8/18/2019 Planos - Matemática 11º ANo

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Planos

1º CASO

DADOS: VETOR NORMAL AO PLANO α    Ex.: ⃗nα (2 ;5 ;3)

  PONTO PERTENCENTE AO PLANO α    Q(4 ;7 ;2)

Resolução completa:

PONTO GENÉRCO PERTENCENTE AO PLANO α  :  P( x ; y ; z)

VETOR PERTENCENTE AO PLANO α  : QP( x−4 ; y−7 ; z−2)

QP   ⊥   ⃗nα    QP.⃗ nα =0

 QP .⃗ nα =0⟺ (2 ;5 ;3 ) . ( x−4 ; y−7 ; z−2 )=0⟺2 x−8+5 y−35+3 z−6=⟺2 x+5 y+3 z=49

RESPOSTA α :   2 x+5 y+3 z=49

Resolução a!"e#$a%a:

E&'A()O DO PLANO  Ax+By+Cz+ D=0

A* +* C →  COORDENADAS DE ⃗nα    2 x+5 y+3 z+ D=0

D →  O+TÉM,SE A PARTR DE Q(4 ;7 ;2)∈α    2×4+5×7+3×2+ D=0

  ⟺   D=−49

RESPOSTA α :   2 x+5 y+3 z=49

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2º CASO

DADOS: DOS VETORES CONTDOS NO PLANO  β   Ex.:⃗

u(3 ;2 ;1)  e⃗

v (3 ;1 ;−4)

  PONTO PERTENCENTE AO PLANO α    Q(3 ;−1;2)

Resolução:

VETOR NORMAL AO PLANO  β : ⃗n β   ⊥   ⃗u   e ⃗n β   ⊥   ⃗v   ⃗n β   .⃗u=0   e

⃗n β   .   ⃗v=0

{⃗n β .⃗u=0⃗n β .⃗ v=0  ⟺ { ( a ; b ; c ) . (3 ;2;1 )=0(a ; b ; c ) . (3 ;1:−4 )=0

⟺{3 a+2b+c=03a+b−4 c=0⟺ {−¿b=4c−3a⟺

¿¿

−3a+9c=0

−¿⟺ {  a=3cb=−5c3a+2(4c−3a)+c=0

−¿⟺¿

⟺¿

-AMLA DE VETORES NORMAS AO PLANO  β   ⃗n β(3c ;−5c ; c)  

'M VETOR NORMAL AO PLANO β

: se/a c01⃗n β(3 ;−5 ;1)

2º CASO →1º CASO

3 ºCASO

DADOS: TR2S PONTOS N)O COLNEARES DO PLANO γ    Ex.:  A (1 ;2;1)  

B (4 ;5 ;3)

  C (−3 ;−1;2)

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Resolução:

DOS VETORES CONTDOS NO PLANO   γ     AB(3;3 ;2)   e  AC (−4 ;−3 ;1)

3 ºCASO→2º CASO→1 º CASO