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En este documento veremos la familia de controladores PID, que mostraron ser robustos en

muchas aplicaciones y son los que mas se utilizan en la industria. La estructura de un controladorPID es simple, aunque su simpleza es tambin su debilidad, dado que limita el rango de plantas

donde pueden controlar en forma satisfactoria (existe un grupo de plantas inestables que no

pueden estabilizadas con ningn miembro de la familia PID). En este documento estudiaremos los

enfoques tradicionales al diseo de controladores PID.

Estructura del PID

Consideremos un lazo de control de una entrada y una salida:

Los miembros de la familia de controladores PID, incluyen tres acciones: proporcional (P), integral

(I) y derivativa (D). Estos controladores son los denominados P, I, PI, PD y PID.

P: accin de control proporcional, da una salida del controlador que es proporcional al error, es

decir: u(t) = KP.e(t),que descripta desde su funcin transferencia queda:

donde Kp es una ganancia proporcional ajustable. Un controlador proporcional puede controlar

cualquier planta estable, pero posee desempeo limitado y error en rgimen permanente (off-set).

I: accin de control integral: da una salida del controlador que es proporcional al error

acumulado, lo que implica que es un modo de controlar lento.

La seal de control u(t) tiene un valor diferente de cero cuando la seal de error e(t) es cero. Por lo

que se concluye que dada una referencia constante, o perturbaciones, el error en rgimen

permanente es cero.

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PI: accin de control proporcional-integral, se define mediante

donde Ti se denomina tiempo integral y es quien ajusta la accin integral. La funcin de

transferencia resulta:

Con un control proporcional, es necesario que exista error para tener una accin de control distinta

de cero. Con accin integral, un error pequeo positivo siempre nos dar una accin de control

creciente, y si fuera negativo la seal de control ser decreciente.

Este razonamiento sencillo nos muestra que el error en rgimen permanente ser siempre cero.

Muchos controladores industriales tienen solo accin PI. Se puede demostrar que un control PI es

adecuado para todos los procesos donde la dinmica es esencialmente de primer orden. Lo que

puede demostrarse en forma sencilla, por ejemplo, mediante un ensayo al escaln.

PD: accin de control proporcional-derivativa, se define mediante:

donde Td es una constante de denominada tiempo derivativo. Esta accin tiene carcter de

previsin, lo que hace mas rpida la accin de control, aunque tiene la desventaja importante que

amplifica las seales de ruido y puede provocar saturacin en el actuador.

La accin de control derivativa nunca se utiliza por s sola, debido a que solo es eficaz durante

perodos transitorios. La funcin transferencia de un controlador PD resulta:

Cuando una accin de control derivativa se agrega a un controlador proporcional, permite obtener

un controlador de alta sensibilidad, es decir que responde a la velocidad del cambio del error y

produce una correccin significativa antes de que la magnitud del error se vuelva demasiado

grande. Aunque el control derivativo no afecta en forma directa al error de estado estacionario,

aade amortiguamiento al sistema y, por tanto, permite un valor mas grande que la ganancia K, lo

cual provoca una mejora en la precisin en estado estable.

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PID: accin de control proporcional-integral-derivativa, esta accin combinada rene las

ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales. La ecuacin de un controlador

con esta accin combinada se obtiene mediante:

y su funcin transferencia resulta:

Mtodos clsicos de ajuste de Ziegler and Nichols

En esta seccin veremos dos mtodos de ajuste de las ganancias de un controlador PID, el

Mtodo de Oscilacin o Mtodo de Respuesta en Frecuencia y el Mtodo Basado en la Curva

Reaccin o Mtodo de Respuesta al Escaln. El primero se basa en un lazo de control solo con

ganancia proporcional y de acuerdo a la ganancia utilizada para que el sistema empiece a oscilar y

al perodo de esas oscilaciones, podemos establecer las ganancias del controlador PID. El otro

mtodo se resume en ensayar al sistema a lazo abierto con un escaln unitario, se calculan

algunos parmetros, como la mxima pendiente de la curva y el retardo, y con ellos establecemoslas ganancias del controlador PID. Estos mtodos fueron propuestos por Ziegler y Nichols (Z-N) en

1942, quienes se basaron en la practica para desarrollarlos.

Mtodo de Oscilacin

Este procedimiento es valido solo para plantas estables a lazo abierto y se lleva a cabo siguiendo

los siguientes pasos:

1. Utilizando solo control proporcional, comenzando con un valor de ganancia pequeo,

incrementar la ganancia hasta que el lazo comience a oscilar. Notar que se requieren oscilaciones

lineales y que estas deben ser observadas en la salida del controlador.

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2. Registrar la ganancia critica del controlador Kp = Kc y el perodo de oscilacin de la salida del

controlador, Pc. (en el diagrama de Nyquist, corresponde a que KcG(jw) cruza el punto (-1, 0)

cuando Kp = Kc).

3. Ajustar los parmetros del controlador segn la Tabla 1:

Dicha tabla fue obtenida por Ziegler y Nichols quienes buscaban una respuesta al escaln de bajo

amortiguamiento para plantas que puedan describirse satisfactoriamente por un modelo de la

forma:

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Ejemplo 1. Considerar el modelo de una planta dado por:

Determinar los parmetros de un controlador PID utilizando el mtodo de oscilacin de Z-N.

Obtener un grafico de la respuesta a una entrada escaln unitario y a una perturbacin de entrada

escaln unitario.

Primero debemos calcular la ganancia critica Kc y la frecuencia critica wc. Dichos valores deben

satisfacer

de donde obtenemos Kc=8 y wc = 3. El periodo crtico es entonces

Pc = 2/wc 3.63. Utilizando la tabla obtenemos los siguientes valores:

De esta forma la funcin transferencia a lazo abierto resulta:

Implementando dicho sistema en SIMULINK, con una entrada escaln unitario aplicada en el

instante t = 0 y una perturbacin de entrada escaln unitario en el instante t = 10, obtenemos la

Figura 4

Como se puede apreciar en el grafico, el control hallado provoca un sobrevalor significativo, lo que

es inaceptable en algunos casos. Sin embargo el mtodo de Z-N nos ha proporcionado un punto

de partida para una sintona mas fina. En este caso, si utilizamos el valor Td = 1 el desempeo

mejora. Sin embargo, el incremento de accin derivativa puede traer inconvenientes si

estuviramos en presencia de un ruido significativo en el sistema, y es recomendable verificar que

el aumento de accin derivativa no amplifique ruido excesivamente.

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Mtodo Basado en la Curva Reaccin

Muchas plantas, pueden ser descriptas satisfactoriamente por el modelo:

Una versin cuantitativa lineal de este modelo puede ser obtenida mediante un experimento a lazo

abierto, utilizando el siguiente procedimiento:

1. Con la planta a lazo abierto, llevar a la planta a un punto de operacin normal. Digamos que la

salida de la planta se estabiliza en y(t) = y0 para una entrada constante u(t) = u0.

2. En el instante inicial t0, aplicar un cambio en la entrada escaln, desde u0 a u1 (esto deber ser

en un rango de 10 al 20% de rango completo).

3. Registrar la salida hasta que se estabilice en el nuevo punto de operacin. Supongamos que la

curva que se obtiene es la que se muestra en la Figura 5. Esta curva se llama curva de reaccin

del proceso.

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Calcular los parmetros del modelo de la siguiente forma:

El modelo obtenido puede ser utilizado para varios mtodos de ajuste de controladores PID. Uno

de estos tambin en fue propuesto por Ziegler y Nichols. El objetivo de diseo es alcanzar un

amortiguamiento tal que exista una relacin de 4:1 para el primer y segundo pico de la respuesta a

una referencia escaln. Los parmetros sugeridos por Z-N son los que se muestran en la Tabla 2.

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Anlisis de un sistema PID

Esta parte le mostrar las caractersticas de los controladores proporcional (P), integral (I), y

derivativo (D), y cmo usarlos para obtener una respuesta deseada. En esta Gua, consideremos el

siguiente sistema de realimentacin unitaria:

Planta: sistema a controlar

Controlador: Provee la excitacin de la planta; Se disea para controlar el comportamiento de todo

el sistema

La funcin de transferencia del controlador PID es:

Kp = Ganancia ProporcionalKI = Ganancia Integral

Kd = Ganancia Derivativa

Primero, echemos un vistazo a cmo trabaja el controlador PID en un sistema a lazo cerrado

usando el esquema de abajo. La variable (e) representa el error de seguimiento, que es la

diferencia entre el valor deseado de entrada (R) y la salida real (Y). Esta seal de error (e) ser

enviada al controlador PID, y ste calcular tanto la derivada cuanto la integral de esta seal de

error. La seal (u) recin salida del controlador es ahora igual a la ganancia proporcional (Kp)

veces la magnitud del error ms la ganancia integral (Ki) veces la integral del error, ms la

ganancia derivativa (Kd) veces la derivada del error.

La seal (u) se enviar a la planta, y se obtendr la nueva salida (Y). Esta nueva salida (Y) se re-

enviar al sensor para hallar la nueva seal de error (e). El controlador toma esta nueva seal de

error y computar su derivada y su integral otra vez. Este proceso sigue sin parar.

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LAS CARACTERSTICAS DE LOS CONTROLADORES P, I, Y D

Un controlador proporcional (Kp) tendr el efecto de reducir el tiempo de elevacin y reducir ,sin

jams eliminar, el error de estado estacionario . Un control integral (Ki) tendr el efecto de eliminarel error de estado estacionario, pero puede empeorar la respuesta transitoria. Un control derivativo

(Kd) tendr el efecto de incrementar la estabilidad del sistema, reduciendo el sobrepico, y

mejorando la respuesta transitoria. Los efectos de cada uno de los controladores Kp, Kd, y Ki en un

sistema a lazo cerrado se resumen en la tabla de abajo.

Note que estas correlaciones podran no ser exactamente seguras, porque Kp, Ki, y Kd son

dependientes entre s. De hecho, cambiando una de estas variables se puede variar el efecto de

las otras dos. Por esta razn, la tabla deber usarse nicamente como referencia cuando se

determina los valores de Ki, Kp y Kd.

SUGERENCIAS GENERALES PARA EL DISEO DEL CONTROLADOR PID

Cuando est diseando un controlador PID para un sistema dado, siga los pasos de abajo para

obtener una respuesta deseada.

1. Obtenga una respuesta a lazo abierto y determine qu hay que mejorar

2. Agregue un control proporcional para mejorar el tiempo de elevacin

3. Agregue un control derivativo para mejorar el sobrepico

4. Agregue un control integral para eliminar el error de estado estacionario

5. Ajuste cada coeficiente Kp, Ki, y Kd hasta que obtenga la respuesta general

deseada.

Finalmente, tenga en mente que no implementar los tres controladores (proporcional, derivativo, e

integral) en un sistema, si no es necesario. Por ejemplo, si el controlador PI le proporciona una

buena respuesta (como el ejemplo anterior), no necesitar implementar un controlador derivativo.

Mantenga el controlador lo ms simple que se pueda.

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SISTEMA MECANICO

Suponga que tenemos un problema de masa simple, resorte y amortiguador.

La ecuacin de modelo de este sistema es

Tomando transformada de Laplace de la ecuacin del modelo

La funcin de transferencia entre el desplazamiento X(s) y la entrada F(s) es entonces

Sea

M = 1kg

b = 10 N.s/m

k = 20 N/m

F(s) = 1

Introduzca estos valores en la funcin de transferencia anterior

El objetivo de este problema es mostrarle cmo contribuyen Kp, Ki y Kd para obtener

Menor tiempo de subida

Mnimo sobrepico

Error de estado estacionario nulo

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RESPUESTA A LAZO ABIERTO AL ESCALN

La ganancia de continua de la funcin de transferencia de la planta es 1/20, as que 0.05 es el

valor final de la salida a una entrada escaln unitario. Esto se corresponde al error de estado

estacionario de 0.95, bastante grande de hecho. Adems, el tiempo de elevacin es alrededor de

un segundo, y el tiempo de establecimiento es alrededor de 1.5 segundos. Diseemos un

controlador que reducir el tiempo de elevacin y el tiempo de establecimiento, y eliminar el error

de estado estacionario.

CONTROL PROPORCIONAL

De la tabla de arriba, vemos que el controlador proporcional (Kp) reduce el tiempo de trepada,

incrementa el sobrepico, y reduce el error de estado estacionario. La funcin de transferencia a

lazo cerrado del sistema de arriba con un controlador proporcional es:

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El grfico de arriba muestra que el controlador proporcional con Kp=300, redujo tanto el tiempo de

elevacin cuanto el error de estado estacionario, incrementando el sobrepico, y bajando el tiempo

de establecimiento en pequea medida.

CONTROL PROPORCIONAL-DERIVATIVO

Ahora, echemos un vistazo a un Control PD. De la tabla de arriba, vemos que el controlador

derivativo (Kd) reduce tanto el sobrepico cuanto el tiempo de establecimiento. La funcin de

transferencia a lazo cerrado del sistema dado con un Controlador PD es:

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Esta figura muestra que el controlador derivativo redujo tanto el sobrepico cuanto el tiempo de

establecimiento, y tuvo poco efecto en el tiempo de elevacin y el error de estado estacionario.

CONTROL PROPORCIONAL-INTEGRAL

Antes de avanzar a un control PID, echemos un vistazo al Control PI. De la tabla, vemos que un

controlador integral (Ki) decrementa el tiempo de elevacin, incrementa tanto el sobrepico cuanto

el tiempo de establecimiento, y elimina el error de estado estacionario. Para el sistema dado, la

funcin de transferencia a lazo cerrado con un Control PI es:

Reduzcamos Kp a 30, y hagamos Ki igual a 70.

Hemos reducido la ganancia proporcional (Kp) porque el controlador integral tambin reduce el

tiempo de elevacin e incrementa el sobrepico as como lo hace el controlador proporcional (efecto

doble). La respuesta anterior muestra que el controlador integral elimin el error de estado

estacionario.

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CONTROL PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVO

Ahora, echemos un vistazo a a controlador PID. La funcin de transferencia a lazo cerrado del

sistema dado con un controlador PID es:

Luego de varias ejecuciones de prueba y error, las ganancias Kp=350, Ki=300, y

Kd=50 proveern la respuesta deseada.

Ahora, obtuvimos el sistema sin sobrepico, rpido tiempo de subida, y error de estado estacionario

cero.