Procesos de convecci on natural con hip otesis anel asticabibing.us.es/proyectos/abreproy/5438/fichero/PFC.pdf · aparece de forma natural el par ametro adimensional, denominado numero

Escuela Tecnica Superior de Ingenierıa

Departamento de Ingenierıa Aeroespacial y Mecanica de Fluidos

PROYECTO FIN DE CARRERA

Procesos de conveccion naturalcon hipotesis anelastica

Alumno: Eduardo M. Garcıa Juarez

Director: Miguel Perez-Saborid Sanchez-Pastor

19 de septiembre de 2014

Indice general

1. Introduccion 5

1.1. Contexto y objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Conveccion de Rayleigh-Benard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Estructura del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Modelo anelastico para la conveccion natural 11

2.1. Contexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1. Modelo de Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.2. Aproximacion anelastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2. Ondas acusticas y la condicion CFL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.1. Ondas acusticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.2. Condicion CFL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3. Obtencion y validez del modelo anelastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.1. El modelo anelastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.2. Ecuacion de la energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.3. Reduccion al modelo de Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4. Resolucion del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4.1. Ecuacion de la vorticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4.2. Estado de referencia: politropos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3. Esquema numerico: metodos espectrales 38

2

Indice general 3

3.1. Introduccion: resolucion numerica de EDPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2. Metodo de colocacion con interpolantes de Lagrange y nodos de Chebyshev 39

3.3. Metodo espectral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3.1. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3.2. La ecuacion de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4. Discretizacion en tiempo: metodo semi-implıcito . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.5. Ejemplo de aplicacion: conveccion natural en un cilindro horizontal . . . . . 47

3.5.1. Codigos de Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4. Resolucion numerica de problemas de conveccion natural con tempera-

tura impuesta 56

4.1. Recinto rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.1.1. Formulacion del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.1.2. Adimensionalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.1.3. Sistema algebraico final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.1.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62


4.2. Anillo circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.2.1. Formulacion del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.2.2. Adimensionalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2.3. Sistema algebraico final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.2.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81


5. Conveccion natural en un gas autogravitante con generacion de calor 96

5.1. Formulacion del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.2. Adimensionalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.3. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100


Indice general 4

6. Conclusiones y desarrollos futuros 113

Bibliografıa 115

Capıtulo 1

Introduccion

1.1. Contexto y objetivos

El proyecto se enmarca en los estudios de fenomenos donde la conveccion natural juega

un papel importante, por ejemplo los modelos meteorologicos o geofısicos y estelares. El

objetivo es obtener resultados para modelos simplificados que ilustren sobre los procesos

fundamentales que dominan en la conveccion natural. Como punto de partida se tienen

los resultados de la conveccion natural en una cavidad rectangular asumiendo la hipotesis

de Boussinesq, es decir, despreciando los efectos de la variacion de densidad en todos los

terminos de las ecuaciones de Navier-Stokes salvo en el de fuerzas masicas. Esta aproxi-

macion es muy pobre para problemas de escalas grandes, como el interior de estrellas y

planetas o la atmosfera, por lo que un primer objetivo es estudiar un modelo que generalice

al de Boussinesq permitiendo cierta variacion en la densidad.

Uno de los modelos mas usados que extienden la hipotesis de Boussinesq es el modelo

anelastico. En el se centra este proyecto. Se tiene por objetivo obtener resultados que

caractericen esta aproximacion en diversas situaciones. Basicamente la idea de este modelo

es permitir estratificacion en la densidad, es decir, se permite variacion espacial en la

direccion en que actua la gravedad. Un punto muy importante a estudiar es como afecta el

nivel de estratificacion en los resultados que se tienen con la hipotesis de Boussinesq. Un

primer objetivo es por tanto extender el analisis de la conveccion de Rayleigh-Benard bajo

la hipotesis anelastica. Se hara para una cavidad rectangular y para un anillo circular.

La mayorıa de modelos anelasticos y de Boussinesq han sido aplicado para recintos

rectangulares, emulando a la atmosfera. Se debe principalmente a que ha habido mas

interes en avanzar en los modelos meteorologicos y, por otra parte, que los modelos estelares

son mucho mas complejos, apareciendo efectos acoplados con el campo magnetico y la

5

1.2. Conveccion de Rayleigh-Benard 6

rotacion diferencial. Ademas, en estos casos la geometrıa es esferica. Sera un objetivo de

este proyecto obtener resultados que aporten ideas sobre el efecto de la generacion de calor

en un gas autogravitante. Se hara para un problema bidimensional, es decir, realmente se

va a resolver un problema con geometrıa cilındrica y no esferica.

Objetivos secundarios sera la introduccion a los metodos espectrales de resolucion de

ecuaciones en derivadas parciales para geometrıa cartesiana y cilındrica. Se implementaran

con Matlab, tratando de obtener programas eficientes. Los programas construidos sirviran

de base para futuros trabajos que extiendan los resultados buscados.

1.2. Conveccion de Rayleigh-Benard

En nuestro entorno, el fenomeno de conveccion natural mas frecuente lo constituyen los

movimientos generados en el seno de un fluido que se encuentra en presencia de un campo

gravitatorio y en el que existen diferencias de densidad entre sus partes. Normalmente,

dichas variaciones de densidad son debidas a gradientes de temperaturas, aunque es tam-

bien comun el caso de que se produzcan debido a gradientes de concentracion. Asimismo,

pueden presentarse fenomenos de conveccion natural en fluidos con carga electrica cuando

son sometidos a la accion de campos electricos o magneticos. No obstante, y para fijar

ideas, nos centraremos en este proyecto en el caso mas simple, y tambien mas comun, de

un fluido situado en un campo gravitatorio y en el que existen variaciones de densidad

provocadas por gradientes de temperatura. Este efecto es el que domina los fenomenos

de conveccion en estrellas y planetas. Los movimientos generados en el fluido en estas

circunstancias constituyen el fenomeno conocido universalmente como conveccion natural

de Rayleigh-Benard.

En la naturaleza se manifiesta, por ejemplo, en los movimentos a gran escala de la

atmosfera terrestre que tienen lugar en las celdas denominadas de Hadley (en el entorno

del ecuador y responsable de los vientos alisios), de Ferrell (en latitudes medias) y Polar,

producidas por el gradiente de temperaturas medias existente entre las zonas ecuatoriales y

polares. Tambien se manifiesta el fenomeno de Rayleigh-Benard en la dinamica del manto

terrestre (figura 1.1), que esta gobernada por las corrientes de conveccion natural debidas

a gradiente termico existente entre el nucleo y la corteza de la Tierra. Tambien aparece en

las estrellas. Por ejemplo en el Sol a partir de una distancia del origen de aproximadamente

una quinta parte del radio total se inicia la que se conoce como corona convectiva (figura

1.2).


Figura 1.1: Conveccion en el manto

Figura 1.2: Estructura solar

Desde el punto de vista historico, el estudio sistematico de los fenomenos de conveccion

natural comenzo hacia 1900, cuando Henri Benard llevo a cabo una serie de experimentos

en capas delgadas de esperma de ballena (de elevada conductividad termica) calentadas

desde abajo y cuya su superficie superior estaba expuesta al aire ambiente. Benard ob-

servo la aparicion de un movimiento en el fluido que, tras un regimen transitorio inicial,

alcanzaba un regimen estacionario en el que se distinguıa en la superficie una estructura

muy peculiar formada por celdas hexagonales regulares similares a las que observan en

panal de abejas (figura 1.4). Las investigaciones del flujo en el interior de la celda reali-

zadas por Benard (figura 1.3), revelaron que el fluido ascendıa por el centro de la celda

y descendıa a lo largo del perımetro hexagonal. Otras mediciones opticas mostraron tam-

bien que la superficie del fluido sufrıa una depresion por el centro de la celda, y Benard

atribuyo la aparicion de este fenomeno a la tension superficial de la pelıcula de fluido en

contacto con el aire. Benard tambien midio la dependencia del tamano caracterıstico de

la celda, que tomo como la distancia entre los centros de dos celdas vecinas y designo por

λ, con la profundidad de la capa de fluido, el flujo de calor y de la temperatura.


Figura 1.3: Celdas de Rayleigh-Benard Figura 1.4: Estructura en panel

de abeja

Posteriormente, en 1916, Lord Rayleigh publico su artıculo On Convection Currents in a

Horizontal Layer of Fluid, When the Higher Temperature Is Under Side, siendo el primer

investigador que desarrollo una teorıa que ponıa de manifiesto de forma clara los meca-

nismos fısicos involucrados en el fenomeno de la conveccion natural. En efecto, cuando un

fluido cuya densidad no es uniforme se encuentra en presencia de la gravedad, la fuerza

de flotabilidad, o empuje de Arquımedes, hace que una porcion de fluido que (en media)

sea mas densa que su entorno tienda a descender, mientras que una con densidad menor

tienda a ascender. No obstante, y como hizo notar Rayleigh, ademas de las fuerzas de

flotabilidad, deben tenerse en cuenta en el proceso los mecanismos que tienden a contra-

rrestar su efecto: la friccion, originada por las fuerzas de viscosidad, y el de conduccion

de calor, que tiende a homogeneizar en el seno del fluido el campo de temperaturas y, por

tanto, tambien el de densidades. De esta forma, si en un fluido inicialmente en reposo con

una distribucion de densidades creciente en la direccion ascendente se introduce una per-

turbacion, una parcela de fluido volvera a su situacion de reposo (situacion de equilibrio

estable) o se mantendra en movimiento (situacion de equilibrio inestable) dependiendo de

la importancia relativa de los tres efectos antes citados. Por tanto, la situacion de equilibrio

inestable es la que da lugar al fenomeno de conveccion natural. En su analisis, Rayleigh

considero una capa de fluido entre dos placas infinitas paralelas a distinta temperatura

dispuestas perpendicularmente a la direccion de la gravedad, siendo la placa inferior la

de mayor temperatura. Rayleigh estaba interesado en la estabilidad de pequenas pertur-

baciones respecto a la situacion de reposo, por lo que linealizo en torno a la solucion de

equilibrio las ecuaciones de Navier-Stokes que gobiernan el movimiento del fluido entre las

placa descubriendo que en el sistema lineal de ecuaciones en derivadas parciales resultante

1.3. Estructura del proyecto 9

aparece de forma natural el parametro adimensional, denominado numero de Rayleigh

Ra = (gH3β∆T )/να, (1.1)

donde β,ν y α son, respectivamente, el coeficiente de dilatacion termica, la viscosidad

cinematica y la difusividad termica del fluido, g es la aceleracion de la gravedad, H es el

espesor de la capa fluida (o, en general, una longitud caracterıstica del dominio fluido) y ∆T

es la diferencia de temperatura entre placas. El numero de Rayleigh puede interpretarse

fısicamente como el parametro adimensional que mide la importancia relativa entre los

efectos de las fuerzas de flotabilidad y los efectos de las fuerzas de viscosidad y de la

conduccion termica.

1.3. Estructura del proyecto

En el capıtulo 2 se hace un estudio bibliografico sobre los modelos de Boussinesq y

anelastico usados para resolver la conveccion natural. Tras revisar la evolucion del modelo

anelastico se explica la utilidad de su uso indicando como consigue eliminar las ondas

acusticas. Puesto que se trata de una aproximacion, se estudian las hipotesis usadas y

el rango de validez de las mismas, a la vez que se desarrolla el modelo que se usara a

lo largo del proyecto. Se incluye un apartado que muestra el caso de Boussinesq como

el lımite del modelo anelastico para estratificacion nula. Termina el capıtulo indicando el

esquema de resolucion del modelo, prestando especial importancia a la obtencion de un

estado de referencia que se ajuste bien a los fenomenos que se quieren simular, para lo que

se estudian los politropos.

En el capıtulo 3 se presentan los dos metodos numericos que se usaran para resolver el

sistema de ecuaciones en derivadas parciales obtenido para el modelo anelastico: el metodo

de colocacion con interpolantes de Lagrange y nodos de Chebyshev, y el metodo espectral

de Fourier. Se revisa brevemente su fundamento y su aplicacion, ampliamente estudiado

en la bibliografıa. Se incluye un ejemplo de aplicacion y los codigos de Matlab empleados.

Por ultimo se describe el metodo de discretizacion temporal que se ha usado, y se muestra

el programa de Matlab que resuelve un primer problema de conveccion natural: un cilindro

horizontal con la semicircunferencia inferior a una temperatura impuesta superior.

En el capıtulo 4 se resuelven dos problemas de conveccion natural con temperaturas im-

puestas y sin generacion de calor, haciendo uso del modelo anelastico. El primero consiste

en el problema clasico de Rayleigh-Benard para una cavidad rectangular con velocidad

nula en las paredes y paredes verticales aisladas termicamente. El segundo trata el mismo

problema para un anillo circular con gravedad hacia el centro. Se resuelven ambos proble-

1.3. Estructura del proyecto 10

mas y se realiza un estudio detallado de los resultados, prestando especial atencion a la

influencia de los parametros adimensionales sobre el proceso de conveccion Se adjuntan al

final los codigos de Matlab de ambos programas.

Finalmente, en el capıtulo 5 se resuelve el problema de un gas autogravitante con gene-

racion de calor. Se sigue un esquema similar al capıtulo 4, aunque el analisis de resultados

es menos detallado. No obstante, se obtendran resultados satisfactorios e importantes.

Finalmente se incluyen los codigos de Matlab de este caso.

Capıtulo 2

Modelo anelastico para la

conveccion natural

Este capıtulo comienza con un resumen del desarrollo historico de los modelos matemati-

cos usados para estudiar la conveccion natural. Posteriormente se analiza la utilidad del

modelo anelastico y se procede a realizar un analisis de los disintos terminos para obtener

las condiciones de validez del modelo. Finalmente se muestran varias transformaciones ma-

tematicas que permiten reducir la complejidad numerica del problema para su resolucion

en capıtulos posteriores.

2.1. Contexto

La resolucion de las ecuaciones completas de Navier-Stokes para los procesos de convec-

cion natural no suele ser viable en la practica, debido a que incluyen las perturbaciones de

presion y densidad producidas por ondas acusticas, que tıpicamente viajan a una veloci-

dad mucho mayor que la del fluido, lo que requiere usar un paso de tiempo excesivamente

pequeno. Aunque esto podrıa evitarse tratando de forma implıcita los terminos convec-

tivos no lineales, el acoplamiento que se produce por la no linealidad llevarıa a un coste

computacional aun mayor. Sin embargo, estas ondas son de baja amplitud y sus efectos

son despreciables en la mayorıa de situaciones de interes, como son los modelos atmosferi-

cos o del interior de estrellas y planetas. Los dos modelos mas usados para eliminar estas

ondas son el sistema de Boussinesq y la aproximacion anelastica.

11

2.1. Contexto 12

2.1.1. Modelo de Boussinesq

El primer modelo matematico usado para filtrar las ondas acusticas, debido a Oberbeck

[1], [2] y Boussinesq [3], aunque conocido como aproximacion de Boussinesq, se basa en

asumir que las variaciones de densidad se deben solo a efectos termicos y tienen impor-

tancia unicamente en el termino de gravedad. Boussinesq justifico esta hipotesis para un

diferencia de temperatura maxima de 10 K, por lo que ademas todas las propiedades del

fluido se consideran constantes. El sistema de ecuaciones bajo la hipotesis de Boussinesq

es∇ · v = 0

∂v

∂t+ (v · ∇)v =

1

ρ0∇p+ (1− β(T − T0))g + ν∇2v

∂T

∂t+ (v · ∇)T =

k

cpρ0∇2T +

Q

cpρ0

,

(2.1)

donde β es el coeficiente de dilatacion termica, que para un gas ideal esta dado por

β = −1

ρ

(∂ρ

∂T

)∣∣∣∣p

=1

T(2.2)

Un analisis de ordenes de magnitud mas detallado, Spiegel y Veronis [4], justifica eliminar

el termino de disipacion viscosa y muestra como el primer miembro de la ecuacion de la

energıa de (??) es aproximadamente igual a ρcpDT/Dt, sin despreciar pues el termino

de trabajo de expansion (para fluido incompresible se obtiene lo mismo pues cp = cv y

∇ · v = 0).

Posteriormente Gray y Giorgini [5] obtuvieron las ecuaciones de Boussinesq extendi-

das, en las que se incluye la disipacion viscosa y el trabajo de expansion explıcitamente,

permitiendo que las propiedades del fluido dependieran de la temperatura y la presion

para realizar un analisis en serie en funcion de un parametro y despreciar luego los termi-

nos de orden superior. Dieron ademas un criterio mas preciso para la validez de imponer

constantes las propiedades del fluido.

Finalmente en 1996, Rajagopal et al. [6] dedujeron formalmente el sistema de Boussi-

nesq en el contexto de la mecanica de los medios continuos sin imponer mas restricciones

que la incompresibilidad del fluido ante cualquier efecto no termico. Eligiendo distintos

parametros para desarrollar en serie, Kagie et al. [7] extendieron la idea de Rajagopal

para incluir la disipacion viscosa y Passerini y Thater [8] lo hicieron para un fluido no

newtoniano.

2.1. Contexto 13

En definitiva, la aproximacion basica de Boussinesq se resume en lo siguiente:

1. La densidad solo varıa con la temperatura y este efecto solo se tiene en cuenta en el

termino de las fuerzas masicas.

2. Las propiedades del fluido se asumen constantes.

3. La disipacion viscosa es despreciable.

Como se probara en la Seccion 2.3, este modelo es valido cuando la dimension vertical

del dominio de estudio es pequena en relacion con las escalas de altura hidrostaticas de

densidad, presion y temperatura, y ademas la velocidad del fluido es mucho menor que la

velocidad local del sonido. Estas hipotesis son bastante acertadas para la conveccion en

los oceanos, el manto terrestre (donde conviene anadir la disipacion viscosa) y en menor

medida en el nucleo de las estrellas, no siendo validas en la parte mas externa de las

estrellas ni en la atmosfera, donde la estratificacion en densidad es muy notable, y por

tanto tampoco se puede usar para simular modelos completos.

2.1.2. Aproximacion anelastica

En los fenomenos de conveccion natural en los que la estratificacion es importante el

sistema de Boussinesq se aleja demasiado de la realidad. Se usa entonces la aproximacion

anelastica (Batchelor [9], Ogura y Phillips [10]), cuya idea fundamental es descomponer las

variables en un estado de referencia hidrostatico dependiente unicamente de la coordenada

vertical, al que se suman las perturbaciones debidas a la conveccion:

ρ(x, t) = ρ(z) + ρ(x, t), p(x, t) = p(z) + p(x, t), T (x, t) = T (z) + T (x, t),

g(x, t) = −g (z)k + g(x, t) = ∇(Φ + Φ),

ˆQ(x, t) = Q(z) + Q(x, t),

(2.3)

dp

dz= −g ρ. (2.4)

El calor generado puede depender ademas del resto de variables termodinamicas.

Mediante un analisis de ordenes de magnitud o, mas formalmente, desarrollando en serie

en funcion de un parametro elegido adecuadamente y dejando unicamente los de primer

orden, se obtienen los diferentes modelos anelasticos segun las hipotesis realizadas, con la

ventaja de que todos ellos filtran las ondas acusticas.

Los trabajos originales [9] y [10] asumen en su desarrollo un estado de referencia adiabati-

co, no aplicable en muchas situaciones practicas, por ejemplo en metereologıa. Dutton y

2.1. Contexto 14

Fichtl [11] y Gough [12] realizaron modificaciones que eliminaban esta restriccion, pero

a cambio el sistema resultante no conserva la energıa. Lipps y Hemler [13] incluyen la

hipotesis adicional de que la escala de altura de la temperatura potencial (variable que

sustituye a la densidad muy usada en ciencias atmosfericas e introducia ya por Ogura y

Phillips en sus analisis) es menor que la altura, con lo que consiguen una forma de con-

servacion de energıa, siendo este sistema el que se suele nombrar como modelo anelastico.

La forma de la ecuacion de conservacion de la masa es casi identica en todos los modelos

anelasticos, salvo en el modelo pseudo-incompresible de Durran [14], que supone un cam-

bio notable de las ecuaciones. El trabajo de Bannon [15] resume y compara los distintos

modelos anelasticos hasta 1995.

El modelo anelastico sigue siendo de gran uso hoy en dıa en las simulaciones meteo-

rologicas y en el estudio del interior de estrellas y planetas (Glatzmaier et al. [16], [17],

[18], Braginsky y Roberts [19], Lantz y Fan [20]), centrandose los trabajos actuales en pe-

quenos cambios y adaptaciones a situaciones particuales, como son atmosferas humedas,

fenomenos multifase, formulacion en vorticidad y sistemas con rotacion diferencial y mag-

netismo (Bannon [21], [22], Jung y Arakawa [23], Glatzmaier et al. [17]). Ademas siguen

estudiandose modificaciones para conseguir conservacion de la masa (Lilly [24], Bannon et

al. [25]), pues el modelo anelastico realmente conserva el volumen, y distintas formas de

conservacion de la energıa (Arakawa y Konor [26], Brown et al. [27]).

Aunque en la Seccion 2.3 se deducira el modelo anelastico mediante un analisis del orden

de magnitud de los distintos terminos de las ecuaciones involucradas en la conveccion,

senalando de forma clara las hipotesis necesarias para su validez, incluimos ahora el sistema

de ecuaciones que contituye la forma general del modelo anelastico que se tratara a lo largo

del proyecto:

∇ · (ρv) = 0, (2.5)

∂v

∂t+ (v · ∇)v = −∇P +

(T −

(∂T

∂p

)p

)g

T+µ

ρ

(∇2v +

1

3∇(∇ · v)

), (2.6)

∂T

∂t+ v · ∇T = (γ − 1)hρTvz − γ

[dT

dz−(dT

dz

)ad

]vz+

+1

ρcp∇ · (k∇T ) +

1

ρcp∇ ·(kdT

dzk

)+

Q

ρcp+

Q

ρcp,

(2.7)

p

p=ρ

ρ+T

T, (2.8)

2.2. Ondas acusticas y la condicion CFL 15

donde se han usado la presion reducida P , que engloba las perturbaciones de presion y

potencial gravitatorio, y las relaciones de un gas perfecto, de forma que

P =p

ρ+ Φ, g = −gk = −∇Φ, ∇2Φ = 4πGρ, (2.9)

(∂T

∂p

)=dT

dz

(dp

dz

)−1

= −dTdz

1

ρg, (2.10)

[dT

dz−(dT

dz

)ad

]=dT

dz+g

cp=T

cp

dS

dz. (2.11)

En las ecuaciones anteriores el vector k corresponde a la direccion en que actua la gravedad

(hidrostatica), es decir, la coordenada vertical z en el caso rectangular y la radial r para

geometrıa polar. El potencial gravitatorio y su perturbacion se han incluido para los casos

de planetas y estrellas; en el caso de atmosferas o experimentos de laboratorio basta poner

Φ = 0.

El sistema anterior, en el que solo se han despreciado los efectos de disipacion viscosa

(ademas de lo propio del modelo anelastico), permite estados de referencia no adiabaticos

pero no conserva energıa, debido al termino de la perturbacion de presion. Como se justifica

en [27] (de forma similar a lo expuesto para conveccion en la atmosfera en [13] pero con

una ecuacion de la energıa mas adecuada para simulaciones de estrellas y planetas), incluso

para estados de referencia no adiabaticos conviene eliminar este termino.

2.2. Ondas acusticas y la condicion CFL

En esta seccion se va a mostrar que las ecuaciones (??) permiten ondas sonoras como

soluciones y por que estas suponen un grave inconveniente a la hora de resolver numeri-

camente el sistema discretizado.

2.2.1. Ondas acusticas

Las ondas sonoras corresponden a perturbaciones de presion y densidad muy pequenas,

por lo que el producto de las perturbaciones sera despreciable, es decir, es adecuado li-

nealizar las ecuaciones que describen el campo sonoro. Ademas, como se justifica en [28],

debido a los valores caracterısticos de los tiempos y longitudes de variacion en las ondas

sonoras, su propagacion se puede considerar isentropica, pues los efectos de las fuerzas

de viscosidad, conduccion de calor y disipacion viscosa son despreciables (y, ademas, su

efecto es en todo caso atenuar las ondas en el tiempo). Todo ello hace que el campo sonoro


este bien descrito por las ecuaciones de Euler isentropicas, bajo las hipotesis anteriores y

siempre que la velocidad del fluido sea mucho menor que la del sonido:

λ2∂ρ′

∂t+∇ · (ρ0v

′) = 0

ρ0∂v′

∂t+∇p′ = 0

p′ = c20ρ′

(2.12)

donde λ2 en principio es la unidad, el ındice 0 indica las variables en el estado sin perturbar

y las variables con comilla las perturbaciones (p′ � p0, ρ′ � ρ0), el estado sin perturbar se

asume en reposo y uniforme, y se considera la ecuacion de estado isentropica p = p(ρ, S0)

para gas perfecto linealizada:

p′ = p− p0 =∂p

∂ρ

∣∣∣∣S

(p0, ρ0)(ρ− ρ0) =∂p

∂ρ

∣∣∣∣S

(p0, ρ0)ρ′ = γRgT0ρ′

Es facil ver que c0 es efectivamente la velocidad de propagacion de las ondas sonoras.

Como ρ0 no depende del tiempo, tomando la divergencia de la ecuacion de la cantidad de

movimiento y haciendo uso de la conservacion de la masa, se tiene que

−λ2∂ρ′

∂t+∇2p′ = 0. (2.13)

Introduciendo ahora la tercera ecuacion se obtiene la conocida ecuacion de ondas para la

presion

λ2∂2p′

∂t2− c2

0∇2p′ = 0 → λ2

c20

∂2p′

∂t2−∇2p′ = 0 (2.14)

Para la densidad y la velocidad se obtiene la misma ecuacion. Es sabido que las soluciones

de esta ecuacion se propagan con velocidad c0/λ. Ası, por ejemplo, en el caso de que solo

haya dependencia espacial en una coordenada, las soluciones son

p′(x, t) = f(x− (c0/λ)t) + g(x+ (c0/λ)t),

y en el caso esferico, con dependencia solo radial,

p′(r, t) =f(t− r/(c0/λ))

r+g(t+ r/(c0/λ))

r,

donde f , g son funciones arbitrarias (obviamente definidas a partir de la perturbacion

inicial). En [28] se encuentra un estudio mas detallado, en el que puede verse como las

ondas sonoras basicamente transportan la perturbacion inicial por el dominio a la velocidad

c0, disminuyendo su amplitud en el caso esferico debido al aumento de superficie con el


radio. Ademas tambien se prueba como la intensidad acustica media de la onda (el flujo

de energıa sonora, p′v′) crece en ambos casos con el cuadrado de la frecuencia de la

perturbacion inicial (emisor).

Figura 2.1: Onda de presion en un fluido, (Imagen tomada de [28]).

En los fenomenos de conveccion natural el tiempo caracterıstico de variacion de las

magnitudes fluidas (presion, densidad, etc.) es mucho menor que el los efectos de las

ondas sonoras. Por ejemplo, si en una zona del fluido comienza a inyectarse calor, hasta

que no pase un tiempo τ caracterıstico de la conveccion, los efectos de variacion de presion y

densidad no seran suficientes para provocar movimiento apreciable del fluido. Sin embargo,

en ese tiempo, podemos imaginarnos el cambio continuo de densidad y presion de forma

discreta, con paso de tiempo ts marcado por la velocidad del sonido (y por tanto ts � τ),

provocando pulsos de ondas acusticas de presion y densidad. Como se dijo anteriormente,

la amplitud de estas ondas depende del cuadrado de la frecuencia de emision, y como

en este caso la causa de las ondas sonoras son las perturbaciones debido a la inyeccion

de calor (en general, al fenomeno que cause la conveccion, de frecuencia muy baja) su

amplitud es muy inferior a las perturbaciones finales de presion y densidad provocadas

por la conveccion. Es por ello que su estudio carece de interes en la gran mayorıa de los

problemas de conveccion libre.

Una forma obvia de eliminar las ondas acusticas es imponer λ = 0, lo que equivale a asu-

mir que la presion se actualiza de forma instantanea, como si la velocidad del sonido fuera

infinita. De esta forma la ecuacion de continuidad pasa de ser una ecuacion de pronostico

(es decir, que predice el valor de la densidad en base a valores pasados de las demas va-

riables) a una ecuacion de diagnostico (permite obtener la densidad conocidas las demas

variables en ese instante). Esta terminologıa es comun en la modelizacion meteorologica y

geofısica.


2.2.2. Condicion CFL

Aunque las ondas acusticas afecten poco a las fenomenos de conveccion natural, no

tendrıa sentido despreciarlas si no se fuera claramente ventajoso. En la resolucion numerica

de las ecuaciones en derivadas parciales, se hace necesario discretizar el dominio espacial

y temporal. Una consecuencia evidente es que cuanto mas fina sea la discretizacion mayor

sera la dificultad computacional, pero una discretizacion gruesa implicarıa cometer errores

de aproximacion importantes.

Los metodos usados para la discretizacion temporal suelen clasificarse en explıcitos e

implıcitos, dependiendo de si para actualizar las variables se usa su valor en instantes

anteriores o posteriores. Los segundo dan lugar a sistemas mas complejos, con frecuencia

no lineales, por lo que son claramente mas costosos computacionalmente. Los primeros

en cambio tienen el problema de que no son siempre convergentes. El primer estudio

importante sobre ello aparece en Courant et al. [29]. Su resultado es basico hoy en dıa y se

conoce como condicion CFL, Courant-Friedrich-Lewy, para la convergencia de los metodos

explıcitos. Se trata de una condicion necesaria pero no suficiente.

La forma mas sencilla de obtener una condicion de este tipo es realizar la discretizacion

en diferencias finitas de una ecuacion en derivadas parciales, desarrollar la recurrencia

resultante e imponer que los coeficientes aseguren la convergencia. El resultado para una

ecuacion de adveccion es ∣∣∣∣c∆t∆x

∣∣∣∣ ≤ 1, (2.15)

donde c es la velocidad maxima. La idea fısica subyacente es que si la onda se mueve a

traves del dominio y se quiere hallar su valor en instantes discretos, la duracion de estos

instantes (paso de tiempo) debe ser menor que el tiempo que tarda la onda en viajar entre

dos puntos contiguos del mallado: ∆t ≤ ∆x/|c|. Esta forma de verlo resulta conveniente

para obtener la condicion CFL de forma directa para distintas ecuaciones. Otra forma

equivalente de interpretarlo es que el dominio de dependencia numerica (es decir, los

puntos que afectan al calculo de la variable en el nuevo instante) debe incluir el dominio

fısico de dependencia.

Para ecuaciones mas generales la condicion (2.15) se mantiene si se considera c como la

velocidad maxima del sistema, pudiendo aparecer nuevos factores en ∆t, ∆x. Por ejemplo,

si se tiene un termino difusivo tipo α∇2(·), la velocidad de difusion serıa α/∆x, y la

correspondiente restriccion quedarıa ∆t ≤ (∆x)2/α, ver [30]. Estos terminos son tambien

muy restrictivos, pues dependen de (∆x)2; sin embargo, los terminos difusivos son lineales,

por lo que puede aplicarseles un metodo implıcito. No ocurre lo mismo con los terminos de

adveccion y conveccion, no lineales, que son donde la velocidad del sonido influye. Queda

2.3. Obtencion y validez del modelo anelastico 19

entonces claro que si se incluyen las ondas sonoras, como c incluirıa la velocidad del sonido,

la restriccion para el paso de tiempo es mucho mas severa.

2.3. Obtencion y validez del modelo anelastico

En la seccion anterior se mostro que suprimir la parcial respecto al tiempo en la ecuacion

de conservacion de la masa elimina las ondas acusticas, principal interes de la hipotesis

anelastica. El objetivo es por tanto justificar en que condiciones es valido y en que mas

puede afectar a las sistema de ecuaciones.

En primer lugar se va a obtener el modelo anelastico en la forma tıpica de los fenomenos

en atmosferas, siguiendo las ideas de [10], [11], [13] y [15] y, en un segundo paso, siguiendo

los argumentos de [17], se analizaran como quedan las ecuaciones para modelos mas propios

de estrellas y planetas, tal como las usaremos en el proyecto.

2.3.1. El modelo anelastico

Se ha optado por un analisis de los ordenes de magnitud de los distintos terminos de

las ecuaciones, similar a [31], en lugar de los desarrollos en serie, por ser una deduccion

mas propia en ingenierıa y de interpretacion mas sencilla. En los estudios de conveccion en

la atmosfera es comun usar la temperatura potencial θ, que para un volumen de fluido a

presion p se define como la temperatura que adquirirıa si se llevase adiabaticamente hasta

una presion de referencia p0. Para un gas perfecto es

θ = T

(p0

p

) Rcp

. (2.16)

Su importancia radica en que se conserva en los procesos adiabaticos y sirve de medida para

la estabilidad convectiva. Las ecuaciones para la conveccion natural de un gas perfecto,

haciendo uso de la temperatura potencial y despreciando los terminos de disipacion viscosa

son∂ρ

∂t+∇ · (ρv) = 0, (2.17)

∂v

∂t+ (v · ∇)v = −1

ρ∇p+ g + ν

(∇2v +

1

3∇(∇ · v)

), (2.18)

∂θ

∂t+ v · ∇θ =

θQ

ρcpT. (2.19)

p = RgρT (2.20)


En la ultima ecuacion Q incluye el calor generado y el flujo difusivo. Solo sera ası en

este desarrollo, por comodidad. Su obtencion es directa a partir de la Primera Ley de la

Termodinamica para un gas perfecto:

1

ρdQ = de+ pdv = cvdT +RgdT − vdp = cpdT − 1/ρdp

dθ =θ

TdT − RgT

cp

θ

T

1

pdp

=⇒ dθ =θ

ρcpTdQ. (2.21)

Para obtener el modelo anelastico lo primero es separar la variables como suma de una

referencia hidrostatica mas variaciones, como se hizo en (2.3). Se definen ademas las escalas

de altura

Hρ =

(1

ρ

dρ

dz

)−1

, Hp =

(1

p

dp

dz

)−1

,

Hθ =

(1

θ

dθ

dz

)−1

, HT =

(1

T

dT

dz

)−1

.

(2.22)

Expresamos la ecuacion de continuidad (2.17) introduciendo (2.3) y separando la compo-

nente vertical (radial en caso polar), denotando a la parte horizontal del gradiente ∇h:

∂ρ

∂t+ ρ

(1 +

ρ

ρ

)(∇h · vh +

∂vz∂z

)+ vh · ∇hρ+ vz

dρ

dz+ vz

dρ

dz= 0. (2.23)

La primera hipotesis es asumir |ρ|/ρ � 1. Llamando τ al tiempo caracterıstico de interes

y L, H, V , Vz a los valores caracterısticos de longitud y velocidad horizontal y vertical,

comparamos ahora cada termino con ρ∂vz/∂z. Ası,∣∣∣∂ρ∂t ∣∣∣∣∣ρ ∂vz∂z ∣∣ ∼ |ρ|/τ|vz|ρ/H

=|ρ|ρ

H

|vz|τ=g |ρ|/ρ|vz|/τ

H

g τ2∼ H

g τ2, (2.24)

donde en el ultimo paso se ha usado la ecuacion de la cantidad de movimiento. Se tiene

entonces que el termino de la derivada parcial en tiempo puede eliminarse si se cumple

que

τ2 � H

g. (2.25)

Evidentemente para estudiar las ondas sonoras esta condicion no se cumple, pero sı es

bastante acertada para movimientos de conveccion natural.

Con el resto se procede igual forma:∣∣∣vz dρdz ∣∣∣∣∣ρ ∂vz∂z ∣∣ =1

Hρ

vz∂vz∂z

∼ H

Hρ, (2.26)


|vh · ∇hρ|∣∣ρ ∂vz∂z ∣∣ ∼ |V ||ρ|/Lρ |Vz|/H

=|ρ|ρ

V

|Vz|H

L, (2.27)

∣∣∣vz ∂ρ∂z ∣∣∣∣∣ρ ∂vz∂z ∣∣ ∼ ρ

ρ� 1. (2.28)

La condicion (2.27) es equivalente a

V

Vz

H

L≤ 1, (2.29)

que se cumple siempre que la relacion de aspecto L/H sea grande. El termino implicado en

(2.26) no puede despreciarse en el modelo anelastico, pues precisamente pretende ser una

mejora del modelo de Boussinesq para permitir estratificaciones de densidad considerables.

En movimientos de conveccion poco profunda sı se puede considerar H/Hρ � 1, que es

una de las hipotesis adicionales para llegar al sistema de Boussinesq como caso lımite del

anelastico.

Resumiendo todo lo anterior, la ecuacion de continuidad (2.23) para el modelo anelastico

se reduce a

ρ∇h · vh +∂

∂z(ρvz) = 0 =⇒ ∇ · (ρv) = 0, (2.30)

y si ademas se cumple H/Hρ � 1, se obtiene la ecuacion de la masa del sistema de

Boussinesq:

ρ∇h · vh + ρ∂vz∂z

= 0 =⇒ ∇ · v = 0. (2.31)

Procedemos ahora a tratar las ecuacioness (2.18). Notamos primero que para las com-

ponentes horizontales se tiene de forma inmediata lo siguiente

− 1

ρ+ ρ∇h(p+ p ) +∇Φ = − 1

ρ (1 + ρ/ρ )∇hp+∇Φ ∼=

∼= −1

ρ∇hp+∇Φ = −∇h

(p

ρ+ Φ

).

(2.32)


Para la ecuacion en la direccion vertical se ha de tener en cuenta que el estado de referencia

esta en equilibrio hidrostatico (2.4), por lo que

− 1

ρ + ρ

∂

∂z(p+ p )− g +

∂Φ

∂z= − 1

ρ (1 + ρ/ρ )

(∂p

∂z− ρg

)− g +

∂Φ

∂z=

= − 1

ρ (1 + ρ/ρ )

∂p

∂z+

(ρ

ρ + ρ− 1

)g +

∂Φ

∂z∼=

∼=−1

ρ

∂p

∂z− ρ

ρg +

∂Φ

∂z=

= − ∂

∂z

(p

ρ+ Φ

)−(

1

ρ

dρ

dz

)p

ρ− ρ

ρg .

(2.33)

Para seguir simplificando, si usamos la ley de gas perfecto en la definicion de temperatura

potencial, se obtiene que

p = p0

(Rgρθ

p0

)γ. (2.34)

Derivando respecto a z y depejando se llega facilmente a la siguiente relacion entre las

escalas de altura1

Hρ=

1

γ

1

Hp− 1

Hθ. (2.35)

Si ademas se asume que las variaciones respecto al estado de referencia son muy pequenas,

p� p , ρ� ρ , T � T y θ � θ, se puede linealizar la ecuacion (2.34), resultando

1

γ

p

p=ρ

ρ+θ

θ. (2.36)

Sustituimos finalmente las relaciones (2.35) y (2.36) en (2.33), y haciendo uso del equilibrio

hidrostatico queda

−1

ρ+ ρ

∂

∂z(p+ p )− g +

∂Φ

∂z∼= −

∂

∂z

(p

ρ+ Φ

)+p

ρ

(1

θ

dθ

dz− 1

γ

1

p

dp

dz

)+

(θ

θ− 1

γ

p

p

)g =

= − ∂

∂z

(p

ρ+ Φ

)+p

ρ

(1

θ

dθ

dz

)+θ

θg .

(2.37)

Queremos ahora ver que θ/θ ∼= T/T . Para ello, si asumimos que la escala de altura de

temperatura y temperatura potencial son suficientemente mayores que las de presion y

densidad, Hp, Hρ � HT , Hθ, de (2.35) se deduce que γHp∼= Hρ y por tanto (2.36) se

puede escribir como

θ

θ=

p

γp

dp

dz

1dpdz

− ρ

ρ=

p

γHp(−ρg )− ρ

ρ= − p

ρgHρ− ρ

ρ. (2.38)


Derivando logarıtmicamente la ecuacion de gas perfecto se tiene que

1

ρ

dρ

dz=

1

p

dp

dz+

1

T

dT

dz=⇒ 1

Hp=

1

Hρ+

1

HT=⇒ Hp

∼= Hρ, (2.39)

luego (2.38) se reduce a

θ

θ= − p

ρgHp− ρ

ρ=

ppHpHp

− ρ

ρ=p

p− ρ

ρ, (2.40)

que, junto a la ecuacion de estado linealizada,

p

p=T

T+ρ

ρ, (2.41)

proporciona el resultado deseado θ/θ ∼= T/T . De igual forma, derivando respecto a z la

temperatura potencial expresada segun (2.16), y recordando la hipotesis Hp � HT , Hθ, se

obtiene1

θ

dθ

dz=

1

T

dT

dz− R

cpp

dp

dz∼=

1

T

dT

dz(2.42)

Para terminar con la ecuacion de la cantidad de movimiento, se va a estudiar en que casos

puede despreciarse el termino pρ

(1θdθdz

). En la descripcion de ondas gravitorias, propias

de un fluido convectivamente estable, aparece de forma natural la que se conoce como

frecuencia de Brunt-Vaisala, N ,

N2 =g

θ

dθ

dz=

g

Hθ. (2.43)

Haciendo uso de ella comparamos el termino anterior con −∂/∂z(p/ρ ):∣∣∣ pρ (1θdθdz

)∣∣∣∣∣∣ ∂∂z ( pρ )∣∣∣ ∼∣∣∣ pρ ∣∣∣ N2

g∣∣∣ pρ ∣∣∣ 1H

∼ N2H

g∼ H

Hθ. (2.44)

Otra forma de expresar este condicion es∣∣∣ pρ (1θdθdz

)∣∣∣∣∣∣ ∂∂z ( pρ )∣∣∣ ∼N2H

g=

N2

γRgT

RgT

gγH =

N2

c2 RgT

(|Hp|RgT

)γH =

N2

(c/Hp)2)

γH

Hp. (2.45)

Por tanto, se podra despreciar ese termino siempre que la altura de escala de la tempera-

tura potencial sea mucho mayor que la dimensional vertical o, visto de otra forma, debe

cumplirse que, si la altura de escala de la densidad es del orden de la dimension vertical,


la frecuncia de las ondas sonoras con longitud de onda una altura de escala de la densidad

es mucho mayor que la frecuencia de las ondas de gravedad.

La ecuacion correspondiente a la Primera Ley de la Termodinamica bajo la aproximacion

anelastica se obtiene sin mas que tener en cuenta que los valores de las desviaciones se han

supuesto mucho menores que los del estado de referencia. Con ello, el sistema (2.17)-(2.20)

mediante la aproximacion anelastica se simplifica en el siguiente:

∇ · (ρv) = 0, (2.46)

∂v

∂t+ (v · ∇)v = − ∂

∂z

(p

ρ+ Φ

)+p

ρ

(1

T

dT

dz

)+T

Tg + ν

(∇2v +

1

3∇(∇ · v)

), (2.47)

∂θ

∂t+ v · ∇θ + vz

dθ

dz=

θQ

ρcpT, (2.48)

p

p=T

T+ρ

ρ, (2.49)

θ

θ=T

T. (2.50)

Si se elimina el segundo termino del segundo miebro de la ecuacion (2.47), el sistema

es identico al obtenido en ([13]), con la misma conservacion de la energıa establecida en

el artıculo (no ocurre si se mantiene dicho termino). En general siempre se eliminara,

pues como argumenta ([27]) los errores producidos son mayores incluso cuando el analisis

anterior no se cumple.

Las hipotesis realizadas para obtener la aproximacion anelastica se resumen en lo si-

guiente:

1. Todas las variables termodinamicas se desvıan poco del valor de referencia.

2. La velocidad del fluido es mucho menor que la del sonido, ((2.25 y (2.45)).

3. La relacion de aspecto no es demasiado pequena, (2.29).

4. Las alturas de escala de presion y densidad son mucho menores que las de temperatura

y temperatura potencial.

Si ademas la dimension vertical es mucho menor que Hρ y, como se vera luego, el

movimiento esta fuertemente dominado por las fuerzas de flotabilidad,entonces se obtiene

el modelo de Boussinesq.

Un ejemplo donde puede ser inadecuado el modelo anelastico para la conveccion natural

ocurre en las capas finales de la atmosfera de las estrellas, donde la temperatura puede ser


muy pequena, con lo que la velocidad del sonido serıa baja, comparable a la velocidad de

movimiento del fluido. En esos casos habrıa que resolver las ecuaciones completas.

2.3.2. Ecuacion de la energıa

El sistema anelastico en la forma (2.46)-(2.50) usa la temperatura potencial, propia de

modelos atmosfericos, tal como se comenzo a modelar la hipotesis anelastica. Las ecuacio-

nes de continuidad y cantidad de movimiento son no obstante identicas a las mostradas

en la Seccion 2.1.2. En este trabajo para la parte numerica queremos la ecuacion de la

energıa en la variable temperatura, y adaptada para modelos sencillos de estrellas. Vamos

a obtenerla haciendo uso de los resultados de ([32]), en los que mediante un desarrollo en

serie con un parametro que coincide con el numero de Mach local (y por tanto, bajo la

hipotesis anelastica, pequeno), justifican la eliminacion de diversos terminos.

En primer lugar reescribimos (2.46) como sigue

∇ · v = −hρvz, hρ := −H−1ρ = − 1

ρ

dρ

dz(2.51)

Partimos de la ecuacion de la energıa del sistema (??), teniendo en cuenta que para un

gas perfecto la energıa interna es e = cvT , e introducimos la descomposicion (2.3),

cvρ

(1 +

ρ

ρ

)∂T

∂t+ cv(ρ + ρ)v · ∇(T + T ) + cv(p+ p )∇ · v =

=∇ · (k∇T ) +∇ ·(kdT

dzk

)+ Q+ Q

(2.52)

Desarrollamos el primer miembro, eliminando ya los terminos de orden superior1

cvρ∂T

∂t+ cvρv · ∇T + cvρvz

dT

dz+ cvρvz

dT

dz+ p∇ · v + p∇ · v =

cvρ∂T

∂t+ cvρv · ∇T +

(cvρvz

dT

dz− phρvz

)+

(cvρvz

dT

dz− phρvz

) (2.53)

Continuamos con los parentesis, notando previamente que para un gas perfecto en equili-

brio hidrostatico se cumple que

hρp

cvρ= (γ − 1)hρT , (2.54)

1De forma similar a como se justifica en el breve artıculo de Spiegel y Veronis [4] para el caso deBoussinesq, el termino p∇ · v no es en principio despreciable. Si se cumple que H � Hρ, su efecto seincluye cambiando al final cv por cp. En el caso anelastico se hace lo mismo, ademas de incluir el termino−(p + p )hρvz, aunque no queda justificado que alguno de los terminos despreciados fueran considerables.En cualquier caso, para hρ grande domina este ultimo termino.


de forma que(cvρ

dT

dz− phρ

)= cvρ

(dT

dz− (γ − 1)hρT

)= cpρ

[dT

dz−(dT

dz

)∣∣∣∣ad

]. (2.55)

En ambos casos se ha usado la ecuacion de estado de un gas perfecto para la entropıa

S = S0 + cv ln p − cp ln ρ , conjuntamente con la ley de gas perfecto en densidad, presion y

temperatura, ası como la relacion dada por el equilibrio hidrostatico. El segundo parentesis

queda (cvρ

dT

dz− phρ

)= −cvρ

((γ − 1)hρT − γ

[dT

dz−(dT

dz

)∣∣∣∣ad

]ρ

ρ

)∼=

∼= −cvρ (γ − 1)hρT.

(2.56)

Sustituyendo las relaciones (2.55) y (2.56) en (2.53), igualando al segundo miembro de

(2.52), dividiendo por cv y finalmente cambiando cv por cp, resulta la ecuacion de la

energıa (2.7) tal como se mostro en la Seccion 2.1.2.

2.3.3. Reduccion al modelo de Boussinesq

La aproximacion anelastica es una mejora de la de Boussinesq para permitir estratifi-

cacion en la densidad. Cabe esperar por tanto que si se elige un estado de referencia sin

estratificacion, es decir, con ρ = ρ0 = cte, con lo que Hρ →∞, las ecuaciones anelasticas

se reduzcan a las de Boussinesq.

Por comodidad no incluimos las perturbaciones del potencial gravitatorio en el desarrollo

siguiente. Expresamos el sistema de Boussinesq (2.1) (en el que las variables denotaban

su valor total) introduciendo la descomposicion (2.3):

∇ · v = 0, (2.57)

∂v

∂t+ (v · ∇)v =

1

ρ0∇p+ g βT k + ν∇2v, (2.58)

∂T

∂t+ (v · ∇)T + vz

dT

dz=

k

cpρ0∇2T +

Q

cpρ0+

k

cpρ0∇2T +

Q

ρ0cp. (2.59)

El coeficiente de dilatacion es

β =1

T + T∼=

1

T, (2.60)

aunque en el caso de Boussinesq se toma a menudo un valor constante por simplicidad.

2.4. Resolucion del modelo 27

Comenzamos con la ecuacion de continuidad (2.5) y de la cantidad de movimiento (2.6)

del sistema anelastico. Como siempre, se suprime el termino con asterisco. Si se impone

densidad del estado de referencia constante, y con ello hρ = 0, se obtienen de forma

directa las correspondientes ecuaciones de Boussinesq. Para la ecuacion de la energıa hay

que hacer algunos cambios. En efecto, la ecuacion (2.7) quedarıa

∂T

∂t+ v · ∇T = −γ

(dT

dz+g

cp

)vz +

1

ρ0cp∇ · (k∇T ) +

Q

ρ0cp+

k

cpρ0∇2T +

Q

ρ0cp. (2.61)

El primer termino del segundo miembro se desarrolla usando la ecuacion de equilibrio

hidrostatico para eliminar la gravedad y la ecuacion de gas perfecto con densidad constate:

−γ dTdz

+γ

ρ0cp

dp

dz= −γ dT

dz+γ

ρ0

γ − 1

γρ0dT

dz= −dT

dz, (2.62)

luego la ecuacion de la energıa, asumiendo k constate, se ha reducido a la de Boussinesq.

Debe notarse que, si bien la ecuacion de continuidad y de la cantidad de movimiento

de la aproximacion anelastica siempre se reducen a las de Boussinesq al imponer densidad

constante, no ocurre lo mismo con la ecuacion de la energıa, pues como se comento en la

seccion anterior, el argumento dado en [4] para incluir el termino de trabajo de expansion

cambiando cv por cp no esta del todo justificado para el modelo anelastico y, como para

hρ no pequeno (que es cuando tiene sentido la aproximacion anelastica), el termino −(p+

p )hρvz domina en el trabajo de expansion, en muchas ocasiones se deja cv.

2.4. Resolucion del modelo

El sistema anelastico (2.5)-(2.8) es un sistema de n+3 ecuaciones, siendo n = 2 la dimen-

sion espacial para problemas bidimensionales, con n+ 3 incognitas (v, ρ, p, T ), supuestos

conocidos el calor generado y el estado de referencia. Si se considera la perturbacion del

potencial gravitatorio, Φ, se tendrıa una incognita adicional, calculable mediante la ecua-

cion (2.9). Queremos reducir al maximo el numero de ecuaciones a resolver numericamente

para conocer el campo de velocidades y temperaturas. Necesitamos tambien obtener un

estado de referencia que cumpla el equilibrio hidrostatico.

Dado que se van a resolver problemas de conveccion natural en geometrıa rectangular y

polar, senalamos por separado como queda el sistema final en cada caso. Ademas, el proceso

de adimensionalizacion, conveniente para reducir el numero de parametros, se hara para

cada problema en los capıtulos correspondientes, pues varıa segun haya generacion o no.

Las condiciones de contorno tambien se indicaran en cada caso concreto.


2.4.1. Ecuacion de la vorticidad

Las dos ideas fundamentales son aprovechar que el flujo masico tiene divergencia nula y

tomar el rotacional de las ecuaciones de la cantidad de movimiento para hacer desaparecer

el termino de la presion reducida.

Geometrıa rectangular

El uso de geometrıa rectangular es comun para los fenomenos atmosfericos locales, donde

el efecto de la curvatura es despreciable, y por supuesto para experimentos de labotorio,

como los llevados a cabo para estudiar la conveccion de Rayleigh-Benard.

El tratamiento de las ecuaciones es muy similar al realizado por B. Saltzman en 1962 para

las ecuaciones de Boussinesq. Como el movimiento es bidimensional y se tiene un campo

solenoidal (en el caso anelastico es el flujo masico en lugar de la velocidad), conviene definir

una funcion de corriente de tal manera que la ecuacion (2.5) se satisfaga automaticamente

ρv = ∇× ϕ j =⇒

∣∣∣∣∣∣∣∣vx = − 1

ρ

∂ϕ

∂z,

vz =1

ρ

∂ϕ

∂x,

(2.63)

El siguiente paso es tomar el rotacional de las ecuaciones de la cantidad de movimiento

(2.6), que dado que el problema es bidimensional resulta en una sola ecuacion. Se usara que

el rotacional de un gradiente y la divergencia de un rotacional se anulan, rotacional y

laplaciano se intercambian, y las relaciones

(f · ∇)f = ∇(

1

2|f |2)− f × (∇× f), (2.64)

∇× (f × g) = (∇ · g)f + (g · ∇)f − (∇ · f)g − (f · ∇)g. (2.65)

Ademas se introduce la variable vorticidad ω = ∇×v = ω j, que para el caso bidimensional

es ortogonal al gradiente de la velocidad, y su magnitud es

ω = − 1

ρ

(∇2ϕ− hρ

∂ϕ

∂z

). (2.66)

Entonces, se obtiene la siguiente ecuacion para la vorticidad

∂ω

∂t= −v ·∇ω+hρωvz−

g

T

∂T

∂x+

1

T ρ

dT

dz

∂p

∂x︸︷︷︸∗

+µ

ρ∇2ω+µ

d

dz

(1

ρ

)(∂ω

∂z− 4hρ

3ρ

∂2ϕ

∂x2

).

(2.67)


Notemos que con esta transformacion las unicas incognitas que aparecen son ϕ, T y p.

El termino marcado con asterisco se puede obtener de la componente horizontal de las

ecuaciones de la cantidad de movimiento:

1

ρ

∂p

∂x= −∂vx

∂t− [(v · ∇)v]x +

µ

ρ

(∇2vx −

hρ3

∂vz∂x

), (2.68)

aunque lo suprimimos en lo que sigue pues impide la conservacion de la energıa distorsio-

nando mas los resultados, como se recomienda en [18]. Esto hace ademas que sea innece-

sario calcular las perturbaciones del campo gravitatorio para la obtencion de la velocidad

y la temperatura.

Una ultima modificacion adecuada para esta ecuacion consiste en unir los dos primeros

terminos del segundo miembro para expresarlos en forma conservativa:

−v · ∇ω + hρωvz = −v · ∇ω − ω∇ · v = −∇ · (ωv), (2.69)

pues es mas preciso para la resolucion numerica, ver [30].

La ecuacion de la energıa (2.7) no requiere ninguna modificacion, aunque tambien con-

viene agrupar los dos primeros terminos del segundo miembro en forma conservativa:

−v · ∇T + (γ − 1)hρvzT = −∇ · (Tv) + (γ − 2)hρTvz. (2.70)

Resumiendo, con las transformaciones indicadas, se puede obtener la funcion de corriente

(y por tanto el campo de velocidades) y la temperatura con solo dos ecuaciones. Es decir,

el sistema final a resolver, con unicas incognitas ϕ y T , es:

∂T

∂t= −∇ · (Tv) + (γ − 2)hρTvz − γ

[dT

dz−(dT

dz

)ad

]vz+

+1

ρcp∇ · (k∇T ) +

Q

ρcp+

1

cpρ∇ ·(kT

dzk

)+

Q

ρcp

(2.71)

∂ω

∂t= −∇ · (ωv)− g

T

∂T

∂x+µ

ρ∇2ω + µ

d

dz

(1

ρ

)(∂ω

∂z− 4hρ

3ρ

∂2ϕ

∂x2

). (2.72)

Geometrıa circular

El uso de coordenadas polares es adecuado para problemas con geometrıa cilındrica con

dimension axial suficientemente grande para poder considerlo como problema bidimensio-

nal. Tambien se suele usar en el estudio de la conveccion natural en estrellas y planetas,


reduciendo la complejidad de la geometrıa esferica (pueden considerarse las ecuaciones

como un promedio en la coordenada restante).

Repitiendo el proceso anterior, para coordenadas polares se tiene

ρv = ∇× ϕk =⇒

∣∣∣∣∣∣∣∣vr =

1

r

1

ρ

∂ϕ

∂θ,

vθ = − 1

ρ

∂ϕ

∂r,

(2.73)

y la vorticidad resulta ser

ω = − 1

ρ

(∇2ϕ− hρ

∂ϕ

∂r

). (2.74)

Recordamos la expresion de los principales operadores en coordenadas polares:

∇f =∂f

∂rur+

1

r

∂f

∂θuθ, ∇·f =

∂fr∂r

+frr

+1

r

∂fθ∂θ

, ∇2f =1

r

∂f

∂r+∂2f

∂r2+

1

r2

∂2f

∂θ2, (2.75)

siendo ur, uθ los vectores de la base polar. Con esta notacion la ecuacion de la vorticidad

queda casi identica al caso rectangular:

∂ω

∂t= −∇ · (ωv)−

g

rT

∂T

∂θ+

1

rρT

dT

dr

∂p

∂θ︸︷︷︸∗

+µ

ρ∇2ω + µ

d

dr

(1

ρ

)(∂ω

∂r− 4hρ

3r2ρ

∂2ϕ

∂θ2

),

(2.76)

donde nuevamente el termino con asterisco conviene suprimirlo. La ecuacion para la tem-

peratura mantiene su expresion, siendo el sistema final el siguiente:

∂T

∂t= −∇ · (Tv) + (γ − 2)hρTvr − γ

[dT

dr−(dT

dr

)ad

]vr+

+1

ρcp∇ · (k∇T ) +

Q

ρcp+

1

cpρ∇ ·(kT

dzk

)+

Q

ρcp

(2.77)

∂ω

∂t= −∇ · (ωv)− g

rT

∂T

∂θ+µ

ρ∇2ω + µ

d

dr

(1

ρ

)(∂ω

∂r− 4hρ

3r2ρ

∂2ϕ

∂θ2

). (2.78)

2.4.2. Estado de referencia: politropos

Un punto clave para el exito de las simulaciones con la aproximacion anelastica es elegir

bien el estado de referencia. En efecto, una de las hipotesis fundamentales es asumir que

las variaciones de las variables termodinamicas respecto a ese estado son muy pequenas

comparativamente. Ademas, el estado de referencia debe estar en equilibrio hidrostatico,

pero no necesariamente ser adiabatico.


Una buena eleccion la constituyen los politropos (ver [33]), esto es, estados que cumplen

el equilibrio hidrostatico y en los que la presion y densidad estan relacionadas como sigue

p = po

(ρ

ρ0

)(n+1)/n

, (2.79)

donde n se denomina ındice politropico. Resulta que los perfiles del interior de planetas

y estrellas se ajustan bastante bien a este tipo de relaciones. Ası, por ejemplo, el nucleo

del Sol responde a un politropo con n = 3, mientras que las capas mas convectivas suelen

modelarse bien con uno de n = 1.5. El caso n = 0 corresponde a densidad constante.

Figura 2.2: Perfiles de densidad y temperatura en el nucleo del Sol.2

Geometrıa rectangular

Consideramos un recinto rectangular de altura H y longitud L, con temperatura en la

superficie inferior mayor que en la superior (conveccion de Rayleigh-Benard).

La relacion politropica suele expresarse como sigue

p (z) = p0Θn+1(z), ρ (z) = ρ0Θn(z), (2.80)

donde el subındice cero indica el valor de las variables en el estado de referencia en la su-

perficie inferior z = 0 y Θ es el politropo adimensional. Sustituyendo (2.80) en la ecuacion

de equilibrio hidrostatico con la condicion Θ(0) = 1, se deduce la expresion del politropo

adimensional

Θ(z) = 1− z g0ρ0

(n+ 1)p0= 1− z g0

(n+ 1)RgT0= 1− z

Z, (2.81)

2Se han extraıdo los datos del Sol del libro de M. Schwarzschild Structure and evolution of the stars.Los politropos se han calculado usando Matlab (ver Cap. 5).


Z =(n+ 1)RgT0

g0, (2.82)

donde se ha asumido la ecuacion de estado de gas perfecto. En ese caso, la temperatura es

T =p

Rgρ= T0Θ(z), (2.83)

luego, dado que 0 < TH = T (H) < T0, se tiene que

TH = T0 −g0H

(n+ 1)Rg=⇒ (n+ 1) =

g0H

(T0 − TH)Rg=⇒ Z =

T0

T0 − THH < H, (2.84)

por lo que la densidad y presion estan bien definidas. Se observa que el perfil de tempera-

turas es siempre lineal.

Debe notarse que para el caso considerado se podrıa haber obtenido el estado de refe-

rencia sin mas que integrar la ecuacion de equilibrio hidrostatico con la ley de gas perfecto

tras hallar la distribucion de temperaturas del estado de referencia tal que cumpla las

condiciones de contorno (es decir, imponer v = 0 y anular las parciales respecto al tiempo

en las ecuaciones de la cantidad de movimiento y energıa e integrar). No obstante, para

simulaciones de la atmosfera es mas natural fijar el ındice politropico y la temperatura

inferior (con lo que la superior queda determinada), pues dan mas informacion sobre el

nivel de estratificacion. En efecto,

hρ =d ln(Θn)

dz= − n

Z − z, (2.85)

y el numero de escalas de altura para la densidad desde la superficie inferior a la superior

es

Nρ = −∫ H

0hρdz = n ln

(Z

Z −H

), (2.86)

por lo que la relacion entre la densidad en z = 0 y z = H es

ρ (0)

ρ (H)=

(Z

Z −H

)n= eNρ . (2.87)

En cualquier caso vamos a ver que es util conocer cual es el ındice politropico del estado

de referencia. Necesitamos calcular para nuestras ecuaciones el gradiente vertical de la

temperatura de referencia:dT

dz= −T0

Z. (2.88)

Esto permite comprobar si el estado de referencia es adiabatico, subadiabatico o super-

adiabatico, con una simple relacion. Sera adiabatico (subadiabatico, superadiabatico) si


T0/Z = g0/cp (<,>), es decir, si se cumple que

n =1

γ − 1(>,<), (2.89)

o expresado como relacion entre la temperatura inferior y superior

TH = T0 −g0H

cp(<,>). (2.90)

En el apartado de resultados se comprueba como el numero de Rayleigh crıtico para que

comience el movimiento convectivo depende del estado de referencia; en particular, cuanto

mas superadiabatico menor sera el Rayleigh crıtico.

Geometrıa circular

Para el caso de un anillo o cırculo, de radio maximo R, en la expresion del equilibrio

hidrostatico hay que tener en cuenta que la gravedad no es por lo general constante (por

ejemplo para estrellas y planetas), sino que, asumiendo simetrıa esferica, su valor en el

estado de referencia viene dada por

g (r) =4πG

r2

∫ r

0ρr2dr. (2.91)

Si introducimos (2.91) en la ecuacion de equilibrio hidrostatico dp/dz = −g ρ , multiplica-

mos por r2/ρ y derivamos luego respecto a r, el equilibrio hidrostatico queda como

1

r2

d

dr

(r2

ρ

dp

dr

)= −4πGρ. (2.92)

De nuevo usamos una relacion politropica como (2.79), donde ahora el ındice cero indica

el valor de las variables en el origen, r = 0. Sustituyendo la relacion politropica en (2.92)

se obtiene la ecuacion politropica para la densidad del estado de referencia:

(n+ 1)p0

4πGnr2

1

ρ(n+1)/n0

d

dr

(r2

ρ (n−1)/n

dρ

dr

)= −ρ , (2.93)

que se complementa con dos condiciones de contorno: ρ (0) = ρ0, dρ/dr(0) = 0 (por

simetrıa).

La ecuacion anterior se puede adimensionalizar si se realiza el cambio dado por (2.80),

definiendo ademas un radio adimensional

ξ =r

δ, δ =

((n+ 1)p0

4πGρ20

)1/2

, (2.94)


con lo que se obtiene la denominada ecuacion de Lane-Emden:

d

dξ

(ξ2dΘ

dξ

)= −Θnξ2, (2.95)

y las condiciones de contorno quedan como Θ(0) = 1, dΘ/dξ(0) = 0. La temperatura

esta dada por (2.83), ası que si fijamos la relacion entre la temperatura en la superficie TR

y la temperatura en el origen T0, el radio maximo ξmax = R/δ debe elegirse como aquel

que haga Θ(ξmax) = TR/T0. Vemos de nuevo que, fijados el radio exterior y las variables

en el origen, una vez elegido el ındice politropico queda definida la temperatura en la

superficie, y viceversa.

A diferencia del caso rectangular, la ecuacion de Lane-Emden solo tiene soluciones

analıticas para n = 0, 1, 5. Por tanto, en general debe resolverse numericamente. Pa-

ra ello conviene transformarla en un sistema de ecuaciones de primer orden. Definimos

u = dΘ/dξ, con lo que

1

ξ2

d

dξ(ξ2u) = −Θn =⇒ 1

ξ2

(2ξu+ ξ2du

dξ

)= −Θn, (2.96)

y se obtiene el siguiente sistema de primer orden

dΘ

dξ= u, (2.97)

du

dξ= −Θn − 2u

ξ, (2.98)

con condiciones de contorno u(0) = 0, Θ(0) = 1. Este sistema es un sistema de ecuaciones

diferenciales de primer orden, que puede integrarse sin problemas con cualquier esque-

ma tıpico, por ejemplo el Runge-Kutta clasico. Una observacion importante es que las

condiciones iniciales deben modificarse ligeramente para iniciar la integracion. Para ello

usaremos la solucion correspondiente a n = 0, Θ(ξ) = 1− ξ2/6, con ξ ≈ 0. Los politropos

de la imagen (2.2) y (2.3) se han resuelto de esta forma usando Matlab. Se observa que la

estratificacion es mayor al aumentar el ındice politropico.


Figura 2.3: Perfiles de densidad y temperatura politropicos.

En resumen, para el calculo del estado de referencia en polares el procedimiento es:

escoger un ındice politropico (con lo que queda determinada la temperatura en la superficie

supuestos fijos el radio exterior y las variables en el origen) y resolver numericamente la

ecuacion de Lane-Emden. Por ultimo mostramos como quedan los demas terminos que

aparecen en las ecuaciones:

g (r) =4πG

r2

∫ r

0ρr2dr =

4πGρ0δ3

r2

∫ ξ

0Θnξ2dξ = −4πGρ0δ

dΘ

dξ, (2.99)

dT

dr=T0

δ

dΘ

dξ, (2.100)

hρ =n

δΘ

dΘ

dξ, (2.101)

Nρ = −∫ R

rmin

hρdr = n ln

(Θ(rmin)

Θ(R)

), ρ (rmin) = ρ (R)eNρ . (2.102)

dS

dr=cp

T

[dT

dr+g

cp

]=cp(n(γ − 1)− 1)

δγ

(−d ln Θ

dξ

). (2.103)

El resultado (2.103) muestra que se cumple la misma condicion que en el caso rectangular

para saber si el estado de referencia es subadiabatico o superadiabatico (n >< 1/(γ− 1)),

pues la derivada del politropo adimensional solo se anula en para ξ = 0.

Corona convectiva:

En el caso de querer estudiar la conveccion en la corona de una estrella o planeta tal

que la masa de la corona represente una porcion pequena respecto de la masa total, se


puede realizar una aproximacion para obtener una expresion analıtica del politropo. Es la

que usaremos para las simulaciones de coronas delgadas.

Figura 2.4: Politropos aproximados.

Sea una corona de radio interior rmin y radio exterior R. Denotando M0 a la masa

contenida hasta el radio interior, la gravedad en la corona puede aproximarse por

g (r) =GM0

r2. (2.104)

Entonces de la ecuacion de equilibrio hidrostatico, tras introducir la presion y densidad en

funcion del politropo adimensional y denotando ρmin = ρ (rmin) = ρ0Θn(rmin), se obtiene

la funcion politropica

Θ(r) =

(ρminρ0

)1/n

− GM0ρ0

(n+ 1)p0

(1

rmin− 1

r

), r ≥ rmin. (2.105)


Para expresar todo en funcion de los valores en el radio interior, se hace el cambio

Θ(r) =Θ(r)

Θ(rmin)= 1− GM0ρrmin

(n+ 1)prmin

(1

rmin− 1

r

), r ≥ rmin. (2.106)

Si queremos expresarlo en funcion de la temperatura exterior, TR, se tiene que

n =GM0

R(Trmin − TR)

(1

rmin− 1

R

)− 1, (2.107)

Θ(r) = 1−(

1

rmin− 1

R

)−1( 1

rmin− 1

r

)Trmin − TRTrmin

. (2.108)

Con ello todos los terminos de interes quedan

ρ (r) = ρrminΘn(r), (2.109)

p (r) = prminΘn+1(r), (2.110)

T (r) = TrminΘ(r), (2.111)

Nρ = −n ln Θ(R), (2.112)

hρ(r) =n

Θ

dΘ

dr. (2.113)

Capıtulo 3

Esquema numerico: metodos

espectrales

En este capıtulo se explican los metodos numericos usados para la resolucion numerica

de las ecuaciones en derivadas parciales presentadas en el capıtulo anterior. Se presentan

dos metodos espectrales: metodo de colocacion mediante interpolacion de Lagrange con

nodos de Chebyshev y metodo de Fourier. Tras su descripcion y una breve comparacion

con el metodo de diferencias finitas, se aplican en algunas ecuaciones clasicas como la

ecuacion de Poisson. Finalmente se desarrolla el metodo escogido para la discretizacion en

tiempo y se muestra la resolucion de un primer problema de conveccion natural.

3.1. Introduccion: resolucion numerica de EDPs

Los metodos de resolucion de ecuaciones en derivadas parciales se pueden clasificar en

tres grandes bloques: diferencias finitas, elementos finitos y metodos espectrales. Los dos

primeros toman bases locales para construir los espacios de funciones sobre los que se

obtiene la solucion aproximada, por lo que son mas adecuados para geometrıas complejas.

Los metodos espectrales en cambio utilizan desarrollos en serie truncados con tantos termi-

nos como puntos tenga el mallado. Para geometrıas simples son mucho mas precisos para

un mismo nivel de discretizacion. Por esto motivo su uso esta generalizado para estudiar

los fenomenos de conveccion natural en atmosferas, estrellas y planetas.

38


3.2. Metodo de colocacion con interpolantes de Lagrange y

nodos de Chebyshev

Se va a explicar el metodo para ecuaciones con una variable y luego se generalizara.

Para resolver numericamente una ecuacion en derivadas parciales lo primero es elegir un

espacio de funciones discreto, sobre el que se obtendran las soluciones aproximadas. En el

caso de una ecuacion diferencial en una variable independiente x con dominio un intervalo

[a, b], el espacio de funciones para el metodo de colocacion con interpolantes de Lagrange lo

constituyen los polinomios de grado N −1, siendo N el numero de puntos en los que se ha

dividido el dominio: a = x1 < x2 < · · · < xN−1 < xN = b. Si suponemos que la solucion

exacta en los puntos del mallado, xi, vale fi, la solucion aproximada, que denotaremos

p = p(x), sera el unico polinomio de grado N − 1 que cumple p(xi) = fi, ∀i = 1, ..., N .

Expresado en la forma de Lagrange queda

p(x) =N∑i=1

Li(x)fi, Li(x) =N∏

j=1,j 6=i

x− xjxi − xj

, i = 1, ..., N, (3.1)

donde se cumple Li(xj) = δij ∀i, j = 1, ..., N , siendo δij la delta de Kronecker.

La idea base del metodo de colocacion es imponer que el polinomio con coeficientes

incognitas fi cumpla la ecuacion diferencial de forma exacta en los N nodos, llamados

nodos de colocacion, lo que da lugar a un sistema algebraico de N ecuaciones con N

incognitas. La eleccion de polinomios no es fundamental. De hecho ,existen otros metodos

de colocacion en los que las funciones base no son polinomios.

Al imponer el cumplimiento de la ecuacion por parte del polinomio p(x) apareceran sus

derivadas. Se necesita calcular pues las derivadas del polinomio p(x) en los nodos, es decir,

p′(xi):

p′(x) =N∑i=1

L′i(x)fi =⇒ L′i(x) =1∏Nj=1j 6=i

N∑j=1j 6=i

N∏k=1k 6=ik 6=j

(x− xk) =⇒ (3.2)

L′i(xi) =

N∑j=1j 6=i

1

xi − xj, L′i(xj) =

1∏Nk=1k 6=i

(xi − xk)

N∏k=1k 6=ik 6=j

(xj − xk) , (3.3)

con lo que el valor de la derivada (aproximada) en los nodos es

f ′i ≡ p′(xi) =

N∑j=1

L′j(xi)fj , ∀i = 1, ..., N. (3.4)


La derivada de la solucion exacta no se aproxima con la derivada del polinomio que apro-

xima la solucion, sino que de nuevo, con los valores anteriores, se ajusta a un polinomio

de grado N − 1, es decir, la derivada de la solucion exacta se aproxima por

q(x) =N∑i=1

Li(x)f ′i . (3.5)

La derivada segunda se aproximarıa entonces en los nodos por

f ′′i ≡ q′(xi) =N∑j=1

L′j(xi)f′j =

N∑j=1

(N∑k=1

L′k(xj)fk

)L′j(xi), ∀i = 1, ..., N. (3.6)

Es habitual expresar lo anterior en forma matricial. Si se definen los vectores

f =

f1

f2

...

fN

, f ′ =

f ′1f ′2...

f ′N

, f ′′ =

f ′′1f ′′2...

f ′′N

(3.7)

la relacion (3.4) se escribe en forma matricial como

f ′ = Lxf , (3.8)

siendo Lx la matriz

Lx =

L′1(x1) L′2(x1) · · · L′N (x1)

L′1(x2) L′2(x2) · · · L′N (x2)...

.... . .

...

L′1(xN ) L′2(xN ) · · · L′N (xN )

, (3.9)

y de igual forma para la segunda derivada queda

f ′′ = Lxf′ = Lx2f . (3.10)

Este hecho resulta muy comodo dado que solo habra que calcular la matriz de derivada

primera, algo que no ocurre en otros metodos.

Para finalizar el metodo hay que escoger los nodos de colocacion. Es conocido que la

eleccion optima de los nodos para la interpolacion son los denominados nodos de Chebys-

hev, que se concentran cerca de los bordes del dominio, con lo que se consigue capturar

mejor las oscilaciones propias de las derivadas de los polinomios de alto grado.

3.3. Metodo espectral de Fourier 41

La construccion de la matriz Lx en Matlab se puede hacer directamente a partir de las

expresiones (3.3) usando bucles, como en [35]. Sin embargo esto no es viable para valores

de N > 50 debido al gran anidamiento de bucles que se produce. En [36] se encuentra una

forma mucha mas compacta y eficiente de obtenerla y su codigo es el que usaremos.

3.3. Metodo espectral de Fourier

Uno de los problemas centrales de este proyecto es el estudio de la conveccion natural en

geometrıa cilındrica. Al usar coordenadas polares, aparecen de forma natural condiciones

de contorno de periodicidad. Logicamente la aproximacion de las soluciones por polinomios

no es una buena opcion. Como se comento, en los metodos espectrales la solucion exacta

se aproxima por una funcion en un espacio de dimension finita. Las funciones base de este

espacio pueden ser muy variadas. En particular, la base trigonometrica de Fourier goza de

buenas propiedades y es periodica en su naturaleza, [?], [?].

Consideramos un problema en una variable θ ∈ [0, 2π]. La idea es similar al metodo

anterior pero cambiando el polinomio de Lagrange por una serie truncada de Fourier. Sea

f la solucion exacta, periodica de periodo 2π (solo nos interesa desarrollar el metodo para

problemas en coordenadas polares), con valores fn en los nodos 0 = θ0 < · · · < θn <

· · · < θN−1 = 2π, donde N debe ser par para el desarrollo que sigue (se ha cambiado el

ındice para no confundirlo con la unidad imaginaria). Usando notacion compleja, queremos

aproximar f por la serie de Fourier truncada p(θ) que cumple p(θn) = fn ∀n = 0, ..., N−1.

Es decir, la solucion aproximada tiene la forma

p(θ) =1

N

N−1∑n=0

βnenθi, (3.11)

y queremos que cumpla p(θn) = fn ∀n = 0, ..., N − 1. Necesitamos expresar βn en funcion

de fn para proceder como en el metodo de colocacion de Lagrange y calcular las derivadas.

Imponemos las condiciones de interpolacion:

p(θk) = fk ⇐⇒1

N

N−1∑n=0

βnenθki =

1

N

N−1∑n=0

βnen 2πni =

1

N

N−1∑n=0

βnwnkN = fk, ∀k = 0, ..., N − 1.

(3.12)

donde wN = e2πiN es la raız N -esima de la unidad. Matricialmente queda:

f =1

NFNβ, (3.13)


donde FNnk =[wnkN

]es la denominada matriz de Fourier. Esta matriz tiene inversa dada

por 1NFN . Luego

β = FN f , (3.14)

y se denomina transformada discreta de Fourir β = DFT (f). En Matlab el comando fft

realiza esta operacion usando el metodo de la transformada rapida de fourier, y el comando

dftmtx construye la matriz FN .

Tenemos entonces que la solucion aproximada es

p(θ) =1

N(FN f) ·

[enθi

]n, (3.15)

donde · es el producto escalar entre vectores y[enθi

]n

el vector con n = 0, ..., N − 1. El

valor de la derivada en los nodos queda

f ′k ≡ p′(θk) =1

N(FN f) · [nienθki]n =

1

N(diag([ni]n)FN f) · [eθk ] =

=1

NFNdiag([ni]n)FN f = Lθf .

(3.16)

Destecar que en este caso se pueden usar las transformadas rapidas para agilizar muchos

calculos. En Matlab hemos comparado su uso y solo interesa para valores de Nr, Nθ supe-

rior a 100. Aunque no se ha indiciado, puede ver en los codigos de Matlab de los capıtulos

4 y 5 que el producto de las matrices Dr, Dθ por un vector nunca se realiza tal cual. Ni

siquiera usando las opciones sparse de Matlab. Como tienen una estructura especial, debe

aprovecharse para minimizar los calculos. En el programa que a continuacion se presenta

no se ha hecho ası por simplicidad, pero para el problema en un cırculo completo con

generacion de calor el tiempo que requiere cada simulacion aumenta considerablemente.

Senalar por ultimo que en este caso no es cierto que la matriz de segunda derivada sea

el cuadrado de la primera. Habrıa que construirla cambiando [ni]n por([ni]n)2. En Matlab

hay que tener cuidado porque el orden de numeracion de los nodos es distinto. Se incluye

como ejemplo el codigo para calcular la matriz de derivada cuarta:

1 Mfft=dftmtx(Nth);

2 Mifft =1/Nth*conj(Mfft);

3 I=1i;

4 IK4=(I*diag ([0: Nth/2-1 Nth/2 -Nth /2+1: -1])).^4;

5 Fth4 = real(Mifft*(IK4*Mfft));


3.3.1. Coordenadas polares

En dos dimensiones los metodos anteriores se aplican de forma muy sencilla. Realmente

se aplica en cada direccion un metodo unidimensional y se aplica el producto tensorial. De

esta forma construidas las matrices Lx, Lθ, etc., el producto tensorial o de Kronecker nos

da la matriz de derivacion correspondiente para el mallado de dos dimensiones, con tantas

filas y columnas como puntos del mallado. En problemas bidimensionales con coordenadas

polares se aplicara el metodo de colocacion con nodos de Chebyshev en la direccion radial

y el de Fourier en la angular.

3.3.2. La ecuacion de Poisson

Se va a resolver un problema basico en coordendas polares, mostrando los codigos de

Matlab y los resultados. La ecuacion correspondiente es:

∂2f

∂r2+

1

r

∂f

∂r+

1

r2

∂2f

∂θ2= 0, (3.17)

con dominio (r, θ)) ∈ [0, R] × [0, 2π], y condiciones de contorno f(R, θ) = cos(θ) ademas

de la periodicidad de f . La discretizacion de la ecuacion introduciendo las matrices de

derivacion Lr correspondiente al metodo de colocacion por Chebyshev para la direccion

radial y Lθ por el metodo de Fourier para la angular, queda:

r2L2 = (r2L2r + rLr)⊗ Iθ, L2

θ = Ir ⊗ L2θ, (3.18)

donde Ir,Iθ son el tensor (matriz)unidad de dimensiones adecuadas y r un vector con

los nodos de la discretizacion radial. Se observa como cada dimension se trata realmente

por separado. Notese que se ha multiplicado la ecuacion por r2. Esto permite evitar la

singularidad en el origen. No obstante, debe indicarse que no es un buen metodo, pues

para ecuaciones mas complejas, con derivadas de mayor orden, provoca matrices muy mal

condicionadas. Si notamos que la singularidad en el origen no es propia, en el sentido de

que no existe fısicamente sino solo debido a las coordenadas polares, basta con no tomar

el origen como punto de colocacion. Esto es posible siempre que no se tengan condiciones

de contorno en el origen. Como ejemplo considerese el laplaciano de la funcion f(r) = r2.

Es claro que su laplaciano es constante, perfectamente definido en el origen, pese a que su

expresion no estarıa definida.

En definitiva, la resolucion de la ecuacion parsarıa por invertir la matriz

M = (r2L2r + rLr)⊗ Iθ + Ir ⊗ L2

θ. (3.19)


Antes de invertirla hay que imponer las condiciones de contorno (si no se tiene una matriz

singular). Simplemente hay que eliminar las filas correspondientes a los nodos en los que

haya condiciones de contorno y sustituirlas por la correspondiente ecuacion.

El codigo de Matlab correspondiente es el siguiente:

1 %---- ECUACION DE POISSON ---- %

2

3

4 % Problema de Dirichlet en un circulo.

5 % Metodo de colocacion con nodos de

6 % Chebyshev en r, espectral en theta.

7

8 % u_rr(r,th) + 1/r*u_r(r,th) + 1/r^2* u_thth = 0 , r en [0,R], th en

[0,2*pi]

9 %

10 % u(R,th)=cos(th), u periodica

11

12 clear all

13 close all

14 clc

15

16 % Mallado

17

18 Nr=50;

19 Rmax =3;

20 Rmin =0.001; %Numericamente conviene no incluir el polo como punto

de

21 %colocacion (aunque en este caso se ha implementado

para

22 %permitirlo , seria mejor poner Rmin =0.001).

23

24 Nth =80; %Tiene que ser par

25 Thmin =0; Thmax =2*pi;

26 dth=2*pi/Nth; th = dth *(1: Nth)’; Nth2 = Nth/2;

27

28

29 tic

30 % Operadores

31

32 % Unidimensionales

33 % En r:

34 [Lr, nodosR ]=cheb(Nr -1,Rmin ,Rmax); %Nota: nodosR es [Rmax ... Rmin]’.


35 Lr2=Lr^2;

36

37 % En theta:

38 col=[0 0.5*( -1) .^(1:Nth -1).*cot ((1:Nth -1)*pi/Nth)];

39 Fth=toeplitz(col ,col([1 Nth : -1:2]));

40 Fth2=toeplitz([-pi ^2/(3* dth ^2) -1/6, 0.5*( -1) .^(2: Nth)./sin(dth *(1:

Nth -1) /2) .^2]);

41

42

43 R = spdiags(nodosR ,0,Nr,Nr);

44 Ith = speye(Nth);

45 Ir = speye(Nr);

46

47 % Producto tensorial:

48 % Nota: convertimos el mallado 2D en un vector -> v(i+Nth*(j-1))=M(

i,j).

49 % Es decir , las primeras Nth componentes de los vectores

corresponden

50 % a Rmax con th de 2*pi a 0, y asi con r disminuyendo hasta

Rmin.

51 Dr = kron(Lr ,Ith);

52 Fth = kron(Ir ,Fth);

53

54 % Laplaciano (multiplicamos por r^2 para eliminar la singularidad

de las

55 % coordenadas)

56 r2L2 = kron(R^2* Lr2+R*Lr ,Ith) + kron(Ir ,Fth2);

57 toc

58

59 % Termino independiente

60 b=zeros(Nr*Nth ,1);

61

62 tic

63 % Condiciones de contorno

64 r2L2=full(r2L2);

65

66 % r=Rmax

67 r2L2 (1:Nth ,:)=eye(Nth ,Nr*Nth);

68 b(1:Nth)=cos(th);

69 toc

70

71 tic

72 r2L2=sparse(r2L2);


73 % Solucion del sistema

74 fsol=r2L2\b;

75 toc

76

77 % Representacion grafica de la solucion

78

79 % Solucion por el metodo de colocacion

80 figure

81 sol=reshape(fsol ,Nth ,Nr);

82 sol=[sol;sol(Nth ,:)];

83 surf(nodosR ,[0; th(1: Nth)],sol)

84 axis([-4 4 0 2*pi -1 1])

85

86 figure

87 Rr=ones(Nth+1,1)*nodosR (1:Nr)’;

88 Th=[0; th]*ones(1,Nr);

89 nodosRr=Rr.*cos(Th);

90 nodosTh=Rr.*sin(Th);

91 surf(nodosRr ,nodosTh ,sol)

92 axis([-4 4 -4 4 -1 1])

La solucion se ajusta perfectamente a la sabida por teorıa:

Figura 3.1: Modelo simplificado de estrella.

3.4. Discretizacion en tiempo: metodo semi-implıcito 47

3.4. Discretizacion en tiempo: metodo semi-implıcito

Con las seccions anteriores queda descrito como resolver problemas elıpticos, es decir,

que no dependen del tiempo. Para los problemas en los que aparezcan ademas derivadas

temporales, el proceso es el siguiente: se discretiza el tiempo el sistema, obteniendo una

sucesion de problemas elıpticos, que se resuelven en cada paso de tiempo. El metodo en

tiempo que usaremos es el Euler centrado o Crank-Nicholson, de forma que en cada paso

de tiempo∂f

∂t

∣∣∣∣tn+∆t/2

≈ fn − fn−1

∆t, f |tn+∆t/2 ≈

tn + tn−1

∆t. (3.20)

Se trata de un metodo implıcito por tanto con buenas propiedades de estabilidad numerica.

Sin embargo no es practicable su aplicacion para los terminos convectivos, pues exigirıan

resolver en cada paso de tiempo un sistema no lineal. Se usa entonces un metodo semi

implıcito, tratando los metodos no lineales como explıcitos.

3.5. Ejemplo de aplicacion: conveccion natural en un cilin-

dro horizontal

Vamos a resolver un problema de conveccion natural con hipotesis de Boussinesq en

un cilindro horizontal con temperaturas impuestas en las semicircunferencias inferior T1 y

superior T2, con ∆T = T1 − T2 > 0. Este problema ademas de tener interes por sı mismo

ya ha sido estudiado, por lo que nos permite validar el codigo.

El sistema de ecuaciones es el correspondiente al modelo de Boussinesq. Si se introducen

las siguientes variables adimensionales

r∗ = r/R, t∗ = αt/R2, v = R/αv, T ∗ = (T − T0)/∆T, (3.21)

donde α es la difusividad termica,el sistema resultante es, denotado por comodidad sin ∗,

∂T

∂t+

1

r

∂ϕ

∂θ

∂T

∂r− 1

r

∂ϕ

∂r

∂T

∂θ= ∇2T, (3.22)

r∂ϕ

∂t∇2ϕ+

∂ϕ

∂θ

∂

∂r∇2ϕ− ∂ϕ

∂r

∂

∂θ∇2ϕ = rPr∇4ϕ+PrRa

(∂T

∂θsin(θ)− ∂T

∂rcos(θ)

), (3.23)

donde se tienen los numeros adimensionales

Pr =ν

α, Ra =

gβ

ανR3∆T. (3.24)

3.5. Ejemplo de aplicacion: conveccion natural en un cilindro horizontal 48

Este mismo proceso se seguira con mas detalle en el capıtulo 4. Las ecuaciones anteriores

corresponden con las ecuaciones de Saltzman para coordenadas polares.

Tras introducir las discretizaciones espaciales y temporal, queda un sistema de ecuacio-

nes lineales que se resuleve con Matlab, aunque previamente hay que modificar la matriz

para imponer las condiciones de contorno.

Se ha comprobado que los resultados son los esperados, pruduciendose conveccion de

aire caliente desde el centro hacia arriba, formandose dos vortices. Los resultados se han

comparado con obtenido usando el metodo de diferencias finitas. Incluimos las graficas

del campo de temperaturas y velocidades en el regimen permanente para un numero de

Rayliegh Ra = 104, con mallado Nr = 20 y Nθ = 80, y los codigos de Matlab completos

que se han usado. Con estos puede realizarse un analisis mas detallado, que no incluimos

por salirse del objetivo del proyecto (procesos anelasticos).

3.5.1. Codigos de Matlab

Los codigos de Matlab del programa para la conveccion en un cilindro horizontal son los

siguientes:

1 %---- CAPITULO 3 ---- %

2 clear all

3 close all

4 clc

5


6 % Conveccion natural en recinto circular con hipotesis de

Boussinesq ,

7 % gravedad normal.

8 %

9 % Metodo de colocacion con nodos de Chebyshev en direccion radial ,

10 % espectral en theta.

11 %

12 % r en (0+,R], theta en (0+,2*pi]

13 % Temperatura dada en r=Rmax

14 %

15 % Se comprueba que funciona bien (p ej., si se pone el contorno a

una

16 % temperatura dada y sin generacion de calor , el circulo entero

tiende a

17 % homogeneizarse (al final se producen errores numericos debido a

que la

18 % velocidad tenderia a cero;

19 % Si se introduce generacion radial simetrica desde el centro , se

obtiene

20 % un campo de temperaturas acorde , con movimiento del fluido

subiendo por

21 % el centro y descendiendo por los laterales debido al enfriamiento

;

22 % Otras pruebas como poner cada semicirculo a una temperatura

distinta

23 % (inferior -superior o izq.-der. ) tambien dan resultados logicos)

24

25 % Datos

26

27 TRmax =40;

28 TRmin =0;

29 Pr=0.8;

30 Ra=10^4

31

32 dt=2.5* Ra^-1;

33 Ntau =5000;

34

35 % Mallado

36

37 Nr=16;

38 Rmax =1;

39

40 Nth =36; %Tiene que ser par (por como esta implementado)



42 dth=2*pi/Nth; th=dth *(1: Nth)’; Nth2=Nth/2;

43

44 tic

45 % Operadores

46 % Unidimensional en r:

47 [Lr, nodosR ]=cheb(Nr -1 ,0.001 , Rmax);

48 Lr2=Lr^2;

49 Lr3=Lr2*Lr;

50 Lr4=Lr2*Lr2;

51

52 % Unidimensional en theta

53 col = [0 0.5*( -1) .^(1:Nth -1).*cot ((1:Nth -1)*pi/Nth)];

54 Fth = toeplitz(col ,col([1 Nth : -1:2]));

55 Fth2 = toeplitz([-pi ^2/(3* dth ^2) -1/6, 0.5*( -1) .^(2: Nth)./sin(dth

*(1:Nth -1) /2) .^2]);

56 Mfft=dftmtx(Nth);

57 Mifft =1/Nth*conj(Mfft);

58 I=1i;

59 IK4=(I*diag ([0: Nth/2-1 Nth/2 -Nth /2+1: -1])).^4;

60 Fth4 = real(Mifft*(IK4*Mfft));

61


63 Rm1 = spdiags(nodosR.^-1,0,Nr ,Nr);





68 Ir = speye(Nr);

69

70 % Productos tensoriales

71 Rk = kron(R,Ith);

72 Rkm1 = kron(Rm1 ,Ith);



75

76 % Parcial en r, theta

77 Dr = kron(Lr ,Ith);

78 Dth = kron(Ir ,Fth);

79 Dth4 = kron(Ir ,Fth4);

80

81 % Laplaciano

82 L2 = kron(Lr2+Rm1*Lr ,Ith) + kron(Rm2 ,Fth2);


83 toc

84

85 tic

86 % Creacion de la matriz sistema

87 Nt=Nr*Nth;

88 Sinth = kron(Ir, spdiags(sin(th) ,0,Nth ,Nth));

89 Costh = kron(Ir, spdiags(cos(th) ,0,Nth ,Nth));

90

91 Af=(Rk -0.5*dt*Pr*Rk*L2)*L2;

92 AT=-0.5*dt*Pr*Ra*( Sinth*Dth -Rk*Costh*Dr);

93 Bf=zeros(Nt ,Nt);

94 BT=Rk -0.5*dt*Rk*L2;

95 Af=full(Af);

96 AT=full(AT);

97 BT=full(BT);

98


100 bfc=ones(Nt ,1);

101 bfvalor=zeros(Nt ,1);

102 bTc=ones(Nt ,1);

103 bTvalor=zeros(Nt ,1);

104


106

107 % Valores de fi en (R,th)

108 Eye=eye(Nth ,Nt);

109 Af(1:Nth ,:)=Eye;

110 AT(1:Nth ,:) =0;

111 bfc(1:Nth)=0;

112

113 % Valores de fi_r en (R,th)

114 Af(Nth +1:2*Nth ,:)=Dr(Nth +1:2*Nth ,:);

115 AT(Nth +1:2*Nth ,:) =0;

116 bfc(Nth +1:2* Nth)=0;

117

118 % Valores de T en la frontera

119 BT(1:Nth ,:)=Eye;

120 bTc(1:Nth)=0;

121 TRmaxad=TRmax/(TRmax -TRmin);

122 TRminad=TRmin/(TRmax -TRmin);

123 TRmedad =( TRmax+TRmin)/2/( TRmax -TRmin);

124 % Caso1: toda la frontera a la misma T

125 % bTvalor (1:Nth ,:)=TRminad;


126 % Casos 2 y 3: cada semicircunferencia a un valor de T:

127 cold=TRmedad +(TRminad -TRmedad)*exp(-((th(1: Nth/2-1)-pi/2) .^4) ./...

128 (((th(1: Nth/2-1)-th(1)).^4) .*((th(1:Nth/2-1)-th(Nth/2-1)).^4)))

;

129 hot=TRmedad +(TRmaxad -TRmedad)*exp(-((th(Nth/2:Nth) -3*pi/2) .^4) ./...

130 (((th(Nth /2:Nth)-th(Nth/2)).^4) .*((th(Nth/2:Nth)-th(Nth)).^4)))

;

131 % Caso 2: superior/inferior

132 bTvalor (1: Nth/2-1,:)=cold;

133 bTvalor(Nth /2: Nth)=hot;

134 % Caso 3: izquierda/derecha

135 % bTvalor ([3* Nth /4+1: Nth 1:Nth/4-1])=cold;

136 % bTvalor(Nth /4:3* Nth/4)=hot;

137 toc

138

139 % Matriz del sistema

140 EyeNt=eye(Nt);

141 tic

142 Afinv=Af\EyeNt;

143 BTinv=BT\EyeNt;

144 toc

145 Afinv (1:Nth ,:)=Eye; % Evita errores numericos

146 BTinv (1:Nth ,:)=Eye; % Evita errores numericos

147

148 % Solucion del sistema para cada t

149

150

151 % Condiciones iniciales

152 T0=(TRmax+TRmin)/2/( TRmax -TRmin)*ones(Nt ,1);

153 fi0=zeros(Nt ,1);

154

155 % Fuente de calor

156 Rkaux=full(diag(Rk));

157 Rk2=Rkaux .^2;

158 lambda =0;

159 Qp = lambda*exp(-(Rk2)./(Rmax -Rk2));

160

161

162 fi=zeros(Nt ,Ntau);

163 T=zeros(Nt,Ntau);

164 AT=sparse(AT);

165 tic

166 for i=1: Ntau


167

168 %Se puede optimizar bastante

169 Dthfi0=Dth*fi0; %%--> Cambiar por Fth*reshape(fi0 ,Nth ,Nr);

170 Drfi0=Dr*fi0; %%--> Cabmiar por reshpae(fi0 ,Nth ,Nr)*Lr ’;

171 L2fi0=L2*fi0;

172 DrL2fi0=Dr*L2fi0;

173 DthL2fi0=Dth*L2fi0; %Probar luego usando fft ,ifft

174 DrT0=Dr*T0;

175 DthT0=Dth*T0;

176

177 NLfi=Dthfi0 .*DrL2fi0 -Drfi0.* DthL2fi0;

178 NLT=Dthfi0 .*DrT0 -Drfi0.* DthT0;

179 bft=Rk*( L2fi0 +0.5*dt*Pr*(L2*L2fi0))+0.5*dt*Pr*Ra*( Sinth*DthT0 -

Rk*( Costh*DrT0));

180 bTt=Rk*T0 +0.5*dt*Rk*(L2*T0)+dt*Rk*Qp;

181

182 bf=(-dt*NLfi+bft).*bfc+bfvalor;

183 bT=(-dt*NLT+bTt).*bTc+bTvalor;

184

185

186 T(:,i)=BTinv*bT;

187 fi(:,i)=Afinv *(bf -AT*T(:,i));

188

189 fi0=fi(:,i);

190 T0=T(:,i);

191

192 end

193 toc

194 pause

195 % Representacion grafica de la solucion

196

197 tau =[0:dt:dt*Ntau]’;

198 fim=zeros(Nth ,Nr);

199 Tm=zeros(Nth ,Nr);

200

201

202 figure

203 [RR,TH]= meshgrid(nodosR ,[0; th]);

204 [X,Y]= pol2cart(TH,RR);

205 for i=2000

206 ur=Rk*Dth*fi(:,i);

207 uth=-Dr*fi(:,i);

208 ux=Costh*ur-Sinth*uth;


209 uy=Sinth*ur+Costh*uth;

210

211 uxaux=reshape(ux,Nth ,Nr);

212 uyaux=reshape(uy,Nth ,Nr);

213 uxm=[ uxaux(Nth ,:); uxaux];

214 uym=[ uyaux(Nth ,:); uyaux];

215

216 fimaux=reshape(fi(:,i),Nth ,Nr);

217 Tmaux=reshape(T(:,i),Nth ,Nr);

218 fim=[ fimaux(Nth ,:); fimaux ];

219 Tm=[Tmaux(Nth ,:); Tmaux];

220

221

222 plot(cos (0:0.01:2* pi),sin (0:0.01:2* pi),’LineWidth ’ ,2)

223 hold on

224 contourf(X,Y,Tm ,150) ,colorbar , shading flat

225 title(’Temperatura ’)

226 axis equal

227 hold off

228 pause (0.001)

229

230

231 end

232 figure

233 for i=2000

234 ur=Rk*Dth*fi(:,i);

235 uth=-Dr*fi(:,i);



238

239 uxaux=reshape(ux,Nth ,Nr);

240 uyaux=reshape(uy,Nth ,Nr);

241 uxm=[ uxaux(Nth ,:); uxaux];

242 uym=[ uyaux(Nth ,:); uyaux];

243

244 fimaux=reshape(fi(:,i),Nth ,Nr);

245 Tmaux=reshape(T(:,i),Nth ,Nr);

246 fim=[ fimaux(Nth ,:); fimaux ];

247 Tm=[Tmaux(Nth ,:); Tmaux];

248

249

250 % subplot (2,1,1)


251 % plot(Rmax*cos (0:0.01:2* pi),Rmax*sin (0:0.01:2* pi),’LineWidth

’,2)

252 % hold on

253 % subplot (2,1,1)

254 % quiver(X,Y,uxm ,uym)

255 % title(’Campo de velocidades ’)

256 % axis equal

257 % hold off

258 % subplot (2,1,2)

259 plot(Rmax*cos (0:0.01:2* pi),Rmax*sin (0:0.01:2* pi),’LineWidth ’ ,2)

260 hold on

261 % subplot (2,1,2)

262 contour(X,Y,fim ,20),colorbar

263 title(’Funcion de corriente ’)

264 axis equal

265 hold off

266 pause (0.01)

267

268

269 end

Capıtulo 4

Resolucion numerica de problemas

de conveccion natural con

temperatura impuesta

En este capıtulo se van a resolver numericamente dos problemas de conveccion natural,

uno en coordenadas cartesianas y otro en polares, con temperaturas impuestas y sin gene-

racion de calor, utilizando el modelo anelastico desarrollado en el capıtulo 3. Para ambos

el proceso seguido es: formulacion del problema, adimensionalizacion de las ecuaciones,

aproximacion numerica de las mismas y finalmente su resolucion en Matlab y analisis de

resultados. Al final de cada cada problema se adjuntan los codigos de Matlab empleados.

4.1. Recinto rectangular

Este problema pretende modelar la conveccion clasica de Rayleigh-Benard. Ademas, al

permitir estratificacion en la densidad, el modelo es adecuado para representar la atmosfera

en situacion de calma. Por tanto, es logico asumir gravedad constante.

4.1.1. Formulacion del problema

Sea una cavidad rectangular en dos dimensiones de altura H y longitud L, con tempe-

raturas dadas en la pared inferior T1 y superior T2, cumpliendo ∆T = T1 − T2 > 0. Se

considera un sistema de coordenadas cartersiano (x, z) ∈ [0, L] × [0, H], de forma que la

gravedad viene expresada como g (z) = −g (z)k = −gk. Ademas se consideran paredes

verticales adiabaticas y friccion en todas ellas.

56

4.1. Recinto rectangular 57

Estamos interesados en conocer la evolucion de la temperatura y del campo de ve-

locidades, por lo que el sistema anelastico a resolver es el dado por (2.71)-(2.72) para

(x, z) ∈ [0, L] × [0, H], t ∈ (0, τ), τ > 0, con Q = Q ≡ 0 y estado de referencia (2.80),

(2.81) y (2.83). Hay que imponer ademas las condiciones de contorno descritas anterior-

mente, que en forma matematica son:

(T + T )∣∣z=0

= T1

(T + T )∣∣z=H

= T2

, ∀t ∈ (0, τ)

}=⇒

{T |z=0 = 0

T |z=H = 0, ∀t ∈ (0, τ), (4.1)

∂

∂x(T + T )

∣∣∣∣x=0

= 0

∂

∂x(T + T )

∣∣∣∣x=L

= 0

, ∀t ∈ (0, τ)

=⇒

∂T

∂x

∣∣∣∣x=0

= 0

∂T

∂x

∣∣∣∣x=L

= 0

, ∀t ∈ (0, τ), (4.2)

Figura 4.1: Cavidad rectangular

v|z=0 = 0 = v|z=Hv|x=0 = 0 = v|x=L

}=⇒

ϕ|z=0 = ϕ|z=H = 0 =

∂ϕ

∂z

∣∣∣∣z=0

=∂ϕ

∂z

∣∣∣∣z=H

ϕ|x=0 = ϕ|x=L = 0 =∂ϕ

∂x

∣∣∣∣x=0

=∂ϕ

∂x

∣∣∣∣x=L

, ∀t ∈ (0, τ),

(4.3)

y condiciones iniciales

T |t=0 = T0(x, z)

ϕ|t=0 = ϕ0(x, z), (x, z) ∈ [0, L]× [0, H]. (4.4)


Para resolver las ecuaciones (2.71)-(2.72) hace falta por ultimo definir las propiedades

del fluido, que asumimos constantes. No obstante, es conveniente obtener las ecuaciones

adimensionales, pues permiten reducir al mınimo el numero de parametros independientes,

lo que hace mas facil interpretar los resultados fısicamente.

4.1.2. Adimensionalizacion

Se introducen las siguientes variables adimensionales:

x∗ =x

H, z∗ =

z

H, t∗ =

α

H2t, v∗ =

H

αv

ϕ∗ = αρ0ϕ, ω∗ =H2

αω

ρ∗ =ρ

ρ0, ρ =

ρ

ρ0, p∗ =

H2

α2ρ0p, p ∗ =

H2

α2ρ0p , T ∗ =

T

∆T, T ∗ =

T

Tm,

(4.5)

donde ρ0 = ρ |z=0, Tm = (T1 + T2)/2 y α = k/(cpρ0) la difusividad termica. Con este

cambio de variables las ecuaciones (2.71)-(2.72) se simplifican en las siguientes

∂T ∗

∂t∗= −∇∗ · (T ∗v∗) + (γ − 2)h∗ρT

∗v∗z −Tm∆T

[dT ∗

dz∗+ (1− γ)h∗ρT

∗]v∗z+

+1

ρ ∗∇∗2T ∗,

(4.6)

∂ω∗

∂t∗= −∇∗ · (ω∗v∗)− RaPr

T ∗∂T ∗

∂x∗+Pr

ρ ∗∇∗2ω∗+Pr

d

dz

(1

ρ ∗

)(∂ω∗

∂z∗−

4h∗ρ3ρ ∗

∂2ϕ∗

∂x∗2

), (4.7)

donde ω∗ = − 1ρ ∗

(∇∗2ϕ∗ − h∗ρ

∂ϕ∗

∂z∗

). Notese que en este proceso se han definido los numeros

adimensionales de Rayleigh y Prandtl

Ra =g∆TH3

Tmνα, Pr =

ν

α. (4.8)

El primero de ellos fue introducido por Rayleigh en sus estudios sobre la conveccion de

Benard, y como puede observarse compara las fuerzas de flotabilidad con las de viscosidad

y conduccion termica.

Para obtener (4.6) se ha tenido en cuenta que usando el equilibrio hidrostatico y la

ecuacion de gas perfecto se pueden suprimir parametros:

γ

[dT

dz−(dT

dz

)ad

]= γ

dT

dz+ γ

Rgcpρ

(Tdρ

dz+ ρ

dT

dz

)=dT

dz+

1− γρ

Tdρ

dz. (4.9)


Por claridad mostramos como quedan los terminos relacionados con el estado de referencia,

que a la hora de integrar son dato:

T ∗ =T1

Tm− z∗∆T

Tm,

dT ∗

dz∗= −∆T

Tm(4.10)

ρ ∗ =

(1− z∗∆T

T1

)n, h∗ρ =

1

ρ ∗dρ ∗

dz∗(4.11)

Las condiciones de contorno en las nuevas variables son, para t∗ ∈ (0, ατ/H2) ≡ (0, τ∗),

T |z∗=0 = 0, T |z∗=1 = 0, (4.12)

∂T ∗

∂x∗

∣∣∣∣x∗=0

= 0,∂T ∗

∂x∗

∣∣∣∣x∗=L/H

= 0, (4.13)

ϕ∗|z∗=0 = ϕ∗|z∗=1 = 0 =∂ϕ∗

∂z∗

∣∣∣∣z∗=0

=∂ϕ∗

∂z∗

∣∣∣∣z∗=1

, (4.14)

ϕ∗|x∗=0 = ϕ∗|x∗=L/H = 0 =∂ϕ∗

∂x∗

∣∣∣∣x∗=0

=∂ϕ∗

∂x∗

∣∣∣∣x∗=L/H

, (4.15)

y las condiciones iniciales

T ∗|t=0 = T0(x∗, z∗)∆T ≡ T ∗0 (x∗, z∗)

ϕ∗|t=0 = αρ0ϕ0(x∗, z∗) ≡ ϕ∗(x∗, z∗), (x, z) ∈ [0, L]× [0, H]. (4.16)

En resumen, para obtener los resultados debe resolverse numericamente el sistema (4.6)-

(4.7) en (x∗, z∗) ∈ [0, L/H]× [0, 1], t∗ ∈ (0, τ∗) con (4.10)-(4.11) y condiciones de contorno

(4.12)-(4.15). Para ello en el caso anelastico hay que elegir seis parametros, que en el caso

de Boussinesq se reducen a cuatro. Si ademas se asume β ∼= 1/T ∼= 1/Tm, es decir, T ∗ ∼= 1,

el caso anelastico requiere igualmente seis parametros, mientras que el de Boussinesq solo

tres. Debe notarse que esta ultima hipotesis es habitual en el caso de Boussinesq pues el

modelo requiere que ∆T/T1 � 1.∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Aproximacion anelastica −→ L

H,Ra, Pr, γ, n,

∆T

T1

Aproximacion de Boussinesq −→ L

H,Ra, Pr.

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (4.17)

Los parametros adicionales de la aproximacion anelastica permiten definir el estado de

referencia (T1, ∆T ) con estratificacion (n), lo que hace que el movimiento sea convectivo o

mayoritariamente por conduccion en funcion no solo del numero de Rayleigh sino tambien

de si el estado de referencia es subadiabatico o superadiabatico (γ, n).


4.1.3. Sistema algebraico final

La resolucion numerica de los sitemas de ecuaciones en derivadas parciales por los meto-

dos indicados en el capıtulo 3 llevan en ultimo termino a resolver un sistema algebraico

de ecuaciones lineales en cada instante de tiempo discretizado. Necesitamos hallar este

sistema para implementarlo en Matlab. Seguimos el mismo proceso que en la seccion 3.5.

Introducimos primero la discretizacion temporal del sistema (4.6)-(4.7), usando Euler

centrado (Crank-Nicolson) para los terminos difusivos y Euler explıcito para los convecti-

vos. Si ∆t∗ denota de nuevo el paso de tiempo discreto adimensional, el sistema queda

T ∗n − T ∗n−1

∆t=−∇∗ · (T ∗n−1v

∗n−1) + (γ − 2)h∗ρT

∗n−1vz

∗n−1+

− Tm∆T

[dT ∗

dz∗+ (1− γ)h∗ρT

∗]vz∗n−1 +

1

ρ ∗∇∗2T ∗n +∇∗2T ∗n−1

2,

(4.18)

ω∗n − ω∗n−1

∆t=−∇ · (ω∗n−1v

∗n−1)− RaPr

T ∗∂T ∗n∂x∗

+Pr

ρ ∗∇∗2ω∗n +∇∗2ω∗n−1

2+

+ Prd

dz∗

(1

ρ ∗

)[∂

∂z∗

(ω∗n + ω∗n−1

2

)−

4h∗ρ3ρ ∗

∂2

∂x∗2

(ϕ∗n + ϕ∗n−1

2

)],

(4.19)

donde ω∗n = − 1ρ ∗

(∇∗2ϕ∗n − h∗ρ

∂ϕ∗n

∂z∗

), n = 1, 2, ..., bτ∗/∆tc. Se ha convertido ası el sistema

original en una sucesion de sistemas elıpticos, con el mismo dominio espacial, que resol-

vemos en cada paso de tiempo, a partir de las condiciones iniciales, usando el metodo de

colocacion con interpolantes de Lagrange y nodos de Chebyshev en ambas direcciones.

Queda de este modo para cada instante de tiempo el siguiente sistema algebraico de ecua-

ciones lineales, donde se han introducido las matrices de derivacion definidas en el tercer

capıtulo:

T ∗n = T ∗n−1 −∆t∗[D∗x(T ∗n−1 � vx∗n−1) +D∗z(T

∗n−1 � vz∗n−1)

]+

+ ∆t∗(γ − 2)h∗ρ �∗ T ∗n−1 � vz∗n−1 −∆t∗Tm∆T

[dT ∗

dz∗+

1− γρ ∗

� T ∗ � dρ ∗

dz∗

]� vz∗n−1+

+∆t∗

2ρ ∗� (D∗LT

∗n) +

∆t∗

2ρ ∗� (D∗LT

∗n−1),

(4.20)

ω∗n = ω∗n−1 −∆t∗[D∗x(ω∗n−1 � vx∗n−1

)+D∗z

(ω∗n−1 � vz∗n−1

)]+

−∆t∗PrRa

T ∗� (D∗xT

∗n) +

∆t∗Pr

2ρ ∗� (D∗L(ω∗n + ω∗n−1))+

+∆t∗Pr

2� d

dz∗

(1

ρ ∗

)�[D∗z(ω∗n + ω∗n−1

)− 4

3ρ ∗� h∗ρ � (D∗x

2 (ϕ∗n + ϕ∗n−1

))

],

(4.21)


con ω∗n = − 1ρ ∗ �

(D∗Lϕ

∗n − h∗ρ � (D∗zϕ

∗n)). Notese que en las ecuaciones (4.20)-(4.21) T ∗n ,

vx∗n, 1/ρ ∗, dρ ∗/dz∗, etc. son ahora vectores con componentes los valores de las variables en

los puntos del mallado espacial (es decir, son su restriccion al dominio espacial discreto), y

� denota el producto de Hadamard. Las derivadas del estado de referencia no se calculan

mediante las matrices de derivacion, pues se suponen dadas.

El sistema en forma matricial se obtiene sin mas que reordenar y agrupar. Denotamos

por I a la matriz identidad de dimensiones adecuadas y dg(v) a la matriz diagonal con

diagonal el vector v: ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ MTT

∗n = bT n−1

Mϕϕ∗n = bϕn−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ , (4.22)

MT =

[I − ∆t∗

2dg

(1

ρ ∗

)D∗L

](4.23)

Mϕ =

(I − Pr∆t∗

2dg

(1

ρ ∗

)D∗L −

Pr∆t∗

2dg

(d

dz∗

(1

ρ ∗

))D∗z

)dg

(−1

ρ ∗

)(D∗L − h∗ρD∗z

)+

+4Pr∆t

6dg

(h∗ρρ ∗� d

dz∗

(1

ρ ∗

))D∗x

2

(4.24)

bT n−1 = = T ∗n−1 −∆t∗[D∗x(T ∗n−1 � vx∗n−1) +D∗z(T

∗n−1 � vz∗n−1)

]+

+ ∆t∗(γ − 2)h∗ρ �∗ T ∗n−1 � vz∗n−1 −∆t∗Tm∆T

[dT ∗

dz∗+

1− γρ ∗

� T ∗ � dρ ∗

dz∗

]� vz∗n−1+

+∆t∗

2ρ ∗� (D∗LT

∗n−1),

(4.25)

bϕn−1 = ω∗n−1 −∆t∗[D∗x(ω∗n−1 � vx∗n−1

)+D∗z

(ω∗n−1 � vz∗n−1

)]+

−∆t∗PrRa

T ∗� (D∗xT

∗n) +

∆t∗Pr

2ρ ∗� (D∗Lω

∗n−1)+

+∆t∗Pr

2� d

dz∗

(1

ρ ∗

)�[D∗zω

∗n−1 −

4

3ρ ∗� h∗ρ � (D∗x

2ϕ∗n−1)

],

(4.26)

Debe recordarse que las matrices MT y Mϕ son constantes, por lo que solo hay que

calcular sus inversas en un paso inicial (son matrices llenas). En los demas pasos basta con

multiplicar matriz por vector (ver Cap. 3). Pero antes de invertirlas hay que implementar


las condiciones de contorno, sustituyendo las filas correspondientes, tal como se hizo en el

caso del capıtulo tercero.

El esquema de resolucion se ha implementado en Matlab haciendo uso de los programas

del tercer capıtulo. Los codigos se muestran al final de esta seccion, tras los resultados.

4.1.4. Resultados

La teorıa lineal de Rayleigh-Benard predice para el caso de Boussinesq la existencia de un

numero de Rayleigh crıtico Rac por debajo del cual la transferencia de calor se produce por

unicamente por conduccion, y ademas este Rayleigh crıtico depende del factor de escala.

Asimismo, por encima del Rayleigh crıtico, el movimiento convectivo produce vortices

cuyo numero esta determinado principalmente por el factor de escala. Estos resultados

han sido ampliamente confirmados, por lo que nos sirven para validar nuestro programa.

Se ha escogido como condicion inicial la siguiente:

T ∗|t∗=0 = 0, (4.27)

ϕ∗|t∗=0 = −0.005 sin (πz∗) sin

(πx∗

H

L

), (4.28)

que corresponde a una pequena perturbacion, un vortice de baja velocidad en la cavidad. Se

puede comprobar que la forma de la perturbacion inicial no afecta al regimen permanente.


De los seis parametros a definir en la aproximacion anelastica, uno es geometrico (F ≡L/H), dos son propiedades del fluido (Pr, γ), uno es el caracterıstico de la conveccion (Ra)

y dos definen el estado de referencia (dos cualesquiera entre ∆T/T1, n, Nρ). En todas las

simulaciones supondremos fijos los siguientes:

Pr = 0.733 γ = 7/5, (4.29)

que corresponden a valores tıpicos del aire, y usaremos n y ∆T/T1 para definir el estado

de referencia. Normalmente para representar el campo de temperatura, aunque todos

los calculos se hagan con variables adimensionales, escogeremos T1 ≈ 30oC y ∆T ≈ 50

(cumpliendo los parametros adimensionales que se hayan escogido), para que tenga sentido

fısico. Estamos interesados en conocer la relacion del numero de Rayleigh crıtico, si es que

existe para n 6= 0, con los otros tres, es decir, queremos obtener informacion sobre la

relacion

Rac = f

(F, n,

∆T

T1

). (4.30)

Antes de proceder al analisis, mostramos algunos resultados de comprobacion con n = 0

(modelo de Boussinesq), para factores de escala F = 2, 3, 6 y Ra = 5000.


Se observa que los resultados son correctos: el numero de celdas convectivas es igual al

factor de escala para un numero de Rayleigh no muy superior al crıtico, y aumenta si el

Rayleigh es suficientemente alto.

El tiempo adimensional maximo se ha escogido suficientemente grande para que se

alcance el permanente, y el mallado espacial suficientemente fino para que los resultados

sean precisos. La mayorıa de resultados han sido calculados con Nz ∈ [10, 50] ∪ Z y

Nx = bF ·Nzc, y paso de tiempo dt = 10 ·Ra−1.

4.1.4.1. Influencia del ındice politropico en Rac

El numero de factor de escalas de densidad, Nρ, se puede expresar en funcion de n y

∆T/T1 como

Nρ = n ln

(1

1−∆T/T1

). (4.31)

Es claro por tanto que el valor de n influye en la estratificacion del estado de referencia.

Ademas, el valor de n, fijado γ, determina si el estado de referencia es subadabatico o

superadiabatico, factor muy importante para que se produzca conveccion. Como ejemplo

basta considerar un ındice politropico negativo: la densidad del estado de referencia crece

con la altura, situacion altamente inestable.

Para analizar en detalle como afecta el valor de n al numero de Rayleigh crıtico, se han

calculado los numeros de Rayleigh crıticos para distintos ındices polıtropos, con el resto de

parametros constantes. Este proceso se ha hecho con dos factores de escala: F = 2, F = 3,

y un valor de ∆T/T1 = 50/(30 + 273). Mostramos los resultados graficos y tabulados:


n -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 410−3Rac 1.778 2.013 2.276 2.576 2.919 3.311 3.762 4.283 4.889 5.598

Cuadro 4.1: Dependencia del Rayleigh con n, para F = 2.

n 5 6 7 7.5 8 9 10 11 12 1310−3Rac 7.424 10.03 13.89 16.55 19.58 29.51 46.56 79.95 140.5 375.0


Hay que destacar tres puntos: primero, como era sabido por el modelo de Boussinesq, al

aumentar el factor de escala se reduce el numero de Rayleigh; segundo, como cabıa esperar,

el numero de Rayleigh crıtico aumenta con el ındice politropico aumenta; y, finalmente, de

las graficas parece deducirse que la dependencia del Rayleigh crıtico conn es independiente

del factor de escala, con un crecimiento superior al exponencial.

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 910−3Rac 1.869 2.394 3.079 3.980 5.203 6.902 9.325 12.89 18.33 27.00



n 10 11 12 1310−3Rac 43.890 75.890 133.28 350.00


Se han intentado ajustar los datos de las grafica a un crecimiento exponencial. Supo-

niendo que Rac(n) = c1ec2n cuando el resto de parametros son fijos, se imponen dos datos

calculados y se hallan las constantes. El resultado es que para valores pequenos den el

ajuste es muy bueno, pero al alejarse el crecimiento se dispara.

Mas interesante es el hecho de que la forma de la grafica parece ser independiente del

factor de escala. Por un lado parece una hipotesis logica pues el factor de escala es un

parametro geometrico y n afecta al estado de referencia, que no depende de la dimension

horizontal. Suponemos entonces que

Rac = f(F, n,∆T/T1) = f1(F,∆T/T1)f2(n). (4.32)

La comprobacion es muy sencilla a partir de los datos anteriores. Si la relacion (4.32) es

cierta, se cumplira queRac(F1, n)

Rac(F1, 0)=f2(n)

f2(0)=Rac(F2, n)

Rac(F2, 0), (4.33)

luego podemos comprobarlo a partir de los datos anteriores. La grafica inferior prueba que

ası es.


Este analisis permite calcular el Rayleigh crıtico para cualquier valor de n fijado ∆T/T1,

con solo conocer el Rayleigh crıtico como funcion del factor de escala para un unico valor

de n.

Logicamente esta dependencia afecta al campo de velocidades y temperaturas. Como

analisis inverso, repetimos las simulaciones anteriores (n = 0) para un ındice n = 3.

Se observa que la conveccion es mas leve: las lıneas del campo de temperatura estan

menos deformadas respecto a las horizontales de la situacion de conduccion y la velocidad

del fluido es menor. Tambien hay que destacar como los vortices estan mas concentrados

hacia la superficie inferior, debido a la estratificacion. Este efecto es caracterıstico del

modelo anelastico frente al de Boussinesq.

4.1.4.2. Influencia de la relacion de aspecto en Rac

Este analisis se hara muy breve pues para el caso de Boussinesq (n = 0) ya esta perfecta-

mente documentado ([35]), y con lo deducido en el apartado anterior se puede extrapolar

a cualquier otro valor de n (para un mismo ∆T/T1). Se han calculado los Rayleigh crıticos

para distintos factores de escala con un ındice politropico n = 3, de posible interes por


tratarse de una situacion subadiabatica. Se muestra su relacion con el caso de Boussinesq,

comprobando los obtenido en la seccion anterior.

F 1 2 3 4 5 1010−3Rac 5.495 4.283 3.980 3.852 3.784 3.683

Cuadro 4.5: Dependencia del Rayleigh con F , para n = 3.

4.1.4.3. Influencia de ∆T/T1 en Rac

Hasta ahora hemos supuesto que el valor de ∆T/T1 es fijo. Estudiamos ahora su efecto

en la funcion f . En primer lugar notemos que el rango de este parametro no es muy grande,

pues en las situaciones de interes se tendra ∆T ∈ [10, 100], y T1 ∈ [273, 373](K), luego

∆T/T1 ∈ [0.027, 0.366]. Por otra parte, se puede comprobar de forma similar a lo realizado

con n que su influencia es independiente del factor de escala. En efecto este hecho se ha

comprobado, aunque no incluimos los resultados por ser basicamente la misma idea.

Para comenzar construimos dos tablas variando este parametro con el factor de escala

y el ındice politropico fijos, una para n = 1 y otra para n = 3:

∆T/T1 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.310−3Rac 2.162 2.329 2.516 2.727 2.967 3.243

Cuadro 4.6: Dependencia del Rayleigh con ∆T/T1, para n = 1, F = 2.


∆T/T1 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.310−3Rac 2.497 3.131 3.976 5.123 6.723 9.037

Cuadro 4.7: Dependencia del Rayleigh con ∆T/T1, para n = 3, F = 2.

En principio no se extrae mucha informacion: el Rayleigh crıtico aumenta con n y con

∆T/T1. La siguiente grafica es mas interesante, pues demuestra que la influencia de este

parametro y del ındice politropico estan acopladas. En particular, la influencia del nuevo

parametro aumenta con n. En el caso lımite de Boussinesq, n = 0, ya se dedujo que el

parametro ∆T/T1 no afectaba a las ecuaciones y por tanto tampoco al Rayleigh crıtico.

Para obtener mas informacion sobre la relacion funcional entre el Rayleigh crıtico y

los demas parametros adimensionales se pueden realizar mas simulaciones mediante el

programa.

Un ultimo resultado que mostramos en el trabajo es una simulacion con numero de

Rayleigh muy elevado, Ra = 106, en donde se ve como en el permanente aparecen recir-

culaciones en las esquinas, indicando que el regimen turbulento esta cercano:



Se muestra el programa completo con el que se han realizado todas las simulaciones:

1 %---- CAPITULO 4 ---- %

2

3 % Conveccion natural en recinto rectangular con hipotesis

anelastica.

4 %

5 %

6 % C.C.: Temperaturas fijas en z=0,H.

7 % Aislado termicamente en x=0,L.

8 % Velocidad nula en las paredes.

9 %

10 % Metodo de colocacion con nodos de Chebyshev en ambas direcciones.

11 % Metodo de Euler centrado en tiempo (semi -implicito).

12

13 clear all;

14 close all;

15 clc;

16

17 % Datos

18

19 % Datos fluido

20 gamma =7/5; %Coeficiente de dilatacion adiabatica (aire)

21

22 % Datos estado de referencia (definir tres)

23 DT=50; %DT=T(z=0)-T(z=zmax) (DT <Th pues si no Tc <0)

24 Th =30+273; %T(z=0) (T_hot)

25 n=0; %Indice politropico

26

27 % Quedan definidos los siguientes datos:

28 Tmed=Th -DT/2; %Tmed=(T(z=0)+T(z=zmax))/2

29 disp([’n = ’,num2str(n)])

30 if n>1/( gamma -1), disp(’Situacion subadiabatica ’); end

31 Nrho=exp(n*log(Th/(Th -DT)));

32 disp([’Nrho = ’,num2str(Nrho)])

33 R=286.9;g=9.81; % Valores aire

34 H=(n+1)*DT/g*R;

35 disp([’H = ’,num2str(H)])

36 disp([’Th = ’,num2str(Th)])

37 disp([’DT = ’,num2str(DT)])

38


39 % Datos geometria

40 F=3; %Factor de escala (L/H);

41

42 % Datos conveccion

43 Pr =0.733; %Numero de Prandtl

44 Ra =5*10^3; %Numero de Rayleigh

45 PrRa=Pr*Ra;

46

47 % Discretizacion en tiempo (adimensional)

48 dt=10*Ra^-1; %Paso de tiempo

49 Ntau =4000; %Numero de iteraciones

50 dtau =25; %Paso de tiempo para representar la solucion

51

52 PrRadt=dt*PrRa;

53 dt2 =0.5*dt;

54 Prdt2=Pr*dt2;

55

56

57 % Mallado espacial (adimensional)

58 Nz=20;

59 zmin =0;

60 zmax =1;

61

62 Nx=floor(F*Nz);

63 xmin =0;

64 xmax=F;

65

66 Nt=Nx*Nz;

67

68

69 % Operadores basicos:

70 tic

71 %Unidimensionales

72 [Lxp ,xch] = cheb(Nx -1,xmin ,xmax);Lxp=-Lxp;xch=xch(Nx: -1:1);

73 [Lzp ,zch] = cheb(Nz -1,zmin ,zmax);Lzp=-Lzp;zch=zch(Nz: -1:1);

74 Lxp2=Lxp*Lxp;

75 Lzp2=Lzp*Lzp;

76

77 %Producto tensorial

78 Dx=kron(Lxp ,speye(Nz ,Nz));

79 Dx2=kron(Lxp2 ,speye(Nz ,Nz));

80 Dz=kron(speye(Nx ,Nx),Lzp);

81 L2=Dx*Dx+Dz*Dz; %Laplaciano


82

83 % Estado de referencia

84 Ones=ones(Nx ,1);

85 rhoH=(1-zch*DT/Th).^n; rhoH=kron(Ones ,rhoH);

86 hrhoH=-DT/Th*n*(1./(1 - zch*DT/Th)); hrhoH=kron(Ones ,hrhoH);

87 rhoHm1 =(1-zch*DT/Th).^(-n); rhoHm1=kron(Ones ,rhoHm1);

88 TH=Th/Tmed -zch*DT/Tmed; TH=kron(Ones ,TH);

89 dzrhoHm1=-n*DT/Th*(1-zch*DT/Th).*(-n-1);dzrhoHm1=kron(Ones ,dzrhoHm1

);

90


92 dzrhoHm1D=diag(dzrhoHm1);

93 rhoHm1D=diag(rhoHm1);

94 hrhoHD=diag(hrhoH);

95

96 Af=-(eye(Nt)-Prdt2*rhoHm1D*L2 -Prdt2*dzrhoHm1D*Dz)...

97 *rhoHm1D *(L2-hrhoHD*Dz)+4/3* Prdt2*hrhoHD*rhoHm1D*dzrhoHm1D*Dx2;

98 BT=eye(Nt)-dt2*rhoHm1D*L2;

99

100 % Termino independiente (se ’marcan ’ las condiciones de contorno)



103


105 Af=full(Af);

106 BT=full(BT);

107 % Valores de fi en (0,z)

108 Af(1:Nz ,:)=eye(Nz ,Nt);

109 bfc(1:Nz)=0;

110

111 % Valores de fi en (xmax ,z)

112 Af(1+(Nx -1)*Nz:Nt ,:) =0;

113 Af(1+(Nx -1)*Nz:Nt ,1+(Nx -1)*Nz:Nt)=eye(Nz);

114 bfc (1+(Nx -1)*Nz:Nt)=0;

115

116 % Valores de fi en (x,0), (x,zmax)

117 Af(2*Nz:Nz:Nz*(Nx -1) ,:)=0;

118 bfc(2*Nz:Nz:Nz*(Nx -1))=0;

119 Af(Nz+1:Nz:1+Nz*(Nx -2) ,:)=0;

120 bfc(1+Nz:Nz:1+Nz*(Nx -2))=0;

121

122 for i=Nz:Nz:Nz*(Nx -1)

123 Af(i,i)=1;


124 Af(i+1,i+1) =1;

125 end

126

127 % Valores de fi_x en (0,z)

128 Af(Nz+2:2*Nz -1,:)=Dx(2:Nz -1,:);

129 bfc(Nz +2:2*Nz -1)=0;

130

131 % Valores de fi_x en (xmax ,z)

132 Af(2+(Nx -2)*Nz:Nz -1+(Nx -2)*Nz ,:)=Dx(2+(Nx -1)*Nz:-1+Nt ,:);

133 bfc (2+(Nx -2)*Nz:Nz -1+(Nx -2)*Nz)=0;

134

135 % Valores de fi_z en (x,0), (x,zmax)

136 Af(2+2* Nz:Nz:2+(Nx -3)*Nz ,:)=Dz (1+2*Nz:Nz:1+(Nx -3)*Nz ,:);

137 bfc (2+2*Nz:Nz:2+(Nx -3)*Nz)=0;

138 Af(Nz -1+2*Nz:Nz:Nz -1+(Nx -3)*Nz ,:)=Dz(Nz+2*Nz:Nz:Nz+(Nx -3)*Nz ,:);

139 bfc(Nz -1+2*Nz:Nz:Nz -1+(Nx -3)*Nz)=0;

140

141 % Valores de T en (x,0), (x,zmax)

142 BT(2*Nz:Nz:Nz*(Nx -1) ,:)=0;

143 bTc(2*Nz:Nz:Nz*(Nx -1))=0;

144 BT(Nz+1:Nz:1+Nz*(Nx -2) ,:)=0;

145 bTc(1+Nz:Nz:1+Nz*(Nx -2))=0;

146

147 for i=Nz:Nz:Nz*(Nx -1)

148 BT(i,i)=1;

149 BT(i+1,i+1) =1;

150 end

151

152 % Valores de T_x en (0,z)

153 BT(1:Nz ,:)=Dx(1:Nz ,:);

154 bTc(1:Nz)=0;

155

156 % Valores de T_x en (xmax ,z)

157 BT(1+(Nx -1)*Nz:Nz+(Nx -1)*Nz ,:)=Dx(1+(Nx -1)*Nz:Nz+(Nx -1)*Nz ,:);

158 bTc (1+(Nx -1)*Nz:Nz+(Nx -1)*Nz)=0;

159 toc

160


162 tic

163 Afinv=Af\eye(Nt);

164 BTinv=BT\eye(Nt);

165 toc

166


167 Afinv (1:Nz ,:)=eye(Nz,Nt); %Elimina errores numericos

168

169


171


173 T0=zeros(Nt ,1);

174 fi0 = -0.005* sin(pi*zch)*sin(pi*xch ’/xmax);

175 fi0=fi0(:);

176 % T0=medt;

177 % fi0=med;

178

179 fi=zeros(Nt ,Ntau/dtau);

180 T=zeros(Nt,Ntau/dtau);

181

182 % Preparacion del bucle: calculos auxiliares previos

183 LxpT=Lxp ’;

184 Lxp2T=Lxp2 ’;

185

186 bfc=reshape(bfc ,Nz ,Nx);

187 bTc=reshape(bTc ,Nz ,Nx);

188

189 dzrhoHm1res=reshape(dzrhoHm1 ,Nz,Nx);

190 rhoHm1res=reshape(rhoHm1 ,Nz,Nx);

191 hrhoHres=reshape(hrhoH ,Nz,Nx);

192 T0res=reshape(T0,Nz,Nx);

193 PrRadtTHm1res=PrRadt*reshape (1./TH,Nz,Nx);

194 THres=reshape(TH,Nz,Nx);

195 Prdt2rhoHm1res=Prdt2*rhoHm1res;

196

197 Prdt2dzrhoHm1res=Prdt2*dzrhoHm1res;

198 hrhoHrhoHm1res=hrhoHres .* rhoHm1res;

199 dt2rhoHm1res=dt2*rhoHm1res;

200 gamma2hrhoHres =(gamma -2)*hrhoHres;

201 adiab=dt*((1- gamma)*hrhoHres .*THres -1);

202

203 tic

204 for i=1: Ntau

205

206 fi0res=reshape(fi0 ,Nz ,Nx);

207

208 Dxfi0res=fi0res*LxpT;

209 Dx2fi0res=fi0res*Lxp2T;


210 Dzfi0res=Lzp*fi0res;

211

212 vz0res=rhoHm1res .* Dxfi0res;

213 vx0res=-rhoHm1res .* Dzfi0res;

214 divTvres =(T0res .* vx0res)*LxpT+Lzp*(T0res .* vz0res);

215 L2T0res=Lzp2*T0res+T0res*Lxp2T;

216

217 bT=T0res + dt2rhoHm1res .* L2T0res + ...

218 dt*(-divTvres+gamma2hrhoHres .* T0res.* vz0res)+...

219 -adiab.* vz0res;

220 bT=bT.*bTc;

221

222 % Actualizacion temperatura

223 T0=BTinv*bT(:);

224 T0res=reshape(T0,Nz,Nx);

225

226

227 DxT0res=T0res*LxpT;

228 L2fi0res=Lzp*Dzfi0res+Dx2fi0res;

229 omega=-rhoHm1res .*( L2fi0res -hrhoHres .* Dzfi0res);

230 divvomega =( vx0res .* omega)*LxpT+Lzp*( vz0res .*omega);

231 L2omega=Lzp2*omega+omega*Lxp2T;

232

233 bf=(omega - dt*divvomega - PrRadtTHm1res .* DxT0res + ...

234 Prdt2rhoHm1res .* L2omega + ...

235 Prdt2dzrhoHm1res .*( Lzp*omega - 4/3* hrhoHrhoHm1res .*

Dx2fi0res)).*bfc;

236

237 % Actualizacion funcion de corriente

238 fi0=Afinv*bf(:);

239

240 if mod(i,dtau)==0 % Solo guardamos lo que vayamos a representar

241 fi(:,i/dtau)=fi0;

242 T(:,i/dtau)=T0;

243 end

244 % pause

245 end

246 toc

247 pause

248

249 % % Representacion grafica de la solucion

250

251 fim=zeros(Nz ,Nx);


252 Tm=zeros(Nz ,Nx);

253

254 figure

255 for i=dtau:dtau:Ntau

256

257 fim=reshape(fi(:,i/dtau),Nz ,Nx);

258

259 contour(xch ,zch ,fim ,30),colorbar

260 axis equal , axis ([0 xmax 0 zmax])


262 xlabel(’x’),ylabel(’z’)

263

264 pause (0.001)

265 end

266

267 figure


269

270 Tm=( reshape(T(:,i/dtau),Nz ,Nx)*DT+Tmed*THres) -273;


272

273 vx=-rhoHm1res .*( Lzp*fim);

274 vz=rhoHm1res .*( fim*LxpT);

275

276 contourf(xch ,zch ,Tm ,100) , colorbar ,shading flat

277 h = colorbar;

278 xlabel(h, ’ T (Celsius)’);

279 % colormap(hot)

280 hold on

281 quiver(xch (1:2: end),zch (1:2: end),vx (1:2:end ,1:2: end),vz (1:2:end

,1:2: end) ,0.5,’color ’ ,[0.6 0.4 0.4])

282 hold off

283 axis equal

284 axis ([0 xmax 0 zmax])

285 title(’Campo de temperaturas ’)

286 xlabel(’x’),zlabel(’z’)

287 pause (0.001)

288 end

289

290 figure


292



294

295 vx=-rhoHm1res .*( Lzp*fim);

296 vz=rhoHm1res .*( fim*LxpT);

297

298 quiver(xch ,zch ,vx ,vz)

299 axis equal

300 axis ([0 xmax 0 zmax])

301 title(’Campo de velocidades ’)

302 xlabel(’x’),ylabel(’z’)

303

304 pause (0.001)

305 end

4.2. Anillo circular 78

4.2. Anillo circular

La conveccion natural en las estrellas como el Sol suele producirse principalmente en una

corona circular, debido a que en el nucleo la temperatura es mucho mayor y la radiacion

permite la necesaria transferencia de energıa. La mayorıa de los modelos actuales estudian

la fısica solar separando el nucleo de la corona convectiva, pues numericamente se simplifica

notablemente y permite obtener mas detalle. No obstante, se pierden efectos globales, por

lo que han de complementarse los distintos modelos.

El problema que vamos a resolver presenta numerosas similitudes con el anterior tanto

en la formulacion como en resultados, considerando la coordenada radial como la vertical

en el caso rectangular. No obstante su resolucion implica el uso de otro metodo numerico

y sirve para iniciar el problema de un gas autoconfinado por gravedad con generacion de

calor.

4.2.1. Formulacion del problema

Sea una anillo circular de radio interior Ri y exterior Re, con temperaturas dadas en el

cırculo interior T1 y exterior T2, cumpliendo ∆T = T1 − T2 > 0. Se usara un sistema de

coordenadas polares (r, θ) ∈ [Ri, Re]×[0, 2π], con gravedad hacia el centro g (r) = −g (z)ur,

siendo ur el vector unitario en direccion radial. Se tomara como condicion de contorno

adicional velocidad nula en las paredes, aunque se podrıa cambiar por deslizamiento en la

interior, sin grandes diferencias.

Figura 4.2: Anillo circular


En este caso el sistema anelastico que describe el problema es (2.77)-(2.78) para (r, θ) ∈[Ri, Re] × [0, 2π), t ∈ (0, τ), τ > 0, con Q = Q ≡ 0 y estado de referencia dado por

(2.104), (2.108), (2.109) y (2.111). La eleccion de politropos aproximados facilita el codigo

y esta justificado si el radio interior no es mucho menor que el exterior. Las condiciones

de contorno son:

(T + T )∣∣r=Ri

= T1

(T + T )∣∣r=Re

= T2

, ∀t ∈ (0, τ)

=⇒

{T |r=Ri = 0

T |r=Re = 0, ∀t ∈ (0, τ), (4.34)

v|r=Ri = 0 = v|r=Re =⇒ ϕ|r=Ri = ϕ|r=Re = 0 =∂ϕ

∂r

∣∣∣∣r=Ri

=∂ϕ

∂r

∣∣∣∣r=Re

, ∀t ∈ (0, τ),

(4.35)

T |θ=0 = T |θ=2π , (4.36)

v|θ=0 = v|θ=2π =⇒ ϕ|θ=0 = ϕ|θ=2π ,∂ϕ

∂θ

∣∣∣∣θ=0

=∂ϕ

∂θ

∣∣∣∣θ=2π

(4.37)

y condiciones iniciales

T |t=0 = T0(r, θ)

ϕ|t=0 = ϕ0(r, θ), (r, θ) ∈ [Ri, Re]× [0, 2π). (4.38)

4.2.2. Adimensionalizacion

Analogamente al problema rectangular, se definen las variables adimensionales con el

fin de reducir el numero de parametros libres:

r∗ =r

Re, t∗ =

α

R2e

t, v∗ =Reα

v

ϕ∗ = αρ0ϕ, ω∗ =R2e

αω, g ∗ =

R2m

GM0g

ρ∗ =ρ

ρ0, ρ =

ρ

ρ0, p∗ =

R2e

α2ρ0p, p ∗ =

R2e

α2ρ0p , T ∗ =

T

∆T, T ∗ =

T

Tm,

(4.39)

donde ρ0 = ρ |r=Ri , Tm = (T1 + T2)/2, α la difusividad termica, M0 la masa contenida en

r ≤ Ri y Rm = (Re +Ri)/2. El sistema (2.77)-(2.78) se transforma en


∂T ∗

∂t∗= −∇∗ · (T ∗v∗) + (γ − 2)h∗ρT

∗v∗r −Tm∆T

[dT ∗

dr∗+ (1− γ)h∗ρT

∗]v∗r+

+1

ρ ∗∇∗2T ∗ +

Tm∆Tρ ∗

∇∗2T ∗,(4.40)

∂ω∗

∂t∗= −∇∗ ·(ω∗v∗)−RaPr g ∗

r∗T ∗∂T ∗

∂θ+Pr

ρ ∗∇∗2ω∗+Pr d

dr∗

(1

ρ ∗

)(∂ω∗

∂r∗−

4h∗ρ3r∗2ρ ∗

∂2ϕ∗

∂θ2

),

(4.41)

donde ω∗ = − 1ρ ∗

(∇∗2 − h∗ρ

∂ϕ∗

∂r∗

). Ahora el laplaciano de la temperatura del estado de

referencia no se anula (al estado de referencia solo se le ha impuesto equilibrio hidrostatico

y la ley de gas perfecto). Los numeros adimensionales son el Prandtl, cuya definicion no

cambia, y

Ra =gm∆TR3

e

ανTm, (4.42)

con gm = GM0/r2m.

En las ecuaciones anteriores se supone conocido el estado de referencia y sus derivadas:

T ∗(r∗) =1

1− ∆T2T1

− 1

1−Ri/Re

(1− Ri/Re

r∗

)1

T1∆T −

12

, (4.43)

dT ∗

dr∗=

−1

Re/Ri − 1

1

r∗21

T1∆T −

12

, (4.44)

ρ ∗(r∗) =

(1− 1

1−Ri/Re

(1− Ri/Re

r∗

)∆T

T1

)n, (4.45)

g ∗(r∗) =R2m

R2e

1

r∗2=

1 +R2i

R2e

+ 2RiRe4

1

r∗2. (4.46)

Las condiciones de contorno son ahora

T ∗|r∗=Ri/Re= 0, T ∗|r∗=1 = 0, (4.47)

ϕ∗|r∗=Ri/Re= ϕ∗|r∗=1 = 0 =

∂ϕ∗

∂r∗

∣∣∣∣r∗=Ri/Re

=∂ϕ∗

∂r∗

∣∣∣∣r∗=1

, (4.48)

T ∗|θ=0 = T ∗|θ=2π , ϕ∗|θ=0 = ϕ∗|θ=2π ,∂ϕ∗

∂θ

∣∣∣∣θ=0

=∂ϕ∗

∂θ

∣∣∣∣θ=2π

(4.49)


y las condiciones iniciales

T ∗|t∗=0 = T ∗0 (r∗, θ)

ϕ∗|t∗=0 = ϕ∗0(r∗, θ), (r∗, θ) ∈ [Ri/Re, 1]× [0, 2π). (4.50)

El objetivo es resolver el sistema (4.40)-(4.41) con (4.43)-(4.46) y condiciones de contorno

(4.47)-(4.48). Como en el caso rectangular se tienen seis parametros independientes para

el sistema anelastico y tres para el de Boussinesq (tras asumir en este caso que T ∗ ∼= 1).

4.2.3. Sistema algebraico final

La discretizacion temporal del sistema se lleva a cabo de la misma forma que en la

cavidad rectangular. La discretizacion espacial en cambio es diferente: la coordenada radial,

que sustituye a la vertical, se discretizada con el metodo de colocacion con nodos de

Chebyshev, mientras que para la angular se ha usado la interpolacion trigonometrica de

Fourier, para ası satisfacer las condiciones de periodicidad de forma natural.

La implementacion numerica es identica una vez que se construyen las matrices co-

rrespondientes al metodo de Fourier. Teniendo en cuenta la expresion de los operadores

basicos en coordenadas polares (2.75), basta sustituir z por r y las matrices de derivacion

en las expresiones de las matrices (4.23), (4.24). La adaptacion del resto al nuevo caso es

inmediato por lo que se omite.

Se adjuntan los codigos de Matlab para este problema tras los resultados.

4.2.4. Resultados

A diferencia del problema rectangular, en este caso se carece de resultados teoricos

concretos incluso para el caso de Boussinesq. Nuestro objetivo sera buscar las similitudes

y diferencias con los resultados anteriores. En particular, el principal interes radica en

ver como influye el ındice politropico en el numero de Rayleigh crıtico. En general este

problema es mas complejo numericamente que el anterior.

En cualquier caso, son hechos experimentales que en la corona solar y de los planetas

se producen celdas convectivas, luego nuestro modelo simplificado deberıa dar lugar a

vortices a lo largo de la corona. Los resultados que siguen se han simulado con un valor de

Nr ∈ [10, 40] y Nθ ∈ [50, 100]. El paso de tiempo debe adaptarse a cada simulacion, siendo

una buena estimacion ∆t∗ = c3Ra−1, con c3 = 1, 10, 100. La condicion inicial elegida es


una pequena perturbacion con dos vortices:

T ∗|t∗=0 = 0, (4.51)

ϕ∗|t∗=0 = 0.005 sin

(1

1−Ri/Rer∗ − 1

Re/Ri − 1

)cos(θ). (4.52)

En todas las simulaciones fijamos Pr = 0.733 y γ = 7/5. El valor del Prandtl no es

realista si se pretende simular una estrella. No obstante, como numericamente es todavıa

imposible resolver todas las escalas de turbulencia, se suele a anadir un termino de difu-

sividad turbulenta, que a efectos practicos lleva a tomar un valor Pr ≈ 1. El valor de γ

no tiene importancia en sı mismo, sino su relacion con n. Tenemos que estudiar pues la

relacion

Rac = f

(F, n,

∆T

T1

), (4.53)

donde F ≡ Ri/Re.

4.2.4.1. Influencia del ındice politropico en Rac

El valor del ındice politropico adquiere mayor importancia en el caso de geometrıa

circular. Hemos construido dos tablas para dos relaciones de aspecto distintas con salto

de temperaturas fijo ∆T/T1 = 0.2.


Es destacable el enorme aumento del Rayleigh crıtico para un valor del ındice politropico

cercano al adiabatico nadiab = 1γ−1 = 2.5. Superado ese valor, es muy difıcil que se produzca

conveccion. Por ello el nucleo solar se ajusta muy bien a un modelo con n = 3.

n -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.25 2.4 2.5 2.5210−3Rac 35.250 47.850 67.300 101.28 170.95 386.90 836.50 2270.5 31 710 79 900

Cuadro 4.8: Dependencia del Rayleigh con n, para F = 0.65.

n -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.25 2.4 2.5 2.5210−3Rac 17.680 23.950 33.920 51.100 86.500 197.75 427.00 1155.0 12 120 23 190

Cuadro 4.9: Dependencia del Rayleigh con n, para F = 0.55.

Observamos ademas que la forma de la grafica no depende de la relacion de aspecto.

Este hecho no era en principio tan directo como en el caso rectangular, pues el estado de

referencia para el anillo sı depende de esta relacion. Incluimos una grafica comparativa:


Terminamos este analisis con el campo de temperaturas de algunas de las simulaciones.

En ellas se observa muy bien como la deformacion propia de la conveccion es menos acusada

cuanto mayor es el ındice politropico:

4.2.4.2. Influencia de la relacion de aspecto en Rac

Los datos de las tablas anteriores indican que el numero de Rayleigh crıtico aumenta

cuanto mas estrecha es la corona, al contrario de lo que cabrıa esperar por semejanza con el


caso rectangular. Se debe a que al reducir la relacion de aspecto la frontera interior es cada

vez mas pequena, provocando que el movimiento del fluido sea mas inestable. Este punto

hace que las simulaciones de un cırculo completo sean mas complicadas numericamente,

pues el Rayleigh crıtico se acerca a la situacion de turbulencia. En este apartado tambien

tomamos salto de temperaturas fijo ∆T/T1 = 0.2.

Ri/Re 0.45 0.55 0.65 0.75 0.8010−3Rac 29.99 51.10 101.3 260.4 492.0

Cuadro 4.10: n = 1.

Al no estar acoplados los efectos de la relacion de aspecto y del ındice politropico, basta

estudiar la evolucion del Rayleigh crıtico con la relacion de aspecto fijando un valor de n.

La relacion de aspecto no solo influye en el valor del Rayleigh crıtico. El numero de

vortices que se forman esta determinado fuertemente por este parametro, aunque la in-

fluencia del numero de Rayleigh es mayor que para el caso rectangular. Para un valor

n = 1 y escogiendo un numero de Rayleigh ligeramente superior al crıtico se han obtenido

los siguientes datos:

Ri/Re 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8No vortices 6 8 10 10-12 12-14 14 18 22 28-30

Cuadro 4.11: Numero de vortices en funcion de la relacion de aspecto, n = 1.

El numero de rollos es siempre par como consecuencia de la simetrıa que presenta el

problema. No se incluyen resultados para una relacion de aspecto menor a 0.3 pues irıa

en contra de la hipotesis establecida al comienzo. Incluso los valores correspondientes a

0.3, 0.4 deberıan entenderse como orientativos.


4.2.4.3. Influencia de ∆T/T1 en Rac

El parametro ∆T/T1 influye en el nivel de estratificacion segun (2.112), que de forma

explıcita queda

Nρ = −n ln

(1− ∆T

T1

). (4.54)

El numero de escalas de densidad en el analisis previo varıa entonces entreNrho ∈ [0, 0.669],

lo que supone desde estados de referencia con densidad constante hasta estados en los que

la densidad se reduce a la mitad. Sin embargo, en las estrellas se tiene que ∆T/T1 ≈ 0.995


pues la temperatura en el exterior es practicamente nula en comparacion con la interior.

Esto hace que el numero de escalas de densidad sea aproximadamente Nρ ≈ 8, es decir, la

densidad es unas 3000 veces mas pequena en la superficie exterior.

Las dos tablas siguientes muestran la dificultad numerica de este tipo de problemas. Al

ajustar los datos con los reales, la estratificacion aumenta notablemente y con ello el valor

del Rayleigh crıtico. Comprobamos tambien que, como en el caso rectangular, el efecto del

ındice politropico es mayor al aumentar el salto de temperaturas.

n 0 0.5 1 1.5Nρ 0 0.4581 0.9163 1.37410−3Rac 69.65 136.5 285.0 675.0

Cuadro 4.12: Rac con ∆T/T1 = 0.6

n 0 0.5 1 1.5Nρ 0 1.151 2.303 3.45410−3Rac 60.50 194.8 656.3 -

Cuadro 4.13: Rac con ∆T/T1 = 0.9

En resumen, los resultados de este capıtulo demuestran que el valor del ındice politropico

es decisivo en el proceso de conveccion, especialmente en el caso de las capas convectivas

en estrellas y planetas, por lo que el modelo de Boussinesq no debe usarse para estos

propositos. Ademas se ha visto como los efectos del ındice politropico y del salto de tem-

peraturas relativo estan acoplados, siendo especialmente difıcil la resolucion numerica para

valores altos de ambos, pues provocan un numero de Rayleigh crıtico superior a 10−6. Por

otro lado, la complejidad aumenta al disminuir la relacion de aspecto en el caso circular,

aunque su influencia es independiente del resto de parametros.



Se presenta el programa con el que se han calculado los resultados:

1 %---- CAPITULO 4: CASO 2 ---- %

2 clear all;

3 close all;

4 clc;

5

6 % Conveccion natural en una corona circular con hipotesis

anelastica.

7 %

8 %

9 % C.C.: Temperaturas fijas en Ri ,Re

10 % Velocidad nula en las paredes

11 %


13 % Fourier en theta.

14 %

15 % r en [Ri ,Re], theta en (0+,2*pi]

16 %

17 % El estado de referencia esta dado por un politropo , asumiendo que

la masa

18 % en r<Ri es mucho mayor que la de la corona.

19

20 % Datos

21

22 % Datos fluido

23 gamma =7/5; %Coeficiente de dilatacion adiabatica

24

25 % Datos estado de referencia

26 n=1; % Indice politropico

27 DTT1 =0.2;

28

29 % Factor de escala

30 RiRe =0.55;

31

32 % Quedan definidos

33 disp([’n = ’,num2str(n)])

34 Nrho=n*log (1/(1- DTT1));

35 disp([’Nrho = ’,num2str(Nrho)])

36 disp([’DT/T1 = ’,num2str(DTT1)])



38


40 Pr =0.733; %Numero de Prandtl

41 Ra =50000; %Numero de Rayleigh

42 PrRa=Pr*Ra;

43

44 % Discretizacion en tiempo

45 dt=500* Ra^-1; %Paso de tiempo



48

49 PrRadt=dt*PrRa;

50 dt2 =0.5*dt;

51 Prdt2=Pr*dt2;

52

53 % Discretizacion espacial

54 Nr=14;

55




59

60 Nt=Nr*Nth;

61


63 tic


65 [Lr,nodosR] = cheb(Nr -1,RiRe ,1);Lr=-Lr;nodosR=nodosR(Nr: -1:1);

66 Lr2=Lr^2;

67




*(1:Nth -1) /2) .^2]);

71






77 Ir = speye(Nr);

78

79 [TH,RR]= meshgrid ([0; th],nodosR);



81


83 Rk = kron(Ith ,R);

84 Rkm1 = kron(Ith ,Rm1);



87


89 Dr = kron(Ith ,Lr);

90 Dth = kron(Fth ,Ir);

91 Dth2 = kron(Fth2 ,Ir);

92 L2 = kron(Ith ,Lr2+Rm1*Lr) + kron(Fth2 ,Rm2);

93 toc

94

95 tic


97 Ones=ones(Nth ,1);

98 poli=1-DTT1/(1-RiRe)*(1-RiRe*diag(Rkm1));

99 rhoH=poli.^n;

100 hrhoH=-n*DTT1 /(1/RiRe -1)*diag(Rkm2)./poli;

101 rhoHm1=poli.^-n;

102 TH=poli /(1 -0.5* DTT1);

103 drrhoHm1=-hrhoH .* rhoHm1;

104




108 drrhoHm1D=diag(drrhoHm1);

109

110 Af=-(eye(Nt)-Prdt2*rhoHm1D*L2 -Prdt2*drrhoHm1D*Dr)...

111 *rhoHm1D *(L2-hrhoHD*Dr)+...

112 4/3* Prdt2*hrhoHD*rhoHm1D*drrhoHm1D*Rkm2*Dth2;

113 BT=eye(Nt)-dt2*rhoHm1D*L2;

114

115




119

120


122 Af=full(Af);


123 BT=full(BT);

124 % Valores de fi en (theta ,Ri), (theta ,Re)

125 Af(Nr:Nr:Nt ,:) =0;

126 bfc(Nr:Nr:Nt)=0;

127 Af(1:Nr:1+Nt -Nr ,:) =0;

128 bfc(1:Nr:1+Nt -Nr)=0;

129

130 Af(1,1)=1;

131 for i=Nr:Nr:Nt -Nr

132 Af(i,i)=1;

133 Af(i+1,i+1) =1;

134 end

135 Af(Nt,Nt)=1;

136

137 % Valores de fi_r en (theta ,Ri), (theta ,Re)

138 Af(2:Nr:2+Nt -Nr ,:)=Dr(1:Nr:1+Nt -Nr ,:);

139 bfc(2:Nr:2+Nt -Nr)=0;

140 Af(Nr -1:Nr:Nt -1,:)=Dr(Nr:Nr:Nt ,:);

141 bfc(Nr -1:Nr:Nt -1)=0;

142

143 % Valores de T en (theta ,Ri), (theta ,Re)

144 BT(Nr:Nr:Nt ,:) =0;

145 bTc(Nr:Nr:Nt)=0;

146 BT(1:Nr:1+Nt -Nr ,:) =0;

147 bTc(1:Nr:1+Nt -Nr)=0;

148

149 BT(1,1)=1;


151 BT(i,i)=1;

152 BT(i+1,i+1) =1;

153 end

154 BT(Nt,Nt)=1;

155 toc

156


158 tic



161 toc

162

163 %Corregir errores numericos

164 Afinv (1:Nr:Nt-Nr+1,:)=kron(eye(Nth) ,[1 zeros(1,Nr -1)]);

165 Afinv(Nr:Nr:Nt ,:)=kron(eye(Nth) ,[zeros(1,Nr -1) ,1]);


166 % cond(Af)

167 % cond(BT)

168


170



173 fi0 =0.005* sin((nodosR -RiRe*linspace (1,0,Nr)’)*pi)*cos(th ’);

174 fimx=[fi0(:,Nth),fi0];

175



178

179 FthT=Fth ’;

180 Fth2T=Fth2 ’;

181

182 bfc=reshape(bfc ,Nr ,Nth);

183 bTc=reshape(bTc ,Nr ,Nth);

184

185 R=reshape(diag(Rk),Nr,Nth);

186 Rm1=reshape(diag(Rkm1),Nr ,Nth);



189 rhoHm1res=reshape(rhoHm1 ,Nr,Nth);

190 hrhoHres=reshape(hrhoH ,Nr,Nth);

191 T0res=reshape(T0,Nr,Nth);

192 rmRmaxPrRadtTHm1resRm3 =(0.5*( RiRe +1))^2* PrRadt*Rm3.* reshape (1./TH,

Nr ,Nth);

193 THres=reshape(TH,Nr,Nth);


195 L2THres=Rm1 .*(Lr*THres)+Lr2*THres+Rm2 .*( THres*Fth2T);

196 drrhoHm1res=reshape(drrhoHm1 ,Nr,Nth);

197

198 Prdt2drrhoHm1res=Prdt2*drrhoHm1res;

199 Prdt2drrhoHm1hrhohrhoHm1 =4/3* Prdt2*drrhoHm1res .* hrhoHres .* rhoHm1res

.*Rm2;

200 dt2rhoHm1res=dt2*rhoHm1res;

201 gmdtrhoHm1res=gamma*dt*rhoHm1res;


203 adiab =1/(1/ RiRe -1)*Rm2 -(1-gamma)*(1/DTT1 -0.5)*hrhoHres .*THres;

204 dtrhoHm1resL2THres =(1/DTT1 -0.5)*dt*rhoHm1res .*...

205 (Rm1.*(Lr*THres)+Lr2*THres);

206


207 tic

208 for i=1: Ntau

209

210 fi0res=reshape(fi0 ,Nr ,Nth);

211

212 Dthfi0res=fi0res*FthT;

213 Drfi0res=Lr*fi0res;

214

215 vr0res=rhoHm1res .* Dthfi0res;

216 vth0res=-rhoHm1res .* Drfi0res;

217 T0vr0res=T0res .* vr0res;

218 divTvres=Lr*T0vr0res+Rm1.* T0vr0res +(Rm1.*T0res .* vth0res)*FthT;

219 L2T0res=Rm1 .*(Lr*T0res)+Lr2*T0res+Rm2 .*( T0res*Fth2T);

220

221 bT=T0res + dt2rhoHm1res .* L2T0res + ...

222 dt*(-divTvres+gamma2hrhoHres .* T0res.* vr0res)+...

223 +adiab .* vr0res;

224 bT=bT.*bTc;

225

226 T0=BTinv*bT(:);


228

229

230 DthT0res=T0res*FthT;

231 Dth2fi0res=fi0res*Fth2T;

232 L2fi0res=Rm1.* Drfi0res+Lr*Drfi0res+Rm2.* Dth2fi0res;

233 omega=-rhoHm1res .*( L2fi0res -hrhoHres .* Drfi0res);

234 omegavr0res=omega .* vr0res;

235 divvomega=Lr*omegavr0res+Rm1.* omegavr0res +(Rm1.*omega .* vth0res)

*FthT;

236 Dromega=Lr*omega;

237 L2omega=Rm1.* Dromega+Lr2*omega+Rm2 .*( omega*Fth2T);

238

239 bf=(omega - dt*divvomega - rmRmaxPrRadtTHm1resRm3 .* DthT0res +

...


241 Prdt2drrhoHm1res .* Dromega - Prdt2drrhoHm1hrhohrhoHm1 .*

Dth2fi0res).*bfc;

242


244

245 if mod(i,dtau)==0



247 T(:,i/dtau)=T0;

248 end

249 % pause

250 end

251 toc

252 pause

253


255 fim=zeros(Nr ,Nth);

256 Tm=zeros(Nr ,Nth);

257 Rk=diag(Rk);

258

259 figure


261

262 fimaux=reshape(fi(:,i/dtau),Nr ,Nth);

263 fim=[ fimaux(:,Nth) fimaux ];

264


266 hold on

267 plot(RiRe*cos (0:0.01:2* pi),RiRe*sin (0:0.01:2* pi),’LineWidth ’ ,2)

268 hold on

269


271 axis equal


273 hold off

274

275 pause (0.01)

276 end

277

278 figure


280

281 Tmaux =( reshape(T(:,i/dtau),Nr,Nth)+(1/DTT1 -0.5)*THres);

282 Tm=[Tmaux(:,Nth) Tmaux];

283

284 plot(cos (0:0.01:2* pi),sin (0:0.01:2* pi),’k’,’LineWidth ’ ,2)

285 hold on

286 plot(RiRe*cos (0:0.01:2* pi),RiRe*sin (0:0.01:2* pi),’y’,’LineWidth

’ ,2)

287 hold on

288


289 contourf(X,Y,Tm ,80), colorbar ,shading flat

290 % colormap(hot)

291 h = colorbar;

292 axis equal

293 hold off


295 pause (0.001)

296 end

297

298 figure

299

300 Sinth = kron(Ir, spdiags(sin(th) ,0,Nth ,Nth));

301 Costh = kron(Ir, spdiags(cos(th) ,0,Nth ,Nth));

302 Rd=diag(Rk);

303 figure


305 ur=Rd*Dth*fi(:,i/dtau);

306 uth=-Dr*fi(:,i/dtau);



309

310 uxaux=reshape(ux,Nr,Nth);

311 uyaux=reshape(uy,Nr,Nth);

312 uxm=[ uxaux(:,Nth) uxaux];

313 uym=[ uyaux(:,Nth) uyaux];

314

315


317 hold on

318 plot(RiRe*cos (0:0.01:2* pi),RiRe*sin (0:0.01:2* pi),’LineWidth ’ ,2)

319 hold on

320 title(’Campo de velocidades ’)

321 quiver(X,Y,uxm ,uym ,0.3)

322 axis equal

323 axis ([-1 1 -1 1])

324 hold off

325

326

327 pause (0.001)

328

329 end

Capıtulo 5

Conveccion natural en un gas

autogravitante con generacion de

calor

Este capıtulo trata sobre la conveccion natural de un gas autoconfinado por gravedad

y con generacion de calor en su interior. Se trata de un modelo simplificado de estrella

en dos dimensiones, que pretende extender los resultados obtenidos con las simulaciones

del anillo circular. Tras formular las ecuaciones anelasticas que describen el problema, se

procede a su adimensionalizacion para finalmente resolverlas numericamente. Por ultimo

se incluye un analisis de los resultados obtenidos.

5.1. Formulacion del problema

Las ecuaciones que describen el problema descrito bajo la hipotesis anelastica son (2.77)-

(2.78) con Q una funcion conocida dependiente a lo sumo del estado de referencia y estado

de referencia descrito segun (2.97)-(2.103). Se supondra que Q es despreciable bajo la

hipotesis anelastica. Las condiciones de contorno son velocidad nula y temperatura fija en

el cırculo exterior. Expresadas matematicamente son:

96

5.1. Formulacion del problema 97

Figura 5.1: Modelo simplificado de estrella.

(T + T )∣∣r=R

= Te =⇒ T |r=R = 0, (5.1)

v|r=R = 0 =⇒ ϕ|r=R = 0 =∂ϕ

∂r

∣∣∣∣r=R

, (5.2)

T |θ=0 = T |θ=2π , (5.3)

v|θ=0 = v|θ=2π =⇒ ∂ϕ

∂θ

∣∣∣∣θ=0

=∂ϕ

∂θ

∣∣∣∣θ=2π

. (5.4)

La generacion de calor se considera dada por un funcion dependiente unicamente de la

coordenada radial y con decaimiento exponencial desde el origen:

Q = Ae−(rrc

)2

, (5.5)

donde rc ∈ (0, R]. Para darle un sentido fisico a constante A se va a expresar en funcion

del calor total generado en el cırculo por unidad de tiempo q:

q =

∫ R

02πrQdr = 2πA

∫ R

0re−(rrc

)2

dr = πr2cA

(1− e

−(R2

r2c

))∼= πr2

cA =⇒

=⇒ Q =q

πr2c

e−(rrc

)2

.

(5.6)

5.2. Adimensionalizacion 98

El valor de rc determina cuanto se concentra la generacion de calor en el origen. Para el

Sol un valor apropiado serıa rc = R/5.

5.2. Adimensionalizacion

Se definen las siguientes variables adimensionales:

r∗ =r

R, t∗ =

α

R2t, v∗ =

R

αv

ϕ∗ = αρ0ϕ, ω∗ =R2

αω, g ∗ =

R2

4GM0g

ρ∗ =ρ

ρ0, ρ =

ρ

ρ0, p∗ =

R2

α2ρ0p, p ∗ =

R2

α2ρ0p , T ∗ = T

πk

q

r2c

R2, T ∗ = T

πk

q

(rcR

)2,

(5.7)

donde M0 es la masa contenida en el cırculo, G la constante de gravitacion universal y

k = ρ0cpα. Las ecuaciones (2.77)-(2.78) resultan:

∂T ∗

∂t∗= −∇∗ · (T ∗v∗) + (γ − 2)h∗ρT

∗v∗r −[dT ∗

dr∗+ (1− γ)h∗ρT

∗]v∗r+

+1

ρ ∗∇∗2T ∗ +

1

ρ ∗∇∗2T ∗ + e

−(rrc

)2

,

(5.8)

∂ω∗

∂t∗= −∇∗ ·(ω∗v∗)−RaPr g ∗

r∗T ∗∂T ∗

∂θ+Pr

ρ ∗∇∗2ω∗+Pr d

dr∗

(1

ρ ∗

)(∂ω∗

∂r∗−

4h∗ρ3r∗2ρ ∗

∂2ϕ∗

∂θ2

).

(5.9)

La definicion del numero de Rayleigh para este problema es diferente:

Ra =gmR

3

αν, (5.10)

donde gm = 4πGρ0, de acuerdo a (2.99).

El estado de referencia se determina de la siguiente forma. Se escoge n y se integran

las ecuaciones (2.97),(2.98). Como lo tenemos que calcular numericamente, obtenemos un

vector con los valores de Θ asociados al vector ξ. Para determinar Θ(r∗) hace falta fijar

ademas Te/T0. En efecto, dado Te/T0 = Θ(ξe)/Θ(0) = Θ(ξe), se tiene que r∗ = r/R = ξ/ξe,

pues ξ = r/δ. Por tanto, si dividimos el vector ξ por ξe, tenemos ya el vector de r∗ asociado

al vector de valores de Θ. El valor de ξe se calcula como aquel que cumple Θ(ξe) = Te/T0

(con un bucle en Matlab).

5.2. Adimensionalizacion 99

Ası, para el sistema (5.8)-(5.9) se supone conocido el estado de referencia segun (2.99)-

(2.103), que en forma adimensional, una vez calculado Θ, es

g ∗(r∗) = − dΘ

dr∗(r∗), (5.11)

T ∗ = T0πk

q

(rcR

)2Θ(r∗), (5.12)

ρ ∗ = Θ(r∗)n. (5.13)

En conclusion, la aproximacion anelastica para este problema se determina por siete

parametros adimensionales:∣∣∣∣∣∣∣∣ γ, Pr, Ra, n,TeT0,

πkT0

q,

rcR

∣∣∣∣∣∣∣∣ . (5.14)

El estado de referencia se define con n y Te/T0 y el calor generado adimensional se de-

termina con la relacion de aspecto rc/R. Notese que Te/T0 no es la relacion entre la

temperatura exterior y la del origen, pues esta relacion dependera del calor generado, sino

unicamente la relacion elegida para el estado de referencia. El parametro L = πkT0/q

tiene la siguiente interpretacion: su producto con la relacion de aspecto al cuadrado es la

relacion aproximada entre el calor que se transferirıa por difusion desde el origen hasta

la superficie exterior si esta tuviese temperatura nula y el calor generado, en el estado

de referencia. Notese que el estado de referencia es hidrostatico, luego al imponer la ley

de gas perfecto no tiene por que cumplirse (de hecho no ocurre) que la ecuacion de la

energıa se cumpla con velocidad nula para el estado de referencia. Esto no significa que

la situacion de velocidad nula no pueda ser solucion del sistema: partiendo del estado de

referencia, se iniciaran movimientos convectivos para ajustar el balance, lo que cambiara el

campo de temperaturas, y por tanto el transporte por difusion; si el numero de Rayleigh

no es suficientemente alto, puede ocurrir que el nuevo campo de temperaturas sı cumpla

la ecuacion de la energıa con velocidad nula.

5.3. Resultados 100

5.3. Resultados

La obtencion de resultados en este problema conlleva una dificultad muy superior a los

problemas del capıtulo previo. Ademas de tener un parametro adicional debido a la gene-

racion de calor, el movimiento del fluido es mas inestable. Es necesario escoger bien unos

parametros de referencia en los que el programa funcione adecuadamente. En la mayorıa

de simulaciones se tomaran unos numeros adimensionales proximos a los siguientes:

γ = 1.6, P r = 1, Ra = 5 · 106,TeT0

= 0.8, L = 0.0004,rcR

=1

5, n = 0. (5.15)

La eleccion de Pr = 1 se justifica teniendo en cuenta la disipacion turbulenta de la can-

tidad de movimiento, cuya resolucion a escala real no es viable computacionalmente. El

coeficiente de dilatacion adiabatica se ha tomado entre el correspondiente a gas mono-

atomico y diatomico. La eleccion del resto, en particular de la relacion de temperaturas

en el estado de referencia, se han escogido mediante ensayo y error en las simulaciones.

El campo de velocidades y temperaturas correspondientes a estos parametros partiendo

de una solucion inicial con temperatura la de referencia y funcion de corriente una pequena

perturbacion con seis vortices

ϕ∗|t∗=0 = 0.005 sin(πr∗) cos(3θ), (5.16)

estan representados para un tiempo adimensional t∗ = 1.08:

Surgen dos dudas al respecto: primero, saber si la condicion inicial ha influido en el

resultado y, segundo, si se ha alcanzado el regimen permanente. Para lo primero probamos

5.3. Resultados 101

con los mismos parametros pero con condicion inicial una con solo cuatro vortices. Los

resultados para un mismo tiempo adimensional son:

Luego la condicion inicial sı influye en la solucion. Para comprobar si se ha alcanzado el

regimen permante representamos graficamente la evolucion de la norma de la temperatura

(que hemos definido como la norma del vector que contiene los valores de la temperatura

adimensional en los nodos del mallado):

Figura 5.2: 4 vortices Figura 5.3: 6 vortices

Esto demuestra que existen multiples soluciones estacionarias. Si pensamos en el plano

de fases del sistema dinamico, este problema tiene varios puntos fijos que son atractores

de trayectorias, y dependiendo del punto de partido se tendera a uno u otro.

No obstante, hemos simulado para tiempos considerablemente mayores para ver que ocurrıa.

Mostramos el resultado para ambos casos:

5.3. Resultados 102

Solucion para una perturbacion inicial con 4 vortices.


Se observa que el sistema finalmente evoluciona hacia la misma solucion formada por

dos vortices y con el mismo valor para la norma de la temperatura adimensional (por la

simetrıa del problema, dada una solucion, cualquier rotacion de la misma tambien lo es). Es

decir, aunque los estados anteriores son soluciones estacionarias, corresponden a equilibrios

inestables. En particular, cuanto mayor es el numero de vortices para un mismo numero

de Rayleigh, mas inestable es, como puede comprobarse midiendo el tiempo adimensional

en el que se produce el salto.

Otros puntos interesantes a analizar son: influencia del numero de Rayleigh en la es-

tabilidad de las soluciones estacionarias, existencia de un Rayleigh crıtico para resto de

parametros fijos y efectos de L y Te/T0. La siguiente solucion corresponde a

γ = 1.6, P r = 1, Ra = 5 · 106,TeT0

= 0.8, n = 1. (5.17)

5.3. Resultados 103

El ındice politropico afecta pues como se esperaba: al aumentar disminuye la conveccion.

En este caso el correspondiente a la situacion adiabatica para el estado de referencia es

5/3.

La existencia de un Rayleigh se ha comprobado con la siguiente simulacion, en com-

paracion con la mostrada anteriormente para los mismos parametros salvo numero de

Rayleigh:


Para terminar el breve analisis adimensional se incluyen varıas graficas variando el

parametro L. Se observa que su efecto es basicamente aumentar la temperatura en to-

do el cırculo, lo cual es logico pues un aumento de L significa que el calor generado es

mayor que el que se transfiere por conduccion en el estado de referencia.

5.3. Resultados 104

Estados estacionarios al variar L.

En conclusion, este capıtulo demuestra que pese a ser un modelo simplificado y en dos

dimensiones de una estrella, predice la aparicion de celdas convectivas. Este movimiento

tiene lugar a partir de cierto radio, produciendose la transferencia por conduccion (radia-

cion) cerca del origen, como prueba el resultado de la evolucion de la temperatura a lo

largo de un radio

Figura 5.4: Perfil radial de temperaturas.

En ella se ve como cerca del origen el gradiente de temperaturas es muy elevado por

lo que la conduccion es efectiva. Esta grafica es destacable ademas porque se ajusta muy

bien al perfil real de temperaturas en una estrella, mejor incluso que el politropo tomado

como estado de referencia.

Queda pendiente para futuras trabajos un analisis de mas detallado de la dependencia

de los resultados con los parametros adimensionales.

5.3. Resultados 105


El programa principal llama a la funcion auxiliar que define el politropo emden.m:

1

2 function dy=emden(xi,y,n)

3 dy=zeros (2,1);

4 dy(1)=y(2);

5 dy(2)=-(y(1)^n) -2*y(2)/xi;

6

7 end

Programa principal:

1 %---- CAPITULO 5 ---- %

2 clear all;

3 close all;

4 clc;

5

6 % Conveccion natural en un circulo con generacion de calor , con

7 % hipotesis anelastica.

8 %

9 % C.C.: Temperatura fija en r=R

10 % Velocidad nula en r=R

11 %


13 % espectral en theta.

14 %

15 % r en (0+,R], theta en (0+,2*pi]

16

17 % Datos

18

19 % Datos fluido

20 gamma =7/5; %Coeficiente de dilatacion adiabatica

21

22 % Datos estado de referencia

23 n=0; % Indice politropico

24 TeT0 =0.8;

25


27


5.3. Resultados 106

29 Pr=1; %Numero de Prandtl

30 Ra =5*10^6; %Numero de Rayleigh

31 PrRa=Pr*Ra;

32

33 % Dato generacion

34 L=0.0004;

35 rc=1/5;

36

37 % Discretizacion en tiempo

38 dt =1000* Ra^-1; %Paso de tiempo



41

42 PrRadt=dt*PrRa;

43 dt2 =0.5*dt;

44 Prdt2=Pr*dt2;

45

46 Nr=16;

47




51

52 Nt=Nr*Nth;

53


55 tic


57 [Lr,nodosR] = cheb(Nr -1 ,0.005 ,1);Lr=-Lr;nodosR=nodosR(Nr: -1:1);

58 Lr2=Lr^2;

59




*(1:Nth -1) /2) .^2]);

63






69 Ir = speye(Nr);

70

5.3. Resultados 107


72 Rk = kron(Ith ,R);




76


78 Dr = kron(Ith ,Lr);

79 Dth = kron(Fth ,Ir);

80 Dth2 = kron(Fth2 ,Ir);

81 L2 = kron(Ith ,Lr2+Rm1*Lr) + kron(Fth2 ,Rm2);

82 toc

83

84 tic


86 poli0 =1 -0.000001^2/6;

87 dpoli0 = -2*0.000001/6;

88 h=10^ -4;

89 [xi,Y]=ode45(@emden ,0.000001:h: 7,[poli0 dpoli0],[],n);

90 Nxi=length(xi);

91 Y(:,1)=real(Y(:,1));

92 Y(:,2)=real(Y(:,2));

93 for i=1:Nxi

94 if Y(i,1) <=TeT0 ,xitop=xi(i-1);break; end

95 end

96

97 Ones=ones(Nth ,1);

98 poli=spline(xi ,Y(:,1),xitop*nodosR);poli=kron(Ones ,poli);

99 dpoli=spline(xi,Y(:,2),xitop*nodosR);dpoli=kron(Ones ,dpoli);

100 d2poli=zeros(Nxi ,1);

101 d2poli (1,1)=(Y(2,2)-Y(1,2))/h;

102 d2poli(Nxi ,1)=(Y(Nxi ,2)-Y(Nxi -1,2))/h;

103 d2poli (2:Nxi -1,1)=(Y(3:Nxi ,2)-Y(1:Nxi -2,2))/2/h;

104 d2poli=spline(xi ,d2poli ,xitop*nodosR);d2poli=kron(Ones ,d2poli);

105 hrhoH=n*xitop*dpoli ./poli;

106 rhoH=poli.^n;

107 rhoHm1=poli.^-n;

108 drrhoHm1=-hrhoH .* rhoHm1;

109

110




5.3. Resultados 108

114 drrhoHm1D=diag(drrhoHm1);

115

116 Af=-(eye(Nt)-Prdt2*rhoHm1D*L2 -Prdt2*drrhoHm1D*Dr)...

117 *rhoHm1D *(L2-hrhoHD*Dr)+...

118 4/3* Prdt2*hrhoHD*rhoHm1D*drrhoHm1D*Rkm2*Dth2;

119 BT=eye(Nt)-gamma*dt2*rhoHm1D*L2;

120

121




125


127 Af=full(Af);

128 BT=full(BT);

129

130 % Valores de fi en Rmax

131 Af(Nr:Nr:Nt ,:) =0;

132 bfc(Nr:Nr:Nt)=0;

133


135 Af(i,i)=1;

136 end

137 Af(Nt,Nt)=1;

138

139 % Valores de fi_r en Rmax

140 Af(Nr -1:Nr:Nt -1,:)=Dr(Nr:Nr:Nt ,:);

141 bfc(Nr -1:Nr:Nt -1)=0;

142

143 % Valores de T en Rmax

144 BT(Nr:Nr:Nt ,:) =0;

145 bTc(Nr:Nr:Nt)=0;


147 BT(i,i)=1;

148 end

149 BT(Nt,Nt)=1;

150 toc

151


153 tic



156 toc

5.3. Resultados 109

157 %Corregir errores numericos

158 Afinv(Nr:Nr:Nt ,:)=kron(eye(Nth) ,[zeros(1,Nr -1) ,1]);

159


161



164 fi0 =0.005* sin(nodosR*pi)*cos(3*th ’);

165 fi0=fi0(:);

166 % T0=medt;

167 % fi0=med;

168



171

172 FthT=Fth ’;

173 Fth2T=Fth2 ’;

174

175 bfc=reshape(bfc ,Nr ,Nth);

176 bTc=reshape(bTc ,Nr ,Nth);

177

178 % Generacion de calor

179 Qad=kron(Ones ,exp(-(nodosR/rc).^2));

180 Qadres=reshape(Qad ,Nr ,Nth);

181

182 R=reshape(diag(Rk),Nr,Nth);




186 polires=reshape(poli ,Nr ,Nth);

187 dpolires=reshape(dpoli ,Nr,Nth);

188 d2polires=reshape(d2poli ,Nr,Nth);

189 rhoHm1res=reshape(rhoHm1 ,Nr,Nth);

190 hrhoHres=reshape(hrhoH ,Nr,Nth);


192 drrhoHm1res=reshape(drrhoHm1 ,Nr,Nth);

193

194 Prdt2drrhoHm1res=Prdt2*drrhoHm1res;

195 Prdt2drrhoHm1hrhohrhoHm1 =4/3* Prdt2*drrhoHm1res .* hrhoHres .* rhoHm1res

.*Rm2;

196 PrRadtRm1polim1dpoli=PrRadt*Rm1.* dpolires ./ polires;


5.3. Resultados 110

198 LdtrhoHm1rRL2poli=dt*L*rhoHm1res .*( xitop*Rm1.* dpolires +(xitop)^2*

d2polires);

199

200 gmdt2rhoHm1res=gamma*dt2*rhoHm1res;


202 adiab=xitop*L*dt*(n*(gamma -1) -1)/gamma*dpolires;

203

204 tic

205 for i=1: Ntau

206

207 fi0res=reshape(fi0 ,Nr ,Nth);

208

209 Dthfi0res=fi0res*FthT;

210 Drfi0res=Lr*fi0res;

211

212 vr0res=rhoHm1res .* Dthfi0res;

213 vth0res=-rhoHm1res .* Drfi0res;

214 T0vr0res=T0res .* vr0res;

215 divTvres=Lr*T0vr0res+Rm1.* T0vr0res +(Rm1.*T0res .* vth0res)*FthT;

216 L2T0res=Rm1 .*(Lr*T0res)+Lr2*T0res+Rm2 .*( T0res*Fth2T);

217

218 bT=T0res + gmdt2rhoHm1res .* L2T0res + LdtrhoHm1rRL2poli + ...

219 dt*(-divTvres+gamma2hrhoHres .* T0res.* vr0res)+...

220 +adiab .* vr0res + dt*Qadres;

221 bT=bT.*bTc;

222

223 T0=BTinv*bT(:);


225

226

227 DthT0res=T0res*FthT;

228 Dth2fi0res=fi0res*Fth2T;

229 L2fi0res=Rm1.* Drfi0res+Lr*Drfi0res+Rm2.* Dth2fi0res;

230 omega=-rhoHm1res .*( L2fi0res -hrhoHres .* Drfi0res);

231 omegavr0res=omega .* vr0res;

232 divvomega=Lr*omegavr0res+Rm1.* omegavr0res +(Rm1.*omega .* vth0res)

*FthT;

233 Dromega=Lr*omega;

234 L2omega=Rm1.* Dromega+Lr2*omega+Rm2 .*( omega*Fth2T);

235

236 bf=(omega - dt*divvomega + PrRadtRm1polim1dpoli .* DthT0res + ...


5.3. Resultados 111

238 Prdt2drrhoHm1res .* Dromega - Prdt2drrhoHm1hrhohrhoHm1 .*

Dth2fi0res).*bfc;

239


241

242 if mod(i,dtau)==0


244 T(:,i/dtau)=T0;

245 end

246 end

247 toc

248 pause

249


251

252 [TH,RR]= meshgrid ([0; th],nodosR);


254

255 fim=zeros(Nr ,Nth);

256 Tm=zeros(Nr ,Nth);

257 Rk=diag(Rk);

258

259 figure

260


262 fimaux=reshape(fi(:,i/dtau),Nr ,Nth);

263 fim=[ fimaux(:,Nth) fimaux ];


265 hold on


267 axis equal


269 hold off

270 pause (0.01)

271 end

272

273 figure

274 for i=Ntau

275

276 Tmaux=reshape(T(:,i/dtau),Nr,Nth)+polires*L;

277 Tm=[Tmaux(:,Nth) Tmaux];

278 plot(cos (0:0.01:2* pi),sin (0:0.01:2* pi),’k’,’LineWidth ’ ,2)

279 hold on

5.3. Resultados 112

280

281 contourf(X,Y,Tm ,100) , colorbar ,shading flat

282 colormap(hot)

283

284 axis equal

285 hold off


287 pause (0.001)

288 end

Capıtulo 6

Conclusiones y desarrollos futuros

En este proyecto se ha comprobado como modelos simplificados de las ecuaciones de

Navier-Stokes permiten estudiar los procesos de conveccion natural a gran escala que

ocurren en fenomenos de interes, como la atmosfera o una estrella. Se ha analizado la

importancia de la aproximacion anelastica frente a la de Boussinesq, permitiendo modelos

mas realistas con estratificion en densidad. Para varios problemas en geometrıa rectangular

y polar se ha estudiado la influencia de los diversos parametros adimensionales que definen

las ecuaciones sobre el proceso de conveccion.

En el capıtulo 2 se han formulado las ecuaciones de la conveccion natural bajo la hipote-

sis anelastica justificando la eliminacion de los terminos convenientes, y se ha indicado el

esquema de resolucion de sus ecuaciones, estudiando la idoneidad los politropos como esta-

dos de referencia. En el capıtulo tercero se han expuesto los metodos numericos empleados

con los codigos de Matlab asociados.

En el capıtulo 4 se han resuelto numericamente dos problemas de conveccion natural sin

generacion de calor. El primero trata sobre una cavidad rectangular con paredes aisladas

y expuesto a una gradiente vertical de temperaturas. Se han comparado los resultados

obtenidos con los conocidos para el caso de Boussinesq. En particular, se ha visto como un

mayor valor del ındice politropico del estado de referencia provoca que el Rayleigh crıtico

aumente, debido a que la situacion es mas estable por la estratificacion. Tambien se han

incluido resultados sobre el numero de celdas que se forman en funcion de la relacion de

aspecto. Se ha comprobado que el efecto de la relacion de aspecto y del ındice politropico

son independientes, por lo que la influencia de la relacion de aspecto para el caso anelastico

es igual a la estudiada para el modelo de Boussinesq. Por ultimo se ha visto que la diferencia

de temperaturas relativa tiene un efecto acoplado con el ındice politropico, como cabıa de

esperar teoricamente pues con ambos queda definido el nivel de estratificacion.

113

114

Resultados similares se han obtenido para una corona circular sujeta a un gradiente de

temperaturas y con gravedad central. Los resultados son por lo general analogos al caso

rectangular, si bien en este caso cuanto mas gruesa es la corona menor es el Rayleigh crıtico,

lo que nos permite intuir la complejidad de modelos globales para estrellas y planetas.

Muy destable es el resultado que muestra como para un ındice politropico cercano al

correspondiente a la situacion adiabatica del estado de referencia, el Rayleigh crıtico se

dispara, siendo muy improbable la conveccion.

En el capıtulo 5 se ha estudiado la conveccion natural en un gas autogravitante en dos

dimensiones con generacion de calor. Pese a la complejidad del problema, los resultados

son satisfactorios pues se forman, a partir de un Rayleigh crıtico, celdas convectivas. Los

resultados predicen la existencia de distintos estados estacionarios, pero algunos de ellos

inestables. Se ha comprobado tambien como el perfil de temperaturas resultantes se ajusta

a la forma del perfil real en estrellas.

Como trabajos futuros queda pendiente un analisis mas detallado de los resultados del

ultimo capıtulo, permitiendo estados de referencia que se ajusten mas al perfil solar, con el

objetivo de encontrar la formacion de celdas en una corona exterior con una zonta interior

en equilibrio. Para ello tambien serıa interesenta modificar la expresion del calor generado

y permitir conductividad variable con la temperatura, usando resultados conocidos de la

teorıa estelar. Modificaciones mas sustanciales serıan extender los resultados a geometrıa

esferica, haciendo uso de los armonicos esfericos para los metodos espectrales, estudiar el

efecto de superficies libres (problema de Benard), permitir la generacion de ondas acusticas

y ver su influencia en los modos de oscilacion del Sol y finalmente adaptar el modelo

para situaciones con conveccion turbulenta. Esto tendrıa que ir acompanado del uso de

metodos numericos mas eficientes, como pueden ser algoritmos paralelizados o el uso de

las transformadas rapidas para mallados finos

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Documents

Procesos de convecci on natural con hip otesis anel asticabibing.us.es/proyectos/abreproy/5438/fichero/PFC.pdf · aparece de forma natural el par ametro adimensional, denominado numero