Resumen— En el siguiente informe se describe la obtención de las ecuaciones dinámicas, desarrollar una interfaz gráfica de usuario GUIDE en MATLAB, para el modelamiento, simulación, la herramienta de modelado debe contar con la opción de analizar 4 sistemas dinámicos que se presentaran a lo largo del presente informe.

Abstract- In the following report to obtain the dynamic equations described, develop a GUIDE GUI in MATLAB, for modeling, simulation, modeling tool should have the option of analyzing 4 dynamic systems that were presented to the throughout this report..

Índice de Términos— Modelo dinámico, simulación, MatLab, Lagrange.

I. OBJETIVOS

Este trabajo, demuestra lo aprendido en la clase teórica, sobre modelados de sistemas mecánicos, desde su modelado matemático hasta el dinámico, y por supuesto dando lugar al entendimiento de los sistemas dinámicos.

II. INTRODUCCIÓN

El proceso de modelado analítico se divide en tres grandes etapas. La primera de ellas consiste en la delimitación del modelo en función de los fenómenos que resultan relevantes de acuerdo al problema que se quiere resolver. Esta es una etapa que no puede sistematizarse fácilmente y que requiere por ende de una cierta dosis de intuición y por sobre todo de una vasta experiencia en relación con el sistema a modelar.

Una vez delimitados los fenómenos que se consideraron relevantes para la construcción del modelo, se pasa a la siguiente etapa en la que se deben formalizar las relaciones constitutivas y estructurales asociadas respectivamente a los fenómenos considerados y a la forma en que estos se disponen dentro del sistema. En los sistemas físicos, estas relaciones constitutivas y estructurales encuentran su expresión formal (matemática) en las leyes fundamentales de los dominios de la física asociados a los fenómenos mencionados. (Romano)

Por este motivo, el modelado analítico de un sistema físico no es posible sin un conocimiento de las leyes físicas elementales asociadas a los fenómenos en cuestión. Aun conociendo estas leyes físicas, tienden a ser más complejas las soluciones por el método clásico de la aplicación de las leyes de Newton, por ende, a continuación se demostrara el método Lagrangiano que hace menos compleja la solución de un sistema dinámico, para sus posteriores análisis.

III. MARCO TEORICO

Dentro de la metodología del modelado de los sistemas dinámicos se pueden comprender los siguientes aspectos:

- Análisis experimental.: La Ciencia y sus métodos proveen respuestas a los interrogantes humanos sobre sistemas y sus propiedades. Los métodos científicos se basan en la experimentación, que consiste en la realización de ensayos sobre el sistema, en la observación de las reacciones del mismo, y en la obtención de leyes de su comportamiento, expresadas por lo general mediante el lenguaje matemático.

El método experimental no siempre es viable ya que en algunos casos existen factores que limitan o impiden su aplicación. Por ejemplo: Costos, Riesgos, experimento irrealizable (por inexistencia del sistema o incapacidad humana de experimentar). (http://www.fceia.unr.edu.ar, 2014)

Cuando no se puede experimentar sobre los sistemas se recurre a su modelado. Modelos: Un modelo de un sistema es básicamente una herramienta que permite responder interrogantes sobre este último sin tener que recurrir a la experimentación sobre el mismo. Es una representación siempre simplificada de la realidad (si el sistema físico existe) o es un prototipo conceptual (proyecto del sist. Físico).

- Modelos matemáticos: Son expresiones matemáticas que describen las relaciones existentes entre las magnitudes caracterizantes del sistema. Pueden ser sistemas de ecuaciones, inecuaciones, expresiones lógico-matemático.

Todas estas formas vinculan variables matemáticas representativas de las señales (señal: representación de una información a través de valores de una magnitud física) en el

Trujillo M. Wilmer Sediel, Hoyos V, Javier AlbertoUniversidad Del Quindío

PARCIAL 1 – MODELADO DE SISTEMAS DINÁMICOS UTILIZANDOHERRAMIENTAS COMPUTACIONALES

sistema, obtenidas a partir de las relaciones entre las correspondientes magnitudes físicas. Pueden ser: Tiempo continuo o Tiempo discreto. (http://www.fceia.unr.edu.ar, 2014)

- Estáticos o Dinámicos (el vínculo entre variables depende también de los valores pasados de las mismas, no solo de los actuales). Determinísticos o Estocásticos (expresa las relaciones con incertidumbre entre las variables mediante conceptos probabilísticas usando variables aleatorias).

- Parámetros distribuidos o Parámetros concentrados (reemplaza la dependencia espacial de las variables por su promedio en la región del espacio donde están definidas). Paramétricos o No paramétricos (no pueden caracterizarse por un número finito de parámetros).

- Lineales o No lineales (no vale el principio de superposición).

- Estacionarios (toda acción sobre el sistema produce el mismo efecto independiente del momento en que comienza a ejercerse, si en ese momento el sistema se encuentra en las mismas condiciones) o Inestacionarios. (http://www.fceia.unr.edu.ar, 2014)

- Método de Runge-Kutta: son un conjunto de métodos genéricos iterativos, explícitos e implícitos, de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. [1]

 Sea

Una ecuación diferencial ordinaria, con

   Donde   es un conjunto abierto, junto con la condición de que el valor inicial de ƒ sea [1]

Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma más general: [1]

,

Donde h es el paso por iteración, o lo que es lo

mismo, el incremento   entre los sucesivos

puntos   y . Los coeficientes   son términos

de aproximación intermedios, evaluados en ƒ de manera local [1]

Con   coeficientes propios del esquema numérico elegido, dependiente de la regla de cuadratura utilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las

constantes   del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la

diagonal principal iguales a cero; es decir,   

para , los esquemas son explícitos. (Wikipedia, 2014)

- Método de LaGrange La función de LaGrange o Lagrangiano de un sistema dinámico es una función que resume la dinámica del sistema, y se define como la energía cinética (T) menos su energía potencial (U) Si se conoce la función de LaGrange de un sistema se pueden obtener las ecuaciones de movimiento mediante la sustitución directa de la expresión para la función de LaGrange en la ecuación de Euler-LaGrange, la cual se muestra a continuación:

Donde:q= Vector de coordenadas generalizadasF= Vector de fuerzas generalizadas del sistema.

La ecuación de Euler-LaGrange se utiliza para describir cualquier sistema mecánico por medio de coordenadas generalizadas de posición y el Lagrangiano se utiliza para los sistemas conservativos.

2

IV. SOLUCIÓN MATEMÁTICA SISTEMAS.

a) En el siguiente sistema, el péndulo tiene un soporte oscilante. Hallar la ecuación de Movimiento utilizando el formalismo Lagrangiano.

Supongamos el primer caso planteado, en el que el soporte del

péndulo se mueve en horizontal con aceleración constante . Puesto que su masa es nula, no lo incluimos explícitamente en la dinámica. Tomemos como coordenada generalizada el

ángulo . La relación entre las coordenadas cartesianas   

con respecto a un sistema inercial y   es

 Donde el origen de este sistema está sobre la línea a lo largo

de la cual se mueve el soporte. Derivando con respecto a ,  

La energía cinética es

Y la energía potencial , con lo cual el Lagrangiano es

La ecuación de LaGrange es  

O sea,

 El punto de equilibrio de este movimiento,  , ocurre

cuando  ,

Hacemos ahora una aproximación armónica escribiendo

 y considerando :

El término constante es nulo según 1), así que

El factor entre paréntesis se puede simplificar utilizando las ecuaciones

De donde se obtiene

La solución con los signos del seno y coseno cambiados es también posible matemáticamente, pero no físicamente, ya que

el ángulo  es de esperar sea negativo para  positivo. Esto hace que el factor sea siempre positivo, lo que corresponde a oscilaciones armónicas alrededor del ángulo de equilibrio. Finalmente,

Con lo cual la frecuencia angular de oscilación   viene dada por

(Cuando , es decir, el soporte se encuentra en reposo, recuperamos el resultado conocido para un péndulo armónico).Supongamos ahora que el soporte se mueve hacia arriba con

aceleración constante . Situando el origen en un sistema inercial, las coordenadas cartesianas de la masa son

Las velocidades cartesianas son

Y la energía cinética

La energía potencial es

Y el Lagrangiano

Planteemos ahora la ecuación de LaGrange:  

3

Simplificando,

 De manera que el péndulo se mueve como si el soporte estuviera inmóvil pero la masa se encontrara sometida a una

gravedad efectiva con aceleración . El ángulo de

equilibrio es , y la aproximación armónica conduce a un movimiento armónico simple de frecuencia

b)

c) Hallar la ecuación Lagrangiano del siguiente sistema que representa un péndulo invertido, que está conformado por una varilla rígida sin masa de longitud l, la masa del carro es m1 y la de la bola es m2, se le aplica una fuerza externa, F, al carro. Observe que las coordenadas generalizadas son θ y x.

Fig. 1: Esquema de un péndulo invertido con movimiento horizontal.

Una de las claves del péndulo invertido es intentar controlar el movimiento de la masa moviendo el otro extremo de la barra. En el ejemplo del carrito se demuestra que la barra se puede mantener en posición vertical para una perturbación dada lo suficientemente pequeña.

Existe otra posibilidad, la de mantener la barra en posición vertical moviendo la base del péndulo también con una trayectoria vertical como se muestra en la figura siguiente:

Fig. 2: Esquema de un péndulo invertido con movimiento vertical.

En este caso, la masa tiene la siguiente posición:

Y la siguiente velocidad:

El Lagrangiano del sistema es entonces:

Y la ecuación del movimiento:

El paso siguiente es suponer que el ángulo   se mantiene pequeño en cualquier instante. Hay que adimensionaliar, para ello escogemos una longitud característica , la amplitud del forzado y un tiempo característico  . La aceleración característica será entonces Con todo lo anterior se define un tiempo adimensional   y una longitud adimensional . Adimensionalizando la ecuación anterior e introduciendo la expresión del forzado se obtiene la siguiente expresión

Donde el operador   significa la derivada respecto al tiempo adimensional . Lineal izando la ecuación para ángulos pequeños

Dividiendo ambos lados por   ...

En la que finalmente aparece el parámetro propuesto

 que es el parámetro que relaciona la aceleración debida a la gravedad con las aceleraciones debidas al forzado.

4

Con el simple hecho de adimensional izar podemos comparar la importancia del término derivada segunda respecto al término con   mediante el siguiente número

Adimensional  Con este primer número adimensional podemos comprobar que la ecuación diferencial se comportará de un modo u otro según su valor.

Si   es muy pequeño la ecuación resultante será

Que tiene como solución , un crecimiento lineal con el tiempo adimensional. Esto sucederá justamente

cuando el numerador de   se haga cero, esto es: . En cualquier otro instante la solución será

puramente armónica. Entonces parece razonable pensar que si el numerador nunca se anula entonces el sistema será estable. Para ello bastará que k sea mayor que 1 aunque como se verá a continuación no es un límite estricto.Para plantear la ecuación se hace el cambio de

variable   y   para poder expresar la ecuación de segundo orden en forma de sistema de ecuaciones

Las condiciones iniciales del problema son importantes. Este sistema se encuentra en una posición de equilibrio inestable en

, esto significa que si el sistema no se perturba en absoluto seguirá indefinidamente en dicha posición. En este caso cualquier perturbación, tanto en velocidad como en desplazamiento, será suficiente para sacar el sistema de su equilibrio pero podría suceder que fuera tan pequeña que no lo notara.

El sistema puede atenuar, mantener o amplificar la perturbación dependiendo de su propia naturaleza pero debemos tener muy en cuenta que la solución final dependerá de las condiciones iniciales y de la perturbación elegida.

Fig. 3: solución en la que la perturbación no es amplificada por el forzado. La oscilación se mantiene prácticamente invariable en el tiempo

V. SIMULACIÓN

En este documento están anexos los códigos en Matlab y simulación en Labview.

VI. DISCUSIÓN DE RESULTADOS.

En la solución matemática se obtienen todas las variables y resultados deseados, de acuerdo al caso del sistema que se desea modelar, es decir, se obtienen los valores teóricos, e ideales del modelado del sistema. (Ver fig. 1 a 4).

Fig. 6. Se pueden observar los 3 tipos de respuestas de una EDO de 2 órden.

Mediante la función Dsolve se pueden observar, de acuerdo a las condiciones iniciales establecidas para cada problema, de acuerdo al cálculo aproximado, que su solución es precisa, mostrada en la simulación del problema dado.

5

Fig. 7. Comparación de la función ODE45 y Dsolve.

Fig. 7.1 a. Respuesta críticamente amortiguada, simulada en Matlab.

Fig. 7.1 b. Respuesta Sobre Amortiguada graficada con Matlab.

Fig. 7.1 c. Respuesta Sub Amortiguada graficada con Matlab

Se puede observar que con la función ODE45, la tolerancia de error es mínima con respecto a la dsolve, aunque como se mencionó en la gráfica de la fig. 6, para este tipo de ecuaciones diferenciales, aunque sea más alta la tolerancia de error es aceptable, pues sus resultados aunque difieren se ajustan a la solución que se requiere.

La siguiente simulación se realiza con Labview, aplicando un método numérico llamado Ronge-Kutta, ya mencionado en el marco teórico.

Fig. 8 . Método ronge-kutta

Fig. 9. Simulacion con Labview.

Fig. 10. Respuesta Sobre amortiguada.

Fig. 11. Respuesta criticamente amortiguada.

Fig. 12. Respuesta sub amortiguada.

VII. CONCLUSIONES

Este tipo de experiencias nos permiten una mayor comprensión del fenómeno que estuvimos estudiando, al igual que, en nuestra opinión, proporcionan una poderosa herramienta al docente que permite integrar y evaluar gran cantidad de conceptos, y definiciones en un solo experimento con un conjunto de componentes y conocimientos adquiridos durante nuestro estudio básico de electrónica.

El modelado que se obtuvo del sistema mecánico de traslación, masa-resorte-amortiguador, es un modelo que se simplifica para el caso lineal, invariante y con parámetros concentrados y limitado al movimiento en un solo plano, pero es un modelo que muestra el comportamiento de un sistema real, que se acerca en la manera más precisa, al mismo .

Con la simulación que es un factor de gran importancia, ya que, permite verificar la validez del modelo y evaluar el comportamiento del sistema, pudimos comprender este tipo de sistema, a partir de la forma gráfica de las respuestas.

Los simuladores como Matlab y Labview, de los cuales se hicieron uso durante la clase teórica, nos permite implementar la solución numérica de cálculos que pueden llegar a ser de alta dificultad para resolverse en forma analítica.

VIII. BIBLIOGRAFÍA

(Wikipedia, 2014)

FIS. (21 de 08 de 2014). FIS. Obtenido de http://www.fis.puc.cl/~rbenguri/SystemMassSpringShock.pdf

http://www.fceia.unr.edu.ar. (21 de 08 de 2014). Fceia. Obtenido de http://www.fceia.unr.edu.ar/fceia1/mecanica/Automotores/MODELADO%20DE%20SISTEMAS%20DINAMICOS.pdf

Mora, I. D. (21 de 08 de 2014). Compelect. Obtenido de http://www.compelect.com.co/wp-content/uploads/downloads/2012/06/060612_presentacionDiaMatlab_SistemaMecanicoTraslacion_IvanMora_UPB-Modo-de-compatibilidad.pdf

Romano, C. S. (s.f.). MODELADO Y SIMULACION DE UN SISTEMA DINAMICO MASA-RESORTE-AMORTIGUADOR.

6