PRINCIPIO ESTACIONARIO DE ENERGIA POTENCIAL
Este principio tiene una gran importancia para calcular los
desplazamientos generalizados de las estructuras, partiendo del
principio de los desplazamientos virtuales:
Donde:We = Diferencial del trabajo externoWi = Diferencial de la
energa
Por lo tanto:
Por la primera ley de la termodinmica:
Sustituyendo el valor de We
Por lo tanto:
o
Por lo tanto:
Que es la energa potencial total
Cuando tenemos un sistema conservativo con un numero finito de
grados de libertad, la energa potencial es funcin de las
coordenadas generalizadas.
Dondexi = Son las coordenadas generalizadas o grados de
libertad.
La diferencial total de la energa potencial se expresa:
O simplemente
donde
Esta ultima ecuacin es la que se conoce como el principio
estacionario de la energa.
De igual forma, el principio estacionario para la energa
potencial complementaria ser:
donde:
F1 = Son las fuerzas generalizadas o grados de
hiperestaticidad.
Ejemplo:
Calcular la energa de deformacin de una barra articulada de
seccin transversal constante A, y un modulo de elasticidad E, en el
cual se aplica una carga axial N.
Usando el teorema de Clapeyron, la energa potencial se expresa
como:
Pero:
Entonces:
Finalmente:
Energa potencial interna de cada barra para una estructura
articulada.
Ahora la energa de deformacin complementaria, tenemos que:
De donde:
Sustituyendo:
Finalmente
por lo tanto se concluye que
PROCEDIMIENTO PARA APLICAR EL PRINCIPIO ESTACIONARIO DE ENERGIA
POTENCIAL
1. Determinacin del grado de libertad, definir el nmero de
coordenadas generalizadas (x1, x2, x3, ... , xn).
2. Establecer las expresiones de los desplazamientos de cada
barra en funcin de las coordenadas generalizadas.
3. Clculo de energa potencial interna de cada barra.
4. Clculo de la energa potencial externa debido a las
cargas.
5. Obtencin del potencial de energa.
6. Aplicacin del principio estacionario de energa potencial
total.
7. Solucin del sistema de ecuaciones algebraicas obteniendo el
vector Xi.
8. Calculo de los desplazamientos lineales de cada barra.
9. Determinacin de las fuerzas axiales de cada barra
Analizar la estructura utilizando el Principio Estacionario de
Energa Potencial.
1. GL = (6) 5 = 1
2.
3. Energa Potencial Interna
4. Energa Externa
5. Energa Potencial Total
6. Aplicando P.E.E.P.
7. Solucin del Sistema de ecuaciones
8. Desplazamiento de cada barra
9. Fuerzas Axiales
Equilibrio
Nodo 1
Fx =Rx1 + 3.97 = 0Rx1 = 3.87 Ton
Nodo 2
Fx =Rx2 2.54 ()= 0
Rx2 2.54 ()
Nodo 3
Fy =Ry3 2.54 ()= 0
Ryx 2.54 ()
Analizar la siguiente estructura por el mtodo de P.E.E.P.
Solucin:
1. Determinacin de los grados de libertad.
G.L = NDP NDRG.L = 8 3G.L = 5
Implica cinco coordenadas generalizadas (x1, x2, x3, x4, x5)
2. Clculo de las expresiones de los desplazamientos en funcin de
las coordenadas generalizadas.
Regla:
Aislar la barra, anotando en los extremos las coordenadas
generalizadas correspondientes para representar su deformacin.
Jalar la barra en el extremo inferior y expresar ese
desplazamiento en trminos de las coordenadas generalizadas, repetir
ste paso con el otro extremo.
En los nodos donde hay apoyos los desplazamientos son nulos segn
el tipo de apoyo.
d1 = x2d2 = x5
d3 =
d4 =
d5 = d6 = x4
3. Clculo de Energa Potencial Interna en cada barra.
4. Clculo de la Energa Externa.
5. Clculo del Potencial de Energa.
6. Aplicando P.E.E.P.
Resolviendo el sistema de ecuaciones.
7. Clculo de los desplazamientos lineales de cada barra.
