Portada de la Tesis

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA. UNIDAD AZCAPOTZALCO

“ANALISIS DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR EN UN CONDUCTOR ELÉCTRICO USANDO MÉTODOS

ASINTÓTICOS”

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL TITULO DE

INGENIERO MECÁNICO

P R E S E N T A:

EMMANUEL ARCOS HERNÁNDEZ. DIRECTORES DE TESIS:

DR. OSCAR ELADIO BAUTISTA GODÍNEZ. DR. ERIC GUSTAVO BAUTISTA GODÍNEZ.

México D.F. SEPTIEMBRE, 2007

A mis padres, Elodia Ma. del Carmen y Félix Manuel; y hermanos, Verónica, Angélica y José Carlos.

AGRADECIMIENTOS: Al Dr. Oscar Eladio Bautista Godínez, por sus enseñanzas, disposición y gran apoyo para llevar a cabo la realización del presente trabajo. Al DR. Eric Gustavo Bautista Godínez, por sus importantes comentarios y apoyo en esta propuesta de estudio. Al Instituto Politécnico Nacional, por las facilidades y el apoyo que me brindaron durante mi estancia de estudios.

CONTENIDO RESUMEN iINDICE DE FIGURAS iiNOMENCLATURA ivINTRODUCCIÓN vi CAPÍTULO I.- ANTECEDENTES DEL EFECTO JOULE EN CABLES ELÉCTRICOS 1

1.1 Antecedentes 2 1.2 Mecanismos de transferencia de calor 3

1.2.1 Conducción 4

1.2.2 Convección 5

1.2.3 Radiación 7 CAPITULO II.- MODELO MATEMÁTICO 10 2.1 Formulación del problema 11 2.2 Balance de energía 12

2.3 Primer límite creceq•

14

2.3.1 Estimación de los órdenes de magnitud 14

2.3.2 Adimensionalización de la ecuación que describe el proceso de

transferencia de calor para, crecreq•⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

16

2.4 Segundo límite 0q•⎛ ⎞→⎜ ⎟

⎝ ⎠ 17

2.4.1 Estimación de los órdenes de magnitud 17

2.4.2 Adimensionalización de la ecuación que describe el proceso de

transferencia de calor para, 0q•⎛ ⎞→⎜ ⎟

⎝ ⎠ 17

CAPITULO III.- METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN 19 3.1 Generalidades de las técnicas de perturbación regular 20 3.2 Generalidades de la capa límite 21

3.3 Solución asintótica para creceq•

y 2 1αβ

21

3.4 Solución asintótica para 0q•

→ y 2 1αβ

26

CAPITULO IV.- ANÁLISIS DE RESULTADOS 31

4.1 Análisis paramétrico de los resultados analíticos para, creceq•⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

y 2 1αβ

32

4.2 Análisis paramétrico de los resultados analíticos para, 0q•⎛ ⎞→⎜ ⎟

⎝ ⎠ y 2 1α

β 37

4.3 Análisis de la temperatura local longitudinal en un cable de alta tensión (ACSR) 38 CONCLUSIONES 42 REFERENCIAS 43

i

RESUMEN En este trabajo se presenta el análisis de la transferencia de calor en un conductor eléctrico que se encuentra inmerso en aire, usando métodos asintóticos. Partiendo de un balance de energía a un elemento diferencial del conductor, se determina la ecuación diferencial de energía en el conductor, con sus respectivas condiciones de frontera. Posteriormente se estiman los ordenes de magnitud de la ecuación diferencial del proceso de transferencia de calor con el fin de obtener parámetros adimensionales que relacionen las propiedades físicas del fenómeno para dos importantes limites: cuando la

generación de calor interno crece 0q•⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

y cuando la generación de calor interno tiende a

cero 0q•⎛ ⎞→⎜ ⎟

⎝ ⎠, además se adimensionaliza la ecuación reduciéndola a un sistema de

ecuaciones ordinarias en función de la temperatura ( )0θ χ y de dos importantes parámetros adimensionales, β , es la razón de la escala de la longitud de penetración térmica a la longitud total del conductor y, α , en el que se involucra los efectos de la generación de calor interno. Para obtener la temperatura adimensional longitudinal del conductor, la ecuación diferencial de calor adimensional se resuelve mediante el método de capa límite empleando técnicas de perturbación regular. Por ultimo se obtuvo la temperatura adimensional en función de los diferentes valores del parámetro ,α β . Con el propósito de presentar resultados reales de los principales parámetros adimensionales, se utilizaron las características y propiedades de un conductor tipo ACSR [10], para determinar la temperatura local longitudinal en el conductor.

ii

INDICE DE FIGURAS Pagina 1-1 Conducción de calor a través de una pared plana grande de espesor

xΔ y área sA . 4

1-2 Proceso de transferencia de calor por convección forzada. 6 1-3 Proceso de transferencia de calor por convección natural. 6 1-4 Absorción de la radiación incidente sobre una superficie opaca de

absorvidad α 8

1-5 Transferencia de calor por radiación entre una superficie y las

superficies que la circundan. 9

2-1 Esquema de la transferencia de calor sobre un conductor. 11 2-2 Balance de energía del elemento diferencial del conductor. 12 4-1 Solución asintótica del perfil de temperatura, ( )0θ χ en función de la

coordenada longitudinal χ , con un 0.00002α = , para distintos valores de β .

32

4-2 Solución asintótica del perfil de temperatura, ( )0θ χ en función de la

coordenada longitudinal χ , con 0.00012α = , para distintos valores de β .

33


coordenada longitudinal χ , con un 0.012β = , para distintos valores de α .

34



34



35



36

iii


coordenada longitudinal χ , con 0q•

→ , para distintos valores de β .

37

4-8 Valores de la temperatura local longitudinal de un conductor en

unidades físicas, para diferentes amperajes y coeficientes de transferencia de calor por convección del aire.

39

INDICE DE TABLAS 4-1 Valores de la temperatura adimensional en función del parámetro

característico β . 36

4-2 Valores de la temperatura adimensional en función del parámetro

característico β . 38

4-3 Características y propiedades esenciales del conductor de aluminio. 38 4-4 Propiedades físicas del aire. 38 4-5 Valores de la temperatura local longitudinal en un conductor para una

longitud del conductor en 0.5x m= con 220h W m C= ° . 40

4-6 Valores de la temperatura local longitudinal en un conductor para una

longitud del conductor en 0.5x m= con 25h W m C= ° 41

iv

NOMENCLATURA Símbolo Descripción Unidades

cA Área transversal del conductor 2m

pA Área perimetral del conductor 2m

entradaE•

Transferencia de energía que entra aun volumen de control W

genE•

Rapidez de generación de calor W

salidaE•

Transferencia de energía que sale de un volumen de control W h Coeficiente de transferencia de calor por convección 2W m C° k Conductividad térmica del conductor W m C°

cL Longitud característica definida en la ec ( )2.14 m

L Longitud del conductor m p Perímetro del conductor m

condq Transferencia de calor por conducción W

convq Transferencia de calor por convección W

totalq Transferencia de calor por radiación W

xq Transferencia de calor en dirección x W •

q Generación de calor interno 3W m T Temperatura C°

bT Temperatura de la base del conductor C° T∞ Temperatura del fluido que circunda al conductor C° x Coordenada rectangular m Simbolos griegos α Parámetro adimensional de conducción de calor definido en la ec. ( )2.22 . β Parámetro adimensional de la longitud característica definido en la ec. ( )2.23 . χ Coordenada longitudinal adimensional. ξ Variable longitudinal adimensional de la región interna de la capa límite. θ Temperatura adimensional del conductor definido en ec ( )2.17 .

0eθ Temperatura adimensional del conductor en la región externa de la capa límite térmica.

0iθ Temperatura adimensional del conductor en la región interna de la capa límite térmica.

v

Subíndices b Referente a condiciones en la base del conductor

c Referente a la sección transversal del conductor

p Referente al área perimetral del conductor

0e Referente a la región externa de la capa límite térmica

0i Referente a la región interna de la capa límite térmica

∞ Referente al fluido que circunda al conductor

vi

INTRODUCCIÓN El crecimiento y formación de nuevos centros de consumo de corriente ha originado que los sistemas de potencia aumenten su capacidad. Esto obliga a la generación y transmisión de grandes cantidades de energía, a grandes distancias y utilización de elevadas tensiones de corriente eléctrica. El empleo de tensiones muy altas en la transmisión del orden de 100KV, 160KV, 220KV, 400KV hasta 750KV, ha hecho que sea necesario un estudio mas profundo de las técnicas de alta tensión, y un mejor conocimiento de la tecnología de los materiales aislantes que intervienen en la construcción de líneas de transmisión. Como se ha mencionado anteriormente, para la transmisión de grandes cantidades de energía a grandes distancias es necesario el empleo de alta tensión, necesidad que surge del distanciamiento entre los centros de generación y los centros de consumo. En general cada conductor ejerce una resistencia al flujo de corriente eléctrica, lo que provoca un calentamiento, que depende de las características físicas del conductor, la magnitud de la corriente, el tiempo que fluye, y el grado de enfriamiento de las condiciones atmosféricas, dicho calentamiento se conoce como Efecto Joule. La cantidad de corriente eléctrica que puede ser transportada debe ser determinada por la temperatura máxima permisible del conductor eléctrico, ya que el incremento de temperatura hace que se dilate el conductor perdiendo la fuerza de tensión, incluso si la temperatura sobrepasa la temperatura crítica del acero se realiza el tratamiento térmico de recocido. En esta tesis se analiza la transferencia de calor para determinar la temperatura longitudinal en un conductor eléctrico. Para lograr el objetivo anterior, esta tesis se encuentra integrada en cuatro capítulos. En el capitulo uno. Se describen los antecedentes de los cables de corriente eléctrica, indicando las principales consideraciones que se han hecho a los diferentes estudios en cuestión. Además se muestran los mecanismos de transferencia de calor, ya que serán la base del presente trabajo. Posteriormente, en el capitulo dos se presenta la propuesta de estudio, partiendo del modelo físico se determinan los órdenes de magnitud de las principales variables en cuestión, posteriormente se lleva a cabo la adimensionalización de las ecuaciones de transferencia de calor. En el capitulo tres se resuelven las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento de calor en el conductor empleando métodos de perturbación regular.

vii

Finalmente en el capitulo cuatro se presentan los resultados analíticos de la temperatura adimensional ( )θ χ para distintos valores de los parámetro α , β y como ejemplo de aplicación se presenta un cable ACSR, (Aluminium Conductor, Steel Reinforced) [10] el cual es un conductor bimetálico; es decir, este conductor está formado por dos metales distintos, en este caso un conjunto de alambres trenzados de acero conforman el núcleo y otro conjunto de alambres de aluminio trenzados alrededor de dicho núcleo. El núcleo de acero es usado para proporcionar la fuerza de tensión, mientras que el aluminio transporta la mayor parte de la corriente eléctrica, por lo que la generación de calor debido al efecto joule se realiza principalmente en el aluminio. Debido a lo anterior en el presente trabajo se determina la temperatura longitudinal considerando al conductor como un solidó de aluminio.

CAPITULO I

ANTECEDENTES SOBRE EL EFECTO JOULE EN LOS

CABLES ELÉCTRICOS

En este capítulo se presentan los antecedentes del efecto joule en cables eléctricos, indicando las principales consideraciones que se han hecho a los diferentes estudios en cuestión. Además se mencionan los mecanismos de transferencia de calor ya que serán la base del presente trabajo.

CAPÍTULO I ANTECEDENTES DEL EFECTO JOULE EN CABLES ELÉCTRICOS

2

1.1 ANTECEDENTES. En la actualidad, debido al aumento de la demanda de energía eléctrica y a las restricciones económicas de instalar nuevas líneas aéreas de transporte de corriente eléctrica, es necesario aumentar el flujo de energía que fluye a través de los conductores ya instalados, y tomando en cuenta que el voltaje es usualmente fijo, el aumento de energía solo puede lograrse mediante el aumento de la corriente eléctrica. En general, cada conductor ejerce una resistencia al flujo de corriente eléctrica, lo que da origen a un calentamiento hasta cierta temperatura, que depende de las características físicas del conductor, la magnitud de la corriente, el tiempo que fluye, y el grado de enfriamiento (condiciones atmosféricas), dicho calentamiento se conoce como efecto joule. El incremento de temperatura en los cables de potencia debido al paso de la corriente eléctrica es un tema sobre el que se ha investigado ampliamente, sobre todo desde el punto de vista de la seguridad, ya que un calentamiento excesivo en ellos puede ser el origen de un incendio de graves consecuencias. Como medidas preventivas están, entre otras, el suficiente dimensionamiento de los cables, la selección adecuada de la tensión de alimentación y la selección correcta de las protecciones eléctricas. El calor generado en los cables y sus diferentes formas de transferencia en un medio es de gran importancia para la investigación. U. Gross [1], calculó los efectos de radiación en la transferencia de calor de un cable en absorción y emisión de medios de comunicación porosos; utilizando el método de transición de calor en el cable. Generalmente, este método tiene grandes ventajas como, exactitud y duración corta en la medida. Este ha sido usado para la determinación de la conductividad térmica de fluidos y sólidos, por otro lado Ebert y Fricke [2] modelaron la ecuación de energía acoplando el proceso de transferencia de calor por conducción y radiación empleando el método de aproximaciones sucesivas. Posteriormente M.R. Rodríguez [3], estimó la transferencia de calor en cables eléctricos sumergidos en substratos de arena: El Proceso de transferencia de calor en substratos de cultivo de invernadero son muy complejos debido a los factores complicados del medio ambiente y la tierra. Algunos métodos de estimación permiten establecer la capacidad del calentamiento de los elementos en función de los parámetros designados (profundidad y espacio), medio ambiente y cultivo, la temperatura debe ser semejante a la del medio ambiente y la temperatura deseada para el desarrollo de la raíz de la planta Buchan [4]. Además garantizar que las temperaturas requeridas en los substratos son obtenidas. Se construyo un diseño experimental del calentamiento del cable eléctrico en substratos de arena. Se utilizaron nuevos materiales diseñados, nuevos programas y tecnología de control. Se aplicó el análisis dimensional a los datos obtenidos experimentalmente, la temperatura de los substratos a diferentes profundidades, combinado con las propiedades de los substratos.


3

Recientemente R. Coquard [5], llevó acabo un estudio teórico y experimental aplicando la técnica cable - caliente para medir la conductividad térmica equivalente en aisladores térmicos de baja densidad (poliestireno). Por otro lado C. Gang [6] determinó el coeficiente convectivo por medio de un dispositivo desarrollado llamado WEDM. Se provoca en el cable una descarga eléctrica, y por medio del dispositivo desarrollado es calculado el incremento de temperatura promedio; después de un corto periodo de las descargas eléctricas, el calor transferido a través del cable es rastreado y grabado en progreso, basado en el modelo térmico del cable, el coeficiente convectivo puede ser calculado con precisión. Jennes [7] determinó experimentalmente el coeficiente de la transferencia de calor convectivo aplicando una carga térmica al cable. Finalmente A. Bejan [8] modeló matemáticamente la transferencia de calor en un conductor eléctrico, a través del cual fluye una corriente eléctrica generando calor interno, estimó la distribución de temperatura longitudinal en el conductor y determinó que los máximos gradientes de temperatura se presentan en una longitud característica, después de dicha longitud el valor de la temperatura será constante y proporcional a la generación de calor interno. El presente trabajo tiene el propósito de estudiar la distribución de temperaturas a lo largo de un cable eléctrico, aplicando el método de capa límite y técnicas de perturbación. 1.2 MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR. El calor es la forma de energía que se puede transferir de un sistema a otro como resultado de la diferencia de temperatura. Un análisis termodinámico se interesa en la cantidad de transferencia de calor, trabajo y masa conforme un sistema pasa por un proceso, de un estado de equilibrio a otro. La ciencia que trata de la determinación de las velocidades de esa transferencia de energía en forma de calor es la transferencia de calor. La transferencia de energía como calor siempre se produce del medio que tiene la temperatura mas elevada hacia el de temperatura más baja, y la transferencia de calor se detiene cuando los dos medios alcanzan la misma temperatura. El calor se puede transferir en tres modos diferentes: conducción, convección y radiación. Todos los modos de transferencia de calor requieren la existencia de una diferencia de temperatura y todos ellos ocurren del medio que posee la temperatura más elevada hacia uno de la temperatura más baja. Enseguida se da una breve descripción de cada modo.


4

1.2.1 CONDUCCIÓN. La conducción es la transferencia de energía de las partículas más energéticas de una sustancia hacia las adyacentes menos energéticas, como resultado de interacciones entre esas partículas. La conducción puede tener lugar en los sólidos, líquidos o gases. En los líquidos y gases la conducción se debe a las colisiones y a la difusión de las moléculas durante su movimiento aleatorio. En los sólidos se debe a la combinación de las vibraciones de las moléculas en una retícula y al transporte de energía por parte de los electrones libres. La velocidad de la conducción de calor a través de un medio depende de la configuración geométrica de este, su espesor y el material del que este hecho, así como la diferencia de temperaturas a través de este.

Figura 1.1 Conducción de calor a través de una pared plana grande de espesor xΔ y área sA .

Para una mejor apreciación, considere la conducción de calor en estado estacionario a través de una pared plana grande de espesor Lx =Δ y área sA , como se muestra en la figura 1.1. La diferencia de temperatura en las paredes es 12 TTT −=Δ . Los experimentos han demostrado que la velocidad de la transferencia de calor, q , a través de la pared se duplica cuando se duplica la diferencia de temperatura TΔ de uno a otro lado de ella, o bien, se duplica el área sA perpendicular a la dirección del flujo de calor; pero se reduce a la mitad cuando se duplica el espesor L. Por tanto, se concluye que la velocidad de la conducción de calor a través de una capa plana es proporcional a la diferencia de


5

temperatura a través de está y el área de transferencia de calor, es inversamente proporcional al espesor de esa capa; es decir.

1 2cond s

T Tq kAx−

=Δ

(1.1)

cond sTq kAx

Δ= −

Δ (1.2)

En donde la constante de proporcionalidad es la conductividad térmica k del material, que es una medida de la capacidad de un material para conducir calor. En el caso límite de

0→Δx , la ecuación (1.2) se reduce a la forma diferencial,

cond sdTq kAdx

= − (1.3)

y se conoce como ley de Fourier de la conducción del calor, donde indica que la velocidad de conducción de calor en una dirección es proporcional al gradiente de temperatura en esa dirección. El calor es conducido en la dirección de la temperatura decreciente y el gradiente de temperatura se vuelve negativo cuando esta última decrece al crecer x . El signo negativo en la ecuación (1.3) garantiza que la transferencia de calor en la dirección x sea una cantidad positiva. 1.2.2 CONVECCIÓN. La transferencia de calor por convección se compone de dos mecanismos. Además de la transferencia de energía debida al movimiento molecular aleatorio (difusión), la energía también se transfiere mediante el movimiento global, o macroscópico del fluido. El movimiento del fluido se asocia con el hecho de que, en cualquier instante, grandes números de moléculas se mueven de forma colectiva o como agregados. Tal movimiento, en presencia de un gradiente de temperatura, contribuye a la transferencia de calor. Como las moléculas en el agregado mantienen su movimiento aleatorio, la transferencia total de calor se debe entonces a una superposición de transporte de energía por el movimiento aleatorio de las moléculas y por el movimiento global del fluido. Se acostumbra utilizar el término convección cuando se hace referencia a este transporte acumulado y el término de advección cuando se habla del transporte debido al movimiento volumétrico del fluido. La transferencia de calor por convección se clasifica de acuerdo con la naturaleza del flujo. Hablamos de convección forzada cuando el flujo es causado por medios externos, como un ventilador, una bomba o vientos atmosféricos. Como ejemplo en la fig.1.2, se muestra el uso de un ventilador para proporcionar enfriamiento por aire mediante convección forzada de los componentes eléctricos calientes sobre un arreglo de tarjetas de circuitos impresos.


6

Figura 1.2. Proceso de transferencia de calor por convección forzada.

En cambio en la convección libre (o natural) el flujo es inducido por fuerzas de empuje que surgen a partir de diferencias de densidad ocasionadas por variaciones de temperatura en el fluido. Un ejemplo es la transferencia de calor por convección libre, que ocurre a partir de componentes calientes sobre en arreglo vertical de tarjetas de circuitos en aire inmóvil. El aire que hace contacto con los componentes experimenta un aumento de temperatura, y en consecuencia una reducción en su densidad. Como ahora es más ligero que el aire de los alrededores, las fuerzas de empuje inducen un movimiento vertical por lo que el aire caliente que asciende de las tarjetas es reemplazado por un flujo de aire frío.

Figura 1.3 Proceso de transferencia de calor por convección natural

Sin importar la naturaleza particular del proceso de transferencia de calor por convección, la ecuación o modelo apropiado es de la forma,

( )conv s sq hA T T∞= − , (1.4)


7

en donde h es el coeficiente de transferencia de calor por convección, en ( )cmW

°⋅2 o

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

°⋅⋅ FfthBtu

2 ; sA , es el área a través de la cual tiene lugar la transferencia de calor por

convección, sT es la temperatura de la superficie y ∞T es la temperatura del fluido suficiente alejado de esta superficie. El coeficiente de transferencia de calor por convección h no es una propiedad del fluido, es un parámetro que se determina en forma experimental y cuyo valor depende de todas las variables que influyen sobre la convección, [9]. 1.2.3 RADIACIÓN. La radiación es la energía emitida por la materia en la forma de ondas electromagnéticas (o fotones), como resultado de los cambios en las configuraciones electrónicas de los átomos o moléculas. A diferencia de la conducción y la convección, la transferencia de energía por radiación no requiere la presencia de un medio solidó. De hecho, la transferencia de energía por radiación es la mas rápida (a la velocidad de la luz) y no sufre atenuación en el vació. En los estudios de transferencia de calor es de interés la radiación térmica, que es la forma de radiación emitida por los cuerpos debido a su temperatura. Todos los cuerpos a una temperatura arriba del cero absoluto emiten radiación térmica. La radiación es un fenómeno volumétrico y todos los sólidos, líquidos y gases emiten, absorben o transmiten radiación en diversos grados. Sin embargo la radiación suele considerarse como un fenómeno superficial para los sólidos que son opacos a la radiación térmica, como los metales, la madera y las rocas, ya que las radiaciones emitidas por las regiones interiores de un material de ese tipo nunca pueden llegar a la superficie, y la radiación incidente sobre esos cuerpos suelen absorberse en unas cuantas micras hacia adentro de dichos sólidos. La velocidad máxima de radiación que puede ser emitida desde una superficie a una temperatura sT en (K o R) se expresa por la ley de Stefan - Boltzmann como:

4, ssmáxemitida TAq σ= , (1.5)

donde 42

81067.5 KmW

⋅×= −σ , o bien 42

8101714.0 RfthBtu

⋅⋅× − es la constante de

Stefan – Boltzmann. La superficie idealizada que emite radiación a esta velocidad máxima se llama cuerpo negro y la radiación emitida por éste es la radiación del cuerpo negro. La radiación emitida por todas las superficies reales es menor que la emitida por un cuerpo negro a la misma temperatura y se expresa como,

4ssemitida TAq εσ= , (1.6)


8

donde ( )ε es la emisividad de la superficie cuyo valor está en el intervalo 10 ≤≤ ε , es una medida de cuán próxima está una superficie de ser un cuerpo negro, para el cual 1=ε . Otra propiedad importante relativa a la radiación de una superficie es su absortividad α , y es la fracción de la energía de radiación incidente sobre una superficie que es absorbida por ésta, su valor esta en el intervalo 10 ≤≤ α . Un cuerpo negro absorbe toda la radiación incidente sobre él, es decir, un cuerpo negro es un absorbente perfecto ( )1=α del mismo modo que es un emisor perfecto. La velocidad de absorción de radiación en una superficie se muestra en la figura (1.4)

Figura 1.4 Absorción de la radiación incidente sobre una superficie opaca de absorvidad α .

incidenteabsorbida qq α= (1.7) donde incidenteq es la velocidad a la cual la radiación incide sobre la superficie y α es la absortividad de la superficie. Para las superficies opacas (no transparentes), la parte de la radiación incidente no absorbida por la superficie se refleja. La diferencia entre las velocidades de la radiación emitida por la superficie y la radiación absorbida es la transferencia neta de calor por radiación. Si la velocidad de absorción de la radiación es mayor que la de emisión, se dice que la superficie está ganando energía por radiación. De lo contrario se dice que la superficie está perdiendo energía por radiación. En general la determinación de la velocidad neta de la transferencia de calor por radiación entre dos superficies es un asunto complicado, ya que depende de las propiedades de las superficies, de la orientación de una con respecto a la otra y de la interacción del medio que existe entre ellas con la radiación. Cuando una superficie de emisividad ε y área superficial sA que se encuentra a una temperatura absoluta sT esta completamente encerrada por una superficie mucho mayor (o negra) que se encuentra a la temperatura absoluta alredT y separada por un


9

gas (como el aire) que no interviene con la radiación, la rapidez neta de transferencia de calor por radiación entre estas dos superficies se expresa en la figura 1.5.

Figura 1.5 Transferencia de calor por radiación entre una superficie y las superficies que la circundan. ( )44

alredssrad TTAq −= εσ (1.8) En este caso especial la emisividad y el área superficial de la superficie circundante no tienen efecto sobre la transferencia neta de calor por radiación. Las transferencia de calor por radiación hacia una superficie, o desde está, rodeada por un gas como el aire, ocurre paralela a la conducción (o convección, si se tiene un movimiento masivo del gas) entre esa superficie y el gas. Por tanto, la transferencia total de calor se determina al sumar las contribuciones de los dos mecanismos de transferencia. Por sencillez y conveniencia esto se lleva a cabo con frecuencia mediante la definición de un coeficiente combinado de transferencia de calor, combinadoh , que incluye los efectos tanto de la convección como de la radiación. Entonces la velocidad total de transferencia de calor hacia una superficie, o desde está, por convección y radiación se expresa como;

( )∞−= TTAhq sscombinadototal . (1.9) Note que, en esencia, el coeficiente combinado de transferencia de calor es un coeficiente de transferencia de calor por convección modificado para incluir los efectos de la radiación.

CAPITULO II

MODELO MATEMÁTICO

En este capítulo se determinan los órdenes de magnitud de las principales variables en cuestión con el fin de obtener parámetros adimensionales que relacionen las propiedades físicas del fenómeno. Posteriormente se lleva a cabo la adimensionalización de las ecuaciones diferenciales de transferencia de calor del conductor, con sus respectivas condiciones de frontera.

CAPÍTULO II MODELO MATEMÁTICO

11

2.1 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA. La figura 2.1 muestra un conductor eléctrico analizado como una aleta horizontal de longitud L y altura 2e , donde 2e L , el conductor es soportado a una pared con temperatura bT y además se encuentra sumergido en un fluido a una temperatura T∞ .

Figura 2.1 Esquema de la transferencia de calor sobre un conductor. El origen de la coordenada se toma a partir de la base del cable como se muestra en la figura anterior. A través del conductor fluye corriente eléctrica y el calor generado en él, debido al efecto joule se transfiere al ambiente por convección. Para establecer las ecuaciones de calor en el conductor, se hacen las siguientes consideraciones:

1. La corriente eléctrica que fluye a través del conductor es permanente.

2. Las propiedades del fluido en el que se encuentra en contacto el conductor permanecen constantes.

3. La temperatura en la superficie del conductor ( )T x , es función solo de la

coordenada longitudinal x , ya que la transferencia de calor solo se analizara en dicha dirección debido a la aproximación de la capa límite.

4. La conductividad térmica del material del conductor es constante.


12

5. La distribución de corriente eléctrica se supone uniforme a través del conductor.

6. Las ganancias de calor solo son por efecto joule.

2.2 BALANCE DE ENERGIA. Partiendo de un balance de energía al elemento diferencial mostrado en la figura 2.2, se tiene que:

0=−+•••

salidagenentrada EEE ( )2.1

Figura 2.2 Balance de energía del elemento diferencial del conductor. Para determinar el perfil de temperatura en el conductor se procede a determinar la ecuación diferencial que describe su variación. Del balance de energía, ec ( )2.1 , se tiene:

0x x dx conv cq q dq q A dx•

+− − + = ( )2.2

Al llevar a cabo una expansión en series de Taylor para el termino dxxq + ; se muestra que,

xq

qq xxdxx ∂

∂+=+ ( )2.3

Por lo que al sustituir la expresión anterior en la ec. (2.2) se transforma en:

0xx x conv c

dqq q dx dq q A dxdx

•⎡ ⎤− + − + =⎢ ⎥⎣ ⎦ ( )2.4

haciendo las simplificaciones necesarias a la ec. ( )2.4 se puede escribir como,


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0xconv c

dq dx dq q A dxdx

•

− − + = . ( )2.4A

Por otro lado, para cuantificar la transferencia de calor por conducción se aplica la ley de Fourier donde,

x cdTq kAdx

= − , ( )2.5

teniendo en cuenta que xq es la transferencia de calor por conducción, por tanto se sustituye la ec. ( )2.5 en la expresión ( )2.4A obteniendo la siguiente relación;

0c conv cd dTkA dx dq q A dxdx dx

•⎡ ⎤− − − + =⎢ ⎥⎣ ⎦. ( )2.6

Así mismo, el calor transferido por el conductor hacia el medio circundante se puede cuantificar empleando la ley de enfriamiento de Newton, de forma que:

( )conv pdq hdA T T∞= − ( )2.7

donde pdA p dx= ⋅ es el área de sección transversal y p es el perímetro del conductor fig.2.2.

Al sustituir la ec. ( )2.7 en ( )2.6 se obtiene la siguiente ecuación diferencial,

( ) 0c cd dTkA dx hp T T dx q A dxdx dx

•

∞⎡ ⎤− − − − + =⎢ ⎥⎣ ⎦

. ( )2.8

Considerando que el coeficiente de conducción del material ( )k , el coeficiente de convección del aire ( )h , el área transversal del conductor ( )cA y el perímetro ( )p , son constantes; la ec. ( )2.8 se transforma en:

( )2

2 0c

d T hp qT Tdx kA k

•

∞− − + = . ( )2.9

La distribución de temperaturas se obtiene resolviendo la ecuación diferencial ( )2.9 ; sujeta a las siguientes condiciones de frontera:


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Suponiendo que el conductor se encuentra inicialmente a la temperatura de la base, se tiene que,

( )0 bT x T= = . ( )2.10

Por otro lado cuando x crece, la temperatura en la superficie del conductor tendera a la temperatura máxima es decir,

( ) maxT x L T= = . ( )2.11

2.3 PRIMER LÍMITE creceq•

. La ecuación (2.9) se analizara para dos límites, en el primer límite se considera que la generación interna de calor aumente y en el segundo esta tiende a cero. Con el propósito de obtener parámetros adimensionales que relacionen las propiedades físicas del fenómeno en cuestión, en esta sección, se analizaran los ordenes de magnitud de las variables involucradas en el proceso de transferencia de calor, iniciando con el primer límite. 2.3.1 ESTIMACIÓN DE LOS ÓRDENES DE MAGNITUD. En los problemas de transferencia de calor existe una gran cantidad de variables y propiedades físicas involucradas, que dan como resultado la posibilidad de obtener una amplia gama de soluciones. Por lo anterior es recomendable que antes de resolver las ecuaciones que modelan un problema físico, se realice un análisis de órdenes de magnitud con el fin de obtener parámetros adimensionales. El objetivo de introducir los parámetros adimensionales, es debido a que ellos relacionan un conjunto de dichas variables y propiedades físicas, y de esta manera es posible hacer un comparativo de los términos dominantes de la ecuación, así como para englobar una cantidad de soluciones. Cuando la generación de calor interna crece [8], la temperatura en el conductor es independiente de x , por tanto, la variación de temperatura máxima se determina mediante un balance de energía entre el término de generación de calor interna y el término de convección, por lo que la ec ( )2.9 se transforma en:

( )max 0c

hp qTkA k

•

− Δ + = ( )2.12


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entonces la ecuación anterior se puede escribir en ordenes de magnitud de la siguiente manera,

maxcq AT

hp

•

Δ ∼ ( )2.13

esto muestra que el calentamiento de la sección distante del cable es proporcional a la generación de calor interno en aumento. Así mismo la relación entre el calor conductivo y el calor convectivo se encuentra definido por un parámetro pequeño definido como:

1 2

cc

kALhp

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, ( )2.14

este parámetro también es conocido como la longitud característica del conductor, y es donde se presentan los mayores gradientes de temperatura. Sustituyendo el parámetro de la ec. ( )2.14 en la ec. ( )2.12 se obtiene el siguiente orden de magnitud,

max2

c

T qL k

•

Δ ∼ . ( )2.15

En la ec. ( )2.15 se observa que el incremento de temperatura máxima maxTΔ queda

escalado por el parámetro de longitud característica 2cL . Si la longitud característica es

pequeña el incremento de temperatura es muy pequeño lo que quiere decir que la transferencia de calor hacia el ambiente es muy eficiente, y por lo tanto el conductor se calienta menos. Por el contrario con una longitud característica grande existe una deficiente tasa de transferencia de calor del cable hacia el ambiente y un mayor incremento de temperatura. Sustituyendo las ecs ( )2.14 y ( )2.15 en la ecuación de transferencia de calor ec. ( )2.9 ,

esta toma la forma:

( )2max

2 2 2 0c c

T T Td Tdx L L

∞− Δ− + = , ( )2.16


16

2.3.2 ADIMENSIONALIZACIÓN DE LA ECUACIÓN QUE DESCRIBE EL

PROCESO DE TRANSFERENCIA DE CALOR PARA creceq•

. En esta sección se presenta el sistema de ecuaciones adimensionales que describen el fenómeno de transferencia de calor a estudiar; para tal efecto es necesario definir una serie de valores adimensionales, con el uso de las escalas físicas y geométricas obtenidas en la sección anterior. La ecuación de difusión de calor en el conductor puede adimensionalizarse sustituyendo las siguientes variables adimensionales.

max

T TT

θ ∞−=Δ

, ( )2.17

donde maxTΔ es la máxima diferencia de temperatura definida en la ec. (2.13). La longitud del conductor se puede adimensionalizar de la siguiente forma;

xL

χ = ( )2.18

donde x es la variable longitudinal y L es la longitud total del cable. Considerando las variables adimensionales ( )2.17 y ( )2.18 en la relación ( )2.16 , se obtiene la ecuación de transferencia de calor en forma adimensional.

22

2 1 0ddθβ θχ

− + = ( )2.19

Por otro lado las condiciones de frontera de la ecuación anterior están definidas como,

( ) 20 αθ χβ

= = , ( )2.20

( )1 1θ χ = = . ( )2.21

Tomando en cuenta que la temperatura en el conductor depende de que tan grande es la generación de calor interno, la primera condición de frontera queda escalada mediante los

parámetros 2

αβ

; suponiendo que 2 1αβ

, donde los parámetros α y β están

representados por,


17

( )2

bk T T

q Lα ∞

•

−= ( )2.22

cL

Lβ = ( )2.23

2.4 SEGUNDO LÍMITE 0q•

→ . 2.4.1 ESTIMACIÓN DE LOS ÓRDENES DE MAGNITUD En esta sección, se analizaran los órdenes de magnitud de las variables involucradas en el proceso de transferencia de calor, para el segundo límite con el fin de obtener parámetros adimensionales que relacionen las propiedades físicas del fenómeno. Si la generación de calor interno tiende a cero, la transferencia de calor en dirección longitudinal es por convección, por tanto el orden de magnitud del gradiente máximo de temperatura esta dado por,

max bT T T∞Δ −∼ ( )2.24 2.4.2 ADIMENSIONALIZACIÓN DE LA ECUACIÓN QUE DESCRIBE EL

PROCESO DE TRANSFERENCIA DE CALOR PARA 0q•

→ . La ecuación de difusión de calor en el cable puede adimensionalizarse sustituyendo las siguientes variables adimensionales.

max

T TT

θ ∞−=Δ

, ( )2.25

donde maxTΔ es la diferencia de temperatura característica definida en la relación ( )2.24 y la variable longitudinal adimensional del conductor esta dada por,

xL

χ = ( )2.26

de manera que al sustituir las variables adimensionales ( )2.25 , ( )2.26 en la ec ( )2.9 se trasforma en:


18

2 22

2 0ddθ ββ θχ α

− + = , ( )2.27

con sus respectivas condiciones de frontera adimensionales,

( )0 1θ χ = = , ( )2.28

( )1 0θ χ = = . ( )2.29 Es importante mencionar que para resolver las ecs. ( )2.19 y ( )2.27 empleando el método de perturbación regular es necesario identificar un parámetro de perturbación el cual deberá ser mucho menor que la unidad. En el capitulo 4, se muestra que 1β , de tal manera se tomara como parámetro de perturbación. En la siguiente sección se presenta la metodología de solución del sistema de ecs. ( )2.19 ,

( )2.27 , cuya solución será la temperatura adimensional ( )θ χ en función de la variable adimensional χ para distintos valores de los parámetros β y α .

CAPITULO III

METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN

En este capítulo se muestra la metodología de solución de las ecuaciones que describen la

trasferencia de calor, considerando dos diferentes límites: creceq•

, 2 1αβ

y 0q•

→ , 2 1αβ

,

para determinar la temperatura adimensional en dirección longitudinal ( )θ χ , empleando técnicas de perturbación regular y de capa límite.

CAPÍTULO III METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN

20

3.1 GENERALIDADES DE LAS TÉCNICAS DE PERTURBACIÓN REGULAR. En esta sección se presenta una descripción de la aproximación analítica de los métodos de perturbación. Para tener un panorama general del tema, se considerarán algunos conceptos fundamentales así como el procedimiento del análisis de perturbación:

I. Identificar un parámetro pequeño ∈ . Este debe ser considerado al reconocer las escalas físicas relevantes del problema. Una vez hecho lo anterior, se normalizan todas las variables con respecto a esas escalas características. En la forma normalizada, las ecuaciones gobernantes del fenómeno físico presentarán ciertos parámetros adimensionales, cada uno de estos presenta la importancia relativa de ciertos mecanismos físicos representativos del fenómeno que se esta estudiando. Si uno de los parámetros, por ejemplo ∈ , es mucho menor que la unidad (si el parámetro es muy grande, su recíproco es pequeño), entonces ∈ puede ser tomado como el parámetro de perturbación.

II. Expandir la solución como una serie ascendente del parámetro pequeño ∈ , por

ejemplo, una serie de potencias de la forma.

2 3 ... nnθ θ θ θ θ θ≈ + ∈ + ∈ + ∈ + + ∈ .

donde nθ es el llamado término de orden n . La forma de las series puede variar de acuerdo a la manera en que ∈ aparece en las ecuaciones.

III. Agrupar términos del mismo orden en todas las ecuaciones gobernantes así como en las condiciones auxiliares, y de esta forma obtener ecuaciones de perturbación para cada orden.

IV. Iniciar desde el orden más bajo, resolviendo los problemas en cada orden

sucesivamente hasta el orden deseado, por ejemplo O(n).

V. Sustituir los resultados para , 1,2,3...,n nθ = en la expansión propuesta para obtener la solución final.

El procedimiento anterior es llamado análisis de perturbación regular. Existen sin embargo, muchas situaciones en las cuales las series de perturbación regular fallan en algún rango de la variable independiente, entonces se debe recurrir al análisis de perturbación singular, que contiene los siguientes pasos:

I. Determinar la falla de la expansión regular; verificar cuál de las suposiciones son violadas cuando la falla ocurre.


21

II. Seleccionar nuevas escalas y nuevas normalizaciones para rescatar los términos que son importantes cerca de la singularidad e iniciar un nuevo análisis de perturbación.

3.2 GENERALIDADES DE LA CAPA LÍMITE. Se conoce como capa limite a la región donde cambia rápidamente el perfil de una solución en un intervalo pequeño, al límite del origen; después de este intervalo se ubica la capa externa, donde el perfil diferencia lentamente fuera del origen. El método de capa límite, también conocido como expansión asintótica, puede ser usado en algunos casos. Principalmente cuando un pequeño parámetro llamado ∈ multiplica la derivada de mayor orden de la ecuación diferencial, degrada el orden de la ecuación cuando

0∈= , y la solución obtenida se llama aproximación de la solución externa. Por otro lado la solución aproximada que solo es valido en la capa límite donde los cambios rápidos tienen lugar, se llama aproximación interna. Para el análisis de la capa límite donde el parámetro

1∈ , se debe reescalar la variable independiente χ en la capa límite seleccionando una escala espacial donde se reflejan los rápidos cambios del perfil. Para las ecuaciones diferenciales ordinarias, los problemas que involucran capa límite son comunes y el procedimiento para determinar sí hay capa límite y donde se localiza es el siguiente:

I. Cuando hay capa límite el termino de perturbación de principal orden se determina cuando 0∈= en la ecuación, y proporciona la solución aproximada en la región externa.

II. La solución aproximada interna en la capa limite se encuentra reescalando la

variable independiente, permitiendo el análisis de los gradientes del perfil de la solución.

III. Las soluciones aproximadas externa e interna se acoplan para obtener una solución

uniforme aproximada, valida para la ecuación.

3.3 SOLUCIÓN ASINTÓTICA PARA, creceq•

y 2 1αβ

.

En la ec ( )2.19 se observa que la derivada de mayor orden es multiplicada por el parámetro pequeño β , por tanto la relación se transforma en;

0 1eθ = ( )3.1


22

Para esta solución no es posible satisfacer ambas condiciones de frontera de la ec ( )2.19 , mientras tanto se divide la región de interés del intervalo 0 1χ≤ ≤ en dos partes, una región delgada a la entrada o capa limite, alrededor de 0χ = , y una región externa a la salida. Por lo tanto el término 0eθ de la ec. ( )3.1 representa la solución en la región externa, la

cual satisface la condición de frontera, ec. ( )2.21 . Para estudiar el comportamiento de la temperatura en la región interna de la capa límite se hace un reescalamiento mediante un cambio de variable ξ χ β= , al sustituir esta nueva variable en la ec. ( )2.19 se obtiene;

2

2 1 0dd

θ θξ

− + = ( )3.2

y las condiciones de frontera se pueden representar como,

( )0 20iαθ ξβ

= = ( )3.3

( )0 1iθ ξ = ∞ = ( )3.4

A continuación se determinara la solución de la ecuación diferencial ( )3.2 , por el método de perturbación regular, aplicando los siguientes puntos.

I. Se identifica un parámetro pequeño β∈= , ya que cuando 1β la solución se puede obtener con la ayuda de técnicas de perturbación regular, utilizando β como el parámetro pequeño de expansión.

II. Una vez conociendo el parámetro de perturbación se lleva acabo la expansión de la

temperatura adimensional como una serie de potencias ascendentes de la siguiente forma:

( ) ( )01

ji j

jθ θ χ θ χ

∞

=

= + ∈∑ ( )3.5

Tomando hasta el orden 2j =

2

0 1 2θ θ θ θ≈ + ∈ + ∈ ( )3.6


23

sustituyendo el término ( )3.6 en la ec. ( )3.2 se puede expresar como;

( )2 20 1 2 2

0 1 22 1 0i i ii i i

dd

θ θ θθ θ θ

ξ

⎛ ⎞+ ∈ + ∈⎜ ⎟ − −∈ −∈ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

( )3.7

III. Una vez hechas las expansiones correspondientes, se agrupan los términos de la

misma potencia de la ec. ( )3.7 , obteniéndose la siguiente relación; para 0∈ ,

20

02 1 0ii

dd

θ θξ

− + = ( )3.8

IV. Se resuelve la ecuación obtenida en el punto III.

La ecuación de perturbación ( )3.8 es una ecuación de segundo orden no homogéneo, y para encontrar su solución se deberán seguirse los siguientes pasos.

a) Se determina la solución de la ecuación homogénea asociada.

( )20

02 0ii

dd

θθ

ξ− = ( )3.9

donde la solución deberá ser de la forma:

1 21 2

m mc C e C eξ ξθ = + ( )3.10

b) Como se trata de una ecuación no homogénea, también tendrá una solución

particular ( )pθ ; de manera que,

( )2

2 1p

pp

cte

dd

θ

θθ

ξ=

− = − ( )3.11

es decir su solución particular será:

1pθ = ( )3.12 por lo que la solución general de la ec. ( )3.8 se puede expresar como:


24

( ) 1 20 1 2

m mi pC e C eξ ξθ ξ θ= + + . ( )3.13

c) Se propone una solución asociada para la ecuación diferencial de la forma:

0

mi e ξθ = , ( )3.14

la primera derivada de la ec. ( )3.14 es;

0 mid med

ξθξ

= , ( )3.15

su segunda derivada es;

220

2mid m e

dξθ

ξ= , ( )3.16

y al sustituir la expresión ( )3.14 y ( )3.16 en la ec. ( )3.9 se obtiene:

2 0m mm e eξ ξ− = , ( )3.17 donde la ec. ( )3.17 también se puede representar como:

2 1 0m − = ( )3.18

por tanto las raíces de la ecuación anterior son,

1

2

11.

mm

== −

. ( )3.19

Sustituyendo las expresiones ( )3.12 y ( )3.19 en la ec. ( )3.13 se obtiene la siguiente solución.

0 1 2 1i C e C eξ ξθ −= + + . ( )3.20

Para determinar la constante de integración 1C se sustituye la primera condición de frontera en la ec. ( )3.20 ,

0 01 22 1C e C eα

β−= + + , ( )3.21


25

al reducir la ec. ( )3.21 se obtiene,

1 22 1C Cαβ

= + + , ( )3.22

así mismo al sustituir la segunda condición de frontera en la ec. ( )3.20 se llega a;

1 21 1C e C e∞ −∞= + + . ( )3.23

Al reducir la ec. ( )3.23 se obtiene la siguiente igualdad;

11 1C e∞= + . ( )3.24

De la ecuación anterior se puede concluir que,

1 0C = . ( )3.25

Sustituyendo el valor de 1C en la ec. ( )3.22 se obtiene el valor de 2C obteniendo,

2 2 1C αβ

= − . ( )3.26

Considerando el valor de 1C y 2C en la ec ( )3.20 la solución resultante es,

( )0 2 1 1i e ξαθ ξβ

−⎛ ⎞= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠. ( )3.27

Se ha obtenido el orden cero de la región externa ( )0eθ y el orden cero de la región interna

( )0iθ ; por lo que se prosigue a acoplar ambas soluciones:

( ) ( )0 0 0i eθ ξ θ χ→ ∞ = → ( )3.28

Por otro lado al evaluar el límite para la región interna se obtiene que,

0lim 1iξθ

→∞= ( )3.29

además al estimar el límite en la región externa se obtiene,


26

00

lim 1exθ

→= ( )3.30

Por lo que la parte común de las ecs. ( )3.29 y ( )3.30 tiene valor de 1 y la ecuación que define el orden cero de ambas regiones se puede representar como:

0 0 0 1i eθ θ θ= + − . ( )3.31

Al sustituir la soluciones ( )3.1 y ( )3.27 en la ec ( )3.31 correspondientes a cada región, se tiene que,

0 21 1 e ξαθβ

−⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠ ( )3.32

Finalmente se obtiene la solución de la temperatura adimensional del conductor en

dirección longitudinal, cuando la creceq•

, representándose de la forma,

( )0 21 1 eχβ

χαθβ

−⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠ ( )3.33

3.4 SOLUCIÓN ASINTÓTICA PARA, 0q•

→ y 2 1αβ

.

Para obtener la solución de la ecuación diferencial que define la evolución de la capa

límite, para 0q•

→ y 2 1αβ

, se siguen los pasos mencionados en la sección anterior;

suponiendo que el parámetro β es muy pequeño, la solución de la ec ( )2.27 es trivial, es decir,

0 0eθ = ( )3.34

esta solución no satisface ambas condiciones de frontera, por tanto se divide la región de interés en dos partes, una región delgada a la entrada o capa límite, alrededor de 0χ = , y una región externa a la salida, en el intervalo 0 1χ≤ ≤ . La ec. ( )3.34 es la solución de la región externa de la capa límite. Para la región interna se

debe hacer un reescalamiento utilizando un cambio de variable ξ χ β= en la ec. ( )2.27 ,


27

de este modo es posible analizar las caídas de temperatura adimensional en la región interna. Por otro lado la ec. ( )2.27 se transforma en:

2 2

2 0dd

θ βθξ α

⎛ ⎞− + =⎜ ⎟

⎝ ⎠, ( )3.35

y sus condiciones de frontera adimensionales son;

( )0 0 1iθ ξ = = , ( )3.36

( )0 0iθ ξ = ∞ = . ( )3.37

A continuación se aplicara el procedimiento del análisis de perturbación para obtener la solución en la región interna de la capa límite.

I. En principio se identifica el parámetro β∈= , como el parámetro de perturbación ya que cuando 0β → , la solución se puede obtener con la ayuda de técnicas de perturbación regular utilizando β como el parámetro pequeño de expansión.

II. Una vez conociendo el parámetro de perturbación, se lleva acabo la expansión de la

temperatura adimensional como una serie de potencias ascendentes de la siguiente forma.

2

0 1 2i i iθ θ θ θ≈ + ∈ + ∈ ( )3.38 sustituyendo la relación ( )3.38 en la ec. ( )3.35 se puede escribir como;

( )2 2 20 1 2 2

0 1 22 0i i ii i i

dd

θ θ θθ θ θ

ξ α

+ ∈ + ∈ ∈− −∈ −∈ + = . ( )3.39

III. Una vez hecha la expansión correspondiente se agrupan los términos de la misma

potencia de la ec. ( )3.39 obteniéndose la siguiente relación para 0∈ ,

20

02 0ii

dd

θ θξ

− = . ( )3.40

IV. Se resuelve la ecuación homogénea de segundo orden obtenida en el punto III

proponiendo una solución de la siguiente forma:


28

0m

i e ξθ = , ( )3.41

la primera derivada de la solución propuesta es:

0 mid med

ξθξ

= , ( )3.42

en consecuencia la segunda derivada es:

220

2mid m e

dξθ

ξ= . ( )3.43

Sustituyendo las ecuaciones ( )3.43 y ( )3.41 en la ec. ( )3.40 se obtiene;

2 0m mm e eξ ξ− = . ( )3.44

Factorizando la ec. ( )3.44 y despejando el factor común me ξ se llega a;

2 1 0m − = , ( )3.45

donde las raíces de la expresión anterior son;

1

2

11.

mm

== −

( )3.46

Por otro lado la solución general que gobierna la ec. ( )3.40 es de la forma,

( ) 1 20 1 2

m mi C e C eξ ξθ ξ = + , ( )3.47

y considerando los valores de las raíces ( )3.46 en la ec ( )3.47 se obtiene;

( )0 1 2i C e C eξ ξθ ξ −= + . ( )3.48

Para obtener la constante de integración 1C se sustituye la primera condición de frontera, de tal forma que

0 01 21 C e C e−= + , ( )3.49


29

y al evaluar la segunda condición de frontera en la ec. ( )3.48 se llega a,

1 20 C e C e∞ −∞= + . ( )3.50

Despejando 1C de la ec. ( )3.50 se representa como;

1 0C = . ( )3.51

Por otro lado la expresión ( )3.49 se convierte en:

1 21 C C= + . ( )3.52

Considerando el valor de 1C en la ec. ( )3.52 se establece el valor de 2C , de manera que,

2 1C = . ( )3.53

Sustituyendo 1C y 2C en la ec. ( )3.48 , se obtiene la ecuación de perturbación de orden cero en la región interna de la capa límite representada como,

( )0i e ξθ ξ −= . ( )3.54 Para acoplar las dos soluciones de la ecuación de perturbación, se deberá conocer la parte común entre ambas regiones; por lo que se plantea la siguiente igualdad,

( ) ( )0 0 0i eθ ξ θ χ→ ∞ = → . ( )3.55 Tendiendo los límites en la región interna se tiene:

0lim 0iξθ

→∞= . ( )3.56

Para la región externa se debe satisfacer que,

0lim 0eχθ

→∞= . ( )3.57

de manera que la parte común para ambas regiones es cero. A continuación se presenta la solución acoplada,

( )0 0 0 0i eθ ξ θ θ= + − . ( )3.58


30

sustituyendo las soluciones ( )3.34 , ( )3.54 en la ec. ( )3.58 se obtiene;

( )0 0 0e ξθ ξ −= + − . ( )3.59

Finalmente se obtiene la solución de la temperatura longitudinal adimensional del

conductor cuando la 0q•

→ .

( )0 eχβθ χ

−= ( )3.60

En el siguiente capitulo se presentan los resultados del comportamiento de los gradientes de temperatura para los diferentes límites, también se presenta un problema con valores físicos para una mejor entendimiento del efecto joule en los conductores.

CAPITULO IV

ANÁLISIS DE

RESULTADOS En este capítulo se presentan los resultados analíticos de la temperatura adimensional ( )θ χ para distintos valores del parámetro β y α . Finalmente se presenta un ejemplo de

aplicación, y se determina la temperatura local longitudinal para un cable de alta tensión ACSR.

CAPÍTULO IV ANÁLISIS DE RESULTADOS

32

4.1 ANÁLISIS PARAMÉTRICO DE LOS RESULTADOS ANALÍTICOS

PARA, creceq•

y 2 1αβ

.

Los resultados analíticos para la ecuación de calor en el conductor ec. ( )3.33 , se presenta en esta sección mediante las figuras (4-1)-(4-6). En las figuras 4-1 y 4-2, se muestra la solución analítica para la temperatura adimensional en dirección longitudinal del cable

( )0θ χ , para dos valores del parámetro 0.00002, 0.00012α = con

0.012, 0.0633, 0.1583,0.3167β = , donde α es el parámetro adimensional que contribuye al calentamiento del conductor y depende de la generación de calor interna del sistema en unidades físicas, siendo que cuando el parámetro característico de penetración térmica β disminuye, entonces α crece de forma lineal y su consideración en la ecuación de transferencia de calor tiene efectos importantes sobre ( )0θ χ , como se muestra en la siguiente grafica.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

θ0

χ

α=0.00002

β=0.012 β=0.0633 β=0.1583 β=0.3167

Figura 4-1. Solución asintótica del perfil de temperatura, ( )0θ χ en función de la coordenada longitudinal

χ , con un 0.00002α = , para distintos valores de β . Para valores pequeños de β , las ( )0θ χ se aproximan a la solución ( )0 1 1θ χ = = , es decir como se ve en las figuras 4-1, 4-2, cuando 0.012β = el valor de la temperatura adimensional en el conductor tiende al valor de uno para todo 0.08χ > , esto indica que a partir de esta longitud, la temperatura a lo largo del cable es la misma a la temperatura de la


33

base del conductor bT , tratándose de una pared isotérmica, por tanto no hay flujo de calor en la dirección longitudinal x . Por otro lado cuando 0.08χ < , la temperatura en la pared del conductor 0θ se aproxima a la temperatura del fluido. Para valores grandes de 0.3167β = , la temperatura en la base del conductor ( )0T x = se acerca a la temperatura del fluido T∞ , de tal forma que la

temperatura adimensional debe ser ( )0 20 αθ χβ

= , ya que 2 0αβ

→ .

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

θ0

χ

α=0.00012

β=0.012 β=0.0633 β=0.1583 β=0.3167


χ , con un 0.00012α = , para distintos valores de β . Al comparar las figuras 4-1, 4-2 se observa que cuando α aumenta, la temperatura adimensional también crece ligeramente, por tanto el parámetro α tiene influencia sobre la temperatura adimensional ( )0θ χ , ya que este modifica sustancialmente los perfiles de temperatura en el conductor.


34

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

θ0

χ

β=0.012

α=0.00002 α=0.00012


χ , con un 0.012β = , para distintos valores de α .

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

θ0

χ

β=0.0633

α=0.00002 α=0.00012


χ , con un 0.0633β = , para distintos valores de α .


35

En la figura 4-3, se observa que para 0.012β = el parámetro α influye sobre la temperatura adimensional ( )0θ χ , de tal forma que modifica los perfiles de temperatura. En las figuras 4-4, 4-5, 4-6 se ve que para valores de 0.0633, 0.1583, 0.3167β = , la influencia del parámetro α es despreciable ya que este parámetro no modifica los perfiles de temperatura, de tal forma que las caídas de temperatura solo dependerán del incremento del parámetro característicoβ . En la figura 4-4 se muestra que para un valor de 0.0633β = con 0.00002, 0.00012α = , la temperatura adimensional de la pared del conductor ( )θ χ se mantiene constante cuando la longitud adimensional es 0.5χ > , sin embargo para valores de 0.5χ < el perfil de temperatura crece lentamente, generándose grandes gradientes de temperatura.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

β=0.1583

θ0

χ

α=0.00002 α=0.00012


χ , con un 0.1583β = , para distintos valores de α . Para 0.1583β = con 0.00002, 0.00012α = , la temperatura máxima se aproxima a la solución ( )0 1 1θ χ = = , donde el parámetro α no influye en el perfil de temperatura adimensional y la longitud característica es grande como se muestra en la figura 4-5. En referencia a la figura 4-6, se observa que para 0.3167β = con 0.00002, 0.00012α = , nunca se alcanza a estabilizar 0θ a lo largo del cable es decir todo el conductor es no isotérmico porque la 0θ varia en toda χ .


36

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

β=0.3167

θ0

χ

α=0.00002 α=0.00012


χ , con un 0.3167β = , para distintos valores de α . Para demostrar que el parámetro β tiene fuerte influencia sobre la temperatura adimensional; en la siguiente tabla se muestran las caídas de temperatura fijando un punto en 0.15χ = para los valores de 0.012, 0.0633, 0.1583, 0.3167β = . Tabla 4-1. Valores de la temperatura adimensional en función del parámetro característico β .

Longitud adimensional χ

Parámetro característico β

Temperatura adimensional 0θ

0.15 0.012 1 0.15 0.0633 0.91 0.15 0.1583 0.61 0.15 0.3167 0.38

Finalmente se concluye que para valores pequeños de parámetro β , la temperatura crece fuertemente hasta alcanzar su máximo valor, lo cual indica que la transferencia de calor es deficiente y por lo tanto el conductor se calienta más. Por otro lado cuando el valor de β aumenta, la temperatura adimensional decrece progresivamente lo que significa una buena tasa de transferencia de calor del conductor al fluido y un menor incremento de temperatura, tal y como se observa en la tabla 4-1.


37

4.2 ANÁLISIS PARAMÉTRICO DE LOS RESULTADOS ANÁLITICOS

PARA, 0q•

→ y 2 1αβ

.

En la figura 4-7 se presenta los resultados analíticos de la ec. ( )3.60 , cuando la generación de calor interno tiende a cero para cuatro valores del parámetro

0.012, 0,0633, 0.1583, 0.3167β = , esto quiere decir que los gradientes de temperatura solo estarán escalados por el parámetro β . Para valores pequeños de β , los perfiles de ( )0θ χ decrecen rápidamente y las soluciones

se aproximan a la condición de frontera ( )0 0 1θ χ = = lo cual indica que la temperatura de la pared del conductor tiende a la temperatura de la base bT . Pero sí 0.012β = la temperatura adimensional cae precipitadamente hasta igualarse a la temperatura del fluido T∞ en 0.08χ = . Por otro lado cuando 0.1583β = la temperatura adimensional ( )0θ χ disminuye prolongadamente hasta ajustarse a la temperatura del fluido T∞ donde

( )0 1 0θ χ = = .

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

θ0

χ

β=0.012 β=0.0633 β=0.1583 β=0.3167

Figura 4-7 Solución asintótica del perfil de temperatura, ( )0θ χ en función de la coordenada longitudinal

χ , con 0q•

→ , para distintos valores de β . En la tabla 4-2, se muestra la importante influencia que tiene el parámetro característico en el perfil de temperatura,


38

Tabla 4-2. Valores de la temperatura adimensional en función del parámetro característico β .

Longitud adimensional χ

Parámetro característico β

Temperatura adimensional 0θ

0.15 0.012β = 0 0.15 0.0633β = 0.09 0.15 0.1583β = 0.38 0.15 0.3167β = 0.62

Como se puede observar en la tabla 4-2, cuando el valor del parámetro es 0.012β = a una longitud de 0.15χ = la temperatura longitudinal del conductor será igual a la temperatura del fluido; lo cual indica un rápido enfriamiento del conductor. Pero si 0.3167β = , la transferencia de calor al fluido es deficiente, generando un mayor incremento de temperatura en el conductor. 4.3 ANALISIS DE LA TEMPERATURA LOCAL LONGITUDINAL EN UN CABLE DE ALTA TENSIÓN (ACSR). A continuación se presenta un ejemplo, que consiste en determinar la temperatura local longitudinal de un conductor con las siguientes propiedades y características del material. Tabla 4-3. Características y propiedades esenciales del conductor de aluminio.

Designación Sección transversal

2m

Diámetro

m

Longitud

m

Conductividad Térmica del

aluminio W m C⋅°

Resistencia Ω

Máxima Intensidad

de corrienteA

630-Al/S1A 54/19 0.0007098 0.030 100 237 0.00459 1000 En la tabla 4-4 se presentan las propiedades físicas del fluido ( )aire . Tabla 4-4. Propiedades físicas del aire.

Temperatura de base del conductor ( )bT

C°

Temperatura del aire ( )T∞

C°

Coeficiente de transferencia de calor por convección del aire

2W m C°

75 25 20 5

La ecuación adimensional ( )3.33 , se puede escribir en unidades físicas de la siguiente manera;


39

( ) ( ) ( )1c cx L x Lcb

q AT x T T e ehp

•

− −∞= − + − ( )4.1

cuando la longitud característica fue definido en la ec. ( )2.14 y la generación de calor interno se determina mediante la siguiente relación,

2I RqV

• ⋅= ( )4.2

donde I es la intensidad de corriente eléctrica, R , es la resistencia del sólido y V es el volumen del conductor. Los resultados para la ecuación de calor ( )4.1 en unidades físicas se presentan mediante la siguiente figura.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

20

40

60

80

100

120

140

Tem

pera

tura

loca

l (°C

)

Longitud (m)

I=1000A, h=5W/m2°C I=800A, h=5W/m2°C I=1000A, h=20W/m2°C I=800A, h=20W/m2°C I=600A, h=20W/m2°C I=400A, h=20W/m2°C I=0A, h=20W/m2°C

Figura 4-8. Valores de la temperatura local longitudinal de un conductor en unidades físicas, para diferentes amperajes y coeficientes de transferencia de calor por convección del aire. En la figura 4-8, se observa que las caídas de temperatura dependerán de que tan intenso es la corriente eléctrica por ejemplo; para una 1000I A= , 220h W m C= ° la temperatura

75bT C= ° y en un intervalo de longitud de 0 1.5x m< < los gradientes de temperatura son grandes, después de esta distancia la temperatura longitudinal en el cable se mantiene a


40

temperatura constante de 49T C= ° . Si la intensidad de corriente eléctrica es menor la temperatura decrece rápidamente, es decir para una 400I A= , 220h W m C= ° la máxima caída de temperatura es 29T C= ° . Pero para valores pequeños de 25h W m C= ° , la temperatura crece por encima de la temperatura de la base es decir, para 1000I A= y 25h W m C= ° la longitud característica se presenta en un intervalo de 0 3.3x m< < , después de esta distancia la temperatura permanece constante con una máxima temperatura alcanzada de 122T C= ° . Esto quiere decir que hay menor transferencia de calor del cable hacia el medio circundante, por tanto existe un mayor incremento de temperatura a lo largo del conductor.

Por otro lado cuando 0q•

→ ; la ec. ( )3.60 se puede expresar en unidades físicas, transformándose en la siguiente expresión:

( ) ( ) cx LbT x T T e T−

∞ ∞= − + ( )4.3 En la grafica 4-8, se aprecia que cuando la intensidad de corriente eléctrica vale cero, la generación de calor interna es despreciable, y su consideración en la ec. ( )4.3 no tiene efectos importantes en el comportamiento de la temperatura. En la tabla 4-5, se muestran los valores de la temperatura local longitudinal de un conductor en unidades físicas, para 1000 , 800 , 600 , 400 , 0I A A A A A= con 220h W m C= ° . Tabla 4-5. Valores de la temperatura local longitudinal en un conductor para una longitud de 0.5x m= con

220h W m C= ° .

Designación 630-Al/S1A 54/19

Longitud Local

( )m

Temperatura local longitudinal ( )C°

Máxima caída de temperatura ( )C°

1000I A= 0.5 54 49 800I A= 0.5 48 41 600I A= 0.5 41 34 400I A= 0.5 38 29 0I A= 0.5 33 25

Para las diferentes intensidades de corriente eléctrica 1000 , 800 , 600 , 400 , 0I A A A A A= la temperatura longitudinal registrada es de ( )0.5 54T m C= ° , ( )0.5 48T m C= ° ,

( )0.5 41T m C= ° , ( )0.5 38T m C= ° y ( )0.5 33T m C= ° respectivamente, esto significa que la superficie del cable se calentara menos si la intensidad de corriente eléctrica es menor.


41

En la tabla 4-6, se muestran los valores de la temperatura local longitudinal de un conductor en unidades físicas, para 1000 , 800I A A= con 25h W m C= ° . Tabla 4-6. Valores de la temperatura local longitudinal en un conductor para una longitud de 0.5x m= con

25h W m C= ° .

Designación 630-Al/S1A 54/19

Longitud Local

( )m

Temperatura local longitudinal ( )C°

Máxima temperatura ( )C°

1000I A= 0.5 104 122 800I A= 0.5 82 88

Para un 25h W m C= ° y 1000 , 800I A A= la temperatura longitudinal registrada es de ( )0.5 104T m C= ° , ( )0.5 82T m C= ° , esto quiere decir que si el coeficiente de transferencia

de calor por convección es pequeño, la temperatura en la superficie crece rápidamente hasta sobrepasar la temperatura bT , generando que la temperatura se incremente en la pared del conductor.


42

4.4 CONCLUSIONES. Uno de los objetivos principales del presente trabajo fue el destacar la importancia del estudio de la transferencia en un cable aéreo tipo ACSR. Para ello fue formulado un modelo térmico que al ser adimensionalizado sirve para cualquier conductor; sin embargo las graficas mostradas solo exponen el comportamiento de los cables ACSR 54/19. Debido al hecho que se tomo como referencia el conductor DRAKE ACSR, es decir el modelo matemático sirve también para el cable Linnet, Hawk, etc. Debido al carácter matemático del problema, se utilizaron técnicas de perturbación regular y capa límite, para obtener las soluciones de las ecuaciones diferenciales adimensionales ( )3.33 y ( )3.60 que describen la capa limite térmica en el cable. Posteriormente se grafican los resultados en variables adimensionales con el fin de agrupar la solución de una gran variedad de conductores ACSR, aunque como se muestra en la figura 4-8, es posible mostrar los resultados con las variables físicas del material, pero los resultados representarían a un solo conductor. Los resultados muestran que la temperatura máxima del conductor depende en gran medida de la intensidad de corriente eléctrica, es decir mientras mas grande sea el flujo de corriente eléctrica la generación de calor interna crece, por tanto la temperatura de la superficie longitudinal en el conductor se incrementa, también se observa que si el valor del coeficiente de trasferencia de calor por convección es pequeño debido a las condiciones del aire circundante, la temperatura en el cable aumenta, generando un sobrecalentamiento en el conductor, por tanto se debe tener en cuenta que no sobrepase la temperatura máxima, pues de ello depende la eficiencia del conductor. En la figura 4-8 se observa que para

1000 , 800 , 600 , 400I A A A A= y 220h W m C= ° los gradientes de temperatura decrecen rápidamente en una longitud característica 0 1.5x m< < , después de esta longitud la superficie del conductor es isotérmica, y la temperatura es mayor a la del aire. Posteriormente para 1000 , 800I A A= y 25h W m C= ° la temperatura alcanza valores mayores a la temperatura de la base bT a través de una longitud característica de 0 3.3x m< < , después de esta longitud la temperatura se mantiene constante por encima de la temperatura de la base del conductor. Por otro lado si la generación interna de calor tiende a cero, la temperatura longitudinal solo estará en función de las propiedades y características físicas del conductor, por tanto la temperatura en la pared del conductor T cae rápidamente hasta igualarse a la temperatura del aire.

43

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