Profesores: Nayelli Manzanarez Gómez A. Leonardo Bañuelos ...profesores.dcb.unam.mx/users/veronicahgc/CI/CI_T42.pdfTarea: Dibujar 3 curvas de nivel asociadas a la función indicada

Profesores: Nayelli Manzanarez Gómez A. Leonardo Bañuelos Saucedo

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TEMA IVDERIVACIÓN Y DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES

ESCALARES DE DOS O MÁS VARIABLES

INTRODUCCIÓN

Hasta ahora, sólo se han estudiado funciones de una variableindependiente , que también se conocen como función escalarde variable escalar, sin embargo, muchos problemas se plantean entérminos de funciones de dos o más variables, su notación es:

a estas funciones se les conoce también como función escalar de variablevectorial, ya que al tener dos componentes puede considerarse comovector, o bien como función escalar de varias variables o como campo

escalar y se define como para dos variables, paratres variables, etc.

Dominio y Rango

La forma más usual de escribir funciones de varias variables es medianteuna ecuación, el dominio de esa función es el conjunto de todos los puntosen que dicha ecuación tiene sentido, el dominio puede ser todo el planoo una porción del plano (Región), mientras que el recorrido es unconjunto de números reales que toma la función al respetar su dominio.

Ejemplo:

Encontrar el dominio y el recorrido de la función

Dominio

Recorrido

Figura 4.1. Dominio de la función en rojo.

Curvas de nivel

Definición:

Si una función de dos variables está dada por entonces lascurvas definida por , para una apropiada, se denominancurvas de nivel de . La palabra "nivel" surge de que puede interpretarsea como la proyección sobre el plano de la curva deintersección, o traza, de y el plano (horizontal o denivel).

CÁLCULO INTEGRAL Tema IV Pág. 2

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Figura 4.2. Curvas de nivel

Ejemplo: Dibujar algunas de las curvas de nivel asociadas a la funciónindicada:

a)

b)


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Las curvas de nivel se utilizan para representar una superficie en el plano,se utilizan especialmente en mapas.

Figura 4.3. Curvas de nivel en un mapa

Tarea:

Dibujar 3 curvas de nivel asociadas a la función indicada

a)

b)

c)

Límites y continuidad de funciones de dos variables independientes

Por definición, una región debe contener a sus puntos interiores, pero nonecesariamente a sus puntos frontera. Si una región contiene a todos suspuntos frontera, se dice que es cerrada, si no contiene a todos sus puntosfrontera entonces es abierta. Una región que contiene algunos de suspuntos frontera pero no todos, no es abierta ni cerrada.

Figura 4.4. Región

Límite para una función de dos variables

Definición

Sea una función de dos variables definida en todo punto delinterior de un circulo con centro , excepto posiblemente en .Entonces:

lo cual implica que para todo , existe un número tal que:


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siempre que .

Figura 4.5. Límites reiterados

En la práctica no es aplicable la definición ya que debe conocerse a paracomprobarla, como puede ser necesario calcular el límite de una funciónde dos variables existen dos métodos informales: Límites reiterados ylímites por trayectorias.

Límites reiterados

La notación es diferente a la ya conocida ya que el

significa que se puede acercar a "a" por la izquierda o por la derecha, sinembargo, en el plano hay una infinidad de maneras de tender a unpunto .

Para que exista se requiere que tienda al mismo

número por toda curva o trayectoria posible que pase por , demanera práctica, si no tiende al mismo número por dostrayectorias diferentes hacia entonces el límite NO EXISTE.

Figura 4.6. Límites reiterados

Ejemplo:

Calcular por límites reiterados el , si existe.


)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))N.M.G.

Ejemplo: Calcular por límites reiterados el , si existe.

Límites por trayectorias:

Se calcula el límite mediante trayectorias, pueden ser parábolas, rectas,etc. lo más sencillo es que pasen por rectas, si el límite no depende delparámetro, en este caso de la pendiente entonces el límite existe, deotra manera el límite no existe.

Figura 4.7. Límites por trayectorias

Ejemplo: Calcular por trayectorias, si existe.


)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))N.M.G.

Ejemplo:

Calcular por trayectorias el , si existe.

Tarea.

1.- Calcular, si existen, los siguientes límites, por límites reiterados:

a)

b)

2.- Calcular, si existen, los siguientes límites, por trayectorias:

a)

b)

Continuidad

Una función es continua en si:

1) está definida2) Si existe

3)

Por otro lado:

a) Una función es continua en una región R del plano si es continua en todo punto de R

b) La suma y producto de dos funciones continuas, son continuosc) El cociente de dos funciones continuas es continuo a excepción de

los puntos donde el denominador se hace cero.d) La gráfica de una función continua es una superficie sin quiebres

Ejemplo: Determinar si la función es continua en .


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Derivadas parciales

En cálculo de una variable, la interpretación geométrica de la derivada esla pendiente de la recta tangente a la curva en un punto:

Figura 4.8. Interpretación geométrica de la derivada

En cálculo de dos variables para obtener la interpretación de la derivaciónse realizan dos cortes a una superficie, el primer corte se realiza con unplano paralelo a para encontrar la curva de intersección ,

puesto que en toda la curva es constante, puede derivarse a respecto

a , manteniendo a constante.

Fig. 4.9. Corte a unasuperficie con unplano paralelo a y z.

Esta proporciona la pendiente de la recta tangente a la curva de

intersección cuando se evalúe en un punto , a esta pendiente

también se le conoce como pendiente en la dirección .

El segundo corte a la superficie, se realiza con un plano paralelo a .

Fig. 4.10. Corte a una superficie con un plano paralelo a x z

Para encontrar la curva de intersección debe mantenerse

constante, por lo que:


)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))N.M.G.

proporciona la pendiente de la recta tangente a la curva de

intersección cuando se evalúe en un punto , a esta pendiente

también se le conoce como pendiente en la dirección .

Este concepto se extiende a tres o más variables, si

En general, si depende de variables, habrán derivadas parciales.

Notaciones:

Las derivadas parciales y pueden representarse con otros

símbolos; si .

Notación de Jacobi:

,

,

Otras:,

,

Ejemplo:

Encontrar las pendientes de la rectas tangentes a las curvas de intersección

formadas entre la superficie dada por y

los planos paralelos a y en el punto .


)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))N.M.G.

Físicamente, las derivadas parciales, pueden interpretarse como razonesde cambio, así si

es la razón de cambio de al variar ,

es la razón de cambio de al variar ,

Similarmente para su primera derivada se interpreta como larazón de cambio de con respecto a , lo cual se estudió en cálculodiferencial.

Ejemplo:

La temperatura en cualquier punto de una placa está dada por:

donde se miden en metros. Calcular, en el punto el ritmo decambio de la temperatura con respecto a la distancia recorrida en la placa,en las direcciones y .

Plano tangente a la superficie

Para encontrar la ecuación del plano tangente a la superficie se necesita:

: Vector normal al plano

: Un punto

Se definen dos vectores tangentes a la superficie y contenido en el plano

Figura 4.11. Definición de dos vectores tangentes a la superficie ycontenidos en el plano.


)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))N.M.G.

Este vector significa que por cada unidad que se avanza en , en sube

o baja , no cambia pues permanece constante.

Se define además:

El cual indica que por cada unidad que se avance en , en sube o baja

, no cambia pues permanece constante.

y son perpendiculares, además

Por lo que

o bien, en la otra dirección

La ecuación del plano es:

donde el vector normal es y el punto

Al sustituir:

que es la ecuación del plano tangente a la superficie

La ecuación de la recta normal a la superficie en un punto proviene de:

Al sustituir:

O bien, en ecuaciones paramétricas:


)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))N.M.G.

Ejemplo:

Obtener una ecuación del plano tangente a la gráfica en

el punto así como la recta normal a la superficie en ese punto.

Derivadas parciales sucesivas

Dada una función sus parciales y también son

funciones, y por otro lado son susceptibles de volverse a derivar, dandolugar a las derivadas parciales sucesivas.

; Derivadas parciales de segundo orden

; Derivadas parciales mixtas de segundo

orden

; Derivadas parciales de tercer orden

Ejemplo: Evaluar de


)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))N.M.G.

Ejemplo:

Evaluar de

Teorema de derivadas parciales mixtas (Teorema de Schwarz)

Si es una función continua con derivadas continuas, entonces:

Es decir, si aparecen las mismas parciales, en el orden que sea, elresultado es el mismo.

Ejemplo:

Comprobar el teorema de Schwarz con


)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))N.M.G.

Función Diferenciable y Diferencial Total

Si una función es continua y con derivadas parciales y

continuas, entonces se define su diferencial total (o simplemente

diferencial) como:

Nota: La diferencialidad de implica su continuidad.

La diferencial tiene como una aplicación directa el cálculo aproximado deun incremento, esto es .

Ejemplo:

Calcular el incremento aproximado del volumen de un cilindro circularrecto si su altura aumenta de 10 cm a 10.5 cm y su radio aumenta de 5 a5.3 cm. ¿Cuál es el nuevo volumen aproximado?

Tarea:

Si la longitud, la anchura y la altura de una caja rectangular cerrada seincrementan en 2%, 5% y 8% respectivamente, cuál es el porcentajeaproximado de incremento en el volumen?

Función de función y regla de la cadena

Dada una función en donde y entonces depende de y su derivada está dada por:

cuando depende ya de una sola variable, entonces se llama

derivada total.

Ejemplo:

Obtener si ; ,


)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))N.M.G.

Ejemplo:

El radio de un cilindro circular recto está creciendo a razón de

y su altura decrece a razón de . ¿Cuál es el ritmo de cambio de su

volumen cuando el radio es de 12 pulgadas y la altura de 36 pulgadas?

Regla de la cadena: Dos variables independientes

Si y , entonces es función de y ,y las derivadas son:

Ejemplo:

Encontrar y mediante la regla de la cadena de:

,


)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))N.M.G.

Función Implícita

Una función puede darse en forma implícita, es decir, sindespejar a .

Por ejemplo si se tiene la ecuación , y se desea

encontrar o un procedimiento sería despejar a , sin embargo,

otro procedimiento sería derivar implícitamente.

Derivación implícita

Dado entonces:

Ejemplo:

Derivar

Derivación implícita en sistemas de ecuaciones

Supóngase el siguiente sistema:

...(1)

...(2)

donde , y se desea obtener

, , ,

para obtener esas parciales, lo primero que se nos ocurriría sería despejara y a , sin embargo, esto resulta complicado y no siempre puedendespejarse, por lo que se utiliza derivación implícita partiendo de 2funciones generales:


)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))N.M.G.

...(3)

...(4)

donde ,

Se aplica la regla de la cadena en (3) y (4) derivando en ambos lados dela ecuación:

...(5)

...(6)

...(7)

...(8)

Se tienen 4 ecuaciones con 4 incógnitas, (5) y (7) forman un sistema de

ecuaciones con dos incógnitas mientras que (6) y (8) forman

otro sistema con las incógnitas . Al resolver mediante la regla

de cramer:

, ...(9)

, ...(10)

Siempre que:

Los determinantes, son determinantes de matrices Jacobi y tiene unanotación especial


)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))N.M.G.

Por lo que (9) y (10) pueden expresarse como:

;

;

Siempre que:

El cual se denomina jacobiano del sistema.

Ejemplo:Sea el sistema de ecuaciones

obtener , , ,

Gradiente y derivada direccional

Figura 4.12. Derivada direccional


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De la fórmula de diferencial total

Dividiendo, entre la diferencial de la longitud de arco,

que se denomina derivada direccional

y se puede reescribir como:

Renombrando:

a se le denomina gradiente de

y a se le llama operador nabla u operador gradiente

Por otro lado, es un vector director y es unitario.

Finalmente

otra notación es

Ejemplo:

Dada la función obtener en la dirección

del vector en el punto .

Para encontrar


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donde es el ángulo entre y

pero si es unitario, entonces:

pero el máximo de la derivada direccional es cuando , por lotanto .

Así que:

y

Notas:

a) Si , entonces por lo que proporciona ladirección de máximo decremento.

b) Si , entonces por lo que y nosestaríamos moviendo sobre las curvas de nivel, es decir, no se sube ni sebaja.

Ejemplo:

Considerar la placa rectangular mostrada en la figura. La temperatura en

un punto de la placa está dada por .

Determinar la dirección en que un insecto debe ir, partiendo de paraque se enfríe lo más rápidamente posible.

El gradiente proporciona la dirección de máximo crecimiento.

La máxima derivada direccional en un punto tiene el valor (pendiente máxima).


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Bibliografía y Referencias:

Zill. Cálculo Diferencial e Integral

Smith. Cálculo Diferencial e Integral

http://isb.bizkaia.net/senderos/camino_4/irudiak/camino_4_Croquis.jpg

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