Probabilitat i Estadstica

Problemes resolts de la Part I

Te`cniques de comptar

1. Considereu un reticle en tres dimensions (semblant a lexercici 1 de la seccio 1.5 Al-tres exemples, pero` en tres dimensions). Quants camins possibles hi ha per anar delpunt de cordenades (0, 0, 0) al punt (5, 5, 5)? En cada pas del cam avancem una deles coordenades en una unitat, aix un cam possible seria la seque`ncia seguent depunts (donats amb coordenades), (0, 0, 0), (1, 0, 0), , (5, 0, 0), (5, 1, 0), , (5, 5, 0),(5, 5, 1), , (5, 5, 5).Solucio:

En aquest cas, ja que la retcula te tres dimensions, podem indicar per la lletra a,quan ens movem en direcio X, per b quan ens movem en direccio Y i per c en direccioZ. Aix al cam que es dona a lenunciat li podrem assignar la seguent seque`ncia delletres aaaaabbbbbccccc. Aquestes lletres ocupen 15 posicions i en hi ha dhaverexactament 5 de cada (a,b i c). De 15 posicions en triem 5 per posar (per exemple) laa, de les 10 posicions que ens queden en triem 5 per posar b (per cada una daquestespossibilitats tenim totes les que hem obtingut abans i per tant hem de multiplicar elsresultats) i de les 5 que queden en triem 5 per posar la c. La solucio es:

(155

)(105

)(55

)=

3003 252 1 = 756756.

Espai de Probabilitat

2. Un cert dispositiu, que anomenem D, es molt sensible a la humitat ambiental, demanera que quan la humitat es superior al 75% , el dispositiu nomes funciona el 25%de les vegades. En canvi per altres graus dhumitat D funciona correctament el 65%de les vegades. Tambe coneixem que la probabilitat de que la humitat sigui superioral 75% es 0.25 Determina:

(a) Sabent que D funciona, quina es la probabilitat que el grau dhumitat sigui supe-rior al 75%?

(b) Quina es la probabilitat que D funcioni i el grau dhumitat sigui superior al 75%?

(c) Quina es la probabilitat que D funcioni?

Solucio:

(a) Podem donar els seguents noms:H = { El grau dhumitat es superior al 75%}

1

H = { El grau dhumitat no es superior al 75%}F = { El dispositiu funciona }F = { El dispositiu no funciona }

P (H/F ) = 1 P (H/F ) = 1 0.8864 = 0.1136(b) Segons la formula (2.3) P (H F ) = P (F/H)P (H) = 0.25 0.25 = 0.0625(c) Segons la formula de la probabilitat total:

P (F ) = P (F H) + P (F H) = P (F/H)P (H) + P (F/H)P (H) == 0.25 0.25 + 0.65 0.75 = 0.5500

Variables aleato`ries

3. Llancem un dau tantes vegades com calgui fins que surti un 5 (per primer cop). SiguiX, la variable aleato`ria que compta aquest nombre de vegades, (penseu que X potprendre valors des de 1 fins a infinit.) Respon a les seguents questions:

(a) Quin tipus de distribucio segueix la v.a.d. X?

(b) Troba la probabilitat P (X < 2).

(c) Troba la probabilitat P (X 3).(d) Si he llencat el dau un cop i no mha sortit un 5, quina es la probabilitat que em

surti un 5 abans del 4 llencament (en total).

(e) Quin es el nombre de llencaments esperat que hem de fer perque` ens surti un 5?

Solucio:

(a) La v.a.d. X segueix una distribucio geome`trica amb probabilitat de`xit 1/6 (prob-abilitat que al llencar un dau surti un 5). Aix X Geom(1/6).

(b)

P (X < 2) = P (X = 1) =1

6

(c)

P (X 3) =

k=3

(1 16)k1

1

6=

1

6

k=3

(5

6)k1 =

1

6

(5/6)2

1 5/6 =25

36.

Observeu que hem tingut en comte que la suma dinfinits termes duna progressiogeome`trica es a1

1r , essent a1 el primer terme que sumem i r la rao de la progressio.Tambe podem arribar al mateix resultat seguint el mateix raonament que en elexercici 3.7,

P (X 3) = 1P (X < 3) = 1P (X = 1)P (X = 2) = 11656

1

6= 111

36=

25

36.

2

(d) Es tracta duna probabilitat condicionada. Ens demanen:

P (X < 4/X > 1) = P (X 3/X 2) = P (X 3 X 2)P (X 21)

=P (2 X 3)1 P (X = 1) =

5616+ (5

6)2 1

6

1 16

=11

36.

(e) Ens demanen lesperanca, es a dir E(X) = 1p= 6.

4. Una emisora de radio emet de forma aleato`ria en una freque`ncia dins de linterval[105, 106]Mhz. Calcula:

(a) Probabilitat que la freque`ncia demissio sigui menor que 105.5 Mhz.

(b) Probabilitat que la freque`ncia demissio no superi el valor 105.4 Mhz.

(c) Probabilitat que la freque`ncia demissio superi el valor 104.4 Mhz.

Solucio:

La v.a.c. X, segueix una distribucio uniforme. Veure lexemple 3.12. La funcio dedensitat ve donada per:

f(x) =

{1

106105 = 1 si x [105, 106]0 altrament

(Es pot respondre a las seguents preguntes sense necessitat de fer les integrals, tal comovam veure a la pagina 38.)

(a) 105.5105

1 dx = 0.5

(b) Que no superi el valor 105.4 Mhz es el mateix que dir que sigui menor o igual a105.4 Mhz. Aix,

105.4105

1 dx = 0.4

(c) Aquesta probabilitat es 1 ja que passa sempre.

Vectors aleatoris

5. Semet un missatge duna lletra triada en el conjunt {a, b} equiprobable. Per la viade comunicacio la lletra a pot canviar a b mentre que la b no varia. La probabiltatque havent enviat lemisor la lletra a el receptor rebi b, es p. Anomenem X la variablealeato`ria que compta el nombre de as enviades i Y la que compta el nombre de asrebudes.

3

(a) Escriu la taula de les probabilitats conjuntes i determina les probabilitats marginals.

(b) Determina E(X), E(Y ), V ar(X), V ar(Y ) i Cov(XY )

(c) Troba el coeficient de correlacio de les dues variables. Comprova que quan p = 0,el coeficient de correlacio es 1.

Solucio:

(a)

Y \X 0 1 PY0 1/2 p/2 (1 + p)/21 0 (1 p)/2 (1 p)/2PX 1/2 1/2 1

(b) E(X) = 1/2; E(Y ) = (1p)/2; var(X) = 1/4; var(Y ) = (1p2)/4; Cov(X, Y ) =(1 p)/4.

(c) = (1 p)/1 p2.6. Amb el mateix enunciat que a lexemple 5.6, calculeu les seguents probabilitats:

(a) P (1 < X < 2).

(b) P (X < 1/X < 2).

(c) P (Y X > 1).Solucio:

(a) P (1 < X < 2) = 21

29x dx = [x

2

9]21 =

13. On per integrar hem tingut en compte la

densitat marginal de X.

(b)

P (X < 1/X < 2) =P (X < 1 X < 2)

P (X < 2)=

P (X < 1)

P (X < 2)=

10

29x dx 2

029x dx

=

=1/9

4/9=

1

4.

(c)

P (Y X > 1) = 1 P (Y X < 1) = 1 3

x=1

x1y=0

2

9dy dx = 1

3x=1

[2

9y]x10 dx =

= 1 31

2

9(x 1) dx = 1 2

9(x2

2 x)]31 = 1

4

9=

5

9.

4

Problemes resolts de la Part II

Descripcio estadstica i para`metres de processos estoca`stics

7. Considereu dues variables aleato`ries A i B tals que A es uniforme en linterval [1, 1],B es uniforme en linterval [0, 2], i son independents. Considereu tambe el procesestoca`stic:

X(t) = At+B.

(a) Calculeu les seguents esperances: E(A), E(B), E(A2), E(B2), E(AB).

(b) Calculeu la funcio de valor mitja` del proces X(t).

(c) Calculeu la funcio dautocorrelacio, funcio dautocovaria`ncia i la pote`ncia delproces X(t).

(d) Si fixem els instants t = 1 i t = 2 sobte una variable aleato`ria bidimensional(X(1), X(2)). Utilitzant les funcions calculades als dos apartats anteriors, cal-culeu: lesperanca i la varia`ncia daquestes dues variables, la seva covaria`ncia(Cov(X(1), X(2)) i el seu coeficient de correlacio .

Solucio:

(a) E(A) =1 + (1)

2= 0. E(B) =

0 + 2

2= 1.

Densitats: fA(a) =1

2,1 a 1. fB(b) = 1

2, 0 b 2.

E(A2) =

11

a21

2da =

a3

6|11 =

1

3. E(B2) =

20

b21

2db =

b3

6|10 =

4

3.

Com son independents, E(AB) = E(A)E(B) = 0 1 = 0.(b) m(t) = E(X(t)) = E(At+B) = E(A)t+ E(B) = 0 t+ 1 = 1.(c) R(t1, t2) = E(X(t1)X(t2)) = E((At1+B)(At2+B)) = E(A

2t1t2+AB(t1+t2)+B2)

= E(A2)t1t2 + E(AB)(t1 + t2) + E(B2) =

1

3t1t2 + 0 (t1 + t2) + 4

3=

t1t2 + 4

3.

C(t1, t2) = R(t1, t2)m(t1)m(t2) = t1t2 + 43

1 1 = t1t2 + 13

.

Pot(t) = E(X(t)2) = R(t, t) =t2 + 4

3.

(d) Donat que E(X(t)) = m(t), V ar(X(t)) = E(X(t)2) E(X(t))2 = R(t, t) m(t)2 = C(t, t) i Cov(X(t1)X(t2)) = C(t1, t2):

E(X(1)) = m(1) = 1, E(X(2)) = m(2) = 1, V ar(X(1)) = C(1, 1) =2

3,

V ar(X(2)) = C(2, 2) =5

3, Cov(X(1), X(2)) = C(1, 2) = 1,

=Cov(X(1), X(2))

X(1)X(2)=

123

53

=310

= 0.9487.

5

8. Donada A, variable aleato`ria exponencial desperanca 1, es defineix el proces:

X(t) =

{t 0 t A0 t > A

(a) Calculeu la seva funcio de valor mitja`, m(t), utilitzant el teorema de lesperanca.

(b) Quins valors pot prendre la variable aleato`ria X(3)? Mostreu que el proces esdestat discret i calculeu la funcio de probabilitat de primer ordre P (x; t). (Es adir, fixat t, quins valors pot prendre X(t) i quines son les seves probabilitats).

(c) Torneu a calcular la funcio de valor mitja` del proces, ara a partir de lanteriorfuncio P (x; t).

(Indicacio: pels dos ultims apartats tingueu present lexemple 8.2.)

Solucio:

(a) m(t) = E(X(t)) =

X(t)fA(a)da.

La variable exponencial A te para`metre = 1/E(A) = 1 don la seva densitat valfA(a) = e

a, a 0.Tambe tenim que X(t) = 0 si A < t i X(t) = t si A t. Llavorsm(t) =

t0

0 eada+

t

t eada = t

t

eada = tea

1 |t = te

t.

(b) La variable aleato`ria X(3) nomes pot valer 0 i 3 ja que

X(3) =

{3 3 A0 3 > A

En general X(t) nomes pot prendre dos valors: 0 i t. Per tant, fixat t, X(t) es unavariable discreta. Aix el proces es destat discret. La seva funcio de probabilitatde primer ordre val:

P (x = 0; t) = P (X(t) = 0) = P (A < t) =

t0

eada = 1 et.

P (x = t; t) = P (X(t) = t) = P (A t) =

t

eada = et.

(Noteu que les dues probabilitats estan entre 0 i 1 i la seva suma val 1.)

(c) m(t) =

k

xkP (xk; t) = 0 P (x = 0; t)+t P (x = t; t) = 0 (1et)+t et = tet.

6

Processos estacionaris. Processos gaussians

9. Considereu dos processos estoca`stics:

X(t) amb valor mitja` mX(t) = 2t i autocorrelacio RX(t1, t2) =

1

1 + (t1 t2)2 .

Y (t) amb valor mitja` mY (t) = 0 i autocorrelacio RY (t1, t2) =1

1 + (t1 t2)2 .

(a) Son estacionaris X(t) o Y (t)?

(b) Definim un nou proces Z(t) = X(t)X(t + 1). Demostreu que la funcio de valormitja` de Z(t), mZ(t) es constant.

(c) Definim les variables aleato`ries A = X(1)X(0) i B = X(2). Calculeu les sevesesperances i varia`ncies, aix com Cov(A,B).

(d) Suposeu que, a mes, el proces Y (t) es gaussia`. Podem assegurar que es estacionarien sentit estricte?

(e) Donat lanterior proces Y (t) gaussia`, considereu la variable aleato`ria bidimension-al (Y (0), Y (1)). Quin tipus de variable es? Escriviu la seva funcio de densitat.

(f) La variacio del proces Y (t) la podem estudiar a partir de la variable aleato`riaVa = Y (a) Y (0) on a > 0. Calculeu E(V 2a ) i demostreu que el resultat es unafuncio creixent de a.

(g) Calculeu la densitat espectral de pote`ncia SY (f) del proces Y (t).

(Indicacio:

0

cosx

x2 + 2dx =

e||

2)

Solucio:

(a) X(t) no es estacionari ja que mX(t) depe`n de t. Y (t) es estacionari en sentitampli ja que mY (t) es constant i RY (t1, t2) depe`n nomes de la difere`ncia de temps:

RY (t, t+ ) =1

1 + 2.

(b) mZ(t) = E(Z(t)) = E(X(t)X(t+ 1)) = RX(t, t+ 1) =1

1 + (t (t+ 1))2 =1

2.

(c) E(A) = E(X(1)X(0)) = E(X(1))E(X(0)) = mX(1)mX(0) = 12 1 = 12 .E(B) = E(X(2)) = mX(2) =

14.

E(A2) = E((X(1)X(0))2) = E(X(1)2)+E(X(0)2)2E(X(1)X(0)) = RX(1, 1)+RX(0, 0) 2RX(1, 0) = 1 + 1 212 = 1.E(B2) = E(X(2)2) = E(X(2)X(2)) = RX(2, 2) =

11+(22)2 = 1.

E(AB) = E((X(1)X(0))X(2)) = E(X(1)X(2)) E(X(0)X(2)) = RX(1, 2)RX(0, 2) =

11+(12)2 11+(02)2 = 12 15 = 310 .

V ar(A) = E(A2)E(A)2 = 1 14= 3

4.

V ar(B) = E(B2)E(B)2 = 1 116

= 1516.

Cov(A,B) = E(AB) E(A)E(B) = 310 (1

2)14= 17

40.

7

(d) S, ja que si un proces gaussia` es estacionari en sentit ampli llavors tambe ho esen sentit estricte.

(e) Es una variable gaussiana ja que, per definicio, totes les mostres dun procesgaussia` son variables gaussianes multidimensionals. Per escriure la seva densitatnecessitem els seus para`metres.

E(Y (0)) = mY (0) = 0. E(Y (1)) = mY (1) = 0. E(Y (0)2) = RY (0, 0) = 1.

E(Y (1)2) = RY (1, 1) = 1. E(Y (0)Y (1)) = RY (0, 1) = 1/2. V ar(Y (0)) =1, V ar(Y (1)) = 1, Cov(Y (0), Y (1)) = 1/2, = 1/2.

f(y0, y1) =1

2

1(1/2)2 e 1

2(1(1/2)2){(y00)2

122 1

2(y00)(y10)

11 +(y10)2

12}= 1

3e

23{y20+y21y0y1}.

(f) E(V 2a ) = E((Y (a)Y (0))2) = E(Y (a)2)+E(Y (0)2)2E(Y (a)Y (0)) = RY (a, a)+RY (0, 0) 2RY (a, 0) = 1

1 + (a a)2 +1

1 + (0 0)2 21

1 + (a 0)2 =2a2

1 + a2.

Podem comprovar que es creixent observant que la seva derivada es4a

(1 + a2)2> 0.

(g) Y (t) es un proces estacionari amb RY () =1

1 + 2.

SY (f) =

RY () cos 2fd = 2

0

RY () cos 2fd

= 2

0

1

1 + 2cos 2fd = e2|f |.

8