Problemas de construcciones geométricas

7/28/2019 Problemas de construcciones geomtricas

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Problemas diversos deconstrucciones geomtricas

Juan Carlos Ponce Campuzano c [email protected]

UQ

11 de enero de 2015

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http://www.smp.uq.edu.au/http://www.smp.uq.edu.au/


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Aquel que desdea la Geometra de Euclides es como el hombreque, al regresar de tierras extraas, menosprecia su casa.

H.G. Forder

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Contenido1. Problema 1 7

1.1. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1. Inciso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2. Inciso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.3. Inciso 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.4. Inciso 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.5. Inciso 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Problema 2 18

2.1. Solucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3. Problema 3 19

3.1. Solucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4. Problema 4 20

4.1. Solucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Referencias 24

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1. Problema 1

Construir un cuadrado a partir de dos puntos A y B para los siguientes casos:

1. A y B son vrtices contiguos,

2. A y B son vrtices opuestos,

3. A es punto medio de un lado del cuadrado y B es el centro del cuadrado,

4. A est sobre uno de los lados del cuadrado y B es un vrtice (analizar casos)y

5. A es punto medio de un lado y B es el vrtice no contiguo al lado donde seencuentra el punto A.

1.1. Soluciones

1.1.1. Inciso 1

Supongamos que los puntos A y B son vrtices contiguos. Primero, traza-

mos el segmento AB. Despus, trazamos las rectas perpendiculares por Ay B. Posteriormente, trazamos la circunferencia de radio AB y centro encualquiera de los puntos A o B. En este caso, consideremos que el centroes el punto A. Sea C el punto de interseccin de la perpendicular quepasa por A y la circunferencia con centro A. Trazamos la perpendicularque pasa por el punto C, la cual interseca a la recta perpendicular quepasa por el punto B. A este nuevo punto de interseccin lo denotamospor D. Finalmente, trazamos el cuadrado ABCD, el cual cumple con lascaractersticas mencionadas.

1.1.2. Inciso 2

Supongamos que los puntos A y B son vrtices opuestos. Primero, traza-mos el segmento AB. Despus, trazamos la perpendicular que pasa por

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C, el punto medio de AB. Sean D y E los puntos de interseccin de la cir-cunferencia con la recta que pasa por C. Finalmente, se traza el cuadrado ADBE que cumple con las condiciones mencionadas.

Figura 1 : Vrtices contiguos, Applet GeoGebra: Problema 1.1

Figura 2 : Vrtices opuestos, Applet GeoGebra: Problema 1.2

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http://www.geogebratube.org/material/show/id/42934http://www.geogebratube.org/material/show/id/42935http://www.geogebratube.org/material/show/id/42935http://www.geogebratube.org/material/show/id/42934


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1.1.4. Inciso 4

Supongamos que A est sobre uno de los lados del cuadrado y B es unvrtice. En este inciso se pueden notar dos casos. El primero es cuandoel punto A y el vrtice B son contiguos. Este caso es sencillo de resolver.El segundo caso es cuando el punto A y el vrtice no son contiguos. Unamanera de trazar el cuadrado es la siguiente.

Primero trazamos por el vrtice B una circunferencia c con radio cual-quiera (en esta construccin consideraremos el radio igua a 1). Sea C unpunto sobre la circunferencia c como se muestra en la Figura 4.

Figura 4 : Circunferencia con centro en B y radio 1

Trazamos las recta a que pasan por C y B. Sea b la recta que pasa porel punto A, perpendicular a la recta a. Con centro en D (punto de inter-seccin entre a y b) y radio DB, trazamos la circunferencia d. Trazamoslas perpendiculares e y f que pasan por los puntos E (punto de intersec-cin entre la recta e y la circunferencia d) y B. Finalmente, trazamos elcuadrado BDEF, el cual cumple con las condiciones indicadas (Figura 5).

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Es preciso mencionar que el punto A puede estar en el lado del cuadrado(Figura 5) o en su extensin (Figura 6).

Figura 5 : El punto A est sobre uno de los lados del cuadrado y B es un vrtice, AppletGeoGebra: Problema 1.4

Figura 6 : El punto A est sobre la extensin de los lados del cuadrado y B es un vrtice

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1.1.5. Inciso 5

Supongamos que A es punto medio de un lado y B es el vrtice no con-tiguo al lado donde se encuentra el punto A. Antes de proseguir con laconstruccin, es preciso realizar mencionar lo siguiente:

Observacin. Sea BCDE un cuadrado. Consideramos el tringulo rectn-gulo ABC como se muestra en la Figura 7. Si A es punto medio CD,entonces se cumple que

ACCB

=12

.

Figura 7 : Cuadrado BCDE

Con base en lo anterior, para construir el cuadrado con las caractersti-

cas mencionadas necesitamos construir primero un tringulo rectnguloa partir del segmento AB, en donde un cateto es el doble del otro. Esto serealiza como sigue:

Trazamos el segmento AB. Sea C el punto medio de AB y D el puntomedio de CB. Trazamos las circunferencias c y d con centro en C y D,

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respectivamente. Trazamos la perpendicular b que pasa por C y sea E elpunto de interseccin entre b y c (Figura 8).

Figura 8 : Construccin de tringulo rectngulo, primera parte

Con centro en E y radio EA (o radio EB), trazamos la circunferencia e.Sea F el punto de interseccin entre las circunferencias e y d. Trazamosla recta f por los puntos B y F. Sea G el punto de interseccin entre lacircunferencia c y la recta f . La recta g que pasa por los puntos A y G, esperpendicular a f porque AB es el dimetro de c (Figura 9).

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Figura 9 : Construccin de tringulo rectngulo, segunda parte

Por ltimo, a partir del tringulo ABG se puede construir fcilmente elcuadrado que cumple con las caractersticas mencionadas (Figura 10). Ca- be mencionar que si reejamos el tringulo ABG con respecto al segmento AB, obtenemos un nuevo tringulo a partir del cual podemos trazar otrocuadrado con las mismas caractersticas.

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Figura 10 : Cuadrado donde A es punto medio de un lado y B es el vrtice no contiguo al ladodonde se encuentra el punto A, Applet GeoGebra: Tringulo rectngulo

Otras soluciones se pueden establecer de manera dinmica, en las cualestambin se pueden apreciar los dos cuadrados que son solucin al problema. Un primer caso es cuando trazamos una circunferencia con centroen A (punto medio de un lado) y radio r (Figura 11). Si consideramos unpunto C sobre la circunferencia, es posible encontrar lugares geomtricosque dan solucin al problema.

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Figura 11 : Solucin dinmica I, inicio de construccin

Figura 12 : Applet GeoGebra: Solucin dinmica I

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Un segundo caso es cuando trazamos una circunferencia con centro en C(punto medio del segmento AB) y radio AB/2. Si consideramos un puntoD sobre la circunferencia, es posible encontrar lugares geomtricos quedan solucin al problema.

Figura 13 : Solucin dinmica II, inicio de construccin

Figura 14 : Applet GeoGebra: Solucin dinmica II

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2. Problema 2

Dos lneas se intersecan en un punto A. Sea D un punto en una de ellas, comose muestra en la Figura 15. Muestra cmo construir una circunferencia que seatangente a ambas lneas y que el punto D sea el punto de tangencia de una de laslneas.

Figura 15 :

2.1. Solucin

En el punto A trazar la circunferencia con radio D. Sea E el punto de in-terseccin de la circunferencia con la recta que no contiene a D. Trazamosel segmento ED y sea F su punto medio. La recta que pasa por A y F bisectriz del ngulo EAD. Sea G la interseccin de la bisectriz con la rectaperpendicular que pasa por D. Este punto es el centro de la circunferenciaque es tangente a ambas rectas y pasa por D.

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Figura 16 : Circunferencia tangente a dos lneas que pasa por un punto dado D, Applet GeoGebra:Problema 2

3. Problema 3

Consideremos una recta cualquiera y un punto A que no est sobre la recta. Trazaruna circunferencia tangente a la recta que pase por el punto A.

3.1. Solucin

Sea B un punto sobre la recta. Trazamos una recta perpendicular quepase por B, el segmento AB y su mediatriz. Sea C la interseccin de lamediatriz con la recta perpendicular que pasa por B. Este punto es elcentro de la circunferencia que es tangente a la recta y que pasa por A.Observacin. Si el punto B se mueve sobre toda la recta, entonces el lugargeomtrico que describe el punto C es una parbola cuyo foco es el punto A y la directriz es la recta que contiene a B.

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Figura 17 : Lugar geomtrico del punto C, Applet GeoGebra: Problema 3

4. Problema 4

Una escalera situada sobre el suelo liso y apoyada con un extremo en la pared, sedesliza hacia abajo. Por qu lnea se mueve un gato sentado en el centro de laescalera?

4.1. Solucin

En este problema debemos recurrir al proceso de la modelacin matem-tica. Es decir, debemos realizar un modelo matemtico del problema. Unmodelo matemtico de un fenmeno o situacin problema es un conjuntode smbolos y relaciones matemticas que representa, de alguna forma, elfenmeno en cuestin ([ 1], p. 106).

Lo primero que debemos hacer es suponer algunos hechos para podertraducir el problema en trminos matemticos. Una primera suposicinque se puede hacer es considerar que el gato permanece en la escaleracuando sta se desliza hacia abajo. Nuestra experiencia nos indica queel gato saltara inmediatamente al sentir que la escalera se mueve o cae.

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En la vida real difcilmente mantendramos a un gato quieto en estascondiciones.

Considerando entonces que nuestro gato permanece inmvil en el centrode la escalera, podemos utilizar trminos geomtricos, por ejemplo, pode-mos suponer que el largo de la escalera mide L y tambin que el nguloentre la pared y el suelo es de 90 o.

Con base en lo anterior podemos representar al suelo y a la pared condos rectas perpendiculares entre s en el punto A, mientras que la escaleraqueda representada con un segmento BC (Figura 18).

Ahora, el gato se puede representar con un punto sobre el segmento. Si

el gato est en el centro de la escalera, entonces debemos considerar elpunto medio D del segmento BC.

Figura 18 : Representacin geomtrica

No es difcil observar que el lugar geomtrico del punto D cuando laescalera se desliza hacia abajo es un arco de circunferencia de radio L/2con centro en A (Figura 19).

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Figura 19 : Lugar geomtrico, Applet GeoGebra: Problema 4

El punto D se mueve sobre una circunferencia porque permanece siemprea una misma distancia con respecto del punto A. En otras palabras, la dis-tancia del segmento AD es constante en cualquier posicin de la escalera.Esto se establece en la siguiente:

Proposicin. Sea ABC un tringulo rectngulo y M el punto medio de la hipo-tenusa AB. Demostrar que M es equidistante de los vrtices.

Demostracin. Por M tracemos una paralela a CA, y sea D su punto deinterseccin con el cateto BC. Puesto que DM es paralela a CA y sta esperpendicular a BC, entonces DM es tambin perpendicular a BC. Dadoque D es punto medio de AB, D es punto medio de BC. Pero entonces DMes mediatriz de BCM. De aqu que BM = CM, debido a que la mediatriz

de un segmento es el lugar geomtrico de los puntos equidistantes a losextremos.

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Figura 20 :

Otra forma de resolver el problema es de forma analtica. Es decir, es po-sible resolver el problema utilizando geometra analtica y trigonometra.Para ello debemos considerar un plano cartesiano con origen en un pun-to apropiado (para facilitar los clculos) y el ngulo de inclinacin de laescalera con respecto del suelo. En este caso se puede establecer el lugargeomtrico del punto D en trminos de las variables x y y. Esta aproxi-macin se deja como ejercicio. El lector interesado puede consultar el sitioDescartes:

Relaciones entre guras geomtricas en el plano

donde se expone este mismo problema. Es importante mencionar que siel gato est en cualquier otro punto del segmento BC (que no sea el puntomedio), entonces el lugar geomtrico es una arco de elipse.

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http://recursostic.educacion.es/descartes/web/Descartes1/4a_eso/Relaciones_figuras_geometricas_plano/UD8_4ALugar.htmhttp://recursostic.educacion.es/descartes/web/Descartes1/4a_eso/Relaciones_figuras_geometricas_plano/UD8_4ALugar.htm


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Referencias

[1] Biembengut, M. & Hein, N. (2004). Modelacin matemtica y losdesaos para ensear matemtica. Educacin Matemtica, 16 (2), 105-125. 20

[2] Coxeter, H. S. M. (1961). Introduction to Geometry. John Wiley & Sons,Inc. New York.

[3] Fenn, R. (2003). Geometry. Springer-Verlag. London Limited.

[4] Vasleiv, N. B. & Gutenmjer, V. L. (1980). Rectas y Curvas. Editorial

Mir Mosc.[5] Villareal, C. E. & Gonzlez-Hernndez, J. (s.f.). Geometra. Sociedad

Matemtica Mexicana. Mxico.

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