Presentación

Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo.

Galileo Galilei (1564-1642) Físico, Matemático y Astrónomo Italiano.

En esta colección de actividades (Nivel 3) ofrecemos una recopilación de problemas clásicos

utilizados para desarrollar habilidades en la resolución de problemas, potencializar el pensamiento viso-

espacial, de una manera inusual y divertida con el objetivo de romper estructuras tradicionales en la

enseñanza del Algebra, la Geometría y la Lógica Bivalente. A diferencia del anterior nivel encontrarás:

Ilusiones Ópticas: Una Ilusión óptica es una ilusión del sentido de la vista, que nos lleva a percibir la

realidad erróneamente. ¿Para qué sirven?, Como primera medida para divertirnos; porque no todos son

capaces de ver lo mismo, y es un índice que marca experiencia, expectativas y habilidades del observador, y

en segunda medida por la potencia que poseen dentro del lenguaje visual, logrando "abrir" la cabeza de los

estudiantes.

Acertijos: Tal vez al jugar con estos acertijos descubras que la matemática es más divertida de lo que

creías. Tal vez te hagan desear estudiar la asignatura en serio, o sientas menos vacilaciones para abocarte

al estudio de una ciencia para la que se requiera cierto conocimiento de matemática avanzada. Por cierto,

nadie puede dudar hoy del enorme valor práctico de la matemática. Sin su utilización, los descubrimientos y

los logros de la ciencia moderna hubieran sido imposibles. Pero muchas personas no advierten que los

matemáticos verdaderamente disfrutan de la matemática.

Actividad 1

1. ¿Es posible que el siguiente triángulo siguiente exista en la realidad?, Por qué?

Utilizar la cuadricula para construir un triángulo igual.

Solución:

Actividad 2

2. Las Medias de Color: Hay diez medias blancas y diez medias azules mezclados en el

cajón del armario. Las veinte medias son exactamente iguales, salvo por el color. El

cuarto está absolutamente a oscuras y tú quieres dos medias del mismo color. ¿Cuál

es el menor número de medias que debes sacar del cajón para estar seguro de que

tienes un par del mismo color?

3. Problema de peso: Si un balón de Futbol pesa ½ kilo más la mitad de su propio peso,

¿cuánto pesa?

4. Los Tres Gatos: Si tres gatos atrapan tres ratas en tres minutos, ¿cuántos gatos

atraparán 100 ratas en 100 minutos?

Solución:

Solución:

Solución:

Actividad 3

5. ¿Cuántas columnas dirías que hay en esta imagen?

6. Observa ahora con atención las dos figuras superiores. ¿Sabrías decirnos cuál de los

dos círculos rojos centrales es mayor, el de la derecha o el de la izquierda?

Solución:

Solución:

Actividad 4

7. Los cigarros de la señora Pita: La señora Pita, una gran fumadora durante muchos

años, finalmente decidió dejar de fumar. "Acabaré los veintisiete cigarrillos que me

quedan", se dijo, «y jamás volveré a fumar".

La costumbre de la señora Pita era fumar exactamente dos tercios de cada cigarrillo. No

tardó mucho en descubrir que con la ayuda de una cinta engomada podía pegar tres

colillas y hacer otro cigarrillo. Con 27 cigarrillos, ¿cuántos cigarrillos puede fumar antes

de abandonar el tabaco para siempre?

8. La Motocicleta de Pablo: Pablo vendió su motocicleta a Jacob por $1000 000.

Después de usarla durante unos días, Jacob descubrió que estaba tan arruinada que se

la revendió a Pablo por $800 000. El día siguiente, Pablo se lo vendió a Moisés por

$900 000. ¿Cuánto es la ganancia total de Pablo?

Solución:

Solución:

Actividad 5

10. Mira fijamente las dos líneas... ¿crees que son rectas paralelas?

11. El siguiente camino es aparentemente plano, pero parece que lleva al primer piso,

¿cómo es posible?

Solución:

Solución:

Actividad 6

12. Finanzas: "Aparentemente he quedado en descubierto", dijo el señor Isaac al

presidente del banco, "aunque por mi vida que no sé cómo pudo haber ocurrido. -Vea,

inicialmente tenía $100 000 en el banco. Después hice seis extracciones. Esas

extracciones suman $100 000, pero según mis registros en el banco sólo había

disponibles $99 000. Permítame que le enseñe las cifras". .

El señor Isaac mostró al presidente del banco una hoja de papel en la que había escrito:

"Como ve", dijo el señor Isaac, "aparentemente debo un dólar al banco". El presidente del

banco observó las cifras y sonrió. "Aprecio su honestidad, señor Isaac. Pero no nos debe

nada". "Entonces, ¿hay algún error en las cifras?" "No, sus cifras son correctas." ¿Puedes

explicar cuál es el error?

Solución:

Actividad 7

18.. Observa fijamente las líneas... ¿crees que son lineas paralelas?

14. ¿Son estas líneas paralelas entre sí o no? fíjate bien antes de responder.

15. Observa la siguiente figura y describa por lo menos dos perspectivas, argumente si es

posible ó no.

Solución:

Solución:

Solución:

Actividad 8

16. Elige tu Paga: Supongamos que tienes un nuevo empleo, y el jefe te ofrece elegir

entre:

a) $4.000 por tu primer año de trabajo, y un aumento de $800 por cada año

subsiguiente.

b) $2.000 por los primeros seis meses y un aumento de $200 cada seis meses

subsiguientes. ¿Cuál oferta aceptarías y por qué?

17. De Esquina a Esquina: Dadas las dimensiones (en centímetros) que muestra la

ilustración, ¿con qué rapidez puedes calcular la longitud de la diagonal del rectángulo que

va de la esquina A a la esquina B?

Solución:

Solución:

Actividad 9

18. Cuenta los colores que aparecen en este dibujo, ¿cuántos crees que hay?

19. Observa fijamente la siguiente Imagen, Describe la perspectiva, e identifica la dirección

de la escalera.

Solución: Ahora mira otra vez el

dibujo ampliado y sabrás si has

acertado en la respuesta

Solución:

Actividad 10

20. Pi y el Tigre de Véngala: ¿Cuántos cuadrados distintos puedes contar en el dibujo del

Joven Pi dentro del océano? Cuántos triángulos distintos puedes contar en el dibujo del

Tigre de Véngala en la barca? ¡Los problemas no son tan fáciles como podría parecer!

21. Cortando el Pastel: Con un solo corte recto puedes dividir un pastel en dos partes. Un

segundo corte que atraviese el primero producirá probablemente cuatro partes, y un tercer

corte (ver la ilustración) puede llegar a producir siete partes. ¿Cuál es el mayor número de

partes que puedes lograr con seis cortes rectos?

Solución:

Solución:

Actividad 11

22. Observa el trazo circular que aparece en el centro del dibujo. ¿Es realmente un círculo

perfecto?

23. ¿Hacia dónde mira el caballo?, Justifica tu respuesta.

Solución:

Solución:

Actividad 12

24. ¿Dónde va el cuadrado? Paul Curry, un mago aficionado de la ciudad de Nueva

York, fue el primero que descubrió que un cuadrado puede cortarse en unas pocas partes, y

que estas partes pueden reacomodarse y formar un cuadrado de la misma medida, ¡pero con

un agujero!

Hay muchas versiones de la paradoja de Curry, pero la ilustrada en las figuras 1 y 2 es la

más simple de todas. Pega una hoja de papel sobre un pedazo de cartón. Dibuja el

cuadrado que muestra la figura 1, después corta siguiendo las líneas para formar cinco

partes. Cuando reacomodas esas cinco partes de la manera que se ve en la figura 2...

¡Aparecerá un agujero en el centro del cuadrado!

El cuadrado de la figura 1 está compuesto por 49 cuadrados más pequeños. El cuadrado

de la figura 2 sólo tiene 48 cuadrados más pequeños. ¿Cuál de los cuadrados pequeños

desapareció, y dónde fue?

Solución

Actividad 13

25. Observa atentamente los cuadrados dibujados en el centro de las rallas oblicuas.

Podría usted afirmar que son tres cuadrados perfectos concéntricos.

26. Bajo la Banda: Imagina que te hallas en una esfera perfectamente lisa tan grande como

el sol. Hay una banda de acero que abraza estrechamente la esfera alrededor del ecuador.

Se agrega a esta banda un metro de acero, de manera que se eleve de la esfera a igual

altura en todo el contorno. ¿Eso dejará la banda a una altura suficiente como para que

puedas:

(1) deslizar un naipe por debajo de ella?

(2) Deslizar una mano debajo de ella?

(3) Deslizar una pelota de béisbol por debajo de ella?

Solución:

Solución:

Actividad 14

27. La Tercera Línea: Una línea recta se dice que es auto-congruente porque cualquier porción de ella

puede hacerse coincidir exactamente con cualquier otra porción de la misma longitud. Lo mismo ocurre con

la circunferencia de un círculo. Cualquier parte de la circunferencia es exactamente igual que cualquier otra

parte de la misma longitud. Una línea oval no es auto-congruente porque diferentes partes de ella tienen

curvaturas diferentes. Una porción de óvalo sacada de uno de los lados no coincidirá con la porción más

curvada de uno de los extremos.

Hay un tercer tipo de línea que es auto-congruente como la línea recta y el círculo. ¿Puedes decirme qué

clase de línea es?

28. Los Cubos Pintados: Imagina que tienes una lata de pintura roja, una lata de pintura azul y una

gran provisión de cubos de madera, todos del mismo tamaño. Deseas pintar los cubos de modo que cada

cara sea toda roja o toda azul. Por ejemplo, puedes pintar un cubo todo de rojo. El siguiente puedes

pintarlo con tres caras rojas y tres caras azules. Tal vez el tercer cubo también pueda ser pintado con tres

caras rojas y tres azules, pero de tal manera que no sea igual que el segundo.

¿Cuántos cubos diferentes entre sí puedes pintar de esta manera? Dos cubos se consideran iguales si

puede rotarse a uno de ellos de tal manera que todas sus caras sean de igual color que las caras

correspondientes del otro cubo.

Solución:

Solución:

Actividad 15

29. El Circulo de las Monedas: Para jugar a este juego, toma cualquier número de fichas (pueden ser

monedas, guijarros o pedacitos de papel) y disponlos en un círculo. La ilustración muestra el principio de un

juego con diez monedas. Los jugadores se turnan para sacar una o dos fichas, pero si se sacan dos, éstas

deben estar una junto a otra, sin que haya entre ellas ninguna otra ficha o espacio vacío. La persona que

saca la última ficha es la que gana. Si ambos jugadores juegan racionalmente, ¿quién de los dos ganará y

cuál estrategia deberá utilizar?

30. Las Tres Monedas: Joe: «Voy a arrojar tres monedas al aire. Si todas caen cara, te daré diez mil

pesos. Si todas caen cruz, te daré diez mil pesos. Pero si caen de alguna otra manera, tú me das cinco mil

pesos a mí." Jim: "Déjame pensarlo un minuto. A1 menos dos monedas tendrán que caer igual porque si hay

dos diferentes, la tercera tendrá que caer igual que una de las otras dos.. Y si hay dos iguales, entonces la

tercera tendrá que ser igual o diferente de las otras dos. Las probabilidades están parejas con respecto a

que la tercera moneda sea igual o diferente. Por lo tanto, hay las mismas probabilidades de que las monedas

muestren el mismo lado, como que no. Pero Joe está apostando diez mil pesos contra cinco que no serán

todas iguales, de modo que las probabilidades están a mi favor. ¡Bien, Joe, acepto la apuesta!" ¿Fue bueno

para Jim haber aceptado la apuesta?

Solución:

Solución:

Actividad 16

31. Retira dos de los 18 palillos y haz que queden formados cuatro cuadrados iguales.

32. Retira tres de los 13 palillos y haz que queden formados sólo tres triángulos.

33. Retira cuatro de los 24 palillos y haz que queden formados 5 cuadrados.

Solución:

Solución:

Solución:

Actividad 17

34. MODULO SONOBE: Utilizar los siguientes pasos para construir módulos

sonobe.

Actividad 18

35. Cambia de lugar tres de los doce palillos y haz que queden formados tres cuadros

iguales.

36. Cambia de lugar tres de los doce palillos y haz que queden formados tres cuadros

iguales.

37. Cambia de lugar cuatro de los doce palillos y haz que queden formados seis cuadros.

Solución:

Solución:

Solución:

Actividad 19

39. Rompecabezas: Utilizar el diagrama del Módulo Sonobe, construir las siete piezas del cubo de Soma

con 122 módulos y formar las 36 figuras básicas sugeridas por la siguiente Imagen.

Actividad 20

40. Retira cuatro de los veinticuatro palillos y haz que queden formados seis cuadros. .

41. Cambia de lugar dos de los doce palillos y haz que queden formados siete cuadrados .

42. Retira seis de los venticuatro palillos y haz que queden formados tres cuadrados.

Solución:

Solución:

Solución:

Bibliografía

1. http://www.scientificamerican.com/

2. Matemática Divertida, Dr Matrix- Martin Gardner, USA, 1985.

3. Secretos de un Calculista, Calculista Enrique Ortega Salinas; Uruguay, 2006.

4. Algebra, Dr. Aurelio Baldor, Cuba, 1941.

5. Estrategias de Calculo Mental, Dr Javier Jesus Jimenez Ibañez, España, 2010.

6. Geometría y Origami, Dr Stella Ricoti, Argentina, 2012.

7. The Art and Wonder of Origami Quarry Book, Kunihiko Kasahara, Japón, 2005.

8. Masao Okamura . Hiden Sembazuru Orikata: Fukkoku to Kaisetsu. Tokyo:

NOABooks.1992.

9. http://plasticarte.blogspot.com/2011/07/un-rompecabezas-para-el-verano-

cubo.html.

10. Justin, Jacques, "Resolución par Le Pliage de l'ecuación du troisième degre

aplicaciones et geometriques", reproducidas en Actas del Primer Encuentro Internacional de Origami Ciencia y Tecnología , H. Huzita, Nueva York (USA),

1989.

11. Matemáticas para la Creatividad, Dr. Mauro Montealegre, Usco, Neiva,

Colombia, 2012.

12. Web del departamento de Matemáticas del IES Villalba Hervás 2013.

OBS: ESTE MATERIAL DE ESTUDIO FUE ELABORADO POR EDINSON OSWALDO DELGADO RIVAS,

NEIVA HUILA, ABRIL DE 2013.