Plan de Curso Gemoetria

Plan de curso Geometría 754 Elaborado por Prof. Nelson Tovar Modificado por Prof. José Gascón. – UNA 2006

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA VICERRECTORADO ACADEMICO SUBPROGRAMA DE DISEÑO ACADÉMICO AREA MATEMÁTICA

PLAN DE CURSO

I. Identificación Nombre GEOMETRÍA Código 754 U.C: 6 Carreras Educación, mención: Matemática1

Lic. en Matemática2

Código 5081 1262

Semestre VI1

II2

Prelaciones: Lógica2

Requisito: NINGUNO

Autor: Nelson Tovar Modificado por: José Ramón Gascón Márquez Diseñador académico : Antonio Alfonso

Nivel Central CARACAS, OCTUBRE 2006.

1 1 Se refiere a la carrera de Educación Matemática, mientras que 2 se refiere a la carrera de Matemática


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II. FUNDAMENTACIÓN

La asignatura Geometría (código 754) esta ubicada en el sexto semestre de la carrera

Educación, mención Matemática y en el segundo semestre de la nueva licenciatura de

Matemática las cual es forman parte de la oferta académica de la Universidad Nacional

Abierta (UNA). Es un curso obligatorio, con una carga crediticia de seis unidades crédito (6

U.C.).

Para los estudiantes de Matemática, el curso constituye una gran oportunidad para

familiarizarse con el método axiomático y con el proceso de demostración matemática.

Desde el punto de vista histórico, la Geometría es el primer campo de la matemática donde

se alcanza un grado considerable de rigor por el empeño de los griegos (500 A.C a 300 D.C)

de darle a la matemática consistencia por la aplicación sistemática de la lógica.

En el curso de Matemática I el estudiante de Matemática y de Educación Matemática habrá

aprendido los rudimentos de la idea de demostración, proposición, axioma, etc. Pero en este

curso el estudiante tendrá que realizar demostraciones dentro de la geometría e intentará

aplicar resultados en la solución de diferentes problemas. En el material didáctico propuesto

se estudia con detalle el desarrollo de la lógica matemática y el método deductivo.

Consideramos crucial que cualquier matemático y educador matemático maneje este

conocimiento de manera adecuada, entendiendo la diferencia entre un ejemplo y un

contraejemplo, una demostración y una refutación, etc.

Para el estudiante de Educación Matemática , el curso forma parte de la cadena de

asignaturas que contribuye en la formación matemática de los futuros docentes de

matemática, cuyo propósito fundamental es introducir al estudiante de esta carrera en el

estudio de la Matemática desde el punto de vista axiomático a través del enfoque métrico de

la Geometría, lo cual le permitirá: fundamentar sus conocimientos geométricos, acceder a la

Matemática contemporánea y la utilización de la lógica en su desempeño profesional y

personal.

El curso Geometría es fundamentalmente teórico-práctico. Es teórico ya que provee al

estudiante de los elementos teóricos de la Geometría, tomando como base el enfoque

métrico dado por Garret D. Birkoff y es práctico pues el aprendizaje de Geometría estará

centrado en establecer las interacciones de la Geometría con otros ámbitos del saber


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humano así como también desarrollar aplicaciones de la Geometría en la solución de

problemas.

Para el apoyo del proceso aprendizaje-enseñanza de este curso el estudiante utilizará

una selección de lecturas basada en los libros texto: Edwin. Moise, Geometría Elemental

desde un punto de vista Superior, Tercera edición, 1990 y Edwin, Moise y Floyd Downs,

Jr. Geometría Moderna. Addison-Wesley Iberoamericana. México, D. F. 1986, así como el

siguiente libro, considerado como bibliografía básica para el curso:

Durán Darío, La Geometría Euclidiana, Ediciones Astro Data, Maracaibo 2003

También se incluye en la selección de lecturas unas notas

escritas por el Prof. Nelson Tovar sobre el método axiomático.


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PLAN DE EVALUACION

ASIGNATURA: Geometría COD: 754 CRÉDITOS: 6 - LAPSO: 2007-1 Semestre II2 VI1 CARRERA: Matemática - Educación mención: Matemática Responsable: Prof. José Gascón Evaluadora: Horario de atención: Teléfono: 5552315 Correo electrónico: [email protected]

OBJETIVOS

1. Describir el método axiomático indicando los elementos que lo conforman.

2.Aplicar los métodos inductivo y deductivo como métodos para la obtención proposiciones verdaderas en un sistema axiomático 3.Aplicar los postulados de incidencia de la geometría en la resolución de problemas 4.Caracterizar los postulados de una distancia 5. Aplicar el Postulado de Separación del Plano y la noción de convexidad en la solución de problemas. 6. Establecer la congruencia de segmentos, ángulos y triángulos. 7. Establecer las desigualdades geométricas para lados y ángulos en un triángulo. 8. Aplicar el Postulado de las paralelas en la solución de problemas y en la demostración de nuevos resultados. 9. Aplicar el teorema de Thales en la solución de problemas y en la demostración de nuevos resultados. 10.Caracterizar una Geometría no euclidiana

11. Establecer los teoremas básicos de semejanza de triángulos.

12.Establecer los postulados de la función área para geometría del plano.

13.Aplicar el concepto de isometría a la congruencia de triángulos.


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Momento MODALIDAD OBJETIVO Primera Parcial Desarrollo 1 al 4

Segunda Parcial Desarrollo

5 al 8

Tercera Parcial Desarrollo 9,11,12,13

Integral Desarrollo Todos salvo el 10

Trabajo Desarrrollo 10

Criterio de dominio académico: 8 Puntaje Máximo: 13

Notas: � Los objetivos están equiponderados � El objetivo 10 se evalúa con un trabajo, este se le entregará la segunda semana del semestre. El

estudiante entregará una primera versión del mismo en la semana de la segunda prueba parcial. La misma le será devuelta con las observaciones y correcciones pertinentes y tiene una segunda oportunidad de entrega la semana de la prueba integral. El estudiante, sin embargo, puede optar a una sola entrega del trabajo, siendo la nota la que obtenga en la única corrección posible.


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IV. DISEÑO DE LA INSTRUCCIÓN DEL CURSO

Objetivo Contenido


1.1 Términos indefinidos. Axioma. Términos definidos. Teoremas. Sistema axiomático. Teoría. Modelo de sistemas axiomáticos. Consistencia de un sistema axiomático. Independencia de axioma. Completitud de un sistema axiomático. Ejemplos

2. Aplicar los métodos inductivo y deductivo como métodos para la obtención proposiciones verdaderas en un sistema axiomático

2.1 El método inductivo. El método deductivo. La demostración de teoremas.

3. Aplicar los postulados de incidencia de la geometría en la resolución de problemas.

3.1 Punto. Recta. Plano. Postulados de incidencia. Teoremas de incidencia.

4. Caracterizar los postulados de una distancia.

4.1 Postulados de la distancia. Sistema de coordenadas para una recta. El Postulado regla. La relación de interposición. Propiedades de la relación de interposición. Figura geométrica. Segmento. Punto medio de un segmento. Semirrecta. Triángulo. Cuadrilátero. Teorema del punto medio de un segmento

5. Aplicar el Postulado de Separación del Plano y la noción de convexidad en la solución de problemas.

5.1 Postulados de Separación del Plano. Figura geométrica convexa. Interior de un ángulo. Interior de un triángulo. Cuadrilátero. Cuadrilátero convexo. Diagonales de un cuadrilátero. Teorema de las diagonales de un cuadrilátero convexo.

Objetivo del curso: Validar en forma precisa, las interacciones entre la geometría y otros ámbitos del saber humano.


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Objetivo Contenido 6. Establecer la congruencia de segmentos, ángulos y triángulos.

6.1 Medida de segmentos. Congruencia de segmentos. Igualdad de segmentos. Ángulos opuestos por el vértice. Ángulos consecutivos y Ángulos adyacentes. Postulados de la medida de ángulos. Ángulos congruentes. Ángulo recto. Ángulo agudo. Ángulo obtuso. Bisectriz de un ángulo. Teorema de existencia y unicidad de la bisectriz de un ángulo. Correspondencia entre los vértice de un triángulo. Definición de congruencia de triángulos. Postulados de congruencia de triángulos: LAL, ALA, LLL y LAA. Triángulos: isósceles equiláteros y escalenos. El Teorema de la Charnela.

7. Establecer las desigualdades geométricas para lados y ángulos en un triángulo.

7.1 Orden en el conjunto de los segmentos. Propiedades del orden en los segmentos. Orden en el conjunto de los ángulos. Propiedades del orden en los ángulos. Ángulo exterior de un triángulo. Teorema del ángulo exterior. Desigualdades en un triángulo escaleno. Desigualdad triangular. El recíproco del Teorema de la Charnela.

8. Aplicar el Postulado de las paralelas en la solución de problemas y en la demostración de nuevos resultados.

8.1 El Postulados de las Paralelas. Ángulos alternos internos, alternos externos y correspondientes en rectas paralelas cortadas por una secante. Trapecio. Paralelogramo. Rombo. Rectángulo. Cuadrado.

9. Aplicar el teorema de Thales en la solución de problemas y en la demostración de nuevos resultados.

9.1 Proyección paralela. El teorema básico de semejanza. El Teorema de Thales.

10. Caracterizar una Geometría no euclidiana.

10.1 Geometría euclidiana. Geometrías no euclidianas. El Postulado de las Paralelas de Lobachevski. El Postulado de las Paralelas de Riemann. Modelos de geometrías no euclidianas


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Objetivo Contenido 11. Establecer los teoremas básicos de semejanza de triángulos.

11.1 Proporcionalidad. Triángulos semejantes. Teoremas básicos de semejanza de triángulos. El teorema de Pitágoras

12. Establecer los postulados de la función área para geometría del plano.

12.1 Región poligonal. Función área. Postulados de la función área. Área de triángulo y cuadriláteros.

13. Aplicar el concepto de isometría a la congruencia de triángulos.

13.1 Isometría entre figuras Geométricas. Propiedades de la relación de Isometría. Traslación. Simetría central. Simetría axial. Rotación


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ORIENTACIONES GENERALES • Lea cuidadosamente el objetivo de aprendizaje para conocer lo que debe aprender. • Lea en las lecturas del curso el material correspondiente. • Realiza los ejercicios de las lecturas a medida que avanza en su lectura del material. Identifique posibles puntos

difíciles del texto para trabajar con su asesor. • Navegue en Internet por las páginas sugeridas, trate de encontrar nuevos recursos de aprendizaje.


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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN


1.2

� Lea cuidadosamente el objetivo de aprendizaje para conocer lo que debe aprender.

� Lea el material en el cual se trata el tema correspondiente a Elementos del método axiomático escrito por el Prof. Nelson Tovar en la selección de lecturas.

� Consultar el capítulo 1 en la selección de lecturas (El sentido común y el razonamiento exacto) lo relativo al método axiomático.

� Realiza los ejercicios propuestos en el material llamado Elementos del método axiomático

� Lea el capítulo 0 del libro “La Geometría Euclidiana” Ediciones Astro Data, Maracaibo 2003 del Prof. Darío Durán

1.3 En relación a la evaluación formativa: el estudiante UNA realizará los ejercicios propuestos en la selección de lecturas. Realice los problemas del Capítulo 0 del libro de Durán En relación a la evaluación sumativa: Una serie de problemas se le presentarán al estudiante para que demuestre su comprensión del objetivo en la prueba parcial e integral programadas.

2. Aplicar los métodos inductivo y deductivo como métodos para la obtención proposiciones verdaderas en un sistema axiomático

2.2 Material Instruccional: � Lea cuidadosamente el objetivo de aprendizaje para conocer

lo que debe aprender. � Leer material en el cual se trata el tema correspondiente a

Elementos del método axiomático. � Consultar el capítulo 1 (El sentido común y el razonamiento

exacto) en la selección de lecturas lo relativo al método axiomático.

� Resuelve el conjunto de problemas 1 – 1, páginas 12 ,13 y 14 en la selección de lecturas

� Lee en la Pág.82 del libro “La Geometría Euclidiana” Ediciones Astro Data, Maracaibo 2003 de Durán el concepto de método inductivo y lee en la selección de lecturas la sección 1-2. (Pág...15) lo relativo al método deductivo en Geometría.

2.3 En relación a la evaluación formativa: el estudiante UNA realizará los ejercicios propuestos en la selección de lecturas. En relación a la evaluación sumativa: Una serie de problemas se le presentarán al estudiante para que demuestre su comprensión del objetivo en la prueba parcial e integral programadas.


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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN 3. Aplicar los postulados de incidencia de la geometría en la resolución de problemas.

3.2 � Lea cuidadosamente el objetivo de aprendizaje para conocer lo

que debe aprender � Consultar el capítulo 2 (Geometría de incidencia en planos y

espacio) de las lecturas. � Resolver el grupo de problemas 2.1 del material citado

anteriormente en la página 61. � Lea las páginas 98 a la 101 del libro “La Geometría Euclidiana”

Ediciones Astro Data, Maracaibo 2003 de Durán, realice los ejercicios 1-4 en la Pág.141


4. Caracterizar los postulados de una distancia.

4.2 � Lea cuidadosamente el objetivo de aprendizaje para conocer lo

que debe aprender � Consultar el capítulo 3 (Distancia y congruencia) de las lecturas

relativo a los Postulados de la distancia y el Postulado de la regla � Resolver los grupos de problemas 3.3, 3.4 y 3.5. de las lecturas � Lea en el libro “La Geometría Euclidiana” Ediciones Astro Data,

Maracaibo 2003 del Prof. Durán desde el comentario 1.7 (Pág. 104) a la Pág...127


5. Aplicar el Postulado de Separación del Plano y la noción de convexidad en la solución de problemas

5.2 � Consultar el capítulo 4 (Separación en planos y espacio) de las

lecturas lo relativo al concepto de convexidad y el Postulado de separación del plano

� Resolver los grupos de problemas 4.1 y 4.3 de las páginas 93, 94 y 103 en la selección de lecturas.

� Lea en el libro las nociones de cuadriláteros cóncavos y convexos, así como los teoremas relativos a ellos. (Pág. 224 y siguientes).

5.3 En relación a la evaluación formativa: el estudiante UNA realizará los ejercicios propuestos en la selección de lecturas. En relación a la evaluación sumativa: Una serie de problemas se le presentarán al estudiante para que demuestre su comprensión del objetivo en la prueba parcial e integral programadas


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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN

6. Establecer la congruencia de segmentos, ángulos y triángulos

6.2 � Repasa, en la selección de lecturas, el Postulado de la Regla y

la noción de congruencia(Capítulo 3) � Lee en la selección de lecturas lo concerniente a la medición de

ángulos(capítulo 5) � Consultar el capítulo 6 (Congruencia entre triángulos) de la

selección de lecturas lo relativo a la congruencia de triángulos. Asuma los teoremas ALA, LLL y LAA como postulados

� Resuelve, en la selección de lecturas, los problemas de la sección 6.1 y 6.2

� Lee en el libro de “La Geometría Euclidiana” Ediciones Astro Data, Maracaibo 2003 Durán desde la página 127 en adelante los distintos teoremas de congruencia de triángulos (puede simultáneamente leer los resultados de semejanza) y repace la noción de congruencia de segmentos y ángulos en el mismo libro (Pág.129 y siguientes).

� Resuelva los ejercicios 5,7,11,12 y 16 del libro “La Geometría Euclidiana” Ediciones Astro Data, Maracaibo 2003 de Durán Pág. 210 y siguientes


7. Establecer las desigualdades geométricas para lados y ángulos en un triángulo

7.2 � Consultar el capítulo 7 (Desigualdades geométricas) de las

lecturas, lo relativo la al tema de las desigualdades geométricas. � Resuelva los ejercicios de este capítulo � Lee en el libro “La Geometría Euclidiana” Ediciones Astro Data,

Maracaibo 2003 de Durán la demostración de la desigualdad triangular paginas174 y 175



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OBJETIVO

ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES

ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN

8. Aplicar el Postulado de las paralelas en la solución de problemas y en la demostración de nuevos resultados.

8.2 � Consultar el capítulo 11 (El Postulado de las paralelas y

Proyección paralela) de la selección de lecturas lo relativo al postulado de las paralelas.

� Demostrar los teoremas 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10 y de la selección de lecturas

8.3 En relación a la evaluación formativa: el estudiante UNA realizará los ejercicios propuestos en la selección de lecturas y demostrará los teoremas sugeridos. En relación a la evaluación sumativa: Una serie de problemas se le presentarán al estudiante para que demuestre su comprensión del objetivo en la prueba parcial e integral programadas

9. Aplicar el teorema de Thales en la solución de problemas y en la demostración de nuevos resultados

9.2 � Estudie el teorema básico de semejanza(teorema de Thales) en

la selección de lecturas � Como refuerzo sobre el teorema de Thales, lea el libro “La

Geometría Euclidiana” Ediciones Astro Data, Maracaibo 2003 de Durán Pág.203 y siguientes

� Resuelva los ejercicios 2,15, 34 y 48 del libro “La Geometría Euclidiana” Ediciones Astro Data, Maracaibo 2003 de Durán


10. Caracterizar una Geometría no euclidiana

10.2 � Lea en la selección de lecturas el capítulo titulado “Tres

Geometrías"(Cap.9 Pág...68) � Investigue en línea información sobre la Geometría no Euclídea

10.3 Un trabajo será asignado para evaluar este objetivo. El mismo será entregado en las primeras semanas del semestre y el estudiante contará con dos oportunidades para entregar el mismo.


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OBJETIVO

ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES

ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN

11. Establecer los teoremas básicos de semejanza de triángulos

11.2 � Consultar el capítulo 12 (Semejanza entre triángulos) en la

selección de lecturas lo relativo al tema de la semejanza de triángulos.

� Demostrar métricamente el teorema de Pitágoras y su recíproco � Lea completo el capítulo 2 del libro “La Geometría Euclidiana”

Ediciones Astro Data, Maracaibo 2003 de Durán y realice los ejercicios al final del mismo.


12. Establecer los postulados de la función área para geometría del plano

12.1 � Lea el capítulo 6 del libro “La Geometría Euclidiana” Ediciones

Astro Data, Maracaibo 2003 de Durán. � Realice los ejercicios al final del mismo. � El estudiante recibirá en su Centro Local o vía email un material

adicional tomado del libro Geometría Elemental desde un punto de vista superior.

12.3 En relación a la evaluación formativa: el estudiante UNA realizará los ejercicios propuestos. En relación a la evaluación sumativa: Una serie de problemas se le presentarán al estudiante para que demuestre su comprensión del objetivo en la prueba parcial e integral programadas

13.Aplicar el concepto de isometría a la congruencia de triángulos. .

13.1 � Consultar el capítulo 17 (Movimiento rígido) ) en la selección de

lecturas � Realice los ejercicios propuestos del capítulo señalado

13.3 En relación a la evaluación formativa: el estudiante UNA realizará los ejercicios propuestos. En relación a la evaluación sumativa: Una serie de problemas se le presentarán al estudiante para que demuestre su comprensión del objetivo en la prueba parcial e integral programadas

V. BIBLIOGRAFÍA

Obligatoria

� Durán D(2003), La Geometría Euclidiana. Maracaibo: Ediciones Astro Data

� Tovar N(recopilador)( 2005), Selección de Lecturas. UNA

Complementaria � Moise E(1968), Geometría Elemental desde un punto de vista avanzado. México:CECSA

� Edwin, Moise y Floyd Downs(1986), Jr. Geometría Moderna. México, D. F. : Addison-Wesley

Iberoamericana.

Recursos en linea:

� http://www.bbo.arrakis.es/geom/

� http://roble.cnice.mecd.es/jarran2/

� http://roble.cnice.mecd.es/jarran2/enlaces/CabriII.htm

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