Presion Lateral de Tierra

CIMENTACIONES

Ing. MSc. Luz Marina Torrado Gómez

PRESIÓN LATERAL DE TIERRAS

PRESIÓN LATERAL DE TIERRA


Existen dos tipos de elementos de soporte:

1) Elementos rígidos: Como los muros, éstos puedes ser deconcreto, mampostería etc.

2) Elementos flexibles: Como las tablestacas.

FUNCIÓN DE LOS MUROS DE CONTENCIÓN

Mantener los niveles del suelo a ambos lados de él. Este sediseña para soportar la presión del relleno. Son estructurasdiseñadas para proveer estabilidad a taludes de tierra o deotro material donde las condiciones de pendiente natural nosean satisfactorias para una condición dada.



Los taludes verticales o casi verticales se soportan por muros de contención de diferentes tipos


Las estructuras de retención, como los muros,soportan taludes de masas de tierra, por lo que sudiseño requiere reconocer las fuerzas laterales queactúan, las cuales son causadas por la presión detierra, que es una función de varios factores:

a) El tipo y la cantidad de movimiento de los muros.b) Los parámetros de resistencia al cortante.c) El peso específico del suelo.d) Las condiciones de drenaje en el relleno.


PRESIÓN LATERAL DE TIERRAUn volumen de tierras, que suponemos sin cohesión alguna,derramado libremente sobre un plano horizontal, toma un perfil deequilibrio que nos define el ángulo de talud natural de las tierras o

ángulo de fricción interna del suelo .


El tipo de empuje que se desarrolla sobre unmuro esta fuertemente condicionado por ladeformabilidad del muro. En la interacción muro-terreno, pueden ocurrir en el murodeformaciones que van desde prácticamentenulas, hasta desplazamientos que permiten queel suelo falle por corte. Así como también,pueden ocurrir desplazamientos de tal maneraque el muro empuje contra el suelo, si se aplicanfuerzas en el primero que originen este efecto.


PRESIÓN EN REPOSO EN TIERRA

Si el muro de contención es tan rígido que no permite desplazamientoen ninguna dirección, las partículas de suelo no podrán desplazarse,confinadas por el que las rodea, sometidas todas ellas a un mismorégimen de compresión, originándose un estado intermedio que recibeel nombre de empuje de reposo de la tierra


El muro se puede Inclinar porel suelo retenido

PRESIÓN ACTIVA DE TIERRA

Si el muro de sostenimiento cede, el relleno de tierra se expande

en dirección horizontal, originando esfuerzos de corte en el

suelo, con lo que la presión lateral ejercida por la tierra sobre la

espalda del muro disminuye gradualmente y se aproxima al valor

límite inferior, llamado empuje activo de la tierra


El muro se puede empujar haciael suelo retenido

PRESIÓN PASIVA DE TIERRA

Si el muro empuja en una dirección horizontal contra el relleno de

tierra, las tierras así comprimidas en la dirección horizontal

originan un aumento de su resistencia hasta alcanzar su valor

límite superior, llamado empuje pasivo de la tierra.

Cuando el movimiento del muro da origen a uno de estos dos

valores límites, el relleno de tierra se rompe por corte.

PRESIÓN LATERAL DE TIERRA EN REPOSO

Un elemento de suelo localizado a una profundidad zestá sometido a presiones efectivas vertical yhorizontal. Si consideramos el suelo seco:

𝜎´𝑜 = 𝜎𝑜 (presión total Vertical)

𝜎´ℎ = 𝜎ℎ (presión total horizontal)


La relación del esfuerzo efectivo horizontalrespecto del esfuerzo vertical se llama:coeficiente de presión de tierra en reposo, Ko.

𝐾𝑜 =𝜎′ℎ𝜎′𝑜





Como el 𝜎´𝑜 = g*Z ; se tiene que:

𝜎´ℎ = 𝐾𝑜( g*Z)

Para el caso de suelos de grano grueso el coeficiente de presiónlateral de tierra en reposo se estima por la relación empírica deJaky, 1994:

𝐾𝑜 = 1 - sen φ

Donde:Φ = ángulo de fricción drenada

PRESIÓN DE TIERRA EN REPOSO


Para el caso de suelos de gran fino normalmente consolidados,Massarsch en 1979 sugirió la siguiente ecuación:

𝐾𝑂 = 0,44 + 0,42 ∗𝐼𝑃 %

100Para arcillas preconsolidadas

𝐾𝑜 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑜𝑛𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑎 = 𝐾´𝑂 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑎 ∗ 𝑂𝐶𝑅


' 95,0 senKo

' ') 1( sen

o OCRsenK

1) 1( ' sensenKo

Brooker & Ireland (1965) para arcillas NC

Mayne & Kulhawy (1981) para arcillas SC

USACE (1989) para casos de relleno inclinado b con horizontal


La magnitud Ko varía en los suelos entre 0,5 y 1,0. Ko tienevalores mayores en arcillas preconsolidadas.

PRESIÓN DE TIERRA EN REPOSOTipo de Suelo Ko

Arena suelta saturada 0,46

Arena densa saturada 0,36

Arena densa seca (e = 0,6) 0,49

Arena suelta seca (e = 0,8) 0,64

Suelo residual arcilloso compacto 0,42 – 0,66

Arcilla limosa orgánica, indeformada y normalmente

consolidada0,57

Arcilla caolinítica, indeformada 0,64 – 0,70

Arcilla de origen marino, indeformada y normalmente

consolidada0,48

Arcilla de alta sensibilidad, normalmente consolidada 0,52

Valores típicos de Ko (Winterkorn & Fang, 1975)Ing. MSc. Luz Marina Torrado GómezIng. MSc. Luz Marina Torrado Gómez



Peso específico = γ

H

𝑃𝑜 =1

2𝐾𝑜𝛾𝐻

2

𝐾𝑜𝛾𝐻

𝐻

3

Fuerza total por unidad de Longitud de muro 𝑃𝑜 = Al área del diagrama de presiones

Cuando el muro está

restringido en su movimiento

lateral y conforma un sólido

completamente rígido, la

presión estática del suelo es

de reposo y genera un empuje

total, aplicado en el tercio

inferior de la altura.

PRESIÓN DE TIERRA EN REPOSO PARA SUELOS PARCIALMENTE SUMERGIDOS

El nivel del agua estálocalizada a una profundidadH1, debajo de la superficiedel terreno.

Para Z ≤ H1, la presión lateraltotal de tierra en reposo seexpresa como:


𝜎´ℎ = 𝐾𝑜 gZ



La variación del 𝜎´ℎ con la profundidadse representa por el triángulo ACE.Para z ≥ H1 (debajo del agua), lapresión sobre el muro se encuentra apartir del esfuerzo efectivo y de lapresión de poros, así:Presión efectiva vertical = 𝜎´𝑜𝜎´𝑜= gH1 + g ´(z - H1)

Donde:g ´= gsat – gw = peso efectivo del

suelo


La presión Lateral efectiva en reposo = 𝜎´ℎ = 𝐾𝑜𝜎´𝑜= 𝐾𝑜[gH1 + g ´(z - H1)]

La variación del 𝜎´ℎ con laprofundidad se representa por eltriángulo CEGB.Presión lateral del agua a presión deporos es:𝑢 = gw(z - H1)

La variación de u con la profundidadse muestra en la Figura.La presión lateral de tierra y al aguaa cualquier profundidad z ≥ H1

𝜎ℎ = 𝐾𝑜[gH1 + g ´(z - H1)] + gw(z - H1) 𝜎ℎ = 𝜎´ℎ + 𝑢


Ing. MSc. Luz Marina Torrado GómezIng. MSc. Luz Marina Torrado Gómez

La fuerza por ancho unitario de muro sedetermina sumando las áreas de losdiagramas de presión en las figuras y esigual a:

ó con la siguiente expresión.


Diagrama de PresionesIng. MSc. Luz Marina Torrado Gómez

TEORÍA DE RANKINEPRESIÓN DE TIERRA ACTIVA Y PASIVA


El término de EQUILIBRIO PLÁSTICO en suelos se refiere a lacondición en que cada punto en una masa de suelo está apunto de fallar.

En 1957 W. J. Macquorn RANKINE investigó las condiciones enel suelo en un estado de equilibrio plástico.

ESTADO ACTIVO DE RANKINE


En esta figura se muestra una masa de suelo, limitada por un muroAB sin fricción que se extiende hasta una profundidad infinita. Losesfuerzos efectivos principales vertical y horizontal sobre el suelo auna profundidad z son σó yσ´h respectivamente.



Si al muro AB no se le permite movimiento alguno, entonces:

𝜎´ℎ = 𝐾𝑜𝜎´𝑜

La condición de esfuerzo en el elemento de suelo es representado por elcírculo de Mohr .

Si se permite que el muro AB se mueva alejándose gradualmente de la masadel suelo, entonces el esfuerzo efectivo principal horizontal decrecerá.



Finalmente, se alcanzará unestado en el que lacondición de esfuerzo en elelemento de suelo esrepresentada por el círculode Mohr, o estado deequilibrio plástico, yocurrirá la falla del suelo,denominado estado activode Rankine y la presión 𝜎´ℎsobre el plano vertical (quees un plano principal) es lapresión activa de tierraRankine. Los puntos D y D´ sobre el círculo de

la falla corresponden a los planos dedeslizamiento en el suelo.





σá = 𝛾𝑧 𝑡𝑎𝑛2 45 −∅

2− 2𝑐 𝑡𝑎𝑛 45 −

∅

2

Sustituyendo la expresión anterior en la ecuación, se obtiene que:


Para suelos con Cohesión igual a cero. C = 0.


σá = σó 𝑡𝑎𝑛2 45 −

∅

2

La razón de σá 𝐜𝐨𝐧 𝐫𝐞𝐬𝐩𝐞𝐜𝐭𝐨 𝐚 σó se llama coeficiente de presión detierras activa de Rankine Ka

𝐾𝑎 =𝜎´𝑎𝜎´𝑜

𝑡𝑎𝑛2 45 −∅

2


Variación de 𝜎´𝑎 con la profundidad.




De acuerdo a la Figura se puedenobservar que los planos de falla en el

suelo forman ángulos de ± 45° +∅

2con

la dirección del plano principal mayor, esdecir, con la horizontal

Estos planos de falla se llaman Planos de Deslizamiento

ESTADO PASIVO DE RANKINE


En la Figura se muestra el estado pasivo de Rankine. El muro AB es un muro sinfricción que se extiende hasta una profundidad infinita.

La condición de esfuerzo inicial sobre un elemento de suelo está representadapor el circulo a de Mohr.

Si el muro es empujado gradualmente haciala masa de suelo, el esfuerzo efectivoprincipal 𝜎´ℎ se incrementará.



Finalmente, el muro alcanzará un estado en el que la condición de esfuerzo enel elemento de suelo es representada por el círculo de Mohr.

Los puntos D y D´ sobre el círculo dela falla corresponden a los planos dedeslizamiento en el suelo.

En este punto ocurrirá la falladel suelo, a lo cual se le llamaestado pasivo de Rankine



La presión lateral de tierra efectiva 𝜎´𝑝 ,

que es el esfuerzo principal mayor, sellama Presión de tierra pasiva deRankine.

𝜎´𝑝 = 𝜎´𝑜𝑡𝑎𝑛2 45 +

∅

2+ 2𝑐 𝑡𝑎𝑛 45 +

∅

2

𝜎´𝑝 = 𝛾𝑧𝑡𝑎𝑛2 45 +∅

2+ 2𝑐 𝑡𝑎𝑛 45 +

∅

2


Variación de 𝜎´p con la profundidad.



Para suelos con Cohesión igual a cero. C = 0.


σ´p = σó 𝑡𝑎𝑛2 45 +

∅

2

𝐾𝑝 =𝜎´𝑝𝜎´𝑜

= 𝑡𝑎𝑛2 45 +∅

2

ó

El Kp en ésta ecuación se denomina Coeficiente de Presión de Tierra Pasiva de Rankine



Para el estado pasivo Rankine, losplanos de deslizamiento forman

ángulos de ± 45° −∅

2con la

dirección del plano principal menor,es decir, con la horizontal

Estos planos de falla se llaman Planos de Deslizamiento

TEORIA DE RANKINE

s’h

s’v

s’ha

s’hp

Reposo

Activo

Pasivo

t

s’

90º+

45º+/2

'

va

'

a K ss'

vp

'

p K ss

45º - / 2

'

vo

'

h K ssIng. MSc. Luz Marina Torrado Gómez

TEORIA DE RANKINE


EFECTO DE LA CEDENCIA DEL MURO

Del análisis anterior es necesario un movimiento suficientementegrande para alcanzar un estado de equilibrio plástico.

La presión Lateral de tierra contra un muro esta influenciada por lamanera que el muro cede.

En la mayoría de los muros de contención, el movimiento ocurre porsimple traslación o más frecuentemente por rotación respecto a labase.




Para un análisis teórico preliminar, alconsiderar un muro de retención sin fricciónrepresentado por un plano AB. Si el muroAB, gira suficientemente respecto al fondo auna posición A´B, una masa triangular desuelo ABC´ adyacente al muro alcanzará elestado activo de Rankine. Como los planosde deslizamiento en este estado forman

angulos de ± 45° +∅

2con el plano

principal mayor, la masa de suelo en elestado de equilibrio plástico está limitadopor el plano BC, que forma un Angulo de

45° +∅

2con la horizontal.



𝜎´𝑎 = 𝛾𝑧𝑡𝑎𝑛2 45 −∅

2− 2𝑐 𝑡𝑎𝑛 45 −

∅

2





σ´p = σó 𝑡𝑎𝑛2 45 +

∅

2+ 2𝑐 𝑡𝑎𝑛 45 +

∅

2

σ´p = 𝛾𝑧 𝑡𝑎𝑛2 45 +∅

2+ 2𝑐 𝑡𝑎𝑛 45 +

∅

2





EJEMPLOSi el muro de retención mostrado en la figura no puede moverse,determine ¿Cuál sera la fuerza lateral por longitud unitaria del muro?.


EJEMPLOSi el muro de retención mostrado en la figura no puede moverse,determine ¿Cuál sera la fuerza lateral por longitud unitaria del muro?.

Si el muro no puede moverse, el relleno ejercerá una presión de tierra enreposo.


EJEMPLOSi el muro de contención mostrado en la figura no puede moverse,determine ¿Cuál sera la fuerza lateral por longitud unitaria del muro?.


EJEMPLOSi el muro de contención mostrado en la figura no puede moverse,determine ¿Cuál sera la fuerza lateral por longitud unitaria del muro?.


EJEMPLOTeniendo en cuenta el muro mostrado en la figura determine:

a. Las fuerzas activa y pasiva de Rankine por unidad del muro y laposición de la fuerza resultante.


EJEMPLO


EJEMPLO

𝜎′𝑎 = 1

3* 15.7 * 5 = 26,2 KN/m2


EJEMPLO


EJEMPLO

EJEMPLO


DIAGRAMAS PARA LA DISTRIBUCIÓN DE LA PRESIÓN LATERAL DE TIERRA CONTRA

MUROS DE CONTENCIÓN

RELLENO: SUELO SIN COHESION CON SUPERFICIE HORIZONTAL DEL TERRENO


CASO ACTIVOLa figura muestra un muro de contención con relleno de suelo sin cohesión,que tiene una superficie horizontal en el terreno.

El peso especifico y el ángulo de fricción del suelo son g y ,respectivamente.

Para el Estado Activo de Rankine, la presión de tierra a cualquierprofundidad contra el muro de contención se da por la ecuación:


CASO ACTIVO


CASO PASIVOLa figura muestra un muro de contención con relleno de suelo sin cohesión, quetiene una superficie horizontal en el terreno.

El peso especifico y el ángulo de fricción del suelo son g y , respectivamente.

Para el Estado Pasivo de Rankine, la presión de tierra a cualquier profundidadcontra el muro de contención se da por la ecuación:


CASO PASIVO




RELLENO: SUELO SIN COHESION PARCIALMENTE SUMERGIDO SOPORTANDO SOBRECARGA


CASO ACTIVOLa figura muestra un muro decontención sin fricción, de altura H yun relleno de suelo sin cohesión. Elnivel de agua está a una profundidadH1, debajo de la superficie delterreno, y el relleno esta soportandouna presión de sobrecarga q por áreaunitaria. La presión activa efectiva acualquier profundidad se da por laecuación:


CASO ACTIVO


CASO ACTIVO


CASO ACTIVOLa variación de sá con la profundidad se muestra en la figura:


CASO ACTIVO

El diagrama de la presión lateral total, sa, es la suma de los diagramas depresión mostrados.

La fuerza activa total por longitud unitaria del muro es el área del diagrama dela presión total:


CASO PASIVO

La figura muestra el mismo muro de contención.

La presión pasiva de Rankine (efectiva) a cualquier profundidad contra elmuro se da por la ecuación:

Usando la ecuación anterior, podemos determinar la variación s’p con laprofundidad. La variación de la presión por el agua sobre el muro con laprofundidad y la distribución de la presión total sp con la profundidad esmostrado en la figura.

La fuerza pasiva lateral total por longitud unitaria del muro es el área deldiagrama mostrado:


CASO PASIVO


CASO PASIVO




RELLENO: SUELO COHESIVO CON RELLENO HORIZONTAL


CASO ACTIVO


CASO ACTIVOLa figura muestra un muro de contención sin fricción con un relleno de suelo cohesivo.

La presión activa contra el muro a cualquier profundidad debajo de lasuperficie del terreno se expresa como:


La variación de Ka , g, Z con la profundidad se muestra en la figura y la variación

de 2𝑐√𝐾𝑎 con la profundidad también se muestra en la figura, Note que

2𝑐√𝐾𝑎 no es función de z, por lo que la figura mostrada es un rectángulo.

CASO ACTIVO


La variación de valor neto de sa con la profundidad esta graficada, note que tambiénque debido al efecto de cohesión, sa es negativa en la parte superior del muro.

CASO ACTIVO


La profundidad zo en la que la presión activa se vuelve igual a 0 semuestra en la ecuación:

CASO ACTIVO


CASO ACTIVO

La fuerza activa total por longitud unitaria de muro es área del diagrama depresión total:


CASO ACTIVOPara el calculo de la fuerza activa total, es común tomar en cuenta las grietasde tensión. Como no existe contacto entre el suelo y el muro hasta unaprofundidad de zo después del desarrollo de las grietas de tensión, la

distribución de la presión activa contra el muro entre 𝑧 =2𝑐

𝛾√𝐾𝑎y H es la

única considerada, en este caso:


CASO PASIVOLa figura muestra el mismo muro de contención con relleno similar alconsiderado anteriormente.

La presión pasiva de Rankine contra el muro a la profundidad z se da por:

CASO PASIVO


CASO PASIVO

La variación de sp con la profundidad se muestra en la figura. La fuerzapasiva por longitud unitaria del muro se encuentra determinando el áreade los diagramas de presión como:


EJERCICIOUn muro de contención que tiene un relleno de arcilla blanda y saturada, semuestra en la figura. Para la condición no drenada ( = 0) del relleno,determine los siguientes valores:


a. La profundidad máxima de la grieta detensión.

b. Pa antes de que ocurra la grieta detensión.

c. Pa después de que ocurra la grieta detensión.

EJERCICIO


EJERCICIO


EJERCICIO


EJERCICIOLa figura muestra un muro de contención sin fricción, determine:

a. La fuerza activa, Pa, después de que ocurra la grieta de tensión.

b. La fuerza Pasiva, Pp.


EJERCICIO


EJERCICIO


De este diagrama se deduce que:

EJERCICIO


EJERCICIO


EJERCICIO


EJERCICIOLa figura muestra un muro de contención sin fricción, determine la fuerzaactiva de Rankine, Pa, por unidad de longitud de muro y la posición de laresultante.


EJERCICIO


EJERCICIO


EJERCICIO


EJERCICIOLas siguientes figuras muestran la variación de u con la profundidad y lavariación de sa (Presión Activa Total).


EJERCICIO


EJERCICIO


TEORÍA DE LA PRESIÓN DE TIERRA DECOULOMB

Hace más de 200 años, Charles-Augustin de Coulomb(1776) presentó una teoría para las presiones activa y pasivade tierra contra muros de contención, en la cual, supusoque la superficie de falla es un plano.

La teoría de la presión de tierra de Coulomb para un rellenosin cohesión (resistencia cortante esta definida por laecuación tf = s' tan )



CASO ACTIVOSea AB la cara posterior de un muro de retención que soporta un suelogranular cuya superficie forma una pendiente constante con la horizontal yBC es una superficie de falla de prueba.





En la consideración de estabilidad de lacuña probable de falla ABC, las siguientesfuerzas están implicadas (por longitudunitaria de muro):1. El peso efectivo de la cuña de suelo

(W).2. F es la resultante de las fuerzas

cortante y normal sobre la superficiede falla, BC, la cual está inclinada unángulo respecto a la normal dibujadaal plano BC.



3. Pa es la fuerza activa por longitudunitaria de muro.

La dirección de Pa está inclinada unángulo respecto a la normaldibujada a la cara del muro quesoporta el suelo. es el ángulo defricción entre el suelo y el muro.



El triángulo de fuerzas para la cuña se muestra en la figura.


De la ley de los senos, tenemos:


La ecuación precedente se puede escribir en la forma:

donde g = peso específico del relleno.

Los valores de g, H, , , y son constantes, y es la única variable.


TEORIÍA DE LA PRESIÓN DE TIERRA DECOULOMB

Para determinar el valor crítico de para Pa, máxima,tenemos:

Resolviendo la ecuación anterior, y cuando la relación de sesustituye en la Ecuación de Pa, obtenemos la presión activa detierra de Coulomb como:



Donde Ka es el coeficiente de la presión activa de tierra deCoulomb, dado por:

Note que cuando = 0°, = 0°, y = 0°, el coeficiente de la presiónactiva de tierra de Coulomb es igual (1 - sen )/(1 + sen ), quees el mismo que el coeficiente de la presión de tierra de Rankine.



La variación de los valores de Ka para muros de contención conuna pared vertical ( = 0) y relleno horizontal ( = 0) se da en lasiguiente tabla.

Es Bueno anotar que para un valor dado de , el efecto de lafricción del muro reduce el coeficiente de presión activa detierra.









CASO PASIVO

La figura muestra un muro de contención con un relleno sincohesión inclinado similar al considerado anteriormente.

El polígono de fuerzas por equilibrio de la cuña ABC para elestado pasivo se muestra en la figura.

Pp es la notación para la fuerza pasiva.



CASO PASIVO



CASO PASIVO



CASO PASIVO

Con un procedimiento similar al seguido en el caso activo,obtenemos.



CASO PASIVO

Donde Kp = coeficiente de presión de tierra pasiva para elcaso de Coulomb:



Para un muro sin fricción con la pared posterior verticalsoportando un relleno de suelo granular con superficiehorizontal (es decir, = 0°, = 0° y = 0°), la ecuación quedaríaasí:

Ésta es la misma relación que se obtuvo para el coeficientede presión de tierra pasiva en el caso de Rankine.



La variación de Kp con y (para = 0 y = 0) está dada en latabla.

Para los valores dados de y , el valor de Kp crece con lafricción del muro.

Al hacer la suposición de que la superficie de falla es un planoen la teoría de Coulomb, se sobrestima considerablemente laresistencia pasiva de los muros, particularmente para > /2.Este error es algo inseguro para todos los fines de diseño.


TEORÍA DE LA PRESIÓN DE TIERRA DE COULOMB


ANÁLISIS APROXIMADO DE LA FUERZAACTIVA SOBRE MUROS DE CONTENCIÓN

En consideraciones prácticas de diseño, la fuerza activa sobre unmuro de contención se calcula usando el método de Rankine o elde Coulomb.

El procedimiento de cálculo para un muro de contención degravedad con relleno granular se muestra en la figura.

La figura muestra un muro de contención de gravedad con unrelleno que tiene una superficie horizontal del terreno.



Si se usa el método de Coulomb, el empuje activo por longitudunitaria de muro, Pa , se determina con la ecuación:



Esta fuerza actuará según unángulo o respecto a la normaltrazada a la cara posterior delmuro.

Si se usa el método de Rankine,el empuje activo se calculasobre un plano vertical trazadopor el talón del muro.


En tal caso, Pa(Rankine) sesuma vectorialmente alpeso de la cuña de suelo,WC para el análisis deestabilidad.



ANÁLISIS APROXIMADO DE LA FUERZA ACTIVA SOBRE MUROS DE CONTENCIÓN

La figura muestra un muro de contención similar con un rellenogranular que tiene una superficie inclinada del terreno.

La ecuación de Rankine, se utiliza para determinar la fuerzaactiva sobre un plano vertical que pasa por el talón del muro,que entonces se suma vectorialmente al peso de la cuña desuelo ABC2 para el análisis por estabilidad.

Sin embargo, la dirección de la fuerza activa de Rankine ya no eshorizontal en este caso y el plano vertical BC2 no es el planoprincipal menor.





El valor de Pa(Rankine) se da por la relación:

donde = ángulo de inclinación de la superficie del terreno.



La Pa obtenida con la ecuación está a una distancia H'/3medida verticalmente desde B e inclinada un ángulo

respecto a la horizontal.

Los valores de Ka definidos por la ecuación para varios ángulosde talud y ángulos de fricción del suelo se muestran en lasiguiente tabla.



Para una superficie horizontal del terreno (es decir, = 0), laecuación se convierte en:


EJERCICIOS

Considere el muro de contención que se muestra en la figura.Calcule la fuerza activa de Coulomb, por longitud unitaria demuro.

H = 4.6 metrosg = 16.5 KN/m3

= 30

= 2/3

C = 0 = 0

= 90 o sea = 0


EJERCICIOS

Utilizando la ecuación para el calculo del coeficiente activode Coulomb:

Ka =𝑐𝑜𝑠2(30 −0)

𝑐𝑜𝑠2 0 cos2

3∗30+0 1+

𝑠𝑒𝑛23∗30+30 𝑠𝑒𝑛 30−0

cos23∗30+0 cos 0−0

2

Ka = 0,2973


EJERCICIOS

Utilizando la tabla para el calculo del coeficiente activo deCoulomb:

Ka = 0,2973


EJERCICIOS

Utilizando la ecuación para el calculo de la fuerza activa deCoulomb:

Pa = ½ * 0,2973 * 16,5 * 4,62

Pa = 51,90 KN/m


EJERCICIOS

Considere el muro de contención que se muestra en la figura.Calcule la fuerza activa de Coulomb, por longitud unitaria de muroy la ubicación de la resultante Pa.

H = 6.1 metrosg = 18 KN/m3

= 30

= 20

C = 0 = 5

= 95 o sea = 5

q = 96 KN/m2


EJERCICIOS

Utilizando la ecuación para el calculo del coeficiente activo deCoulomb:

Ka =𝑐𝑜𝑠2(30 −5)

𝑐𝑜𝑠2 5 cos 20+5 1+𝑠𝑒𝑛 20+30 𝑠𝑒𝑛 30−5

cos 20+5 cos 5−52

Ka = 0,3578


EJERCICIOSUtilizando la tabla para el calculo del coeficiente activo deCoulomb, sabiendo que = 2/3 * = 2/3 * 30 = 20:

Ka = 0,3578Ing. MSc. Luz Marina Torrado Gómez

EJERCICIOS

Utilizando la ecuación para el calculo de la fuerza activa deCoulomb con sobrecarga:

Pa = ½ * 0,3578 * 18 * 6,12 + 0,3578 * 6,1 * 96 * (𝐶𝑜𝑠 5

𝐶𝑜𝑠 5 −5)

Pa = 119,82 + 208,73

𝑃𝑎 =1

2𝐾𝑎 𝛾 𝐻

2 + 𝐾𝑎 𝐻 𝑞 (𝐶𝑜𝑠 𝜃

𝐶𝑜𝑠 𝜃 − 𝛼)

Pa = 328,55 KN/m


EJERCICIOS

La ubicación de la línea de acción de la fuerza activa resultantese indica a continuación:

𝑃𝑎 𝑌 = = 119,82 ∗6.1

3+ 208,73 ∗

6.1

2

𝑌 =119,82 ∗

6.1

3+ 208,73 ∗

6.1

2

328,55

𝑃𝑎 𝑌 = 𝑃𝑎 (1)𝐻

3+ 𝑃𝑎 (2)

𝐻

2

Y = 2,68 m medidos verticalmente desde el fondo del muro


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