Ohanian Fisica 3e Contenido Volumen 1

Movimiento, fuerza y energa

C O N T E N I D O

CAPTULO 1 Espacio, tiempo y masa

CAPTULO 2 Movimiento rectilneo

CAPTULO 3 Vectores

CAPTULO 4 Movimiento en dos y tres dimensiones

CAPTULO 5 Leyes del movimiento de Newton

CAPTULO 6 Ms aplicaciones de las leyes de Newton

CAPTULO 7 Trabajo y energa

CAPTULO 8 Conservacin de la energa

CAPTULO 9 Gravitacin

CAPTULO 10 Sistemas de partculas

CAPTULO 11 Choques

CAPTULO 12 Rotacin de un cuerpo rgido

CAPTULO 13 Dinmica de un cuerpo rgido

CAPTULO 14 Esttica y elasticidad

P A R T E

1

En el lanzamiento, el conjun-to del transbordador espacial, incluidos el tanque exterior de combustible y los cohetes aceleradores auxiliares, tiene una masa de 2 106 kg. El empuje de los potentes moto-res de cohete, entre ellos los motores principales del orbi-tador del transbordador que aqu se muestra, acelera todo el vehculo de lanzamiento a la velocidad del sonido en slo 45 segundos.

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1C A P T U L O

2

Conceptosen

contexto

Espacio, tiempo y masa

C O N C E P T O S E N C O N T E X T OLos gelogos y los topgrafos utilizan un dispositivo lser para medir distancias. Este mecanismo emite un haz de luz hacia un espejo colocado a una distancia desconocida y mide el tiempo que tarda el haz en viajar al espejo y regresar. Una vez medido este tiempo de viaje redondo y la velo-cidad conocida de la luz, se calcula la distancia. Como la rapidez de la luz es muy alta, el tiempo del recorrido total es muy pequeo.

Con la definicin de las unidades de distancia y tiempo que se dan en este captulo, pueden considerarse las siguientes preguntas:

? Qu tan lejos viaja la luz en una pequea fraccin de segundo? (Ejemplo 1, pgina 10)

? Cmo se imita la precisin en la determinacin de la distancia por la precisin en la medicin del tiempo? (Ejemplo 3, pgina 15)

1.1 Coordenadas y marcos de referencia

1.2 La unidad de longitud

1.3 La unidad de tiempo

1.4 La unidad de masa

1.5 Unidades derivadas

1.6 Cifras significativas; coherencia de unidades y conversin de unidades

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1.1 Coordenadas y marcos de referencia 3

El investigador de cualquier fenmeno: terremoto, relmpago, choque entre dos bar-cos, debe comenzar preguntando dnde y cundo sucedi? Los fenmenos ocurren en puntos del espacio y en instantes de tiempo. Un fenmeno complicado, como el choque entre dos buques, se extiende a muchos puntos del espacio y del tiempo. Pero sin importar lo complicado que sea, cualquier fenmeno puede describirse totalmente expresando lo que ocurri en diversos puntos del espacio y en sucesivos instantes del tiempo. Las mediciones de las posiciones y los tiempos necesitan la utilizacin de cua-drculas de coordenadas y marcos de referencia, que se discutirn en la primera seccin de este captulo.

Los barcos y otros cuerpos macroscpicos estn hechos de tomos. Debido a que los tamaos de los tomos son extremadamente pequeos en comparacin con las di-mensiones de los cuerpos macroscpicos, puede considerarse a los tomos como masas casi puntuales, para la mayora de los fines prcticos. Una masa puntual sin tamao ni estructura interna discernibles se llama partcula ideal. En cualquier instante del tiempo, la par tcu la ideal ocupa un solo punto del espacio. Adems, la partcula tiene masa. Y eso es todo: si se conoce la posicin que ocupa una partcula ideal en cada instante del tiempo y se sabe su masa, entonces se conoce todo lo que puede saberse de la partcula. La posicin, el tiempo y la masa dan una descripcin completa del comportamiento y de los atributos de una partcula ideal.* Como cada cuerpo macroscpico consiste de partculas, es posible describir su comportamiento y sus atributos describiendo las partculas que lo conforman. As, las mediciones de posicin, tiempo y masa son de importancia fun-damental en la fsica. En secciones posteriores de este captulo se tratarn las unidades que se emplean para estas mediciones.

1.1 COORDENADAS Y MARCOS DE REFERENCIA

Si est perdido en algn lugar de las carreteras de Canad y se detiene en una gasoli-nera a preguntar cmo llegar a Moose Jaw, el dependiente puede darle instrucciones de ir 90 kilmetros hacia el norte sobre la Ruta 6 y luego 70 kilmetros al oeste por la Ruta 1 (vase la figura 1.1). Al darle estas instrucciones, el dependiente est tomando la gasolinera como origen y est especificando la posicin de Moose Jaw en relacin con este origen. Para obtener una descripcin cuantitativa precisa de la posicin de una partcula, los fsicos usan casi el mismo procedimiento. Primero toman algn punto conveniente del espacio como origen y luego especifican la posicin de la partcula en relacin con este origen. Para este propsito, imaginan una cuadrcula de lneas alrede-dor del origen y dan la ubicacin que guarda la partcula dentro de esta cuadrcula; es decir, imaginan que el suelo est cubierto con papel cuadriculado y luego especifican la posicin de la partcula por medio de coordenadas que se leen en este papel.

Las coordenadas ms comunes son las coordenadas rectangulares x y y, que se basan en una cuadrcula rectangular. La figura 1.2 muestra una cuadrcula de este tipo. Las lneas mutuamente perpendiculares que pasan por el origen O se llaman eje x y eje y. Las coordenadas del punto de la cuadrcula P, donde est colocada la partcula, sim-plemente indican qu tan lejos debe moverse en forma paralela al eje correspondiente a fin de llegar desde el origen O hasta el punto P. Por ejemplo, el punto P que se mues-tra en la figura 1.2a tiene las coordenadas x = 3 unidades y y = 5 unidades. Si se mueve desde el origen en direccin opuesta a la indicada por la flecha del eje, entonces la co-ordenada es negativa; as, el punto P que se muestra en la figura 1.2b tiene una coorde-nada negativa, x = 3 unidades.

* No se considerar por ahora la posibilidad de que la partcula tenga tambin una carga elctrica. La elec-tricidad es el tema de los captulos 23-33.

FIGURA 1.1 Para llegar a Moose Jaw, Canad, el automvil tiene que viajar 90 km al norte y luego 70 km al oeste.

Moose Jaw70 km

90 kmLa posicin se espe-cifica por distancias hacia el norte y hacia el oeste.

Origen

Destino

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4 CAPTULO 1 Espacio, tiempo y masa

La cuadrcula bidimensional que se muestra en la figura 1.2 es ade-cuada cuando se quiere describir el movimiento bidimensional (este-oeste y norte-sur) de un automvil que viaja en un terreno plano o el movimiento de un barco en la superficie casi plana del agua de un puerto. Sin embargo, si se desea describir el movimiento tridimensional (este-oeste, norte-sur y arriba-abajo) de un vehculo areo que est volando o de un submarino que se sumerge en el ocano, entonces se necesita un sistema tridimensional de coordenadas, con ejes x, y y z. Y si se desea describir el movimiento de un automvil por un camino recto, entonces es necesario un sistema unidimensional; es decir, se requiere slo el eje x, que se imagina colocado a lo largo del camino.

Cuando se determina la posicin de una partcula mediante una cua-drcula de coordenadas construida alrededor de algn origen, se realiza una medicin relativa: las coordenadas del punto en el que est ubicada la partcula dependen de la seleccin del origen y de la seleccin de la escala de la cuadrcula de coordenadas. La seleccin del origen de las coordenadas y de la cua drcula de coordenadas es cuestin de convenien-

cia. Por ejemplo, un capitn de puerto puede usar una cuadrcula de coordenadas cuyo origen sea el puerto; pero un ingeniero municipal podra usar una cuadrcula de coor-denadas con su origen en el centro del pueblo (vase la figura 1.3a) o bien, girada con orientacin paralela a las calles del pueblo (vase la figura 1.3b). El timonel de un barco puede encontrar conveniente colocar el origen en el punto medio de su barco y usar una cuadrcula de coordenadas construida alrededor de este origen. La cuadrcula se mueve entonces con el barco (vase la figura 1.3c). Si el timonel grafica la ruta de un segundo barco en esta cuadrcula, con slo mirar ambas cuadrculas puede decir cul ser la distancia de mayor proximidad entre ambas embarcaciones y si el otro barco se encuen-tra en una ruta de colisin, es decir, si cruzar el origen.

Para la descripcin del movimiento de una partcula, debe especificarse tanto su posicin como el tiempo en el que sta se mantiene. Para determinar el tiempo, se usa un sistema de relojes sincronizados colocados mentalmente a intervalos regulares a lo largo de la cuadrcula de coordenadas. Cuando una partcula pasa por un punto P de la cuadrcula, las coordenadas proporcionan la posicin que ocupa la partcula en el espa-cio y el tiempo registrado por el reloj ms cercano determina el tiempo t. Tal cuadrcula de coordenadas y relojes sincronizados se llama marco de referencia. Al igual que la selec-cin del origen y de la cuadrcula de coordenadas, la seleccin del marco de referencia es cuestin de conveniencia. Por ejemplo, la figura 1.4a muestra un marco de referencia establecido alrededor del puerto y la figura 1.4b muestra uno construido alrededor del barco. Los marcos de referencia normalmente se nombran segn el cuerpo o punto

y

Py = +5 y = +5

a)

xx = +3

O

b)

P

x = 3

y

xO

Una coordenada en la direccin de la flecha del eje es positiva

...y en direccin opuesta es negativa.

FIGURA 1.2 Las coordenadas rectangulares x y y de un punto P. a) Ambas coordenadas son positivas; b) la coorde-nada x es negativa.

FIGURA 1.3 Cuadrculas de coordenadas rectangulares x -y (roja) y x-y (negra). a) Esta cuadrcula rectangular x-y est desplazada en relacin con x -y. b) Esta cuadrcula rectangular x-y se encuentra girada en relacin con x -y. c) Esta cua-drcula rectangular x-y est en movimien-to en relacin con x -y.

x

y

x

y

x'

y' y'

x'

y'

a) b) c)

x

y

x'

Esta cuadrcula de coordenadas tiene su origen en el centro del pueblo.

La cuadrcula de coordenadas roja tiene su origen en el puerto.

Esta cuadrcula de coordenadas est orientada paralelamente a las calles del pueblo.

Esta cuadrcula de coordenadas se mueve con el barco.

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1.2 La unidad de longitud 5

alrededor del cual se construyen. As, se habla del marco de referencia del puerto, el marco de referencia del barco, el marco de referencia del laboratorio, el marco de refe-rencia de la Tierra, etctera.

Revisin 1.1

PREGUNTA 1: Para una partcula ideal, la posicin y la masa son las dos nicas cantidades medibles (en cualquier instante dado). Considere un cuerpo extenso, por ejemplo, una bola de boliche. Qu cantidades puede usted medir respecto a la bola de boliche, adems de la posicin y la masa? Sabe usted las unidades de cualquiera de estas cantidades?PREGUNTA 2: Considere una cuadrcula de coordenadas x-y desviada en una cantidad fija en relacin con la cuadrcula x -y, como se muestra en la figura 1.3a. Marque un punto P en esta cuadrcula. El valor de x para un punto P dado es mayor o menor que el valor de x? Qu puede decir acerca de los valores de y y y? PREGUNTA 3: Cul es la diferencia entre una cuadrcula de coordenadas y un marco de referencia?

1.2 LA UNIDAD DE LONGITUDPara realizar registros numricos de las mediciones de posicin, tiempo y masa, es ne-cesario adoptar una unidad de longitud, una unidad de tiempo y una unidad de masa, de tal manera que puedan expresarse las mediciones como mltiplos numricos o frac-ciones de estas unidades. En este libro se usarn las unidades del sistema mtrico, que est basado en el metro como unidad de longitud, el segundo como unidad de tiempo y el kilo-gramo como unidad de masa. Estas unidades de longitud, tiempo y masa, junto con las unidades de temperatura y carga elctrica (que se introducirn en captulos posterio-res), son suficientes para la medicin de cualquier cantidad fsica. Los cientficos y los ingenieros se refieren a este conjunto de unidades como el Sistema Internacional de Unidades, o unidades SI (del francs, Systme International).*

Originalmente, la norma de longitud que especificaba el tamao de un metro era el metro patrn que se conserva en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Svres, Francia. Este metro patrn es una barra de una aleacin de platino-iridio con una fina

* Las unidades SI tambin se explican en el apndice 5; puede hallarse ms informacin en el sitio de red del National Institute of Standards and Technology: http://www.physics.nist.gov/cuu/Units.

FIGURA 1.6 Una cuarta parte de la circunferencia polar de la Tierra es aproxi-madamente igual a 107 m.

FIGURA 1.4 a) Un marco de referencia consiste en una cuadrcula de coordenadas y un sistema de relojes sincronizados. b) Un marco de referencia construido alre-dedor de un barco.

a) y

O x

y'

O x'

b)

Todos los relojes estn sincronizados entre s.

Este marco de referencia se mueve con el barco.

FIGURA 1.5 Barra del metro patrn internacional.

107 m

Una cuarta parte de la circunferencia polar.

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raya marcada cerca de cada extremo (vase la figura 1.5). Por definicin, la distancia entre estas rayas se consider justamente un metro. La longitud del metro se escogi de manera original para que la circunferencia polar de la Tierra midiera exactamente 40 millones de metros (vase la figura 1.6); sin embargo, las determinaciones modernas de esta circunfe-rencia muestran que mide aproximadamente 0.02% ms que 40 millones de metros.

En Francia se fabricaron copias del metro patrn prototipo y se distribuyeron a otros pases para usarlos como patrones secundarios. Los patrones de longitud que se usan en la industria y en la ingeniera se han derivado de estos metros patrones secun-darios. Por ejemplo, la figura 1.7 muestra un conjunto de bloques de calibracin que se usan comnmente como patrones de longitud en los talleres mecnicos.

La precisin del metro patrn est limitada por la aspereza de las rayas de marca en sus extremos. Para obtener mayor exactitud, los fsicos desarrollaron definiciones me-joradas del estndar de longitud. La mejora ms reciente surgi de la invencin de los lseres estabilizados (vase la figura 1.8). stos emiten ondas de luz extremadamente uniformes, que hacen posible determinar la rapidez de la luz con una gran precisin. Lo anterior condujo a la adopcin de una nueva definicin de la longitud del metro en relacin con la rapidez de la luz: el metro (1 m) es la longitud que recorre una onda de luz en el vaco en un intervalo de 1/299 792 458 segundos. Observe que, como el metro est ajustado de modo que la luz viaje exactamente un metro en 1/299 792 458 segun-dos, la rapidez de la luz es exactamente Rapidez de la luz = 299 792 458 metros por segundo (1.1)As, la nueva definicin del metro implica la adopcin de la rapidez de la luz como un estndar de rapidez.

La tabla 1.1 muestra una lista de distancias y tamaos, de las mayores a las menores. Muchas de las cantidades que aparecen ah ya se han mencionado en el preludio. Las cantidades que se marcan con un signo (aproximadamente igual) no estn definidas con precisin, son aproximaciones gruesas.

La tabla 1.2 es una lista de mltiplos y submltiplos del metro y sus abreviaturas. Los prefijos que se usan en la tabla 1.2 y otros prefijos estndar son abreviaturas de potencias particulares de 10. Los prefijos que representan potencias de 10 y que difie-ren por factores de 103 con frecuencia se usan con cualquier unidad, por conveniencia o concisin. Estos prefijos estndar y sus abreviaturas se enlistan en la tabla 1.3.

FIGURA 1.7 Algunos bloques de calibracin, co-mnmente usados por los ajustadores como patrones de longitud. La altura o el espesor de cada bloque sirve como norma de longitud.

FIGURA 1.8 Lser estabilizado en el National Institute of Standards and Technology.

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En el Sistema Britnico de Unidades, abandonado por Gran Bretaa y casi todos los dems pases, pero lamentablemente todava en uso en Estados Unidos, la unidad de longitud es el pie (abreviado en ingls ft) que es exactamente 0.3048 m. (Para la conversin mental rpida de pies a metros, multiplique por 0.3). La tabla 1.4 proporciona los mltiplos y submltiplos del pie, aunque se emplearn poco porque en este libro difcilmente se usar alguna vez unidades britnicas. Los es-fuerzos espordicos para adoptar las unidades mtricas en Estados Unidos han fa-llado, aunque la mayora de los fabricantes estadounidenses de automviles usan ahora unidades mtricas y as lo hace tambin el Ejrcito de Estados Unidos (ob-serve que, en la jerga del Ejrcito de Estados Unidos, al kilmetro se le llama klick, una costumbre recomendable por su brevedad).

TABLA 1.1 ALGUNAS DISTANCIAS Y TAMAOS

Distancia hasta la frontera del universo observable 1 1026 mDistancia hasta la galaxia de Andrmeda a) 2.1 1022 mDimetro de nuestra galaxia 7.6 1020 mDistancia a la estrella ms cercana (Prxima Centauro) 4.0 1016 mDistancia de la Tierra al Sol 1.5 1011 mRadio de la Tierra 6.4 106 mLongitud de onda de la onda de radio (banda AM) 3 102 mLongitud del barco Queen Elizabeth b) 3.1 102 mAltura del varn promedio 1.8 mDimetro de una moneda de 5 centavos de Estados Unidos c) 2.1 102 mDimetro de un glbulo rojo sanguneo (humano) 7.5 106 mLongitud de onda de la luz visible 5 107 mDimetro del virus ms pequeo (virus PSTV de la papa) d) 2 108 mDimetro del tomo 1 1010 mDimetro del ncleo atmico (hierro) 8 1015 mDimetro del protn 2 1015 m

TABLA 1.2 MLTIPLOS Y SUBMLTIPLOS DEL METRO

kilmetro (klick) 1 km = 103 mmetro 1 mcentmetro 1 cm = 102 mmilmetro 1 mm = 103 mmicrmetro (micra) 1 m = 106 mnanmetro 1 nm = 109 mangstrom 1 = 1010 mpicmetro 1 pm = 1012 mfemtmetro (fermi) 1 fm = 1015 m

a)b)

c)d)

1.2 La unidad de longitud 7

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Revisin 1.2

PREGUNTA 1: Cuntos centmetros hay en un kilmetro? Cuntos milmetros hay en un kilmetro?PREGUNTA 2: Cuntas micras hay en un fermi?PREGUNTA 3: Cuntas micras hay en un angstrom?

(A) 106 (B) 104 (C) 104 (D) 106

TABLA 1.3 PREFIJOS PARA LAS UNIDADES

FACTOR DE MULTIPLICACIN PREFIJO SMBOLO

1021 zetta Z1018 exa E1015 peta P1012 tera T109 giga G106 mega M103 kilo k103 mili m106 micro 109 nano n1012 pico p1015 femto f1018 atto a1021 zepto z

TABLA 1.4 MLTIPLOS Y SUBMLTIPLOS DEL PIE

milla 1 mi = 5 280 pies = 1 609.38 myarda 1 yd = 3 pies = 0.9144 mpie 1 pie = 0.3048 mpulgada 1 pulg = pie = 2.540 cmmil 1 mil = 0.001 pulg

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1.3 La unidad de tiempo 9

1.3 LA UNIDAD DE TIEMPOLa unidad de tiempo es el segundo. Originalmente, un segundo se defina como 1/(60 60 24) o 1/86 400 de un da solar medio. El da solar es el intervalo que tarda la Tierra en completar una rotacin sobre s misma. La longitud del da solar depende de la rapidez de rotacin de la Tierra, que est sujeta a una multitud de varia-ciones menores, tanto estacionales como de largo plazo, que pueden hacer que la rota-cin de nuestro planeta sea un cronmetro imperfecto.

Para evitar cualquier variacin en la unidad de tiempo, ahora se usa un estndar atmico de tiempo. ste es el periodo de una vibracin de microondas emitidas por un tomo de cesio. El segundo (1 s) se define como el tiempo necesario para que se reali-cen 9 192 631 770 vibraciones de un tomo de cesio. La figura 1.9 muestra uno de los relojes atmicos en el National Institute of Standards and Technology (NIST), en Boulder, Colorado, Estados Unidos. En este reloj, las dbiles vibraciones de los tomos de cesio se amplifican a un nivel que permite controlar el cuadrante del reloj. Los bue-nos relojes de cesio son muy, muy buenos: se atrasan o se adelantan no ms de 1 segun-do en 20 millones de aos.

La estacin de radio WWV, de Fort Collins, Colorado, transmite continuamente seales precisas de tiempo vinculadas a los relojes atmicos de cesio del NIST. Estas seales pueden recibirse en todo el mundo en receptores de radio de onda corta sintoni-zados a 2.5, 5, 10, 15 o 20 MHz. Tambin se anuncian continuamente seales precisas de tiempo por telfono [en Estados Unidos, el nmero de telfono es (303) 499-7111); la hora precisa tambin est disponible en lnea en www.time.gov.]. La hora que se anuncia en la radio y en el telfono es la hora universal coordinada, o tiempo de Greenwich, que est exactamente 5 horas adelante de la Hora Estndar del Este de Estados Unidos (Eastern Standard Time).

La tabla 1.5 presenta una lista de algunos intervalos tpicos de tiempo y la tabla 1.6 proporciona mltiplos y submltiplos del segundo.

FIGURA 1.9 Reloj atmico de cesio en el National Institute of Standards and Technology.

TABLA 1.5 ALGUNOS INTERVALOS DE TIEMPO

Edad del universo 4 1017 sEdad del Sistema Solar 1.4 1017 sEdad de los fsiles ms antiguos conocidos 1.1 1017 sEdad de la especie humana 7.9 1012 sEdad de los registros escritos ms antiguos (sumerios) 1.6 1011 sDuracin de la vida del ser humano (promedio) 2.2 109 sTiempo de viaje de la luz desde la estrella ms cercana 1.4 108 sRevolucin de la Tierra alrededor del Sol (1 ao) 3.2 107 sRotacin de la Tierra (1 da) 8.6 104 sDuracin de la vida del neutrn libre (promedio) 9.2 102 sTiempo de viaje de la luz desde el Sol 5 102 sTiempo de viaje de la luz desde la Luna 1.3 sPeriodo del latido del corazn (humano) 0.9 sPeriodo de la onda sonora (Do medio) 3.8 103 sPeriodo de la onda de radio (banda AM) 1 106 sPeriodo de la onda de luz 2 1015 sDuracin de la vida de la partcula inestable de vida ms corta 1024 s

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CENTMETROS

PULGADAS


El dispositivo lser medidor de distancias que se muestra en la foto del captulo es capaz de medir el tiempo de viaje de un

pulso de luz con una precisin mejor que una milmillonsima de segundo. Qu tan lejos viaja la luz en una milmillonsima de segundo (un nanosegundo)?SOLUCIN: La distancia que viaja la luz en un nanosegundo es

[distancia] = [rapidez] [tiempo]

a2.997 924 58 108 b (1.0 109 s) (2.997 924 58 1.0) (108 109) a b 3.0 (101) (m) 30 cm

ms s

ms

o, en unidades britnicas, casi un pie. La regla que aparece dibujada diagonalmente a travs de esta pgina muestra la distancia que viaja la luz en 1 nanosegundo.

Revisin 1.3

PREGUNTA 1: Cuntos milisegundos hay en una hora? Cuntos picosegundos hay en un microsegundo?PREGUNTA 2: Cuntos femtosegundos hay en un minuto?

(A) 3.6 1018 (B) 6.0 1016 (C) 6.0 1015 (D) 1.7 1013 (E) 1.7 1014

TABLA 1.6 MLTIPLOS Y SUBMLTIPLOS DEL SEGUNDO

siglo 1 siglo = 100 aos = 3.156 109 sao 1 ao = 3.156 107 s = 365.25 dasda 1 da = 84 600 shora 1 h = 3 600 sminuto 1 min = 60 smilisegundo 1 ms = 103 smicrosegundo 1 s = 106 snanosegundo 1 ns = 109 spicosegundo 1 ps = 1012 sfemtosegundo 1 fs = 1015 s

EJEMPLO 1

Conceptosen

contexto

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1.4 La unidad de masa 11

1.4 LA UNIDAD DE MASALa unidad de masa es el kilogramo. El patrn de masa es un cilindro de aleacin de platino-iridio que se conserva en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas (vase la figura 1.10). El kilogramo (1 kg) se define como exactamente igual a la masa de este cilindro. La masa es la nica unidad fundamental para la cual no se tiene, hasta ahora, un estndar atmico.

La masa se mide con una balanza, un instrumento que compara el peso de una masa desconocida con una fuerza conocida, tales como el peso de una masa estndar y la traccin de un resorte calibrado. El peso es directamente proporcional a la masa y, por tanto, pesos iguales implican masas iguales (la distincin precisa entre masa y peso se explica en detalle en el captulo 5). La figura 1.11 muestra una balanza de watts dise-ada por el NIST. Es una balanza de resorte; pero, en vez de una suspensin con resorte mecnico, usa una suspensin magntica con fuerzas magnticas calibradas.

Para relacionar la masa de un tomo con la masa del kilogramo, se necesita saber el nmero de Avogadro NA, o el nmero de tomos por mol. Un mol de cualquier elemen-to qumico (o de cualquier compuesto qumico) es la cantidad de materia que contiene tantos tomos (o molculas) como los tomos que hay en exactamente 12 gramos de carbono-12. La masa atmica de un elemento qumico (o la masa molecular de un compuesto) es la masa de un mol expresada en gramos. As, de acuerdo con la tabla de masas atmicas que aparece en el apndice 8, un mol de tomos de carbono (C) tiene una masa de 12.0 gramos; un mol de tomos de hidrgeno (H) tiene una masa de 1.0 gramo; un mol de tomos de oxgeno (O) tiene una masa de 16.0 gramos; un mol de molculas de oxge-no (O2) tiene una masa de 32.0 gramos; un mol de molculas de agua (H2O) tiene una masa de 18.0 gramos, y as sucesivamente.

Los datos experimentales disponibles dan el siguiente valor para NA:

NA 6.022 14 1023 tomos o molculas por mol (1.2)

Como hay NA tomos en un mol, la masa de un tomo es la masa de un mol, o masa atmica, dividida entre NA:

NA

[masa del tomo] [masa atmica] (1.3)

Por tanto, la masa de, digamos, un tomo de carbono-12 es

1.992 65 1026 kg6.022 14 1023 1.992 65 10

2312 gramos gramo[masa del tomo carbono-12]

(1.4)

Las masas de los tomos se miden con frecuencia en trminos de la unidad de masa atmica (1 u), que es exactamente 112 de la masa del tomo de carbono-12:

1.992 65 1026 kg

12unidad de masa atmica 1 u (1.5)

Es decir: 1 u 1.660 54 1027 kg (1.6)Obsrvese que, con esta definicin de la unidad de masa atmica, la masa atmica, o el nmero de gramos en un mol, tiene necesariamente el mismo valor numrico que la masa de un tomo expresado en u. As, el tomo de carbono tiene una masa de 12 u; el tomo de hidrgeno, una masa de 1.0 u; el tomo de oxgeno, una masa de 16.0 u, y as sucesivamente.

FIGURA 1.10 Kilogramo patrn internacional.

FIGURA 1.11 Una balanza de alta precisin.

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Cuntos tomos hay en una moneda de 5 centavos de Estados Unidos? Suponga que la moneda est hecha de nquel y tiene

una masa de 5.2 103 kg, o 5.2 gramos. Las masas atmicas aparecen en el apn-dice 8.SOLUCIN: Recurdese que la masa atmica es la masa de un tomo expresada en u. De acuerdo con la tabla peridica de elementos qumicos que aparece en el apndice 8, la masa atmica del nquel es 58.69. As, la masa de un tomo de nquel es 58.69 u, o 58.69 1.66 1027 kg = 9.74 1026 kg. El nmero de tomos en 5.2 103 kg es, por tanto:

5.2 103 kg

9.74 1026 kg 5.3 1022

/tomo tomos

La tabla 1.7 da algunos ejemplos de masas expresadas en kilogramos y la tabla 1.8 es una lista de mltiplos y submltiplos del kilogramo. En el sistema britnico de unida-des, la unidad de masa es la libra, que es exactamente 0.45359237 kg.

Para calcular con rapidez la relacin aproximada entre unidades britnicas y mtri-cas, recurdense las siguientes igualdades aproximadas, buenas dentro de 10% (facto-res de conversin ms exactos se tabulan en el apndice 7):

1 yarda 1 m 1 milla 1.6 km 1 libra 112 kilogramo 1 cuarto de galn 1 litro 1 galn 4 litros

EJEMPLO 2

TABLA 1.7 ALGUNAS MASAS

Universo observable 1053 kgGalaxia 4 1041 kgSol 2.0 1030 kgTierra a) 6.0 1024 kgBarco Queen Elizabeth 7.6 107 kgAvin jet de pasajeros (Boeing 747), vaco 1.6 105 kgAutomvil b) 1.5 103 kgHombre (varn promedio) 73 kgManzana c) 0.2 kgMoneda de 5 centavos de Estados Unidos 5.2 103 kgGota de lluvia 2 106 kgGlbulo rojo de la sangre d) 9 1014 kgEl virus ms pequeo (PSTV de la patata) 4 1021 kgtomo (hierro) 9.5 1026 kgProtn 1.7 1027 kgElectrn 9.1 1031 kg

a) b)

c) d)

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1.5 Unidades derivadas 13

Para obtener un mejor manejo de las unidades mtricas, ayuda saber que: Laalturadeunapersonaes,comnmente,1.6a1.8m. Lamasadeunapersonaes,comnmente,60a75kg. Ladistanciadelejecentraldelcuerpoalamanoestiradaesalrededorde1m.

Revisin 1.4

PREGUNTA 1: Cuntos gramos hay en una tonelada mtrica? Cuntas toneladas m-tricas hay en un miligramo?PREGUNTA 2: Cuntas unidades de masa atmica (u) hay en un kilogramo? (A) 1.66 1026 (B) 1.66 1023 (C) 6.02 1023 (D) 6.02 1026

1.5 UNIDADES DERIVADASEl metro, el segundo y el kilogramo son las unidades fundamentales, o unidades bsicas del sistema mtrico de unidades. Cualquier otra cantidad fsica puede medirse introdu-ciendo una unidad derivada, que se construye mediante alguna combinacin de las unidades bsicas. Por ejemplo, rea puede medirse con una unidad derivada que es el cuadrado de la unidad de longitud; as, en el sistema mtrico, la unidad de rea es el metro cuadrado (1 m 1 m = 1 m2), que es el rea de un cuadrado de un metro por lado (figura 1.12a). Y el volumen puede medirse con una unidad derivada que es el cubo de la unidad de longitud; en el sistema mtrico, la unidad de volumen es el metro cbico (1 m 1 m 1 m = 1 m3), que es el volumen de un cubo de un metro por lado (figura 1.12b). Las tablas 1.9 y 1.10 proporcionan mltiplos y submltiplos de estas unidades.

De manera similar, la densidad o masa por unidad de volumen, puede medirse con una unidad derivada que es la relacin de la unidad de masa y la unidad de volu-men. En el sistema mtrico, la unidad de densidad es el kilogramo por metro cbico (1 kg/m3). Por ejemplo, la densidad del agua es 1 000 kg/m3, que significa que un metro cbico de agua tiene una masa de 1 000 kilogramos. En captulos posteriores se ver que otras cantidades fsicas, tales como rapidez, aceleracin, fuerza, etc., se miden tambin con unidades derivadas.

TABLA 1.8 MLTIPLOS Y SUBMLTIPLOS DEL KILOGRAMO

tonelada mtrica 1 t = 103 kgkilogramo 1 kggramo 1 g = 103 kgmiligramo 1 mg = 106 kgmicrogramo 1 g = 109 kgunidad de masa atmica 1 u = 1.66 1027 kglibra 1 lb = 0.454 kgonza 1 oz = 28.3 gtonelada inglesa 1 ton = 907 kg

FIGURA 1.12 a) Un metro cuadrado. b) Un metro cbico.

1 m3

1 m2

1 m

1 m

1 m

a)

b)

1 m

1 m

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El Sistema Internacional de Unidades, o SI, que se usa en este libro es el sistema ms ampliamente aceptado de unidades en la ciencia y en la ingeniera. Se basa en el metro, el segundo y el kilogramo, adems de una unidad especial para la temperatura y una unidad especial para la corriente elctrica.

Revisin 1.5

PREGUNTA 1: Cuntos centmetros cuadrados hay en un metro cuadrado? Cuntos centmetros cbicos hay en un metro cbico?PREGUNTA 2: Cuntos milmetros cbicos hay en un kilmetro cuadrado?PREGUNTA 3: Cuntos milmetros cbicos hay en un kilmetro cbico? (A) 1018 (B) 106 (C) 106 (D) 1018

1.6 CIFRAS SIGNIFICATIVAS; COHERENCIA DE UNIDADES Y CONVERSIN DE UNIDADES

Cifras significativasLos nmeros que aparecen en las tablas 1.1, 1.5 y 1.7 se escriben en notacin cientfica, con potencias de 10. Esto no slo tiene la ventaja de poder escribir en forma compacta nmeros muy grandes o muy pequeos, sino que tambin sirve para indicar la precisin de los nmeros. Por ejemplo, un cientfico que hubiera visto el maratn de Berln de 1988 en el que Ronaldo da Costa estableci el rcord mundial de 2 h 6 min 5.0 s, ha-bra reportado el tiempo de la carrera como 7.5650 103 s , o 7.565 103 s, o 7.57

TABLA 1.9 MLTIPLOS Y SUBMLTIPLOS DEL METRO CUADRADO

metro cuadrado 1 m2 kilmetro cuadrado 1 km2 = 106 m2 centmetro cuadrado 1 cm2 = 104 m2 milmetro cuadrado 1 mm2 = 106 m2

TABLA 1.10 MLTIPLOS Y SUBMLTIPLOS DEL METRO CBICO

metro cbico 1 m3

kilmetro cbico 1 km3 = 109 m3

litro 1 litro = 103 m3 centmetro cbico 1 cm3 = 106 m3

milmetro cbico 1 mm3 = 109 m3

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1.6 Cifras significativas; coherencia de unidades y conversin de unidades 15

103 s, o 7.6 103 s, dependiendo de si la medicin de tiempo se hizo con un crongra-fo o con un reloj de pulsera con segundero (pero sin botn de detencin), o con un reloj de pulsera sin segundero, o con un reloj de diseador con una de esas cartulas idiotas en blanco sin ningn nmero. La primera de estas opciones permite hacer mediciones con una precisin dentro de 1/10 s; la segunda, dentro de aproximadamente 1 s; la tercera, dentro de 10 o 20 s, y la cuarta dentro de 1 o 2 minutos (si el cientfico es bueno para adivinar la posicin de la manecilla en la cartula en blanco). En este libro se adoptar la regla de que slo se escriben dgitos, o cifras significativas, si se sabe que son confiables de modo razonable. De acuerdo con esta regla, el nmero 7.5650 103 s comprende cinco cifras significativas, de las cuales la ltima (0) representa dcimas de segundo; el nmero 7.565 103 s comprende cuatro cifras significativas, de las cuales la ltima (5) representa segundos y as de manera sucesiva. De esta forma, la notacin cientfica proporciona una indicacin inmediata de la precisin dentro de la cual se ha medido el nmero.

Cuando en los clculos se multiplican o dividen nmeros en notacin cientfica, el resultado final debe siempre redondearse de manera que no tenga ms cifras significa-tivas que los nmeros originales, porque el resultado final no puede ser ms preciso que los nmeros originales en los que se bas. As, el resultado de multiplicar 7.57 103 s por 7.57 103 s es 5.73049 104 s2, que debe redondearse a 5.73 104 s2, porque haba slo tres cifras significativas en los nmeros originales. Cuando se suman o restan nmeros, el resultado debe redondearse al ms grande lugar decimal entre los ltimos dgitos de los nmeros originales. As, 89.23 + 5.7 = 94.93, debe redondearse a 94.9 porque uno de los nmeros originales se conoce slo hasta el lugar de las dcimas.

El dispositivo lser de medicin de distancias de un topgrafo mide un intervalo de tiempo de 1.176 106 s para el viaje de

ida y vuelta de un pulso de luz lser a un marcador. Cul es la distancia de viaje redondo, expresada con el nmero correcto de cifras significativas?SOLUCIN: La distancia que la luz viaja en un intervalo de tiempo de 1.176 106 s es

[distancia] = [rapidez] [tiempo]

352.6 m

a2.997 924 58 108 ms b (1.176 106 s ) (1.7)

donde el resultado que aparece en una calculadora, 352.555 930 6 m, se ha redon-deado en el ltimo paso a 352.6 m; es decir, al mismo nmero de dgitos del factor conocido menos preciso a partir del cual se calcul. Esta precisin de fraccin de metro concuerda con la distancia calculada para un intervalo de un nanosegundo en el ejemplo 1.

Algunas veces, incluso un nmero conocido con muchas cifras significativas se redon-dea a menos cifras significativas por conveniencia, cuando no se necesita alta precisin. Por ejemplo, el valor exacto de la rapidez de la luz es 2.997 924 58 108 m/s; pero para la mayora de los fines, es adecuado redondear este valor a 3.00 108 m/s y con fre-cuencia se emplea este valor aproximado de la rapidez de la luz en los clculos.*

* Al redondear un nmero, se emplea la siguiente regla (por ejemplo, en una calculadora de mano): si el primer dgito de los que se van a eliminar en el redondeo est entre 5 y 9, el dgito anterior se aumenta en 1 (se redondea hacia arriba); si el primer dgito de los que se van a eliminar es de 0 a 4, el dgito anterior permanece sin cambio (redondeo hacia abajo).

EJEMPLO 3 Conceptosen

contexto

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Consistencia de las unidadesEn todas las ecuaciones de fsica, las unidades del lado izquierdo y del lado derecho de la ecuacin deben ser coherentes. Esta coherencia se ilustra por los clculos del ejemplo 3, donde se ve que en el lado derecho de la ecuacin (1.7), las unidades de tiempo se cancelan y el resultado final para el lado derecho tiene entonces unidades de longitud, en concordancia con las unidades del lado izquierdo, que es una distancia y requiere unidades de longitud. Una regla general es que en cualquier clculo con ecuaciones de fsica, las unidades pueden multiplicarse y dividirse como si fueran cantidades algebrai-cas, lo que automticamente da unidades correctas para el resultado final. Este requisi-to de consistencia de las unidades en las ecuaciones de fsica puede formularse de manera ms general como un requisito de consistencia de dimensiones. En este con-texto, se dice que las dimensiones de una cantidad fsica son longitud, tiempo, masa o algn producto o alguna relacin de stas si las unidades de esta cantidad fsica son las de longitud, tiempo, masa o algn producto o alguna relacin de stas. As, el volumen tiene las dimensiones de [longitud]3, la densidad tiene las dimensiones de [masa]/[longitud]3, la rapidez tiene las dimensiones de [longitud]/[tiempo] y as sucesivamen-te. En cualquier ecuacin de fsica, las dimensiones de ambos lados de la ecuacin deben ser las mismas. Por ejemplo, puede probarse la consistencia de la ecuacin (1.7) examinan-do las dimensiones de las cantidades que aparecen en esta ecuacin:

[longitud] = [longitud] [tiempo] [tiempo] (1.8)

Las dimensiones se usan a menudo en pruebas preliminares de la consistencia de las ecuaciones, cuando se sospecha que hay algn error en la ecuacin. Una prueba de la coherencia de las ecuaciones no nos dice ms que la prueba de la consistencia de las unidades, pero tiene la ventaja de que no es necesario comprometerse con una eleccin especial de unidades ni preocuparse por las conversiones entre mltiplos y submltiplos de las unidades. Tmese en cuenta que si una ecuacin no pasa esta prueba de consis-tencia, se confirma que est equivocada; pero si pasa la prueba, esto no asegura que est correcta.

Algunas veces, las dimensiones se usan para encontrar relaciones en-tre cantidades fsicas. Una determinacin as de la proporcionalidad co-rrecta entre potencias de cantidades pertinentes se llama anlisis dimensional. ste se realiza exigiendo la consistencia de las dimensio-nes de las unidades en cada lado de una ecuacin. El anlisis dimensio-nal resultar til cuando haya ms familiaridad con ms cantidades fsicas y sus dimensiones.

El desastroso fin de la misin espacial Mars Climate Orbiter el 3 de diciembre de 1999 (vase la figura 1.13) ensea una leccin sobre la importancia de poner siempre unidades junto con una cantidad. Los ingenieros de Lockheed Martin proporcionaron los datos operativos del artefacto espacial, necesarios para la navegacin, en unidades britnicas en vez de mtricas. Los controladores de vuelo supusieron que los datos estaban en unidades mtricas; as, la sonda espacial no se comport como se esperaba cuando se encendieron los cohetes de empuje perti-nentes cerca de Marte. La misin de 155 000 000 de dlares fue una prdida total cuando la nave espacial entr a la atmsfera y se estrell, en vez de orbitar alrededor de Marte.

Conversin de unidadesEn muchos clculos, es necesario convertir cantidades expresadas en un sistema de unidades a otro sistema de unidades. Tales conversiones no

FIGURA 1.13 Representacin artstica de la nave espacial Mars Climate Orbiter.

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requieren ms que sencillas sustituciones de cantidades equivalentes en los dos siste-mas (puede encontrarse una lista muy completa de cantidades equivalentes en dife-rentes unidades en el apndice 7). Por ejemplo, la densidad del agua es 1.000 103 kg/m3. Para expresar esto en g/cm3, se sustituye 1 kg = 1 000 g y 1 m = 100 cm y se encuentra

1.000 gcm3

1.000 103 kgm3 1.000 103

(100 cm)3 1.000 103 10

3 g

106 cm31 000 g

Un mtodo alternativo para la conversin de unidades de un sistema a otro utiliza la multiplicacin por factores que son idnticamente iguales a 1. Como 1 kg = 1 000 g, se tiene la identidad

1 1 kg

1 000 g

y de modo similar,

1 1 m100 cm

Esto significa que cualquier cantidad puede multiplicarse por (1 000 g)/(1 kg) o (1 m)/(100 cm) sin cambiar su valor. As, comenzando con 1.000 103 kg/m3, se obtiene

1.000 103 1100

1100

1100

kgm3 g

kg m

3

cm3

1.000 103 kgm3 1.000 103 kg

m3

1 kg 1 m

100 cm 1 m

100 cm 1 m

100 cm

1 000 g

1 000

Haciendo las multiplicaciones y cancelando el kg y el m3, se encuentra

1.000 103 kgm3 1.000 g

cm3 (1.9)

Relaciones tales como (1 000 g)/(1 kg) o (1 m)/(100 cm), que son idnticamente iguales a 1, se llaman factores de conversin. Para cambiar las unidades de una canti-dad, simplemente se multiplica la cantidad por uno o varios factores de conversin que producirn la cancelacin deseada de las viejas unidades.

La relacin cociente de dos cantidades con dimensiones o unidades idnticas no tendr ninguna dimensin. Por ejemplo, la pendiente de una trayectoria en relacin con la direccin horizontal se define como la relacin del incremento de altura al incre-mento de distancia horizontal. Como sta es la relacin de dos longitudes, es una cantidad adimensional. Del mismo modo, el seno de un ngulo se define como la rela-cin de dos longitudes; en un tringulo rectngulo, el seno de uno de los ngulos agu-dos es igual a la longitud del lado opuesto dividida entre la longitud de la hipotenusa (vase Ayuda matemtica: Trigonometra del tringulo rectngulo, para un repaso). As, la pendiente, el seno, el coseno y la tangente de un ngulo son ejemplos de canti-dades adimensionales.

Inmediatamente despus del despegue, un avin jet de pasajeros se eleva alejndose de la pista en un ngulo ascendente de 12

(vase la figura 1.14). Cul es la pendiente de la trayectoria de ascenso del avin? Qu altitud alcanza a una distancia horizontal de 2 000 m o 2.0 km desde el punto de despegue?

EJEMPLO 4


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SOLUCIN: Si P es un punto de la trayectoria a la distancia horizontal OQ y a una altura PQ (vase la figura 1.13), entonces la pendiente de la trayectoria es

[pendiente] = [altura]

[distancia horizontal] = PQOQ (1.10)

La trigonometra dice que en el tringulo rectngulo OPQ, la relacin PQ/OQ es la tangente del ngulo (vase el recuadro de Ayuda matemtica); por tanto,

[pendiente] = tan Con la calculadora, se encuentra que la tangente de 12 es 0.21. Por tanto,

[pendiente] = 0.21Este nmero adimensional significa que el avin se eleva 0.21 m por cada 1 m que avanza en la direccin horizontal. Frecuentemente, las pendientes se expresan como relaciones; as, una pendiente de 0.21 se puede expresar en la forma alterna 21:100.

Por proporciones, la altura que alcanza el avin en 2 000 metros de avance ho-rizontal debe ser 2 000 veces ms grande que la altura por 1 metro de avance hori-zontal; es decir,

[altura] = 2 000 m 0.21 = 4.2 102 m

Distancia horizontal

Altura

O Q

P

12

La pendiente de esta lnea es la relacin de altura a distancia horizontal y es igual a la tangente del ngulo de ascenso.

FIGURA 1.14 Un jet de pasajeros toma altura despus del despegue.

TCNICAS PARA RESOLUCIN DE PROBLEMAS UNIDADES Y CIFRAS SIGNIFICATIVAS

En todos los clculos con ecuaciones de fsica, siempre incluya las unidades en sus clculos y multiplquelas y divdalas como si fueran cantidades algebraicas. Esto automticamente pro-ducir las unidades correctas para el resultado final. Si no resulta as, usted ha cometido algn error en el clculo. Por tanto, siempre vale la pena seguir la pista de las unidades en el clculo, ya que esto da algo de proteccin extra contra errores costosos. Si las cancelaciones esperadas no ocurren, esto es una seal segura de que hay problemas!

Si es necesario cambiar las unidades de una cantidad, sustituya las unidades viejas por cantidades iguales de uni-dades nuevas, o bien multiplique las unidades viejas por los factores de conversin que produzcan la cancelacin de las unidades viejas.

Siempre redondee su resultado final a tantas cifras sig-nificativas como se especifique en los datos que se tiene. Pongamos por caso el ejemplo 3, se redonde el resultado final a cuatro cifras significativas, ya que se especificaron cuatro cifras significativas en el intervalo de tiempo medido por el dispositivo. Cualquier cifra significativa adicional en el resultado final ser no confiable y engaosa. De hecho, incluso las cuatro cifras significativas en la respuesta [ecua-cin (1.7)] no son suficientemente confiables: el clculo de un tiempo especificado con una precisin de 1 nanosegundo dara una distancia precisa a slo 0.3 m, como en el ejemplo 1. Siempre es sensato dudar de la precisin de la ltima cifra significativa, en el resultado final y (algunas veces) tambin en los datos iniciales.

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Puede obtenerse un aproximado del tamao de una molcula mediante el siguiente experimento sencillo. Tome una gota de

aceite y deje que se extienda en una superficie lisa de agua. Cuando la pelcula de aceite adquiere su rea mxima, consiste en una capa monomolecular, es decir, consiste en una sola capa de molculas de aceite asentadas una al lado de otra sobre la superficie del agua. Dado que una gota de aceite de 8.4 107 kg de masa y una densidad de 920 kg/m3 se extiende como una pelcula de aceite con un rea mxi-ma de 0.55 m2, calcule la longitud de una molcula de aceite.SOLUCIN: El volumen de la gota de aceite es

[volumen] = [masa]

[densidad]

8.4 107 kg

920 kg/m3 9.1 1010 m3 (1.11)

El volumen de la pelcula de aceite debe ser exactamente el mismo. Este ltimo volumen puede expresarse en trminos del espesor y el rea de la pelcula de aceite:

[volumen] = [espesor] [rea]Consecuentemente,

[espesor] = [volumen]

[rea]

9.1 1010 m3

0.55 m2 1.7 109 m (1.12)

Como se dice que la pelcula de aceite consiste en una sola capa de molculas asen-tadas una al lado de otra, la longitud de una molcula es la misma que el espesor calculado, 1.7 109 m.

EJEMPLO 5

AYUDA MATEMTICA TRIGONOMETRA DEL TRINGULO RECTNGULO

Si es uno de los ngulos agudos de un tringulo rectngulo, el lado que est enfrente de este ngulo es el cateto opuesto; el lado que est junto al ngulo es el cateto adyacente y el lado que se en-cuentra frente al ngulo recto es la hipotenusa.

La figura muestra un tringulo rectngulo con un ngulo , sus catetos opuesto y adyacente y la hipotenusa. El seno, el coseno y la tangente de se definen como sigue:

sen = [cateto opuesto]

[hipotenusa]

cos = [cateto adyacente]

[hipotenusa]

tan = [cateto opuesto]

[cateto adyacente]

El teorema de Pitgoras establece que[hipotenusa]2 = [cateto opuesto]2 + [cateto adyacente]2

Este teorema implica que 1 = sen2 + cos2 . En principio, el valor numrico del seno, del coseno o de

la tangente de cualquier ngulo puede encontrarse trazando un tringulo rectngulo con este ngulo, midiendo sus lados y calculando las relaciones dadas en las definiciones. En la prctica, los valores numricos de las tangentes, los cosenos y los senos se obtienen mediante calculadoras electrnicas de mano.

El apndice 3 da un repaso adicional de trigonometra.

catetoopuesto

q

cateto adyacente

hipotenu

sa


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Revisin 1.6

PREGUNTA 1: Si usted usa una regla ordinaria marcada en milmetros, hasta cuntas cifras significativas puede medir la longitud, la anchura y el espesor de su libro de texto? Del mismo modo, hasta cuntas cifras significativas puede usted calcular el volumen?PREGUNTA 2: Cuntas cifras significativas hay en los siguientes nmeros: 7.3, 1.24, 12.4, 4.85 106?PREGUNTA 3: Usted multiplica 7.3 y 1.24. Cuntas cifras significativas hay en el resultado?PREGUNTA 4: Usted suma 73 y 1.2 102. Cul es el resultado? Cuntas cifras signi-ficativas hay en l?PREGUNTA 5: Cul es el factor de conversin de m a km?; y el de km a m?; y el de cm a km?; y el de m2 a km2?; y el de m3 a km3?; y el de m/s a mi/h?PREGUNTA 6: Cul es el factor de conversin de m/s a km/h?

(A) (1 km/103 m) (3 600 s/1 h) (B) (103 km/1 m) (3 600 s/1 h)(C) (103 m/1 km) (3 600 s/1 h) (D) (103 m/1 km) (1 h/3 600 s)(E) (103 m/1 km) (3 600 h/1 s)

RESUMEN

TCNICAS PARA RESOLUCIN DE PROBLEMAS Unidades y cifras significativas (pgina 18)

AYUDA MATEMTICA Trigonometra del tringulo rectngulo (pgina 19)

PARTCULA IDEAL Una masa puntual, cuyo movimiento puede describirse completamente, dando su posicin como funcin del tiempo.

MARCO DE REFERENCIA Un sistema de coordenadas con un conjunto de relojes sincronizados.

UNIDADES SI DE LONGITUD, TIEMPO Y MASA Metro, segundo, kilogramo.

ESTNDARES DE LONGITUD, TIEMPO Y MASA Rapidez de la luz, reloj atmico de cesio y cilindro patrn de platino-iridio.

NMERO DE AVOGADRO NA = 6.022 1023 tomos o molculas por mol. (1.2)

UNIDAD DE MASA ATMICA 1 u = 1.66 1027 kg. (1.4)

MOL La cantidad de materia que contiene tantos tomos (o molculas) como en exactamente 12 g de carbono-12.

y'

Ox'

Este marco de referencia se mueve con el barco.

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Preguntas para discusin 21

UNIDADES DERIVADAS Una unidad construida mediante alguna combinacin de las unidades bsicas de longitud, tiempo y masa.

CIFRAS SIGNIFICATIVAS Los dgitos de un nmero que se conocen con certeza (el ltimo de estos dgitos a menudo no es completamente confiable). Cuando se multiplican o dividen dos o ms cantidades, el resultado tiene el mismo nmero de cifras significativas que el menor nmero de cifras significativas en las cantidades originales. Cuando se suman o se restan dos o ms cantidades, el nmero de cifras significativas en el resultado se determina por el ms lejano lugar despus del punto decimal entre los ltimos dgitos en las cantidades originales.

COHERENCIA DE LAS UNIDADES En cualquier ecuacin, las dimensiones (las potencias de la longitud, el tiempo y la masa) a cada lado de la ecuacin deben ser las mismas.

FACTORES DE CONVERSIN La relaciones que son idnticamente iguales a 1, que se usan como factores para cambiar las unidades de una cantidad.

PREGUNTAS PARA DISCUSIN

1. Trate de estimar visualmente las longitudes, en centmetros o metros, de unos pocos objetos en su entorno inmediato. Luego mdalos con una regla o con una vara mtrica. Cun buenos fueron sus estimados?

2. Cun prximo est su reloj ahora del tiempo estndar? Aproximadamente cuntos minutos se adelanta o se atrasa por mes?

3. Qu significa la frase un instante en el tiempo? 4. Los relojes mecnicos (con pndulos) no se inventaron hasta el

siglo x de nuestra era. Qu relojes usaban los antiguos griegos y romanos?

5. Contando en voz alta uno ciento uno, dos ciento dos, tres ciento tres, etc., con una rapidez moderadamente rpida, usted puede medir segundos con razonable precisin. Trate de medir 30 segundos de esta manera. Qu tan buen tomador de tiempo es usted?

6. Los relojes de pndulo se afectan por la temperatura y la pre-sin del aire. Por qu?

7. En 1761, un cronmetro preciso, construido por John Harrison (vase la figura 1.15) se prob a bordo del buque HMS Dep-tford durante un viaje de 5 meses en el mar. En este viaje, el cronmetro acumul un error menor de 2 minutos. Por este lo-gro, se otorg finalmente a Harrison un premio de 20 000 li-bras esterlinas que haba ofrecido el gobierno britnico por el descubrimiento de un mtodo preciso para la determinacin de la longitud geogrfica en el mar. Explique cmo usa un cron-

metro y la observacin de la posicin del Sol en el cielo el nave-gante de un barco para encontrar la longitud geogrfica.

1 m3

1 m

1 m

1 m

FIGURA 1.15 Cronmetro de Harrison H.4.

8. Wrinkles in Practical Navegation, del capitn Lecky, famoso li-bro de texto del siglo xix sobre navegacin celeste, recomienda que cada barco lleve tres cronmetros para la medicin precisa del tiempo. Qu puede hacer el navegante con tres cronme-tros que no pueda hacer con dos?

9. Suponga que por un desastre natural o un acto vandlico se destruyera el kilogramo patrn de Svres. Destruira esto al sistema mtrico?

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la lista ms larga que pueda y d las unidades. Son todas estas unidades derivadas del metro, el segundo y el kilogramo?

12. Podra tomarse la longitud, el tiempo y la densidad como las tres unidades fundamentales? Qu podramos usar como es-tndar de la densidad?

13. Podra tomarse la longitud, la masa y la densidad como las tres unidades fundamentales? Y la longitud, la masa y la rapidez?

10. Estime las masas, en gramos y kilogramos, de unos pocos cuer-pos en su entorno. Verifique las masas con una balanza si tiene una a la mano.

11. Considere el trozo de papel en el que est escrita esta frase. Si tuviera a su disposicin instrumentos adecuados, qu canti-dad fsica podra usted medir en este pedazo de papel? Haga

PROBLEMAS

1.2 La unidad de longitud

1. Cul es su altura en pies? Y en metros? 2. Con una regla, mida el espesor de este libro, excluyendo las pas-

tas. Deduzca el espesor de cada una de las pginas que forman el libro.

3. Una cancha de ftbol americano mide 100 yd 53 13 yd. Exprese cada una de estas longitudes en metros.

4. Si cada paso que usted da es de 0.60 m, cuntos pasos necesita para andar 1 km?

5. La pica es una unidad de longitud que usan los impresores y los diseadores de libros; 1 pica = 16 pulgada, que es la distancia estndar entre una lnea de tipos producida en una mquina de escribir y la siguiente lnea (a rengln seguido). Cuntas picas de longitud y anchura mide una hoja estndar de papel de 11 pulgadas de largo y 8 12 pulgadas de ancho?

6. Exprese los ltimos cuatro elementos de la tabla 1.1 en pulgadas. 7. Exprese las siguientes fracciones de pulgada en milmetros: 12 , 1

4 , 18 , 116, 132 y 164 de pulgada. 8. Exprese 1 mil (una milsima de pulgada) en micrmetros (mi-

cras). Exprese 1 mm en mils. 9. Las analogas pueden ayudar a menudo a imaginar las distan-

cias muy grandes o muy pequeas que ocurren en la astronoma o en la fsica atmica.

a) Si el Sol fuera del tamao de una toronja, de qu tamao sera la Tierra? Qu tan lejos estara la estrella ms cercana?

b) Si su cabeza fuera del tamao de la Tierra, de qu tamao sera un tomo? De qu tamao sera un glbulo rojo de la sangre?

10. Uno de los objetos ms distantes que observan los astrnomos es el qusar Q1208+1011, a una distancia de 12.4 mil millones de aos luz de la Tierra. Si usted quisiera graficar la posicin de este qusar a la misma escala que el diagrama en la parte supe-rior de la pgina XXXVI del Preludio, cun lejos del centro del diagrama tendra usted que colocar este qusar?

11. A la escala del segundo diagrama de la pgina XXXVI del prefacio, cul tendra que ser el tamao del punto central si tuviera que representar fielmente el tamao del Sol?

12. Un interfermetro usa la imagen que se produce mezclando on-das de luz lser con objeto de medir distancias con extremada precisin. La longitud de onda de las ondas de luz lser que se usa es de 633 nanmetros. Un interfermetro de fibra ptica puede medir una distancia de 106 veces el tamao de una lon-gitud de onda. Cmo se compara esta precisin con el dime-tro de un tomo?

*13. La cuerda de un tornillo se describe a menudo en trminos del nmero de vueltas completas que se necesitan para que el torni-llo avance una pulgada (unidades inglesas) o en trminos del nmero de milmetros que avanza el tornillo en una vuelta completa (unidades mtricas). Para ajustes delicados, los cient-ficos usan a menudo tornillos, con cuerda de 80 vueltas por pul-gada o con una cuerda de 0.5 mm por vuelta. Exprese cada una de stas en trminos del nmero de micrmetros que avanza el tornillo al girar una vuelta parcial con un ngulo de 5.

*14. Una milla nutica (nmi) es igual a 1.151 mi, o 1 852 m. De mues-tre que la distancia de 1 nmi a lo largo de un meridiano de la Tierra corresponde a un cambio en latitud de 1 minuto de arco.

**15. Una fsica planta un poste vertical en la lnea de agua en la ori-lla de un lago tranquilo. Cuando ella se para junto al poste, la punta de ste queda al nivel de sus ojos, 175 cm sobre la lnea de agua. Ella luego rema a travs del lago y camina a lo largo de la lnea de agua en la orilla opuesta hasta que se coloca tan lejos del poste que la vista de ste queda totalmente bloqueada por la curvatura de la superficie del lago, es decir, todo el poste queda debajo del horizonte (figura 1.16). Ella encuentra que esto su-cede cuando su distancia al poste es de 9.4 km. A partir de esta informacin, deduzca el radio de la Tierra.

FIGURA 1.16 La distancia entre la fsica y el poste es de 9.4 km.

9.4 km

1.75 m

R

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Problemas 23

1.3 La unidad de tiempo

16. Cul es su edad en das? Y en segundos? 17. La edad de la Tierra es de 4.5 109 aos. Exprese esto en

segundos. 18. Una computadora puede realizar un solo paso de clculo cada

nanosegundo (109 s). Cuntos pasos puede realizarse en una hora?

19. Carlos Lopes, de Portugal, estableci un rcord olmpico de maratn de 2 h 9 min 21 s en 1984. Exprese el tiempo en segundos.

20. Joan Benoit, de Estados Unidos, estableci el rcord olmpico de maratn femenil en 1984, con un tiempo de 2 h 24 min 52 s. Exprese este tiempo en segundos.

21. El da solar es el intervalo en el que la Tierra completa una ro-tacin alrededor de s misma y el da sideral es el intervalo en el que la Tierra completa una rotacin respecto a estrellas distan-tes. El da solar tiene exactamente 24 horas. Cuntas horas y minutos hay en un da sideral? (Sugerencia: Un ao tiene 365.24 das solares, pero 366.24 das siderales. Por qu?)

22. Un reloj mecnico de pulsera hace tic 4 veces por segundo. Su-ponga que este reloj trabaja durante 10 aos. Con qu frecuen-cia hace tic en este intervalo?

23. A cuntos das equivale 1 milln de segundos? 24. Cuntas horas hay en una semana? Cuntos segundos? 25. Su corazn late 71 veces por minuto. Con qu frecuencia late

por ao? *26. Cada da al medioda, un reloj mecnico de pulsera se compar

con las seales de tiempo de WWV. El reloj no se ajust. Se atrasaba uniformemente como sigue: 24 de junio, retrasado 4 s; 25 de junio, retrasado 20 s; 26 de junio, retrasado 34 s; 27 de ju-nio, retrasado 51 s.

a) Para cada uno de los intervalos de 24 horas, calcule la rapi-dez con la que el reloj de pulsera se retras. Exprese su res-puesta en segundos de retraso por hora.

b) Cul es el promedio de las rapideces de retraso que se en-contraron en el inciso a)?

c) Cuando el reloj de pulsera muestra el 30 de junio, cul es el tiempo correcto WWV? Haga este clculo con la rapidez promedio de retraso del inciso b) y tambin con las rapide-ces ms altas de retraso que se encontraron en el inciso a). Estime con cuntos segundos de precisin puede confiarse en el reloj de pulsera el 30 de junio, despus de haber hecho la correccin para la rapidez de retraso.

*27. El navegante de un velero trata de determinar su longitud geo-grfica observando a qu hora (Coordinated Universal Time: CUT) alcanza el Sol el cenit en su posicin (medio da local). Suponga que el cronmetro del navegante est equivocado y est 1.0 segundos retrasado en comparacin con el CUT. Cul ser el consecuente error de longitud (en minutos de arco)? Cul ser el error de posicin (en kilmetros) si el barco est en el Ecuador?

1.4 La unidad de masa

28. Cul es su masa en libras? En kilogramos? En unidades de masa atmica?

29. Qu porcentaje de la masa del Sistema Solar est en los plane-tas? Qu porcentaje est en el Sol? Use los datos de la tabla impresa dentro de la cubierta (guarda) de este libro.

30. Cul es la relacin de la mayor a la menor de las longitudes enlistadas en la tabla 1.1. Cul es la relacin del tiempo ms largo al ms corto en la tabla 1.5? Cul es la relacin de la masa ms grande a la ms pequea en la tabla 1.7? Ve algunas coincidencias (o casi coincidencias) entre estos nmeros? Algu-nos fsicos han propuesto que las coincidencias entre estos grandes nmeros deben explicarse mediante nuevas teoras cosmolgicas.

31. El tomo de uranio tiene 92 electrones, cada uno con masa 9.1 1031 kg y un ncleo. Qu porcentaje de la masa total corresponde a los electrones y cul al ncleo del tomo?

32. Una microbalanza de laboratorio puede medir una masa de una dcima de microgramo, una muy pequea mota de materia. Cuntos tomos hay en una mota as de oro, que tiene 197 gramos en un mol?

33. Las unidades inglesas usan la libra ordinaria, llamada tambin libra avoirdupois, para especificar la masa de la mayora de cla-ses de cosas; sin embargo, a menudo se usa la libra troy para medir piedras preciosas, metales preciosos y medicinas donde 1 libra troy = 0.822 86 libras avoirdupois. Si adoptamos estas libras diferentes, cuntos gramos hay en una libra troy de oro?, y cuntos en una libra avoirdupois de plumas?

34. Los nanoosciladores mecnicos pueden detectar un cambio de masa tan pequeo como 1021 kg. Cuntos tomos de hierro (55.85 g/mol) debe depositarse en un oscilador para producir un cambio de masa medible?

35. a) Cuntas molculas de agua hay en una taza de agua? Una taza contiene alrededor de 250 cm3.

b) Cuntas molculas de agua hay en el ocano? El volumen total del ocano es de 1.3 1018 m3.

c) Suponga que vierte una taza de agua en el mar, permite que se mezcle por completo y luego toma una taza de agua del mar. En promedio, cuntas molculas que estaban origi-nalmente en la taza estarn nuevamente en la taza?

*36. Cuntos tomos hay en el Sol? La masa del Sol es de 1.99 1030 kg y su composicin qumica (por masa) es aproxi-madamente 70% hidrgeno y 30% helio.

*37. La composicin qumica del aire (por masa) es: 75.5% N2, 23.2% O2 y 1.3% Ar. Cul es la masa molecular promedio del aire? Es decir, cul es la masa de 6.02 1023 molculas de aire?

*38. Cuntos tomos hay en un cuerpo humano de 73 kg? La com-posicin qumica (por masa) del cuerpo humano es: 65% oxge-no, 18.5% carbono, 9.5% hidrgeno, 3.3% nitrgeno, 1.5% calcio, 1% fsforo y 0.35% otros elementos (ignore los otros elementos en su clculo).

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1.5 Unidades derivadas1.6 Cifras significativas; conversin

de unidades

39. Como se ve desde la Tierra, el Sol tiene un dimetro angular de 0.53. La distancia entre la Tierra y el Sol es de 1.5 1011 m. A partir de esto, calcule el radio del Sol.

40. El ao luz es la distancia que recorre la luz en un ao. Exprese el ao luz en metros.

41. La distancia de nuestra galaxia a la galaxia de Andrmeda es 2.2 106 aos luz. Exprese esta distancia en metros.

42. En una analoga con el ao luz, puede definirse el segundo luz como la distancia que recorre la luz en un segundo, y el minuto luz como la distancia que recorre la luz en un minuto. Exprese la distancia Tierra-Sol en minutos luz. Exprese la distancia Tierra-Luna en segundos luz.

43. Los astrnomos usan frecuentemente la unidad astronmica (AU), el parsec (pc) y el ao luz. La AU es la distancia de la Tierra al Sol; una AU = 1.496 1011 metros. El pc es la dis-tancia a la que 1 AU subtiende un ngulo de exactamente 1 se-gundo de arco (figura 1.17). El ao luz es la distancia que recorre la luz en 1 ao. *

a) Exprese el pc en AU. b) Exprese el pc en aos luz. c) Exprese el pc en metros.

44. Cuntos pies cuadrados hay en un metro cuadrado? 45. Cuntos pies cbicos hay en un metro cbico? 46. Una cancha de tenis mide 78 pies por 27 pies. Calcule el rea

de esta cancha. Exprese sus resultados en metros cuadrados. 47. El hombre ms alto fue Robert Wadlow, que continu creciendo

durante toda su vida y lleg a una estatura de 8 pies 11.1 pulga-das un poco antes de su muerte en 1940. Exprese su altura en metros. Cuntas cifras significativas hay en su resultado?

48. Un campo de ftbol americano mide 100 yd 53 13 yd. Calcu-le el rea de este campo; exprese sus resultados en metros cuadrados.

49. La densidad del cobre es de 8.9 g/cm3. Exprese esto en kg/m3, lb/pie3 y lb/pulg3.

Estrictamente, es el eje semimayor de la rbita de la Tierra.

50. Cul es el volumen de un cuerpo humano promedio? (Suge-rencia: La densidad del cuerpo es aproximadamente la misma que la del agua.)

51. Su corazn bombea 92 cm3 de sangre por segundo (en reposo). Cunta sangre bombea por da? Exprese la respuesta en m3.

52. Como se indica en el problema precedente, su corazn bombea 92 cm3 de sangre por segundo. Si su volumen total de sangre es de 5.2 litros, cul es el tiempo promedio de viaje para que su sangre complete un viaje completo por su sistema circulatorio?

53. Las computadoras usan comnmente muchos millones de tran-sistores; cada transistor ocupa un rea de aproximadamente 106 m 106 m = 1012 m2. Cuntos de estos transistores pueden acomodarse en un chip de silicio de 1 cm2? Las compu-tadoras de generaciones futuras pueden explotar un acomodo tridimensional de los transistores. Si cada capa de transistores tiene un espesor de 107 m, cuntos transistores podran aco-modarse en un cubo de silicio de 1 cm3?

54. El agua tiene una densidad de 1.00 g/cm3. Exprese esto en li-bras por galn.

55. Exprese los resultados de los siguientes clculos en notacin cientfica con un nmero apropiado de cifras significativas:

a) 3.6 104 2.049 102. b) 2.581 102 7.264 101. c) 0.079832 9.43. 56. Nuestro Sol tiene un radio de 7.0 108 m y una masa de

2.0 1030 kg. Cul es la densidad promedio? Exprese su res-puesta en gramos por centmetro cbico.

57. Los plsares o estrellas de neutrones tienen comnmente un ra-dio de 20 km y una masa igual a la del Sol (2.0 1030 kg). Cul es la densidad promedio de un plsar como stos? Exprese su res-puesta en toneladas mtricas por centmetro cbico.

58. El volumen total de los ocanos de la Tierra es 1.3 1018 m3. Qu porcentaje de la masa de la Tierra est en los ocanos?

59. Una manguera contra incendio surte 300 litros de agua por mi-nuto. Exprese esto en m3/s. A cuntos kilogramos de agua por segundo equivale esto?

60. Los meteorlogos generalmente reportan la cantidad de lluvia en trminos de la altura en pulgadas a la que se acumulara el agua en una superficie plana si no se dispersara. Suponga que 1 pulgada de lluvia cae durante una tormenta. Exprese esto en metros cbicos de agua por metro cuadrado de superficie. A cuntos kilogramos de agua por metro cuadrado de superficie equivale esto?

61. Los ncleos de todos los tomos tienen aproximadamente la misma densidad de masa. El ncleo de un tomo de cobre tiene una masa de 1.06 1025 kg y un radio de 4.8 1015 m. El ncleo de un tomo de plomo tiene una masa de 3.5 1025 kg. Cul es su radio? El ncleo de un tomo de oxgeno tiene una masa de 2.7 1026 kg. Cul es su radio? Suponga que los n-cleos son esfricos.

62. La tabla impresa dentro de la tapa del libro da las masas y los radios de los principales planetas. Calcule la densidad promedio

FIGURA 1.17 Geometra que relaciona la unidad astronmica (AU) con el parsec (pc).

1 pc

1 AU

1"

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Problemas de repaso 25

de cada planeta y haga una lista de los planetas en orden de den-sidades decrecientes. Hay una correlacin entre la densidad de un planeta y su distancia al Sol?

63. El techo de una casa tiene una pendiente o inclinacin de 1:1 (es decir, 45). El techo tiene una forma compleja, con varios gable-tes y buhardillas (vase la figura 1.18), pero todas las superficies de techo tienen la misma pendiente. El rea del piso de planta es de 250 m2. Cul es el rea de la superficie del techo?

64. El Sistema de Posicionamiento Global (GPS) que usan los na-vegadores de barcos y aviones utiliza seales de radio de satli-tes artificiales para determinar la posicin de la nave. Las unidades porttiles que se usan en los yates (vase la figura 1.19) incluyen un receptor de radio y una computadora. Dan la posicin con una precisin dentro de 15 m. Qu error de n-gulo de latitud corresponde a un error norte-sur de 15 m a lo largo de la superficie de la Tierra?

65. Algunos cristales pueden pulirse en un ngulo para producir escalones atmicos agudos (vase la figura 1.20). Cul ngulo debera escogerse para producir un escaln cada cinco to-mos? Y cul para un escaln cada diez tomos? Cuntos to-mos habr a lo largo de un escaln si un cristal es pulido en forma tan plana como se acostumbra normalmente en la prcti-ca, de manera usual alrededor de 0.10?

66. Usted desea calcular la altura de un rascacielos desde el piso. Para hacerlo, camina 50 pasos (aproximadamente 75 m) alejn-dose de una pared vertical y, usando un transportador, mide un ngulo de 78, que es la lnea del campo de visin que el rasca-cielos hace con la horizontal hasta lo alto. Cunto mide el ras-cacielos? Cuntas cifras significativas hay en su resultado?

67. En un ao astronmico, o ao tropical, de 365.24 das, la Tie-rra se mueve una vez alrededor del Sol; es decir, se mueve 360 a lo largo de su rbita y regresa al mismo punto de la rbita. Qu tan lejos alrededor del Sol, en grados, se mueve la Tierra en 4 aos calendario consecutivos (uno de los cuales es un ao bisiesto de 366 das)?

*68. En las Galpagos (sobre el Ecuador), la pequea isla de Mar-chena est a 60 km al oeste de la pequea isla de Genovesa. Si el Sol se oculta a las 8:00 p.m. en Genovesa, cundo lo har en Marchena?

*69. Para los rboles altos, el dimetro en la base (o el dimetro en cualquier punto del tronco, como el punto medio) es proporcio-nal en forma aproximada a la longitud elevada a . La enorme secuoya en Sequoia National Park en California mide 81 m, un dimetro de 7.6 m en la base y una masa de 6 100 toneladas mtricas. Una secuoya fosilizada que se hall en Nevada mide 90 m. Estime el dimetro en la base y tambin la masa que te-na cuando an viva.

FIGURA 1.20 Escalones atmicos de un cristal.

FIGURA 1.18 Techo de una casa.

FIGURA 1.19 Receptor de Sistema de Posicionamiento Global (GPS).

PROBLEMAS DE REPASO

70. La Tierra es aproximadamente una esfera de 6.37 106 m de radio. Calcule la distancia del polo al Ecuador, medida a lo lar-go de la superficie de la Tierra. Calcule la distancia del polo al Ecuador, medida a lo largo de una lnea recta que pase a travs de la Tierra.

71. La masa atmica del uranio fisionable es de 235.0 g. Cul es la masa de un solo tomo de uranio? Exprese su respuesta en kilogramos y en unidades de masa atmica.

72. Cuntas molculas de agua hay en 1.0 litros de agua? Cun-tos tomos de oxgeno? Cuntos tomos de hidrgeno?

73. Cuntas molculas hay en un centmetro cbico de aire? Su-ponga que la densidad del aire es de 1.3 kg/m3 y que consiste completamente en molculas de nitrgeno (N2). La masa at-mica del nitrgeno es de 14.0 g.

74. La sangre humana normal contiene 5.1 106 glbulos rojos por milmetro cbico. El volumen total de la sangre en un hombre de 70 kg es de 5.2 litros. Cuntos glbulos rojos tiene este hombre?

q

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75. Una pintura epxica se usa para pintar el casco de un barco y se aplica a razn de un litro de pintura por 8 metros cuadrados de superficie del casco. Cul ser el espesor de la pelcula de pin-tura recin aplicada?

76. Las chimeneas en Estados Unidos arrojan alrededor de 8 106 toneladas mtricas de cenizas por ao. Si este material se sedi-menta uniformemente sobre toda la superficie de ese pas (9.4 106 km2), cuntos kilogramos de ceniza se depositarn por metro cuadrado cada ao?

77. Durante muchos aos, el lmite federal de velocidad en carrete-ra era de 55 mi/h. Exprese esto en kilmetros por hora, pies por segundo y metros por segundo.

78. El ncleo de un tomo de hierro es esfrico y tiene un radio de 46 1015 m. La masa del ncleo es 9.5 1026 kg. Cul es la densidad del material nuclear? Exprese su respuesta en tone-ladas mtricas por centmetro cbico.

79. La duracin de vida humana ms larga oficialmente verificada es la del japons Shigechiyo Izumi, quien muri en 1986 a la edad de 120 aos y 237 das. Exprese esta edad en segundos. Cuntas cifras significativas tiene su resultado?

80. Un camino de subida a una colina tiene una pendiente de 1:9. A qu altura asciende en 300 metros de distancia horizontal? Cul es la distancia correspondiente medida a lo largo del camino?

81. Una avioneta de un solo motor est volando a una altura de 5 000 metros a una distancia (horizontal) de 18 km del aero-puerto de San Francisco cuando el motor se apaga. La aviadora sabe que, sin el motor, el avin planear hacia abajo a un ngulo de 15. Puede llegar a San Francisco?

*82. Usted est cruzando el Atlntico en un velero y espera recalar en las Azores. El pico ms alto de las Azores mide 2 300 m. Desde qu distancia puede ver este pico saliendo apenas del horizonte? Suponga que sus ojos estn (casi) al nivel del agua.

*83. Algunos ingenieros han propuesto que, para viajes de larga dis-tancia entre ciudades, se debe excavar tneles de conexin per-

fectamente rectos a travs de la tierra (vase la figura 1.21). Un tren que corra a lo largo de un tnel as acelerara al inicio, en la primera mitad del tnel, como si fuera en bajada. Alcanzar la rapidez mxima en el punto medio del tnel, y gradualmente disminuir su velocidad en la segunda mitad del tnel, como si fuera en subida. Suponga que un tnel as se excavara entre San Francisco y Washington, D.C. La distancia entre estas ciuda-des, medida sobre la superficie terrestre, es de 3 900 km.

a) Cul es la distancia a lo largo del tnel recto? b) Cul es la profundidad del tnel en su punto medio, en al-

guna parte debajo de Kansas? c) Cul es la pendiente hacia abajo del tnel en relacin con

la direccin horizontal en San Francisco?

FIGURA 1.21 Un tnel propuesto a travs de la tierra.

3 900 kmWashington

San Francisco

RE

Respuestas a las revisiones

Revisin 1.1

1. Los cuerpos extensos tienen muchas caractersticas que pueden medirse; por ejemplo, puede especificarse el tamao y la forma midiendo el dimetro de las bolas de boliche, el rea superficial o el volumen, con unidades de longitud, longitud al cuadrado y longitud al cubo, respectivamente. Otras cantidades mensura-bles incluyen la densidad, la dureza, la temperatura, el color y la composicin qumica; se examinarn las unidades de tales can-tidades en captulos posteriores.

2. Como el origen de la cuadrcula de coordenadas x-y est des-plazada del origen del sistema x - y por una cantidad negativa en la direccin x, y por una cantidad positiva en la direccin y, cualquier punto tendr valores mayores de x comparados con x

y menores valores de y comparados con y, como en la figura 1.3a.

3. Una cuadrcula de coordenadas se usa para especificar posicio-nes en el espacio. Un marco de referencia incluye relojes que especifican el tiempo en el que algo ocurre en cierta posicin.

Revisin 1.2

1. Hay 100 centmetros en un metro y hay 1 000 metros en un kilmetro, de modo que hay 100 1 000 = 105 centmetros en un kilmetro. Del mismo modo, con 10 milmetros cbicos en un metro, hay 103 103 = 106 milmetros en un kilmetro.

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Respuestas a las revisiones 27

2. Como hay 106 micras en un metro y 1015 metros en un fermi, hay 1015 106 micras = 109 en un fermi.

3. (C) 104. Hay 106 micras en un metro y 1010 metros en un angstrom. Por tanto, hay 1010 106 micras = 104 micras en un angstrom.

Revisin 1.3

1. Hay 60 60 = 3 600 segundos en una hora y hay 1 000 mili-segundos en un segundo. De modo que hay 1 000 3 600 = 3.6 106 milisegundos en una hora. Hay 1012 picosegundos en un segundo y 106 microsegundos en un segundo, de modo que hay 106 picosegundos en un microsegundo.

2. (B) 6.0 1016. Hay 1015 femtosegundos en un segundo y 60 segundos en un minuto, de modo que hay 60 1015 = 6.0 1016 femtosegundos en un minuto.

Revisin 1.4

1. De la tabla 1.8, hay 103 kg en una tonelada mtrica. Como hay 103 gramos en un kilogramo, entonces hay 103 103 = 106 gramos en una tonelada mtrica. Adems, hay 109 miligramos en una tonelada mtrica y por tanto 109 toneladas en un mili-gramo.

2. (D) 6.02 1026. Hay 1.66 1027 kilogramos en una u. De modo que el nmero de u por kilogramo es la inversa, 1 u/(1.66 1027 kg) = 6.02 1026 u/kg.

Revisin 1.5

1. Como 1 m = 102 cm, entonces un metro cuadrado es (1 m)2 = (102 cm)2 = 104cm2. De igual manera, un metro cbico es (1 m)3 = (102 cm)3 = 106cm3. Estos valores tambin pueden obtenerse directamente de las tablas 1.9 y 1.10.

2. Usando la tabla 1.9, 1 km2 = 106 m2 (1 mm2)/106 m2 = 1012 mm2.

3. (D) 1018. De la tabla 1.10, 1 km3 = 109 m3 (1 mm3)/109 m3) = 1018 mm3.

Revisin 1.6

1. Como la longitud y la anchura son alrededor de 20 a 30 cm, una medicin de cualquiera de estas dimensiones al milmetro ms prximo (1 mm = 0.1 cm) dar tres cifras significativas. El espesor es de slo unos pocos centmetros, de modo que su medicin al 0.1 cm ms prximo tendr dos cifras significati-vas. El volumen es el producto de estas tres longitudes y tendr slo tantas cifras significativas como el menor nmero de cifras significativas en las cantidades multiplicadas; el volumen, por tanto, tiene dos cifras significativas.

2. Slo se lee el nmero de dgitos. El primer nmero tiene dos cifras significativas y los otros tienen tres.

3. El producto tiene slo tantas cifras significativas como el menor nmero de cifras significativas en las cantidades multi-plicadas. Aqu, el producto tiene dos cifras significativas.

4. Cuando se suma, slo el mayor lugar decimal entre las ltimas cifras significativas de las cantidades sumadas es significativo en el resultado. Aqu, se tiene que redondear al ltimo 10, ya que slo se conoca el dgito de 10 s en el segundo nmero que se dio. As, se escribe: 1.9 102 para la suma.

5. Para los factores de conversin, slo se escribe la relacin para cantidades iguales, que proporciona las unidades deseadas. Para las conversiones dadas, los factores son, respectivamente: 1 km/103 m; 103 m/1 km; 1 km/105 cm; 1 km2/(103 m)2; 1 km3/(103 m)3; (1 km/103 m) (3 600 s/1 h); (1 mi/1 609 m) (3 600 s/1 h).

6. (A) (1 km/103 m) (3 600 s/1 h). Cuando se multiplica por m/s, esto proporciona al mismo tiempo las unidades deseadas de km/h y contiene los factores correctos de conversin.

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