la

función g al resultado obtenido anteriormente.

1.3. Funciones inversas

- Noción de función inversa

- Obtención de parejas ordenadas y de la regla de correspondencia

- Dominio y rango

Sabemos que una función es un conjunto de pares. Se nos puede ocurrir la idea

de dar la vuelta a los pares y obtener así una nueva función. Hagámoslo con la

función:

f = { (1, 2), (2, 4), (3, -1), (4, -2) }

y observemos qué pasa llamando g al conjunto resultante:

g = { (2, 1), (4, 2), (-1, 3), (-2, 4) }

Hemos obtenido una nueva función.

Sin embargo, esto no funciona siempre. Tomemos ahora como f el conjunto:

f = { (1, 2), (2, 4), (3, -1), (4, 2) }

y, entonces, g será:

g = { (2, 1), (4, 2), (-1, 3), (2, 4) }

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que no es una función, pues g(2) no está determinado de forma única; es decir, g

no cumple la condición de función. Existen dos pares, (2, 1) y (2, 4), que tienen la

misma primera coordenada y la segunda coordenada es distinta.

¿Cuál es la diferencia entre estos dos ejemplos? Sencillamente, que en el

segundo ejemplo f(1)=f(4)=2 y al darle la vuelta a los pares, g(2) no está

determinado de forma única; con lo cual g no es una función. En el primer ejemplo,

para valores diferentes de la "x" se obtienen valores diferentes de la "y". Las

funciones que se comportan como la del primer ejemplo se llaman funciones

inyectivas o uno a uno.

DEFINICIÓN: Una función f es inyectiva o uno a uno si f(a) es distinto de f(b)

cuando a es distinto de b.

Cuando al invertir los pares de que consta una función se obtiene otra función,

decimos que dicha función tiene inversa (también llamada recíproca). Por lo dicho

anteriormente, sólo tienen inversas las funciones inyectivas.

DEFINICIÓN: Si f es una función inyectiva, llamamos función inversa de f y la

representamos por f-1 al conjunto: f-1 = { (a, b) / (b, a) Î f }

Es decir, f-1 = { (x, y) / x=f(y), si y es del dominio de f } = { (f(y), y) / si y es del

dominio de f }

De la definición se sigue inmediatamente que el dominio de la función inversa f-1

es el rango o recorrido de f y, recíprocamente, el rango de f-1 es el dominio de f.

También es fácil observar que f-1(a)=b es equivalente a decir que f(b)=a. Utilizando

la "x" y la "y" que tan acostumbrado estamos a usarlas cuando se habla de

funciones: f-1(x)=y es equivalente a decir que f(y)=x. Otra forma de decir esto es:

f(f-1(x))=x (donde x pertenece al rango de f), o bien, f-1(f(x))=x (donde x pertenece

al dominio de f). Utilizando la composición de funciones y llamando I (función

Identidad) a la función definida por I(x)=x, podemos escribir:

21

f o f-1 = I y f-1o f = I

salvo que el segundo miembro de estas dos igualdades tendrá un dominio más

amplio que el primer miembro si el dominio de f o de f-1 no es todo R.

Por cierto, si una función tiene inversa, ¿a qué será igual (f-1)-1, o sea, la función

inversa de la función inversa?

La idea de función inversa se ha utilizado muchas veces en la asignatura de

matemáticas I , sólo que no se le ha dado nombre. Recordar cómo se definía raíz

cuadrada, cúbica…

Sabemos que f-1 = { (x, y) / x=f(y) } = { (f(y), y) / si y es del dominio de f } = { (x, y) /

y=f-1(x), si x es del rango de f }. Pero si queremos hallar la expresión de f-1(x), es

decir, cuánto vale y en función del valor de x si el par (x, y) pertenece a f-1 ¿qué

haremos? Bien sencillo decirlo: debemos despejar y en la ecuación x=f(y).

Naturalmente, si x=f(y) es una ecuación, pues si la función viene dada por una

lista de pares no será necesario ningún cálculo y si la función viene dada por una

expresión más o menos compleja, tendremos que estudiarla y ver si estamos en

condiciones de calcular la expresión de la función inversa. Los ejemplos que

realicemos serán "sencillos" y estarán basados en los ejemplos ya representados.

CÁLCULO DE f-1(x)

Despejar, éste es nuestro problema. Si no tenemos dificultades para despejar

"letras" en expresiones algebraicas, no tendremos dificultades en el cálculo de la

expresión de f-1(x) a partir de la expresión de f(x).

Analiza los siguientes ejemplos de funciones inversas:

a. Sea la función f = { (x, y) / y=2x-3 }. Su función inversa será: f-1 = { (x, y) / x=2y-3 }. Despejamos y en la expresión x=2y-3. Paso a paso:

x+3=2y; (x+3)/2=y. Ya tenemos f-1(x)=(x+3)/2. Fácil, pues la expresión

de la función f estaba dada por un polinomio de primer grado.

22

b. Sea la función g dada por la expresión g(x)=(-3x+5)/4. Su función inversa g-

1 estará dada por g-1(x)=(5-4x)/3. Realiza todos los pasos como en el

ejemplo anterior y comprueba que la solución es correcta.

Observaciones de la función inversa con diagramas o esquemas sagitales

Sean funciones de tales que es inyectiva pero no

suprayectiva, es suprayectiva, pero no inyectiva y es inyectiva y

suprayectiva, es decir biyectiva.

321 fff BA → 1f

2f 3f

1

2

a

b

c

1

2

3

4

a

b

c

1

2

3

a

b

c

Si en cada caso se intercambian el dominio y el contradominio y se invierte la

regla de correspondencia de la función, se obtiene los siguientes diagramas:

a

b

c

1

2

a

b

c

1

2

3

4

a

b

c

1

2

3

23

En los diagramas anteriores se nota que la relación del primero no es una

función, pues el elemento 4 del dominio no tiene imagen, el segundo tampoco

ilustra una función porque el elemento 2 del dominio tiene dos imágenes, el

tercer si representa una función, que es biyectiva porque si la función

es suprayectiva se garantiza que todo elemento del codominio es

imagen del algún elemento del dominio y como también es inyectiva, pues

elementos diferentes del dominio tiene diferentes imagenes, al intercambiar el

dominio y el contradomino también se define una función biyectiva.

BAf →:3

Si es biyectiva, entonces la función BAf →: ABf →− :1

Donde ( ) ){ Axxxff ∈=− ,1 } es la función inversa de f

En general, si una funcion es biyectiva, su inversa

también es biyectiva.

BAf →: ABf →− :1

Ejemplo:

Sea la función tal que RRf →: ( ) 23 += xxf

Calculando algunos valores de x se puede obtener la tabla:

x ( ) 23 += xxf ( )( )xfx,

3− ( ) ( ) 72333 −=+−=−f ( )7,3 −−

2− ( ) ( ) 42232 −=+−=−f ( )5,1−

1− ( ) ( ) 12131 −=+−=−f ( )1,1 −−

0 ( ) ( ) 220130 =+=f ( )2,0

1 ( ) ( ) 52131 =+=f ( )5,1

Despejando x en ( ) 23 += xxf se obtiene (funcion inversa): 1−f

( ) xxf 32 =− ( ) xxf=

−3

2

24

Calculando x para los valores que se indican de ( )xf

x ( )3

2−=

xfx ( )( )xxf ,

7− 3−=x ( )3,7 −−

4− 2−=x ( )2,4 −−

1− 1−=x ( )1,1 −−

2 0=x ( )0,2

5 1=x ( )1,5

En las tablas de ( ) 23 += xxf y su inversa se observa que esta invertidas las

componentes de los pares ordenados correspondientes, los cuales se

representa en la siguiente figura:

8

6

4

2

-2

-5 5

En la figura anterior las representación geométricas de las graficas de y

son simétricas respecto a la representación de la función identidad

f 1−f

25

1.3.1. Funciones especiales

- Función constante, idéntica y valor absoluto

- Funciones escalonadas

- Funciones compuestas

- Dominio y rango

A continuación se analizaran las propiedades de algunas funciones reales especiales de uso frecuente: Función constante ( ) κ=→ xfRRf ,: Función identidad ( ) xxfRRf =→ ,: Función lineal ( ) baxxfRRf +=→ ,: Función valor absoluto ( ) xxfRRf =→ ,: Función cuadrática ( ) 0,,: 2 ≠++=→ acbxaxxfRRf Función cúbica ( ) 0,,: 23 ≠+++=→ adcxbxaxxfRRf Como la representación de la grafica de cada una consta de un número infinito

de puntos, uno para cada número real, solo se trazara una parte que permita

visualizarlas e identificarlas. Todas son funciones algebraicas, pues su regla de

correspondencia se puede expresar mediante un número finito de operaciones

de suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíces.

1. Función valor absoluto Sea tal que ,: RRf → ( ) xxf = Recuérdese que el valor absoluto de un número se simboliza por |x| y se define así:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<−=>

=0

000

xsixsix

xsixx

Por ejemplo ( ) 00,22;222 ===−−=− Grafica de la función valor absoluto Es el conjunto de los puntos del plano que representa a los pares ordenados de la función, en los cuales la primera componente es un numero real y la segunda componen es el valor absoluto de la primera.

26

( )( ) ( ){ }Rxxxfxfxf ∈== ,, Representación geométrica de la grafica de la función valor absoluto Algunos de los pares ordenados de la función se calculan en la siguiente tabla

x ( ) xxf = ( )( )xfx,

2− ( ) 222 =−=−f ( )8,2−

1− ( ) 111 =−=−f ( )1,1−

0 ( ) 000 ==f ( ) 0,0 La representación geométrica de los puntos de la grafica de la función valor absoluto queda como sigue:

8

6

4

2

-2

-5 5

Imagen del dominio de la función valor absoluto.

Como se puede observar a cada numero real x del dominio se le asocia un

numero real no negativo, por lo que { }0∪= +RC

Propiedades de la función valor absoluto.

a) Inyectividad

27

Existen pares de numero reales diferentes (números simétricos) tales que su

imagen bajo la función es la misma. Esto se puede evidenciar en la figura al

trazar rectas paralelas al eje x, pues cada una de ellas corta en dos puntos a la

representación geométrica de la grafica de la función; por consiguiente, la

función valor absoluto no es inyectiva.

b) Suprayectividad

La función valor absoluto tiene dominio y contradominio real, pero su imagen

es el conjunto de números reales no negativa y ya que entonces

la función valor absoluto no es suprayectiva

{ }0∪≠ +RR

c) Biyectividad

La función valor absoluto no es inyectiva ni suprayectiva, y por tanto tampoco

es biyectiva

Ejemplo:

Sea tal que ,: RRf → ( ) 2−= xxf

Grafica de la función

Es el conjunto de puntos del plano que representa a los pares ordenados de la

función: ( )( ) ( ){ }Rxxxfxfxf ∈−== ,2,

Representación geométrica de la grafica de la función

Algunos de los pares ordenados de la función se calculan en la siguiente tabla

x ( ) 2−= xxf ( )( )xfx,

2− ( ) 4222 =−−=−f ( )4,2−

1− ( ) 3211 =−−=−f ( )3,1−

0 ( ) 2200 =−=f ( )2,0

28

1 ( ) 1211 =−=f ( )1,1

2 ( ) 0222 =−=f ( )0,2

La representación geométrica de los puntos de la grafica de la función valor

absoluto queda como sigue:

8

6

4

2

-2

-5 5

Imagen del dominio de la función.

Como a cada numero real x del dominio se le asocia un numero real no

negativo, por lo que { }0∪= +RC

Propiedades de la función.

a) Inyectividad

La función no es inyectiva porque existen dos números reales diferentes, por

ejemplo 0 y 4, tales que su imagen bajo la función es la misma

b) Suprayectividad

29

La función no es suprayectiva porque su imagen es el conjunto de los números

reales no negativos: { }0∪≠ +RR

c) Biyectividad

La función no es inyectiva ni suprayectiva, y por tanto tampoco es biyectiva

3. Función Identidad

Sea tal que ,: RRf → ( ) .xxf =

Grafica de la función identidad

Es el conjunto de puntos del plano que representan a los pares ordenados de

la función, cuyas primeras y segundas componentes son el mismo número

real.

( )( ) ( ){ }Rxxxfxfxf ∈== ,,

Representación geométrica de la grafica de la función identidad


x ( ) xxf = ( )( )xfx,

2− ( ) 22 −=−f ( )2,2 −−

1− ( ) 11 −=−f ( )1,1 −−

0 ( ) 00 =f ( )0,0

30

4

2

-2

-4

-6

-5 5 10

Al localizar en el plano cartesiano los puntos que corresponden a estos pares

ordenados y unirlos consecutivamente se obtiene la representación geométrica

de una parte de las grafica.

Imagen del dominio de la función identidad

La función identidad a cada numero real x de su dominio le asocia, bajo al

función, su mismo valor como imagen, por tanto, el conjunto de las imágenes

de esta función es C=R

Propiedad de la función identidad

a) Inyectividad

Dados los números reales diferentes, las imágenes que les corresponden

también son diferentes, es decir 212,1 , xxRxx ≠∈ implica que ( ) ( ),21 xfxf ≠

por consiguiente, la función identidad es inyectiva.

b) Suprayectividad

31

La imagen de la función identidad es igual al codominio, B=C=R, en

consecuencia, la función idéntica es suprayectiva

c) Biyectividad

La función identidad es inyectiva y suprayectiva a la vez, por tanto también es

biyectiva.

4. Función Lineal. Sea tal que ,: RRf → ( ) 12 += xxf Grafica de la función lineal Es el conjunto de los puntos del plano que representa a los pares ordenados de la función ( )( ) ( ){ }Rxxxfxfxf ∈+== ,12, Representación geométrica de la grafica de la función lineal. Algunos de los pares ordenados de la función se calculan en la siguiente tabla

x ( ) 12 += xxf ( )( )xfx, 2− ( ) ( ) 31222 −=+−=−f ( )3,2 −− 1− ( ) ( ) 11121 −=+−=−f ( )1,1 −−0 ( ) ( ) 11020 =+=f ( )1,0

Si en el plano cartesiano se localizan los puntos correspondientes a estos

pares ordenados y se unen consecutivamente se obtiene la representación

geométrica de una parte de la grafica.

32

6

4

2

-2

-4

-6

-5 5

Imagen del dominio de la función lineal.

La imagen de cada valor del dominio de la función es otro numero real que

puede ser positivo, negativo o cero; por ello, la imagen del dominio de la

función lineal es C=R.

Propiedades de la función lineal.

a) Inyectividad

Existen dos números reales diferentes ,21 xx ≠ tales que las imágenes que les

corresponden también son diferentes ( ) ( ),21 xfxf ≠ así pues la función lineal es

inyectiva. Lo anterior se puede observar fácilmente en la figura al trazar rectas

paralelas al eje x que intersecan la representación de en, a lo mas, un punto. f

b) Suprayectividad

La imagen de la función lineal es igual al contradominio, B=C=R, por tanto, la

función lineal es suprayectiva

33

c) Biyectividad

La función lineal es inyectiva y suprayectiva, entonces también es biyectiva.

Las funciones constante, identidad y lineal se representan en forma geométrica

por medio de una línea recta; por ello, comúnmente se le llama funciones

lineales.

En general una función lineal es una función real de la forma

donde m, b, x son números reales, de los cuales m y b son

constantes.

( ) ,bmxxf +=

La función constante es el caso particular de la función lineal cuando m=0,

porque si ( ) ,0=+= bymmxxf entonces ( ) bbxf =+= 0 donde b es una

constante.

La función identidad se obtiene a partir de la función lineal haciendo m=1 y

b=0, entonces: ( ) ( ) .01 xxxf =+=

El ejemplo de la función lineal ( ) 12 += xxf ilustra el caso en el que m=2 y b

=1; sin embargo, como m y b son reales, éstos puede ser positivos, negativos

o cero, de tal manera que si entonces también son funciones

lineales las siguientes:

,: RRf →

( ) 32 −−= xxf

( ) 143

−= xxf

( )323 += xxf

( ) 321

+−= xxf

Ejemplo:

Sea tal que ,: RRf → ( ) 23 +−= xxf


34

Es el conjunto de los puntos del plano que representa a los pares ordenados

de la función: ( )( ) ( ){ }Rxxxfxfxf ∈+−== ,23,



x ( ) 23 +−= xxf ( )( )xfx,

2− ( ) ( ) 82232 =+−−=−f ( )8,2−

1− ( ) ( ) 52131 =+−−=−f ( )5,1−

0 ( ) ( ) 22030 =+−=f ( )2,0

1 ( ) ( ) 12131 −=+−=f ( )1,1 −

2 ( ) ( ) 42232 −=+−=f ( )4,2 −

La representación geométrica de una parte de la grafica de la función se ilustra

en la figura siguiente:

10

8

6

4

2

-2

-5 5

35

Imagen del dominio de la función.

La imagen de cada valor del dominio de la función es otro numero real que

puede ser positivo, negativo o cero; por tanto C=R


a) Inyectividad

La función es inyectiva porque dados dos números reales diferentes ,21 xx ≠

sus respectivas imágenes también son diferentes ( ) ( ,21 xfxf )≠ Si se trazan

rectas paralelas al eje x se observa que intersecan la representación de en,

a lo mas, un punto.

f

b) Suprayectividad

La función es suprayectiva porque su imagen es igual al contradominio B=C=R

c) Biyectividad

La función es inyectiva y suprayectiva, por tanto también es biyectiva. 5.. Función valor absoluto

Sea tal que ,: RRf → ( ) xxf =

Recuérdese que el valor absoluto de un número se simboliza por |x| y se define

así:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<−=>

=0

000

xsixsix

xsixx

36

Por ejemplo ( ) 00,22;222 ===−−=− Grafica de la función valor absoluto Es el conjunto de los puntos del plano que representa a los pares ordenados

de la función, en los cuales la primera componente es un numero real y la

segunda componen es el valor absoluto de la primera.

( )( ) ( ){ }Rxxxfxfxf ∈== ,,

Representación geométrica de la grafica de la función valor absoluto


x ( ) xxf = ( )( )xfx,

2− ( ) 222 =−=−f ( )8,2−

1− ( ) 111 =−=−f ( )1,1−

0 ( ) 000 ==f ( ) 0,0



37

8

6

4

2

-2

-5 5

Imagen del dominio de la función valor absoluto.

Como se puede observar a cada numero real x del dominio se le asocia un

numero real no negativo, por lo que { }0∪= +RC

Propiedades de la función valor absoluto.

d) Inyectividad

Existen pares de numero reales diferentes (números simétricos) tales que su

imagen bajo la función es la misma. Esto se puede evidenciar en la figura al

trazar rectas paralelas al eje x, pues cada una de ellas corta en dos puntos a la

representación geométrica de la grafica de la función; por consiguiente, la

función valor absoluto no es inyectiva.

e) Suprayectividad

La función valor absoluto tiene dominio y contradominio real, pero su imagen

es el conjunto de números reales no negativa y ya que entonces

la función valor absoluto no es suprayectiva

{ }0∪≠ +RR

38

f) Biyectividad

La función valor absoluto no es inyectiva ni suprayectiva, y por tanto tampoco

es biyectiva

Ejemplo:

Sea tal que ,: RRf → ( ) 2−= xxf


Es el conjunto de puntos del plano que representa a los pares ordenados de la

función: ( )( ) ( ){ }Rxxxfxfxf ∈−== ,2,



x ( ) 2−= xxf ( )( )xfx,

2− ( ) 4222 =−−=−f ( )4,2−

1− ( ) 3211 =−−=−f ( )3,1−

0 ( ) 2200 =−=f ( )2,0

1 ( ) 1211 =−=f ( )1,1



39

8

6

4

2

-2

-5 5

Imagen del dominio de la función. Como a cada numero real x del dominio se le asocia un numero real no

negativo, por lo que { }0∪= +RC


d) Inyectividad

La función no es inyectiva porque existen dos números reales diferentes, por

ejemplo 0 y 4, tales que su imagen bajo la función es la misma

e) Suprayectividad

La función no es suprayectiva porque su imagen es el conjunto de los números

reales no negativos: { }0∪≠ +RR

f) Biyectividad

La función no es inyectiva ni suprayectiva, y por tanto tampoco es biyectiva

40

1.3.2. Transformación de gráficas de funciones

- Traslaciones horizontales y verticales

- Reflexión sobre el eje y y sobre la recta a 45°.

En este subtema se analizan los cambios que se producen en la gráfica de una

función real de variable real cuando se sustituye cualquiera de las incógnitas por

ella misma sumada o multiplicada por una constante.

En el primero de los casos veremos que el resultado es una función con la misma

forma que la original pero desplazada de su posición inicial. Hablaremos entonces

de una traslación. En el segundo caso el resultado es una función parecida, pero

con sus características más reforzadas o más suavizadas. Hablaremos entonces

de una dilatación.

Traslación vertical En esta parte vamos a analizar cómo, a partir de la gráfica de una determinada

función y = f(x), se puede representar con facilidad la gráfica de cualquier función

de la forma y = f(x) + b, siendo b un número real cualquiera.

En la siguiente figura se muestra la gráfica de la función f(x)=x3-5x. En la parte

inferior se muestran tres ecuaciones: en rojo la de la función anterior, en verde

sumándole b=3 y la morada sumándole b=3, es decir de la de la misma función

sumándole una constante b.

Como ejercicio grafica para valores de b=4, 5 y 6 tanto positivos como negativos

y observa qué sucede.

41

bserva que si b>0, la gráfica se desplaza verticalmente hacia arriba b unidades y

jercicio de autoaprendizaje s son las coordenadas para el punto que tiene un

l. nalizar cómo, a partir de la gráfica de una determinada

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-5 5 10 15

h x( ) = g x( )+3g x( ) = f x( )+2f x( ) = 3⋅x3-5⋅x

O

si b<0 hacia abajo. Es decir, entonces estamos haciendo una traslación de vector

v(0,b), de tal modo que las ordenadas de todos los puntos de la gráfica aumentan

o disminuyen en b unidades. Además observa que el máximo y mínimo relativo de

la función se desplaza verticalmente b unidades cuando variamos el parámetro b.

EEn la función f(x) =x3-5x ¿ cuále

máximo relativo y ¿en qué punto se encuentra el máximo relativo de la función

f(x)+2 y para f(x)+3?

Traslación horizontaEn esta parte vamos a a

función

42

y = f(x), se puede representar con facilidad la gráfica de cualquier función de la

forma

y = f(x-a), siendo a un número real cualquiera.

En la figura adjunta se muestra la gráfica de la función f(x)=x3-4x. En la parte

inferior se muestran dos ecuaciones: en negra la de la función anterior y en rojo la

de la función:

r (x) = (x-a)3 – 4 (x- a).

8

6

4

2

-2

-4

-6

-10 -5 5 10

u x( ) = x-6( )3-x-6r x( ) = x-5( )3-x-5q x( ) = x-4( )3-x-4

Dale al parámetro a valores tanto positivos como negativos y observa qué sucede.

Observa que si a>0, la gráfica se desplaza horizontalmente hacia la derecha a

unidades y si a<0 hacia la izquierda. Es decir, estamos haciendo una traslación de

vector v(a,0), de tal manera que las abscisas de todos los puntos de la gráfica

aumentan o disminuyen en a=+4, +5, y +6 unidades. Observa que el máximo y

43

mínimo relativo de la función se desplaza horizontalmente a unidades cuando

variamos el parámetro a.

Ejercicio de autoaprendizaje ¿Para que punto tiene f(x) tiene un mínimo relativo,

¿en qué punto se encuentra el mínimo relativo de la función f(x+4)?

- Reflexión sobre el eje y y sobre la recta a 45°.

Traslación oblicua. Con lo visto anteriormente (desplazamiento horizontal y

vertical) vamos a analizar cómo, a partir de la gráfica de una determinada función

y = f(x), se puede representar con facilidad la gráfica de cualquier función de la

forma y = f(x-a) + b, siendo a y b números reales cualesquiera. Es decir , está

claro que se van a producir dos traslaciones simultáneas, una vertical y otra

horizontal.

En la figura siguiente se muestra la gráfica de la función f(x)= x4 - 3x 2. En la parte

inferior se muestran dos ecuaciones: en negro la de la función anterior, en rojo y

4

2

-2

-4

-6

-8

-10

-10 -5 5 10

t x( ) = x4-3⋅x2-1

g x( ) = x4-3⋅x2

s x( ) = x4-3⋅x2( )+1

44

verde la de la función g(x) = (x-a)4 - 2(x-a)2+b, para b=1 y b=-1

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10 -5 5 10

g x( ) = x-5( )4-2⋅ x-5( )2( )+-4

f x( ) = x4-3⋅x2

Para la anterior ecuación de f(x) dale a los parámetros a y b valores tanto positivos

como negativos y observa qué sucede.

Verifica que la gráfica se desplaza verticalmente y horizontalmente según los

valores de a y b. Es decir, estamos haciendo una traslación de vector v(a,b), de tal

modo que las coordenadas de los puntos de la gráfica de f(x-a)+b se obtienen

sumandoles (a,b).

Ejercicio 1: ¿ Para que coordenadas de la función f(x) tiene un máximo relativo?,

¿en qué punto se encuentra el máximo relativo de la función f(x+1)-4 ?

45

EJERCICIOS DE AUTOAPRENDIZAJE Tema : variables dependientes e independientes

A. Identifique la variable independiente, la variable dependiente y la constante,

en cada uno de los casos siguientes, sin tratar de resolver y encontrar una

solución.

Por ejemplo un buen maestro hace que los niños aprendan. Así, en este caso,

“buen maestro” es la variable independiente, mientras que el “aprendizaje” que

ocurre en la cabeza de los estudiantes es la variable dependiente.

a. Un móvil se desplaza a una velocidad de 100 Km/h ¿Qué distancia recorre

en 11, 12, 13, 14 y 15, minutos?

b. Una lámpara tiene una potencia de 250 watts. Hallar la intensidad de

iluminación a una distancia de 1, 5, 10, 15,y 25 metros de la fuente.

c. Hallar el costo total C de n artículos iguales que tienen un precio de 150

unidades de dinero.

d. Determinar el perímetro P de un terreno que tiene forma de polígono

regular de n lados cuando su lado l mide 13, 15, 17, y 111 metros.

e. Para una misma distancia ( d ), la velocidad ( v ) de un coche y el tiempo ( t

) que emplea en recorrerla.

f. ¿Cuál es el interés que produce un capital K cuando se invierte durante un

tiempo ( t ) de 11, 12, 13, 14, 15, y 16 años ?

g. Cuál será el importe t del consumo de electricidad de k kilowatthora que

cuestan p unidades de dinero por kilowatthora.

h. Un móvil tiene un tanque de combustible con capacidad de 50 litros. Si el

rendimiento es de 10 kilómetros por litro hallar la cantidad de combustible

que queda en el tanque cuando se ha recorrido una distancia d de 0, 10,

200 y 300 kilómetros.

i. las población P de una ciudad se duplica cada n años, hallar P cuando han

transcurrido 5n, 6n, y 7n años.

B. Identifique la variable independiente, la variable dependiente y la constante o

constantes en cada una de las expresiones siguientes. , sin tratar de resolver y

encontrar una solución

46

a. Al = bh/2 , donde A es área total, b y h son base y altura del triángulo

b. oC = 5/9 ( oF -32), donde oF es la temperatura Fahrenheit y oC la

temperatura Celsius (centrifugada).

c. oF = 9/5 oC + 32

d. S = 180 (n – 2), donde S es la suma de las medidas de los ángulos

interiores de un polígono de n lados.

e. y = x3 , donde X y Y son números reales.

f. V = a2 , donde V es el volumen de un cubo de arista a. t2

g. h = ---- donde h es la altura de un cuerpo que cae libremente

2 y 2 es la constante de gravedad y t es el tiempo.

h. A = 2π r2, donde A es el área de un círculo de radio r .

Tema : composición de funciones

Sean las funciones f(x) = x + 3 y g(x) = x ².

Calcular g o f y la imagen mediante esta función de 1, 0 y -3.

Resolución:

- (g o f)(x) = g.[f(x)] = g.[(x + 3)] = (x + 3) ²

R f --� R g

--� R

x ® f(x) = x + 3 ® g. [f(x)] = g.(x + 3) = (x + 3) ² - La imagen de dos números 1, 0, -3, mediante la función g o f es:

(g o f)(1) = g.[f(1)] = g.(1 + 3) = g.(4) = 4 ² = 16

(g o f)(0) = g.[f(0)] = g.(0 + 3) = g.(3) = 3 ² = 9

(g o f)(-3) = g.[f(-3)] = g.(-3 + 3) = g.(0) = 0 ² = 0

Dadas las funciones f(x) = x ² + 1, y g(x) = 3x - 2, calcular:

a) (g o f) (x)

b) (f o g) (x)

c) (g o f) (1) y (f o g) (-1)

d) El original de 49 para la función g o f.

47

Resolución:

a) La función g o f está definida por:

R f

--® R

g

--® R

x ® f(x) = x ² + 1 ® g.[f(x)] = g.(x ² + 1) = 3.(x ² + 1) - 2 = 3.x ² + 3 - 2 = 3.x ² + 1

b) La función f o g está definida por:

R g

--® R

f

--® R

x ® g(x) = 3.x - 2 ® f.[g(x)] = (3.x - 2) ² + 1 = 9.x ² + 4 - 12.x + 1 = 9.x ² - 12.x + 5

Obsérvese que g o f ≠ f o g.

c) Aplicando los resultados anteriores:

(g o f)(1) = 9.1 ² - 12.1 + 5 = 9 - 12 + 5 = 2

(g o f)(-1) = 9.(-1) ² - 12.(-1) + 5 = 9 + 12 + 5 = 26

d) El original de 49 para la función g o f será un número x, tal que (g o f)(x) = 49.

(g o f) (x) = 3 x ² + 1 = 49. Basta con resolver esta ecuación.

3.x ² + 1 = 49 Þ x ² = 16 Þ x = ±4

Tema: transformación de gráficas de funciones a. En la función f(x) =x3-5x ¿ cuáles son las coordenadas para el punto que tiene

un máximo relativo y ¿en qué punto se encuentra el máximo relativo de la función

f(x)+2 y para f(x)+3?

48

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-5 5 10 15

h x( ) = g x( )+3g x( ) = f x( )+2f x( ) = 3⋅x3-5⋅x

b. En la siguiente gráfica ¿Para que punto tiene f(x) tiene un mínimo relativo, ¿en

qué punto se encuentra el mínimo relativo de la función f(x+4)?

c. En la gráfica de la función ¿ Para que coordenadas de la función f(x) tiene un

máximo relativo?, ¿en qué punto se encuentra el máximo relativo de la función

f(x+1)-4 ?

8

6

4

2

-2

-4

-6

-10 -5 5 10

r x( ) = x-5( )3-x-5u x( ) = x-6( )3-x-6

q x( ) = x-4( )3-x-4

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10 -5 5 10

g x( ) = x-5( )4-2⋅ x-5( )2( )+-4

f x( ) = x4-3⋅x2

49

BIBLIOGRAFÍA PARA LA PRIMERA UNIDAD Básica • Ruiz Basto, Joaquín. Precálculo: funciones y aplicaciones. México, Publicaciones

Cultural, 2005 (250 pp.).

• Stewart, James, y otros. Precálculo. 3ª ed., México, International Thomson

Editores, 2000, (777 pp.).

Complementaria • Barnett, Raymond. Precálculo: funciones y gráficas. Mc Graw Hill Interamericana,

México, 2000.

• Larson, Ronald, y otros. Álgebra. México, Publicaciones Cultural, 1996 (620 pp.).

50



ANTOLOGÍA PARA LA ASIGNATURA DE

MATEMÁTICAS IV

UNIDAD II

ASESOR DEL SEA-UNIDAD PÁTZCUARO :

ELEAZAR SASHIDA ROJAS. JORGE LUIS ESTRADA SORIA


51

Objetivos General de la Asignatura de matemáticas IV

El estudiante: Resolverá problemas o situaciones, que conlleven el manejo de las







Objetivos particulares de la Unidad Temática II

El estudiante: Resolverá problemas de funciones polinomiales, teóricos o prácticos,

utilizando sus propiedades algebraicas y geométricas, en un ambiente escolar que

favorezca la reflexión sobre el análisis y razonamiento práctico, así como el

desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración

hacia el entorno en el que se desenvuelve.














52



constituirá una base importante en los semestres subsecuentes, para el estudio del

Cálculo Diferencial e Integral, Matemáticas Financieras y Probabilidad y Estadística,

en el componente de formación propedéutica.

Contenidos del programa de matemáticas IV Los contenidos sobre funciones que serán abordados en el curso de Matemáticas



un carácter introductorio, de primer acercamiento a las ideas y nociones, es decir,




la especificación del dominio y el rango estará dirigida a las funciones polinomiales,

racionales, exponenciales y logarítmicas, omitiendo el desarrollo de técnicas

algebraicas para la obtención de los mismos en otros tipos de funciones,

particularmente en la primera unidad del curso, donde el profesor: a) desde el

punto de vista geométrico, hará referencia a los ejes y la gráfica destacando en

algunos casos sencillos, cuidadosamente escogidos para tal efecto, la exclusión de

valores donde existan interrupciones o asíntotas; b) desde el punto de vista




factorizables - la existencia de técnicas algebraicas precisas para su obtención, que

en ocasiones conllevan la resolución de desigualdades con valor absoluto, sin que

esto implique un desarrollo exhaustivo y formal del tema, ni exigencia alguna

respecto a su manejo por parte del estudiante.

Índice de contenidos del programa

Unidad I. Relaciones y funciones.

53




2. FUNCIONES POLINOMIALES

En esta unidad estudiaremos la determinación de los ceros reales y complejos de

las funciones polinomiales hasta de cuarto grado. Así mismo, analizaremos el

problema de la construcción e interpretación de sus gráficas.

Una expresión, en orden decreciente de los exponentes de x, de la forma.

on

nn

nn

n axaxaxaxaxa ++++++ −−

−− 1

22

22

11 L

Donde son números reales,onnn aaaaaa ,,, 1,2,2,1 L−− 0≠na se llama polinomio de

grado n. En el, x no representa un valor especifico, solo se utiliza para indicar la

posición o lugar de cada termino dentro de la expresión, de manera semejante a

las unidades, decena, centenas, etc.., dentro de nuestro sistema decimal de

numeración.

Cada término esta separado del siguiente por medio del signo de la suma. El grado

de un término lo determina el grado de x en dicho término. El término de mayor

grado determina el grado del polinomio. El termino que no contiene a x es de

grado 0 y se le llama termino independiente o termino constante.

En el polinomio. El termino de mayor grado aparece en primer lugar por lo que se

le llama termino inicial su coeficiente es el coeficiente inicial y su grado es el grado

del polinomio. Si en la función el polinomio x es un número real, entonces se

define la función polinomial:

( ) on

nn

nn

n axaxaxaxaxaxf ++++++= −−

−− 1

22

22

11 L

54

Cuando f(x =0 se tiene una ecuación polinomial de grado n. Un valor de x que

satisface la ecuación recibe el nombre de raíz o solución de la ecuación, también

se dice que es un cero del polinomio.

)

El grado de un termino es el del exponente de x en dicho termino y el grado de

toda la expresión es igual al del termino de mayo grado.

( ) 0=xf Se llama función polinomial cero para distinguir de donde

que es una función polinomial de grado cero y corresponde a la función

constante si n=1, la expresión queda de la siguiente forma:

( ) 0axf =

,00 ≠a

( ) bmxaxaxf +=+= 01

Observar la siguiente figura, donde ( ) 0axf = , donde ,00 ≠a y n=0. El dominio de

este tipo de funciones es el conjunto de los números reales (R) y su rango es el

número ao

Recta paralela al eje X

55

Si n=1, la función polinomial es de primer grado y se llama función lineal. La

expresión de esta función es de la forma ( ) bmxaxaxf +=+= 01 . El dominio y el

rango de una función lineal es el conjunto de los números reales (R), su grafica es

una recta inclinada como se muestra en las siguientes figuras

Recta inclinada (m>0)

4

2

-2

-4

-5 5

f x( ) = 2

56

Rect

a

inclinada (m<0)

4

2

-2

-4

-5 5

f x( ) = 4⋅x-3

4

2

-2

-4

-5 5

g x( ) = -2⋅x+3

57

Si n=2 entonces:

ue corresponden a la forma general de la función cuadrática. El dominio de una

nción cuadrática es el conjunto de los números reales y su rango depende de la

rdenada de su vértice y de su concavidad, la cuál depende del signo del

oeficiente cuadrático. La gráfica de este tipo de funciones es una parábola, como

e muestra en las siguientes figuras.

a>0

ango y>=k

( ) cbxaxaxaxaxf ++=++= 201

22

Q

fu

o

c

s

R

a<0

Rango y<=k

6

4

2

-2

-4

-5 5

s x( ) = x2

3 -4

r x( ) = x2

2 -4

h x( ) = 2⋅x2-4

58

Si n=3, la función es de tercer grado y se llama función cúbica.

2

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-5 5 10 15

4

2

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-5 5 10 15

s x( ) =

r x( ) =

h x( ) = -

-x3

3 -4

-x3

2 -4

2⋅x3-4

-14

s x( ) = -x2

3 -4

r x( ) = -x2

2 -4

h x( ) = -2⋅x2-4

59

Si n=4 es de cuarto grado y se llama función cuártica.

4

2

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-5 5 10 15

s x( ) = -x4

3 -4

r x( ) = -x4

2 -4

h x( ) = -2⋅x4-4

Por lo anterior se deduce que las funciones constante, lineal, cuadrática y cúbica

son casos especiales de la función polinomial

Un ejemplo de función polinomial de quinto grado es:

( ) 272 35 −++= xxxxf

60

Hasta ahora solo se ha estudiado lo referente a las raíces o soluciones de las

ecuaciones lineal y cuadrática, así como los respectivos ceros de las funciones

lineal y cuadrática.

En nuestros cursos de álgebra se aprendió que la raíz de la ecuación de primer

grado es ax+b=0, es x= -b/a. Para la ecuación cuadrática

18

16

14

12

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-14

-16

-18

-25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25

f( )x = x5+2⋅x3+7⋅x( )-2

61

( ) cbxaxaxaxaxf ++=++= 201

22 , sus raíces o soluciones se pueden hallar

racionales.

Para este propósito se estudiarán alguna propiedades de las funciones de grado

superior a 2, en relación con sus ceros o las raíces de sus ecuaciones

correspondientes con el propósito de hacer su representación grafica.

evisemos los siguientes puntos de teoría de ecuaciones, relacionados con los

olinomios, para aplicarlos a la representación grafica de una función polinomial.

utilizando la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas.

Para hallar los ceros de las funciones polinomiales de tercer y cuarto grados

existen soluciones algebraicas; sin embargo, son muy complicadas y poco

prácticas. Por esta razón no se tratarán en esta unidad. Con respecto a las

funciones polinomiales de grado mayor o igual que cinco, el francés Evaristo

Galván demostró, en 1920, que no existe fórmula algebraica para resolver una

ecuación polinomial de n igual o mayor que 5.

Intentaremos entonces hallar los ceros de las funciones polinomiales por tanteos,

bajo un orden y utilizando un conjunto de herramientas y propiedades de los

polinomios que nos permita proceder de una manera razonable y con cierto grado

de precisión. Se utilizará la teoría de las ecuaciones para hallar los ceros de

polinomios de grado superior n> 2, cuyos coeficientes sean números reales y

s

R

p

EL TEOREMA DEL RESIDUO Y EL TEOREMA DEL FACTOR

Teorema del residuo

62

Si r es una constante y se divide la función polinomial f entre x – r el residuo

que se obtiene es f (r )

Ejemplo:

Si ( ) 1552 23 −−+≈ xxxxf hallar f(2) en dos formas distintas.

Solución:

a) Evaluando la función f(x) para x=2 se obtiene:

( ) ( ) ( ) 15252222 23 −−+≈f

=8 + 8 – 10 -15

=16 - 25

= - 9

b) Efectuando la división de la función f(x) entre x – 2:

3415522

2

23++

−−+− xxxx

xx

Teorema del factor

Si r es una raíz de la ecuación polinomial f (x)=0, es decir f (r )=0, entonces x –

r es un factor de f (x). Recíprocamente, si x - r es un factor de la ecuación

poli ue f(r )=0.

Como se puede observar, al dividir la función f(x) entre x – 2 se obtiene

como residuo -9, que es igual a f(2)

nomial f(x)=0, entonces r es una raíz de la ecuación, o sea q

Ejemplo:

63

Demuestre que x + 3 es un factor (divisor) de 652 23 −++ xxx

Solución:

strar que x + 3 es un factor lo expresamos como x+3=x–(-3), es decir,

23 −−−−+

=-33 + 33

=0

ación tiene a-3 como raíz y ax+3 como uno de sus factores.

ecuación cúbica f(x)=0 que tiene como raíces

Para demo

necesitamos averiguar si -3 es una raíz de la ecuación, por tanto:

( ) 0652 23 =−−+= xxxxf

( ) (3 −=−f ) ( ) ( ) 635323

=-27 + 18 + 15 - 6

Entonces la ecu

2. Escriba la313,2 y−

Sol

Por el teorema del factor se sabe que

ución:

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+

313,2 xyxx son factores de f(x),

entonces la ecuación es: ( ) ( ) 0313,2 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+ xyxx

En la que se muestran las raíces. El factor 31

−x se puede expresar como 3x-1

par

(x+

a obtener una ecuación equivalente con coeficientes enteros, es decir:

2) (x-3) (3x-1) = 0

De donde

061743 23 =+−− xxx

64

División sintética

En el proceso de determinación de las raíces de un polinomio se recurre al teorema

, es decir, se requiere dividir el polinomio entre una expresión lineal de

Si dividimos entre x – 3 en la forma usual

y como residuo 25.

se observa que los términos -9x y 7 se

También se puede ver que al multiplicar cada término del cociente por el divisor se

s igual l término de

e suprimen los términos mencionados de la división nos queda así.

En la que se conservan los valores necesarios para efectuar la operación que se

orma

el siguiente arreglo:

ue también se puede disponer así:

3 5 6

- 3 3 - 4 - 9 7

del residuo

la forma x-r. La división se puede efectuar con mayor rapidez mediante un

proceso abreviado que se conoce como división sintética.

7943 23 +−− xxx

Se obtiene como cociente 653 2 ++ xx

Al efectuar la división en esta forma

escriben de nuevo líneas abajo, para continuar con el procedimiento de la división.

obtiene un producto parcial en el que su primer término e a

arriba. Si s

puede disponer de la siguiente f

Como las potencias de x solo indican posición las podemos suprimir y nos queda

Q

- 9 - 15 18

5 6 25

- 3 3 - 4 - 9 7

65

Ya que una vez que se baja el primer termino del dividendo los términos del

cociente aparecen en el renglón inferior.

3 5 6 25

Al aplicar el t duo se debe evaluar f(3) de meorema del resi anera que al cambiar

l signo del divisor cambia el signo de cada termino del segundo renglón por tanto,

glón se ob or resta.

ste último arreglo se escribe así:

onde el ultimo numero del tercer renglón es el residuo o se f(3) y los otros tres

umero son los coeficientes, en orden descendente de las potencias de x del

ociente cuyo grado es uno menos que e r do de d id n ecir:

Ejemplos:

- 9 - 15 18

e

cada termino del tercer ren tiene por suma y no p

E

D

n

c l g a l iv e do, es d

- 3 3 - 4 - 9 7

- 9 - 15 18

3 5 6 25

3 -4 -9 7 3

3 5 6 25

9 15 18

653 2 ++ xx

66

1.-use la división sintética para encontrar el cociente e u y el r sid o de

( ) ( )24785 23 +÷−++ xxxx

Solución:

Se escriben en el primer renglón los coeficientes del dividendo y a la derecha del

ltimo se escribe el simétrico de r, es este caso -2 pues x+2=x-(-2). Se traza una

undo renglón

ebajo del segundo termino del dividendo (8).

-105 5

u

línea que separa el segundo y el tercer renglón. El primer termino del dividendo se

escribe como el primer termino del tercer renglón, después se multiplica dicho

término (5) por el divisor (-2) y el producto (-10) se escribe en el seg

d

5 8 7 -4 -2 5 8 7 -4

Se suman los términos de la segunda columna (8 y -10) y el resultado (-2) se

scribe en la misma columna pero en el tercer renglón. En seguida se multiplica el

egundo término (-2) del tercer renglón por el divisor (-2) y el producto (4) se

scribe en el segundo renglón debajo del rcer termino (7) del dividendo, se suma

con 4 y el resultado (11) se escribe en te r g .

5 8 7 -4 -2 5 8 7 -4 -2

e

s

e te

7 el rce ren lón

-10 4 -10 4 -22

5 -2 11 5 -2 11 -26

Este procedimiento se repite con cada uno de los términos del dividendo hasta

ompletar las columnas del segundo y tercer renglón.

es y el residuo es -26

c

El cociente 1125 2 +− xx

67

2.- Use la división sintética para encontrar el cociente y el residuo de

( ) ( )1135 24 +÷−− xxx

Solución:

Se escriben los coeficientes del dividendo anotando cero como coeficiente de cada

potencia de x que falte.

5 0 -3 0 -1 -1

-5 5 -2 2

5 -5 2 -2 1

El cociente es y el residuo es 1.

3.- Demuestre que x+2 es un factor de f(x)= y encuentre el otro factor.

2255 23 −+− xxx

325 +x

Solución:

1 0 0 0 0 32 -2

-2 4 -8 16 -32

1 -2 4 -8 16 0

Como el residuo es 0 enton

2 234 ++xx

ces x+2 es un factor de f(x). el otro factor es:

168x4+ x+

68

E R IO e O ALUACIÓN

n cada una de las siguientes divisiones encuentre el residuo aplicando el teorema

JE CIC d AUT EV

E

del residuo.

1.- ( ) ( )3298 23 +÷+++ xxxx 2.- ( ) ( )714 −÷− xxx 7 23 +− x

.-3 ( ) ( )1422 23 +÷−+− xxxx 4.- ( ) ( )217653 23 +÷+−+ xxxx

5.- ( ) ( )2502043 − xx 2 −÷+− xx 6.- ( ) ( )298 24 −÷−− xxx

7.- ( ) ( )34172 24 +÷−− xxx 8.- ( ) ( )31877 34 −÷−+− xxxx

9.- ( ) ⎟⎠ ⎞

⎜⎝

+x⎛÷2154 23 xx 10−1+ .- ( ) ( )133 +÷+ xx

Utilice el teorema del factor para demostrar que la primera expresión tiene como

ctor a la segunda.

11.- 516174 23 −+−− xxx

3.- 14.-

5. 16.-

18.-

20.-

se la división sintética para obtener el cociente y el residuo en cada caso:

fa

; x 5 12.- 3;918112 23 ++++ xxxx

1 2;6555 234 −−++− xxxxx 1;6555 234 +−++− xxxxx

1 - 2;12872 234 −++−− xxxxx 3;12872 234 −++−− xxxxx

17.- 2;1228 234 −+−−+ xxxxx 2;82 24 −−− xxx

19.- 1;364914 246 +−+− xxxx 1;364914 246 −−+− xxxx

U

69

21.- ( ) ( )27532 23 −÷−+− xxxx 22.- ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −÷++−

213652 23 xxxx

23.- ( ) ( )221433 23 +÷+++ xxxx 24.- ( ) ( )311942 23 +÷−−+ xxxx

25.- ( ) ( )3711102 234 −÷−−−+ xxxxx 26.- ( ) ( )25211102 234 +÷+−++ xxxxx

27.- ( ) ( )31172 34 +÷+++ xxxx 28.- ( ) ( )15524 +÷+++ xxxx

29.- ( ) ( )378142 235 +÷++− xxxx 30.- ( ) ( )115 −÷− xx

bre las raíces de una ecuación.

n teoría de ecuaciones se establecen y demuestran cada uno de los siguientes

e e ación.

rema fundamental del

Toda ecuación polinomial de grado n 1 tiene al meno una raíz, real o

pleja.

inomio f(x) de grado n er expresado como el producto de n

factores lineales.

plos:

ecuación se puede factorizar y expresar así:

Teorema so

E

teoremas relacionados con las raíces d una cu

Teo algebra

≥

com

Teorema

Cada pol ≥ 1 puede s

Ejem

1.- La 052 =− xx

( )52 −− xxx 05 ==x

2.- La ecuación 062 =−+ xx se puede expresar como:

70

( )( ) 02362 =−+=−+ xxxx

3.- La ecuación se factoriza en: 0652 23 =++− xxx

( )( )( ) 03215 −+ xx 62 23 =−+=−− xxxx

como el producto d sus factores

es.

Toda ecuación polinomial f(x)=0 de grado n tiene exactamente n raíces.

ner una raíz que es

.

.- la ecuación es de segundo grado o sea que deber tener dos

por lo que sus raíces son 3 y 3.

ación de la ecuación es:

En cada caso, la ecuación se ha expresado e

lineal

Teorema:

Ejemplos:

1.- La ecuación x+3=10 es de primer grado por tanto debe te

7

2 0962 =+− xx

raíces. Al factorizar la ecuación nos queda así

( )( ) ( ) 033396 22 =−=−−=+− xxxxx

3.- La ecuación 030114 23 es de tercer grado, por lo que debe tener

tres raíces. La factoriz

=+−+ xxx

( )( )( ) 053230114 23 =−+−=+−− xxxxxx

Es decir, sus raíces son 2, -3 y 5

Cuando los factores son diferentes como en el ejemplo 3, las raíces son diferentes

y cada una de ellas se dice que es una raíz simple. Si el mismo factor se presenta

os veces, una raíz ocurre dos veces y se le llama raíz doble, tal es el caso del

a raíz triple.

d

ejemplo 2. De presentarse un factor tres veces, habrá un

71

En general, cuando un factor ocurre m veces, a la raíz correspondiente se le

ama raíz de multiplicidad m. Una raíz doble se cuenta como dos raíces, una raíz

omo m raíces. Al contar de

esta manera una ecuación polinomial de grado n, tiene exactamente n raíces.

ll

triple como tres raíces y una raíz de multiplicidad m c

4.- La ecuación ( ) ( ) ( ) 0532 =++− xxx es de sexto grado. Tiene a 2 como una

raíz triple

23

, -3 como una raíz doble y -5 como raíz simple. El número toral de raíces,

mando en cuenta la multiplicidad de cada raíz, es de seis.

eore

i el numero complejo

to

T ma

S 0, ≠+ bbia es una raíz de una ecuación polinomial con

reales, entonces el numero complejo a-bi es también una raíz.

mplos:

.- La ecuación tiene como raíces

coeficientes

Eje

1 022 22 =+− xx ixix −=+= 1,1 21 las raíces son

2.- La ecuación tiene como raíces , las dos

ultimas son números complejos conjugados.

números complejos de la forma a+bi, a-bi que solo difieren en el signo, por lo

que se dice que son conjugados.

026523 =++− xxx -2, 2 + 3i, 2 -3i

Teorema

Si el irracional cuadrático ( )baba −+ es una raíz de una ecuación polinomial

f(x)=0 con coeficientes racionales, entonces ( )baba +− también es una raíz.

Ejemplos:

En este teorema a y b son racionales y b es irracional.

72

1.- La ecuación 032 =−x tiene las raíces 3 y − 3

2.- La ecuación 0162 =+− xx tiene las raíces 3 + 2 2 y 3 - 2 2

Teorema:

Si el racional irreducible c

,012

21

10 =+++++ −−−

onnnnn aaxaxaxaxa L

bes una raíz de la ecuación de coeficientes enteros

≠

ntonces b es un factor de y c es un factor de

0

E na .oa

Ejemplos

1.- si cb

es una raíz racional de ,03106 23 =+−+ xxx entonces los posibles valores

de b son los divisores de 3, que son ,3,1 ±± y los de c son divisores de 6, que

r tanto, las p ales sonson .6,3,2,1 ±±±± Po osibles raíces racion .23,

61,

31,

21

±±±

,3,1 ±±±

.- Cuando la raiz de 2 ,1=oacb

es un numero entero que es facto de

++−= xxxx

na

En la ecuación ( ) ,065 =−xf sus posibles raíces racionales

deben ser factores de -6, es decir

55 234

.6,3,2,1 ±±±±

Utilizando la división sintética se encuentra que ( ) 01 =f

1 -5 5 5 -6 1

1 -4 1 6

1 -4 1 6 0

Entonces ( ) ( )( )641 23 −++−= xxxxxf donde se le llama la 64 23 ++− xxax

primera ecuación reducida. En esta ( ) .01 =−f

73

1 -4 1 6 - 1

-1 5 -6

1 -5 6 0

Por lo que ( ) ( )( )( )6511 2 +−+−= xxxxxf en la que recibe el nombre de

segunda ecuación reducida. Expresándola como el producto de sus factores:

652 +− xx

( ) ( )( )( )( ) 03211 =−−+−= xxxxxf

Por tanto, las raíces racionales de ( )xf =0 son 1, -1, 2, 3.

Teorema:

+−nx

Ejemplos:

a división sintética de

Sea el polinomio con coeficientes reales.

( ) 0;12

221

1 ⟩+++++= −on

nno aaxaxaaxaxaxf L

2

1.- Si en l ( )xf entre ( )rx − siendo r positivo todos los

to ces r es

r de las raíces reales de la ecu

términos de la tercera línea son alternadamente positivos o cero, en n

una cota superio ación ( ) 0=xf

2.- Si en la división sintética de ( )xf entre ( )rx − siendo r negativo los términos

de la tercera línea son alternadamente po tivos y negativos (o cero) entonces r

es una cota ferior de las raíces reales de la ecuación

si

in ( ) 0=xf .

.- Hallar cotas superior e inferior de las raíces reales de

as racies racionales posibles son:

3 04423 =+++ xxx

Solucion:

L .4,2,1 ±±±

74

a) ot up ior

1 -1 -4 4 2 1 -1 -4 4 3

C a s er

1 -1 -4 4 1

1 0 -4 2 2 -4 3 6 6

1 0 - -2 0 1 2 2 10 4 0 1 1

Como los términos de la tercera línea son positivos, una cota superior de las raíces

es 3, es decir, no hay raíces mayores que 3.

-1

1 -1 -4 4 -1 1 -4 4 -2

-1 2 2 -2 6 -4

1 -2 -2 6 1 -3 2 0

Los términos de la tercera línea son alternadamente positivos y negativos (o cero),

na cota inferior de las raíces es -2, es decir, no hay raíces reales menores que -2.

r en

u

Estos resultados se pueden dispone una tabla de división sintética.

1 -1 -4 4

3 1 2 2 10

2 1 1 -2 0

1 1 0 -4 0

-1 1 -2 -2 6

-2 1 - 3 2 0

75

Los dan en la primera columna y a la derecha de cada uno están

l cociente y el residuo de cada división, por lo que de acuerdo con el teorema del

r id la íc de ec aci so , -2

E la la e b rvarse que para -2 té min s de a l a e ign s

alternados to dic qu -2 u c in rio pa , l té in e

nea son positivos, por tanto, 3 es una cota superior.

la línea correspondiente solo tenga

alores positivos (o cero) y para r=-1,-2,-3,.. hasta que en la línea se obtenga

valores son signos alternados. De esta manera se determinaran cotas superior e

in eri o , ore en e los que están todas las raíces reales de bosquejo de

una funció oli mi .

s teoremas

anteriores con el propósito de encontrar l ación polinomial.

Dichas raíces reales corres nden os c rea de la función polinomial, es

decir, son los valores de x para los cuales

valores de r que

e

es uo, s ra es la u ón n 1 2 y .

n tab pu de o se r= os r o l íne tien n s o

, es in a e es na ota fe r; ra r=3 os rm os d la

lí

Cuando los coeficientes de ( )xf no son muy grandes, se pueden hacer una tabla

como la anterior para r=1,2,3,… hasta que

v

f or, sea val s tr

n p no al

La grafica de una función polinomial de grado n=3 y n=4

Para trazar la grafica de una función polinomial nos apoyamos en lo

as raíces reales de la ecu

po a l eros les

( ) 0=xf . Geométricamente representan

los puntos de intersección c el ej x, pue en es untos y=0.

Ejemplos.

1.- Bosquejar la grafica de xxx

Solución:

Haciendo =+−− x la cual se resolvió en

el ejemplo anterior, encontrándose como raíces 1, 2 y -2. Estos valores

corresponden a los ceros reales de la funció

on e s os p

( )f .4423 +−−= x

( ) 0=xf ,04423x x

n, ya que

, se obtiene la ecuación

76

( ) ( ) 414111 23 +−−=f

04411 =+−−=

( ) ( ) 424222 23 −−=f +

04848 =+−−=

( ) ( ) ( ) ( ) 424222 23 +−−−−−=−f

04848 =++−−=

jar la g 2 −+ xx

2.- Bosque rafica de ( ) 5 34 +−= xxxf

Solución:

.655

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10 -5 5 10 1

f x( ) = x3-x2-4⋅x( )+4

77

Al realizar se obtiene la ecuación cuyas raíces

son -1, 1, 2 y 3, que corresponden a los ceros reales de la función.

Teorema

Si es un polinomio con coeficientes reales y si a y b son números reales tales

y son signos opuestos, entones la ecuación

( ) 0=xf 06555 234 =−++− xxxx

( )xf

que ( )af ( )bf ( ) 0=xf tiene al menos

una raíz real entre a y b

ste teorema se justifica por el hecho de que la función E ( )xfy = es continua

cuando es un polinomio de coeficientes reales.

3.- bosquejar la grafica de

Solución:

De acuerdo con el teorema correspondiente, si el racional irreducible

( )xf

( ) .6318288 23 +−−= xxxxf

cb

es una raíz

de la ecuación , entonces b es un factor de 63 y c es un factor de 8.

Los factores de 63 son

( ) 0=xf

,63,9,7,3,1 ±±±±± los factores de 8 son por

tanto, las posibles raíces de

,8,4,2,1 ±±±±

cb

son

.863,

463,

263,63,

89,

49,

29,9,

87,

47,

27,7,

83,

43,

23,3,

81,

41,

21,1 ±±±±±±±±±±±±±±±±±±±

ado, al encontrar una raíz, la primera reducida es

ón de segundo grado que se puede resolver por la formula general para

Como la ecuación es de tercer gr

una ecuaci

encontrar las otras dos raíces.

78

Para ilustrar el uso del teorema de este apa la de división

sintética con la cual obtendremos además las coordenadas que p

rtado haremos una tab

ertenecen a la

rafica de la ecuación.

g

8 -28 -18 63

Cota superior 5 8 12 42 273

4 8 4 -2 55

Cambio de signo

3 8 -4 -30 -27

2 8 -12 -42 -21

Cambio de signo

1 8 -20 -38 25

-1 8 -36 18 45

Cambio de signo

Cota inferior -2 8 -44 70 -77

-3 8 -52 138 -351

-4 8 -60 222 -825

-5 8 -68 -322 -1547

En la tabla puede observarse que para x=5 los valores de la línea tienen signo

positivo, por tanto 5 es una cota superior. Para x=-2 los valores de la línea tienen

signos alternados, por lo que -2 es una cota inferior.

79

También se puede ver que ( ) 273 −=f y ( ) 554 =f tienen signo contrario, por lo

que de acuerdo con el teorema hay una raíz real entre x=3 y x=4.

Otro cambio de signo ocurre para ( )1 25−=f y ( ) 212 −=f así como para

y Por tanto, las raíces de la ecuación están entre -2 y -1,

tenidos al principio se encuentra que las

solucione de la ecuación son

( ) 772 −=−f ( ) .451 =−f

3 y 4. al relacionar estos datos con los ob

.27

23,

23 y−

-3 3

8 -28 63 2 8 -28 2 -18 -18 63

-12 -63 -24 -63 60 12

8 -40 0 8 -42 0 42 -16

7

8 -28 8 63 2 -1

28 0 -63

8 0 8 0 -1

En consecuencia, los ceros reales de la función son .273

2,

23 y−

La grafica de la función para 42 ≤≤− e:

x es la siguient

80

80

70

60

50

40

30

20

10

-10

-20

-30

-40

-50

-60

-70

-80

-20 -15 -10 -5 5 10 15 20

f x( ) = 8⋅x3-28⋅x2-18⋅x( )+63

ara una mejor aproximación del trazo de la grafica se calcularon

P

( ) ⎟⎠⎞

⎝⎠⎝⎠⎝ 222

4.- Bosquejar la grafica de

Solución:

⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛−

5,1,0,1 ffff

( ) .35 23 +−= xxxf

81

82

Las posibles raíces racionales de la ecuación ( ) 0=xf son .31 ±± y ninguna de esta

hace que , esto significa que la ecuación no tiene raíces reales racionales,

pero es posible que pueda tener raíces reales irracionales. De existir éstas, las

podemos obtener de manera aproximada por medio de un método al que se le

llama de aproximación sucesiva.

La siguiente es una tabla de división sintética de la ecuación.

1 -5 0 3

( ) 0=xf

Cota superior 5 1 0 0 3

Cambio de signo

4 1 -1 -4 -13

3 1 -2 -6 -15

2 1 -3 -6 -9

1 1 -4 -4 -1 Cambio de signo

0 1 -5 0 3

-1 1 -6 -6 -3 Cambio de signo

Cota inferior -2 1 -7 14 -25

-3 1 -8 24 -69

-4 1 -9 36 -141

-5 1 -10 50 -247

En la tabla se observa que las raíces reales de la ecuación deben estar

comprendidas entre la cota superior y la cota inferior. La cota superior es 5, pues

la línea correspondiente solo tiene valores positivos o cero, la cota inferior es -2

porque en esa línea los valores tienen signos alternados.

También se observa que ocurre cambio de signo en -1 y 0, 0 y 1, 4 y 5. Esto

acionales, las cuales

stán en los intervalos indicados.

A continuación su puede aproximar la raíz irracional entre 4 y 5. Localicemos los

puntos y (5,3).

significa que la ecuación tiene tres raíces reales que son irr

e

de coordenadas (4,-13)

8

6

4

2

-2

-5 5

Al unir con u a recta punt loca os v os que probablemente la raíz

racional de la ecuación esta mas próxima a 5 que a 4. Se divide en 10 partes el

tervalo de 4 a 5 y se usa la división sintética.

n los os lizad em

ir

in

83

1 -5 0 3

4.7 1 -0.3 -1.41 -3.627

4.8 1 -0.2 -0.96 -1.608

Cambio de signo

4.9 1 -0.1 -0.49 0.599

La figura anterior nos indica que la raíz irracional está entre 4.8 y 4.9,

probablemente más cerca de 4.9

1 -5 0 3

4.86 1 -0.14 -0.6804 -0.3067

4.87 1 -0.13 0.6331 -0.0832

Cambio de signo

4.88 1 -0.12 0.5856 0.14227

-5 5

84

Entonces la raíz irracional está entre 4.87 y 4.88. si dividimos ese intervalo y

procedemos como antes.

-5 0 3 1

4.872 1 -0.128 -0.6236 -0.03826

4.873 1 -0.127 -0.618 -0.01576

Cambio de signo

4.874 1 -0.126 -06141 0.00676

Calculando y ( ) 01575.0873.4 −=f ( ) ,00675.0874.4 =f esto significa que la raíz está

ntre x=4.873 y x=4.874. e

85

El estudiante deberá verificar que las otras dos raíces, hasta dos decimales, son

x=-0.72 y x=0.85.

EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN:

Bosquejar la grafica de :

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

16

14

12

10

8

6

4

2

-

( ) xxxxf 82 23 −−=

( ) 652 23 −−−= xxxxf

( ) 652 23 +−−= xxxxf

( ) 863 23 −−+= xxxxf

( ) 45 24 +−= xxxf

( ) 673 −−= xxxf

( ) 64 23 ++−= xxxxf

2

-4

-6

-8

-10

-12

-14

-16

-10 -5 5 10

f x( ) = x3-5 2( )+3⋅x

86

8.-

10.-

Para cada ecuación aproxime hasta dos decimales una raiz real en el intervalo que

se indica.

11.-

12.-

13.-

14.-

15.-

16.-

17.-

18.-

9.-

0.-

PIEDADES DE LA FUNCIONES

los ejemplos de fu ciones estudiadas hasta ahora se observa ciertas

a) En algunas funciones, a elementos diferentes del dominio les corresponden

diferentes imágenes, además se pueden dar las siguientes situaciones: que

cada elemento del contradominio sea imagen en algún elemento del

domino, dicho caso se presenta al relacionar cada entidad federativa de la

Republica Mexicana con su respectiva capital. En otra situación algunos

( ) 123543 23 +−−= xxxxf

9.- ( ) 4756 23 +−−= xxxxf

( ) 1837 234 ++−−= xxxxxf

54;035 23 <<=+− xxx

51;0134 23 <<−=++− xxxx

12;043 23 −<<−=−−− xxxx

12;043 23 −<<−=+−− xxxx

43;04753 23 <<=−−+ xxxx

21;0134 23 <<=++− xxxx

01;054124 23 <<−=++− xxxx

21;0603410 23 <<=−++ xxxx

1 21;0833 <<=−+ xxx

2 21;034 <<=−− xxx

PRO S

En n

características que las distinguen:

87

elementos del contradominio quedan sin relacionar, es decir, no son imagen

de algún elemento del domino; por ejemplo, al relacionar los automóviles

de una determinada entidad federativa con sus respectivas matriculas,

algunos juegos de placas no corresponden a ningún automóvil.

b) En otras funciones cada elemento del contradominio es imagen de por lo

menos un elemento del dominio, como sucede en los casos siguientes:

• Si se relaciona cada entidad federativa de la Republica Mexicana con

su respectiva capital, entonces el conjunto de imágenes ( C) es igual

al contradominio (B), es decir, C=B

• Si se relacionan las letras del alfabeto español con vocal o

consonante, entonces cinco elementos del domino tendrán como

imagen vocal y los 22 restantes tendrán como imagen consonante,

por tanto, C=B

• Si para un espectáculo cuyo precio de entrada es único se relaciona a

los concurrentes con el precio de su boleto, entonces cada

espectados tiene la misma imagen, por lo cual, C=B

En otras funciones se cumplen las condiciones de los incisos a) y b), es

decir, a elementos diferentes del domino les corresponden imágenes

diferentes; además cada elemento del contradominio es imagen de algún

elemento del domino, tal es caso de la relación que se establece entre las

entidades federativas y sus respectivas capitales, o entre las personas y sus

huellas dactilares.

ciso a) tiene la propiedad de que a elementos

fun

c)

Función inyectiva

Las funciones descritas en el in

diferentes del dominio les corresponden imágenes diferentes, y se les llama

ciones inyectivas.

88

Una

xf

función BAf →: es inyectiva si para todo 2,1 xx de 21, xxA ≠ implica que

) ( )21 xf≠ o lo que es lo mismo, si ( ( ) ( )21 xfxf = entonces .21 xx =

Ejemplo: Sea Ν→Ν:f tal que ( ) 2xxf =

Algunos de los pares ordenados que pertenecen a la función son:

21=f

uno solo d

Funció

Las funci

elemento

dominio. S ea C la imagen del dominio de . Si cada elemento

del co

domino d

bien, una n B implica que

f

( )( )( )( ){ },...16,49,34,1, y en ellos se observa que cada imagen corresponde a

e los elementos del dominio.

n suprayectiva

ones descritas en el inciso b) tienen la propiedad de que todo

del contradominio es imagen, bajo la función, de algún elemento del

ea BAf →: S f

njunto B, o contradominio de f , es imagen de un elemento de su

e tal manera que B=C, entonces f es una función suprayectiva, o

función es suprayectiva si y solo si para todo y e

existe x en A de tal forma que y= ( )xf .

ho en otras palabras, una función es suprayectiva, si cada elemento del

tradominio es imagen de cuando menos un elemento del dominio. A la

ción suprayectiva también se le llama función sobre.

ción biyectiva

Dic

con

fun

Fun

as funciones descritas en el inciso c) son inyectivas y suprayectivas a la vez, y

s biyectivas

e lo ya expuesto pudiera pensarse que todas las funciones son,

necesariamente, inyectivas, suprayectivas o biyectivas, por tanto, es

L

se llaman funcione

Una función BAf →: es biyectiva si y solo si es inyectiva y suprayectiva. A la

función biyectiva también se le llama función biunívoca

D

89

conveniente a e algunas no poseen las p edades de ninguna de las

sodichas. Por ejemplo, considérese la función f

clarar qu ropi

funciones su que relaciona a

ada ser humano del conjunto H con su respectiva edad, expresad en años del c

conjunto Ν , entonces Ν≠H: f tal que ( ){ }yxf ,= x ser humano tiene y años

la misma edad, es decir, la misma im

seres humanos cuya edad sea por ejemplo de 200 o mas años: por tanto dicha

función tampoco es biyectiva.

de edad no es una función inyectiva pues habrá muchos humanos que tengan

agen; no suprayectiva pues no existen

90

EJE

I. I

div ar las fun dicadas

encuentra f(4)

. Efectúa la siguiente división por el método de división sintética:

x³ +2-5x+2x²) ÷(x+1)

. Utiliza la división sintética para encontrar el residuo de la división

x³-24x+6) ÷(x-2)

. Determina si (x+3) es un factor polinomio p(x) = 2x³+x²-3x +5

. Determina para que valor de la constante k, (x-3) es un factor del p(x)=

2x³+3x²-23x +k

. Instrucciones: Dado el polinomio p(x)= x³-2x²-13x -10, contesta las

iguientes preguntas Nº 8, 9, 10, 11 y12.

. Determina el cociente que resulta de dividir dicho polinomio por x+3. Utiliza

la división sintética.

. Determina el residuo que resulta de la división anterior.

0. Halla p(-4) por división sintética

1. Determina si x+2 es un factor de p(x)

2. Determina si x-5 es un factor de p(x)

3. Determina el cociente que resulta de dividir dicho polinomio por x+3. Utiliza

la división sintética

III. Instrucciones: Factoriza completamente las siguientes expresiones algebraicas

de las preguntas Nº 14, 15 Y 16

4. x³+x²-22x -40

5. x³+14x²+61x-84

16. 2x³+3x²-17x-30

RCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN FINAL DE LA SEGUNDA UNIDAD

nstrucciones: en los primeros tres ejercicios utiliza el teorema del residuo y la

isión sintética para evalu ciones in

1. Dada f(x)= 2x³-8x²-7x+20; halla f(-2) .

2. Dada f(x)= 2x4-8x²-7x³-20; evalúa f(-3)

3. Dada f(x)= 2x 5-8x²-7x³-2;

4

(3

5

7

6

7

II

s

8

9

1

1

1

1

1

1

91

17. Determina cuál de los siguientes números es un cero de f(x)= x4 +3x³+12x-

16

de Descartes para contestar

las preguntas Nº 19 y Nº 20 . Dada f(x)= 4x³+3x²+x+6

f(x)

f(x)

e corresponder solo una de la

f(

18. Halla los ceros del polinomio f(x)=(x-1) ²(x+3)(x+1) ³

19. IV. Instrucciones: Utiliza la regla de los signos

20. El número de ceros positivos posibles de

21. El número de ceros negativos posibles de

22. Relaciona las siguientes funciones haciéndol

gráfica de la siguientes figuras

f x( ) = -2⋅x⋅ x-2( )⋅ x-3( )

x) = x4⋅ x-2( )2⋅ x-3( )

f x( ) = x2⋅ x-2( )⋅ x-3( )

f x( ) = 2⋅x⋅ x-2( )⋅ x-3( )

(a)

92

93

4

2

(b)

-2

-4

5-5

93

(c)

4

2

-2

-4

-5 5

94

2

-2

-4

-6

-8

-5 5

(d)

4

2

-2

-4

-5 5

¿A cuál de las siguientes ecuaciones le podría corresponder la gráfica de la figura?

Coloca el inciso que hace verdadera su relación.

(a) f(x)= -3x(x-1) ²(x-3)

(b) f(x)= 4x³(x-1)(x-3) ²

(c) f(x)= x³ (x-1) ²(x-3)

(d) f(x)= x (x-1) (x-3)

95

( )

( )

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-5 5 10 15

8

6

4

96

2

-2

-4

-6

-8

-5 5 10 15

( )

( )

16

14

12

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-14

-16

-18

-10 -5 5 10 15 20 25 30-15

97

16

14

12

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-14

-16

-18

-15 -10 -5 5 10 15 20 25 30

BIBLIOGRAFÍA PARA LA SEGUNDA UNIDAD

ÁSICA

íz Campos, Francisco J. Matemáticas IV. Bachillerato General. Publicaciones

ultural, México2005.

. Ruiz Basto, Joaquín. Precálculo: funciones y aplicaciones. Matemáticas IV.

B

1. Ort

C

2

Bachillerato General. Publicaciones Cultural, México 2005. (145 pp.).

3. Stewart, James, y otros. Precálculo. 3ª ed., Internacional. Thomson Editores.

México, 2000 (777 pp.).

COMPLEMENTARIA

1. Barnett, Raymond. Precálculo: funciones y gráficas. McGraw Hill Interamericana, México, 2000. 2. Larson, Ronald, y otros. Álgebra. Publicaciones Cultural. México, 1996. (620 pp.). 3. Leithold, Louis. Matemáticas previas al Cálculo. 3ª edición, Oup-Harla. México, 1994. 4. Sullivan, M. Precálculo. 4ª edición, Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. México, 1997. PÁGINA WEB Portal del ILCE sobre actividades de formación docente y académica: www.cecte.ilce.edu.mx

98


LOGÍA PARA LA ASIGNATURA DE

ELEAZAR SASHIDA ROJAS JORGE LUIS ESTRADA SORIA



ANTO

MATEMÁTICAS IV

UNIDAD III

ASESORES DEL SEA-UNIDAD PÁTZCUARO :

99

Obj d la Asignatura de matemáticas IV

El estudiante: Resolverá problemas o situaciones, que conlleven el manejo de



que de

tolerancia y respeto, que fa bilidades de exploración,



Objetivos particu

El estudiante: Resolverá problemas so

prácticos, mediante ación de posibles

asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, en un ambiente escolar que favorezca

la reflexión de análisis y razonamiento práctico, así como el desarrollo de actitudes

de responsabilidad, cooperación, oración hacia el entorno en el

que se desenvuelve.


El tema centr n de función

sencial para el estu itudes variables que

intervienen en cualquie iante un instrumento

til para modelar y analizar gran cantidad de situaciones en todos los campos del

onocimiento. Así, el estudio de las funciones, en el cuarto semestre del Plan de

studios del bachillerato, posibilita no sólo que el estudiante concluya el

componente de formación básica conso dando y ampliando sus conocimientos


comportamiento de las funciones trigon métricas abordados en Matemáticas II


representación gráfica ante el estudio de la


eetivos General

las

impliquen el concepto matemático de función , en un ambiente escolar

vorezca el desarrollo de ha

lares de la Unidad Temática III

bre funciones racionales, teóricos o

el análisis del dominio, el rango y la determin

iniciativa y colab

al es el análisis funciones por lo que se estudia la noció

e dio de la Dependencia de las magn

r fenómeno, proporcionando al estud

ú

c

e

li

o

de ecuaciones adquiridos medi

100


es y funciones, funciones polinomiales,

nciones racionales y funciones exponencial y logarítmica. Su tratamiento tendrá

ideas y nociones, es decir,

obtención de los mismos en otros tipos de funciones,

articularmente en la primera unidad del curso, donde el profesor: a) desde el

ico, hará referencia a los ejes y la gráfica destacando en





Contenidos del programa de matemáticas IV

Los contenidos sobre funciones que serán abordados en el curso de Matemáticas

IV comprenden los temas de: relacion

fu

un carácter introductorio, de primer acercamiento a las






algebraicas para la

p

punto de vista geométr













101



3.1 FUNCIONES RACIONALES

Una función racional es aquella de la forma f(x

)=P(x)/Q(x), donde el numerador y

icas, Q(x) es diferente de cero

Si el grado de P(x) es una unidad mayor que el grado de Q(x) existe una

asíntota oblicua, la misma, tanto si x ® +¥ como si x ® -¥

do, hay una asíntota horizontal en y=m/n

s respectivos de mayor grado de P(x) y Q(x).

el denominador son polinomios o de formas polinóm

y f(x) es irreducible. Por ejemplo:

1. f(x)= 3x-5 / x²-8

2. f(x)= 10 / x

3. f(x)= x-3 / x² -7x+12

El dominio de definición de una función racional es el conjunto de todos los

números reales, excepto aquellas que anulan su denominador.

Para analizar una función racional debemos tener en cuenta las siguientes

características observables:

• El dominio está formado por los valores de R excepto los que anulan el

denominador.

• Para cada valor de x que anula el denominador tenemos una asíntota

vertical: Q(a)=0 « x=a es una asíntota vertical de f(x).

• Si x=a es una raíz simple de Q(x)=0, las ramas laterales de la asíntota x=a

tienen sentidos distintos, una hacia +¥ y la otra a -¥. Si x=a es una raíz

doble, ambas ramas van o hacia +¥ o hacia -¥.

•

• Si P(x) y Q(x) tienen el mismo gra

siendo m y n los coeficiente

102

• Si el grado de P(x) es menor que el de Q(x), hay una asíntota horizontal en

Ejemplo analizado 1:

a) D o esta definida para x2-x-6=0 -> x=-2, x=3. Df=R- {-1,1}

b) ión es Impar pues f(-x)=-f(x), por lo que es simétrica respecto

del

• Eje OX: f(x)=0 <-> x =0 -> x=0

d) Regiones:

x (-1,0) (0,1) (1,+∞)

y=

Podemos encontrar puntos singulares y puntos de inflexión.

0.

Analizar y representar la función f(x)=x3/(x2-1)

ominio: La función n

Simetría: La func

origen (0,0)

c) Cortes con los ejes:

3

• Eje OY: f(0)=0 -> y=0

(-∞,-1)

x3 - - + +

x+1 - + + +

x-1 - - - +

f(x) - + - +

e) Asíntotas

•

:

Verticales: x=-1, x=1

• Oblicuas:

=1; =0 «y=x

103

f) P t

• f'(x)=x2(x2-3)/(x2-1)2

2 2 )=0 ® x=0; x=Ö3; x=-Ö3

• f(0)=0; f(-Ö3)=-3Ö3/2; f(Ö3)=3Ö3/2

• f''(x)=(2x3+6x)/(x2-1)3

• f''(-Ö3)<0; x=-Ö3 es un máximo relativo

• f''(0)=0, x=0 es un posible punto de inflexión

« x=0. Este es único punto de inflexión posible, para el que tenemos que

comprobar si cambia en él la curvatura. En vez de acudir a f'''(0), como resulta tedioso el cálculo, basta

que f''(x) cambia de signo al pasar por x=0:

En efecto f''(0-h)=f''(-h)>0 y f''(0+h)<0 con h>0 y arbitrariamente pequeño.

La curva cambia de ncava x=0. P flexión co orizontal.

un os singulares:

• f'(x)=0 « x (x -3

• f''(Ö3)>0; x=Ö3 es un mínimo relativo

g) Puntos de Inflexión

• f''(x)=(2x3+6x)/(x2-1)3

• f''(x)=0 « 2x3+6x=0 « 2x(x2+3)=0

comprobar

convexa a có al pasar por unto de In n tangente h

104

En los siguientes esquemas se pueden ir siguiendo el proceso

constructivo de la función f(x)=x3/(x2-1) que es analizada

anteriormente en el ejemplo 1.

Apareciendo en los esquemas los distintos elementos necesarios para

pod r

Paso 1 Paso 2: Simetría

aso 3: Cortes con los Ejes Paso 4: Regiones

oordenados

e dibujar la gráfica:

: Dominio

105

P

c

Paso 5: Asíntotas Paso 6: Puntos singulares

y de inflexión.

Paso 7: Trazado de la curva

106

Obsérvese que no es necesario anal r los intervalos de crecimiento y

las regiones, las asíntotas y los puntos de

inflexión, estos se deducen fácilmen

x (−∞,−√3) (−√3,√3) (√3,+∞)

iza

la d

te:

decrecimiento a través del signo de erivada, ya que al disponer de

máximo, mínimo y de

f(x) CRECE DECRECE CRECE

Los intervalos de concavidad y convexidad también se deducen

cilmente a partir de los elementos obtenidos.

(−∞,−1) (-1,0) (0,1) (1,∞)

fá

x

f(x) CÓNCAVA CONVEXA CÓNCAVA CONVEXA

Obsérvese cómo la curvatura cóncava o de

inflexión o en los de discontinuidad.

Ejercicios de autoevaluación

Analizar las siguientes funciones racionales y representar su gráfica.

o convexa cambia en el punt

107

Soluciones:

2

f(x)<0: (-∞, ,1)

f(x)>0: (-1,-1/2)U(1,+∞)

• Asíntotas:

Verticales: x=-1/2, x=1

Puntos s :

Máximo: (0,-1)

Mínimo: (-2,-1/9)

f(x)

1. (x+1)/(2x2-x-1) . (x3+x2)/(2x2+x) . (x2-2x+2)/(x-1) . x/(x-2)2

5. |x|/(x+1) . (1-|x|)/(1+|x|)

2

3

4

6

1: f(x)=(x+1)/(2x -x-1)

• Dominio: No está definida en x=-1/2 yen x=1

• Cortes: (0,-1), (-1,0)

• Regiones:

-1)U(-1/2

Horizontal: y=0

• ingulares

108

2: f( /(2x2+x)

• Dominio: No está definida en x=-1/2 y en x=0

• Simplificando la expresión obtenemos: f(x)=(x2+x)/(2x+1)

• Cortes con los ejes: (-1,0).

s:

f(x 0

a curva no la corta. Se aproxima por

debajo cuando x → +∞; se aproxima por arriba cuando x → -∞

• Puntos singulares: No tiene.

• xión: No tiene

4

2

-2

-4

x)=(x3+x2)

-5 5

f x( ) = x+1

2⋅x2-x-1

-10

• Regione

f(x)<0: (-∞,-1)U(-1/2,0)

)> : (-1,-1/2)U(0,+∞)

• Asíntotas:

Vertical: x=-1/2

Oblicua: y=0.5x+0.25 L

Puntos de infle

109

f''(x)=-2/(2x+1)3. Cóncava: x > -1/2; convexa: x < -1/2

3:

•

• Cortes con los ejes coordenados: (0,-2)

Vertical: x=1

Oblicua: y=x-1. La curva no la corta. Se aproxima por arriba para

bajo para x→-∞.

ulares:

4

2

-2

-4

-5 5

f x( ) = x3+1

2⋅x2-x-1

f(x)=(x2-2x+2)/(x-1)

Dominio: No está definida en x=1

• Regiones:

f(x)<0:(-∞, 1); f(x)>0: (1,+∞)

• Asíntotas:

x→+∞; se aproxima por de

• Puntos sing

110

Mínimo (2,2)

Máximo (0,-2)

3• Puntos de inflexión: No tiene. f''(x)=2/(x-1) . Cóncava: (-∞,1);

convexa: (1,+∞)

4

2

-2

-4

-5 5 10

f x( ) = x2-2⋅x( )+2

x-1

4: f(x)= x/(x-2)2

• Dominio: No está definida en x=2

• Cortes con los ejes coordenados:(0,0)

,0); f(x)>0: (0,+∞)

-Vertical: x=2

• Puntos singulares: Mínimo (-2,-1/8)

• Regiones: f(x)<0: (-∞

• Asíntotas:

-Horizontal: y=0. La curva no la corta.

111

• Puntos de Inflexión: No tiene. f''(x)=4/(x-2)2 > 0 para todo x:

Convexa

5: f(x)=|x|/(x+1)

Se descompone en dos trozos:

x≥0

f(x -

El análisis se hace s

4

2

-2

-4

-5 5

f x( ) = x

x-2( )2

f(x)=x/(x+1), para

)= x/(x+1), para x<0

eparadamente, en cada trozo.

112

• Dominio: No está definida en x=-1

• Cortes con los ejes coordenados: (0,0)

: f(x)<0: (-∞,-1); f(x)>0: (-1,+∞)

- Vertical: x=-1

2

• Regiones

• Asíntotas:

-Horizontales: y=1 por la derecha sin cortarla. y=-1 por la

izquierda sin cortarla.

• Información de la derivada primera: f'(x)=-1/(x+1) , si

x<0; f'(x)=1/(x+1)2, si x>0. No existe en x=0 porque f'-

(0)≠f'+(0): existe un punto anguloso y es mínimo local.

f(x) es decreciente para x<0 y creciente para x>0: No hay

singularidades.

• Información de la derivada segunda: f''(x)=2/(x+1)3, si

x<0; f''(x)=-2/(x+1)3, si x>0.

Cóncava: (-∞,-1)U(0,+∞). Convexa: (-1,0)

No está definida f''(0), pues f''-(0) ≠f''+(0) pero x=0 es punto de

inflexión al cambiar la curvatura de convexa a cóncava.

113

4

2

-2

-4

-5 5

f x( ) = x+1x

6: f(x)=(1

f(x)=(1-x)/(1+x), para x≥0

f(x)=(1+x)/

trozo.

-1,0)

• Regiones: f(x)>0: (-1,1); f(x)<0: (-∞,-1)U(1,+∞)

• Asíntotas:

- Horizontales: y=-1 por la derecha y por la izquierda, sin cortarla y con

aproximación por arriba.

-|x|)/(1+|x|)

Se descompone en dos trozos:

(1-x), para x<0

El análisis se hace separadamente, en cada

• Dominio: Está definida para todo x en R

• Cortes con los ejes coordenados: (0,1), (1,0), (

114

- Verticales: No hay

- Oblicuas: No hay

• Información de la derivada primera: f'(x)=-2/(1+x)2, si x>0;

f'(x)=2/(1-x)2, si x<0. No existe en x=0 porque f'-(0)≠f'+(0):

existe un punto anguloso y es máximo local. No hay puntos

singulares.

• Información de la derivada segunda:f''(x)=4(1+x)3, si x>0;

f''(x)=4(1-x)3, si x<0. Por tanto f''(x)>0 en su dominio y f(x) es

convexa en su dominio. No existen puntos de inflexión.

4

2

-2

-4

-5 5

f x( ) = 1- x1+ x

115

BIBLIOGRAFÍA PARA LA TERCERA UNIDAD

BÁSICA 1. Ortí

Cultural, México2005. 2. Ruiz Basto, Joaquín. Precálculo: funciones y aplicaciones. Matemáticas IV. Bachillerato General. Publicaciones Cultural, México 2005. (145 pp.). 3. Stewart, James, y otros. Precálculo. 3ª ed., Internacional. Thomson Editores. México, 2000 (777 pp.).

z Campos, Francisco J. Matemáticas IV. Bachillerato General. Publicaciones

COMPLEMENTARIA

1. Barnett, Raymond. Precálculo: funciones y gráficas. McGraw Hill Interamericana, México, 2000.

2. Larson, Ronald, y otros. Álgebra. Publicaciones Cultural. México, 1996. (620 pp.).

3. Leithold, Louis. Matemáticas previas al Cálculo. 3ª edición, Oup-Harla. México, 1994.

4. Sullivan, M. Precálculo. 4ª edición, Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. México, 1997.

PÁGINA WEB Portal del ILCE sobre actividades de formación docente y académica: www.cecte.ilce.edu.mx

116



LOGÍA PARA LA ASIGNATURA DE

ATEMÁTICAS IV

ELEAZAR SASHIDA ROJAS.

ANTO

M

UNIDAD IV

ASESOR DEL SEA-UNIDAD PÁTZCUARO :

117


118

Objetivos General de la Asignatura d matemáticas IV

El estudiante: Resolverá lleven el manejo de las







Objetivos particulares de la Unidad Temática IV

Resolverá problemas con funciones exponenciales y logarítmicas, teóricos o

prácticos, utilizando su relación como funciones inversas y sus propiedades

algebraicas, en un ambiente escolar que favorezca la reflexión sobre la utilidad de

estos conocimientos y el desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación,

iniciativa y colaboración hacia el entorno en el que se desenvuelve.
















e

problemas o situaciones, que con

119


camiento a las ideas y nociones, es decir,

e evitarán, en lo posible, desarrollos formales y exhaustivos que pretendan, por lo

ximación a los temas. Así,

r: a) desde el

ico, hará referencia a los ejes y la gráfica destacando en



Contenidos del programa de matemáticas IV

Los contenidos sobre funciones que serán abordados en el curso de Matemáticas



un carácter introductorio, de primer acer

s

demás, agotar todos los aspectos en esta primera apro




algebraicas para la obtención de los mismos en otros tipos de funciones,

particularmente en la primera unidad del curso, donde el profeso

punto de vista geométr















120

4.1 Función exponencial.

La función exponencial es una función matemática, que aparece además en plo de la física. Esta función

derivada de dicha función son

con esta propiedal

muchísimas de ecuaciones de las ciencias por ejemexponencial se caracteriza porque los valores de la iguales al valor de la propia función (siendo la función exponencial la única función

d). Además la función exponencial es la función inversa del ogaritmo natural. Esta función se denota equivalentemente como:

Donde e es la base de los logaritmos naturales.

En términos generales, una función real F(x) es de tipo exponencial si tiene la forma

siendo números reales. Se observa que si a > 1 la curva será creciente.

exponente e incluir las leyes de los exponentes enteros positivos.

Antes de continuar con esta función es conveniente recordar el concepto de

En una expresión como ,822223 =××= al dos se le llama base; al tres exponente y al ocho potencia; esta ultima se obtiene como producto de tantos factores iguales a la base como indica el exponente. Leyes de los exponentes enteros positivos:

1ª nmnm aaa +=×

2ª ( ) mnnm aa =

3ª m

mm

bb=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

4ª ( ) mmm baab =

aa

121

5ª

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨= <− nsimmnn

m

aaa

,

1

De la 5ª Ley se deduce que: para todo número real

⎪⎪ =

>− nsimnm

nsima ,

,1⎧

;11,0 aa ≠ 0n

n

aya == −

expresiones empleadas con frecuen ón exponencial La función exponencial es una función real no algebraica sino exponencial, cuya

De acuerdo con la definición de esta función la base siempre es un número real positivo; además es diferente del 1 porque la unidad elevada a cualquier potencia es 1. En consecuencia, se forman dos intervalos abiertos a los cuales

cia en la funci

regla de correspondencia es: +→ RRf :

( ) xaxf = Con .1,0,, ≠>∈ aaRxa

puede pertenecer la base, estos son: ⟩⟨ 1,0 y ∞⟩⟨ ,1 recuérdese que los intervalos incluyen los extremos en que son cerrados y no incluyen los extremos en que

ores o igual que

uno de los intervalos señalados.

Si por ejemplo,

son abiertos así ]10,3⟨ es un intervalo abierto por la izquierda y cerrado por la derecha, formado por todos los números mayores que 3 y men10. Con las consideraciones anteriores veamos cual es el comportamiento de la función cuando la base pertenece a cada

,,1 ∞⟩⟨∈a ,2=a la función se expresa ( ) xxf 2= Calculando algunos valo

res de x se obtiene la tabla:

x ( ) xxf 2= ( )( )xfx,

3− ( )81

2123 =−f 3

3 ==− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

81,3

2− ( )41

2122 2

2 ===− −f ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

41,2

1− ( )21

2122 1

1 ===− −f ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

21,1

0 ( ) 120 0 ==f ( )1,0 1 ( ) 221 1 ==f ( )2,1

122

2 ( ) 422 2 ==f ( )4,2 3 ( ) 823 3 ==f ( )8,3

8

6

4

2

-2

-5 5 10

-4

f x( ) = 2x

Como se puede observar en el esquema anterior, a medida que la x toma valores negativos cada vez menores, la curva se acerca el eje x, es decir x se acerca a cero por arriba; sin embrago, la curva nunca toca el eje x; ahora bien si x aumenta, entonces 2 también de manera que la imagen de la función siempre es un numero real positivo += RC y por tanto la función no es uprayectiva pues .RR ≠+

x

s

se puede observar que siEn el mismo esquema también 212,1 , xxRxx ≠∈ entonces ( ) ( ),21 xfxf ≠ es decir la función es inyectiva.

Como la función exponencial es inyectiva , pero no suprayectiva, entonces no

Ejemplo:

i ∈a r ejemplo

es biyectiva.

S ),1,0 po ( ,21

=a la funci n queda ó ( )x

xf ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

21

Calculando algunos valores de x se obtiene la tabla siguiente:

123

x ( )x

xf ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

21

( )( )xfx,

3− ( ) 8

811

211

213 3

3

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−

−

f ( )8,3−

2− ( ) 4

411

211

212 2

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−

−

f ( )4,2−

1− ( ) 2

211

211

211 1

1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−

−

f ( )2,1−

0 ( ) 1210

0

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=f ( )1,0

1 ( )21

211

1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=f ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

21,1

2 ( )41

212

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=f ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

41,2

3 ( )82

3 =⎟⎠

⎜⎝

=f 11 3

⎞⎛⎟⎠

⎜⎝ 8

,3

⎞⎛ 1

4

2

-2

-4

-6

-5 5 10

f x( ) = 21 x

124

raficas de la función

exponencial cuando x pertenece a los intervalos que se indican. Cuando a=1 u rep ción corresponde a una recta paralela al eje x por donde y=1.

.2. F inversa. Sean funciones de tales que es inyectiva pero no suprayectiva, es suprayectiva, pero no inyectiva y es inyectiva y upray s decir biyectiva.

Si en cada caso se intercambian el dominio y el contradominio y se invierte la regla de correspondencia de la función, se obtiene los siguientes diagramas:

Los esquemas anteriores son representativos de las g

s resenta

4 unción321 fff BA → 1f

2f 3fs ectiva, e

1

2

4

a

b

c

31

2

a

b

c

1

2

3

b

c

a

a

b

c

1

2

3

4

a

b

c

1

2

3

a

b

c

1

2

125

En los diagramas anteriores se nota que la relación del primero no es una función, pues el elemento 4 del dominio no tiene imagen, el segundo tampoco ilustra una función porque el elemento 2 del dominio tiene dos imágenes, el

rcer si representa una función, que es biyectiva porque si la función es suprayectiva se garantiza que todo elemento del codominio es

agen del algún elemento del dominio y como también es inyectiva, pues dominio tiene diferentes imagenes, al intercambiar el

io y el c bién s

ces la función

onde

teBAf →:3

imelementos diferentes deldomin ontradomino tam e define una función biyectiva. Si BAf →: es biyectiva, enton ABf →− :1

D ( ) ){ }Axxxff ∈=− ,1 es la función inversa de

n general, si una funcion

mbién es biyectiva.

jemplo: ea la función tal que

f E BAf →: es biyectiva, su inversa ABf →− :1

ta ES RRf →: ( ) 23 += xxf

Calculando algunos valores de x se puede obtener la tabla:

x ( ) 23 += xxf ( )( )xfx, 3− ( ) ( ) 72333 −=+−=−f ( )7,3 −− 2− ( ) ( ) 42232 −=+−=−f ( )5,1− 1− ( ) ( ) 12131 −=+−=−f ( )1,1 −−

0 ( ) ( ) 220130 =+=f ( )2,0 1 ( ) ( ) 52131 =+=f ( )5,1 2 ( ) ( ) 82232 =+=f ( )8,2 3 ( ( ) ( ) 112333 =+=f ) 11,3 Despejando x en ( ) 23 += xxf se obtiene (funcion inversa):

1−f

( ) xxf 32 =−( ) xxf

=−

32

Calculando x para los valores que se indican de ( )xf

x ( )

32−

=xfx ( )( )xxf ,

7− 3−=x ( )3,7 −−

126

4− 2−=x ( )2,4 −− 1− 1−=x ( )1,1 −− 2 0=x ( )0,2 5 1=x ( )1,5

8 2=x ( )2,8 11 3=x ( )3,11

En las tablas de ( ) 23 += xxf y su inversa se observa que esta invertidas las omponentes de los pares ordenados correspondientes, los cuales se

En la

figura anterior las representación geométricas de las graficas de y son simétricas respecto a la representa de unción id tidad. 4.3 Función logarítmica. Para comprender fácilmente la definición de logaritmo, primero recodemos que en una expresión con al dos se le llama base, al tres exponente y al ocho potencia. Se que se para obtener dicho número. Ejemplos:

crepresenta en la siguiente figura:

f 1−fción la f en

823 =

llama logaritmo de un número al exponente a se debe elevar la ba

8

6

4

2

-2

-5 5

127

1.- Si entonces 823 = 38log2 = que se lee itm “logar o en base dos de ocho es igu tres” 2.- 164 ⇒= 3.- 492 ⇒=

4.-

al a416log2 2 =249log7 7 =

2log636 =⇒=

1636 3621

==

5.-3488

8 8332

3 −===

6.-

21log4111

2

2

⇒=−

31log12 23 −=⇒=−

88.

i eros ales positivos

7 - xbba ax =⇒= log

S en una función exponencial se restringe le contradominio a los númre +R , entonces la función así definida será inyectiva, uprayectiva y biyectiva.

.- sea tal que

s 8 +→ RRf : ( ) xxf 2=

Algunos de los pares ordenados que pertenecen a su grafica aparecen en la

bla siguiente.

ta

x ( ) xxf 2= ( )( )xfx,

3− ( )81

2123 3

3 ===− −f ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

81,3

2− ( )421122 2

2 ===− −f ⎟⎠⎝ 4

1− ( )

⎞⎜⎛−

1,2

21

2121 1

1 ===− −f ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

21,1

0 ( ) 120 0 ==f ( )1,0 1 ( ) 221 1 ==f ( )2,1 2 ( ) 422 2 ==f ( )4,2 3 ( ) 823 3 ==f ( )8,3 Haciendo ( ) ( ) xxenfxfy 2== se tiene que xy 2= o bien yx =2 que implica

xy =2log de tal manera que al sustituir y o or, e tiene:

por los val res de la tabla anteris

128

322,128

log 32 −=∴==⇒ − xx xx 2,

21

81

3== x

222,212,

412

41log 2

22 −=∴===⇒= − xx xxx

122,212

21log 1

2 −=∴==⇒= − xx xx

ntonces, la tabla de

022,121log 02 =∴==⇒= xx xx

122,222log 12 =∴==⇒= xx xx

222,424log 22 =∴==⇒= xx xx

322,828log 32 =∴==⇒= xx xx

E xy =2log nos queda de la siguiente manera: y xy =log 2 ( )xy,

81

381

=log2 − ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −3,

81

41

241log2 −= ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −2,1

4

21

121log2 −= ⎟

⎠⎞⎛ 1

⎜⎝

−1,2

1 01log2 = ( )0,1 2 12log2 = ( )1,2 4 24log2 = ( )2,4 8 38log2 = ( )3,8

En las tablas de y

( ) xxf 2= xy 2log= se observa que los componentes de sus ares os correspon ntes están invertidos, hecho que se puede isua a figura an ior nde sus respectivas representaciones eom n simétricas r specto a la función identidad. En consecuencia, s fu ponencial y lo arítm

ciones exponenc

Interés c

onsideramos un capital C y un interés simple de i por ciento. Si el capital es de n millón de unidades de dinero y el interés es de 5% anual, entonces después e un año el capital produce un interés de

p ordenad diev lizar en l ter dog étricas so e la nciones ex g ica son inversas una de la otra. 4.3.1 Fun ial y logarítmica: aplicaciones

ompuesto Cud ( ) 05.005.01 ==Ci

129

Por lo que el nuevo capital es de ( ) ( )1....1 iCCiC +=+

=1 (1+0.05 =1 (1.05) =1 05

i esta cantidad se reinvierte al ismo interes por un año mas, entonces dos años el capital es: 1.05 + 1.05 (0.05)= 1.05 (1+0.05)

= 1.05 (1.05) =(1. )

ue se puede expresar así: C(1+i) + C(1+i) = C(1+i) (1+i) =C (1+i) …….(2)

los tres años y bajo las mismas condiciones el capital es:

) . S mdespués de 05 2 Q 2

A

( ) ( ) ( ) ( ) ( )05.0105.105.005.1 22 + 05.12 =+

( ) ( )05.105.1 2=

( )305.1=

( ) ( ) ( ) ( )iiCi + iiCC ++=++ 1111 222

( ) ( )3............1 3iC += Observando el comportamiento del (1), (2) y (3) después de n años el capital

se expresa por =

uando el interés se acumula de esta manera se le llama interés compuesto. a expresión final del capital corresponde a una función exponencial de base

e n, donde n es el p

Cn ( )ni+1 CCn CL1+i con exponent eriodo medido en años, meses, semanas días u otra unida de tiempo. El interés i es por periodo, por lo que si el interés es del 65% anual compuesto mensualmente entonces el interés por meses será

de 126

% o sea 21

% o bien 0.50%=0.005 y expresara el numero de meses.

Población La función exponencial también se puede utilizar como modelo de crecimiento d .

ierto tipo de bacteria que al cabo de un tiempo (periodo de e alguna poblaciónemos el caso de cV

reproducción) se duplica. Esto significa que si al inicio se tiene una bacteria después de un periodo de reproducción se tendrán dos, estas a su vez darán

130

origen a otro en el segundo periodo, en el tercer periodo las cuatro darán

rias que se duplican cada iente tabla en la que se indica

ue después de t horas el numero de bacteria es f(t)

2 2000

5 16000

Por que la función se puede expresa como

origen a ocho y si sucesivamente. Si en un laboratorio se prepara un cultivo de bactehora y se inicia con 500 se puede construir la siguq

t f(t) 0 500 1 1000

3 4000 4 8000

( ) ( ) ttf 2500=

De manera que el número de bacterias 213 horas después de iniciado el cultivo

s: e27

213 ==t

( ) 27

250027

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛f

72500= 128500= ( )31.11500=

( ) menteaproximada5657= Desintegración radiactiva Una sustancia radiactiva se desintegra en un tiempo que se conoce como periodo de semidesintegracion o vida media. La vida media del radio es de 1600 años; esto significa que si ahora se tiene una cierta cantidad de radio,

Si n representa el número de periodo de desintegración, entonces la cantidentro de 1600 años solo quedara la mitad.

dad

e sustancia que queda después de n periodos es d ( ) ( ) nn

mmnf −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 2

21

donde

Si b, A y B son números reales positivos,

la m es la masa original de la sustancia. Función logarítmica. La función logarítmica tiene las siguientes propiedades que se aplican en la resolución de problemas.

1≠b y p es un número real

131

Entonces: 1.- ubu =2log 2.- += BAab bb logloglog2

3.- BABA

bbb logloglog −=

p4.- loglog2 = 5.- En estas e ogaritmo. Cuando la base es 10 no se acostumb ibe como cuando la base es el numero e aLos logar 10 se le conoce como logaritmos ecimales os de Brigg.. Los logaritmos que enen como base al numero e (e=2.71828, se conoce como logaritmos

ApA b

0 1log =b

xpresiones b indica la base del lra escribirla, así Alog se escr10

se escribe la A que corresponde Alog

Aelog itmos que tienen como base a , logaritmos comunes o logaritmd

tinaturales o logaritmos de Neper) El numero irracional e es aproximadamente igual ( )= a 2.71828, se obtiene en

apare ncálculo como un límite es ecuación exponencial pues la variable x

ce como expo ente. Si se expresa a 100 como , la ecuación se transforma en por tanto

10010 =x

21021010 =x 2=x

Sin embargo, en la ecuación la determinación del valor de x ya no es

cillo; por lo ejemplos anteriores sabemos que 100<586<1000, por lo valor de x debe estar comprendido entre 2 y 3. para determinar el valor e manera mas proximada se utiliza la definición de logaritmo, es decir

586log86 10 de donde

58610 =x

tan sen s que el del x d a

xx =⇒= 510 7679.02=x Este valor se puede obtener con una calculadora científica introduciendo el

anualmente al cabo de ¿Cuántos años el capital será de 6691.13 unidades de

e obtener aplicando logaritmo de la

iguiente forma: E

numero 586 y presionando la tecla log (o Log), ya que se trata del logaritmo de un numero de base 10, si la base es e entonces se introduce el numero y se presiona la tecla ln (o LN). Si se invierten 5000 unidades de dinero al 6% de interés anual compuesto

dinero?

La solución de este problema se puedsn la formula (C += 1 )n

n iSe sustituyen los valores del problema: 6691.13=5000 (1+.06) n

132

De donde ( )n06.15000

13.6691=

O sea

( )n06.1338226.1 =

Tomando logaritmos en los dos miembros de la ecuación: ( )n06.1log338226.1log =

O bien ( )06.1log338226.1log n=

De donde n=06.1log

338226.1log

n=126529463.0

025305865.0

n=5 El resultado indica que el núme

versión ro capital se logra 5 años después de su

b)5464

in Un cultivo de bacterias se duplica cada hora, si se inicio con 500 al acabo de cuantas horas será: a)4000 de acuerdo con los expuesto anteriormente el numero de bacterias en un tiempo t esta dado por ( ) ( )txf 2500= con t en horas a) cuando el numero de bacterias es de 4000 la expresión anterior nos queda

así 4000=500(2 ) t

( )dividiendo entre 500:

500500=

como 8=2 3 entonces t223

25004000 t

= or tanto 3=t p

lo que significa que 3 horas después de iniciado el cultivo se tiene 4000 bacterias b) de manera semejante cuando ( ) 5464=tf se tiene que 5464=500(2 t ) dividiendo en 5 8=

00: 10.92

28 =

2 t

t2logaplicando logaritmos en los dos miembros de la ecuación: 9.10log

133

= 2log928.10log t

e donde t=2log928.10log

D

t=301029995.0038540686.1

t=45.3 O sea q e a l eu as 3.45 horas de iniciado l cultivo el número de bacterias es de

DE AUTOAPREN IZAJE:

0 00 unidades de dinero se incrementa a razón

.- Una persona compra a crédito un artículo en 5000 unidades de dinero y se

ánto es lo que debe?

rte nidades de dinero al 15% anual y se acumulan los

una tarjeta bancaria en la que se cobro el 36% anual compuesto a rson ún otro cargo a la

ja de ahorro paga el 18% anual acumulado semestralmente ¿Qué debe invertir para tener 25 000 unidades de dinero después de año

ultivo esta

5464.

EJERCICIOS D 1.- El valor de una casa de 20 0del 8% anual ¿cuál será su valor al cabo de 3 años? 2le cobra el 18% anual compuesto mensualmente. Si no hace ningún pago durante 6 meses ¿Cu 3.- Si se invie n 10 000 uintereses mensuales ¿Cuál es el capital después de 1 mes, 2 meses. 3 meses, 6 meses, un año? 4.- Una persona compra un artículo en 1000 unidades de dinero y lo paga con

mensualmente. Si dur nte un año la pe a no hace ningtarjeta ni tampoco abona ¿Cuál es su adeudo? 5.- Una caantidad sec

y medio? 6.- El numero de bacterias de un c dado por

( ) ( ),43 tt = fdonde t esta en horas y el numero de bacterias en miles.

etermine

)(tfDa) ¿Cuál es el numero inicial de bacterias

¿Cuántas son a los 15 minutos? b)

134

c) ¿Cuántas s ? on a la media hora

s son después de d) ¿cuánta211 horas?

cultivo se multiplica por 5 cada 2 horas. Si se inicia con 7.- Las bacterias de un 800 bacterias alas 8 de la mañana, el número de bacterias esta dado por:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 800

t

tf 25

e donde t es el tiempo en horas. alcule el número de bacterias en el cultivo a las 10 y 11 de la mañana y 1 de

Si se tienen 600 bacterias n el instante t=0, el número de bacterias después t horas esta dado por:

dCla tarde. 8.- Un cultivo de bacterias se triplica cada dos horas.e

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 23600tf

¿Cuántas bacterias habrá 2, 4, 5 y 7 horas

t

después?

dado en millones por

9.- En una ciudad la población se duplica cada 10 años. El numero actual de habitantes estad

( ) ⎟⎟⎠⎝

donde t esta expresado en años- a) ¿Cuántos habitantes tendrá la ciudad dentro de 10 años? b) ¿Cuántos habitantes tenia 10 años antes

⎞⎜⎜⎛

= 1023t

t

?

f

10.- Una sustancia radiactiva tiene una vida media de 90 días. Si se tienen 100 miligramos (mg) en el periodo 0=t la cantidad que queda después de t periodos de semidesintegracion esta dada por

( )t

tf ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

21100

¿Qué cantidad de sustancia radiactiva queda después de 180, 270 y 450 días?

135

GLIns m ico debe leerse con tranquilidad, dado que sus definiciones son abstractas. El alumno podrá recurrir a él para informarse sobre un punto en particular, dado que no existe mucha información en diccionarios comunes, esperamos que su lectura resulte de trea) la duplicación del cubo. b) la trisección de un ángulo arbitrario c) la cuadratura del círculo. ducuy l al doble del volumen d un cubo dado. trisección d un ángulo arbitrario: si bien es posible, por medio de la regla y el cománg cuadratura del círculo: este problema consiste en la construcción d un cuadrado cuya área sea igual a la d un circulo dadod “ sin curvas compuestas: si la ecuación de una curva es tal q puede considerarse como una combinación d las ecuaciones d dos o mas curvas simples, diremos q su gra curva spendido d dos puntos el plos perocu si dos rectas están en el mismo plano se dice q son: coplanarias. tales rectas pueden cortarse o no; si no se cortan, se dice q son: paralelas.

ectas q se cruzan: dos rectas cualesquiera en el espacio q no sean coplanarias o pueden ni cortarse ni ser paralelas.

OSARIO trucciones: Este glosario atemát

beneficio. s problemas de la antigüedad:

plicación del cubo: este problema significa la obtención de la arista d un cubo o volumen sea igua

pás solamente, trisecar unos cuantos ángulos particulares, por ejemplo un ulo recto, no es posible hacerlo si se trata d un ángulo cualquiera.

. se le conoce también como el problema cuadrar el circulo”.

usoide: se llama sinusoide a el lugar geométrico de la ecuación y = sen x.

fica es una curva compuesta.

catenaria: es la forma q toma un cable unifo y colgando bajo su propio peso.

rme y flexible su

unto en el espacio: en la geometría analítica plana solamente se consideran puntos situados en un solo plano, el plano coordenado. esta limitación no mite la investigación d las figuras generales en el espacio. el punto puede par cualquier posición en el espacio.

rn

136

forma general d la ecuación del plano: hay un numero infinito d rectas

l punto d intersección d la superficie y el eje coordenado.

bre un plano coordenado es la curva d intersección d

cuación lineal q contiene únicamente 2 variables:

e q no aparece en ecuación.

icular al eje oordenado a lo largo del cual se mide esa variable y paralelo al plano d las dos

n plano y su ecuación están cada uno perfectamente eterminados por tres condiciones independientes. la ecuación d un plano q atisface solamente 2 condiciones independientes contiene una sola constante

onoparametrica.

cuación d la forma f(x,y,z)=0.

a dicular al segmento q los une en su

unto medio.

no

os del espacio equidistan d un punto fijo.

perpendiculares a un plano; cada una d tales rectas se llama normal al plano. intercepción: es una superficie sobre un eje coordenado a la coordenada correspondiente de la traza d una superficie sola superficie y el plano coordenado erepresenta un plano perpendicular al plano coordenado d esas dos variables, y es paralelo al eje coordenado a lo largo del cual se mide la variablla ecuación lineal en una sola variable: representa un plano perpendcvariables q no figuran en la ecuación. familias de planos: udsarbitraria independiente o parámetro y por tanto, representa una familia d planos m superficies: es el conjunto d puntos y solamente d aquellos puntos, cuyas coordenadas satisfacen una sola e puntos simétricos: se dice q dos puntos diferentes son simétricos con respecto un plano si y solamente si el plano es perpenp superficie simétrica:.se dice q una superficie simétrica con respecto a un plad simetría, si el simétrico d cada punto d la superficie, respecto al plano, es también un punto d la superficie. superficie esférica: se define como el lugar geométrico d los puntq

137

BIBLIOGRAFÍA PARA LA CUARTA UNIDAD

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· Objetivos General de la Asignatura de matemáticas III El estudiante: Resolverá problemas o situaciones, que conlleven el manejo de las nociones de variación e interrelación