Propiedades que se preservan bajo Funciones

Confluentes

IV Taller de Continuos e Hiperespacios

Prof. W lodzimierz Charatonik1

wjcharat@mst.edu

Morelia, Michoacan, 5 a 16 de julio de 2010

1Version 24 de enero de 2012. Recopilado por Maria Elena Aguilera Miranda, Rodri-go Hernandez-Gutierrez, Paula Ivon Vidal Escobar. Agradecemos a Alejandro Illanesy Norberto Ordonez por su revision.

Primeras definiciones y descomponibilidad

Definicion 1. Sean X, Y espacios topologicos y f : X → Y una funcioncontinua. Diremos que f es confluente si para cada continuo K ⊂ Y y cadacomponente C de f←[K] se tiene que f [C] = K.

La definicion de funcion confluente es de J. J. Charatonik [3], 1964.

Observacion 2. Si f es una funcion confluente entre continuos, entonces f essuprayectiva.

Los ejemplos mas sencillos de funciones confluentes son las funciones monoto-nas.

Definicion 3. Una funcion f : X → Y es monotona si para cada continuoK ⊂ Y , f←[K] es conexo.

Observacion 4. Cada funcion monotona es confluente.

Ejemplo 5. Consideremos π : [0, 1]2 → [0, 1] la proyeccion del cuadrado sobrela primera coordenada. Notemos en el dibujo (ver Figura 1) que Y ⊂ [0, 1]2 esun continuo y π �Y : Y → I es suprayectiva pero no es confluente ya que laimagen de la componente C no es igual a K.

Y

C

D

K

[0,1]

[0,1]

2

Figura 1: Restriccion de confluente no necesariamente es confluente

Por lo tanto, hay que notar que la restriccion de una funcion confluente nonecesariamente es confluente. Sin embargo, lo es en casos especiales.

1

Lema 6. Si f : X → Y es confluente, K ⊂ Y es un continuo y A es union deuna coleccion de componentes de f←[K], entonces f �A: A → K es confluente.

Demostracion. Si L ⊂ K es un continuo y C es una componente de (f �A)←[L],por hipotesis obtenemos que C tambien es componente de f←[L].

Ahora estudiaremos algunas propiedades que se preservan bajo funcionesconfluentes entre continuos. Diremos que una propiedad P es un invarianteconfluente si cada vez que f : X → Y es una funcion continua y confluente en-tre continuos y X tiene la propiedad P , entonces Y tambien tiene la propiedadP .

Definicion 7. Sea X un continuo. Decimos que X es

descomponible si existen A,B ⊂ X continuos propios tales que X =A ∪B.

indescomponible si no es descomponible.

hereditariamente descomponible si cada continuo Y ⊂ X con mas deun punto es descomponible.

hereditariamente indescomponible si cada continuo Y ⊂ X es indes-componible.

Ejemplo 8. Para ver que ser descomponible no es invariante confluente, sea Kel arcoiris de Knaster y tomemosK∪J la union deK con un arco J por un puntop (ver Figura 2). Consideremos la funcion f : K ∪ J → K que manda K bajola identidad y f [J ] = {p}. Esta funcion es monotona, K ∪ J es descomponiblepero la imagen K es indescomponible.

Figura 2: Arcoiris de Knaster union un arco

Para ver que ser indescomponible no es invariante confluente, consideremosdos ejemplos.

2

Ejemplo 9. Para este ejemplo, daremos solo una descripcion geometrica: pode-mos acomodar el arcoiris de Knaster en R3 de tal manera que las vueltas vayantodas a una misma altura y proyectar todo a un arco (ver Figura 3).

Figura 3: Mandando el Knaster sobre un arco de forma confluente

Ejemplo 10. El segundo ejemplo es mandar el solenoide diadico S2 sobre lacircunferencia S1, como se muestra en la Figura 4, con una funcion f : S2 → S1.Cabe notar que si vemos a S2 como lımite inverso de circunferencias con la fun-cion z2, esta funcion corresponde a la proyeccion sobre la primera coordenada.Para ver que f es confluente, notemos que si J es un arco en S1, f←[J ] es ho-meomorfo al conjunto de Cantor multiplicado por un arco. Ademas cada unade las componentes de f←[J ] va a dar sobre J .

Figura 4: Solenoide diadico

Sucede que las dos propiedades restantes sı son invariantes confluentes.

3

Teorema 11. Si X y Y son continuos con X hereditariamente indescomponibley f : X → Y es confluente, entonces Y es hereditariamente indescomponible.

Demostracion. Supongamos que existen continuos P,Q ⊂ Y con P ∩ Q 6= ∅,P * Q, P * Q. Sean z ∈ P ∩ Q y b ∈ f←(z). Sea A (B) la componente def←[P ] (f←[Q], respectivamente) que contiene a b. Notemos que f [A] = P yf [B] = Q, esto implica que A * B y B * A pero A ∩ B 6= ∅. Por lo tanto, Xno es hereditariamente indescomponible.

Para la propiedad de descomponibilidad hereditaria necesitamos el Lema deKuratowski-Zorn para probar el siguiente resultado.

Lema 12. Si X es un continuo hereditariamente descomponible y Y es uncontinuo indescomponible, entonces no existen funciones continuas de X sobreY .

Demostracion. Supongamos que existe una funcion continua y suprayectiva f :X → Y . Consideremos el conjunto

Z = {A ⊂ X : A es un continuo y f [A] = Y },

el cual es no vacıo por hipotesis. Si C ⊂ Z es una cadena, sea C0 =⋂C que es un

continuo. Vamos a probar que f [C0] = Y , para esto, sea y ∈ Y . Para cada C ∈ C,sabemos que f←(y)∩C es un compacto no vacıo. La familia {f←(y)∩C : C ∈ C}tiene la propiedad de la interseccion finita ası que su interseccion es no vacıa,f←(y) ∩ C0 6= ∅. Por lo tanto, f [C0] = Y .

Por el lema de Kuratowski-Zorn, existe M ∈ Z minimal. Notemos que Mes indescomponible. De lo contrario, al escribir M = A ∪ B con A,B ⊂ Msubcontinuos propios, Y = f [M ] = f [A]∪ f [B]; por la minimalidad de M , f [A]y f [B] son subcontinuos propios, lo cual implica que Y es descomponible. Estacontradiccion completa la prueba.

Teorema 13. Si X es un continuo hereditariamente descomponible y f : X →Y es una funcion confluente, entonces Y es hereditariamente descomponible.

Demostracion. Si M ⊂ Y es un continuo indescomponible, sea C una compo-nente de f←[M ]. Por ser f confluente, f �C : C → M es suprayectiva. Entoncesf �C es una funcion del continuo hereditariamente descomponible C sobre elcontinuo indescomponible M . Esto contradice el Lema 12.

Tarea 1

1. Si f, g son confluentes entre continuos, su composicion f ◦ g es confluente.

2. Si f, g son continuas y g ◦ f es confluente, entonces g es confluente.

3. ¿Es la contractibilidad un invariante confluente?

4. ¿Es la no contractibilidad un invariante confluente?

4

5. ¿Es la propiedad dim ≤ 1 un invariante confluente?

6. SiX es un compacto 0-dimensional y f : X → Y es una funcion confluente,¿es Y tambien 0-dimensional?

λ-dendroides

Recordemos que un continuo X es hereditariamente unicoherente si paracualesquiera dos continuos A,B ⊂ X se tiene que A ∩B es un conexo.

Definicion 14. Un λ-dendroide es un continuo hereditariamente descomponibley hereditariamente unicoherente.

Los λ-dendroides se pueden caracterizar de la siguiente manera.

Lema 15. Un continuo X es un λ-dendroide si y solo si X es hereditariamentedescomponible y para cualesquiera dos puntos a, b ∈ X, existe un unico continuoJ ⊂ X que es irreducible entre a y b.

A continuacion presentamos algunas clases mas de λ-dendroides.

Definicion 16. Un dendroide es un λ-dendroide arcoconexo,

Una dendrita es un dendroide localmente conexo,

Una escoba es un dendroide con a lo mas un punto de ramificacion.

Figura 5: El continuo sin(1/x) es λ-dendroide pero el Cırculo de Varsovia no loes

Nuestro objetivo es probar que el pertenecer a cada una de estas clases decontinuos es un invariante confluente.

Observacion 17. Si consideramos la funcion confluente del solenoide a la cir-cunferencia del Ejemplo 4, notamos que la unicoherencia hereditaria no se pre-serva bajo funciones confluentes: el solenoide S2 es hereditarimente unicoherenteya que la interseccion de cualesquiera dos subcontinuos propios es un arco peroS1 claramente no lo es.

5

Figura 6: Escoba armonica y dendrita

Por lo tanto, a pesar que ya probamos que ser hereditariamente descom-ponible es invariante confluente (Teorema 13), no podremos probar que el serλ-dendroide es invariante confluente de manera tan sencilla. Sucede que el con-cepto de funcion esencial sobre la circunferencia juega un papel importante.

Recordemos que una funcion continua f : X → S1 es inesencial si existe unafuncion continua g : X → R que factoriza a f :

Rexp

��X

f//

g>>}}}}}}}}S1

es decir, f = exp ◦ g, donde exp : R → S1 es la funcion exponencial. En estecaso, decimos que g levanta a f . En caso contrario, decimos que f es esencial.

Lema 18. Si X es un λ-dendroide y f : X → S1 es confluente, entonces f esinesencial.

Demostracion. Supongamos que f es esencial. Por el Teorema 19.30 de [20],podemos tomar M ⊂ X mınimo con la propiedad de que f �M : M → S1 esesencial. Notemos que M no es degenerado. Al ser M descomponible, existencontinuos A y B tales que M = A ∪ B y A 6= M 6= B. Por minimalidad de M ,f �A y f �B son esenciales.

Sean pues, gA : A → R y gB : B → R continuas con f �A= exp ◦gA yf �B= exp ◦ gB . Como A∩B es conexo, existe una constante c ∈ R que cumpleque para todo x ∈ A ∩B, gA(x)− gB(x) = c.

Definimos entonces g : M → R por

g(x) =

{gA(x), si x ∈ A,

gB(x) + c, si x ∈ B.

De esta manera, tenemos que f �M= exp ◦g lo cual es una contradiccion aque esta era una funcion esencial. Por lo tanto, f es inesencial.

Lema 19. Sea X un λ-dendroide. Entonces no existe ninguna funcion con-fluente de X sobre S1.

6

Demostracion. Supongamos que existe una funcion confluente f : X → S1. Porel Lema 18, tenemos que f es inesencial ası que existe g : X → R tal quef = exp ◦ g. Sea J = g[X], el cual es un subintervalo compacto de R. Como fes suprayectiva por hipotesis, tenemos que exp[J ] = S1. Por el Problema 2 dela Tarea 1 obtenemos que exp�J : J → S1 es confluente. Pero claramente esto esimposible. Por lo tanto, se sigue el Lema.

Antes de seguir, vamos a recordar un teorema de Kuratowski. La demos-tracion de este resultado se encuentra en la seccion §48 de [10]. Es importanteaclarar que en [10] no se enuncia el teorema explıcitamente, pero se hace unestudio de los continuos irreducibles en el que implıcitamente se llega al mismoresultado.

Teorema de Kuratowski. Sea X un continuo irreducible entre dos puntos a, btal que cada subcontinuo indescomponible de X tiene interior vacıo. Entoncesexiste una funcion monotona m : X → [0, 1] tal que m(a) = 0, m(b) = 1 y esla mejor en el siguiente sentido: si f : X → [0, 1] es monotona con f(a) = 0 yf(b) = 1, entonces existe una funcion monotona g : [0, 1] → [0, 1] con f = g ◦m.

Teorema 20. Si X es un λ-dendroide y f : X → Y es confluente, entonces Yes un λ-dendroide.

Demostracion. Sabemos por el Teorema 13 que Y es hereditariamente descom-ponible. Supongamos que Y no es un λ-dendroide. Entonces se puede encontrarun continuo Z ⊂ Y y una funcion monotona y suprayectiva α : Z → S1. Laexistencia de este continuo Z no la probaremos en estas notas.

Sea C una componente de f←[Z]. Como f es confluente, por el Lema 6obtenemos que f �C : C → Z es confluente. Por lo tanto, la composicion α◦f �C :C → S1 es una funcion confluente y suprayectiva. Esto contradice el Lema 19 yaque C es un λ-dendroide. Por lo tanto, la suposicion de que Y no es λ-dendroidees falsa lo cual concluye la prueba.

Notemos que ser arcoconexo y localmente conexo son invariantes bajo fun-ciones continuas entre continuos. De esto, obtenemos lo siguiente.

Corolario 21. Ser dendroide y ser dendrita son invariantes confluentes.

El resultado correspondiente para escobas requiere de mas trabajo:

Teorema 22. Si X es una escoba y f : X → Y es confluente, entonces Y esuna escoba.

Demostracion. Sabemos por el Corolario 21 que Y es un dendroide. Supongamosque existen dos puntos de ramificacion r1 6= r2 de Y . Tomemos T = T1∪T2∪T3

un triodo simple con centro en r1 y S = S1 ∪ S2 ∪ S3 un triodo simple concentro en r2 de tal manera que T ∩ S = ∅. Sean aj ∈ f←(rj) para j = 1, 2.Para cada i ∈ {1, 2, 3}, sea Ci la componente de f←[Ti] tal que a1 ∈ Ci. Demanera analoga, para cada i ∈ {1, 2, 3}. sea Di la componente de f←[Si] tal quea2 ∈ Di. Vease Figura 7.

7

Figura 7: construyendo los triodos en X

Como f es confluente, existen puntos ci ∈ Ci, di ∈ Di (i ∈ {1, 2, 3}) talesque ci 6= a1 y di 6= a2. Al ser X un dendroide, podemos considerar arcos αi ⊂ Ci

de ci a a1 y βi ⊂ Di de di a a2 (i ∈ {1, 2, 3}). Entonces α1∪α2∪α3 y β1∪β2∪β3

son dos triodos simples ajenos en X. Esta contradiccion implica que Y tiene alo mas un punto de ramificacion.

Tarea 2

1. Encontrar una infinidad de invariantes confluentes.

2. Encontrar todas las imagenes confluentes del arco, la circunferencia, eltriodo y la Figura H.

3. ¿Es la propiedad “no contener triodos simples” un invariante confluente?

4. Un continuo Y es hereditariamente indescomponible si y solo si cada fun-cion continua de un continuo sobre Y es confluente.

5. ¿Es la propiedad “ser localmente conexo y contractil” un invariante con-fluente?

8

Continuos de Kelley

Empecemos dando una definicion equivalente de las funciones confluentesque en ocasiones simplifica las demostraciones.

Lema 23. Una funcion entre continuos f : X → Y es confluente si y slo sipara todo a ∈ X y todo continuo K ⊂ Y con f(a) ∈ K existe un conexo C ⊂ Xcon a ∈ C y f [C] = K.

La propiedad que ahora investigaremos sera la propiedad de Kelley.

Definicion 24. Un continuo X es de Kelley si para cada p ∈ X, cada K ⊂ Xcontinuo con p ∈ K y cada sucesion {pn : n ∈ N} con p = lım pn, existe unasucesion de continuos {Kn : n ∈ N} tal que pn ∈ Kn para cada n ∈ N yK = lımKn (con la metrica de Hausdorff).

Nuestro objetivo es probar que la propiedad de Kelley es un invarianteconfluente. Para esto, hay que considerar, dado un continuo X, la funcionαX : X → C(C(X)) definida por

αX(p) = {K ∈ C(X) : p ∈ K}.

Recordemos la definicion de lımites superior e inferior que nos serviran paraevaluar la continuidad de la funcion αX . Referimos al lector a [13, ??] paraver estos conceptos mas a fondo. Sea {An : n ∈ N} una sucesion de cerradoscontenidos en X. Definimos:

lım supAn = {x ∈ X : si U es vecindad de x, {n ∈ N : An ∩ U 6= ∅} es infinito},lım inf An = {x ∈ X : si U es vecindad de x, {n ∈ N : An ∩ U = ∅} es finito}.

Notemos que lım inf An ⊂ lım supAn y la igualdad se da si y solo si lasucesion {An : n ∈ N} converge con la metrica de Hausdorff a un cerrado A talque A = lım inf An = lım supAn. Sea f : X → C(Y ) una funcion donde X y Yson continuos. Decimos que f es:

semicontinua superiormente si cada vez que {xn : n ∈ N} es una sucesionen X tal que x = lımxn, entonces lım sup f(xn) ⊂ f(x),

semicontinua inferiormente si cada vez que {xn : n ∈ N} es una sucesionen X tal que x = lımxn, entonces f(x) ⊂ lım inf f(xn).

Notemos que f es continua si y solo si es semicontinua superiormente e inferior-mente.

Lema 25. La funcion αX siempre es semicontinua superiormente.

Demostracion. Sea {pn : n ∈ N} ⊂ X con p = lım pn. Si tomamos K ∈lım supαX(pn), usando la definicion del lımite superior podemos encontrar unasubsucesion creciente de naturales {k(n) : n ∈ N} ⊂ N y continuos Kn ⊂ Xcon Kn ∈ αX(pk(n)) tales que K = lımKn. Como pk(n) ∈ Kn para todo n ∈ N ,obtenemos que p ∈ K y ası, K ∈ αX(p). Esto prueba que lım supαX(pn) ⊂αX(p).

9

Vamos a ver que la continuidad de αX es equivalente a la propiedad deKelley. Para verlo en un dibujo (Figura 8), notemos que K /∈ lımαX(pn).

K

p p1

p2p

3p

4

Figura 8: la funcion αX no es continua

Proposicion 26. La funcion αX es continua si y solo si X es de Kelley.

Demostracion. Si αX es continua, es facil demostrar que X es de Kelley por ladefinicion. Por el Lema 25, es suficiente probar que si X es de Kelley, entoncesαX es semicontinua inferiormente. Sea {pn : n ∈ N} ⊂ X una sucesion conp = lım pn y K ∈ αX(p). Por la propiedad de Kelley, existen Kn ⊂ X continuoscon K = lımKn y pn ∈ Kn para toda n ∈ N. Entonces Kn ∈ αX(pn), ası queK ∈ lım inf αX(pn), esto prueba que αX(p) ⊂ lım inf αX(pn).

Observacion 27. Para un continuo de Hausdorff X se define que X es deKelley si y solo si αX es continua.

Lema 28. El diagrama

Xf //

αX

��

Y

αY

��C2(X)

C2(f)

// C2(Y )

conmuta si y solo si la funcion f es confluente

Demostracion. Queda incluida en la tarea de esta sesion.

Teorema 29. Si X es un continuo de Kelley y f : X → Y es una funcionconfluente, entonces Y es un continuo de Kelley.

10

Demostracion. Usamos el diagrama conmutativo del Lema 28:

Xf //

αX

��

Y

αY

��C2(X)

C2(f)

// C2(Y )

Por la proposicion 26, αX es continua ası que C2(f) ◦αX = αY ◦ f es continua.Como f es continua entre compactos, es una identificacion, por lo tanto, αY escontinua. La Proposicion 26 implica que Y es de Kelley.

Una clase importante de continuos de Kelley son los localmente conexos (verProblema 2 de la Tarea 3). Vamos a ver que los continuos homogeneos tambienson de Kelley. Para esto, hay que recordar el Teorema de Effros.

Teorema de Effros. [15, Teorema 4.2.31] Sea X un continuo homogeneo.Para cada sucesion {pn : n ∈ N} ⊂ X con p = lım pn, existe una sucesion dehomeomorfismos hn : X → X tales que hn(p) = pn y lımhn = idX (con lametrica del supremo).

Proposicion 30. Si X es un continuo homogeneo entonces X es un continuode Kelley.

Demostracion. Sean K ⊂ X un continuo y {pn : n ∈ N} una sucesion conlım pn = p ∈ K. Consideremos {hn : n ∈ N} los homeomorfismos del Teoremade Effros para la sucesiıon {pn : n ∈ N}. Definimos Kn = hn[K], de aquı es facilver que lımKn = K.

Observacion 31. El teorema de Effros no es cierto en el caso no metrico.En particular, W. J. Charatonik dio un ejemplo de un continuo de Hausdorffhomogeneo que no es de Kelley ([5]).

Otro ejemplo de continuos de Kelley son los hereditariamente indescompo-nibles.

Proposicion 32. Si X es un continuo hereditariamente indescomponible, en-tonces X es de Kelley.

Demostracion. Sean K ⊂ X un continuo y {pn : n ∈ N} una sucesion conlım pn = p ∈ K. Consideremos una funcion de Whitney µ : C(X) → [0, 1].Definimos Kn como el unico continuo con pn ∈ Kn y µ(Kn) = µ(K). Es facilprobar que K = lımKn.

Tarea 3

1. Probar el Lema 28.

2. Si X es un continuo localmente conexo, entonces es de Kelley.

3. ¿Es de Kelley el dendroide de la Figura 9?

11

Figura 9: Problema 3 de la Tarea 3

Factorizacion y Suavidad

La motivacion original de la definicion de funcion confluente se debe al si-guiente resultado de Whyburn.

Teorema 33. [21, Theorem 7.5, p. 148] Cada funcion abierta y suprayectivaentre compactos es confluente.

Para probar el Teorema 33, hay que hacer las siguientes dos observaciones.

Observacion 34. Si f : X → Y es una funcion suprayectiva y abierta, entoncesf �f←[K] es abierta para todo subconjunto K de Y .

Demostracion. Sea K un subconjunto de Y y hagamos M = f←[K]. Sea Uabierto en M . Sabemos que existe un abierto V en X tal que U = M ∩ V .Notemos que f [U ] = K ∩ f [V ]. Como f es abierta, tenemos que f [V ] es unabierto. Por tanto f [U ] es abierto en K.

Observacion 35. Si X es compacto, Y es un continuo y f : X → Y es unafuncion abierta, entonces f �C : C → Y es suprayectiva para toda componenteC de X.

Demostracion. Sea C una componente de X. Recordemos que en un compactolas componentes coinciden con las casi componentes. Fijemos un abierto y cerra-do U en X tal que C ⊂ U . Como X es compacto tenemos que f es cerrada. Porhipotesis tenemos que f es abierta. Por tanto f [U ] es abierto y cerrado en Y .Como Y es conexo tenemos que f [U ] = Y . Veamos ahora que f [C] = Y . Paracada y ∈ Y , {U ∩ f←(y) : C ⊂ U es abierto y cerrado} tiene la propiedad de lainterseccion finita, ası que su interseccion C∩f←(y) es no vacıa. Ası concluimosque f [C] = Y .

Demostracion del Teorema 33. Sea f : X → Y una funcion abierta y su-prayectiva. Sea K ∈ C(Y ). Sabemos que f �f←[K] es abierta por la Observacion34. Sea C una componente de f←[K], entonces f [C] = K por la Observacion35.

12

Ahora vamos a probar un resultado que habla de la factorizacion de funcionescontinuas. Necesitaremos el llamado Teorema de Factorizacion Monotona-Ligera(Teorema 36) y un resultado mas (Teorema 37) que nos ayudara a relacionar laconfluencia.

Teorema 36. [7, 6.2.22, p. 367] Si X, Y son compactos y f : X → Y es unafuncion continua y suprayectiva, entonces existe un compacto Z y funcionesm : X → Z y ` : Z → Y tal que ` es ligera, m es monotona y f = ` ◦m.

Demostracion. Sea Z = {C : C es componente de f←(y) para algun y ∈ Y }con la topologıa cociente, definimos a m(x) como la componente de f←[f(x)]que tiene a x y `(C) = y si C es componente de f←(y). Detalles de la pruebade pueden consultar en [19, 13.3, p, 279].

Teorema 37. Sean X y Y continuos con Y localmente conexo. Si f : X → Yes confluente y ligera, entonces f es abierta.

Demostracion. Sea U abierto de X y sea p ∈ U . Probaremos que f(p) ∈intY (f [U ]). Como Y es localmente conexo sabemos que existe una sucesionde continuos {Vn : n ∈ N} tal que f(p) ∈ intX(Vn), Vn+1 ⊂ Vn para todo n ∈ Ny⋂∞

n=1 Vn = {f(p)}.Sea Cn la componente de f←[Vn] que contiene a p. Tenemos que Cn+1 ⊂ Cn

y por tanto⋂∞

n=1 Cn es un continuo que contiene a p. Como f es confluen-te tenemos que f [Cn] = Vn para todo n ∈ N. Entonces tenemos lo siguiente:f [⋂∞

n=1 Cn] ⊂⋂∞

n=1 f [Cn] =⋂∞

n=1 Vn = {f(p)}. Como f [⋂∞

n=1 Cn] 6= ∅ tenemosque f [

⋂∞n=1 Cn] = {f(p)}. Entonces f [

⋂∞n=1 Cn] es un continuo que esta conte-

nido en f←(f(p)). Como f es una funcion ligera, tenemos que⋂∞

n=1 Cn = {p}.Notemos que existe m ∈ N tal que Cm ⊂ U . Por tanto f(p) ∈ intY (Vm) ⊂

Vm = f [Cm] ⊂ f [U ], lo cual nos dice que f(p) ∈ intY (f [U ]). Con esto concluimosque f [U ] es abierto.

Con los Teoremas 36 y 37 y el Ejercicio 2 de la Tarea 1 obtenemos lo siguiente.

Corolario 38. Sean X y Y continuos tales que Y es localmente conexo. Si f :X → Y es una funcion confluente, entonces existen un continuo Z y funcionescontinuas m : X → Z y ` : Z → Y tales que ` es ligera y abierta, m es monotonay f = ` ◦m.

Ahora vamos a considerar una definicion de dendroides especiales.

Definicion 39. Un dendroide X se llama suave si existe p ∈ X tal que paratoda sucesion {xn : n ∈ N} que converge a x se tiene que la sucesion de arcos{pxn : n ∈ N} converge al arco px.

Se saben los siguientes resultados sobre dendroides suaves:

Teorema 40. (Mackowiak, [16]) Ser dendroide suave es un invariante con-fluente.

Un esbozo de la demostracion de este resultado se vera en la pagina 33.

13

Figura 10: Ejemplo de una escoba que no es suave.

Teorema 41. (S. T. Czuba, [6]) Todo dendroide de Kelley es suave.

Recordemos que la escoba de Cantor es un espacio homeomorfo al cono sobreel conjunto de Cantor: si C es el conjunto de Cantor, la escoba de Cantor esel cociente de C × [0, 1] identificando todos los puntos de la forma (x, 0) dondex ∈ C. Ahora nos gustarıa enfocarnos en el problema de encontrar la imagenesconfluentes de la escoba de Cantor. Recordemos que si X es un dendroide,denotamos por E(X) al conjunto de sus puntos que son extremos de todo arcoque los contienen (se les llaman “puntos extremos en el sentido clasico”).

Teorema 42. Sea Y un continuo. Son equivalentes:

(a) Y es imagen confluente de la escoba de Cantor,

(b) Y es una escoba de Kelley,

(c) Y es una escoba tal que E(Y ) ∪ {vY } es cerrado, donde vY es el unicopunto de ramificacion de Y .

Demostracion. (a) ⇒ (b) Sabemos que la escoba de Cantor es de Kelley y quelas imagenes confluentes de continuos de Kelley son de Kelley (Teorema 29).

(b) ⇒ (c) Supongamos que E(Y ) ∪ {vY } no es cerrado. Entonces Y contieneuna escoba como la de la Figura 11. De esto, se puede demostrar que Y no esde Kelley.

(c) ⇒ (a) Vamos a considerar dos casos. En ambos casos, encajaremos la escobaY en la escoba de Cantor F y retraeremos F a Y . Sean vF y vY los unicospuntos de ramificacion de F y Y , respectivamente. Recordemos que E(F ) es elconjunto de Cantor.

14

Figura 11: Prueba de (b) ⇒ (c), Teorema 42.

Caso 1. El conjunto E(Y ) es cerrado.

Tenemos que dimE(Y ) = 0. Sabemos que todo espacio metrico compactode dimension cero se puede encajar en el conjunto de Cantor ([8, 1.3.15, p.20]). Entonces existe un encaje g : E(Y ) → E(F ), el cual podemos extenderlinealmente.

Esto se puede hacer de la siguiente forma. Consideramos el conjunto dearcos H = {vY e : e ∈ E(Y )} el cual es cerrado en 2Y por la suavidad de Y(Teorema 41) y el hecho de que E(Y ) es cerrado. Por el Teorema de Extensionde funciones de Whitney ([13, 23.3]), existe una funcion de Whitney µ : 2Y →[0, 1] tal que µ �H es la funcion constante 1. Definimos g : Y → F tal que siy ∈ Y es el punto del arco vY e, para e ∈ E(Y ), tal que µ(vY y) = t, entoncesg(y) = t · g(e) + (1− t) · vF . De esta manera, hemos encajado Y en F .

Sabemos que existe una retraccion r : E(F ) → g(E(Y )) ([8, 1.3.C, p. 22]).Extendiendo linealmente definimos R : F → Y . Se puede verificar que R tam-bien es retraccion y que es confluente.

Caso 2. E(Y ) no es cerrado.

En este caso el conjunto E(Y ) se puede expresar como⋃∞

n=1 An, donde An

es cerrado para todo n ∈ N y la sucesion de diametros (diam(An))∞n=1 converge

a cero. Entonces el procedimiento anterior se puede aplicar a cada conjuntoAn de manera que el diametro de los abanicos converja a cero. Identificando elvertice de todos los abanicos en un solo punto (como en la Figura 12) se obtieneel resultado requerido.

15

F

F

F

1

2

3

Figura 12: Caso 2 de la prueba de (c) ⇒ (a), Teorema 42.

Tarea 4

1. Encontrar una funcion confluente y ligera que no sea abierta.

2. ¿Cuantas imagenes confluentes de la escoba de Cantor hay?

3. Los dendroides suaves son contractiles.

4. Los dendroides suaves son selectibles (con selecciones en C(X)).

5. Dar un ejemplo de una escoba contractil pero no suave.

6. Dar un ejemplo de una escoba selectible pero no suave.

7. Sea f : T → X confluente donde X es un continuo y T es un arbol. ¿Es fhereditariamente confluente?

La escoba de Lelek

Vamos a construir un ejemplo especıfico de escoba que resulta que todassus imagenes confluentes son homeomorfas a ella. Esta escoba se conoce comoescoba de Lelek.

Empezamos escogiendo un conjunto denso y numerable D = {dn : n ∈N} ⊂ [0, 1]. Por ejemplo, podemos tomar el conjunto de los racionales diadicos{0, 1, 1

2 ,14 ,

34 , . . .}. Sea C ⊂ [0, 1] × {0} el conjunto de Cantor canonico en el

plano, F la escoba de Cantor tomada como el subconjunto del plano con puntode ramificacion v = ( 12 , 1) tal que E(F ) = C y los arcos de v a un punto de Csean convexos. Vease la Figura 13.

Hacemos nuestra construccion en una cantidad numerable de pasos. Descri-bamos el primer paso. Empezamos partiendo el conjunto de Cantor C en unacoleccion de conjuntos de Cantor {Cn : n ∈ N} que convergen al (0, 0), tomando

16

Figura 13: Construccion de la Escoba de Lelek I

intervalos abierto-cerrados. Despues de esto, sobre cada intervalo Cn, cortamosel abanico a altura dn y removemos la parte de abajo. De esta manera, sobre elintervalo Cn obtenemos En, una pequea copia (de tamano 1− dn) del abanicode Cantor. Finalmente, dejamos sin modificar el segmento lımite del punto 0 av. Llamemos F1 a este primer paso en la construccion de la escoba de Lelek.Entonces podemos escribir

F1 = (0, 0)v ∪ (⋃n∈N

E(n)),

donde E(n) ≈ F y su diametro es 1− dn. Vease la Figura 14.

Figura 14: Construccion de la Escoba de Lelek II

En el segundo paso, repetimos la construccion del primer paso en cada unade las escobas E(n), sin modificar el segmento (0, 0)v, para obtener un continuoF2. Por lo tanto

F2 = (0, 0)v ∪ (⋃n∈N

F (1, n))

17

donde F1 ≈ F (1, n) ⊂ E(n). Vease la Figura 15.

Figura 15: Construccion de la Escoba de Lelek III

Repitiendo este proceso una cantidad numerable de veces obtenemos unasucesion decreciente de escobas

F1 ⊃ F2 ⊃ F3 ⊃ . . . Fn ⊃ Fn+1 . . .

La escoba de Lelek se define como L =⋂

n∈N Fn.

Teorema 43. La escoba de Lelek L tiene las siguientes propiedades.

(a) E(L) es denso en L,

(b) E(L) tiene componentes degeneradas,

(c) E(L) ∪ {v} es conexo,

(d) dimE(L) = 1.

Demostracion. Las condicion (a) se puede verificar por el hecho de que D esdenso. La condicion (b) es inmediata porque cualesquiera dos elementos de E(L)estan en patas distintas de la escoba.

Para probar (c), empezamos considerando dos funciones ρ : L− {v} → C yh : L → [0, 1]. La funcion ρ es la proyeccion radial desde el vertice v sobre elconjunto de Cantor C ⊂ [0, 1] × {0}, esta es continua en todo su dominio. Lafuncion h es la segunda proyeccion sobre el eje vertical (podemos pensar que hdesigna la altura de cada punto en la escoba). Por conveniencia, denotaremospor d a la distancia del plano.

Vamos a demostrar que si U es un abierto no vacıo en L y v /∈ clL(U),entonces Fr(U)∩E(L) 6= ∅. Para esto, definiremos inductivamente una sucesionde abierto-cerrados (Ui)i∈N de C y puntos ei ∈ ρ←[Ui]∩U de la siguiente manera.

Por construccion, podemos encontrar un abierto-cerrado U1 del conjunto deCantor tal queH1 = ρ←[U1]∪{v} es una copia de L y tal que si e1 es el punto conmenor altura de H1, entonces e1 ∈ U . Dicho de otra manera, e1 ∈ E(H1) es talque h(e1) = mınh[H1] y a la vez es la imagen del (0, 0) bajo el homeomorfismo

18

canonico L → H1. Tambien, por la densidad de D, podemos escoger e1 y U1 talque d(e1, L − U) < 1. Vease la Figura 16. Ademas escogemos U1 de tal formaque su diametro sea menor que 1.

(0,0)

U_1

UH_1

V

<1

L

e_1

Figura 16: Prueba de que E(L) ∪ {v} es conexo, primer paso

Para el paso de induccion supongamos que ya tenemos definidos la sucesionestrictamente decreciente de abierto-cerrados U1 ) U2 ) . . . ) Un y los puntose1, e2 . . . , en de la siguiente manera. Para i ≤ n, cada Hi = ρ←(Ui)∪{v} es unacopia de L y ei es el punto de menor altura de Hi. Podemos pensar que ei esla imagen de ei−1 (o de (0, 0) cuando i = 1) bajo el homeomorfismo canonicoHi−1 → Hi y que d(ei, L−U) < 1/i. Naturalmente ei ∈ E(Hi) por ser el puntode menor altura. Tambien supongamos que Ui tiene diametro menor que 1/i.

De nuevo, usando la construccion de L, podemos escoger un abierto-cerradopropio Un+1 ( Un de diametro menor que 1/(n + 1) de tal forma que Hn+1 =ρ←(Un+1) ∪ {v} sea una pequena copia de L tal que en+1 ∈ E(Hn+1) sea elpunto de menor altura (h(en+1) = mınh(Hn+1)), en+1 sea la imagen de en bajoel homeomorfismo natural Hn → Hn+1 y d(en+1, L− U) < 1/(n+ 1). Vease laFigura 17.

Sabemos que lım ei existe por la siguiente razon. Por una parte, (ρ(ei))i∈Nes una sucesion de Cauchy porque los diametros de los abiertos Ui tienden a 0.Ademas, por la eleccion de los abiertos Ui, la sucesion (h(ei))i∈N es estrictamentecreciente. De esto y de la compacidad de L se puede ver que el lımite existe. Seae = lım ei.

Naturalmente e ∈ L y como d(en, L−U) < 1/n para cada n ∈ N, e ∈ Fr(U).

19

v

H_{n+1}

H_n

U_{n+1}

<1/(n+1)

U

e_n

e_{n+1}

Figura 17: Prueba de que E(L) ∪ {v} es conexo, paso inductivo

Solo falta demostrar que e ∈ E(L). Para esto, hay que considerar las copiasanidadas de L que llamamos Hn y las propiedades que definıan a en. Notemosque tomamos estos conjuntos tales que si x ∈ Hn, entonces h(en) ≤ h(x). Seay ∈ L cualquier otro punto que se encuentre en la misma pata que e. Entoncesy ∈ Hn para cada n ∈ N por lo que h(en) ≤ h(x). Por continuidad, h(e) ≤ h(y).Esto significa que cualquier otro elemento que esta en la pata de e tiene queestar mas arriba de el. Es decir, e es el extremo inferior de esta pata, por lo quee ∈ E(L). Esto completa la demostracion de (c).

Notemos que (c) implica (d). Recordemos que L es de dimension ≤ 1 yaque es denso en ninguna parte como subconjunto del plano ([8, 1.8.11, p. 60]).Por (c), obtenemos que la dimension de E(L)∪ {v} es diferente de 0, ası que esexactamente igual a 1 (al ser subconjunto de L). Por [8, 1.3.35, p. 17], obtenemos(d).

Un resultado importante sobre la escoba de Lelek es que la podemos carac-terizar con una propiedad muy sencilla.

Teorema 44 (W. J. Charatonik, [4]; W. D. Bula y L. G. Oversteegen, [2]). SiX es una escoba suave tal que E(X) es denso, entonces X es homeomorfa a L.

Usando la caracterizacion anterior, podemos probar un resultado relacionadocon la confluencia.

Teorema 45. Si X es un continuo no degenerado y f : L → X es una funcionconfluente, entonces X es homeomorfo a L.

20

Demostracion. Por los Teoremas 22 y 40, sabemos que X es una escoba suave.Por el Teorema 44, basta con probar que E(X) es denso. Notemos que comoE(L) es denso, tambien f(E(L)) es denso. Vamos a ver que f(E(L)) ⊂ E(X)∪{vX} lo cual implica que E(X) es denso.

Sea e ∈ E(L), supongamos que f(e) va a dar al interior de un arco A comoen la Figura 15. Sea K ⊂ A un arco tal que f(v) /∈ K. La componente C def←[K] que tiene a e es un continuo que no contiene a v, por lo que tiene queser un arco contenido en la pata de L definida por e. Por el Lema 6, la funcionf �C : C → K es confluente. Con el hecho de que e es un extremo de C y f(e)es un punto interior de K, es facil obtener una contradiccion.

v A

e

f(e)K

C

Figura 18: Si f(e) /∈ E(Y ) ∪ {vY } obtenemos una contradiccion.

Otra propiedad interesante de la escoba de Lelek es la siguiente.

Teorema 46. El conjunto E(L) es un Gδ denso de L. Por lo tanto, E(L) escompletamente metrizable y de la segunda categorıa de Baire.

Demostracion. La densidad se debe al inciso (a) del Teorema 43. Para cadan ∈ N, sea gn : R2 → R2 dada por gn(x) = (1 − 1/n)(x − v) + v. DefinimosLn = gn(L), de tal forma que se cumplen las siguientes propiedades:

Ln ⊂ Lm ⊂ L, si n < m,

Ln es homeomorfo a L,

v ∈ Ln,

Ln ∩ E(L) = ∅,

para cada x ∈ L, |x− gn(x)| < 1/n.

Con esto, notamos que E(L) =⋂

n∈N (L− Ln), con lo que obtenemos elresultado.

21

Ahora consideremos la siguiente afirmacion

(∗) El continuo X es tal que cada imagen confluente de X es homeo-morfa a X.

Es un problema abierto clasificar a los continuos que cumplen (∗). En lossiguientes resultados se encuentra lo que se sabe del problema actualmente.

Proposicion 47. Sea X un continuo localmente conexo. Entonces X tiene lapropiedad (∗) si y solo sı X es un arco.

Demostracion. Sea d una metrica convexa para X (ver [13, 10, p. 80]) tal quediam(X) = 1 = d(a, b) para algunos a, b ∈ X. Definimos f : X → [0, 1] comof(x) = d(x, a)− d(x, b), la cual es confluente. De aquı se sigue una direccion dela implicacion, la otra es por el Ejercicio 2 de la Tarea 2.

Proposicion 48. Si X es una escoba suave que cumple la propiedad (∗), en-tonces X es el arco o la escoba de Lelek.

Demostracion. Ejercicio 2 de la Tarea 5.

No se sabe si el pseudoarco cumple (∗), pero si se sabe que es la unicaposibilidad para un continuo indescomponible que cumpla esta propiedad.

Proposicion 49. Si X es un continuo hereditariamente indescomponible quecumple (∗), entonces X es el pseudoarco.

Demostracion. El resultado principal de [1] dice que todo continuo hereditaria-mente indescomponible admite una funcion sobre el pseudoarco, que debe serconfluente por el Ejercicio 4 de la Tarea 2.

Tarea 5

1. Demostrar que la funcion f de la prueba de la Proposicion 47 es confluente.

2. Probar la Proposicion 48.

3. Encontrar un continuo X que no es de Kelley pero que sı es de Kelleylocalmente, es decir, existe ε > 0 tal que para todo p ∈ X, para todocontinuo K ⊂ X con p ∈ K y diam(K) < ε y para toda sucesion (pn)n∈Ntal que p = lım pn, existen continuos {Kn : n ∈ N} con pn ∈ Kn yK = lımKn.

4. Encontrar 4 continuos que tengan unicamente dos imagenes confluentes.

22

Lımites inversos, productos e hiperespacios

El objetivo de esta seccion es ver como se comportan las funciones confluentescon respecto a las operaciones topologicas como productos, lımites inversos ohiperespacios.

Empecemos con lımites inversos. Recordemos que (Xi, fi)i∈N es un sistemainverso de espacios si para cada i ∈ N, fi : Xi+1 → Xi es una funcion continua.El lımite inverso de tal sistema es el espacio

X = lım←

(Xi, fi)i∈N ={x ∈

∏i∈N

Xi : para cada i ∈ N, f(xi+1) = xi

}.

Se sabe que un lımite inverso de compactos (continuos) no vacıos es un compac-to (continuo, respectivamente) no vacıo. Dado otro sistema inverso (Yi, gi)i∈Ncon lımite inverso Y , supongamos que para cada i ∈ N, tenemos una funcioncontinua hi : Xi → Yi tal que hi ◦ fi = gi ◦ hi+1. En este caso, diremos que lasfunciones hi son compatibles con los sistemas inversos. Entonces tenemos unasituacion de diagramas conmutativos como la siguiente.

X1

h1

��

X2f1oo

h2

��

X3f2oo

h3

��

· · · Xn

hn

��

Xn+1fnoo

hn+1

��

· · · X

h

��Y1 Y2g1

oo Y3g2oo · · · Yn Yn+1gn

oo · · · Y

Es decir, podemos encontrar una funcion inducida h : X → Y definida por(h(x))i = hi(xi). Esta funcion es continua y cumple que hi ◦ πi = ρi ◦ h, dondeπi : X → Xi y ρi : Y → Yi son las respectivas proyecciones. En terminos dediagramas, el siguiente diagrama conmuta para cada i ∈ N.

Xi

hi

��

Xπioo

h

��Yi Yρi

oo

Teorema 50. Sean (Xi, fi)i∈N y (Yi, gi)i∈N sistemas inversos de espacios conlımites X, Y respectivamente. Supongamos que tenemos una sucesion de funcio-nes confluentes hi : Xi → Yi compatibles con las sucesiones inversas. Entoncesla funcion inducida h : X → Y a los lımites inversos es tambien confluente.

Demostracion. Sea Q ⊂ Y un continuo y definimos Qi = ρi[Q] para cada i ∈ N,que es un continuo contenido en Yi. Fijamos p = (p1, p2, . . .) ∈ X con h(p) ∈ Q.Para cada i ∈ N, sea Ci la componente de h←i [Qi] que contiene a pi. Notemosque para cada i ∈ N se tiene que fi[Ci+1] ⊂ Ci, ası que podemos definir

C = lım←

(Ci, fi �Ci+1)i∈N,

23

que es un continuo. Notemos que la funcion inducida por la sucesion de funcioneshi �Ci : Ci → Qi es precisamente h �C : C → Q. Usando que cada hi �Ci : Ci → Qi

es suprayectiva, por [19, 2.22(d), p. 27] o [15, 2.1.48, p. 88], obtenemos queh[C] = Q. Como p ∈ C, esto completa la prueba.

Viendo el Teorema 50, podrıamos preguntarnos que otros resultados hay deeste estilo para otro tipo de funciones.

Definicion 51. Una funcion continua f : X → Y es debilmente confluente sipara cada continuo K ⊂ Y , existe una componente C ⊂ X tal que f [C] = K.

En el siguiente diagrama, damos un resumen de las relaciones de varios tiposde funciones que hemos estudiado en estas notas:

monotonas

$,PPPPPPPPPPP

PPPPPPPPPPP

homeomorfismos

19lllllllllllll

lllllllllllll

%-RRRRRRRRRRRRR

RRRRRRRRRRRRR confluentes +3 debilmente confluentes

abiertas

2:nnnnnnnnnnn

nnnnnnnnnnn

Con respecto a los homeomorfismos y las funciones monotonas tenemos elsiguiente resultado.

Teorema 52. Sean (Xi, fi)i∈N y (Yi, gi)i∈N sistemas inversos de continuos conlımites X, Y respectivamente. Supongamos que tenemos una sucesion de funcio-nes monotonas (homeomorfismos) hi : Xi → Yi compatibles con las sucesionesinversas. Entonces la funcion inducida h : X → Y a los lımites inversos estambien monotona (homeomorfismo, respectivamente).

Demostracion. Ver [19, 2.22, p. 27] o [15, 2.1.49, p. 88] para la parte de homeo-morfismos. Para el caso de las monotonas, basta con demostrar que si y ∈ Y , en-tonces h←(y) = lım← (h←i (yi), fi �h←i+1(yi+1))i∈N, donde y = (y1, y2, . . . , yi, . . .).

Usando [19, 2.6, p. 20] o [15, 2.1.20, p. 78], es facil completar la prueba.

El siguiente ejemplo muestra que ser una funcion abierta no se preserva bajolımites inversos.

Ejemplo 53. La Figura 19 muestra un ejemplo en el que cada funcion hn esabierta: la funcion hn es simplemente mandar el segmento horizontal al primersegmento vertical de izquierda a derecha, estirando y doblando. Por lo tanto hn

es una funcion abierta. Sin embargo, el lımite h no es una funcion abierta porquemanda el segmento horizontal, que tiene interior no vacıo a la barra lımite dela escoba, que tiene interior vacıo.

Finalmente, para funciones debilmente confluentes se tiene lo siguiente:

24

Figura 19: Lımite inverso de funciones abiertas no necesariamente es abierta

Teorema 54. Sean (Xi, fi)i∈N y (Yi, gi)i∈N sistemas inversos de continuos conlımites X, Y respectivamente. Supongamos que tenemos una sucesion de funcio-nes debilmente confluentes hi : Xi → Yi compatibles con las sucesiones inversas.Entonces la funcion inducida h : X → Y a los lımites inversos es tambien debil-mente confluente.

Demostracion. Sean Q ⊂ Y un continuo y Qi = ρi[Q] para cada i ∈ N. Consi-deramos Pi el conjunto de todos los subcontinuos P ⊂ Xi tales que hi[P ] = Qi.Por ser hi hereditariamente confluente, Pi 6= ∅. Es facil ver que cada Pi es uncompacto. Si C(fi) : C(Xi+1) → C(Xi) denota la funcion inducida en los hi-perespacios, notemos que C(fi)(Pi+1) ⊂ Pi. Por lo tanto, podemos tomar lasiguiente sucesion inversa.

P1 P2

C(f1)�P2oo P3

C(f2)�P3oo · · · Pn Pn+1

C(fn)�Pn+1oo · · ·

Llamando P al lımite de esta sucesion, notemos que P 6= ∅ y si P ∈ P,entonces h[P ] = Q.

Ahora pasemos a productos e hiperespacios. Sucede que el producto de fun-ciones confluentes no necesariamente es confluente. Tambien pasa que la funcioninducida de una funcion confluente (al hiperespacio de subcontinuos) no nece-sariamente es confluente. Este es un ejemplo de Hosokawa que describimos acontinuacion.

Teorema 55. (H. Hosokawa, [9]) Existe una funcion entre continuos f : X →Y tal que f × id[0,1] y C(f) no son debilmente confluentes.

Demostracion. Sea X como en la Figura 20. Es decir, tenemos una circunferen-cia S1 con dos puntos antipodales a, b ∈ S1 fijos, llamemos S1 y S2 a los dossubarcos de S1 que tienen como extremos a, b. Sean A, B dos rayos que conver-gen a S1, S2, respectivamente, de la misma manera que el continuo sen (1/x).

25

Ası, X = S1 ∪ A ∪ B. El continuo Y se obtiene al identificar en X los puntosantipodales de S1. La funcion f : X → Y es la funcion antipodal en S1 union laidentidad en X − S1. Se puede verificar facilmente que f es confluente.

Figura 20: Ejemplo de Hosokawa, I

Primero veremos que f× id[0,1] no es confluente. Sea {pi : i ∈ N} ⊂ A tal quecada pi+1 esta entre pi y pi+2, {p2i−1 : i ∈ N} converge al punto a y {p2i : i ∈ N}converge al punto b. Tambien podemos encontrar puntos {qi : i ∈ N} ⊂ B, talesque qi+1 esta entre qi y qi+2 para cada i ∈ N, {q2i−1 : i ∈ N} converge al puntoa y {q2i : i ∈ N} converge al punto b, vease la Figura 20.

Ahora observemos la Figura 21. Consideramos un arco P de (a, 0) a (b, 1)en S1 × [0, 1] que se proyecte sobre S1 (la mitad izquierda) bajo la primeraproyeccion y un arco Q de (a, 1) a (b, 0) en S1 × [0, 1] que se proyecte sobreS2 (la mitas derecha) bajo la primera proyeccion. Para cada n ∈ N, podemostambien encontrar arcos Pn, Qn, que se proyecten sobre los arcos pnpn+1 ⊂ Ay qnqn+1 ⊂ B respectivamente y tales que

si n es impar, Pn va de (pn, 1) a (pn+1, 0),

si n es par, Pn va de (pn, 0) a (pn+1, 1),

si n es impar, Qn va de (qn, 1) a (qn+1, 0),

si n es par, Qn va de (qn, 0) a (qn+1, 1).

De esta manera,⋃

n∈N Pn es un rayo que converge a P y⋃

n∈N Qn es unrayo que converge a Q (vease Figura 22). Sea K1 = P ∪ (

⋃n∈N Pn) y K2 =

26

Figura 21: Ejemplo de Hosokawa, II

Q ∪ (⋃

n∈N Qn). Notemos que bajo la funcion F = f × id[0,1], K = F [K1 ∪K2]es identificar P con Q, por lo que K es un continuo. Entonces las componentesde F←[K] son precisamente K1 y K2, esto demuestra que F no es confluente.

Ahora veamos que C(f) : C(X) → C(Y ) tampoco es debilmente confluente.Consideremos la Figura 23.

Sean C ⊂ S1 un arco que tenga a a en uno de sus extremos y no contengaa b; D ⊂ S2 un arco que tenga a b en uno de sus extremos y no contenga a a.Es posible encontrar C ⊂ C(S1) y D ⊂ C(S2) arcos que que vayan de C a {b} yde D a {a}, respectivamente. Tambien es posible encontrar rayos M ⊂ C(A) yN ⊂ C(B) de tal forma que M converge a C y N converge a D. Por ejemplo,podemos usar como guıa Cn ∈ C(A) y Dn ∈ C(B) como se ven en la Figura23 para construir estos rayos. Al final obtenemos dos continuos M′ = M∪ C yN ′ = N ∪D. Vease la Figura 24.

Ademas podemos escoger C,D de tal manera que bajo C(f) queden identifi-cados. Analogamente al caso del producto, obtenemos que C(f) no es debilmenteconfluente.

Tarea 6

1. Sea P = C(f)(M′) ∪ C(f)(N′) como en la prueba de el Teorema 55.¿Cuantas componentes tiene (2f )←(P)?

2. Encontrar una funcion abierta f : X → Y entre continuos tal que C(f)no es abierta.

27

Figura 22: Ejemplo de Hosokawa, III

3. Encontrar una funcion g : X → Y entre continuos que no sea un homeo-morfismo y que C(g) es abierta.

El caso f : X → Y confluente y Y localmente co-nexo

El ejemplo de la seccion anterior, dado por Hosokawa, funciona basicamenteporque el contradominio de la funcion definida NO es localmente conexo. Enesta seccion vamos a probar el siguiente resultado, tambien de Hosokawa ([9]).

Teorema 56. Si f : X → Y es una funcion confluente entre continuos y Y eslocalmente conexo, entonces C(f) es confluente.

Vamos a dar la demostracion en una serie de pasos. Vamos a introducir unanocion que simplificara la prueba. Si f : X → Y es una funcion continua yQ ⊂ Y es un continuo, diremos que Q es continuo de confluencia de f sipara cada componente C de f←[Q] se tiene que f [C] = Q.

Empecemos con una funcion confluente f : X → Y fija tal que X, Y soncontinuos y Y es localmente conexo. La estrategia entonces es probar que todoslos continuos de C(Y ) son continuos de confluencia de C(f).

Paso 1. Si B es un arco ordenado en C(Y ), entonces B es un continuo deconfluencia de C(f).

Demostracion del Paso 1. Empecemos con un arco ordenado B y tomemosun A ∈ C(X) tal que C(f)(A) ∈ B, llamemos B = C(f)(A) = f [A]. Hay queencontrar un conexo C ⊂ C(X) tal que A ∈ C y C(f)[C] = B.

28

Figura 23: Ejemplo de Hosokawa, IV

Sea M =⋂B, que es el elemento mınimo de B. Como M ⊂ B, existe una

componente L de f←[M ] que intersecta a A. Definamos

A = {P ∈ C(X) : f [P ] ∈ B y L ⊂ P},

el cual se puede ver facilmente que es un cerrado.Veamos primero que C(f)[A] = B. Sea Q ∈ B. Para cualquier x ∈ L,

f(x) ∈ M ⊂ Q ası que como f es confluente, existe P ∈ C(X) con x ∈ Py f [P ] = Q. Como f [L] ⊂ M , obtenemos que f [P ∪L] = Q. Ademas x ∈ P ∩Lpor lo que P ∪ L ∈ A cumple que C(f)(P ∪ L) = Q. Esto prueba C(f)[A] = Bya que la otra contencion es obvia por la definicion de A.

Ahora veamos que A es conexo. Supongamos que no es ası, como A es cerra-do, existen cerrados ajenos A1,A2 tales que A = A1 ∪ A2. Entonces C(f)[A1]y C(f)[B1] son cerrados ajenos de B cuya union es B. Como B es conexo, estoscerrados se tienen que intersectar. Esto significa que existen Q ∈ B, P1 ∈ A1 yP2 ∈ A2 tales que f [P1] = f [P2] = Q. Notemos que L ⊂ P1∩P2, ası que P1∪P2

es conexo. Sea M1 un arco ordenado de P1 a P1 ∪ P2 y M2 un arco ordenadode P2 a P1 ∪ P2. Facilmente se puede ver que M1 ∪M2 es un arco de P1 a P2

contenido en A. Esto contradice la eleccion de P1 y P2, ası que obtenemos queA es conexo.

Finalmente, sea C la union de A con un arco ordenado que va de A a A∪L ∈C. Entonces C es el continuo deseado.

29

Figura 24: Ejemplo de Hosokawa, V

Los siguientes dos pasos hablan del comportamiento de continuos de con-fluencia en general. No daremos la demostracion explıcita de ellos.

Paso 2. Si g es una funcion continua entre continuos, K1, . . . ,Kn son continuosde confluencia de g y K = K1 ∪ . . . ∪ Kn es un continuo, entonces K es uncontinuo de confluencia de g.

Paso 3. Sea g una funcion continua entre continuos y {Kn : n ∈ N} unasucesion de continuos de confluencia de g tal que existe un punto p con p ∈ Kn

para todo n ∈ N. Si dicha sucesion converge a un continuo K, entonces Ktambien es un continuo de confluencia de g.

Notemos que para todo arco B en C(X), existe una sucesion de arcos {Bn :n ∈ N} tal que

B = lımBn,

para cada n ∈ N, B y Bn tienen extremos comunes y

para cada n ∈ N, Bn es una union de arcos ordenados.

Esta sucesion de arcos se puede construir como se ve en la Figura 26. Porlos pasos anteriores, concluimos lo siguiente.

Paso 4. Cualquier arco en C(Y ) es un continuo de confluencia de C(f).

Finalmente, la prueba se completa con el ultimo paso.

Paso 5. Cualquier continuo de C(Y ) es de confluencia de C(f).

30

C(X) C(Y)

C(f)

M

B

A

ULA

L

Figura 25: Demostracion del Paso 1

Figura 26: Aproximando arcos por uniones de arcos ordenados

Sea A un continuo en C(Y ). Dado que Y es localmente conexo, tambienlo es C(Y ), ası que existe una vecindad arcoconexa Un de A con diametro< 1/n. Sea An ⊂ Un una grafica, de tal forma que la distancia de HausdorffH(An,A) < 1/n. Claramente, podemos pensar que existe Y ∈ A tal que Y ∈ An

para todo n ∈ N . Notemos que An es un continuo de confluencia de C(f) yaque es una union conexa de arcos (Pasos 4 y 2). Como A = lımAn, obtenemosque A es un continuo de confluencia de C(f) (Paso 3).

Notemos que solo usamos la conexidad local hasta el ultimo paso. Comoconclusion, podemos generalizar la propiedad de conexidad local en C(X) a lasiguiente. Diremos que un continuo X tiene la AAC (arc approximation pro-perty, propiedad de aproximacion por arcos) si cada vez que tengamos p ∈ X yun continuo K ⊂ X con p ∈ K, existe una sucesion de continuos {Kn : n ∈ N}tales que

31

Kn ⊂ X,

K = lımKn,

p ∈ Kn para cada n ∈ N y

Kn es arcoconexo.

Por lo tanto, tenemos el siguiente resultado.

Teorema 57. Si f : X → Y es confluente entre continuos y C(Y ) tiene laAAP, entonces C(f) es confluente.

Figura 27: Prueba del Paso 5

Tarea 7

1. ¿Tiene el continuo sin (1/x) la AAP?

2. Si X tiene la AAP, ¿es X arcoconexo?

3. Si X tiene la AAP, ¿es cada componente por trayectorias de X densa?

4. Sea µ : C(X) → [0, 1] una funcion de Whytney. Demuestra que µ esconfluente.

5. ¿Es la AAP una invariante confluente?

Otros resultados

En esta ultima sesion, veremos de manera mas superficial diversos resultadosy problemas abiertos interesantes.

32

Lımites inversos y proyecciones

Teorema 58. Sea (Xi, fi) un sistema inverso de continuos con lımite X. Sitodas las funciones fi : Xi+1 → Xi son monotonas (confluentes), entonces cadaproyeccion natural πi : X → Xi es monotona (confluente, respectivamente).

Demostracion. Para cada m,n ∈ N con n > m, sea fnm = fm ◦ fm+1 ◦ · · · ◦ fn.

Consideremos el siguiente diagrama conmutativo.

X1

id

��

X2

f1

��

f1oo X3

f31

��

f2oo · · · Xn

fn1

��

Xn+1

fn+11

��

fnoo · · ·

X1 X1idoo X1

idoo · · · X1 X1idoo · · ·

El lımite inverso de la segunda fila es homeomorfo a X1 ya que todas lasfunciones de ligadura son la identidad. Se puede ver que la funcion inducida aeste sistema de funciones entre lımites inversos es la primera proyeccion π1 :X → X1. Por los Teoremas 50 y 52, tenemos que si todas las funciones fi :Xi+1 → Xi son monotonas (confluentes), entonces π1 es monotona (confluente,respectivamente). Para probar el enunciado en general, para πm con m ∈ N, hayque considerar el siguiente diagrama conmutativo.

Xm

id

��

Xm+1

fm

��

fmoo Xm+2

fm+2m

��

fm+1oo · · · Xn

fnm

��

Xn+1

fn+1m

��

fnoo · · ·

Xm Xmidoo Xm

idoo · · · Xm Xmidoo · · ·

El lımite inverso de la primera fila es homeomorfo a X porque con cualquiersubsucesion de una sucesion inversa obtenemos un lımite inverso homeomorfo yel lımite inverso de la segunda fila es homeomorfo a Xm. Finalmente, se puedever que la funcion inducida entre los lımites inversos es πm : X → Xm. Aplicandolos teoremas 50 y 52, obtenemos el resultado deseado.

A pesar de que la funcion inducida de funciones abiertas no es abierta (Ejem-plo 53, Figura 19), se puede probar lo siguiente.

Teorema 59. [15, 2.1.10] Sea (Xi, fi) un sistema inverso de continuos conlımite X. Entonces todas las funciones fi : Xi+1 → Xi son abiertas, si y solo sitodas las proyecciones naturales πi : X → Xi son abiertas.

Invarianza de la Suavidad

Recordemos que quedo pendiente la prueba del Teorema 40 de Mackowiak.Recordemos que este teorema dice que la imagen confluente de cualquier den-droide suave es un dendroide suave. Para hacer un esbozo de la prueba, intro-duzcamos una nueva definicion.

33

Definicion 60. Decimos que una funcion f : X → Y es monotona conrespecto a un punto p ∈ X si para todo continuo Q tal que f(p) ∈ Q se tieneque f←[Q] es conexo.

Tambien consideremos la siguiente generalizacion de la nocion de suavidad.

Definicion 61. Decimos que un continuo X es suave en p ∈ X si cada vezque tenemos un continuo K ⊂ X tal que p ∈ K, un punto a ∈ K y unasucesion {an : n ∈ N} que converge al punto a, existe una sucesion de continuos{Kn : n ∈ N} que converge a K y tal que {p, an} ⊂ Kn ⊂ X para todo n ∈ N.

Se puede probar lo siguiente.

Lema 62. Sean f : X → Y una funcion entre continuos y p ∈ X. Si X essuave en p y f es monotona con respecto a p, entonces Y es suave en f(p).

Esbozo de Demostracion. Dados un continuo T y un punto t ∈ T , definimosuna funcion β(T,t) : T → C(C(T )) por

β(T,t)(a) = {K ∈ C(T ) : {a, t} ⊂ K}.

Se puede ver que demostrando las siguientes dos afirmaciones se sigue ellema.

La funcion β(X,p) es continua si y solo si X es suave en p.

El siguiente diagrama es conmutativo si y solo si f es monotona con res-pecto a p.

Xf //

β(X,p)

��

Y

β(Y,f(p))

��C(C(X))

C(C(f))// C(C(Y ))

Ya con estas herramientas podemos dar la prueba que querıamos:

Esbozo de la demostracion del Teorema 40. Sea X un dendroide suaveen p y f : X → Y una funcion confluente. Usando el Lema de Kuratowski-Zorn,existe un continuo M ⊂ X mınimo con las propiedades: p ∈ M , f [M ] = Y yf �M : M → Y es confluente. Se puede demostrar ([16]) que f �M : M → Y esmonotona con respecto a p. Por el Lema 62, Y es suave en f(p).

34

a ab ba a b

Figura 28: Una funcion confluente restringida a cierto subcontinuo es monotonacon respecto a un punto.

Confluencia de las funciones de Whitney

En esta seccion nos preguntamos cuando las funciones de Whitney son con-fluentes.

Teorema 63. ([13, 24.2, p. 208]) Para cada continuo X, existe una funcionde Whitney para 2X que no es confluente.

Esbozo de la construccion en el arco. La idea de la prueba es darle al arco unametrica como lo ilustra la Figura 29. La idea de la funcion de Whitney, quedenotamos por µ, es que un conjunto de dos puntos mida mas mientras masnos alejemos del conjunto {p, q} de tal forma que {p, q} es una componente deµ←([µ({p, q})−ε, µ({p, q})]) para un numero ε > 0 suficientemente pequeno.

Figura 29: Una funcion de Whitney no confluente.

De hecho, los conceptos de ser monotona y confluente coinciden en este caso.

Teorema 64. Una funcion de Whitney para 2X es confluente si y solo si estaes monotona.

35

Demostracion. Sea µ : 2X → [0, 1] una funcion de Whitney. Basta con mostrarque si µ es confluente entonces es monotona. Sea t ∈ [0, 1].

Primero veamos que µ←([0, t]) es conexo. Sea C una componente de µ←([0, t]).Como µ es confluente, tenemos que µ(C) = [0, t], lo cual nos dice que C ∩µ←(0) 6= ∅. Por tanto, cada componente de µ←([0, t]) intersecta al conexoµ←(0) = F1(X). Esto nos dice que µ←([0, t]) es conexo.

Ahora veamos que µ←([t, 1]) es conexo. Sea A ∈ µ←([t, 1]). Sabemos que exis-te un arco ordenado de A a X, el cual esta claramente contenido en µ←([t, 1]).Entonces µ←([t, 1]) es conexo.

Como µ←(t) = µ←([0, t]) ∩ µ←([t, 1]) y 2X es unicoherente ([13, 19.8]), te-nemos que µ←(t) es un continuo.

Entonces una pregunta natural es si existen continuos X tales que ningunafuncion de Whitney para 2X es confluente (equivalentemente, monotona). Paraesto, introducimos la nocion de R3-conjunto.

Sean X un continuo y A un subconjunto propio, cerrado y no vacıo. Decimosque A es R3 conjunto si existen un abierto U de X y una sucesion de compo-nentes {Cn : n ∈ N} de U tales que A ⊂ U y lım inf Cn = A. Un ejemplo deR3-conjunto se puede ver en la Figura 30.

Figura 30: Un continuo que contiene un R3-conjunto.

Nota historica: El nombre de R3-conjunto lo dio S.T. Czuba. La R viene de queestos conjuntos son rıgidos en un sentido homotopico, el numero 3 es por ser eltercer tipo de conjuntos definidos con una propiedad de este tipo.

36

Teorema 65. (W.J. Charatonik)[13, 24.12, 20.1 y 24.13] Si X contiene un R3

conjunto, entonces no existe ninguna funcion monotona de Whitney para 2X .Ademas, los hiperespacios C(X) y 2X no son contractiles.

Tambien tenemos un resultado opuesto en el sentido de que algunos continuosX admiten alguna funcion de Whitney confluente.

Teorema 66. (A. Illanes)[13, 24.11] Si X es localmente conexo, entonces Xadmite una funcion de Whitney abierta (y por lo tanto, confluente).

Nota historica: W. Charatonik probo el Teorema 66 para el caso particular deque X es igual a la circunferencia. Esto sucedio cuando Charatonik estaba en unperiodo entre maestrıa y doctorado, ya que el problema especıfico para la cir-cunferencia habıa aparecido como pregunta en el libro [18]. Cuando Charatonikse entero que el Teorema 66 habia sido probado por Alejandro Illanes, se pre-gunto si Alejandro era nombre de hombre o mujer. La duda fue disipada cuandoun brazileno le dijo a Charatonik, durante un viaje en tren, que Alejandro eranombre masculino.

Tambien se sabe que hay funciones de Whitney confluentes pero no abiertas.

Teorema 67. (A. Illanes)[14, Example 3.4] Existen funciones de Whitney queson confluentes y no abiertas.

Problemas abiertos

Por ultimo, daremos una lista de problemas abiertos y discutiremos un pocosobre ellos.

Problema 1. Sean X un continuo encadenable y f : X → Y confluente. ¿Escierto que Y es encadenable?

Problema 2. ¿Es toda imagen confluente del pseudoarco homeomorfa al pseu-doarco?

Se sabe que si X es hereditariamente indescomponible y encadenable, en-tonces cualquier imagen confluente de X es encadenable.

La motivacion de A. Lelek de inventar el concepto de span era para resolverel Problema 1. Ahora que existe un ejemplo de un continuo de span cero perono encadenable ([12]), es interesante saber si funciona para resolver el Problema1 en forma negativa.

Aun queda pendiente el Problema 2 sobre el pseudoarco. Se sabe que algu-nos tipos de continuos cercanos a los encadenables son cerrados bajo funcionesconfluentes, como los tipo arbol.

Teorema 68. (Mc. Lean, [17]) Si f : X → Y es una funcion confluente entrecontinuos y X es de tipo arbol, entonces Y es tambien de tipo arbol.

Al ver el enunciado del Teorema , uno se puede preguntar si es posible usarlos mismos metodos para resolver el Problema 1. Sin embargo, la prueba de este

37

resultado depende de una caracterizacion especial de los continuos tipo arbol.Esta caracterizacion no tiene un equivalente claro para continuos encadenablesası que la generalizacion no ha sido posible.

Lo que sı sabemos es que cualquier imagen continua del pseudoarco es debil-mente encadenable, de hecho es una caracterizacion.

Teorema 69. (A. Lelek, [11]) Un continuo X es debilmente encadenable si ysolo si X es imagen continua del pseudoarco.

Hay que notar que este resultado es interesante porque clasifica a las image-nes continuas del pseudoarco. Por ejemplo, se sabe que las imagenes continuasdel intervalo [0, 1] son exactamente los continuos localmente conexos y las image-nes continuas de la escoba de Cantor son exactamente los continuos uniforme-mente arcoconexos.

Ahora pasemos a otro tema. Sea C una clase de continuos fija. Diremos queun espacio X es AR(C) si cada vez que tengamos un espacio Y en C y X ⊂ Y(encajado topologicamente), existe una retraccion r : Y → X. Por ejemplo, si Ces la clase de continuos, entonces un espacio AR(C) es un retracto absolutoen el sentido usual. Denotemos por TL a la clase de continuos tipo arbol y porHU a los hereditariamente unicoherentes.

Teorema 70. (W. J. Charatonik y J. Prajs) Si f : X → Y es una funcionmonotona entre continuos y X es AR(TL), entonces Y es AR(TL).

De esto, surgen los siguientes problemas.

Problema 3. Sea X un continuo AR(TL) (AR(HU)), f : X → Y unafuncion confluente. ¿Es Y tambien AR(TL) (AR(HU), respectivamente)?

Problema 4. Se sabe que AR(TL) ⊂ AR(HU). ¿Es cierta la igualdad?

Finalmente, en la red hay una lista de problemas abiertos en continuos. Lalista es mantenida por J. Prajs y W. J. Charatonik. Su direccion es:

http://web.mst.edu/~continua/

38

Bibliografıa

[1] Bellamy, D. P., “Mapping hereditarily indecomposable continua onto apseudo-arc”, Topology Conference (Virginia Polytech. Inst. and StateUniv., Blacksburg, Va., 1973), pp. 614. Lecture Notes in Math., Vol. 375,Springer, Berlin, 1974.

[2] Bula, W. D. and Oversteegen, L. G., “A characterization of smooth Cantorbouquets”, Proc. Amer. Math. Soc. 108 (1990), no. 2, 529–534.

[3] Charatonik, J. J., “Confluent mappings and unicoherence of continua”,Fund. Math. 56 1964 213–220.

[4] Charatonik, W. J., “The Lelek fan is unique”, Houston J. Math. 15 (1989),no. 1, 27–34.

[5] Charatonik, W. J., “A homogeneous continuum without the property ofKelley”, Topology Appl. 96 (1999), no. 3, 209–216.

[6] Czuba, S. T., “On dendroids with Kelley’s property”, Proc. Amer. Math.Soc. 102 (1988), no. 3, 728–730.

[7] Engelking, R., “General topology”, Translated from the Polish by the aut-hor. Second edition. Sigma Series in Pure Mathematics, 6. HeldermannVerlag, Berlin, 1989, viii+529 pp. ISBN: 3-88538-006-4.

[8] Engelking, R., “Theory of dimensions finite and infinite”, Sigma Seriesin Pure Mathematics, 10. Heldermann Verlag, Lemgo, 1995, viii+401 pp.ISBN: 3-88538-010-2.

[9] Hosokawa, H., “Induced mappings on hyperspaces”, Tsukuba J. Math. 21(1997), no. 1, 239–250.

[10] Kuratowski, K., “Topology. Vol. II. New edition, revised and augmented”,Academic Press, New York-London; Pastwowe Wydawnictwo Naukowe Po-lish Scientific Publishers, Warsaw 1968 xiv+608 pp.

[11] Lelek, A., “On weakly chainable continua”, Fund. Math. 51 1962/1963 271–282.

39

[12] Hoehn, L. C., “A non-chainable plane continuum with span zero”, Fund.Math. 211 (2011), no. 2, 149–174.

[13] Illanes, A.; Nadler, S. B., Jr., “Hyperspaces. Fundamentals and recent ad-vances”, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics,216. Marcel Dekker, Inc., New York, 1999. xx+512 pp. ISBN: 0-8247-1982-4.

[14] Illanes, A., “Monotone and open Whitney maps defined in 2X”, TopologyAppl. 53 (1993), no. 3, 271–288.

[15] Macıas, S., “Topics on continua”, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL,2005. x+361 pp. ISBN: 978-0-8493-3738-3; 0-8493-3738-0

[16] Mackowiak, T., “Confluent mappings and smoothness of dendroids”, Bull.Acad. Polon. Sci. Sr. Sci. Math. Astronom. Phys. 21 (1973), 719–725.

[17] McLean, T. B., “Confluent images of tree-like curves are tree-like”, DukeMath. J. 39 (1972), 465–473.

[18] Nadler, Sam B., Jr., “Hyperspaces of sets. A text with research questions”,Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, Vol. 49.Marcel Dekker, Inc., New York-Basel, 1978, xvi+707 pp. ISBN: 0-8247-6768-3.

[19] Nadler, S. B., Jr., “Continuum theory. An introduction”, Monographs andTextbooks in Pure and Applied Mathematics, 158. Marcel Dekker, Inc.,New York, 1992, xiv+328 pp. ISBN: 0-8247-8659-9.

[20] Nadler, S. B., Jr., “Dimension theory: an introduction with exercises”,Aportaciones Matematicas: Textos, 18. Sociedad Matematica Mexicana,Mxico, 2002, viii+180 pp. ISBN: 970-32-0026-5.

[21] Whyburn, G. T., “Analytic topology”, American Mathematical Society Co-lloquium Publications, Vol. XXVIII American Mathematical Society, Pro-vidence, R.I. 1963, x+280 pp.

40