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República Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular Para la Educación Superior Universitaria
Universidad Bolivariana de VenezuelaSede Principal - Los Chaguaramos
PFG: ArquitecturaUC: Riesgo e Introducción al Diseño Estructural
Sección: 2-201N
PORTAFOLIO(RESISTENCIA DE MATERIALES. ANALISIS ELEMENTAL DE
ESTRUCTURAS)
Docente EstudianteAlfonso Olivares Randy Staford
17.755.029
Caracas, Junio de 2014
RESISTENCIA DE MATERIALES
Es una disciplina de la ingeniería mecánica, la ingeniería estructural y la ingeniería industrial que estudia los sólidos deformables mediante modelos simplificados. La resistencia de un elemento se define como su capacidad para resistir esfuerzos y fuerzas aplicadas sin romperse, adquirir deformaciones permanentes o deteriorarse de algún modo.
Un modelo de resistencia de materiales establece una relación entre las fuerzas aplicadas, también llamadas cargas o acciones, y los esfuerzos y desplazamientos inducidos por ellas. Generalmente las simplificaciones geométricas y las restricciones impuestas sobre el modo de aplicación de las cargas hacen que el campo de deformaciones y tensiones sean sencillos de calcular.
Para el diseño mecánico de elementos con geometrías complicadas la resistencia de materiales suele ser insuficiente y es necesario usar técnicas basadas en la teoría de la elasticidad o la mecánica de sólidos deformables más generales. Esos problemas planteados en términos de tensiones y deformaciones pueden entonces ser resueltos de forma muy aproximada con métodos numéricos como el análisis por elementos finitos.
La teoría de sólidos deformables requiere generalmente trabajar con
tensiones y deformaciones. Estas magnitudes vienen dadas por campos
tensoriales definidos sobre dominios tridimensionales que satisfacen
complicadas ecuaciones diferenciales.
Pero para ciertas geometrías aproximadamente unidimensionales
(vigas, pilares, celosías, arcos, etc.) o bidimensionales (placas y
láminas, membranas, etc.) el estudio puede simplificarse y se pueden analizar
mediante el cálculo de esfuerzos internos definidos sobre una línea o una
superficie en lugar de tensiones definidas sobre un dominio tridimensional.
Además las deformaciones pueden determinarse con los esfuerzos internos a
través de cierta hipótesis cinemática. En resumen, para esas geometrías todo
el estudio puede reducirse al estudio de magnitudes alternativas a
deformaciones y tensiones.
El esquema teórico de un análisis de resistencia de materiales comprende:
La hipótesis cinemática establece cómo serán las deformaciones o el
campo de desplazamientos para un determinado tipo de elementos bajo
cierto tipo de solicitudes. Para piezas prismáticas las hipótesis más
comunes son la hipótesis de Bernouilli-Navier para la flexión y la hipótesis
de Saint-Venant para la torsión.
La ecuación constitutiva, que establece una relación entre las
deformaciones o desplazamientos deducibles de la hipótesis cinemática y
las tensiones asociadas. Estas ecuaciones son casos particulares de
lasecuaciones de Lamé-Hooke.
Las ecuaciones de equivalencia son ecuaciones en forma de integral
que relacionan las tensiones con los esfuerzos internos.
Las ecuaciones de equilibrio relacionan los esfuerzos internos con las
fuerzas exteriores.
En las aplicaciones prácticas el análisis es sencillo. Se construye un esquema ideal de cálculo formado por elementos unidimensionales o bidimensionales, y se aplican fórmulas preestablecidas en base al tipo de solicitación que presentan los elementos. Esas fórmulas preestablecidas que no necesitan ser deducidas para cada caso, se basan en el esquema de cuatro puntos anterior. Más concretamente la resolución práctica de un problema de resistencia de materiales sigue los siguientes pasos:
1. Cálculo de esfuerzos, se plantean las ecuaciones de equilibrio y ecuaciones de compatibilidad que sean necesarias para encontrar los esfuerzos internos en función de las fuerzas aplicadas.
2. Análisis resistente, se calculan las tensiones a partir de los esfuerzos internos. La relación entre tensiones y deformaciones depende del tipo de solicitación y de la hipótesis cinemática asociada: flexión de Bernouilli, flexión de Timoshenko, flexión esviada, tracción, pandeo, torsión de Coulomb, teoría de Collignon para tensiones cortantes, etc.
3. Análisis de rigidez, se calculan los desplazamientos máximos a partir de las fuerzas aplicadas o los esfuerzos internos. Para ello puede recurrirse directamente a la forma de la hipótesis cinemática o bien a la ecuación de la curva elástica, las fórmulas vectoriales de Navier-Bresse o los teoremas de Castigliano.
PROPIEDADES FISICAS DE LOS MATERIALES
Las propiedades físicas son aquellas que logran cambiar la materia sin alterar su composición. Por ejemplo, cuando moldeas un trozo de plastilina, sus átomos no se ven alterados de ninguna manera, pero exteriormente cambia su forma.
Estas propiedades pueden variar en tres estados distintos como: Estado Sólido, Líquido y Gaseoso.
Estado Sólido
Se producen cuando los materiales se encuentran a una baja temperatura provocando que sus átomos a menudo se entrelazan formando estructuras cristalinas definidas, lo que les permite soportar fuerzas sin deformación. Los sólidos son calificados como duros y resistentes, y en ellos las fuerzas de atracción son mayores que las de repulsión.
Las sustancias en estado sólido tienen las siguientes características:
Forma definida.
Incompresibilidad (no pueden comprimirse)
Resistencia a la fragmentación.
Volumen tenso.
La resistencia de materiales es el estudio de las propiedades de los cuerpos sólidos que les permite resistir la acción de las fuerzas externas, el estudio de las fuerzas internas en los cuerpos y de las deformaciones ocasionadas por las fuerzas externas.
A diferencia de la Estática, que trata del estudio de las fuerzas que se inducen en las diferentes componentes de un sistema, analizándolo como cuerpo rígido, la Resistencia de Materiales se ocupa del estudio de los efectos causados por la acción de las cargas externas que actúan sobre un sistema deformable. Propiedades mecánicas de los materiales: cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo, se presentan fuerzas resistentes en las fibras del cuerpo que llamaremos fuerzas internas. Fuerza interna es la resistencia interior de un cuerpo a una fuerza externa. Cuando usamos el término esfuerza, queremos decir la magnitud de la fuerza por unidad de área.
Resistencia: la resistencia de un material es la propiedad que tienen para resistir la acción de las fuerzas. Los tres esfuerzos básicos son los de compresión, tensión y cortante.
Por lo tanto, al hablar de la resistencia de un material deberemos conocer el tipo de esfuerzo a que estará sujeto. Por ejemplo, los esfuerzos de tensión y compresión del acero estructural son casi iguales, mientras que el fierro vaciado es más resistente a compresión y relativamente débil en tensión.
Rigidez: La propiedad que tiene un material para resistir deformaciones se llama rigidez. Si, por ejemplo, dos bloques de igual tamaño, uno de acero y
otro de madera están sujetos a cargas de compresión, el bloque de madera se acortara más que el de acero. La deformación (acortamiento) de la madera es probablemente 30 veces mayor que la del acero, y decimos que éste último es, por lo tanto, más rígido.
Elasticidad: es la habilidad de un material para recuperar sus dimensiones originales al retirar el esfuerzo aplicado.
Plasticidad: es la capacidad de un material para deformarse bajo la acción de un esfuerzo y retener dicha acción deformación al retirarlo.
Ductilidad: es la habilidad de un material para deformarse antes de fracturarse.
Es una característica muy importante en el diseño estructural, puesto que un material dúctil es usualmente muy resistente a cargas de impacto. Tiene además la ventaja de “avisar” cuando va a ocurrir la fractura, al hacerse visible su gran deformación.
Fragilidad: es lo opuesto de ductilidad. Cuando un material es frágil no tiene resistencia a cargas de impacto y se fractura aún en carga estática sin previo aviso.
Límite de proporcionalidad: es el punto de la curva en la gráfica de esfuerzo-deformación, hasta donde la deformación unitaria es proporcional al esfuerzo aplicado.
Punto de cadencia: es el punto en donde la deformación del material se produce sin incremento sensible en el esfuerzo.
Resistencia última: es el esfuerzo máximo basado en la sección transversal original, que puede resistir un material.
Resistencia a la ruptura: es el esfuerzo basado en la sección original, que produce la fractura del material.
Su importancia en el diseño estructural es relativa ya que al pasar el esfuerzo último se produce un fenómeno de inestabilidad.
Modulo de elasticidad: es la pendiente de la parte recta del diagrama de esfuerzo deformación y por consiguiente, la constante de proporcionalidad entre el esfuerzo y la deformación unitaria.
Se denomina con la letra E y su valor para el acero es de 2,100,000 kg./cm2, la madera varía entre 77,300 y 1,237,500 kg./cm2, y del concreto es de 10,000 vf’c, en donde f’c es la resistencia del concreto en kg./cm2.
Resiliencia: se llama resiliencia de un material a la energía de deformación (por unidad de volumen) que puede ser recuperada de un cuerpo deformado cuando cesa el esfuerzo que causa la deformación.
La resiliencia es igual al trabajo externo realizado para deformar un material hasta su límite elástico.
Tenacidad: Es la energía total que absorbe un material antes de alcanzar la rotura en condiciones de impacto, por acumulación de dislocaciones. Se debe principalmente al grado de cohesión entre moléculas. En mineralogía la tenacidad es la resistencia que opone un mineral u otro material a ser roto, molido, doblado, desgarrado o suprimido.
Si se somete una probeta de sección constante a un ensayo de tracción cuasi estático, la tenacidad puede medirse como:
Donde:
es la tensión máxima del material
es la deformación máxima del material
es la deformación de rotura del material
Por definición la tenacidad es siempre mayor que la resiliencia:
Dado que
Relación entre el esfuerzo y la deformación: La resiliencia es el área bajo la curva en la zona verde, la tenacidad el área conjunta bajo la curva en las zonas verde y amarilla.
Relación entre resiliencia y tenacidad: Se diferencia de
la tenacidad en que ésta cuantifica la cantidad de energía almacenada por el
material antes de romperse, mientas que la resiliencia tan sólo da cuenta de la
energía almacenada durante la deformación elástica. La relación entre
resiliencia y tenacidad es generalmente monótona creciente, es decir, cuando
un material presenta mayor resiliencia que otro, generalmente presenta mayor
tenacidad. Sin embargo, dicha relación no es lineal.
La tenacidad corresponde al área bajo la curva de un ensayo de tracción entre la deformación nula y la deformación correspondiente al límite de rotura (resistencia última a la tracción).
La resiliencia es la capacidad de almacenar energía en el periodo elástico, y corresponde al área bajo la curva del ensayo de tracción entre la deformación nula y el límite de fluencia.
MÓDULOS MECÁNICOS TÍPICOS DE LOS MATERIALES MAS USADOS EN LA CONSTRUCCIÓN
Magnitudes lagrangianas o ingenieriles:
Se calculan a partir de los valores iníciales del área de la sección y la longitud calibrada de la probeta:
σeng = F / A0 ε eng = ΔL / L0
Magnitudes eulerianas actuales o reales:
Se calculan a partir de los valores actualizados del área de la sección y la longitud calibrada de la probeta:
σreal = F / Areal ε real = ln ( L / L0 )
Comportamiento elástico lineal:
Los límites proporcional y elástico prácticamente coinciden. El comportamiento elástico lineal viene representado por un resorte con una constante de rigidez igual a E.
La carga y la descarga se producen a lo largo de la misma línea. El proceso es conservativo, no existe disipación de energía.
Comportamiento elástico no línea:
No existe tramo lineal, o bien el límite proporcional queda por debajo del límite elástico
Endurecimiento por deformación:
El material se deforma plásticamente mientras la fuerza de tracción se incrementa.
En el primer ciclo de carga el material llega hasta el punto A, es cargándose a lo largo de la línea AB con una pendiente igual a la del módulo elástico (E).
El segundo ciclo de carga se inicia con una deformación permanente OB, y se realiza a lo largo de la línea BA. Hasta el punto A el comportamiento es elástico lineal. Se llega hasta el punto C y descarga a lo largo de CD.
El tercer ciclo de carga se realiza a lo largo de la línea DC y es elástico lineal hasta C.
La tensión de fluencia del material se va incrementando a lo largo de los diferentes ciclos de carga.
Formación de cuello (necking):):
Se produce una deformación muy localizada en la muestra que conduce a su rotura.
CLASIFICACION DE LOS MATERIALES
Materiales naturales: son aquellos que se encuentran en la naturaleza, las personas utilizamos materiales naturales con diferente origen: mineral, vegetal o animal.
A partir de rocas y minerales se obtienen los materiales de origen mineral. Los metales, la piedra o la arena son materiales de origen mineral.
Otros son materiales de origen animal. Por ejemplo, el cuero o la lana que usamos en muchas prendas de vestir, en bolsos, zapatos, etc.
Materiales sintéticos: son aquellos creados por las personas a partir de materiales naturales; por ejemplo, el hormigón, el vidrio, el papel o los plásticos.
Los objetos que nos rodean están fabricados con una gran variedad de materiales que podemos clasificar de diferentes formas; por ejemplo, por su origen. Sin embargo, el criterio más adecuado para clasificar materiales es por sus propiedades.
TABLA DE CLASIFICACION DE LOS MATERIALES
MATERIAL APLICACIONES PROPIEDADES EJEMPLOS OBTENCION
MaderaMuebles. No conduce el
calor ni la electricidad. Fácil
de trabajar.
Pino - Roble Haya
A partir de arbolesEstructuras.
Embarcaciones.
Metal
Clips. Cuchillas. Buen conductor del calor y la electricidad.
Dúctil y maleable.
Acero.A partir de
determinados materiales
Cubiertos. Cobre.
Estructuras. Estaño. Aluminio.
Plástico
Bolígrafos.Ligero. Mal
conductor del calor y la
electricidad.
PVC. PET.
Mediante procesos químicos, a partir
del petróleo.
Carcasas de electrodomésticos.
Porexpan (corcho blanco).
Envases. Metacrilato.
Pétreos
Encimeras.Pesados y resistentes. Difíciles de
trabajar. Buenos aislantes del calor y la electricidad.
Mármol.
Se obtienen de las rocas, en canteras.
Fachadas y suelos de edificios.
Granito.
Cerámica y Vidrio
Vajillas. Ladrillos.Duro. Frágil.
Loza.Cerámica: A partir
de arcillas y arenas por moldeado y
cocción.Tejas. Ventanas. Porcelana.
Transparente (solo vidrio)
Vidrio: Se obtiene mezclando y
tratando arena, caliza y sosa.
Puertas. Cristales. Vidrio.
Textiles
Ropa. Flexibles y resistentes. Faciles de trabajar.
Algodón.Se hilan y tejen fibras de origen
vegetal, animal o sintético.
Lana.
ToldosNailon.
EL PUNTO: En geometría, es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, es decir, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares o parecidos. Se
suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.
El punto es una figura geométrica adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecidas.
En algunos textos de geometría se suele utilizar una pequeña cruz (+), círculo (o), cuadrado o triángulo. En relación a otras figuras, suelen representarse con un pequeño segmento perpendicular cuando pertenece a una recta, semirrecta o segmento.
A los puntos se les suele nombrar con una letra mayúscula: A, B, C, etc. (a las rectas con letras minúsculas, y a los ángulos con letras griegas).
La forma de representar un punto mediante dos segmentos que se cortan (una pequeña “cruz” +) presupone que el punto es la intersección. Cuando se representa con un pequeño círculo, circunferencia, u otra figura geométrica, presupone que el punto es su centro.
En el sistema de coordenadas cartesianas, se determina mediante las distancias ortogonales a los ejes principales, que se indican con dos letras o números: (x, y) en el plano; y con tres en el espacio (x, y, z).
LA LINEA: En geometría, una línea es una sucesión continua de puntos trazados, como por ejemplo un trazo o un guion. Las líneas suelen utilizarse en la composición artística, se denomina en cambio «raya» a trazos rectos sueltos, que no forman una figura o forma en particular.
En matemáticas y geometría, línea suele denotar línea recta o curva.
En geometría, la línea también puede considerarse la distancia más corta entre dos puntos puestos en un plano.
El otro concepto de la línea desde la teoría de Kandinsky es, la línea geométrica es un ente invisible. La línea es un punto en movimiento sobre el plano; al destruirse el reposo del punto este se mueve por el espacio dando origen a la línea.
La línea es el elemento más básico de todo grafismo y uno de los sumamente utilizados. Representa a la forma de expresión más sencilla y pura, que a la vez puede ser dinámica y variada.
Línea recta: se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, es decir, no posee principio ni fin.
Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula.
En geometría analítica las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano cartesiano. En dicha expresión m es denominada la "pendiente de la recta" y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado "término independiente" u "ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.
Línea curva: es una línea continua de una dimensión, que varía de dirección paulatinamente. Ejemplos sencillos de curvas cerradas son la elipse o la circunferencia, y de curvas abiertas la parábola, la hipérbola o la catenaria. La recta sería el caso límite de una circunferencia de radio de curvatura infinito. Todas las curvas tienen dimensión topológica igual a 1.
EL PLANO: En geometría, es un objeto ideal que solo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; son conceptos fundamentales de la geometría junto con el punto y la recta.
Cuando se habla de un plano, se está hablando del objeto geométrico que no posee volumen, es decir bidimensional, y que posee un número infinito de rectas y puntos. Sin embargo, cuando el término se utiliza en plural, se está hablando de aquel material que es elaborado como una representación gráfica de superficies en diferentes posiciones. Los planos son especialmente utilizados en ingeniería, arquitectura y diseño ya que sirven para diagramar en una superficie plana o en otras superficies que son regularmente tridimensionales.
Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:
Tres puntos no alineados. Una recta y un punto exterior a ella.
Dos rectas
Dos rectas paralelas.
O dos rectas que se cortan.
Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego.
Suele representarse gráficamente, para su mejor visualización, como una figura delimitada por bordes irregulares (para indicar que el dibujo es una parte de una superficie infinita).
En un sistema de coordenadas cartesianas, un punto del plano queda determinado por un par ordenado, llamados abscisa y ordenada del punto. Mediante ese procedimiento a todo punto del plano corresponden siempre dos números reales ordenados (abscisa y ordenada), y recíprocamente, a un par ordenado de números corresponde un único punto del plano. Consecuentemente el sistema cartesiano establece una correspondencia biunívoca entre un concepto geométrico como es el de los puntos del plano y un concepto algebraico como son los pares ordenados de números. En coordenadas polares por un ángulo y una distancia. Esta correspondencia constituye el fundamento de la geometría analítica.
EL CERO (0): es el signo numérico de valor nulo, que en notación posicional ocupa los lugares donde no hay una cifra significativa. Si está situado a la derecha de un número entero, decuplica su valor;1 colocado a la izquierda, no lo modifica.
Utilizándolo como número, se pueden realizar con él operaciones algebraicas: sumas, restas, multiplicaciones, etc. Pero, por ser la expresión del valor nulo (nada, nadie, ninguno), puede dar lugar a expresiones indeterminadas o que carecen de sentido.
Es el elemento del conjunto ordenado de los números enteros ( , ≤) que sigue al −1 y precede al 1. Algunos matemáticos lo consideran perteneciente al conjunto de los naturales ( ) ya que estos también se pueden definir como el conjunto que nos permite contar el número de elementos que contienen los demás conjuntos, y el conjunto vacío tiene ningún elemento. El número cero se puede representar como cualquier número más su opuesto (o, equivalentemente, menos él mismo):
EL PLANO CARTESIANO: Está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.
Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis a uno de las yes, respectivamente, esto indica que un punto (P) se puede ubicar en el plano cartesiano tomando como base sus coordenadas, lo cual se representa como:
P (x, y)
Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:
1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia la izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.
2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes (en el eje de las ordenadas) hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas ambas coordenadas.
Ejemplo:
Localizar el punto A (-4, 5) en el plano cartesiano.
El punto A se ubica 4 lugares hacia la izquierda en la abcisa (x) y 5 lugares hacia arriba en ordenada (y).
De modo inverso, este procedimiento también se emplea cuando se requiere determinar las coordenadas de cualquier punto que esté en el plano cartesiano.
Ejemplo:
Determinar las coordenadas del punto M.
Las coordenadas del punto M son (3,-5).
Es decir, que para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, según sean positivas o negativas, respectivamente.
POSITIVO (+) Y NEGATIVO (-)
En el mundo de las matemáticas, el signo de un número representa su carácter positivo o negativo. Todos los números reales distintos de cero tienen signo. Para poder llevar a cabo cualquier operación con números reales, es preciso conocer las leyes de los signos.
CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS POR SU SIGNO
NUMEROS POSITIVOS
Son aquéllos números mayores que cero. Al escribirlos se les antepone el signo "+". Por ejemplo:
Cuando escribimos números positivos, podemos omitir el signo:
NUMEROS NEGATIVOS
Son aquéllos números menores que cero. Al escribirlos, se les antepone el signo "-". Por ejemplo:
¿EL CERO TIENE SIGNO?
El cero no es ni positivo ni negativo, por tanto no tiene signo. De hecho, el concepto de números positivos o negativos, se define en función al cero, como hemos podido observar en las definiciones anteriores. Puesto que el cero no es mayor o menor que sí mismo (una persona no puede ser más joven o más alta que ella misma), no puede tener signo.
En ocasiones se habla de los números no-negativos, es decir, todos los números positivos incluyendo al cero. Del mismo modo, al referirnos a los números no-positivos, estaremos hablando de los números negativos incluyendo al cero. Como podremos apreciar, el conjunto de los números positivos no es igual al conjunto de los números no-negativos, pues éstos últimos incluyen al cero.
COMPARANDO NÚMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS.
Podemos comparar dos números por simple inspección de su posición relativa en la recta numérica. Un número localizado a la derecha de de otro es siempre mayor que él. Así:
entonces
entonces
INVERSO ADITIVO
El inverso aditivo de un número a es -a, esto es, el número con su signo opuesto. Así, el inverso aditivo de -a es a.
La suma de un número con su inverso aditivo es siempre igual a cero, es decir:
CUADRANTES
Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes iguales y a cada una de ellas se les llama cuadrante.
Signos Abscisa Ordenada
1er cuadrante + +
2º cuadrante − +
3er cuadrante − −
4º cuadrante + −
Cada cuadrante mide un ángulo recto.
El primer cuadrante está comprendido entre 0º y 90º.
El segundo entre 90º y 180º.
El tercero entre 180º y 270º.
El cuarto entre 270º y 360º.
UBICACIÓN DE UN PUNTO EN EL PLANO: Es la localización por coordenadas de un punto en un plano Cartesiano (la de las X y la de las Y) las coordenadas se establecen según los patrones de la grafica, después se ubica el punto con respecto a X (la línea horizontal) y después con respecto a Y (la línea vertical).
Un punto es la intersección de dos rectas en el espacio.
La localización de un punto en el plano cartesiano, se realiza a partir de sus coordenadas, que son los puntos que nos ubican en un plano.
Las coordenadas, en un plano, son dos líneas o ejes perpendiculares que sirven para determinar la posición de un punto con respecto a ellas.
CARGAS PERMANENTES
Las acciones permanentes son las que actúan continuamente sobre la edificación y cuya magnitud puede considerarse invariable en el tiempo, como las cargas debidas al peso propio de los componentes estructurales y no estructurales: pavimentos, rellenos, paredes, tabiques, frisos, instalaciones fijas, etc. Igualmente, el empuje estático de líquidos y tierras que tengan un carácter permanente, las deformaciones y los desplazamientos impuestos por el efecto de pretensión, los debidos a movimientos diferenciales permanentes de los apoyos, las acciones reológicas y de temperatura permanentes, etc.
Para la determinación de las cargas permanentes se usarán los pesos de los materiales y elementos constructivos a emplear en la edificación. En ausencia de una información más precisa se pueden adoptar los valores más
probables de los pesos de los materiales de construcción, materiales almacenables y elementos constructivos.
Cuando el peso de los tabiques que actúa sobre las losas o placas no excede 900 kgf/m, puede estimarse su influencia como una carga equivalente, uniformemente distribuida, igual al peso total de los tabiques dividido entre el área del panel de losa o placa sobre la cual actúa.
Si el peso de los tabiques es mayor de 900 kgf/m, su efecto deberá determinarse de una manera más precisa. Los tabiques apoyados directamente sobre las vigas se considerarán como cargas lineales sobre las mismas.
Cuando en los edificios la posición y el tipo de los tabiques no están definidos, se deberá tener en cuenta un valor estimado para la carga de la tabiquería, calculado en base a una supuesta distribución y peso unitario de los tabiques. La carga distribuida equivalente así estimada no ser menor de 150 kgf/m² sobre la losa o placa. Cuando los tabiques a usar son del tipo liviano, con un peso unitario menor de 150 kgf/m, la carga distribuida equivalente podrá reducirse a 100 kgf/m².
OTRAS ACCIONES PERMANENTES
Cargas de equipos fijos
Se considerarán como cargas permanentes los equipos fijos que son parte de instalaciones sanitarias, eléctricas, de ventilación, aire acondicionado u otras.
Deformaciones permanentes
Se considerarán los asentamientos permanentes de partes de la estructura debidos a deformaciones del suelo de fundación, cuando puedan producir solicitaciones significativas, como por ejemplo las debidas a asentamientos diferenciales entre partes de una estructura con distintos tipos de fundaciones o suelos.
CARGAS NO PERMANENTES
Las acciones variables son aquellas que actúan sobre la edificación con una magnitud variable en el tiempo y que se deben a su ocupación y uso habitual, como las cargas de personas, objetos, vehículos, ascensores, maquinarias, grúas móviles, sus efectos de impacto, así como las de acciones variables de temperatura y reológicas, y los empujes de líquidos y tierras que tengan un carácter variable.
ACCIONES VARIABLES VERTICALES
Determinación de las cargas variables
Las cargas variables se determinarán mediante estudios estadísticos que permitan describirlas probabilísticamente. Todo esto depende del uso de la edificación u sus ambientes.
Reducción de cargas variables según el número de pisos
Las columnas, muros y fundaciones que reciben cargas verticales transmitidas por tres o más pisos no destinados a depósitos o garajes, podrán calcularse considerando una carga variable vertical reducida según se indica a continuación:
NÚMERO DE PISOS, INCLUYENDO EL TECHO, SOPORTADOS POR EL MIEMBRO
EN CONSIDERACIÓN
CARGA VARIABLEVERTICAL ACUMULADA
1 CV
2 1.0 ΣCV
3 0.9 ΣCV
4 0.8 ΣCV
5 0.7 ΣCV
6 0.6 ΣCV
7 ó más 0.5 ΣCV
ACCIONES VARIABLES HORIZONTALES
Las estructuras o sus partes que por su función o uso puedan estar sometidas a la acción de fuerzas variables horizontales, se proyectarán a fin de garantizar una resistencia, rigidez y estabilidad laterales adecuadas.
Se tomarán en cuenta las solicitaciones horizontales, siempre que sus efectos sean más desfavorables que los debidos a sismo o viento indicados en las normas COVENIN-MINDUR 1756 ó 2003, respectivamente.
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS BASICAS
Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones
diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.
Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).
Para definir las razones trigonométricas del ángulo: , del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en el sucesivo será:
La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor
longitud del triángulo rectángulo.
El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo .
El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo .
Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes.
1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:
El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.
2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:
3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:
4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:
5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:
6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:
COMPARACION DE FUERZA EN LOS JUEGOS IMFANTILES
ESTABILIDAD DE LAS ESTRUCTURAS
Hemos definido el equilibrio de una estructura desde el punto de vista de las fuerzas actuantes, expresando que éste se manifiesta si se cumple que las ecuaciones de equilibrio de la estática son nulas, o sea, que el sistema de fuerzas tiene resultante nula. Pero ahora debemos agregar, desde el punto de vista físico, que nos interesa no solo el equilibrio de la estructura, sino que éste se manifieste de forma que su configuración sea permanente en el tiempo aún frente a acciones exteriores perturbadoras. Para completar estos conceptos es necesario definir qué se entiende por estabilidad en las estructuras y ésta es:
La capacidad de una estructura de conservar una configuración frente a acciones exteriores.
Para que se cumpla esta aseveración es menester que se verifiquen las siguientes dos condiciones:
Condición necesaria: Debe existir equilibrio de todas las fuerzas que actúen sobre la estructura, o sea, se debe cumplir la condición física del equilibrio total y relativo de todas las fuerzas activas y reactivas.
Condición suficiente: El equilibrio de las fuerzas debe ser estable.
Para poder establecer si se está frente a estructuras estables, se deben fijar criterios que permitan determinar cuándo se está en presencia de un equilibrio estable. Un criterio se encuentra, precisamente, en la percepción práctica que de este concepto se tiene y que permite establecer cómo es el equilibrio de una estructura. Éste consiste en aplicar una pequeña perturbación, tan pequeña como se quiera, y observar cómo se modifican las acciones y las resistencias frente a este hecho y cuanto más rápido crecen una y otras para restablecer o no la posición original.
Analicemos un ejemplo tradicional de este tema que es el caso de una esfera apoyada sobre una superficie cóncava, convexa o plana:
EQUILIBRIO INESTABLE EQUILIBRIO ESTABLE EQUILIBRIO INDIFERENTE
FUERZA CORTANTE (V)
Es la suma algebraica de todas las fuerzas externas perpendiculares al eje de la viga (o elemento estructural) que actúan a un lado de la sección considerada.
La fuerza cortante es positiva cuando la parte situada a la izquierda de la sección tiende a subir con respecto a la parte derecha.
(+) Sección 1-1 Considerada
MOMENTO FLECTOR (M)
Es la suma algebraica de los momentos producidos por todas las fuerzas externas a un mismo lado de la sección respecto a un punto de dicha sección.
El momento flector es positivo cuando considerada la sección a la izquierda tiene una rotación en sentido horario.
SECCIÓN CONSIDERADA
DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR
Estos permiten la representación grafica de los valores de “V” y “M” a lo largo de los ejes de los elementos estructurales.
Se construyen dibujando una línea de base que corresponde en longitud al eje de la viga (Elemento Estructural) y cuyas ordenadas indicaran el valor de “V” y “M” en los puntos de esa viga.
La Fuerza cortante (V) se toma positiva por encima del eje de referencia.
Los valores de momento flector (M) se consideran positivos por debajo del eje de referencia, es decir los diagramas se trazan por el lado de la tracción.
Los máximos y mínimos de un diagrama de momento flector corresponden siempre a secciones de fuerza cortante nula. Para poder obtener la distancia (X, Yo d) donde el momento flector es máximo o mínimo se igualará a cero la expresión de Fuerza cortante, luego se despeja dicha distancia (X, Y o d).
Los puntos donde el momento flector es nulo se denominan los puntos de inflexión sobre la elástica.
COLUMNAS
Es un elemento axial sometido a compresión, lo bastante delgado respecto a su longitud, para que bajo la acción de una carga gradualmente creciente se rompa por flexión lateral o pandeo ante una carga mucho menor que la necesaria para romperlo por desplazamiento.
Si al retirar la carga aplicada sobre la columna, este elemento se retorna a su posición inicial recta, se dice que la columna es estable. Contrariamente, si se incrementa la carga P, las deflexiones laterales aumentaran hasta que la estructura colapse, en estas condiciones la columna es inestable y falla por pandeo lateral.
Carga Ccitica:
En las columnas existe un valor de carga llamado carga critica, que representa la frontera entre las condiciones estable e inestable. Se define como la máxima carga de compresión a la que puede someterse una columna, de manera que un pequeño empuje lateral haga que falle por pandeo. Su valor depende de la rigidez y longitud de la columna. La estabilidad se incrementa al aumentar la rigidez y disminuir la longitud.
Tipos de columnas:
Las columnas suelen dividirse en dos gropos: Intermedias y largas o muy esbeltas. La diferencia entre los dos grupos viene determinada por su comportamiento. Las largas fracturan por pandeo o flexión, las intermedias, por una combinación de aplastamiento y pandeo. Tambien, las columnas se clasifican según su soporte como:
Empotradas en un extremo y libre en el otro (tipo Mástil).
Doblemente empotrada.
Doblemente articulada.
Empotrada en un extremo y articulada en el otro.
Carga de Euler (Pcri):
La carga critica para una columna elástica ideal suele denominarse carga de Euler. El famoso matemático Leonhard Euler (1707 – 1783), reconocido generalmente como el más grande matemático de todos los tiempos, fue la primera persona que investigo el pandeo de una columna esbelta y determino su carga crítica (1744).
La ecuación mas general de Euler empleada para determinar la carga critica, desarrollada para una columna articulada en sus extremos es:
Pcri = N. E.I.π² L²
Donde N es el coeficiente que depende del modo de pandeo, I es el momento polar de inercia, E módulo de Young del material y L la longitud de la columna. La columna puede flectar de distintas formas. Si N es igual a 1 y la columna está articulada en los extremos, este modo se llama caso fundamental. Al tomar N valores mayores, se obtendrá infinito numero de cargas criticas y formas modales correspondientes. A menudo, las formas pandeadas para los modos superiores no tienen interés practico ya que la columna para un modo superior ya se ha pandeado.
Esfuerzo Crítico (σcri):Después de calcular la carga crítica de una columna, se puede calcular
el correspondiente esfuerzo crítico dividiendo la carga entre el área de la sección trasversal.
Σcri = P cri = E.I.π² = E.π² A ALe² (Le/rk) ²
Limitaciones de la formula de Euler: La columna tiende a pandear siempre en la dirección en la cual es mas
flexible, es decir, en el plano donde se presente el menor momento de inercia.
La formula de Euler demuestra que la carga critica que puede producir el pandeo depende de sus dimensiones y del módulo elástico y no de la resistencia del material.
La formula de Euler es aplicable dentro del límite de proporcionalidad (zona elástica del material).
Por conveniencia se definen las columnas largas o muy esbeltas aquellas a las que se puede aplicar la formula de Euler.
Finalmente se debe resaltar que la formula de Euler da la carga critica y no la carga de trabajo. Por ello es preciso dividir la carga critica entre el correspondiente factor de seguridad, que suele ser 2 o 3 según el material y las circunstancias, para obtener el valor de carga admisible.
CERCHAS
La cercha es una composición de barras rectas unidas entre sí en sus extremos para constituir una armazón rígida de forma triangular, capaz de soportar cargas en su plano, particularmente aplicadas sobre las uniones denominadas nodos; en consecuencia, todos los elementos se encuentran trabajando a tracción o compresión sin la presencia de flexión y corte.
Comportamiento:
El triangulo en la forma básica de la cercha, es una forma estable aun con uniones articuladas (caso contrario del rectángulo que con uniones articuladas es inestable). La forma estable del triangulo se puede imaginar si se parte del análisis de un cable sometido a una carga puntual, el cable para ser estable requiere de anclajes que soporten el corte que genera la tensión del cable en el apoyo.
Si se invierte la forma del se obtiene un arco que está sometido a compresión por ser funicular de la forma interior, se puede observar que las dimensiones del arco son mayores a las del cable por tratarse de un diseño a compresión en contraste al cable que es de tracción.
El arco requiere tener los apoyos fijos para resistir al empuje hacia afuera, si se sustituye el apoyo fijo por un tipo de apoyo que garantice la estabilidad e isostaticidad (un apoyo fijo y corto con rodamientos), se necesita colocar una barra que resista el empuje del arco para obtener así la configuración básica de la cercha.
Método de los nodos:
El método de los nodos considera el equilibrio para determinar las fuerzas en los elementos. Como toda la cercha esta en equilibrio, cada nodo también lo está. En cada nodo, las cargas y reacciones junto con las fuerzas de los elementos, forman un sistema de fuerzas concurrentes que debido a las ecuaciones de equilibrio, permiten establecer las fuerzas en los elementos. Debido a que la cercha se analiza en un plano, las ecuaciones de equilibrio solo deben satisfacer los dos ejes por ser un sistema de fuerzas concurrentes.
∑Fx = 0 ; ∑Fy = 0
Esta ecuación indica que el equilibrio es en dos ejes, lo que implica que al establecer el equilibrio en un nodo, solo se debe determinar las fuerzas en un máximo de dos barras; dado que la distribución de nodos y barras en una armadura simple permite encontrar un nodo en que solo haya dos fuerzas desconocidas.
Al finalizar la resolución de un nodo, las fuerzas halladas se pueden trasladar a los nodos adyacentes y tratarse como cantidades conocidas en dichos nodos. Este procedimiento puede repetirse hasta que se hallen todas las fuerzas desconocidas.
Para establecer el tipo de fuerza en la barra (tracción o compresión), según el sentido de las fuerzas obtenido por el cálculo en los nodos, el
siguiente diagrama se indica la relación entre los sentidos de las fuerzas en el nodo de la barra.
De la porción de la armadura que se escoge se obtiene trazando de una sección a través de tres barras de armadura, una de las cuales es la barra deseada; dicho en otra forma, se obtiene trazando una línea que divida la armadura en dos partes completamente separadas pero que no intercepte más de tres barras.
Diseño de cerchas por Tracción:
Ciertos miembros de la cercha estan sometidos a fuerzas axiales de tracción (por lo general el cordón inferior) y la sección transversal puede tener varias formas, ya que para cualquier material, el único factor que determina la resistencia es el área transversal.
El diseño consiste en seleccionar un elemento con área transversal suficiente para que la carga factorizada Pu no exceda la resistencia de diseño φtFyAreq.
En general el diseño es un procedimiento directo y las secciones típicas están formadas por perfiles y perfiles combinados, más placas, tal como se indican en la siguiente figura, donde el más común es el ángulo doble.
Diseño de cerchas por Compresión:
El procedimiento general de diseño a compresión es de tanteos, donde se supone un perfil y luego se comprueba la resistencia del perfil. Si la resistencia es muy pequeña (insegura) o demasiado grande (antieconómica), deberá hacerse otro tanteo.
Un enfoque sistemático para hacer la selección de tanteo es como sigue:
1. Se debe seleccionar un perfil de tanteo.
2. Luego calcular Fcr y øcPn para el perfil de tanteo.
3. Por último, debemos revisar el perfil de tanteo con la formula de interacción. Si la resistencia de diseño es muy cercana a la carga se tiene la solución (0,7 ≤ Pu/φcPn≤ 1). De otra manera, se repite todo el procedimiento.
La resistencia del perfil depende de la denominada carga crítica de pandeo (Pcr). Esta carga separa la condición de pandeo indicada en la figura “a” del acortamiento señalado en la figura “b” del esquema anterior.
La carga bajo la cual ocurre el pandeo es función de la esbeltez y para miembros muy esbeltos esta carga puede ser muy pequeña. Por ello, la resistencia al pandeo de una columna disminuye con el aumento de la longitud y la relación de esbeltez (Ecuación 3) que se considera es la más grande de los dos ejes de la sección L/rx y L/ry, ya que el perfil se pandea por el eje más débiles.
