PROCESOS ESTOCASTICOS

1. Un experimento es una actividad con resultados observables 2. Un punto muestral es cualquier resultado de un experimento 3. Es el conjunto de todos los puntos muéstrales de un experimento denomina espacio

muestral 4. Un evento es cualquier subconjunto de un espacio muestral.

Un expermiento consta de lanzar una moneda 3 veces.

a) Encuentre el espacio muestral del experimento. b) El evento de que por lo menos haya un solo

Solución: Designemos con s=solo y a=águila.

a) S={(s,s,s),(s,s,a),((s,a,s),(s,a,a),(a,s,s),(a,s,a),(a,a,s),(a,a,a)} b) E={(s,s,s),(s,s,a),(s,a,s),(s,a,a),(a,s,s),(a,s,a),(a,a,s)}

Un experimento consta de lanzar dos dados no cargados y observar lo números que caen hacia arriba.

a) Dé el espacio muestral de esta experimento. b) El evento de que el producto sea un múltiplo de dos.

Respuesta a)

S=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5,),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)

Respuesta b)

(1,2),(1,4),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,2),(3,4),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,2),(5,4),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)

ACTIVIDAD DOS

La compañía de baterías Ever-Brite está desarrollando una batería de alta capacidad y amperaje como fuente de poder para autos eléctricos. La batería se prueba en un prototipo de auto, que la utilizando totalmente cargada en una pista de pruebas a una velocidad constante 55mph, hasta que pierde su energía. Luego se registra la distancia recorrida por el auto.

a) ¿Cuál es el espacio muestral de este experimento?

d – distancia recorrida

S={d|d≥0}

S=[0.∞)

b) Describir el evento E de que el rango de distancia recorrida en las condiciones de prueba sea menor de 150 millas S={d|d<150}

S=[0,150)

c) Describir el evento E de que el rango de distancia recorrida esté entre 200 y 250 millas, incluidas. S={d|200≤d≤250}

S=[200,250]

PROBABILIDAD

La probabilidad de que ocurra un evento A, asociado a un espacio muestral S, está dada por:

���� � ������ � ��������� ���������������������� � ��� ���

O bien

���� � ����

Es válida sólo para espacios muéstrales finitos, y cuando cada evento simple tiene la misma probabilidad de ocurrir.

REGLAS DD PROBABILIDAD

Propiedad 1 P(E)≥0, para cualquier evento E Propiedad 2 P(S)=1 Propiedad 3 Si E y F son eventos mutuamente excluyentes �� � �� � � ����� ���� � �� � ���� � ���� Propiedad 4 Entonces

Si E y F son eventos cauqluesquiera ��� � �� � ���� � ���� ��� � ��

ACTIVIDAD TRES

En una agencia bancaria hay dos sistemas de alarma A y B. El sistema A funciona en 7 de cada 10 atracos, B funciona en 8 de cada 10 y los dos a la vez lo hacen en 6 de cada 10 atracos. ¿Cuál es la probabilidad de que en caso de atraco funcione al menos una de estas alarmas?

� � !"#

$ � %"#

� � $ � &"#

� � $ � ���� � ��$� ��� � $� � � $ � #'! � #'% #'& � #'(

ACTIVIDAD CUATRO

El inspector de un distrito escolar urbano ha estimado las probabilidades relacionadas con las calificaciones de un examen realizado a todos los estudiantes de este distrito. Estos resultados se muestran en la tabla siguiente.

Distribución de probabilidad Calificación (X) Probabilidad

X>700 0.01 600<X≤700 0.07 500<x≤600 0.19 400<x≤500 0.23 300<x≤400 0.31

x≤300 0.19

Si elige un alumno al azar, indique la probabilidad de que su calificación sea

a) Mayor de 400

P(x>400)=1-P(x≤300)-P(300<x≤400)=0.5

b) Menor o igual a 500

P(x≤500)=1-0.1-0.07-0.19=0.73

c) Mayor que 400 pero menor o igual a 600

P(400≤X≤600)=0.23+0.19=0.42

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Sean A y B dos eventos asociados de un espacio muestral. La probabilidad de que ocurra el evento A dato que ya ocurrió el evento B, está dada por:

���)$� � ��� � $���$� * ��$� + #'

ACTIVIDAD CINCO

Se lanza un par de dados no cargados ¿Cuál será la probabilidad de que la suma de los números que están en la parte de arriba de los dados sea 8 si se sabe que uno de ellos es 5?

A=Que la suma sea 8

B= Que uno sea 5

,�-*&�* �.*/�* �0*0�* �/*.�* �&*-�1 � � $ � ,�.*/�* �/*.�1 ��� � $� � -

.&

��$� � ,�"*/�* �-*/�* �.*/�* �0*/�* �/*"�* �/*-�* �/*.�* �/*0�* �/*/�* �/*&�* �&*/�1 ��$� � ""2.&

���)$� �-.&"".&� -""

ACTIVIDAD SEIS

En una caja hay 100 resistencias que tienen el valor y la tolerancia indicados en la tabla

Tolerancia RESISTENCIA (Ω) 5% 10% Total

22 10 14 24 47 28 16 44

100 24 8 32 Total 62 38 100

Se selecciona una resistencia de la caja y se supone que cada resistencia tiene la misma probabilidad de ser elegida. Hallar.

a) La probabilidad de sacar una resistencia de 47Ω con una tolerancia de 5%

Obtener 47 Ω. Probabilidad que sea de 5% y que sea de 47 Ω

Tolerancia de 5%. Probabilidad que sea 5%

��$� � &-"##

��� � $� �28/100

���)$� � -%&-

b) La probabilidad de sacar una resistencia de 47 Ω con un valor de 100 Ω

��� � $� �0

��$� � .-/100

���)$� � #.-

c) La probabilidad de sacar una resistencia cuya tolerancia es del 5% y su valor de 100 Ω

��$� � .-"##

��� � $� � -0"##

���)$� � -0.-

EVENTOS INDEPENDIENTES

Supongamos ahora, que la probabilidad del evento A que ocurra no depende del evento B ocurra o no. Cuando esto suceda, tendremos a decir que los eventos A y B son independientes.

Se dice que los eventos A y B son independientes si cumplen con cualquiera de las tres condiciones siguientes:

a) ���)$� � ���� b) ��$)�� � ��$� c) ��� � $� � ��$����)$� � ��$�����

Consideremos el lanzamiento de un dado y los eventos.

A=”Que salga un número impar”

B=”Que salga un número par”

C=”Que salga un 5 o un 6”

¿Cuáles de los eventos son independientes y cuales son dependientes?

3�4��� � $ � �* �����56

��� � $� � ���� � #

Por otro lado, P(A)=1/2, P(B)=1/2

De aquí

���� 7 ��$� � 8"-9 8"-9 � 8

"09 :

Dado que � � 3 � �/� Se tiene que ��� � 3� � ;

<

Por otro lado, P(A)=1/2,P(C)=1/3

ACTIVIDAD SIETE

Supónganse que un mecanismo esté formado por dos componentes acoplados en serie, como se indica en la figura :

Cada uno de ellos tiene una probabilidad p que no funcione, ¿Cuál es la probabilidad de que el mecanismo funcione, si se supone que los componentes son independientes?

P = (1-Pc1)·(1-Pc2)

P = 1 –Pc2 – Pc1+Pc1·Pc2

C1

C2

TEOREMA DE LA MULTIPLICACION

La consecuencia más importante de la definición de probabilidad condicional es el siguiente resultado, conocido como TEOREMA DE MULTIPLICACION

��� � $� � ������$)�� Si se tienen k eventos A1, A2, A3, …, Ak de un espacio muestral la probabilidad de que ocurran los k eventos está dado por:

���; � �= � �> � ?� �@� �

� ���;����=)�;����>)�; � �=�?���@)�; � �= � �> � ?�@A;� Definición. Decimos que tres eventos A, B y C son independientes si y sólo si todas las condiciones siguientes se satisfacen:

��� � $� � ������$� ��$ � 3� � ��$���3� ��� � 3� � ������3�

��� � $ � 3� � ������$���3�

ACTIVIDAD OCHO

La probabilidad de cerrar cada uno de los relevadores del circuito que se indicará está dada por p=1/3. Si todos los relevadores funcionan independientemente, ¿Cuál es la probabilidad de que existe una corriente en las terminales I y D?

Propiedad

��� � $� � ���� � ��$� ���� 7 ��$� Solución

���B" � B-� � �B. � B0�� � C��B"���B-�D � C��B.���B0�D ����B"���B-���B.���B0��

� �E � �E �F � -�E �F � "!"% � #'-#(%

ACTIVIDAD NUEVE

Los cinescopios para los televisores a color “Púlsar” de 19” se producen en 3 lugares, y después se envían a la planta principal de la empresa Vista Visión para su montaje final. Las plantas A, B y C proporcionan el 50%, 30% y el 20% respectivamente de cinescopios del total de cinescopios utilizados por la compañía… El departamento de control de calidad ha determinado que el 1% de los cinescopios fabricados por la planta A son defectuosos, mientras que el 2& de los cinescopios elaborados en las plantas B y C son defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que un televisor a color Pulsar de 19 pulgadas tenga un cinescopio defectuoso?

Planta

A=50%

B=30%

C=20%

Defectuosos

A=1%

B=2%

C=2%

�G���6� � � C��������� � G���6� � ���D � C�������$� � G���6� � �$�D� ��������3� � G���6� � �3��

� G��� � G�$� � G�3� � G��� � G�$� � G�3�

��������� � G���6� � ��� � #'/ 7 #'#" � #'##/

�������$� � G���6� � �$� � #'. 7 #'#- � #'##&

��������� � G���6� � ��� � #'- 7 #'#- � #'##0

����6� � � "-## �

./## �

"-/# � #'#"/

ACTIVIDAD DIEZ

Una caja contiene ocho baterías de nueve voltios, de las cuales se sabe que dos de ellas tienen un defecto. Las baterías se van eligiendo una vez, sin reemplazo, y se revisan hasta que se encuentran una no defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de baterías sea (a) uno, (b) dos y (c) tres?

�� � &% � #'!/

�� � -% 7&! � #'-"0-

�� � -% 7"! 7 " � #'#./!

N

N

N

D

D

EJEMPLO

Un experimento consta de tirar un dado y lanzar una moneda. Sea la variable aleatoria X, la función definida como sigue.

- El resultado de obtener un sol (c) al lanzar una moneda se hace corresponder los valores positivos de X que son iguales a los valores da dado obtenido.

- El resultado de obtener un águila (a) al lanzar una moneda se le hace corresponder a los valores negativos de X cuyo módulo es el doble del número que sale al tirar el dado.

Considere un experimento en el que se hace girar la manecilla de una rueda de la fortuna. Los posibles resutlados son de 0 a 12 marcados sobre la rueda.

Definimos la variable aleatoria

HI � J B

H� � � E Donde

� � ,H K B)# + L M "-

ACTIVIDAD 1

1. El espacio muestral de un experimento es

���� � ,#*"*-'/*&1 ���� � , ) - M M /1

Enumere todos los valores posibles de las variables aleatorias

���H � -

��H � / E "

Respuesta a)

H� � � ,#*-*/*"-1�Respuesta b)

- M M #

# M E M 0

" M H� � M "(

N -*#1 HJ N "*"(O # M M /

# M / E M "-/

" M H� � M "-0

N#*/O HJ N "*"-0O

N "'"-0O� ��� K N#'/O H� � N "*"(O ��� K N -*#O

, )H� � K N "*"-0O P , " M H M "-01 P , " M H� � M "-01

CONDICIONES PARA QUE UNA FUNCIÓN SEA UNA VARIABLE ALEATORIA

1. X{X≤x} es un evento para 2. X{X=-∞}=0, P{X=∞}=0

CLASIFICACIÓN DE VARIABLES

- Una variable alaeatoria se llama discreta si tomas valores discretos. - Una variable aleatoria se llama continua si toma valores en un intervalo. - Una variable aleatoria se dice mixta si toma tanto valores discretos, como en un intervalo.

FUNCION DE DISTRIBUCIÓN

Una Función de distribución es una regla que a cada X€R asocia una probabilidad P(X≤x} y se denota por Fx(x). Es decir

�QI L J ��H M L� Es decir

�Q�L� � ��H M L� PROPIEDADES

1. �Q� R� � # 2. �Q�R� � " 3. # M �Q�L� M " 4. �Q�H; M �Q�H=�

OBSERVACIÓN

Si X es una variable discreta, entonces la gráfica de su función de distribución Fx(x) es de forma escalonada y vine dado por

�Q�L� �S��,H � LT1� � ,H LT1U

TVT

Donde u(x) es la función escalón unitario.

� + � + #�)� + #

�E W �� W #

� + � + #

�� W �E W #

�E W �� W �E W # J # + �E + �E

Ejemplo

Sea X tal que toma los valores discretos del conjunto {-1,-0.5,0.7,2.5,4}. Supongamos que las probabilidades correspondientes son {0.1,0.2,0.1,0.4,0.2}. Dibuje la función de distribución Fx(x) de esta variable aleatoria.

�Q�L� � ��,H � "1� � �L � "� � ��,H � #'/1� � �L � #'/� � ��,H � #'!1� � �L #'!�� ��,H � -'/1� � �L -'/� � ��,H � 01� � �L 0�

.1

.3

.4

.8

1

-1 -0.5 0.7 2.5 4

ACTIVIDAD DOCE

Graficar la función Fx(x) de la variable X(s) = 2s, si S ={0,1,2.5,6}. Se considera que los elementos del espacio muestral tienen la misma probabilidad de ocurrir.

H�X� � ,#*-*/*"-1 �Q�L� � �,H � #1 � �,H � -1 � �,H � /1 � �,H � "-1 � "0

¼

½

¾

1

0 2 5 12

FUNCIÓN DE DENSIDAD

La función de densidad de probabilidad, denota por fx(x), se define como

�Q�L� � L �Q�L�

Siempre y cuando la derivada exista

OBSERVACION

Una variable aleatoria continua tendrá una función de distribución continua.

Casos discreto

�Q�L� �S��,H � LT1 � �L LT�U

TV;

�Q�L� � L �Q�L� �

LS��,H � LT1� � �L LT�

U

TV;

S��,H � LT1� L � �L LT�U

TV;

S��,H � LT1�Y�L LT�U

TV;

ACTIVIDAD

Dibujar la función de densidad de la función de distribución de la actividad anterior.

.1

.3

.4

.8

1

-1 -0.5 0.7 2.5 4

PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN DE DENSIDAD

1. �Q�L� Z #

2. [ �Q�L� � "\A\

3. �Q�L� � [ �Q����QA\

4. ��,L; + H + L=1� � [ �Q����Q]Q^

ACTIVIDAD

Verificar que la función dada por su gráfica es una función de densidad.

#*���������������������������������� R + L + .

"-/ �L .�*�������������. M L M %

"-/ �L ".�*�������% M L + ".

#*��������������������������������������". M L

_ �Q�L�L � "-/_ �L .�L "

-/_ �L ".�L � ";>`

`>

\A\

Actividad 13

Considere que la función de distribución �Q�L� tiene la siguiente gráfica

Dibuje la función de densidad correspondiente

Recordemos que

�Q�L� � Q �Q�L�

4 � a ab�L Lb �""&

�Q�L� � "&L

0 x≤0 (1/16)x 0<x<16 1 16≤x

�Q�L� � �#�Q � ""&LQ �

�"�Q

�Q�L� � ""&

0 x≤0 1/16 0<x<16 0 16≤x

Fx(x)

1

16

1/16

16

fx(x)

Actividad 14

Si X es una variable aleatoria continua con una función de densidad

4x³ si 0≤x≤1 fx(x) 0 en otro caso

�Q�L� � _ �Q����QA\

[ #QbA\ si x<0

Fx(x) [ #L � [ 0L>LQ

bbA\ � LF 0≤x≤1

[ #L � [ 0L>L � [ #LQ

;;b

bA\ =1 1<x

1

1

fx(x)

Actividad 15

Sea X una variable aleatoria con función

Cx² ,0≤x≤2 fx(x) 0 en otro caso

1. Encuentre el valor de c para que fx(x) sea una función de densidad válida. 2. Determine la probabilidad de P{1≤x≤2}

" � _ �Q�L�\A\

_ �L=L � �L>.=b

)-# ���-> #>�

. � ��%>�. � "

� � .%

�,� M L M �1 � _ �Q�L� � Lcd

�," M L M -1 � _ �L=L � _ .%L=L �

.% e�L>�. f � !%

=b

=;

Actividad 16

Hallar el valor de b tal que la función que representa a una señal

�Q�L� � %�� ghL-�i ����L-��

Donde

1 si j Q=cj + ;=

rect(x/2b) b>0 0 si j Q=cj + ;

= Es una función de densidad

a si � Z # |a| -a si � Z #

)�) + �

� + � + �

Solución

" � _ % klm ghL-�i �"�L � n-� 7 %h � ghL-�ioAc

c � "&�h n � 8h�-�9 � 8h�

-� ��9ocAc

"&�h p � gh-i � � g

h-iq �

"&�h 7 N-O � .-�h

" � .-�h

� � h.-

-b b 0

VALOR ESPERADO

Caso Discreto

Sea X una variable discreta con valores en conjunto D, entonces el valor esperado de X se define

�NHO � r � s L��L�QKt , ����L���L� ��������������

Caso Continuo

Sea X una variable continua con su función de densidad �Q�L�. Entonces el valor esperado de X se define por

�NLO � _ L�Q�L�L\A\

Actividad 17

Supóngase que una variable aleatoria X tiene una función de densidad

>= �" L=� si # M u M "

fx(x) 0 En otro caso

�NHO � _ L n.- �" L=�o L � _ L 8.- .-L=9L

;b

;b

_ .-L

.-L>L �

.- eL=- fb

; .- e

LF0 fb

;;b

� .- n"-o

.- n"0o �

.0

.% �

& .% � .%

�NLO � .%

VARIANZA

La varianza de una variable continua X denotada por vQ=���w�H�* �����Q�L� se define como

vQ= � wNHO � _�L �NLO�=�Q�L�Q

vQ= � �N�H ��H��=O�� I Caso Discreto

Sea X una variable discreta con valores en un conjunto D y g(x) una función en X, entonces el valor esperado de g(x) se define

�Nx�L�O � r � s x�L���L�QKt , ����L���L� ��������������

II Caso continúo

Sea g(x) una función de la variable aleatoria X y fx(x) la función de densidad X. Entonces el valor esperado de g(x) se define por:

�Nx�L�O � _ x�L��Q�L�Q\A\

Actividad 18

Supóngase que una variable aleatoria X tiene una función de densidad

>= �" L=� si # M u M "

fx(x) 0 En otro caso

E(L=)=[ u=�L�L�L �\A\ [ >

= �u=C"�– �uE�DQ;b

� .-_u=L;

b .-_uFQ � e

.-L>. fb

; e.-

Lz/ fb

;� .& �"�

."# �"� �

"/

;

b

V (x)=E(L=)−N��L�O= � ;z g>`i

= � ;{>=b

Actividad 19

Determinar el valor esperado de la variable aleatoria continua con distribución exponencial

;c A

|}~� L W �

fx(x) 0 L + � Además la varianza de dicha variable

�NHO � [ L g;c A|}~� iQ � [ Q

c\d

\d A|}~� Qº

� � �A|}~� [� � A|}~�

� L� g �AQAdc i _ � "� gA

QAdc i Q\d

� pL g AQAdc iqd\ �_ gAQAdc iQ

\d

� pL g AQAdc iqd\ p�AQAdc qd

\

� p�Rg A\Adc i � �� g AdAdc iq p� gA\Adc i � gAdAdc iq � � � �

��L=� � [ L=�L�L�L �\A\ [ L= 8;c A

�|}~�� 9L\

d �;c [ L=A�|}~�� L\d �

�ngQ]c i 8 �A�|}~�� 9 [ �A�|}~�� =Q

c Q\d o � n L=A�|}~�� od

\ � [ -LA�|}~�� Q �\d �

�n L=A�|}~�� od\ � ng=Qc i 8 �=A

�|}~�� 9 [ �=A�|}~�� =

c L\d o�

�n L=A�|}~�� od\ � 8 -L�A�|}~�� 9 � [ -�A�|}~�� L\

d �

�n L=A�|}~�� od\ n-L�A�|}~�� od

\ n-�=A�|}~�� Ood\�

��= � -�� � -�=�V��u��E�V��u��E�V��u��E�V��u��E������� N����O� � ��= � -�� � -�=� �� � ��= � �= � -�� � -�= �= -�� �=�

� �=

Actividad 20

Encuentre P(2≤x1≤3,1≤x2≤2) en el lanzamiento de dos dados.

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6

4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6

5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6

6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

���- M u" M . � " M u- M -� � 0.& �

"(�

ACTIVIDAD 21

En cierto mecanismo hay 3 receptores de señales. Dos señales llegan a ellos en diferentes momentos, cuando no hay otras señales. Cada señal puede elegir independientemente un receptor al azar. Sea X1 el número de señales que llegan al receptor 1 y X2 el número de señales que llegan al receptor 2. Encuentre la distribución conjunta de X1 y X2.

Espacio Muestral

S={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}

X1={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)}

X2={(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2)}

X1

X2

0 1 2 0 1/9 2/9 1/9 1 2/9 2/9 0 2 1/9 0 0

P(X1=0, X 2=0)= p(0,0)=P({(3,3)})=1/9 P(X1=0, X 2=1)= p(0,1)=P({(3,2),(2,3)})=2/9 P(X1=0, X 2=2)= p(0,2)=P({(2,2)})=1/9 P(X1=1, X 2=0)= p(1,0)=P({(1,3),(3,1)})=2/9 P(X1=1, X 2=1)= p(1,1)=P({1,2),(2,1)})=2/9 P(X1=1, X 2=2)= p(1,2)=0 P(X1=2, X 2=0)= p(2,0)=P({1,1})=1/9 P(X1=2, X 2=1)= p(2,1)=0 P(X1=2, X 2=2)= p(2,2)=0

Definición. La función de distribución conjunta (bivariable) F(x1,X2) de dos variables aleatorias X1 y X2, está dada por:

��L;* L=� � ��H; M L;* H= M L=� R + L; + R

R + L= + R

Observación. En el caso de que X1 y X2 son variables aleatorias discretas F(x1,x2) adopta la siguiente forma:

��L;* L=� � S S ���;* �=�Q]

�]VA\

Q^

�^VA\

ACTIVIDAD 22

Considere las variables de la actividad 21 y calcule F(-1,2),F(1.5,2)

�� "*-� � S S ���;* �=� � ���* H=� � ���� � #=

�]VA\

A;

�^VA\�

��"'/*-� � S S ���;* �=� � ��#*#� � ��#*"� � ��#*-� � ��"*#� � ��"*"� � ��"*-�=

�]VA\

A;

�^VA\�

��"'/*-� � "( �-( �

"( �

-( �

-( �

%(�

�

��-*.� � S S ���;* �=�>

�]VA\

=

�^VA\�

� ��#*#� � ��#*"� � ��#*-� � ��"*#� � ��"*"� � ��"*-� � ��-*#� � ��-*"� � ��-*-��� "( �

-( �

"( �

-( �

"( �

-( �

((�

� �

FUNCION DE DENSIDAD CONJUNTA

Definición. Sea X1. X2 variables con función de distribución conjunta f(x , x2). Si existe una función no negativa f(x1, x2) tal que

��L;* L=� � [ [ ���;* �=��=�;Q]A&Q^A& Para & + L; + &

& + L= + &� Entonces se dice que X1, X2 son variables aleatorias conjuntas. A la función f(x1, x2) se le llama función de densidad conjunta.

ACTIVIDAD 23

Considere la función de densidad conjunta

" # M L; M " # M L= M " f(x1,x2)= 0 , En cualquier otro caso �Calkule�a��F��#'-*�#'0��������#'"≤x1≤0.3, 0≤x2≤0.5)

a)

��H;* H=� � _ _ ���;* �=��=�;Q]A&

Q^A&

� _ _ #�=�;bA&

bA&

�_ _ "L;L= � NL;Obb'= 7 NL;Obb'Fb'=b

b'Fb

�� #'0 7 #'- � �' ���

������������

��#'" M L; M #'.* # M L= M #'/� � _ _ �u;�u=b'z

b

b'>

b';� NL"O##'/ 7 NL-O#'"#'.�

� �#'/� 7 �#'. #'"� � �#'/� 7 �#'-� � �' ���� �

ACTIVIDAD 24

Considere la función de densidad conjunta

.H; # M L= M L; M " f(x1,x2)= 0 , En cualquier otro caso

��#'-/ M L; M #'/*#'-/ M L=� � _ _ .L;L=L; � _ N.L; 7 L=Ob'zb'=z b'=z

Q^ L;Q^b'=z

b'zb'=z

�

_ N.L; 7 NL; #'-/Ob'zb'=z

L; � _ N.L;= #'-/L;Ob'zb'=z

L; � NL;�Ob'=zb'z e#'-/L;=- fb'=z

b'z�

� N�#'/�> �#'-/>�O e�#'-/ 7 #'/=- � �#'-/ 7 #'-/=- �f � �����������

���� ����

Teorema

Si X1, X2 son dos variables aleatorias continuas conjuntas con función de densidad conjunta.

f(x1, x2), entonces

"' ��L;* L=� Z # ���������L;* L=

-' [ [ ��L;* L=�L;L= � "\A\

\A\

ACTIVIDAD 25

Supóngase que b es una constante positiva

¿Para qué valor de b la función es una función de densidad válida?

�AQ klma # M L M - # M a M �=

f(x1,x2)= 0 , En cualquier otro caso

��L* a� � _ _ �AQ klma �Q � �N AQOb=N �aOb�=

�=b

� "=b

�� A= � b� � � gh-i� � "

�� A= � "��"� � "

� � "�" A=�

Probabilidades marginales

Definición.

A) Sean X1 y X2 dos variables aleatorias conjuntas discretas con función de probabilidad conjunta P(x1, x2). Entonces las funciones de probabilidad marginal de X1 y X2, respectivamente están determinadas por

�;�L;� �S��L;* L=�Q]

�=�L=� �S��L;* L=�Q^

B) Sean X1 y X2 variables aleatorias conjuntas continuas con función de densidad conjunta ��L;* L=�. Entonces las funciones de densidad marginal de X1 y X2, respectivamente, están dadas por:

�;�L;� � _ ��L;* L=�L=\A\

�=�L=� � _ ��L;* L=�L;\A\

Actividad 26

Considere el experimento del lanzamiento de dos diodos. Encuentre las probabilidades marginales de las variables:

X1= “El número de puntos en la cara superior del 1er dado”

X2= “El número de puntos en la cara superior del 2do dado”

���; � "� � �;�"� � ��"*"� � ��"*-� � ��"*.� � ��"*0� � ��"*/� � ��"*&� � "&

���; � -� � �;�-� � ��-*"� � ��-*-� � ��-*.� � ��-*0� � ��-*/� � ��-*&� � "&

���; � .� � �;�.� � ��.*"� � ��.*-� � ��.*.� � ��.*0� � ��.*/� � ��.*&� � "&

���; � 0� � �;�0� � ��0*"� � ��0*-� � ��0*.� � ��0*0� � ��0*/� � ��0*&� � "&

���; � /� � �;�/� � ��/*"� � ��/*-� � ��/*.� � ��/*0� � ��/*/� � ��/*&� � "&

���; � &� � �;�&� � ��&*"� � ��&*-� � ��&*.� � ��&*0� � ��&*/� � ��&*&� � "&

���= � "� � �=�"� � ��"*"� � ��-*"� � ��.*"� � ��0*"� � ��/*"� � ��&*"� � "&

���= � -� � �=�-� � ��"*-� � ��-*-� � ��.*-� � ��0*-� � ��/*-� � ��&*-� � "&

���= � .� � �=�.� � ��"*.� � ��-*.� � ��.*.� � ��0*.� � ��/*.� � ��&*.� � "&

���= � 0� � �=�0� � ��"*0� � ��-*0� � ��.*0� � ��0*0� � ��/*0� � ��&*0� � "&

���= � /� � �=�/� � ��"*/� � ��-*/� � ��.*/� � ��0*/� � ��/*/� � ��&*/� � "&

���= � &� � �=�&� � ��"*&� � ��-*&� � ��.*&� � ��0*&� � ��/*&� � ��&*&� � "&

Actividad 27. Considere la función de densidad conjunta.

-H; # M L= M L; M " f(x1,x2)= 0 , en otro punto

Encuentre las funciones de probabilidad marginal de las variables X1 y X2

�;�L;� � _ ��L;* L=�L= � _ -L;L= � -L;NL=Ob; � -L;;b

\A\

�=�L=� � _ ��L;* L=�L; � _ -L;L; � NL;�=Ob; � ";b

\A\

INTRODUCCION Y CONCEPTOS BASICOS

En los temas hemos estudiado procesos que no varían con el tiempo o sólo depende de una variable.

Por ejemplo, estudiamos el número de llamadas que se producen en una central telefónica

Y, si definimos X como el número de llamadas que se reciben en una hora, podemos decir que X sigue una distribución de Poisson de media µ.

¿Pero, qué pasa si queremos definir ahora otra variable que corresponda al número de llamadas recibidas en la misma central durante todo el día de trabajo (8 horas)?

Así para cada tiempo que fijemos tendríamos una variable aleatoria. Entonces se define una familia de variables aleatorias que dependen de una variable determinista. En este caso el tiempo

Se define el proceso estocástico X(t) como el número de llamadas que se producen en la centralita en el tiempo (0,t)

En los sistemas de comunicaciones aparecen señales aleatorias como

La señal de información, tiene pulsos de voz de duración aleatoria y posición aleatoria.

Una interferencia en el canal que es debida a la presencia cercana de otros sistemas de comunicación o

El ruio en un receptor es debido al ruido térmico en las resistencias y componentes del receptor

Asi la señal recibida va a ser una señal con varias componentes aleatorias. Aqune no es posible describir este tipo de señales con una expresión matemática se pueden utilizar sus propiedades estadísitcas.

Proceso estocástico

Es una función de dos variables t y x una determinista y otra aleatoria

1. X(x,t) es una familia de funciones temporales 2. Si se fija x, tenemos una función temporal X(t) llamada realización del proceso 3. Si se fija t, tenemos una variable aleatoria 4. Si se fijan t y x tenemos un número real o complejo (muy normal en teoría de la señal)

�� � ,H�L* ��1 Espacios del poseso estocástico

Espacio de tiempos, T

Conjunto de los posibles valores del tiempo que puede tomar el proceso estocástico.

Espacio de estados, S

Conjunto de los posibles valores del proceso estocástico

(Resultado numérico, real o complejo)

Distribución de probabilidad condicional

Definición. Si X1 y X2 son dos variables aleatorias discretas conjuntas con función de probabilidad conjunta P(x1, x2) y funciones de probabilidad marginal P1(x1), P2(x2), entonces la función de probabilidad discreta condicional de X1, dado X2 es

��L;)L=� � ��H; � L;)H= � L=� � ,��H; � L;* H= � L=�1,�;�H= � L=�1 � ,��L;* L=�1,�=�L=�1

Siempre y cuando P2(x2)>0

ACTIVIDAD 28

Considere la siguiente tabla de la función de probabilidad conjunta de los valores X1 y X2

X1

X2

0 1 2 0 3/15 3/15

0 2/15 6/15 0 1 1/15 0 0

Encuentre la distribución condicional de X1, dado que X2=0

��H; � #)H= � #� � ,#1&"/� #

��H; � ")H= � #� � �."/�� &"/�

� .& �"-

��H; � -)H= � #� � �."/�� &"/�

� .& �"-

Distribución de probabilidad condicional

Definición. Si X1 y X2 son dos variables aleatorias continuas conjuntas con función de densidad conjunta f(x1, x2) y unciones de densidades marginales f1(x1) y f2(x2), entonces la función de densidad condicional de X1 dado X2 es

��L;)L=� � ��H � L;)H � L=� � ,��L;* L=�1,�=�L=�1 *������������������=�L=� W #

Así mismo, para cualquier x1 tal que f1(x1)>0, la función de densidad condicional de X2, dado X1 está dada por

��L=)L;� � ,��L;* L=�1,�;�L;�1

ACTIVIDAD 29

Sea

;> # M L; M L= M "

f(x1,x2)= 0 , en otro punto

Encuentre la densidad condicional de X1 dado X2

�=�L=� � _ ��L;* L=�L; � _ ".L; �

". NL;ObQ] �

".L=*������# M u= M "

Q]b

\A\

�=�L=� � [ ��L;* L=�L; � #bA\ L= M #

f(x2)= �=�L=� � [ ��L;* L=�L; � ;

> L=Q]b # M L= M "

�=�L=� � [ ��L;* L=�L; � #\

; " + L=

������� L= M #

f(x1|x2)=�C��Q^*Q]�DC�]�Q]�D ^�^�QE

# M L= M "

������� " + L=

Valor esperado de una función de variables aleatorias.

Definición. Sea g1(x1, x2, …, xk) una función de variables aleatorias discretas X1, X2, …, Xk; cuya función de probabilidad es p(x1, x2, …, xk). Entonces el valor esperado de g(x1, x2, …, xk) es���x�L"* L-*? * L � � s s ?�s s x�L;* L=* ? * L@���L;* L=* ? * L@�Q^Q]Q¡}^Q¡ ' Si X1, X2, …, Xk son

variables aleatorias continuas con función de densidad conjunta f(x1, x2, …, xk), entonces

�Nx�L;* L=* ? * L@�O � _ _ ? _ _ x�L;* L=* ? * L@���L;* L=* ? * L@�L;L=?L@Q^Q]Q¡}^Q¡

ACTIVIDAD 30

Suponga que la densidad de X1 y X2 está dada por

-L; # M L; M "*# M L= M " f(x1,x2)= 0 , en otro punto

Calcule E[X12 · X2

2 ]

�Nx�H;= 7 H==�O � _ _ -L; 7 �L;= 7 L==�L;L= �;b

;b

_ _ -�L;> 7 L==�L;L= �;b

;b

- eL;F0 fb;7 eL>. fb

;

� "- 7". �

�¢

CLASIFICACIÓN DE PROCESOS ESTOCÁSTICOS

El concepto de proceso aleatorio se basa en ampliar el concepto de variable para incluir el tiempo.

• Asignemos a cada resultado S, de acuerdo con algún tipo de regla. Una función del tiempo

H��* ��La familia de todas estas funciones, designada por X(t,s ) se denomina proceso estocástico.

• Notación

x(t) representa una forma de onda específica de un proceso aleatorio asignado por X(t)

• Definición

Cada función temporal miembro de un proceso estocástico

H� * ���Se denomina función muestra, miembro del campo o en ocasiones, realización del proceso.

Observación

Un proceso estocástico también representa una variable aleatoria cuando se fija t y s se considera una variable

Notación

Si ti es fijo, escribiremos

H��T* � � H��T� � HT La siguiente clasificación de procesos estocásticos se realiza según las características de t y la variable aleatoria X=X(t) en el instante t.

Proceso estocástico continuo.

Si X es continuo y t puede tomar uno cualquiera de un conjunto de valores continuos, entonces se dice que H��� es un proceso estocástico continuo.

Procesos estocásticos discretos

Cuando la variable aleatoria X toma valores discretos y t es continuo, se tiene un proceso estocástico discreto.

Secuencia Aleatoria Continua

Un proceso estocástico para el que X es continuo pero el tiempo sólo toma valores discretos se llama secuencia aleatoria continua.

Un proceso estocástico puede describirse por la forma de sus funciones de muestra

PROCESOS NO DETERMINISTAS

Si los futuros valores de cualquier función muestra no pueden predecirse de forma exacta observando los valores anteriores, el proceso se dice que es no determinista.

PROCESOS DETERMINISTA

Un proceso determinista si pueden predecirse los valorse futuros de cualquier función de

Ejemplo

El proceso estocástico definido por

H��� � ��� �£¤� � ¥� Donde A, £¤ o ¥ pueden ser variables aleatorias�Función de Distribución

Definición

La función de distribución de primer orden del proceso X(t), se define como

�Q�L* �� � ��H��� M L� Función de Densidad

Definición

La función de densidad de primer orden del proceso X(t) es la derivada de la función de distribución respecto a x

��L* �� � N�Q�L* ��OL

Función de distribución de 2do Orden

Definición

La función de distribución de segundo orden del proceso H���, se define de la siguiente manera:

��L;* L=* �;* �=� � ��H��;� M L; � H��=� M L=� Función de densidad de 2do Orden

Definición

La función de densidad de segundo orden es la derivada parcial respecto a x1 y a x2 de la función de distribución ��L;* L=* �;* �=�

��L;* L=* �;* �=� � ¦=��L;* L=* �;* �=�¦L;¦L=

Estadística de un proceso estocástico

La media de un proceso estocástico corresponde a

En el caso real: �NH���O � rQ��� � [ L 7 ��L* ��L\A\

ACTIVIDAD 31

Encontrar E[X(t)] del proceso aleatorio

H��� � ��� �£¤� � ¥� Donde θ es una variable aleatoria uniformemente distribuida en [0,2π] y A,ωθ son constantes

��L* �� � "¥= ¥; �

"-h

�NH���O � rQ��� � _ L 7 ��L* ��L\A\

� _ "-h 7 ��� �£¤� � ¥�¤ �

�-h NN ��£b� � ¥�Ob=�O

=�b

� �-h � �£b� � -h�

�-h � �£b�� � #