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Prueba de hipotesis sobre laexistencia de una raız fraccional enuna serie de tiempo no estacionaria

Diego Fernando Lemus Polanıa

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias, Escuela de Estadıstica

Medellın, Colombia

2012


Prueba de hipotesis sobre laexistencia de una raız fraccional enuna serie de tiempo no estacionaria

Diego Fernando Lemus Polanıa

Tesis presentado como requisito parcial para optar al tıtulo de:

Magister en Ciencias - Estadıstica

Director:

Elkin Argemiro Castano Velez, M.Sc.

Lınea de Investigacion:

Procesos de memoria larga

Series de Tiempo, Sede Medellın

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias, Escuela de Estadıstica

Medellın, Colombia

2012


Dedicatoria

A mi novia, mis padres y mis hermanos.


Agradecimientos

Agradezco a todas las personas que hicieron posible el exitoso desarrollo de este trabajo

de grado, especialmente al profesor Elkin Argemiro Castano Velez, pues su trabajo como

asesor fue clave para lograr los objetivos propuestos, y al profesor Norman Diego Giraldo

por sus comentarios y el apoyo brindado a este proyecto.

Tambien agradezco al magister en estadıstica Jhonatan Cardona Jimenez por su asesorıa

sobre programacion en paralelo, y a los profesores Rene Iral Palomino, Juan Carlos Salazar

Uribe, Vıctor Ignacio Lopez Rıos, Carlos Mario Lopera Gomez y Mario Cesar Jaramillo

Elorza por facilitarme los recursos computacionales requeridos para el trabajo de simu-

lacion.


ix

Resumen

En este trabajo se propone una modificacion de la prueba de hipotesis propuesta por

Castano, Gomez & Gallon (2008) para determinar la existencia de memoria larga de un

modelo ARFIMA (p,d,q) estacionario e invertible. En el caso puntual de los modelos

ARFIMA (p,d,q), esta modificacion permite determinar la existencia de una raız frac-

cional en una serie de tiempo no estacionaria cuyo componente ARMA de corto plazo es

indeterminado o desconocido. Vıa simulacion se validan los resultados analıticos obtenidos

en el trabajo y se demuestra el buen comportamiento de la prueba propuesta en terminos

de potencia y tamano, en comparacion con otras metodologıas disponibles en la literatura.

Al final de este trabajo se presenta una aplicacion empırica de los contrastes presentados.

Palabras claves: Series de tiempo de memoria larga, parametro de diferenciacion frac-

cional, aproximacion autorregresiva, proceso ARFIMA no estacionario.

Abstract

In this work we present a modification for the hypothesis testing procedure for the exis-

tence of long memory in an stationary and invertible ARFIMA (p,d,q) process, proposed

by Castano et al. (2008). This modification allows to assess the existence of a fractional

root in a non-stationary time series when the short-term ARMA component is undeter-

mined or unknown, especially in ARFIMA (p,d,q) processes. We validate, via Monte Carlo

simulations, the analytical results and demonstrate the good performance of the proposed

test in terms of both, power and size, in comparison to other well-known tests in the lit-

erature. This work ends with an empirical application of the presented methodologies.

Keywords: Long memory time series, fractional differencing parameter, autoregressive

approximation, non-stationary ARFIMA process


Indice general

1. Introduccion 3

2. Procesos estacionarios y no estacionarios: conceptos y modelos 7

2.1. Procesos de memoria larga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2. Modelos ARFIMA(p,d,q): Definicion y propiedades . . . . . . . . . . . . . 9

3. Pruebas para procesos fraccionalmente integrados -FI(d)- no estacionarios 13

3.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2. Metodologıas consideradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2.1. La prueba de Geweke & Porter-Hudak (GPH) . . . . . . . . . . . . 16

3.2.2. La prueba de Robinson (ROB95) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.3. La prueba de Tanaka (TAN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.4. La prueba de Harris, McCabe y Leybourne (HML) . . . . . . . . . 20

3.2.5. La prueba de Dolado, Gonzalo & Mayoral (DGM) . . . . . . . . . . 21

3.2.6. La prueba de Lobato & Velasco (LV) . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3. Prueba propuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3.2. Metodologıa propuesta -Prueba (CL)- . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4. Analisis de simulacion 31

4.1. Factores considerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1.1. Variables de interes en el estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.1.2. Observaciones del trabajo de simulacion . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3. Aplicacion empırica de las metodologıas consideradas . . . . . . . . . . . . 66

4.3.1. Pruebas de raız unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.3.2. Pruebas de raız fraccional no estacionaria . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.3.3. Procedimiento de identificacion y estimacion . . . . . . . . . . . . . 71

xii Indice general

5. Conclusiones y trabajo futuro 81

5.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2. Trabajo futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

A. Apendice: Algunas definiciones consideradas 85

A.1. Movimiento Browniano estandar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

A.2. Movimiento Browniano fraccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

B. Apendice: Programacion en paralelo con R 89

B.1. Rutina implementada en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

C. Apendice: Resultados de simulacion 107

Bibliografıa 126

Indice de figuras

4-1. Curvas de potencia. Caso1: ARFIMA(0,d,0) . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4-2. Curvas de potencia promedio. Caso 2: ARFIMA(1,d,0). φ′s > 0 . . . . . . 40

4-3. Curvas de potencia promedio. Caso 3: ARFIMA(1,d,0). φ′s < 0 . . . . . . 43

4-4. Curvas de potencia promedio. Caso 4: ARFIMA(0,d,1). θ′s > 0 . . . . . . . 46

4-5. Curvas de potencia promedio. Caso 5: ARFIMA(0,d,1). θ′s < 0 . . . . . . . 49

4-6. Curvas de potencia promedio. Caso 6: ARFIMA(1,d,1). φ′s > 0 y θ′s > 0 . 52

4-7. Curvas de potencia promedio. Caso 7: ARFIMA(1,d,1). φ′s > 0 y θ′s < 0 . 55

4-8. Curvas de potencia promedio. Caso 8: ARFIMA(1,d,1). φ′s < 0 y θ′s > 0 . 59

4-9. Curvas de potencia promedio. Caso 9: ARFIMA(1,d,1). φ′s < 0 y θ′s < 0 . 63

4-10.Serie de la concentracion de hierro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4-11.Serie transformada de la concentracion de hierro . . . . . . . . . . . . . . . 67

4-12.ACF - PACF de la serie transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4-13.Serie transformada diferenciada fraccionalmente . . . . . . . . . . . . . . . 72

4-14.ACF - PACF de la serie diferenciada fraccionalmente . . . . . . . . . . . . 73

4-15.EACF de la serie diferenciada fraccionalmente . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4-16.ACF - PACF. Serie de residuales al cuadrado del modelo identificado ARFIMA(0,d,1) 75

4-17.Normal QQ plot - Residuales del modelo identificado ARFIMA(0,d,1) . . . 76

4-18.Densidad muestral de los residuales del modelo identificado ARFIMA(0,d,1) 76

4-19.t de student QQ plot - Residuales del modelo completo ARFIMA(0,d,1)-GARCH(1,1) 78

5-1. Cluster de las pruebas de interes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81


Indice de cuadros

4-1. Potencias y tamano de las pruebas. Caso 1. T = 500 . . . . . . . . . . . . 37

4-2. Potencias y tamano de las pruebas. Caso 1. T = 1000 . . . . . . . . . . . . 37

4-3. Potencias y tamano promedio de las pruebas. Caso 2. T = 500 . . . . . . . 41

4-4. Potencias y tamano promedio de las pruebas. Caso 2. T = 1000 . . . . . . 41






4-10.Potencias y tamano promedio de las pruebas. Caso 5. T = 1000 . . . . . . 50

4-11.Potencias y tamano promedio de las pruebas. Caso 6. T = 500 . . . . . . . 53








4-19.Prueba ADF - Caminata aleatoria con deriva y sin tendencia determinıstica 69

4-20.Regresion ajustada - Caminata aleatoria con deriva y sin tendencia determinıstica 69

4-21.Prueba ADF -Caminata Aleatoria con deriva alrededor de una tendencia determinıstica 69

4-22.Regresion ajustada - Caminata Aleatoria con deriva alrededor de una tendencia determinıstica

4-23.Resultados de las diferentes pruebas de raız fraccional no estacionaria . . . 70

4-24.Estimacion del modelo aproximado ARFIMA(p∗, d, 0) . . . . . . . . . . . 71

4-25.Prueba de Ljung-Box para los residuales del modelo aproximado ARFIMA(p∗, d, 0) 72

4-26.Estimacion del modelo identificado para la componente a corto plazo ARFIMA(0,d,1) 74

4-27.Prueba de Ljung-Box para los residuales del modelo identificado ARFIMA(0,d,1) 74

4-28.Prueba de McCleod-Li para heterocedasticidad condicional . . . . . . . . . 75

4-29.Estimacion del modelo completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Indice de cuadros 1

4-30.Prueba de Ljung-Box para los residuales del modelo completo ARFIMA(0,d,1)-GARCH(1,1) 77

4-31.Prueba de McCleod-Li para heterocedasticidad condicional . . . . . . . . . 78

4-32.Prueba de Kolmogorov-Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

B-1. Comparacion de tiempos de ejecucion usando 1 vs 30 procesadores . . . . . 90


1. Introduccion

Una actividad rutinaria en la creacion de modelos para series temporales consiste en

realizar pruebas de no estacionariedad empleando alguno de los diferentes enfoques de

pruebas de raız unitaria I(0) vs I(1)1. Granger (1980) y Granger & Joyeux (1980) de-

mostraron que algunas series de tiempo no estan bien representadas como un proceso

estacionario de memoria corta I(0) o como un proceso no estacionario con raız unitaria

I(1). De igual manera, demostraron que para la correcta modelizacion de estas series de

tiempo, la diferenciacion entera hasta conseguir estacionariedad es excesiva (sobredifer-

enciacion), debido a que usualmente la serie diferenciada pierde su componente de bajas

frecuencias importante para las predicciones a largo plazo (pero la no diferenciacion tam-

poco es adecuada).

Granger & Joyeux (1980) y Hosking (1981) proponen una clase de procesos intermedios en

los cuales el orden de integracion puede tomar un valor cualquiera en un intervalo contin-

uo de numeros reales. La correcta estimacion de este parametro permite una modelacion

adecuada de series de tiempo estacionarias y no estacionarias. Se trata de los procesos au-

torregresivos y de medias moviles fraccionalmente integrados ARFIMA(p,d,q), los cuales

segun Beran (1993) y Granger & Joyeux (1980) han resultado ser muy utiles en la cap-

tura de las propiedades de persistencia de muchos procesos de memoria larga. Segun los

autores, estos procesos tienen como finalidad cubrir el vacıo entre los casos extremos de

modelos con raıces unitarias, usualmente empleados en series no estacionarias homogeneas

por su grado extremo de persistencia en las autocorrelaciones muestrales -modelos ARIMA

(p,d,q)- y los modelos estacionarios que imponen un patron de decrecimiento exponencial

en las autocorrelaciones muestrales - modelos ARMA(p,q)-.

Segun Diebold & Rudebush (1989) y Lee & Schmidt (1996), las pruebas de raız unitaria

clasicas son consistentes cuando la alternativa es un proceso fraccionalmente integrado

-FI(d)-, pero su potencia resulta ser bastante baja. Esta falta de potencia ha motivado el

desarrollo de nuevos enfoques (nuevas pruebas) en los cuales se consideran explıcitamente

1I(0): Proceso estacionario de memoria corta vs I(1):Proceso no estacionario de raız unitaria

4 1 Introduccion

este tipo de alternativas .

En Castano et al. (2008) se aborda el problema de determinar la existencia de memoria

larga en un proceso ARFIMA (p,d,q) estacionario e invertible, y se presenta una prueba

para el parametro de diferenciacion fraccional basada en una aproximacion autorregresiva

de su componente a corto plazo. Los autores demuestran que la prueba propuesta tiene

generalmente potencias superiores, conservando un tamano adecuado a las obtenidas con

algunas de las pruebas mas utilizadas en la literatura y la practica, entre las cuales re-

saltan la prueba de Geweke & Porter-Hudak (1983), el contraste de Kwiatkowski, Phillips,

Schmidt & Shin (1992), la prueba de Robinson (1994), la prueba de Lobato & Robinson

(1998), la prueba de Tanaka (1999) y la prueba de Harris, McCabe & Leybourne (2008).

Los objetivos de este trabajo son desarrollar una modificacion de la prueba propuesta

por Castano et al. (2008) que permita identificar la existencia de una raız fraccional en

una serie de tiempo no estacionaria cuyo componente ARMA(p,q) de corto plazo es inde-

terminado o desconocido, y determinar, vıa simulacion Monte Carlo, el comportamiento

de la prueba propuesta en terminos de potencia y tamano bajo diferentes escenarios de

simulacion (diferentes tamanos de muestra y valores en los coeficientes del componente

ARMA del proceso) en comparacion con los resultados obtenidos por otras metodologıas

disponibles en la literatura para tal fin, entre las cuales se presentan la prueba de Geweke

& Porter-Hudak (1983), la prueba de Robinson (1995), la prueba de Tanaka (1999), la

prueba de Dolado, Gonzalo & Mayoral (2002), la prueba de Lobato & Velasco (2007) y la

prueba de Harris et al. (2008). Para cumplir el segundo objetivo del presente trabajo se

considero el intervalo de valores del parametro de diferenciacion fraccional d que mayor

atencion ha recibido en la literatura revisada (1/2 ≤ d < 3/2).

En el Capıtulo 1 se plantean las definiciones del fenomeno de memoria larga y de no

estacionaridad, y del modelo ARFIMA(p,d,q), con algunas propiedades basicas del mis-

mo. En el Capıtulo 2 se describe la prueba propuesta y sus antecedentes, y cada una de

las metodologıas alternativas enunciadas en el parrafo anterior. En el tercer capıtulo se

enuncian los factores y escenarios considerados en el estudio de simulacion y los resulta-

dos del mismo, seguidos por una aplicacion empırica de los contrastes considerados. En el

capıtulo final se presentan las conclusiones y recomendaciones del estudio y algunas ideas

para trabajos posteriores.

Por ultimo, tres apendices: en el primero se enuncian algunas definiciones empleadas en

5

este trabajo de grado, en el segundo se presenta el significado de programacion en paralelo

en el software estadıstico R y sus ventajas sobre la programacion lineal usualmente em-

pleada, y la rutina en R disenada para el estudio vıa simulacion de este trabajo, donde el

lector puede encontrar el codigo desarrollado para implementar cualquiera de los contrates

enunciados en el parrafo anterior, incluyendo el de la prueba propuesta; en el tercero se

presentan las tablas con todos los resultados obtenidos en el trabajo de simulacion desar-

rollado.


2. Procesos estacionarios y no

estacionarios: conceptos y modelos

El objeto de estudio en este trabajo son los fenomenos cuantificables que evolucionan en el

tiempo segun un mecanismo no determinıstico. La variabilidad inherente a estos procesos

genera una secuencia de observaciones con caracterısticas irreproducibles. Sin embargo,

hay ciertas propiedades que son transversales a cualquier sistema temporal: tendencia,

fluctuaciones, estacionalidad, entre otras. Una de estas tiene especial interes tanto teorico

como practico: el grado de interdependencia muestral.

Este trabajo esta enfocado en aquellas series de tiempo con una clase particular de inter-

dependencia muestral, conocidas en la literatura relacionada como procesos de memoria

larga o con dependencia muestral a largo plazo. En la siguiente seccion se presentan algu-

nas definiciones formales de los procesos de memoria larga. En la Seccion 2.2 se presenta

la definicion de una de las clases de modelos de fuerte interdependencia muestral mas

importantes en la literatura, los procesos autorregresivos y de medias moviles fraccional-

mente integrados ARFIMA(p,d,q).

2.1. Procesos de memoria larga

La propiedad de memoria larga en una serie temporal suele entenderse como la existencia

de una dependencia no despreciable entre observaciones que distan entre sı largos periodos

de tiempo.

Muchos autores definen la memoria de un proceso segun el comportamiento asintotico

de su funcion de autocovarianza. Si {Xt : t ∈ Z} es un proceso estacionario con funcion

de autocovarianza γ(k), se puede afirmar que este proceso tiene memoria larga, si y solo si:

8 2 Procesos estacionarios y no estacionarios: conceptos y modelos

∞∑

k=−∞

| γ(k)| = ∞. (2-1)

Por lo tanto, si las autocovarianzas de un proceso estacionario son absolutamente sum-

ables, se puede afirmar que el proceso en cuestion tiene memoria corta. Por el contrario,

un proceso tiene memoria larga si sus autocovarianzas no son absolutamente sumables.

Por otra parte, Beran (1993) demostro que cualquier proceso estacionario {Xt} con funcion

de autocorrelacion ρ(k) y densidad espectral f(λ) tiene esta propiedad, si existe un numero

real 0 < α < 1 y una constante Cρ > 0, tales que,

ρ(k) ∼ Cρk−α cuando k → ∞, (2-2)

o de igual manera, si existe un numero real 0 < β < 1 y una constante Cf > 0, tales que,

f(λ) ∼ Cf |λ|−β cuando λ→ 0+, (2-3)

Una definicion alternativa del comportamiento de memoria larga esta basada en la des-

composicion de Wold del proceso {Xt} -Subseccion 1.1.3 de Palma (2007)-

ψj ∼ jd−1ℓ(j) para j > 0, (2-4)

donde ℓ(j) es una funcion de variacion lenta (inducida por una sucesion de variacion lenta)

y d es el parametro de memoria larga asociado al proceso.

NOTA: En las ecuaciones (2-2), (2-3) y (2-4) el sımbolo ∼ indica que el cociente de los

terminos a la derecha e izquierda convergen hacia uno.

En la Seccion 3.1 de Palma (2007) se informa que desafortunadamente las definiciones

enunciadas en (2-1),(2-2), (2-3) y (2-4) no son necesariamente equivalentes y presenta el

siguiente teorema donde plantea algunas relaciones entre estas.

Teorema 1.1 Sea {Xt : t ∈ Z} un proceso estacionario con expansion de Wold

Xt =

∞∑

j=0

ψjǫt−j

donde {ǫt} es una sucesion de variables aleatorias no observables. Asumiendo que d ∈(0, 1/2).

2.2 Modelos ARFIMA(p,d,q): Definicion y propiedades 9

Si {Xt : t ∈ Z} satisface (2-4) entonces cumple con (2-2).

Si {Xt : t ∈ Z} satisface (2-2) entonces cumple con (2-1).

Si se satisfacen las dos condiciones anteriores entonces se cumple (2-3).

Beran (1993) define en el caso de la funcion de densidad espectral, que esta contiene

informacion sobre el peso relativo de cada frecuencia en la variabilidad total de la serie,

siendo el periodo asociado a cada frecuencia λ igual a 2π/λ. Cuando λ = 0, el periodo

correspondiente es infinito, y por tanto, en series con memoria larga, donde la densidad

espectral no esta acotada en el dominio de la frecuencia para λ = 0, el componente a

largo plazo domina a cualquier otro componente de corto plazo.

Es importante senalar que las definiciones de memoria larga planteadas son asintoticas,

en el sentido que informan sobre la tasa de convergencia hacia cero de las correlaciones

cuando k → ∞, o el comportamiento del espectro cuando λ→ 0+. Estas definiciones son

suficientes para abordar los procesos ARFIMA(p,d,q), los cuales se consideran en este

trabajo por ser modelos muy utilizados en el analisis empırico de series de tiempo.

2.2. Modelos ARFIMA(p,d,q): Definicion y propiedades

Una clase de modelos de memoria larga muy difundida en la literatura y en la practi-

ca son los procesos autorregresivos y de medias moviles fraccionalmente integrados -

ARFIMA(p,d,q)-, introducidos por Granger & Joyeux (1980) y Hosking (1981).

Se dice que un proceso estocastico {Xt : t ∈ Z} sigue un proceso ARFIMA(p,d,q) si es

una solucion a la ecuacion:

φ(B)(1− B)dXt = θ0 + θ(B)at, t = 1, ..., T (2-5)

donde φ(B) = 1−φ1B−· · ·−φpBp y θ(B) = 1−θ1B−· · ·−θqBq son respectivamente los

polinomios autorregresivo y de medias moviles de orden p y q en terminos del operador

de rezago B de un proceso ARMA(p,q), cuyas raıces estan fuera del cırculo unitario y no

se encuentran raıces comunes entre estos. θ0 es un numero real cualquiera, el proceso ates una sucesion de variables aleatorias no observables, con media cero y varianza finita σ2

a

y (1− B)d =∞∑

k=0

(

d

k

)

(−B)d es el operador de diferencia fraccional.


En estos modelos, el grado de memoria y de estacionaridad del proceso esta definido por

el parametro de diferenciacion fraccional d, el cual toma valores en un intervalo continuo

de numeros reales. Su valor es de interes para el analista de series temporales por las

propiedades caracterısticas de los procesos obtenidos dependiendo del valor de este, donde:

Si d=0, el proceso {Xt} en (2-5) corresponde a una serie de tiempo estacionaria de

memoria corta ARMA(p,q).

Si d=1, el proceso {Xt} en (2-5) corresponde a una serie de tiempo no estacionaria

que posee una raız unitaria. En este caso, la primera diferencia del proceso {Xt} es

estacionaria.

Si d es otro numero entero, el proceso {Xt} en (2-5) corresponde a una serie de tiem-

po no estacionaria que posee d raıces unitarias. Por lo tanto, la d-esima diferencia

del proceso {Xt} es estacionaria.

Si d es un numero real no entero, el proceso {Xt} en (2-5) corresponde a un proceso

fraccionalmente integrado ARFIMA (p,d,q).

Hosking (1981) analizo el comportamiento asintotico de la funcion de autocorrelacion del

caso mas sencillo de los procesos ARFIMA (p,d,q): el caso donde no hay dependencia

dinamica a corto plazo en la serie {Xt} en (2-5), es decir, cuando p = q = 0. El proce-

so resultante, conocido como ruido blanco fraccionalmente integrado o ARFIMA(0,d,0),

viene dado por la siguiente ecuacion:

(1−B)dXt = at, t = 1, ..., T (2-6)

donde at es una sucesion de variables aleatorias no observables, con media cero y varianza

finita σ2a. Para el proceso (2-6) Hosking (1981) demostro que:

Si −1/2 < d el proceso {Xt} en (2-6) es invertible.

Si d < 1/2 el proceso {Xt} en (2-6) es estacionario.

Por lo tanto, si −1/2 < d < 1/2, el proceso {Xt} en (2-6) es estacionario e invertible.

Ahora, si {Xt} en (2-6) es invertible, el proceso admite la siguiente representacion AR(∞):

(1− B)dXt =

∞∑

k=0

ΠkZt−k = at, t = 1, ..., T

2.2 Modelos ARFIMA(p,d,q): Definicion y propiedades 11

donde Πk = Γ(k−d)Γ(−d)Γ(k+1)

.

Ademas, si {Xt} es estacionario, el proceso tiene ademas una representacion MA(∞)

dada por:

Xt =

∞∑

k=0

ΨkZt−k = (1− B)−dat, t = 1, ..., T

donde Ψk = Γ(k+d)Γ(d)Γ(k+1)

.

Mediante la aproximacion [Γ(a + x)/Γ(b + x)] ≈ xa−b cuando x → ∞, Hosking (1981)

encontro que los coeficientes de la representacion de Wold del proceso ARFIMA(0,d,0)

convergen hiperbolicamente hacia cero. Es decir, los coeficientes satisfacen la condicion de

estacionariedad

(

∞∑

k=0

Ψ2k <∞

)

pero no son absolutamente sumables

(

∞∑

k=0

|Ψk| = ∞)

.

De lo anterior, se derivan las siguientes expresiones para la funcion de autocovarianza y

la varianza del proceso ARFIMA(0,d,0), respectivamente:

γ(k) = σ2a

(

Γ(1− 2d)Γ(k + d)

Γ(d)Γ(1− d)Γ(k + 1− d)

)

(2-7)

γ(0) = σ2a

(

Γ(1− 2d)

Γ(1− d)2

)

(2-8)

Dividiendo (2-7) entre (2-8) se obtiene la funcion de autocorrelacion del proceso ARFI-

MA(0,d,0):

ρ(k) =

(

Γ(1− d)Γ(k + d)

Γ(d)Γ(k + 1− d)

)

(2-9)

Para k → ∞ se puede emplear la aproximacion [Γ(a + x)/Γ(b + x)] ≈ xa−b en (2-9) y se

obtiene la siguiente expresion:

ρ(k) =

(

Γ(1− d)

Γ(d)

)

× k2d−1 (2-10)

De la definicion (2-3) y la ecuacion (2-10) se obtienen las propiedades mas importantes

del proceso ARFIMA(0,d,0). En primer lugar, si 0 < d < 1/2 la densidad espectral es

una funcion decreciente de λ, no acotada en el origen y concentrada en las bajas frecuen-

cias, en segundo lugar, las autocorrelaciones son todas positivas, decaen lentamente a un


ritmo hiperbolico de orden aproximado k2d−1 y no son absolutamente sumables. Estas

propiedades son precisamente las que caracterizan los modelos con memoria larga, por lo

que se puede concluir que en el intervalo 0 < d < 1/2, el proceso ARFIMA(0,d,0) es un

proceso estacionario con memoria larga.

Por el contrario, cuando −1/2 < d < 0, la densidad espectral se anula en el origen y

esta dominada por las frecuencias altas, y las autocorrelaciones son todas negativas y ab-

solutamente sumables. Estas propiedades son precisamente las que caracterizan los mod-

elos con memoria corta, por lo tanto se puede concluir que en el intervalo −1/2 < d < 0,

el proceso ARFIMA(0,d,0) es un proceso estacionario con memoria corta.

A pesar de la falta de formulas explıcitas para el analisis del comportamiento a largo plazo

del proceso general ARFIMA(p,d,q), el comportamiento asintotico del valor absoluto de

las autocorrelaciones parciales del proceso general es similar al obtenido para el proceso

ARFIMA(0,d,0), ya que para observaciones muy distantes los efectos de los parametros

ARMA son practicamente despreciables.

Como conclusion, si el valor del parametro de diferenciacion se encuentra entre −1/2 <

d < 1/2, {Xt} en (2-5) corresponde a un proceso fraccionalmente integrado ARFI-

MA(p,d,q), estacionario e invertible, en el cual:

Si −1/2 < d < 0, {Xt} en (2-5) es un proceso estacionario que exhibe una fuerte

reversion a la media y su funcion de autocovarianza decrece mas rapidamente a

cero que la de un proceso ARMA(p,q). En este caso, el proceso es llamado anti-

persistente.

Si 0 < d < 1/2, {Xt} en (2-5) es un proceso estacionario de memoria larga.

Ahora, si el parametro de diferenciacion fraccional es d ≥ 1/2 el proceso es, en general,

no estacionario. Sin embargo, los procesos fraccionalmente integrados con 1/2 < d < 1

permiten modelar el comportamiento de series no estacionarias, pero que finalmente re-

vierten hacia la media; mientras si d ≥ 1 permiten modelar procesos no estacionarios sin

reversion a la media.

3. Pruebas para procesos

fraccionalmente integrados -FI(d)-

no estacionarios

En Diebold & Rudebush (1989) y Lee & Schmidt (1996), los autores encontraron evidencia

de memoria a larga en cada una de las series macroeconomicas estudiadas y demostraron

que su grado de persistencia no esta asociado al caso de raız unitaria. Las estimaciones

puntuales del parametro de memoria d obtenidas en estos artıculos son todas menores a la

unidad (0.5 < d < 0.90) y ofrecen al lector una perspectiva diferente sobre la persistencia

de los shocks en diferentes actividades economicas.

Dichas estimaciones puntuales sugieren fuertemente que las innovaciones del proceso se

disipan parcialemente y que las parametrizaciones d = 1 y d = 0 que surgen en la mod-

elizacion de los procesos ARIMA estandar (objeto implıcito de la literatura sobre raıces

unitarias) pueden ser demasiado restrictivas dado el grado de persistencia de las series

estudiadas.

Sin embargo, los errores estandar de estas estimaciones puntuales de d son muy grandes,

por lo cual, al construir intervalos de confianza para el parametro de interes, en muchas

circunstancias se incluye la raız unitaria (30%-60% dependiendo del caso), imposibilitan-

do ası la inferencia sobre d, dado que en el mismo intervalo de confianza se encuentran

la hipotesis nula y la alternativa. Estos resultados han motivado una exploracion mas

detallada de la naturaleza de la dinamica de las bajas frecuencias en este tipo de series

economicas y el desarrollo de nuevos enfoques y nuevas teorıas de optimalidad asintotica,

de las cuales surgieron nuevas pruebas de hipotesis que toman en consideracion los pro-

cesos fraccionalmente integrados FI(d).

La creciente literatura sobre este tema se puede clasificar basicamente en dos lıneas. En

primer lugar, hay pruebas de tipo Wald que, trabajando bajo la hipotesis alternativa,

14 3 Pruebas para procesos fraccionalmente integrados -FI(d)- no estacionarios

realiza estimaciones puntuales de los parametros de memoria larga y construye intervalos

de confianza alrededor de estas estimaciones. En segundo lugar, hay pruebas basadas en

multiplicadores de Lagrange (LM), en las cuales los estadısticos de prueba son evaluados

bajo la correspondiente hipotesis nula.

Dentro del primer grupo, existen diversos metodos parametricos y semiparametricos, tan-

to en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia, desarrollados para

estimar el parametro de diferenciacion d y poder hacer inferencia sobre las caracterısticas

del proceso estacionario estudiado -ver Geweke & Porter-Hudak (1983), Robinson (1994),

Sowell (1992), Beran (1995)-. Sin embargo, la mayorıa de estas pruebas tienen muy poca

potencia cuando son empleadas para contrastar la presencia de memoria larga en una

serie temporal.

Por un lado, las tecnicas semiparametricas tienden a producir intervalos de confianza muy

amplios, que incluyen con una frecuencia no despreciable la hipotesis nula. Por otro lado,

aunque en general los metodos parametricos presentan intervalos de confianza mas estre-

chos, la precision en la estimacion de los parametros depende de la especificacion correcta

del modelo.

Dentro del segundo grupo, Tanaka (1999) y Robinson (1994) proponen pruebas LM en

el dominio del tiempo y la frecuencia, respectivamente. Una caracterıstica distintiva de

ambos enfoques es que, a diferencia de las pruebas clasicas de raız unitaria, donde las

distribuciones asintoticas no son normales y requieren de tabulacion numerica, en estas

pruebas las distribuciones asintoticas sı lo son. A pesar de la ventaja de tener una dis-

tribucion lımite normal, un defecto del enfoque de LM es que, al trabajar bajo la hipotesis

nula, estas pruebas no brindan informacion directa sobre el verdadero valor del parametro

de larga memoria d cuando esta hipotesis se rechaza.

3.1. Planteamiento del problema

Para cubrir el vacıo entre los casos extremos de modelos con raıces unitarias, usualmente

empleados en series no estacionarias homogeneas por su grado extremo de persistencia

en las autocorrelaciones muestrales -Modelos ARIMA (p,d,q)- y los modelos estacionarios

que imponen un patron de decrecimiento exponencial en las autocorrelaciones muestrales

-Modelos ARMA(p,q)-, Granger & Joyeux (1980) y Hosking (1981) proponen una clase

3.1 Planteamiento del problema 15

de procesos intermedios en los cuales el orden de integracion es fraccionario -Modelos

ARFIMA(p,d,q)-.

En estos modelos, la memoria y la no estacionaridad del proceso estan definidas por el

parametro de diferenciacion fraccional d, el cual puede tomar un valor cualquiera en un

intervalo continuo de numeros reales. Su correcta estimacion puede permitir una mod-

elacion adecuada de series de tiempo estacionarias y no estacionarias.

En este trabajo, se considera el modelo ARFIMA (p,d,q) presentado en (2-5) con d ≥ 0.5.

Especıficamente se consideran los procesos fraccionalmente integrados -FI(d)- no esta-

cionarios en el rango de valores entre 1/2 ≤ d < 3/2, por ser el intervalo de mayor interes

en la literatura relacionada, en el cual:

Si d = 1. Xt en (2-5) corresponde a una serie de tiempo no estacionaria que posee

una raız unitaria. En este caso, la primera diferencia del proceso Xt es estacionaria.

Si d 6= 1 y el valor del parametro de diferenciacion se encuentra entre 1/2 ≤ d < 3/2,

entonces Xt en (2-5) corresponde a una serie de tiempo no estacionaria que posee

una raız fraccional.

Para esta ultima situacion se identifican los siguientes casos:

• Si 1/2 ≤ d < 1, el proceso Xt en (2-5) es no estacionario de memoria larga

con reversion a la media. La primera diferencia de esta serie es estacionaria y

exhibe una fuerte reversion a la media; en decir, la nueva serie temporal sera un

proceso antipersistente.

• Si 1 < d < 3/2, el proceso Xt en (2-5) es no estacionario de memoria larga sin

reversion a la media. La primera diferencia de esta serie sera estacionaria de

memoria larga.

Los objetivos de este trabajo son desarrollar una modificacion de la prueba propuesta

por Castano et al. (2008) que permita identificar la existencia de una raız fraccional en

una serie de tiempo no estacionaria cuyo componente ARMA(p,q) de corto plazo es inde-

terminado o desconocido, y determinar, vıa simulacion Monte Carlo, el comportamiento

de la prueba propuesta en terminos de potencia y tamano bajo diferentes escenarios de

simulacion (diferentes tamanos de muestra y valores en los coeficientes del componente

ARMA del proceso) en comparacion con los resultados obtenidos por otras metodologıas

disponibles en la literatura para tal fin, entre las cuales se presentan la prueba de Geweke


& Porter-Hudak (1983), la prueba de Robinson (1995), la prueba de Tanaka (1999), la

prueba de Dolado et al. (2002), la prueba de Lobato & Velasco (2007) y la prueba de

Harris et al. (2008).

Para cumplir el segundo objetivo del presente trabajo se considero el intervalo de valores

del parametro de diferenciacion fraccional d que mayor atencion ha recibido en la literatu-

ra revisada (1/2 ≤ d < 3/2). A continuacion se describe brevemente la prueba propuesta,

sus antecedentes y cada uno de los contrastes alternativos considerados.

3.2. Metodologıas consideradas

Las metodologıas consideradas en este estudio se pueden clasificar en dos grupos: en el

primero, las pruebas que fueron disenadas originalmente para determinar la existencia de

una raız fraccional en una serie de tiempo estacionaria, que segun Robinson (1995) tambien

pueden ser empleadas en el caso no estacionario si se diferencia la serie de tiempo observa-

da hasta obtener un valor de d en el intervalo estacionario e invertible (−1/2 < d < 1/2),

luego se ejecuta la prueba sobre la serie diferenciada y posteriormente se ajusta la esti-

macion con el numero de diferencias tomadas. Dentro del segundo grupo se encuentran las

pruebas que abordan el problema de forma directa, es decir, las metodologıas que realizan

el contraste de interes sin necesidad de diferenciar la serie temporal.

Dentro del primer grupo se destacan en este estudio las pruebas de Geweke & Porter-

Hudak (1983), de Robinson (1995), de Tanaka (1999), de Harris et al. (2008) y la modifi-

cacion propuesta de la prueba de Castano et al. (2008); del segundo grupo se consideran

la prueba de Dolado et al. (2002) y la prueba de Lobato & Velasco (2007).

3.2.1. La prueba de Geweke & Porter-Hudak (GPH)

Geweke & Porter-Hudak (1983) proponen un estimador semiparametrico del parametro

de diferenciacion fraccional d en el dominio de las frecuencias. Para el desarrollo teorico

de la prueba, los autores consideran el proceso (1 − B)dXt = Zt, donde Zt ∼ I(0). Este

proceso se puede representar en el dominio de las frecuencias por

fx(w) = |1− exp(−iw)|2dfz(w) (3-1)

3.2 Metodologıas consideradas 17

donde fx(w) y fz(w) son las densidades espectrales de los procesos Xt y Zt, respecti-

vamente. Evaluando el logaritmo de la expresion (3-1) y mediante algunas operaciones

algebraicas se puede obtener la siguiente expresion:

log{fx(wj)} = log{fz(0)} − d log{

4sen2(wj

2

)}

+ log

{

fu(wj)

fz(0)

}

(3-2)

donde fu(w) es la densidad espectral de un proceso de ruido blanco en la frecuencia w.

El contraste semiparametrico propuesto por Geweke & Porter-Hudak (1983) se basa en

la inferencia sobre el parametro de diferenciacion fraccional d a partir de su estimador

por mınimos cuadrados ordinarios en el modelo de regresion para el logaritmo del peri-

odograma de Xt, el cual esta dado por la siguiente expresion:

log{Ix(wj)} = β0 + β1 log{

4sen2(wj

2

)}

+ νj (3-3)

donde Ix(wj) es la j-esima ordenada del periodograma de Xt, wj = 2πj/T es la j-esima

frecuencia de Fourier y νj = log

{

fu(wj)

fz(0)

}

es el termino de error en la regresion, el cual

se asume i.i.d de media cero y varianza constante π/6, ∀j = 1, . . . , m, siendo m =⌊

T 1/2⌋

el mayor entero que es menor o igual a T 1/2. Al comparar las expresiones (3-2) y (3-3)

se puede determinar facilmente que el orden de diferenciacion fraccional d en (3-2) cor-

responde al negativo del coeficiente de regresion β1 en (3-3), por lo tanto, el contraste

I(0) vs FI(d) se realiza por medio de una prueba de dos colas para determinar la sig-

nificancia del coeficiente β1 en (3-3), y de esa manera hacer inferencia sobre el parametro d.

Los autores argumentan que para −1/2 < d < 0 y asumiendo algunas condiciones adi-

cionales, el estadıstico de prueba converge a una distribucion normal estandar

dGPH−d√var(d)

d→ N(0, 1)

donde

√

var(d) =π2

6

(

m∑

j=1

Rj − R

)−1

con Rj = log(4sin2(wj/2).

El estimador GPH es simple de aplicar y robusto a no normalidad; sin embargo, presenta

problemas de sesgo y eficiencia en presencia de componentes a corto plazo con raıces

cercanas al cırculo de unidad del proceso Xt. Como se enuncio anteriormente, esta prueba


requiere de una prediferenciacion de la serie temporal antes de realizar el contraste de

interes en este estudio.

3.2.2. La prueba de Robinson (ROB95)

Robinson (1995) considerando el mismo proceso en Geweke & Porter-Hudak (1983) -

(1 − B)dXt = Zt, donde Zt ∼ I(0)- demostro que el estimador del parametro de difer-

enciacion fraccional dGPH propuesto por dichos autores es consistente y asintoticamente

normal para todo el rango de valores donde el proceso ARFIMA(p,d,q) es estacionario e

invertible (−1/2 < d < 1/2), y propone una version modificada y mas eficiente de este.

Una de las principales innovaciones del estimador propuesto por Robinson (1995) es que

solo requiere que la densidad espectral del proceso Xt -fx(w)- en (3-1) verifique la siguiente

condicion en las bajas frecuencias

fx(w) ∼ C|w|−2d cuando w → 0+

donde C es una constante positiva cualquiera. De igual manera comprueba que el modelo

de regresion propuesto por Geweke & Porter-Hudak (1983) es asintoticamente equivalente

al modelo:

log{Ix(wj)} = β0 + 2d log(|wj|) + νj (3-4)

donde Ix(wj) es la j-esima ordenada del periodograma de Xt, wj = 2πj/T es la j-esima

frecuencia de Fourier y νj = log

{

fu(wj)

fz(0)

}

es el termino de error en la regresion, el cual

se asume i.i.d, de media cero y varianza constante π/6, ∀j = 1, . . . , m.

Finalmente, determino que el estimador del parametro de diferenciacion fraccional d

obtenido por mınimos cuadrados ordinarios, utilizando las m primeras frecuencias en

torno al origen en la regresion (3-4) es consistente y asintoticamente normal, bajo la

hipotesis de normalidad para el proceso ARFIMA(p,d,q) definido en (2-5)√m(drob − d)

d→ N(0, π2

24)

El contraste I(0) vs FI(d) se realiza por medio de una prueba de dos colas para determinar

la significancia del coeficiente drob en (3-4). Como se enuncio anteriormente, esta prueba

requiere de una prediferenciacion de la serie temporal para realizar el contraste de interes

en este estudio.


3.2.3. La prueba de Tanaka (TAN)

Tanaka (1999) considera el modelo

Zj = X ′jβ + Yj, con (1− B)d+θYj = µj, (3-5)

donde j = 1, 2, . . . , T , {Xj} es una secuencia de k x 1 variables no estocasticas, β es un

vector k x 1 de coeficientes desconocidos, d es un valor preasignado para el parametro de

diferenciacion fraccional con el fin de poder implementar la prueba, {µj} se asume que es

un proceso ARMA(p,q) de la forma φ(B)µj = θ(B)aj , con φ(B), θ(B) y {aj} tal y como

fueron definidos en (2-5).

Asumiendo, sin perdida de generalidad que β = 0, la prueba de hipotesis para contrastar la

hipotesis nula de corta memoria contra la alternativa ya sea de memoria larga estacionaria

o de antipersistencia en el proceso Zj es

H0 : θ = 0 vs H1 : θ 6= 0

Note que bajo este esquema se asume en (3-5) que d = 0 y −1/2 < θ < 1/2. El estadıstico

LM propuesto por Tanaka (1999) para implementar la prueba esta dado por la siguiente

expresion:

LMTan =1

σ2

T∑

j=2

(

j−1∑

k=1

1

kǫj−k

)

ǫj = T

T−1∑

k=1

1

kρk (3-6)

donde ρk es la autocorrelacion de orden k de los residuales ǫj = φ(B)θ−1(B)(1 − B)dZj .

Bajo θ = δ/√T , con δ fijo, de manera que δ → 0 mientras k → ∞, Tanaka (1999)

demostro que el estadıstico enunciado tiene una distribucion lımite normal

1√TLMTan =

√T

T−1∑

k=1

1

kρk

d→ N(δω2, ω2)

donde

ω2 =π2

6− (κ1, . . . , κp, λ1, . . . , λp)Φ

−1(κ1, . . . , κp, λ1, . . . , λp)′,

con


κi =∞∑

j=1

1

jcj−i, λi = −

∞∑

j=1

1

jdj−i

donde cj y dj son los coeficientes de Bj en la expansion1

φ(B)y

1

θ(B)respectivamente, y

Φ es la matriz de informacion de Fisher para los coeficientes en φ(B) y θ(B). Note que

el esquema de prueba en (3-5) es bastante general y da la posibilidad de implementar

la prueba en el caso no estacionario cambiando d por el numero de diferencias enteras

que necesita Yj para que {µj} en (3-5) sea un proceso ARMA(p,q) estacionario. Se debe

informar al lector que esta prueba asume conocido el verdadero modelo a corto plazo

del proceso Zj para poder ser implementada, situacion que difıcilmente es cierta en la

practica.

3.2.4. La prueba de Harris, McCabe y Leybourne (HML)

Harris et al. (2008) proponen una modificacion de la prueba de Tanaka (1999) para con-

trastar la hipotesis nula de memoria corta con alternativas de memoria larga sobre el pro-

ceso considerado en (3-5). Asumiendo de igual manera que β = 0, la prueba de hipotesis

considerada esta dada por:

H0 : θ = 0 vs H1 : θ > 0

Note que bajo este esquema, se asume para el caso de los procesos ARFIMA(p,d,q) esta-

cionarios que d = 0 y 0 < θ < 1/2. El estadıstico LM propuesto por Harris et al. (2008)

para implementar la prueba se construye solamente con las autocorrelaciones muestrales

de orden superior del proceso Xt y esta dado por la siguiente expresion:

LMHML =Nk

ωℓ

(3-7)

Las formulas matematicas para el numerador y denominador en (3-7) son las siguientes

Nk = (T − h)−1/2T−1∑

k=h

(

1

k − h+ 1

)

ρk y ω2ℓ =

ℓ∑

j=−ℓ

hj

ℓ∑

i=−ℓ

ρiρi+j

donde h0 = φ2/6, hj = H|j|/|j| para j = ±1,±2, . . . , y H|j| son los numeros armonicos.

Los autores demuestran que para

k = (cT )1/2, siendo c alguna constante positiva.


ℓ→ ∞ a medida que T → ∞, tal que, ℓ2/T → 0

el estadıstico en (3-7) tiene una distribucion asintotica normal estandar

(

Nk

ωℓ

d→ N(0, 1)

)

.

Tambien determinaron, vıa simulacion, que la prueba propuesta obtiene los mejores re-

sultados en termino de potencia y tamano para k = ⌊(cT )1/2⌋, con c = 1 y ℓ =

⌊

2

3T 12/25

⌋

.

La novedad del estadıstico modificado radica en que este elimina los efectos de la presencia

de parametros ruidosos inducidos por la autocorrelacion de memoria corta no observada,

o el efecto presentado cuando el modelo parametrico a corto plazo ajustado ARMA(p,q)

no aproxima el verdadero proceso generador de los datos, lo cual segun Harris et al. (2008)

causa problemas de distorsion en el tamano en las pruebas.

3.2.5. La prueba de Dolado, Gonzalo & Mayoral (DGM)

Los contrastes DGM son pruebas tipo Wald en el dominio del tiempo cuya aplicacion

proporciona informacion sobre el valor del parametro d bajo la hipotesis alternativa. Esta

prueba es una generalizacion de la conocida prueba de Dickey-Fuller (DF) y fue disenada

para poder considerar directamente los procesos fraccionalmente integrados -FI(d0) frente

a FI(d1) con d1 < d0-, por lo cual estos autores le asignaron el nombre de prueba Dickey-

Fuller fraccional (DF-F).

Prueba Dickey-Fuller fraccional estandar

Especıficamente, la prueba DF-F consiste en probar la significancia de parametro φ en el

siguiente modelo de regresion:

(1−B)d0Xt = φ(1− B)d1Xt−1 + µt (3-8)

donde Xt es la serie de tiempo observada y µt = at es una secuencia de variables aleatorias

independientes e identicamente distribuidas de media cero y varianza desconocida σ2.

La prueba DF-F estandar esta basada en un modelo de regresion donde la variable res-

puesta y la variable explicativa corresponden al proceso {Xt} diferenciado de acuerdo

al grado de integracion bajo la hipotesis nula (d0) y bajo la hipotesis alternativa (d1)

respectivamente. En Dolado et al. (2002) se plantea la siguiente prueba de hipotesis para

contrastar la presencia de memoria larga en Xt:


H0 : φ = 0, el proceso Xt es FI(d0).

H1 : φ < 0, el proceso Xt es FI(d1).

Notese que si d0 = 1 y d1 = 0 se recupera el marco convencional de la prueba de Dickey-

Fuller (DF) - I(1) vs I(0)-. Los autores restringen su analisis al caso puntual donde Xt

bajo la hipotesis nula es un proceso no estacionario con raız unitaria (d0 = 1) y bajo

la hipotesis alternativa es un proceso fraccionalmente integrado FI(d1), en el rango de

valores 0 ≤ d1 < 1.

El estimador de φ y su estadıstico de prueba tφ estan dados por las expresiones usuales

obtenidas por el metodo de mınimos cuadrados ordinarios (MCO) en el modelo de regre-

sion en (3-8).

φMCO =

T∑

t=2

(1− B)Xt(1− B)d1Zt−1

T∑

t=2

((1− B)d1Xt−1)2

(3-9)

tφMCO=

T∑

t=2

(1− B)Xt(1−B)d1Xt−1

ST

(

T∑

t=2

((1−B)d1Xt−1)2

)1/2(3-10)

donde la varianza de los residuales en (3-10) se define como

S2T =

∑Tt=2

((1−B)Xt−φMCO(1−B)d1Xt−1)2

T

Los autores demostraron que bajo la hipotesis nula (Xt ∼ I(1)), φMCO en (3-9) es un

estimador consistente de φ = 0 y su distribucion asintotica esta dada por:

T 1−d1φMCOw→

∫

1

0W

−d1(r)dB(r)∫

1

0W 2

−d1(r)dr, si 0 < d1 < 1/2

(T logT )1/2φMCOw→ N(0, π), si d1 = 1/2

T 1/2φMCOw→ N

(

0, Γ2(d1)Γ(2d1−1)

)

, si 1/2 < d1 < 1

Tambien determinaron que la distribucion asintotica de tφMCOen (3-10) esta dada por:


tφMCO

w→∫

1

0W

−d1(r)dB(r)

(∫

1

0W 2

−d1(r)dr)1/2, si 0 ≤ d1 < 1/2

tφMCO

w→ N(0, 1) si 1/2 ≤ d1 < 1

donde B(∗) representa un movimiento browniano estandar y Wd(∗) un movimiento brow-

niano fraccionario estandar. En el apendice A se presentan las definiciones formales de

los movimiento brownianos enunciados. Por lo tanto, los estadısticos de prueba φMCO o

tφMCO, basados en la regresion (3-8) con d0 = 1 son consistentes para cualquier valor de

d1 ∈ [0, 1).

Prueba Dickey-Fuller fraccional aumentada

La prueba DF-F aumentada asume el modelo de regresion planteado en (3-8) con d0 =

1, pero ahora µt es un proceso autoregresivo de orden p, tal que φ(B)µt = at, donde

φ(B) = 1 − φ1B − · · · − φpBp es el polinomio AR en terminos del operador de rezagos

B de un proceso ARIMA cuyas raıces estan todas por fuera del cırculo unitario y at es

un proceso de ruido blanco gaussiano. Bajo estas condiciones, la prueba Dickey-Fuller

fraccional aumentada se basa en el siguiente modelo de regresion:

(1−B)Xt = φ(1−B)d1Xt−1 +

p∑

i=1

ζi(1−B)Xt−i + at (3-11)

Bajo la hipotesis nula -φ = 0 en (3-11)- donde Xt es un proceso ARIMA(p,1,0), los autores

comprobaron que:

La distribucion asintotica de tφMCOen (3-11) es la misma obtenida para este es-

tadıstico en el modelo de regresion en (3-8), siempre y cuando sean incluidos un

numero suficientes de rezagos.

Los coeficientes de regresion estimados (ζ1, . . . , ζp)′ son asintoticamente normales

para cualquier valor del parametro de diferenciacion fraccional d1 ∈ [0, 1) utilizado

en la regresion (3-11).

Notese que para poder ejecutar cualquiera de las pruebas DF-F propuestas (estandar o

aumentada) se necesita un valor para el parametro de memoria del proceso d1 bajo la

hipotesis alternativa. En Dolado et al. (2002) determinaron que para cualquier estimador

consistente de d1 dentro del rango considerado y con tasa de convergencia T 1/2 a su valor

real, la distribucion asintotica de tφMCObajo la hipotesis nula es una normal estandar.


Los autores proponen el uso del estimador generalizado de mınima distancia propuesto por

Mayoral (2007) en el dominio del tiempo para d1 afirmando que tiene mejores propiedades

estadısticas que algunos de los metodos de estimacion mas utilizados en la practica, con

el fin de hacer mas eficiente las pruebas DF-F propuestas (en terminos de potencia y

tamano).

3.2.6. La prueba de Lobato & Velasco (LV)

Lobato & Velasco (2007) definen inicialmente el proceso fraccionalmente integrado

(1−B)dXt1{t > 0} = at, (t = 1, 2, . . . , T ) (3-12)

donde at es un proceso ruido blanco con media cero y varianza finita, y 1{∗} denota una

funcion indicadora.

En su trabajo, dichos autores cuestionan el uso del regresor propuesto por Dolado et al.

(2002) y examinan cuidadosamente la optima seleccion de esta variable en el modelo de

regresion (3-8), con el fin de poder hacer inferencia sobre el grado de integracion del

proceso Xt. Para tal fin, consideran todas las posibles variables regresoras que permitan

obtener un estadıstico de prueba cuya distribucion asintotica bajo la hipotesis nula sea

normal estandar (con d1 > 0.5). Dentro de este grupo de variables regresoras, la prueba

de maxima potencia es aquella basada en un modelo de regresion donde los errores son

incorrelacionados entre sı e incorrelacionados con la variable regresora, es decir, la prueba

bajo el modelo donde la correlacion entre la variable respuesta y la explicativa es maxima.

Lobato & Velasco (2007) se afirma que un regresor de la forma (1− B)d1Xt−1 propuesto

por Dolado et al. (2002) no puede ser optimo. Esto debido a que bajo la hipotesis alter-

nativa no existen valores de φ y d1 que garanticen que el termino de error µt en el modelo

(3-8), sea serialmente incorrelacionado y ortogonal con el regresor (1−B)d1Xt−1. En este

sentido, el modelo (3-8) esta mal especificado por la no inclusion del proceso definido

en (3-12) como un caso particular bajo la hipotesis alternativa. Esta mala especificacion

implica que la estimacion por mınimos cuadrados ordinarios y la prueba t resultante basa-

da en la regresion (3-8) son ineficientes, incluso cuando d1 es escogido de forma optima.

Posteriormente proponen el uso de un modelo de regresion alternativo basado en (3-12).


Prueba Lobato & Velasco estandar

La prueba de Lobato y Velasco estandar (LV) consiste en probar la significancia del

parametro φ2 en el siguiente modelo de regresion reescalado:

(1−B)Xt = φ2Zt−1(d) + µt, para t = 1, . . . , T (3-13)

donde Zt−1(d) =(

(1−B)d−1−11−d

)

(1− B)Xt.

Al igual que la prueba DGM estandar, la prueba LV estandar necesita un valor para el

parametro de memoria del proceso bajo la hipotesis alternativa, y ası poder ser imple-

mentada. Sea d2 el parametro de entrada de esta prueba, para distinguirla del parametro

entrada d1 de la prueba de Dolado et al. (2002).

En Lobato & Velasco (2007) se plantea la siguiente prueba de hipotesis para contrastar

la presencia de memoria larga en Xt:

H0 : φ2 = 0, el proceso Xt en (3-13) es I(1).

H1 : φ2 < 0, el proceso Xt en (3-13) es FI(d2), con d2 > 1/2.

Para realizar el contraste de interes, los autores emplean una prueba de cola izquierda

donde el estadıstico de prueba tφ2se obtiene al utilizar d2 como el parametro de entrada

en el modelo de regresion (3-13) y ası poder determinar la significancia del coeficiente de

regresion φ2 asociado a la covariable Zt−1(d2).

Los autores demostraron que el regresor Zt−1(d) propuesto en (3-13) contiene toda la

informacion relevante del pasado para pronosticar (1 − B)Xt, mientras que el regresor

(1−B)d1Zt−1 propuesto por Dolado et al. (2002) no la contiene, independientemente del

valor de d1 -Ver (3-8)-. Tambien comprobaron que bajo alternativas locales (d = 1−δ/√T ,

para δ > 0), la prueba LV es asintoticamente equivalente a la prueba LM optima de

Robinson (1994), cuando d2 es elegido de manera optima, mediante una funcion h definida

por la siguiente expresion:

h(d2) =

∞∑

j=1

j−1πj(d2 − 1)

√

√

√

√

√

√

∞∑

i=1

πi(d2 − 1)2,


para d2 > 1/2 y d2 6= 1, donde πj(.) son los coeficientes de la expansion en series de Taylor

del proceso alrededor de πj(0) para j > 0. Ahora si d2 = 1 la funcion h esta definida por:

h(1) =

√

√

√

√

∞∑

j=1

j−2 =√

π2/6

Finalmente, encontraron que bajo el proceso definido en (3-12), las propiedades del es-

tadıstico para probar φ2 = 0 en (3-13) cuando el estimador del parametro de entrada d2cumple la siguiente condicion

d2 = d2 + op(T−τ ), con y d2 > 1/2 (3-14)

para algun d2 fijo y mayor que 1/2 estan dadas por las siguientes premisas:

Bajo la hipotesis nula (d = 1): tφ2

d→ N(0, 1)

Bajo la hipotesis alternativa (d < 1): La prueba basada en tφ2es consistente.

Prueba Lobato & Velasco aumentada

La prueba LV aumentada considera el caso donde el proceso Xt sigue el modelo autore-

gresivo fraccionalmente integrado de media movil ARFIMA (p,d,0)

α(B)(1−B)dXt1{t > 0} = at, (t = 1, 2, . . . , T ) (3-15)

donde α(B) = 1−α1B − · · · −αpBp es un polinomio AR(p) en terminos del operador de

rezagos B de un proceso ARIMA cuyas raıces estan todas por fuera del cırculo unitario

y at es un proceso de ruido blanco gaussiano. Bajo estas condiciones y de forma similar

al caso de ruido blanco (prueba LV estandar), los autores proponen utilizar el siguiente

modelo de regresion reescalado por razones de continuidad:

(1− B)Xt = φ2{α(B)Zt−1(d)}+p∑

j=1

αj(1−B)Xt−j + µt, para t = 1, . . . , T (3-16)

con la variable Zt−1(d) definida en (3-13). Bajo la hipotesis nula (φ2 = 0) el proceso Xt

en (3-16) sigue el modelo ARIMA (p,d,0) definido en (3-15) con µt = at. Bajo la alterna-

tiva, el modelo en (3-16) esta correctamente especificado, con regresoras α(B)Zt−1(d) y


{(1−B)Xt−j}pj=1 independientes del termino de error µt = at.

Comparado con el caso de ruido blanco, el problema en (3-16) surge porque el vector de

coeficientes α = (α1, . . . , αp)′ es desconocido, por lo cual no se podrıa obtener la covaria-

ble α(B)Zt−1(d). Para solucionar este inconveniente, los autores proponen el siguiente

procedimiento:

PRIMER PASO: Estimar por mınimos cuadrados ordinarios la siguiente regresion:

(1− B)d2Xt =

p∑

j=1

αj(1− B)d2Xt−j + µt, (3-17)

donde la entrada d2 es cualquier estimador consistente de d que satisfaga la condicion

planteada en (3-14).

SEGUNDO PASO: Estimar por mınimos cuadrados ordinarios la siguiente regresion:

(1− B)Xt = φ2{α(B)Zt−1(d2)}+p∑

j=1

αj(1− B)Xt−j + µt, (3-18)

La distribucion asintotica bajo la hipotesis nula del estadıstico tφ2resultante para probar

φ2 = 0 en (3-18), siendo α(B) es el estimador de α(B) obtenido en (3-17) y donde d2 es

el mismo estimador de d utilizado en la regresion (3-17), estan dadas por las siguientes

premisas:

Bajo la hipotesis nula (d = 1): tφ2

d→ N(0, 1)

Bajo la hipotesis alternativa (d < 1): La prueba basada en tφ2es consistente.

ya que bajo la alternativa, α converge hacia el verdadero valor de α y d2 hacia el verdadero

valor de d. Los autores consideran el estimador semiparametrico Gaussiano propuesto por

Velasco (1999) con ancho de banda de m = T 0.55 como el valor para el parametro de

memoria del proceso bajo la hipotesis alternativa d2.


3.3. Prueba propuesta

3.3.1. Antecedentes

En Castano et al. (2008) consideran el caso estacionario e invertible del proceso ARFI-

MA(p,d,q) definido en (2-5). Como el proceso es invertible (-1/2 < d), los autores pueden

especificar el modelo por medio de la siguiente forma alternativa (1 − B)dπ(B)Xt = at,

donde π(B) = φ(B)/θ(B) = 1 − π1B − π2B2 − · · · , es el componente dual autoregresivo

infinito del modelo de corto plazo ARMA(p,q) del proceso ARFIMA(p,d,q) considerado.

Siguiendo a Said & Dickey (1984), los autores aproximaron el proceso anterior por medio

del modelo (1 − B)dπ∗(B)Xt = at, donde π∗(B) = 1 − π∗

1B − π∗2B

2 − · · · − π∗p∗B

p∗ es el

componente a corto plazo aproximado, por medio de un orden adecuado p∗, del polinomio

π(B) especificado en el parrafo anterior.

El procedimiento propuesto por Castano et al. (2008) sugiere contrastar la hipotesis

nula de memoria corta (H0 : d = 0), contra la alternativa de memoria larga (Ha :

0 < d < 1/2), empleando la estimacion por maxima verosimilitud del modelo aproxi-

mado ARFIMA(p∗,d,0) y los resultados asintoticos del estimador maximo verosımil del

parametro d obtenido. Por lo tanto, el estadıstico de prueba empleado en el contraste es:

td =d

ˆse(d)(3-19)

donde d y ˆse(d) en (3-19) son respectivamente el estimador maximo verosımil de d y la

estimacion de su error estandar. Bajo la hipotesis nula estadıstico td tiene una distribucion

lımite normal estandar (tdd→ N(0, 1)).

Como resultado, los autores mostraron que bajo una aproximacion autoregresiva, cuyo

orden esta dado por el entero mas proximo a T 1/4 (p∗ ≈ T 1/4), la prueba mantiene en

general un tamano promedio adecuado para el caso de memoria corta y una potencia

promedio mayor, con valores mas estables bajo la hipotesis alternativa, en comparacion

con las pruebas mas utilizadas en la practica para el contraste en interes segun et al. (2008).

De igual manera determinaron que una vez estimado el modelo preliminar se pueden u-

sar los resultados obtenidos en la aproximacion para identificar un modelo a corto plazo

mas adecuado para el proceso y ası obtener una mejor inferencia sobre el parametro de

3.3 Prueba propuesta 29

diferenciacion fraccional d.

3.3.2. Metodologıa propuesta -Prueba (CL)-

Para realizar el contraste de interes en este trabajo se considera el modelo ARFIMA(p,d,q)

presentado en (2-5) con d ≥ 0.5, es decir, se considera el rango de valores para d donde

el proceso Xt es no estacionario. Este proceso estocastico se puede expresar de forma

equivalente como

φ(B)(1−B)1+d∗Xt = θ0 + θ(B)at (3-20)

que tiene las siguientes propiedades:

Si d∗ = 0. Xt en (3-20) corresponde a una serie de tiempo no estacionaria que posee

una raız unitaria. En este caso, la primera diferencia del proceso Xt es estacionaria.

Si d∗ 6= 0 y el valor del parametro de diferenciacion se encuentra entre −1/2 ≤ d∗ <

1/2, entonces Xt en (3-20) corresponde a una serie de tiempo no estacionaria que

posee una raız fraccional.

Para esta ultima situacion se identifican los siguientes casos:

• Si −1/2 ≤ d∗ < 0, el proceso Xt en (3-20) es no estacionario de memoria

larga con reversion a la media. La primera diferencia de esta serie sera un

proceso estacionario con una fuerte reversion a la media, es decir, un proceso

antipersistente.

• Si 0 < d∗ < 1/2, el proceso Xt en (3-20) es no estacionario de memoria larga

sin reversion a la media. La primera diferencia de esta serie sera un proceso

estacionario de memoria larga.

El problema a desarrollar en este trabajo consiste en contrastar vıa simulacion la hipotesis

nula de que Xt es un proceso no estacionario de raız unitaria (H0 : d∗ = 0), contra la

alternativa de que Xt es un proceso no estacionario de raız fraccional (Ha : d∗ 6= 0), en el

caso particular de un proceso ARFIMA (p,d,q) no estacionario, empleando el estadıstico

de prueba propuesto por Castano et al. (2008) sobre la primera diferencia del proceso

Xt en (3-12), ası:

φ(B)(1− B)d∗

(1− B)Xt = θ0 + θ(B)at


De forma similar a la prueba bilateral, se pueden realizar pruebas laterales contrastando

vıa simulacion la hipotesis nula que Xt es un proceso no estacionario de raız unitaria

(H0 : d∗ = 0) contra la alternativa de memoria larga con reversion a la media (Ha : d

∗ < 0),

o contra la alternativa de memoria larga sin reversion a la media (Ha : d∗ > 0), usando

el mismo estadıstico de prueba y calculando el percentil adecuado para cualquiera de los

casos planteados anteriormente.

4. Analisis de simulacion

4.1. Factores considerados

Para la comparacion de las diferentes metodologıas vıa simulacion se consideraron los

siguientes factores con sus respectivos niveles:

Valores reales parametro de diferenciacion fraccional d: 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1, 1.1,

1.2, 1.3, 1.4. Se escogieron estos valores por pertencer al intervalo real que mayor

atencion ha recibido en la literatura revisada para el parametro de diferenciacion

fraccional d (1/2 ≤ d < 3/2).

Numero de realizaciones del proceso o longitud de las series simuladas (T): 500 y

1000.

Numero de simulaciones por escenario (Nsim): 5000.

Nivel de significancia nominal empleado para el calculo de todas las potencias (α):

0.05

La perturbacion del modelo at sigue una distribucion N(0,1).

Los Modelos ARFIMA considerados en el estudio son los siguientes:

Modelo ARFIMA(0, d, 0)




• Los valores reales del coeficiente autorregresivo φ propuestos son: =±0.3,±0.6,±0.9

• Los valores reales del coeficiente de media movil θ propuestos son: = ±0.4,±0.8

32 4 Analisis de simulacion

4.1.1. Variables de interes en el estudio

Con el fin de encontrar el metodo mas eficiente para determinar la existencia de una raız

fraccional en una serie de tiempo no estacionaria, se estimaron y compararon las potencias

y tamanos de cada uno de los contrastes enunciados en el capıtulo anterior. Las defini-

ciones de potencia y tamano de una prueba consideradas en el trabajo son:

Potencia de una prueba estadıstica: Si β es la probabilidad de cometer un error

tipo II, β sera la probabilidad de aceptar la hipotesis nula (H0) cuando esta es falsa.

Por lo tanto, la potencia de una prueba estadıstica se define como la probabilidad

de rechazar H0 cuando esta es falsa, es decir, 1− β.

Tamano de una prueba estadıstica: Si α es la probabilidad de cometer un error

tipo I, el tamano de la prueba α sera la probabilidad de no aceptar la hipotesis nula

(H0), siendo esta verdadera.

4.1.2. Observaciones del trabajo de simulacion

Para que los resultados obtenidos en este estudio de simulacion puedan ser replicados por

algun usuario interesado, en el apendice B se comentara sobre la programacion en para-

lelo en el software estadıstico R y sus ventajas sobre la programacion lineal en estudios de

simulacion intensivos. En dicho apendice se presenta tambien el codigo disenado en R con

el fin de ilustrar el procedimiento empleado en este trabajo para reducir significativamente

los tiempos de calculo y ası obtener los resultados de interes.

Para implementar la metodologıa propuesta en este trabajo se utilizaron los siguientes

ordenes para el polinomio autorregresivo aproximado del componente a corto plazo del

modelo (1 − B)dπ∗(B)Xt = at enunciado en la subseccion “antecedendes” del capıtulo

anterior (ver el codigo de la prueba propuesta en el apendice B):

Para los procesos simulados de longitud T = 500 , el orden considerado fue p∗ =

T 1/4 ≈ 5

Para los procesos simulados de longitud T = 1000 , el orden considerado fue p∗ =

T 1/4 ≈ 6

Se debe informar tambien que para realizar el contraste propuesto por Tanaka (1999) se

asume conocido el verdadero modelo a corto plazo del proceso ARFIMA(p,d,q) simulado,

situacion que difıcilmente es cierta en la practica.

4.2 Resultados 33

4.2. Resultados

Debido a la gran cantidad de resultados puntuales obtenidos vıa simulacion en los dife-

rentes escenarios definidos en la primera seccion de este capıtulo, se presentan a conti-

nuacion las potencias y tamanos promedio de los diferentes contrastes bajo el siguiente

esquema:

Caso 1: Proceso Ruido Blanco fraccionalmente integrado ARFIMA(0,d,0). En este

caso no hubo necesidad de promediar el unico resultado obtenido para el rango de

valores del parametro de diferenciacion fraccional d, los cuales se presentaron en la

seccion factores considerados del presente capıtulo.

Caso 2: Proceso autorregresivo fraccionalmente integrado ARFIMA(1,d,0) para valo-

res positivos del coeficiente φ. En este caso se promediaron los resultados obtenidos

por los contrastes cuando el coeficiente autorregresivo φ toma los valores de 0.3, 0.6

y 0.9, a lo largo del rango de valores considerados para el parametro d.

Caso 3: Proceso autorregresivo fraccionalmente integrado ARFIMA(1,d,0) para valo-

res negativos del coeficiente φ. En este caso se promediaron los resultados obtenidos

por los contrastes cuando φ toma los valores de -0.3, -0.6 y -0.9, a lo largo del rango

de valores considerados para el parametro d.

Caso 4: Proceso de media movil fraccionalmente integrado ARFIMA(0,d,1) para

valores positivos del coeficiente θ. En este caso se promediaron los resultados obteni-

dos por los contrastes cuando θ toma los valores de 0.4 y 0.8, a lo largo del rango


Caso 5: Proceso de media movil fraccionalmente integrado ARFIMA(0,d,1) para

valores negativos del coeficiente θ. En este caso se promediaron los resultados obteni-

dos por los contrastes cuando θ toma los valores de -0.4 y -0.8, a lo largo del rango


Caso 6: Proceso autorregresivo de media movil fraccionalmente integrado ARFI-

MA(1,d,1) para valores positivos del coeficiente φ y del coeficiente θ, a lo largo del

rango de valores considerados para el parametro d.


MA(1,d,1) para valores positivos del coeficiente φ y negativos del coeficiente θ, a lo

largo del rango de valores considerados para el parametro d.



MA(1,d,1) para valores negativos del coeficiente φ y valores positivos del coeficiente

θ, a lo largo del rango de valores considerados para el parametro d.


MA(1,d,1) para valores negativos del coeficiente φ y del coeficiente θ, a lo largo del

rango de valores considerados para el parametro d.

La siguiente gama de colores indica la curva de potencia obtenida por cada una de las

pruebas consideradas en el estudio y es la misma para todas las graficas que se presentan

a continuacion:

La prueba propuesta en este trabajo -Prueba (CL)- se representa por medio de la

lınea color aguamarina.

La prueba LV estandar se representa por medio de la lınea de color negro.

La prueba LV aumentada se representa por medio de la lınea de color rojo.

La prueba DGM estandar se representa por medio de la lınea de color verde.

La prueba DGM aumentada se representa por medio de la lınea de color azul.

La prueba GPH se representa por medio de la lınea de color fucsia.

La prueba ROB95 se representa por medio de la lınea de color amarillo.

La prueba TAN se representa por medio de la lınea de color gris.

No se presentaran los resultados obtenidos para la prueba de Harris et al. (2008) pues

se determino vıa simulacion que no tiene interpretacion bajo el contraste que se esta re-

solviendo en este trabajo. Hay dos formas de plantear esta prueba en el rango de valores

considerado para el parametro d (1/2 ≤ d < 3/2): realizar el contraste directamente sobre

el proceso ARFIMA(p,d,q) simulado o realizarlo sobre su primera diferencia.

Para el primer caso, el contraste es el siguiente:

H0 : d = 0 vs H1 : d > 0 (4-1)

En el apendice C, casilla HML, se pueden ver los resultados de la prueba considerando

el esquema (4-1). Notese que para d = 1 la prueba HML rechaza casi siempre la hipotesis

4.2 Resultados 35

nula -Xt en (2-5) es un proceso estacionario de memoria corta-, lo cual implica que la

prueba bajo el esquema (4-1) no permite hacer inferencia sobre el grado de estacionaridad

del proceso, ni tampoco determinar si la raız del proceso es entera o es fraccional, solo

informa si tiene o no memoria larga.

Para el segundo caso, el contraste es el siguiente:

H0 : d∗ = 0 vs H1 : d

∗ > 0 (4-2)

donde d∗ es el valor del parametro de diferenciacion fraccional despues de diferenciar el

proceso.

Considerense los procesos ARFIMA(p,d,q) no estacionarios de memoria larga con rever-

sion a la media -procesos ARFIMA(p,d,q) con d ∈ (1/2, 1)-, cuya primera diferencia entera

sera un proceso estacionario antipersistente. Notese que bajo el esquema (4-2) la prueba

HML no puede detectar la fuerte reversion a la media caracterıstica de los procesos an-

tipersistentes, y en este rango de valores del parametro d tiende a aceptar la hipotesis nula.

Lo anterior se ve reflejado en el apendice C -casillaHML(dif)- por las bajısimas potencias

presentadas por la prueba para d ∈ (1/2, 1). Por lo tanto, bajo el esquema (4-2) la

prueba HML solo permite hacer inferencia sobre el grado de estacionaridad del proceso

y determinar si la raız del proceso es entera o es fraccional si el verdadero valor del

parametro d se encuentra dentro del rango [1, 3/2).

364

Analisisdesimulacion

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

(a) Número Observaciones Simuladas: 500

Cu

rva

s d

e P

ote

ncia

LVLV−AumDGMDGM−AumCas−LemGPHRob95Tanaka

d=0.6 d=0.7 d=0.8 d=0.9 d=1.0 d=1.1 d=1.2 d=1.3 d=1.4

# #

#

#

#

#

#

# #+ +

+

+

+

+

+

++0 0

0

0

0

0

00

0

α = 0.05 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


Cu

rva

s d

e P

ote

ncia


d=0.6 d=0.7 d=0.8 d=0.9 d=1.0 d=1.1 d=1.2 d=1.3 d=1.4

# #

#

#

#

#

#

# #+ +

+

+

+

+

+

+ +

0 0

0

0

0

0

0

00

α = 0.05

Figura

4-1.:Curvas

depotencia.

Caso1:ARFIM

A(0,d,0)

4.2 Resultados 37

d LV LV Aum. DGM DGM Aum. Castano GPH Rob95 Tanaka

0.6 0.9470 0.9579 0.9252 0.9337 0.9389 0.7418 0.6070 0.9766

0.7 0.9696 0.9749 0.9266 0.9441 0.9534 0.5458 0.4584 0.9982

0.8 0.7840 0.7989 0.7654 0.7996 0.7999 0.3350 0.3272 0.8346

0.9 0.6438 0.6698 0.6252 0.6566 0.6828 0.1738 0.2414 0.1730

1.0 0.0552 0.0562 0.0542 0.0576 0.0534 0.2608 0.2196 0.0090

1.1 0.6850 0.7038 0.6588 0.6734 0.6740 0.2288 0.3046 0.3216

1.2 0.7948 0.7962 0.7635 0.7756 0.7648 0.4740 0.4798 0.7456

1.3 0.9682 0.9765 0.8772 0.8156 0.9746 0.6206 0.4910 0.4174

1.4 0.9400 0.9684 0.9104 0.9370 0.9743 0.8086 0.6480 0.5276

Tabla 4-1.: Potencias y tamano de las pruebas. Caso 1. T = 500


0.6 1.0000 1.0000 0.9412 1.0000 1.0000 0.8804 0.8300 1.0000

0.7 1.0000 1.0000 0.9482 1.0000 1.0000 0.6930 0.6512 1.0000

0.8 0.8896 0.8721 0.8622 0.8678 0.8581 0.4380 0.4540 0.9960

0.9 0.6890 0.6926 0.6204 0.6624 0.6822 0.2038 0.2912 0.4740

1.0 0.0596 0.0632 0.0527 0.0552 0.0515 0.2596 0.2166 0.0108

1.1 0.6708 0.6684 0.6180 0.6826 0.7690 0.1930 0.2546 0.1108

1.2 0.7910 0.7882 0.7580 0.7888 0.8032 0.3872 0.3632 0.3240

1.3 0.9861 0.9904 0.9244 0.9660 1.0000 0.7472 0.6778 0.7290

1.4 0.9568 0.9714 0.9344 0.9360 1.0000 0.9082 0.8378 0.6964

Tabla 4-2.: Potencias y tamano de las pruebas. Caso 1. T = 1000

En el Grafico 4.1 (a) y la Tabla 4-1 se observa que:

Para series de tiempo de 500 observaciones y valores del parametro d ∈ [0.6, 0.7], la po-

tencia de la prueba propuesta (CL) es levemente inferior a la obtenida por las pruebas de

Lobato & Velasco (2007) y Tanaka (1999) y superior a las alcanzadas por las demas; como

resultado de interes, se aprecia como la prueba CL mejora su comportamiento a medida

que el valor del parametro d se acerca a la hipotesis nula, alcanzando la mayor potencia

de todos los contrastes para d = 0.9.


Para d mayores a uno (d > 1), la prueba de CL, de Lobato & Velasco (2007) y de

Dolado et al. (2002) tienen un desempeno similar, alcanzando potencias muy parecidas y

considerablemente altas cuando d se encuentra cerca a la raız unitaria, cuyos valores se

incrementan a medida que aumenta el grado de no estacionaridad del proceso. Se resalta

que para d > 1 la prueba CL alcanza de nuevo la mayor potencia de todos los contrastes

considerados.

Tambien se puede apreciar que para todo el rango de valores del parametro d considerado,

los valores de las potencias de las pruebas enunciadas anteriormente son muy estables, y

como era de esperarse, segun Lobato & Velasco (2007), la prueba LV obtiene potencias

levemente superiores a las logradas por la prueba DGM.

La prueba propuesta por Tanaka tiene un comportamiento bastante irregular, notese que

para d ∈ [0.6, 0.8] alcanza las mayores potencias de todas las pruebas consideradas, pero

para valores del parametro cercanos a la hipotesis nula la prueba tiene una disminucion

considerable en su capacidad de detectar raıces fraccionales. Como caso particular se

puede observar que para d = 1.3 y d = 1.4 dicha prueba tiene el peor comportamiento

con las potencias mas bajas.

Las pruebas propuestas por Geweke & Porter-Hudak (1983) y por Robinson (1995) pre-

sentan un pobre desempeno a lo largo del rango de valores considerado para el parametro

d, ya que, con excepcion del caso enunciado en el parrafo anterior, estos contrastes presen-

tan las potencias mas bajas bajo la hipotesis alternativa y pronunciadas distorsiones en

el tamano bajo la hipotesis nula. El resto de las pruebas consideradas presentan tamanos

bastante cercanos al nivel de significancia nominal considerado en este trabajo. Se observa

que despues de la prueba de Tanaka, la prueba CL tiene la menor desviacion en el tamano

de todos los contrastes considerados.

Se debe analizar con cuidado el resultado enunciado en el parrafo anterior para la prueba

de Tanaka. En el capıtulo anterior se explico que para poder implementar dicha prue-

ba se asume conocido el verdadero modelo a corto plazo del proceso, situacion bastante

improbable en la practica, resultando inviable su aplicacion en la mayorıa de los casos.

Lo anterior resalta las ventajas de la prueba propuesta en este trabajo, la cual no asume

conocido el grado de no estacionaridad del proceso, ni su componente a corto plazo.

4.2 Resultados 39

En el Grafico 4.1 (b) y la Tabla 4-2 se observa que:

En general, todas las potencias obtenidas son mayores al aumentar la longitud de la serie

usada en las pruebas. Otra caracterıstica radica en el hecho de que la prueba propues-

ta tiene la mayor potencia de todos los contrastes considerados para cualquier valor del

parametro d mayor a uno (d ∈ [1.1, 1.4]) y la menor desviacion en el tamano bajo la

hipotesis nula.

Con excepcion de las caracterısticas enunciadas en el parrafo anterior, las pruebas pre-

sentaron un comportamiento similar al descrito para las series temporales de 500 obser-

vaciones.

404


0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


Cu

rva

s d

e P

ote

ncia


d=0.6 d=0.7 d=0.8 d=0.9 d=1.0 d=1.1 d=1.2 d=1.3 d=1.4

# #

#

#

#

#

#

# #

+

+

++

+

+

+

+ +0

0

0

0

0

0

0

00

α = 0.05 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


Cu

rva

s d

e P

ote

ncia


d=0.6 d=0.7 d=0.8 d=0.9 d=1.0 d=1.1 d=1.2 d=1.3 d=1.4

# #

#

#

#

#

#

# #

+

+

+

+

+

+

+

+ +0

0

0

0

0

0

0

0 0

α = 0.05

Figura

4-2.:Curvas

depotenciapromedio.Caso2:ARFIM

A(1,d,0).Promedioresultad

os

φ′ s>

0

4.2 Resultados 41


0.6 0.9534 0.9637 0.8845 0.9138 0.9429 0.5095 0.4553 0.3494

0.7 0.9486 0.9534 0.8322 0.8513 0.9107 0.3815 0.4064 0.2553

0.8 0.6704 0.6927 0.4119 0.4377 0.6332 0.3071 0.3838 0.0585

0.9 0.4350 0.4687 0.3626 0.3770 0.3787 0.2834 0.3939 0.0057

1.0 0.0893 0.0875 0.0963 0.0881 0.0840 0.4359 0.4305 0.0027

1.1 0.4312 0.4333 0.3702 0.3967 0.3325 0.4471 0.5001 0.0487

1.2 0.6401 0.6715 0.6033 0.6337 0.6583 0.6046 0.5965 0.2933

1.3 0.9313 0.9542 0.9109 0.9441 0.9393 0.7675 0.7106 0.4191

1.4 0.9346 0.9508 0.8972 0.9219 0.9492 0.8838 0.8040 0.5268

Tabla 4-3.: Potencias y tamano promedio de las pruebas. Caso 2. T = 500


0.6 0.9883 0.9913 0.9030 0.9448 0.9786 0.6680 0.6001 0.5575

0.7 0.9953 0.9956 0.7476 0.7735 0.9800 0.4889 0.5097 0.3551

0.8 0.7908 0.7939 0.5568 0.5767 0.7025 0.3149 0.4483 0.2339

0.9 0.4821 0.4907 0.3907 0.4009 0.4297 0.2297 0.4252 0.0200

1.0 0.0761 0.0727 0.0843 0.0835 0.0797 0.4191 0.4560 0.0025

1.1 0.4707 0.5223 0.3746 0.4301 0.3595 0.2409 0.3171 0.1145

1.2 0.6863 0.6885 0.6332 0.6773 0.6677 0.6478 0.6903 0.3671

1.3 0.9697 0.9874 0.9419 0.9646 0.9941 0.8373 0.8199 0.4320

1.4 0.9487 0.9721 0.9358 0.9713 0.9670 0.9406 0.9119 0.5700



Para series de tiempo de 500 observaciones y para el intervalo de valores considerado del

parametro d, la prueba propuesta (CL) y la de Lobato & Velasco (2007) tienen un muy

buen comportamiento con potencias promedio superiores a las logradas por los demas

contrastes. Puntualmente, para d ∈ [0.6, 0.9] las potencias promedio de la prueba pro-

puesta -CL- son un poco menores a las obtenidas por las pruebas LV, pero mayores a

las alcanzadas por el resto de metodologıas. Para d ∈ [1.1, 1.4] la prueba DGM tiene una


mejora considerable en su capacidad para detectar raıces fraccionales obteniendo poten-

cias levemente inferiores a las presentadas por las pruebas previamente enunciadas, las

cuales son muy parecidas entre sı.

Un comportamiento contrario al enunciado anteriormente es el presentado por las pruebas

propuestas por Geweke & Porter-Hudak (1983), por Robinson (1995) y por Tanaka (1999).

Notese que para cualquier valor del parametro de diferenciacion fraccional estas pruebas

tienden a aceptar la hipotesis nula de raız unitaria, por lo cual presentan las potencias

mas bajas entre todos los contrastes. Los resultados menos satisfactorios en terminos de

potencia son los presentados por la ultima prueba enunciada.

Con excepcion de la prueba de Tanaka, el resto de los contrastes considerados presentan

tamanos con algun grado de alejamiento del nivel de significancia nominal, sobresaliendo

la extrema distorsion presentada por las pruebas de Geweke & Porter-Hudak (1983) y

de Robinson (1995). Como resultado de interes se puede observar que para series de 500

observaciones la prueba CL alcanza la desviacion promedio mas pequena.


En general, al aumentar la longitud de la serie simulada se incrementan las potencias

promedio obtenidas por las diferentes metodologıas. Para d = 1.1 la prueba propuesta

no tuvo un aumento considerable en la potencia promedio (al aumentar la longitud de la

serie) y es superada por las pruebas de Lobato & Velasco (2007) y de Dolado et al. (2002),

pero a medida que el valor del parametro d aumenta, la prueba mejora su comportamiento

alcanzando potencias promedio similares o mayores a las obtenidas por los contrastes mas

eficientes.

Con excepcion de las caracterısticas enunciadas en el parrafo anterior, las pruebas pre-

sentaron un comportamiento similar al descrito para las series temporales de 500 obser-

vaciones.

4.2

Resultad

os43

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


Cu

rva

s d

e P

ote

ncia


d=0.6 d=0.7 d=0.8 d=0.9 d=1.0 d=1.1 d=1.2 d=1.3 d=1.4

# #

#

#

#

#

## #

+ +

+

+

+

+

++

+

0 0

0

0

0

00

0

0

α = 0.05 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


Cu

rva

s d

e P

ote

ncia


d=0.6 d=0.7 d=0.8 d=0.9 d=1.0 d=1.1 d=1.2 d=1.3 d=1.4

# #

#

#

#

#

## #

+ +

+

+

+

+

+

+

+0 0

0

0

0

0

0

0

0

α = 0.05

Figura

4-3.:Curvas



os

φ′ s<

0



0.6 0.9677 0.9758 0.9425 0.9666 0.9845 0.6997 0.6208 0.9729

0.7 0.9581 0.9740 0.9277 0.9530 0.9679 0.5322 0.4746 0.9688

0.8 0.7662 0.7960 0.7426 0.7792 0.8052 0.3383 0.3376 0.9931

0.9 0.6675 0.6899 0.6362 0.6755 0.7309 0.1810 0.2467 0.6999

1.0 0.0631 0.0657 0.0749 0.0715 0.0599 0.2565 0.2097 0.0673

1.1 0.7742 0.8135 0.7395 0.7561 0.7786 0.1860 0.2525 0.5911

1.2 0.9017 0.9253 0.6839 0.7093 0.9451 0.3736 0.3495 0.9357

1.3 0.9461 0.9650 0.6563 0.6567 0.9841 0.6027 0.4809 0.9262

1.4 0.9644 0.9778 0.8749 0.9036 0.9848 0.8003 0.6455 0.8916



0.6 1.0000 1.0000 0.9477 1.0000 1.0000 0.8373 0.8331 1.0000

0.7 1.0000 1.0000 0.9563 0.9928 1.0000 0.6820 0.6643 1.0000

0.8 0.8599 0.8719 0.8325 0.8493 0.8822 0.4296 0.4675 1.0000

0.9 0.7031 0.7226 0.6663 0.6897 0.7317 0.2082 0.2947 0.9293

1.0 0.0653 0.0659 0.0699 0.0723 0.0646 0.2693 0.2375 0.0727

1.1 0.8277 0.8452 0.8082 0.8147 0.8533 0.2187 0.3048 0.8706

1.2 0.9471 0.9633 0.6950 0.7305 0.9665 0.4761 0.4799 0.9959

1.3 0.9786 0.9854 0.8659 0.8826 1.0000 0.7438 0.6735 0.9853

1.4 0.9679 0.9959 0.9467 0.9817 1.0000 0.9044 0.8351 0.9393



Para series de tiempo de 500 observaciones la mayorıa de las metodologıas (con excepcion

de las pruebas GPH y Rob95) tuvieron un desempeno similar a lo largo del intervalo de

valores considerado para el parametro d, mostrando potencias promedio que disminuyen

a medida que dicho parametro se acerca a la hipotesis nula y aumentan a medida que lo

hace el grado de no estacionaridad bajo la alternativa, excepto por los resultados presen-

tados por la prueba DGM para d = 1.2 y 1.3 (ver disminucion en la potencia promedio

4.2 Resultados 45

de dicha prueba).

Se resaltan las potencias promedio considerablemente altas alcanzadas por dichas metodo-

logıas para valores de d cercanos a la raız unitaria (d = 0.9 y 1.1). Tambien se destaca

que para d = 0.6, 0.9 y d > 1.1 la prueba propuesta alcanza las mayores potencias prome-

dio entre todos los contrastes considerados. Se ratifica nuevamente que para todo el rango

de valores del parametro d la prueba LV obtiene mejores resultados que los obtenidos por

la prueba DGM.


sentan un pobre desempeno mostrando las potencias promedio mas bajas bajo la hipotesis

alternativa y pronunciadas distorsiones en el tamano bajo la hipotesis nula. El resto de las

pruebas consideradas presentan tamanos bastante cercanos al nivel de significancia nomi-

nal considerado en este trabajo. De nuevo se observa que la prueba CL tiene la menor

desviacion en el tamano de todos los contrastes considerados.



promedio obtenidas por las pruebas. Con excepcion de la caracterıstica enunciada en la

oracion anterior, las metodologıas presentaron un comportamiento similar al descrito para

las series temporales de 500 observaciones.

464


0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


Cu

rva

s d

e P

ote

ncia


d=0.6 d=0.7 d=0.8 d=0.9 d=1.0 d=1.1 d=1.2 d=1.3 d=1.4

# #

#

#

#

#

#

#

#

+

+ + +

+

+

+

+

+

0

00 0

0

0

0

0

0

α = 0.05 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


Cu

rva

s d

e P

ote

ncia


d=0.6 d=0.7 d=0.8 d=0.9 d=1.0 d=1.1 d=1.2 d=1.3 d=1.4

# #

#

#

#

#

#

#

#

+

+ + +

+

+

+

+

+

0

00 0

0

0

0

0

0

α = 0.05

Figura

4-4.:Curvas



os

θ′s>

0

4.2 Resultados 47


0.6 0.9716 0.9829 0.3637 0.3577 0.9630 0.7348 0.6023 0.9998

0.7 0.9696 0.9771 0.6397 0.6320 0.9768 0.5454 0.4461 0.9599

0.8 0.8098 0.8342 0.6398 0.6541 0.8204 0.3329 0.3248 0.4322

0.9 0.6455 0.6563 0.6342 0.6519 0.7497 0.1770 0.2343 0.0308

1.0 0.0628 0.0590 0.0728 0.0636 0.0669 0.2631 0.2151 0.0006

1.1 0.7321 0.7526 0.6677 0.7140 0.7631 0.1897 0.2623 0.0010

1.2 0.9219 0.9517 0.9064 0.9432 0.9752 0.3792 0.3645 0.0188

1.3 0.8624 0.8954 0.6334 0.6596 0.9780 0.6150 0.4880 0.1069

1.4 0.9316 0.9640 0.9244 0.9415 0.9696 0.7973 0.6498 0.2766



0.6 1.0000 1.0000 0.5203 0.5567 1.0000 0.8694 0.8293 1.0000

0.7 1.0000 1.0000 0.5841 0.5892 1.0000 0.6926 0.6708 1.0000

0.8 0.8608 0.8752 0.6730 0.6794 0.8756 0.4313 0.4424 0.9675

0.9 0.6863 0.6868 0.6255 0.6599 0.7192 0.2107 0.2902 0.2538

1.0 0.0543 0.0530 0.0644 0.0544 0.0568 0.2670 0.2296 0.0026

1.1 0.7734 0.8176 0.6682 0.7080 0.8669 0.2225 0.3131 0.0079

1.2 0.9429 0.9582 0.9335 0.9497 0.9730 0.4799 0.4944 0.1695

1.3 0.9819 0.9865 0.9766 0.9844 1.0000 0.7502 0.6923 0.3590

1.4 0.9270 0.9736 0.8762 0.9198 1.0000 0.9101 0.8367 0.4442



Para series de tiempo de 500 observaciones y d = 0.6, la potencia de la prueba CL es leve-

mente inferior a la obtenida por las pruebas de Lobato & Velasco (2007) y Tanaka (1999)

y superior a las alcanzadas por las demas; como resultado de interes, se aprecia como

la prueba CL mejora su comportamiento a medida que el valor del parametro d se ac-

erca a la hipotesis nula alcanzando la mayor potencia de todos los contrastes para d = 0.9.


De igual manera, se observa que para valores positivos del coeficiente media movil y

d = 0.6, 0.7 y 0.8, la prueba DGM (estandar y aumentada) presenta un desempeno defi-

ciente para detectar las raıces fraccionales no estacionarias presentes en las series tempo-

rales simuladas, con potencias promedio muy inferiores a las metodologıas mas eficientes.

Para d mayores a uno (d > 1), las pruebas de Lobato & Velasco (2007), de Dolado

et al. (2002) y la propuesta -CL- tienen un desempeno similar, pues alcanzan potencias

promedio considerablemente altas para valores del parametro de diferenciacion fraccional

cercanos a la raız unitaria, las cuales se incrementan a medida que aumenta el grado de

no estacionaridad del proceso, con excepcion de los resultados para d = 1.3 donde las

pruebas LV y DGM tienen una disminucion considerable en sus potencias promedio. Se

resalta el hecho de que para cualquier valor del parametro d mayor a uno (d > 1) la prue-

ba CL alcanza las mayores potencias promedio entre todos los contrastes considerados.

Se ratifica nuevamente que para todo el rango de valores del parametro d la prueba LV

obtiene mejores resultados que los obtenidos por la prueba DGM.

La prueba propuesta por Tanaka tiene un comportamiento bastante irregular, observese

que para d ∈ [0.6, 0.7] alcanza las mayores potencias promedio entre todas las metodologıas,

pero para valores del parametro cercanos y mayores a la hipotesis nula la prueba tiene una

disminucion considerable en su capacidad de detectar raıces fraccionales no estacionarias.

Como caso puntual se puede observar que para d > 1 dicha prueba tiene el peor compor-

tamiento con las potencias promedio mas bajas.



d, ya que, con excepcion del caso enunciado en el parrafo anterior, estos contrastes presen-

tan las potencias mas bajas bajo la hipotesis alternativa y pronunciadas distorsiones en

el tamano bajo la hipotesis nula. El resto de las pruebas consideradas presentan tamanos

bastante cercanos al nivel de significancia nominal considerado en este trabajo.


En general, todas las potencias obtenidas son mayores al aumentar la longitud de la serie

usada en las pruebas. Con excepcion de la caracterıstica enunciada en la oracion anterior,

las pruebas presentaron un comportamiento similar al descrito para las series temporales

de 500 observaciones.

4.2

Resultad

os49

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


Cu

rva

s d

e P

ote

ncia


d=0.6 d=0.7 d=0.8 d=0.9 d=1.0 d=1.1 d=1.2 d=1.3 d=1.4

# #

#

#

#

#

#

# #+ +

+

+

+

+

++

+

0 0

0

0

0

0

0

0

0

α = 0.05 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


Cu

rva

s d

e P

ote

ncia


d=0.6 d=0.7 d=0.8 d=0.9 d=1.0 d=1.1 d=1.2 d=1.3 d=1.4

# #

#

#

#

#

#

# #+ +

+

+

+

+

++

+

0 0

0

0

0

0

0

0

0

α = 0.05

Figura

4-5.:Curvas



os

θ′s<

0



0.6 0.9664 0.9716 0.9372 0.9722 0.9726 0.7745 0.7876 0.9603

0.7 0.9526 0.9760 0.9284 0.9574 0.9868 0.6670 0.6719 0.9664

0.8 0.7874 0.7973 0.7478 0.7656 0.5748 0.4971 0.5465 0.9750

0.9 0.6451 0.6712 0.6526 0.6726 0.2615 0.3308 0.4273 0.9937

1.0 0.0636 0.0737 0.0775 0.0787 0.0854 0.3658 0.3201 0.9272

1.1 0.7193 0.7443 0.6224 0.6728 0.2525 0.1516 0.2763 0.5728

1.2 0.8619 0.8672 0.8310 0.8562 0.6549 0.2469 0.2733 0.6298

1.3 0.9581 0.9652 0.7818 0.7890 0.9832 0.4271 0.3339 0.8551

1.4 0.9602 0.9626 0.8179 0.8665 0.9875 0.6337 0.4253 0.7665



0.6 1.0000 1.0000 0.9466 0.9908 0.9805 0.8658 0.9117 1.0000

0.7 1.0000 1.0000 0.9356 0.9906 0.9880 0.7580 0.8036 1.0000

0.8 0.8228 0.8785 0.8391 0.8538 0.6645 0.5485 0.6504 1.0000

0.9 0.7786 0.7904 0.7388 0.7714 0.4893 0.3021 0.4663 1.0000

1.0 0.0503 0.0441 0.0520 0.0468 0.0728 0.3372 0.3272 0.0778

1.1 0.7402 0.7466 0.6705 0.7109 0.3722 0.1628 0.2894 0.6006

1.2 0.8650 0.8853 0.8520 0.8561 0.8025 0.3559 0.3502 0.7941

1.3 0.9741 0.9991 0.9005 0.9148 0.9902 0.6282 0.4884 0.9687

1.4 0.9807 0.9931 0.9363 0.9722 0.9722 0.8398 0.6674 0.8294



Para series de 500 observaciones, las pruebas de Lobato & Velasco (2007) y Dolado et al.

(2002) tuvieron un desempeno parecido a lo largo del intervalo de valores del parametro

d considerado, alcanzando potencias promedio considerablemente altas para valores de d

cercanos a la raız unitaria, las cuales aumentan a medida que el grado de no estacionar-

idad del proceso se aleja de la hipotesis nula, con excepcion del resultado de la prueba

DGM para d = 1.3 y 1.4 (ver disminucion en las potencias promedio). Se ratifica nueva-

mente que para todo el rango de valores del parametro d la prueba LV obtiene mejores

4.2 Resultados 51

resultados que los obtenidos por la prueba DGM.

De igual manera, se observa que para procesos simulados con componente media movil

cuyo coeficiente toma valores negativos y los valores del parametro de diferenciacion frac-

cional mas alejados de la hipotesis inicial (d = 0.6, 0.7, 1.3 y 1.4), la prueba CL tiene el

mejor desempeno presentando las mayores potencias promedio de todas la metodologıas

consideradas, situacion que se va deteriorando a medida que el valor del parametro d

se encuentra mas cerca de la raız unitaria, donde la prueba propuesta exhibe una gran

disminucion en su capacidad de detectar las raıces fraccionales no estacionarias presentes

en las series temporales simuladas.



d, ya que con excepcion del caso enunciado en el parrafo anterior para d = 0.9 estos

contrastes presentan las potencias promedio mas bajas bajo la hipotesis alternativa. La

prueba propuesta por Tanaka tiene un comportamiento bastante irregular, observese que

para d ∈ [0.6, 0.9] alcanza potencias promedio muy altas, pero para valores del parametro

d mayores a la hipotesis nula la prueba tiene una disminucion considerable en su capaci-

dad de detectar raıces fraccionales.

Se puede observar una ostensible distorsion en el tamano presentado por la prueba de

Tanaka, cuyo valor cercano a uno se aleja bastante del nivel de significancia nominal

considerado en este trabajo, lo que indica una tendencia de esta a rechazar la hipotesis

inicial d = 1 siendo esta cierta, haciendo poco confiables los resultados presentados por

la misma. El resto de los contrastes considerados presentan tamanos con algun grado de

alejamiento del nivel de significancia nominal definido, sobresaliendo la notoria distorsion

presentada por las pruebas de Geweke & Porter-Hudak (1983) y de Robinson (1995).


En general, todas las potencias promedio obtenidas son mayores al aumentar la longitud

de la serie usada en las pruebas. Se puede apreciar que la metodologıa de Tanaka ya no

presenta la extrema distorsion en el tamano presentada por esta para las series simuladas

de 500 observaciones. Con excepcion de las caracterısticas enunciadas en el parrafo an-

terior, las pruebas presentaron un comportamiento similar al descrito para las series de

tiempo de menor longitud.

524


0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


Cu

rva

s d

e P

ote

ncia


d=0.6 d=0.7 d=0.8 d=0.9 d=1.0 d=1.1 d=1.2 d=1.3 d=1.4

# #

#

#

#

#

#

##

++

+

+

+

+

+

++0

0

0

0

0

0

0

00

α = 0.05 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


Cu

rva

s d

e P

ote

ncia


d=0.6 d=0.7 d=0.8 d=0.9 d=1.0 d=1.1 d=1.2 d=1.3 d=1.4

# #

#

#

#

#

#

# #+

+

+

+

+

+

+

++0 0

0

0

0

0

0

00

α = 0.05

Figura

4-6.:Curvas



os

φ′ s>

0yθ′s>

0

4.2 Resultados 53


0.6 0.9434 0.9798 0.8957 0.8989 0.9445 0.4953 0.4595 0.3075

0.7 0.9681 0.9855 0.9274 0.9496 0.8948 0.3787 0.4098 0.2207

0.8 0.7855 0.8082 0.7496 0.7740 0.7945 0.2992 0.3846 0.2863

0.9 0.4757 0.5026 0.4270 0.4324 0.3692 0.2813 0.3952 0.4601

1.0 0.1286 0.1248 0.1428 0.1448 0.1338 0.4351 0.4378 0.5230

1.1 0.5347 0.5418 0.4726 0.5233 0.5270 0.4081 0.5097 0.6503

1.2 0.8354 0.8620 0.7972 0.8214 0.8351 0.6082 0.6087 0.7664

1.3 0.8928 0.9167 0.8543 0.8791 0.9489 0.7732 0.7135 0.8038

1.4 0.9258 0.9593 0.8931 0.9160 0.9697 0.8861 0.8096 0.8058



0.6 0.9610 0.9897 0.9266 0.9524 0.9804 0.6623 0.5978 0.4836

0.7 0.9851 0.9930 0.9468 0.9616 0.9528 0.4865 0.5121 0.4076

0.8 0.8404 0.8595 0.8279 0.8406 0.8714 0.3115 0.4383 0.4811

0.9 0.4992 0.4821 0.4288 0.4401 0.4598 0.2322 0.3864 0.5031

1.0 0.1021 0.0926 0.1233 0.1060 0.0956 0.4180 0.4524 0.3684

1.1 0.5916 0.6074 0.5219 0.5513 0.5787 0.4312 0.4713 0.8186

1.2 0.8679 0.8828 0.8295 0.8568 0.8823 0.6233 0.6896 0.8707

1.3 0.9668 0.9853 0.9567 0.9780 0.9900 0.8411 0.8198 0.9050

1.4 0.9456 0.9765 0.9300 0.9516 0.9688 0.9448 0.9121 0.8904



Para series de 500 observaciones, la mayorıa de las pruebas (con excepcion de la prueba

GPH, Rob95 y Tanaka) tuvieron un desempeno similar para todo el intervalo de valores

del parametro d considerado. Las pruebas obtienen bajas potencias para valores cercanos

a la raız unitaria, las cuales aumentan a medida que el grado de no estacionaridad del

proceso se aleja de la hipotesis nula. Se resalta que para d > 1.2 la prueba propuesta (CL)

alcanza las mayores potencias promedio entre todos los contrastes considerados. Nueva-

mente se hace evidente la superioridad de la prueba LV sobre la prueba DGM, al obtener


potencias superiores para cualquier valor del parametro d.

La prueba propuesta por Tanaka tiene un comportamiento bastante irregular, se observa

que para d ∈ [0.6, 0.8] la prueba alcanza las potencias promedio mas bajas de todos los

contrastes considerados, pero para valores del parametro d mayores a la hipotesis nula

la prueba tiene un aumento considerable en su capacidad de detectar raıces fraccionales

no estacionarias. De igual manera, las pruebas propuestas por Geweke & Porter-Hudak

(1983) y por Robinson (1995) presentan un pobre desempeno a lo largo del intervalo de

valores considerado para el parametro d, ya que con excepcion del compotamiento descrito

en el parrafo anterior, estos contrastes presentan las potencias promedio mas bajas bajo

la hipotesis alternativa.

Se observa nuevamente que la mayor distorsion en el tamano promedio es presentada por

la prueba de Tanaka, cuyo valor cercano a 0.5 se aleja bastante del nivel de significan-

cia nominal considerado en este trabajo, lo cual indica una tendencia de esta prueba a

rechazar la hipotesis inicial d = 1 siendo esta cierta, haciendo poco confiables los resulta-

dos presentados por la misma. El resto de los contrastes considerados presentan tamanos

promedio con algun grado de alejamiento del nivel de significancia nominal definido, las

desviaciones presentadas por la prueba propuesta, la de Lobato & Velasco (2007) y Dolado

et al. (2002) son muy similares entre sı, pero considerablemente menores a las notorias

distorsiones exhibidas por las pruebas de Geweke & Porter-Hudak (1983), de Robinson

(1995) y de Tanaka (1999).


Al aumentar la longitud de las series simuladas, las metodologıas bajo estudio presentaron

un mejor comportamiento con potencias promedio mayores bajo la hipotesis alternativa,

y menores desviaciones en sus tamanos bajo la nula. Con excepcion de la caracterıstica

enunciada en la oracion anterior, las pruebas presentaron un comportamiento similar al

descrito para series de tiempo de 500 observaciones.

4.2

Resultad

os55

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


Cu

rva

s d

e P

ote

ncia


d=0.6 d=0.7 d=0.8 d=0.9 d=1.0 d=1.1 d=1.2 d=1.3 d=1.4

# #

#

#

#

#

#

# #++

+

+

+

+

+

+

+

0 0

0

0

0

0

0

0

0

α = 0.05 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


Cu

rva

s d

e P

ote

ncia


d=0.6 d=0.7 d=0.8 d=0.9 d=1.0 d=1.1 d=1.2 d=1.3 d=1.4

# #

#

#

#

#

#

# #+

+

+

+

+

+

+

+

+

00

0

0

0

0

0

0

0

α = 0.05

Figura

4-7.:Curvas



os

φ′ s>

0yθ′s<

0



0.6 0.9773 0.9864 0.9243 0.9285 0.8427 0.6033 0.5827 0.8787

0.7 0.9507 0.9778 0.8827 0.9116 0.6526 0.4887 0.5143 0.6834

0.8 0.7454 0.7441 0.5520 0.5721 0.5085 0.3844 0.4587 0.5436

0.9 0.4868 0.5196 0.4590 0.4732 0.3863 0.3127 0.4285 0.4786

1.0 0.1019 0.1005 0.1126 0.1038 0.1071 0.4341 0.4097 0.4954

1.1 0.5418 0.5452 0.4487 0.4674 0.4865 0.3640 0.4298 0.5548

1.2 0.8354 0.8583 0.7986 0.8232 0.6423 0.4818 0.4766 0.5075

1.3 0.9368 0.9586 0.8898 0.9091 0.7215 0.6327 0.5575 0.4727

1.4 0.9314 0.9476 0.7390 0.7620 0.8796 0.7834 0.6440 0.5219



0.6 0.9778 0.9930 0.9408 0.9665 0.8526 0.7338 0.6945 0.9787

0.7 0.9704 0.9927 0.8962 0.9334 0.8818 0.5764 0.6055 0.8909

0.8 0.8421 0.8608 0.8113 0.8337 0.6108 0.3934 0.5235 0.6268

0.9 0.5193 0.5371 0.4774 0.4920 0.4286 0.2683 0.4454 0.5851

1.0 0.0821 0.0818 0.1043 0.1061 0.1093 0.4112 0.4395 0.3518

1.1 0.5712 0.5975 0.5177 0.5424 0.5290 0.3289 0.4290 0.7405

1.2 0.8906 0.9165 0.8629 0.8825 0.8428 0.5345 0.5621 0.6777

1.3 0.9796 0.9883 0.9494 0.9682 0.8709 0.7565 0.6870 0.6089

1.4 0.9719 0.9863 0.8761 0.9017 0.9711 0.9011 0.8036 0.6247




(2002) tuvieron un desempeno parecido a lo largo del intervalo de valores del parametro

d considerado. Con excepcion de los resultados de la prueba DGM para d = 0.8 y 1.4

(ver disminucion en la potencia promedio), estas metodologıas obtuvieron bajas potencias

para d cercanos a la raız unitaria, y su magnitud aumenta a medida que el grado de no

estacionaridad del proceso se aleja de la hipotesis nula.

4.2 Resultados 57

Se puede observar que para los procesos ARFIMA(1,d,1) con valores positivos del coefi-

ciente φ y negativos del coeficiente θ, la prueba de Lobato & Velasco (2007) obtuvo las

potencias promedio mas altas de todas las metodologıas en el rango de valores considera-

dos para el parametro de diferenciacion fraccional d. De igual manera, se observa que para

este caso la prueba propuesta presenta un debil desempeno en comparacion con las pruebas

enunciadas en los parrafos anteriores, exhibiendo potencias promedio inferiores sobre todo

para valores del parametro d mas alejados de la hipotesis inicial (d = 0.6, 0.7, 1.3 y 1.4).


que para d < 1 dicha prueba alcanza las potencias promedio mas altas que las presentadas

por las pruebas de Geweke & Porter-Hudak (1983), de Robinson (1995) y la propuesta en

este trabajo, pero para valores del parametro d mayores a la hipotesis nula dicha prue-

ba tiene una disminucion considerable en su capacidad de detectar raıces fraccionales no

estacionarias, lo cual se ve reflejado al obtener las menores potencias para d ≥ 1.2.

De igual manera, las pruebas propuestas por Geweke & Porter-Hudak (1983) y por Robin-

son (1995) presentan un pobre desempeno a lo largo del intervalo de valores considerado

para el parametro d, ya que con excepcion del comportamiento descrito en el parrafo

anterior, estos contrastes presentan las potencias promedio mas bajas bajo la hipotesis

alternativa.


la prueba de Tanaka, cuyo valor cercano a 0.5 se aleja bastante del nivel de significan-

cia nominal considerado en este trabajo, lo cual indica una tendencia de esta prueba a

rechazar la hipotesis inicial d = 1 siendo esta cierta, haciendo poco confiable los resulta-

dos presentados por la misma. El resto de los contrastes considerados presentan tamanos

promedio con algun grado de alejamiento del nivel de significancia nominal definido. Las

desviaciones presentadas por la prueba propuesta, la de Lobato & Velasco (2007) y Dolado

et al. (2002) son muy similares entre sı, pero considerablemente menores a las notorias

distorsiones exhibidas por las pruebas de Geweke & Porter-Hudak (1983), de Robinson

(1995) y de Tanaka (1999).



un mejor comportamiento con potencias promedio mayores bajo la hipotesis alternativa,


y menores desviaciones en sus tamanos bajo la nula. Con excepcion de la caracterıstica

enunciada en la oracion anterior, las pruebas presentaron un comportamiento similar al

descrito para series de tiempo de 500 observaciones.

4.2

Resultad

os59

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


Cu

rva

s d

e P

ote

ncia


d=0.6 d=0.7 d=0.8 d=0.9 d=1.0 d=1.1 d=1.2 d=1.3 d=1.4

# #

#

#

#

#

#

##

+

+

+

+

+

+

+

+ +

0

0

0

0

0

0

0

00

α = 0.05 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


Cu

rva

s d

e P

ote

ncia


d=0.6 d=0.7 d=0.8 d=0.9 d=1.0 d=1.1 d=1.2 d=1.3 d=1.4

# #

#

#

#

#

#

# #

+ +

+

+

+

+

++

+0 0

0

0

0

0

0

0

0

α = 0.05

Figura

4-8.:Curvas



os

φ′ s<

0yθ′s>

0



0.6 0.9642 0.9897 0.8687 0.8869 0.9686 0.7389 0.6074 0.9983

0.7 0.9618 0.9848 0.7784 0.8124 0.9664 0.5473 0.4588 0.9128

0.8 0.8375 0.8745 0.6779 0.6835 0.8409 0.3418 0.3301 0.6365

0.9 0.5072 0.5288 0.3503 0.3766 0.5150 0.1830 0.2398 0.2369

1.0 0.1466 0.1510 0.1604 0.1584 0.1331 0.2563 0.2148 0.1989

1.1 0.6576 0.6811 0.5472 0.5651 0.6386 0.1992 0.2584 0.3505

1.2 0.8374 0.8586 0.6917 0.7176 0.8845 0.3844 0.3588 0.4734

1.3 0.8940 0.9144 0.8393 0.8695 0.9454 0.6167 0.4920 0.5069

1.4 0.9527 0.9630 0.8321 0.8431 0.9789 0.7964 0.6437 0.6050



0.6 0.9981 1.0000 0.9013 0.9328 0.9995 0.8715 0.8323 1.0000

0.7 0.9973 1.0000 0.8930 0.9167 0.9842 0.6924 0.6566 0.9838

0.8 0.8922 0.9104 0.7800 0.7893 0.8887 0.4322 0.4491 0.7977

0.9 0.5847 0.5915 0.5484 0.5792 0.6871 0.2056 0.2940 0.5484

1.0 0.0975 0.0942 0.1052 0.1043 0.0820 0.2677 0.2343 0.0905

1.1 0.6953 0.7144 0.6260 0.6600 0.7318 0.2224 0.3133 0.4888

1.2 0.8679 0.8747 0.8223 0.8213 0.8700 0.4773 0.4839 0.6540

1.3 0.9805 0.9920 0.8544 0.8884 0.9836 0.7478 0.6829 0.6896

1.4 0.9589 0.9748 0.9357 0.9532 0.9939 0.9057 0.8359 0.7037



Para series de tiempo de 500 observaciones y para el intervalo de valores considerado del

parametro d, la prueba propuesta (CL) y la de Lobato & Velasco (2007) tienen un muy

buen comportamiento con potencias promedio superiores a las logradas por los demas con-

trastes. Puntualmente, para d ∈ [0.6, 0.9] las potencias promedio de la prueba propuesta

-CL- son un poco menores a las obtenidas por la prueba LV aumentada, pero mayores a

las alcanzadas por el resto de metodologıas. Para d > 1.1 se destaca que la prueba pro-

puesta alcanza las mayores potencias promedio entre todos los contrastes considerados, y

4.2 Resultados 61

que la prueba DGM tiene una mejora considerable en su capacidad para detectar raıces

fraccionales obteniendo potencias levemente inferiores a las presentadas por las pruebas

previamente enunciadas.


que para d = 0.6 y 0.7 dicha prueba alcanza una de las potencias promedio mas altas,

superando las pruebas de Geweke & Porter-Hudak (1983), de Robinson (1995) y de Dola-

do et al. (2002), pero para valores del parametro d cercanos a la hipotesis nula y mayores

a esta (d ≥ 0.9, con d 6= 1), dicha prueba tiene una disminucion considerable en su ca-

pacidad de detectar raıces fraccionales no estacionarias, lo cual se ve reflejado al obtener

potencias promedio bastante menores a las exhibidas por los contrastes mas eficientes.

De igual manera, las pruebas propuestas por Geweke & Porter-Hudak (1983) y por Robin-

son (1995) presentan un pobre desempeno a lo largo del intervalo de valores considerado

para el parametro d, ya que con excepcion del comportamiento descrito en el parrafo

anterior, estos contrastes presentan las potencias promedio mas bajas bajo la hipotesis

alternativa.

En este caso se observa que la mayor distorsion en el tamano promedio es presentada por la

prueba de Geweke & Porter-Hudak (1983), cuyo valor cercano a 0.25 se aleja bastante del

nivel de significancia nominal considerado en este trabajo, y es seguida por los resultados

obtenidos con la metodologıa de Robinson (1995) y de Tanaka (1999) respectivamente.

El resto de los contrastes bajo estudio presentan tamanos promedio con algun grado de

alejamiento del nivel de significancia nominal definido, resaltando como caracterıstica de

interes que la desviacion presentada por la prueba propuesta es la menor de todas las

metodologıas consideradas, seguida por el contraste de Lobato & Velasco (2007) y de

Dolado et al. (2002) con distorsiones muy similares entre sı.



promedio obtenidas por las diferentes metodologıas y se presentan menores desviaciones

en sus tamanos bajo la nula, excluyendo los resultados presentados por las pruebas de

Geweke & Porter-Hudak (1983) y de Robinson (1995), cuyas desviaciones son mayores a

las obtenidas por dichas pruebas para series de tiempo de menor longitud. Con excep-

cion de las caracterısticas enunciadas en el parrafo anterior, las pruebas exhibieron un


comportamiento similar al descrito para las series temporales de 500 observaciones.

4.2

Resultad

os63

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


Cu

rva

s d

e P

ote

ncia


d=0.6 d=0.7 d=0.8 d=0.9 d=1.0 d=1.1 d=1.2 d=1.3 d=1.4

# #

#

#

#

#

#

# #+

+

+

+

+

+

+

+

+

00

0

0

0

0

0

0

0

α = 0.05 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


Cu

rva

s d

e P

ote

ncia


d=0.6 d=0.7 d=0.8 d=0.9 d=1.0 d=1.1 d=1.2 d=1.3 d=1.4

# #

#

#

#

#

#

# #+ +

+

+

+

+

+

++

0 0

0

0

0

0

0

00

α = 0.05

Figura

4-9.:Curvas



os

φ′ s<

0yθ′s<

0



0.6 0.9624 0.9873 0.9388 0.9474 0.9309 0.5433 0.7758 1.0000

0.7 0.9602 0.9868 0.8888 0.9162 0.8415 0.4957 0.6702 1.0000

0.8 0.8444 0.8828 0.8049 0.8194 0.6762 0.3965 0.5536 1.0000

0.9 0.4719 0.5051 0.4483 0.4658 0.3306 0.2755 0.4318 1.0000

1.0 0.0931 0.0952 0.1129 0.1227 0.1030 0.3282 0.3280 0.9998

1.1 0.5973 0.6278 0.5632 0.5962 0.2781 0.1581 0.2758 0.9555

1.2 0.8300 0.8573 0.7947 0.8181 0.5690 0.2399 0.2832 0.7033

1.3 0.9567 0.9706 0.8856 0.8948 0.8322 0.4149 0.3279 0.8054

1.4 0.9556 0.9677 0.8313 0.8423 0.8981 0.6230 0.4268 0.9501



0.6 0.9888 1.0000 0.9402 0.9531 0.9815 0.6305 0.9068 1.0000

0.7 0.9977 1.0000 0.9238 0.9628 0.9589 0.5783 0.8031 1.0000

0.8 0.8722 0.9016 0.8365 0.8580 0.8179 0.4540 0.6483 1.0000

0.9 0.5374 0.5532 0.5138 0.5492 0.3593 0.2711 0.4716 1.0000

1.0 0.0862 0.0853 0.0951 0.0964 0.0958 0.3166 0.3341 0.0682

1.1 0.6744 0.7040 0.6370 0.6865 0.4290 0.1609 0.2829 0.9855

1.2 0.8782 0.8826 0.8368 0.8580 0.8386 0.3428 0.3394 0.7333

1.3 0.9763 0.9844 0.9406 0.9670 0.9138 0.6135 0.4863 0.9375

1.4 0.9639 0.9876 0.8954 0.9178 0.9695 0.8341 0.6583 0.9803




(2002) tuvieron un desempeno similar a lo largo del intervalo de valores del parametro d

considerado, con excepcion de los resultados de la prueba DGM para d = 1.4 (ver dis-

minucion en la potencia promedio). Estas metodologıas obtuvieron bajas potencias para

d cercanos a la raız unitaria, y su magnitud aumenta a medida que el grado de no esta-

cionaridad del proceso se aleja de la hipotesis nula.

4.2 Resultados 65

Notese que la prueba de Lobato & Velasco (2007) obtuvo las potencias promedio mas

altas para d > 1.1. De manera similar, se observa que para este caso la prueba propuesta

presenta un debil desempeno, exhibiendo potencias promedio inferiores en comparacion

con las pruebas enunciadas en el parrafo anterior, sobre todo para d = 1.1 y d = 1.2.

La prueba propuesta por Tanaka tuvo un comportamiento bastante irregular; se observa

que para d < 1 dicha prueba alcanza las potencias promedio mas altas entre todas las

metodologıas para los procesos ARFIMA(1,d,1) con valores positivos del coeficiente φ,

negativos del coeficiente θ, pero para valores del parametro d mayores a la hipotesis nula,

dicha prueba tiene una disminucion considerable en su capacidad de detectar raıces frac-

cionales no estacionarias, lo cual se ve reflejado en la disminucion de la potencia promedio

de esta para d > 1.1.

Nuevamente, las pruebas propuestas por Geweke & Porter-Hudak (1983) y por Robinson

(1995) presentan un pobre desempeno a lo largo del intervalo de valores considerado para

el parametro d, exhibiendo las potencias promedio mas bajas bajo la hipotesis alternativa.


la prueba de Tanaka, cuyo valor cercano a uno se aleja ostensiblemente del nivel de sig-

nificancia nominal considerado en este trabajo; lo anterior indica que en este caso dicha

prueba tiene una tendencia a rechazar la hipotesis inicial d = 1 siendo esta cierta, hacien-

do poco confiables los resultados presentados por la misma.

El resto de los contrastes considerados presentan tamanos promedio con algun grado de

alejamiento del nivel de significancia nominal definido. Las desviaciones presentadas por

la prueba propuesta, la de Lobato & Velasco (2007) y Dolado et al. (2002) son muy sim-

ilares entre sı, pero considerablemente menores a las notorias distorsiones exhibidas por

las pruebas de Geweke & Porter-Hudak (1983), de Robinson (1995) y de Tanaka (1999).



un mejor comportamiento con potencias promedio mayores bajo la hipotesis alternativa

y menores desviaciones en sus tamanos bajo la nula, excluyendo los resultados presen-

tados por las pruebas de Geweke & Porter-Hudak (1983) y de Robinson (1995), cuyas

desviaciones son mayores a las obtenidas por dichas pruebas para series de tiempo de


menor longitud. Con excepcion de las caracterısticas enunciadas en la oracion anterior,

las pruebas exhibieron un comportamiento similar al descrito para series de tiempo de

500 observaciones.

4.3. Aplicacion empırica de las metodologıas

consideradas

Con el fin de ofrecer un ejemplo empırico donde se ilustre la aplicacion de las diferentes

metodologıas enunciadas en este trabajo para probar la existencia de una raız fraccional

no estacionaria, se examino una serie facilitada por el Biologo de la Universidad Nacional

de Colombia - Sede Medellın y candidato a doctor Carlos Albeiro Monsalve Marın, quien

actualmente esta realizando estudios sobre la composicion quımica de ciertos elementos

contenidos en los sedimentos de lagos, turberas y humedales continentales y depositos

marinos con el fin de usarlos como indicadores de cambios paleoambientales.

En su ultimo estudio obtuvo un nucleo (corte y extraccion de 12 metros de suelo) en el

paramo de Frontino, norte de la cordillera Occidental de Colombia y se midio cada medio

centımetro la concentracion de Hierro, Titanio y Manganeso y otros elementos con el fin

de observar la evolucion de estas variables a traves del tiempo.

Aunque la secuencia de observaciones de este fenomeno no esta indexada en el tiempo,

estan ordenadas de forma secuencial en intervalos de longitud equidistantes a lo largo

del nucleo (series de tiempo discreta, equiespaciada), lo que permite emplear las tecnicas

tradicionales y los diferentes contrastes de interes para el analisis de estas series. Sin

perdida de generalidad se escogio la serie de la concentracion de hierro obtenida de los 6

metros mas profundos del nucleo por ser los mas estables (Segun Carlos Albeiro Monsalve).

A continuacion se presenta el grafico de esta serie.

4.3 Aplicacion empırica de las metodologıas consideradas 67

Conteos por segundo Hierro

Profundidad

Con

teos

por

seg

undo

0 200 400 600 800 1000 1200

1000

2000

3000

4000

Figura 4-10.: Serie de la concentracion de hierro

Tras la observacion del Grafico 4.10, se puede concluir que la varianza incondicional de la

serie no es estable, aumentando en algunas partes de esta. El empleo de la transformacion

Box-Cox -Box & Cox (1964)- sugiere que la transformacion raız cuarta es adecuada para

estabilizar dicha varianza. Por lo tanto el analisis de la serie se realizara sobre la raız

cuarta de la concentracion de hierro. Veamos la grafica de la serie transformada.

Serie transformada de la concentración de Hierro

Profundidad

0 200 400 600 800 1000 1200

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

7.5

8.0

Figura 4-11.: Serie transformada de la concentracion de hierro


0 50 100 150 200

0.0

0.2

0.4

0.6

ACF − Serie transformada de la concentración de Hierro

Lag

AC

F

0 50 100 150 200

0.0

0.2

0.4

0.6

Lag

Pa

rtia

l A

CF

PACF − Serie transformada de la concentración de Hierro

Figura 4-12.: ACF - PACF de la serie transformada

En el Grafico 4.12 se observa que el patron de decrecimiento de las autocorrelaciones

muestrales de esta serie presenta una dependencia no despreciable entre observaciones

que distan entre sı largos periodos de tiempo (definicion de memoria larga). A conti-

nuacion se determinara si su grado de interdependencia muestral corresponde al de un

proceso estacionario o al de un proceso no estacionario.

4.3.1. Pruebas de raız unitaria

En la tabla 4-19 se presentan los resultados obtenidos para la prueba ADF bajo el modelo

∆Xt = β0 + φXt−1 +∑p

j=1 δj∆Xt−j + ǫt, incluyendo un numero maximo de rezagos igual

a la raız cubica de la longitud de la serie. En la tabla 4-20 se presentan los resultados de

la regresion ajustada en este caso.


Valores crıticos

Estadısticos de Prueba Valor Obtenido 1pct 5pct 10pct

tau2 -4.7276 -3.43 -2.86 -2.57

phi1 11.2142 6.43 4.59 3.78

Tabla 4-19.: Prueba ADF - Caminata aleatoria con deriva y sin tendencia determinıstica

Variable Coeficiente Error Estandar Estadıstico t Valor P

Intercepto 0.6484 0.1467 4.42 0.0000

z.lag.1 -0.0989 0.0222 -4.46 0.0000

z.diff.lag1 -0.4983 0.0341 -14.61 0.0000

z.diff.lag2 -0.3088 0.0366 -8.44 0.0000

z.diff.lag3 -0.2475 0.0367 -6.74 0.0000

z.diff.lag4 -0.2308 0.0361 -6.40 0.0000

z.diff.lag5 -0.1806 0.0353 -5.12 0.0000

z.diff.lag6 -0.1356 0.0336 -4.04 0.0001

z.diff.lag7 -0.0956 0.0289 -3.31 0.0010

Tabla 4-20.: Regresion ajustada - Caminata aleatoria con deriva y sin tendencia deter-

minıstica

En la tabla 4-21 se presentan los resultados obtenidos para la prueba ADF bajo el modelo

∆Xt = β0 + β1 + φXt−1 +∑p

j=1 δj∆Xt−j + ǫt, incluyendo un numero maximo de rezagos

igual a la raız cubica de la longitud de la serie. En la tabla 4-22 se presentan los resultados

de la regresion ajustada en este caso.

Valores crıticos

Estadısticos de Prueba Valor Obtenido 1pct 5pct 10pct

tau3 -6.7149 -3.96 -3.41 -3.12

phi2 15.0645 6.09 4.68 4.03

phi3 22.5717 8.27 6.25 5.34

Tabla 4-21.: Prueba ADF -Caminata Aleatoria con deriva alrededor de una tendencia

determinıstica


Variable Coeficiente Error Estandar Estadıstico t Valor P

Intercepto 1.3348 0.2019 6.61 0.0000

z.lag.1 -0.1849 0.0275 -6.71 0.0000

tt -0.0002 0.0001 -3.95 0.0001

z.diff.lag1 -0.4115 0.0357 -11.54 0.0000

z.diff.lag2 -0.2202 0.0364 -6.05 0.0000

z.diff.lag3 -0.1592 0.0354 -4.49 0.0000

z.diff.lag4 -0.1432 0.0336 -4.26 0.0000

z.diff.lag5 -0.0809 0.0289 -2.80 0.0052

Tabla 4-22.: Regresion ajustada - Caminata Aleatoria con deriva alrededor de una ten-

dencia determinıstica

De la Tabla 4-19 y la Tabla 4-21 se concluye que no hay raız unitaria en la serie transfor-

mada de la concentracion de hierro en el nucleo del paramo de Frontino. La aplicacion de

la prueba de raız unitaria de Phillips & Perron (1988) conduce al mismo resultado.

4.3.2. Pruebas de raız fraccional no estacionaria

A continuacion se determinara si la serie estudiada tiene o no una raız fraccional no esta-

cionaria empleando las diferentes metodologıas enunciadas en este trabajo.

Prueba d Error Estandar Estadıstico de prueba Valor crıtico

Lemus-Castano 0.661 0.052 -6.51 -1.65

LV Aumentada 0.618 0.059 -15.86 -1.65

LV 0.618 0.059 -13.27 -1.65

DGM Aumentada 0.653 0.068 -9.92 -1.65

DGM 0.653 0.068 -8.88 -1.65

GPH 0.582 0.134 3.10 2.01

ROB95 0.560 0.165 3.85 2.07

Tabla 4-23.: Resultados de las diferentes pruebas de raız fraccional no estacionaria

Al observar los resultados de la Tabla 4-23, vemos que todos los contrastes rechazan la

hipotesis nula de raız unitaria, por lo cual se concluye que existe una raız fraccional no


estacionaria en la serie transformada de la concentracion de hierro en el nucleo del paramo

de Frontino.

4.3.3. Procedimiento de identificacion y estimacion

A continuacion se ilustra la aplicacion del procedimiento propuesto en este trabajo para

la identificacion y estimacion de un modelo adecuado para la serie transformada de la

concentracion de hierro en el nucleo del paramo de Frontino.

Primer paso: Despues de diferenciar la serie se aproxima la componente a corto plazo

del proceso resultante por medio del modelo aproximado ARFIMA(6,d,0). Los resultados

se presentan en la siguiente tabla:

Parametro Estimador Error Estandar t value Pr(> |t|)ar1 -0.270398 0.058055 -4.6577 0.000003

ar2 -0.106317 0.048828 -2.1774 0.029452

ar3 -0.090727 0.040308 -2.2508 0.024395

ar4 -0.106757 0.037083 -2.8789 0.003991

ar5 -0.064780 0.035430 -1.8284 0.067491

ar6 -0.040583 0.031305 -1.2964 0.194849

d -0.338870 0.050602 -6.6967 0.000000

sigma 0.458994 0.009452 48.5596 0.000000

Tabla 4-24.: Estimacion del modelo aproximado ARFIMA(p∗, d, 0)

De la Tabla 4-24 se puede concluir que la estimacion de d∗ en el modelo aproximado es

significativa para un nivel de significancia de 0.05. En la siguiente tabla (Tabla 4-25) se

presenta el estadıstico de Ljung-Box para los residuales del modelo aproximado:


Q(Lag) Estadıstico Valor P

Lag10 3.181 0.5281

Lag15 7.242 0.6120

Lag20 11.020 0.6844

Tabla 4-25.: Prueba de Ljung-Box para los residuales del modelo aproximado

ARFIMA(p∗, d, 0)

Los resultados de esta prueba indican que el modelo aproximado captura la correlacion

serial de corto plazo presente en la serie fraccionalmente diferenciada; por tanto la aprox-

imacion es adecuada.

Segundo paso: Usar d = 1+d∗ = 1−0.33887 = 0.66113 para diferenciar fraccionalmente

la serie transformada y sobre el proceso resultante utilice las tecnicas de identificacion de

un modelo ARMA(p,q) para el componente a corto plazo del proceso.

Serie transformada diferenciada fraccionalmente

Profundidad

0 200 400 600 800 1000 1200

−2

−1

01

2

Figura 4-13.: Serie transformada diferenciada fraccionalmente


0 50 100 150 200 250

−0

.20

−0

.05

0.0

5

ACF − Serie transformada diferenciada fraccionalmente

Lag

AC

F

0 50 100 150 200 250

−0

.20

−0

.05

0.0

5

Lag

Pa

rtia

l AC

F

PACF − Serie transformada diferenciada fraccionalmente

Figura 4-14.: ACF - PACF de la serie diferenciada fraccionalmente

Figura 4-15.: EACF de la serie diferenciada fraccionalmente

De los resultados obtenidos en el Grafico 4-14 y 4-15 se puede concluir que el modelo

ARMA(p,q) para el componente a corto plazo de la serie estudiada parece ser consistente

con un MA(1).

Tercer paso: Estimar el modelo ARFIMA(0,d,1) identificado y validar los supuestos


sobre sus residuales. La siguiente tabla presenta los resultados de la estimacion de dicho

modelo:

Parametro Estimador Error Estandar t value Pr(> |t|)ma1 -0.15360 0.047641 -3.224 0.001264

d -0.45318 0.034950 -12.967 0.000000

sigma 0.46059 0.009485 48.559 0.000000

Tabla 4-26.: Estimacion del modelo identificado para la componente a corto plazo

ARFIMA(0,d,1)

De la Tabla 4-26 se puede concluir que la estimacion de d∗ en el modelo identificado para

el componente a corto plazo es significativa para un nivel de significancia de 0.05. En la

siguiente tabla (Tabla 4-27) se presenta el estadıstico de Ljung-Box para los residuales

del modelo identificado ARFIMA(0,d,1):


Lag10 10.76 0.2927

Lag15 14.31 0.4268

Lag20 18.38 0.4975

Tabla 4-27.: Prueba de Ljung-Box para los residuales del modelo identificado

ARFIMA(0,d,1)

Los resultados de esta prueba confirman que el modelo MA(1) es adecuado para captura

la correlacion serial a corto plazo presente en la serie transformada fraccionalmente difer-

enciada.

En la siguiente tabla (Tabla 4-28) se presentan los resultados de la prueba de McCleod-Li

para heterocedasticidad condicional, con el fin de probar la existencia o no de efectos

GARCH en los residuales. Esta dada por el mismo estadıstico Q de Ljung-Box pero

aplicado a la serie de residuales al cuadrado.



Lag10 74.91 1.647e-12

Lag15 86.31 1.882e-12

Lag20 100.86 3.736e-13

Tabla 4-28.: Prueba de McCleod-Li para heterocedasticidad condicional

Los resultados de esta prueba indican la posible existencia de efectos GARCH en la

varianza de la serie transformada fraccionalmente diferenciada.

0 50 100 150 200 250

−0

.05

0.0

50

.15

ACF − Serie de residuales estandarizados al cuadrado del modelo ARFIMA(0,d,1)

Lag

AC

F

0 50 100 150 200 250

−0

.05

0.0

50

.15

Lag

Pa

rtia

l AC

F

PACF − Serie de residuales estandarizados al cuadrado del modelo ARFIMA(0,d,1)

Figura 4-16.: ACF - PACF. Serie de residuales al cuadrado del modelo identificado

ARFIMA(0,d,1)

Del Grafico 4-16 se puede concluir que el modelo GARCH(1,1) parece ser consistente

para modelar la heterocedasticidad condicional de la serie transformada fraccionalmente

diferenciada. A continuacion se verificara el supuesto de normalidad de los residuales del

modelo identificado ARFIMA(0,d,1).


−3 −2 −1 0 1 2 3

−4−2

02

4

Normal Q−Q plot − Residuales estandarizados Modelo ARFIMA(0,d,1)

Cuantiles Teóreticos

Cua

ntile

s M

uest

rale

s

Figura 4-17.: Normal QQ plot - Residuales del modelo identificado ARFIMA(0,d,1)

En el Grafico 4-17 se presenta la desviacion del supuesto de normalidad presentada por

los residuales del modelo identificado ARFIMA(0, d, 1). Las pruebas de Shapiro-Wilk y

de Jarque-Bera confirmaron la no normalidad de los residuales del modelo identificado.

−4 −2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Sample density

N = 1179 Bandwidth = 0.1878

Den

sity

Figura 4-18.: Densidad muestral de los residuales del modelo identificado

ARFIMA(0,d,1)

En el Grafico 4-18, se observa que la distribucion de probabilidad muestral de los resid-


uales no tiene problemas serios de asimetrıa, pero tiene un pico mas agudo en torno a

la media y colas mas pesadas que las de la distribucion normal estandar (leptocurtosis).

Tomando la distribucion normal como referencia de apuntamiento se calculo la curtosis

muestral y el coeficiente de asimetrıa muestral y se confirmo el exceso positivo de curtosis

de la distribucion de probabilidad de los residuales -Kurtosis(residuales) = 2.203897 y

Skewness(residuales)= -0.0179616-.

Cuarto paso: Estimar simultaneamente todos los parametros del modelo identificado

especificando que los residuales del modelo siguen una distribucion t de student con el

fin de capturar la leptocurtosis enunciada. La siguiente tabla presenta los resultados de

la estimacion del modelo ARFIMA(0,d,1)-GARCH(1,1):

Parametro Estimador Error Estandar t value Pr(> |t|)ma1 -0.20335 0.059190 -3.4355 0.000591

arfima -0.39631 0.039174 -10.1167 0.000000

alpha1 0.06787 0.018646 3.6399 0.000273

beta1 0.91313 0.020188 46.1241 0.000000

shape 6.54737 0.947844 6.9077 0.000000

Tabla 4-29.: Estimacion del modelo completo

De la Tabla 4-29 se puede concluir que la estimacion de d∗ en el modelo completo es

significativa para un nivel de significancia de 0.05. En la siguiente tabla (Tabla 4-30) se

presenta el estadıstico de Ljung-Box para los residuales del modelo completo:


Lag10 10.72 0.2954

Lag15 13.64 0.4766

Lag20 17.59 0.5502

Tabla 4-30.: Prueba de Ljung-Box para los residuales del modelo completo

ARFIMA(0,d,1)-GARCH(1,1)

Los resultados de esta prueba confirman que el modelo MA(1) es adecuado para captura

la correlacion serial a corto plazo presente en la serie fraccionalmente diferenciada.


−4 −2 0 2 4

−6−4

−20

24

6

std − QQ Plot

Theoretical Quantiles

Sam

ple

Qua

ntile

s

GAR

CH

mod

el :

fGAR

CH

fGAR

CH

sub

mod

el: G

ARC

H

Figura 4-19.: t de student QQ plot - Residuales del modelo completo ARFIMA(0,d,1)-

GARCH(1,1)

En la siguiente tabla (Tabla 4-31) se presentan los resultados de la prueba de McCleod-Li

para heterocedasticidad condicional, con el fin de probar la existencia o no de efectos

GARCH en los residuales del modelo completo.


Lag10 12.67 0.1783

Lag15 14.09 0.4428

Lag20 14.97 0.7244

Tabla 4-31.: Prueba de McCleod-Li para heterocedasticidad condicional

Los resultados de esta prueba indican el modelo GARCH(1,1) es adecuado para capturar

la heterocedasticidad condicional del proceso estudiado. A continuacion se validara el

supuesto de que los residuales del modelo completo siguen una distribucion t de student:

Se utilizo la prueba de Kolmogorov-Smirnov para determinar la bondad de ajuste de la

distribucion de los residuales del modelo completo con la distribucion t de student teorica

con 7 grados de libertad. El resultado obtenido se presenta en la siguiente tabla:


Estadıstico Valor P

D = 0.0339 0.5061

Tabla 4-32.: Prueba de Kolmogorov-Smirnov

El resultado de la prueba de Kolmogorov-Smirnov nos indica que los residuales del modelo

completo se ajustan adecuadamente a una distribucion t de student con 7 grados de liber-

tad, confirmando ası que el modelo ARFIMA(0,d,1)-GARCH(1,1) ajustado es adecuado

para explicar el comportamiento de la serie transformada de la concentracion de hierro

en el nucleo del paramo de Frontino.


5. Conclusiones y trabajo futuro

5.1. Conclusiones

Al comparar los resultados obtenidos, vıa simulacion por las diferentes metodologıas en los

casos de interes, se puede observar que ninguna de las pruebas bajo analisis es mas potente

que las demas para todo el conjunto de valores del parametro de diferenciacion fraccional;

tampoco se percibe que una unica prueba presente las menores desviaciones respecto al

nivel de significancia nominal considerado, pero sı se puede apreciar que existen algunas

pruebas con mejor comportamiento a lo largo de los diferentes escenarios de simulacion

estudiados. A continuacion se presenta un grafico en el que se resumen los resultados de

las pruebas de interes:

Figura 5-1.: Cluster de las pruebas de interes

82 5 Conclusiones y trabajo futuro

El agrupamiento de las pruebas por su eficiencia para detectar raıces fraccionarias se

obtuvo siguiendo las siguientes consideraciones:

Prueba de Castano & Lemus:

• En general, la potencia promedio de la prueba propuesta es, en muchos de los

casos estudiados, mayor que la obtenida por los demas contrastes considerados

en el estudio, y sus valores son muy estables.

• De igual manera, se determino que la aproximacion autorregresiva para la

componente a corto plazo del modelo ARFIMA permite conservar un tamano

promedio adecuado para la prueba de raız unitaria, por lo que usualmente la

metodologıa propuesta presenta las menores desviaciones en el tamano bajo la

hipotesis nula.

• Se puede apreciar que para todos los casos estudiados y todo el rango de valores

del parametro d, la metodologıa propuesta obtiene potencias promedio conside-

rablemente superiores a las pruebas de Geweke & Porter-Hudak (1983) y de

Robinson (1995).

• La unica falencia encontrada reside en el hecho de que, cuando el coeficiente

del polinomio MA del proceso ARFIMA toma valores negativos, la prueba

propuesta tiene una disminucion considerable en su potencia promedio, partic-

ulamente para valores del parametro de diferenciacion fraccional cercanos a la

raız unitaria.

• Una ventaja de la prueba propuesta radica en su facilidad de aplicacion practica

al ser una de las metodologıas menos costosas computacionalmente.

• La prueba propuesta no asume normalidad en el termino de error del proceso

y por tal motivo obtiene una ventaja importante sobre las demas metodologıas

consideradas, las cuales estan definidas bajo este supuesto.

Prueba de Lobato & Velasco (2007):

• La potencia promedio de esta prueba es, en muchos de los casos estudiados,

mayor que la obtenida por los demas contrastes del estudio, y sus valores

son muy estables. Tambien se puede verificar que esta metodologıa exhibe en

muchos casos un tamano promedio menor que la mayorıa de los contrastes

presentados.

• Se puede apreciar que, para todos los casos estudiados y todo el rango de valores

del parametro d, esta metodologıa obtiene potencias levemente superiores a las

5.1 Conclusiones 83

logradas por la prueba DGM, y considerablemente superiores a las pruebas de

Geweke & Porter-Hudak (1983) y de Robinson (1995).

Prueba de Dolado et al. (2002):

• La potencia promedio de esta prueba es, en muchos de los casos estudiados,

menor que la obtenida por la prueba de Castano & Lemus y de Lobato &

Velasco (2007), pero mayor a la obtenida por los demas contrastes del estudio,

y sus valores son muy estables. Tambien se puede verificar que esta metodologıa

presenta una distorsion en el tamano de la prueba superior a las presentadas

por las pruebas anteriormente mencionadas e inferior al resto.

• Se puede apreciar que para todos los casos estudiados y para casi todo el

rango de valores del parametro d, esta metodologıa obtiene potencias conside-

rablemente superiores a las pruebas de Geweke & Porter-Hudak (1983) y de

Robinson (1995).

Prueba de Tanaka (1999): Este contraste tiene un comportamiento bastante irregular

a lo largo de los casos estudiados; en algunos de estos la metodologıa tiene potencias

promedio muy altas para d < 1, una disminucion considerable en su capacidad de

detectar raıces fraccionarias para d > 1 y elevadas desviaciones en el tamano con

valores cercanos a la unidad. En otros casos ocurre lo contrario: potencias promedio

muy bajas para d < 1 y un aumento considerable en su capacidad de detectar raıces

fraccionarias para d > 1, con altas distorsiones en el tamano de la prueba.

Lo anterior indica que para algunos casos esta prueba tiene una altısima tendencia a

rechazar la hipotesis inicial d = 1 siendo esta cierta, haciendo poco confiables los re-

sultados presentados por la misma. Por otra parte, en el capıtulo tres se explico que

para poder implementar dicha prueba se asume conocido el verdadero modelo a

corto plazo del proceso, situacion bastante improbable en la practica, resultando

inviable su aplicacion en la mayorıa de los casos.

Prueba de Geweke & Porter-Hudak (1983) y prueba de Robinson (1995): Estas

pruebas presentan un pobre desempeno a lo largo del rango de valores considerado

para el parametro d, ya que, con excepcion del caso enunciado en el parrafo anterior,

estos contrastes presentan las potencias mas bajas bajo la hipotesis alternativa y

pronunciadas distorsiones en el tamano bajo la hipotesis nula.

84 5 Conclusiones y trabajo futuro

Prueba Harris et al. (2008): Se determino vıa simulacion que esta prueba no tiene in-

terpretacion bajo el contraste que se esta resolviendo en este trabajo. La explicacion

detallada de esta conclusion se presenta en el capıtulo tres.

Para todas las pruebas presentadas en este trabajo resulta evidente que a medida

que el tamano muestral crece, la potencia de la prueba aumenta y su tamano tiende

al valor nominal considerado, salvo unas pocas excepciones.

5.2. Trabajo futuro

A continuacion se presentan algunas consideraciones para posibles trabajos futuros:

En este trabajo, se considero la situacion donde la perturbacion del modelo at en

2-5 sigue una distribucion N(0,1). Una extension de interes practico es la de de

examinar la robustez de estos procedimientos cuando la perturbacion del modelo no

es Gaussiana.

Otra posible extension, que permitira fortalecer la investigacion realizada, es la de

estudiar la sensibilidad de estas metodologıas cuando el proceso ARFIMA(p,d,q)

simulado esta contaminado con observaciones atıpicas, intervenciones y/o cambios

estructurales.

A. Apendice: Algunas definiciones

consideradas

A.1. Movimiento Browniano estandar

En Capıtulo 10 de Ross (2010) se afirma que los procesos de Movimiento Browniano, a

veces llamados procesos de Wiener, son de los mas importantes procesos estocasticos en la

teorıa de probabilidad aplicada. En este libro se considera una caminata al azar simetrica

en la cual, en cada unidad de tiempo es igualmente probable que se de un paso hacia la

izquierda o hacia la derecha. Esto es una cadena de Markov con:

Pi,i+1 =1

2= Pi,i−1, i = 0,±1, · · ·

Ahora, si se acelera el proceso enunciado dando pasos cada vez mas cortos en intervalos de

tiempo mas cortos y tomamos el lımite de la manera correcta obtenemos el Movimiento

Browniano estandar.

Definicion

Se dice que un proceso estocastico {Xt : t ≥ 0} es un movimiento Browniano si cumple

las siguientes condiciones:

X(0) = 0 casi seguramente.

Para cada t > 0, {Xt} tiene incrementos estacionarios e independientes.

Para cada t > 0, {Xt} esta normalmente distribuida con media cero y varianza finita

t.

La variable Xt −Xs tiene distribucion N(0, t− s) para 0 ≤ s < t.

La interpretacion del Movimiento Browniano como el lımite de caminatas al azar sugiere

que X(t) debe ser una funcion continua de t. Como X(t) para cada t > 0 es normal con

media cero y varianza t, su funcion densidad esta dada por:

86 A Apendice: Algunas definiciones consideradas

ft(x) =1√2πt

e−x2

2t

La funcion densidad conjunta de X(t1), · · · , X(tn) para t1 < · · · < tn es:

f(x1, · · · , xn) =exp

{

−1

2

[

x21t1

+(x2 − x1)

2

t2 − t1+ · · ·+ (xn − xn−1)

2

tn − tn−1

]}

(2π)n/2 [t1(t2 − t1) · · · (tn − tn−1)]1/2

A partir de esta funcion de densidad se puede calcular cualquier probabilidad deseada.

A.2. Movimiento Browniano fraccional

En Cavanzo & Blanco (2005) se afirma que el proceso estocastico llamado movimiento

browniano fraccional (mBf) desde el punto de vista teorico, es interesante, pues no es

proceso de Markov ni una semimartingala.

Definicion

Un proceso gaussiano centrado BH={BHt : 0 ≤ t < ∞} con BH

0 = 0, es un movimiento

browniano fraccional con parametro H∈ (0, 1), si y solo si, cumple con alguna de las

siguientes condiciones:

1. V ar(BHt −BH

s ) = |t− s|2HV ar(BH1 ), ∀ t, s ≥ 0.

2. Cov(BHt , B

Hs ) = 1

2(t2H + s2H − |t− s|2H)V ar(BH

1 ), ∀ t, s ≥ 0.

3. (BHt2− BH

t1, BH

s2− BH

s1)

d= (BH

t2+h − BHt1+h, B

Hs2+h − BH

s1+h), ∀ t2, t1, s2, s1yh ≥ 0, y si

existe un H ∈ (0, 1) tal que:

BHt+τ −BH

td= h−H(BH

t+hτ −BHt ), ∀ t, τ, h ≥ 0.

Como consecuencia de la definicion anterior se tiene que el mBf posee incrementos esta-

cionarios y se tiene que:

Cov(BHt2−BH

t1, BH

s2−BH

s1) =

1

2[(s2− t1)

2H +(s1− t2)2H − (s2− t2)

2H − (s1− t1)2H ] (A-1)

A.2 Movimiento Browniano fraccional 87

De (A-1) se tiene que si H < 1 , el mBf esta negativamente correlacionado, si H > 1

el mBf esta positivamente correlacionado y cuando H = 1/2 la covarianza es cero y por

ser el mBf un proceso gaussiano, se tiene la independencia de los incrementos, esto es,

el movimiento browniano estandardar visto anteriormente. De la definicion de covarianza

del mBf se puede ver que es un proceso de Markov, si y solo si, H = 1/2.

Tambien se deduce que el mBf es un proceso autosimilar, es decir, es invariante en dis-

tribucion bajo un adecuado cambio de escala de tiempo y espacio. Este tipo de proceso

es usado para modelar fenomenos aleatorios con dependencia a gran distancia.

Rigurosamente hablando un proceso estocastico {Xt : t ≥ 0} es autosimilar, H − ss, si

existe H > 0 tal que para todo a > 0 se tiene que:

Xatd= aHXt (A-2)

donded= denota la igualdad de las distribuciones finito dimensionales. Intuitivamente

la relacion (A-2) indica que aunque las trayectorias de los procesos Xat y aHXt no son

identicas, son visualmente similares.


B. Apendice: Programacion en paralelo

con R

Programar en paralelo es una manera de realizar varios calculos de manera simultanea. En

la forma tradicional de programar los calculos que se realizan en serie, lo cual en ocasiones

puede ser desfavorable por los altos tiempos de espera. Cuando se programa una tarea

en paralelo, dicha tarea se distribuye a varios procesadores (fısicos o virtuales), los cuales

por separado realizan la parte que les corresponde. En cambio, cuando se programa en

serie, toda la tarea es asignada a un solo procesador.

Existen tres formas para realizar un calculo en paralelo:

Varios procesadores en un mismo chip (procesadores virtuales).

Varios chips en un mismo computador (procesadores fısicos).

Varios computadores conectados en una red o cluster.

En R existen varias formas de realizar la paralelizacion. Entre las mas efectivas se encuen-

tran:

Snow, el cual se basa en codigos vectorizados por medio de funciones como apply()

para realizar la division de las tareas.

Foreach, el cual usa un bucle for para realizar la division de las tareas.

Multicore, que solo es adecuado para hardware de varios nucleos.

Para paralelizar el codigo desarrollado en este trabajo se recurrio a la librerıa snow,

pero para poder usar este paquete, el codigo fue completamente vectorizado. Dado que el

problema de simulacion planteado en este trabajo es computacionalmente extensivo, ya

que por cada escenario considerado se simulaban 5000 series de 500 o 1000 observaciones

segun el caso, cuando se programaba en serie los tiempos de espera eran de un poco mas

90 B Apendice: Programacion en paralelo con R

de 18 horas, pero cuando se paralelizo los tiempos se redujeron drasticamente a tiempos

de espera de hasta de dos horas al usar seis procesadores. Tierney, Rossini & Li (2003)

comenta algunas escalas de tiempo comparando algoritmos programados en serie y en

paralelo:

Un procesador Treinta procesadores

1 minuto 2 segundos

1 hora 2 minutos

1 dıa 1 hora

1 mes 1 dıa

1 ano 2 semanas

Tabla B-1.: Comparacion de tiempos de ejecucion usando 1 vs 30 procesadores

Todos los calculos realizados en este trabajo se ejecutaron en los computadores asignados

a los profesores Rene Iral Palomino, Juan Carlos Salazar Uribe, Vıctor Ignacio Lopez

Rıos, Carlos Mario Lopera Gomez y Mario Cesar Jaramillo Elorza de la Escuela de Es-

tadıstica, Facultad de Ciencias, Universidad Nacional de Colombia Sede Medellın. Las

caracterısticas de cada uno de los equipos son las siguientes:

Marca: Dell Vostro 460.

Procesador: Intel Core i7 - 2600.

8GB DDR3 SDRAM de dos canales a 1333MHz.

Disco Duro de 750GB Serial ATA (7200RPM).

Sistema operativo: Windows 7 Professional Original de 64-Bit.

Al emplear los cuarenta procesadores (8 por computador) el tiempo de espera se redujo

de 1 ano aproximadamente a solo 3 semanas de simulacion.

B.1. Rutina implementada en R

##################################

## Paquetes Necesarios para el ###

B.1 Rutina implementada en R 91

## Procesamiento en paralelo ###

##################################

require(snow)

require(nws)

############################################

## Funcion para simular el proceso ###

## ARFIMA (p,d,q) no estacionario ###

############################################

saca.arfimas<-function(x){

library(rugarch)

T<- 500

if(x[1]==0 && x[2]==0){

spec = arfimaspec(mean.model = list(armaOrder = c(1,1),arfima = TRUE,

include.mean = TRUE), distribution.model = "norm")

setfixed(spec)<-list(mu=0,ar1=0,ma1=0,arfima=x[3],sigma = 1)

x <- arfimapath(spec, n.sim = T, n.start = 2000, m.sim = 1)

resultadp = as.data.frame(x)

}else{

if(x[1]==0 && x[2]!=0){



setfixed(spec)<-list(mu=0,ar1=0,ma1=x[2],arfima=x[3],sigma = 1)



}else{

if(x[2]==0 && x[1]!=0){



setfixed(spec)<-list(mu=0,ar1=x[1],ma1=0,arfima=x[3],sigma = 1)



}else{




setfixed(spec)<-list(mu=0,ar1=x[1],ma1=x[2],arfima=x[3],sigma = 1)



}

}

}

z <- sapply(resultadp,cumsum)

return(z)

}

############################################

## Funcion para simular el proceso ###

## ARIMA (p,1,q) no estacionario ###

############################################

saca.arimas<-function(x){

T<-500

if(x[1]==0 && x[2]==0){

paso=arima.sim(list(order=c(0,1,0)), n=T,n.start=2000)

z=paso[2:length(paso)]

}else{

if(x[1]==0 && x[2]!=0){

paso=arima.sim(list(order=c(0,1,1),ma=x[2]), n=T,n.start=2000)


}else{

if(x[2]==0 && x[1]!=0){

paso=arima.sim(list(order=c(1,1,0),ar=x[1]), n=T,n.start=2000)


}else{

paso=arima.sim(list(order=c(1,1,1),ar=x[1],ma=x[2]), n=T,n.start=2000)


}

}

}

return(z)


}

###############################

## PRUEBA CASTANO - LEMUS ###

###############################

castano.et.al<-function(z){

library(rugarch)

library(fracdiff)

paso<-function(z){

dif.entera<-diff(z)

n.ar<-round((length(z))^(1/4))-1

spec1 = arfimaspec(mean.model = list(armaOrder = c(n.ar,0),arfima = TRUE,

include.mean = FALSE), distribution.model = "norm")

mod.aprox= try(arfimafit(spec1,dif.entera,solver = "gosolnp"))

coeficientes<-coef(mod.aprox)

dif.frac <-diffseries(z,coeficientes[(n.ar+1)])

spec2 = arfimaspec(mean.model = list(armaOrder = c(1,1),arfima = TRUE,

include.mean = FALSE), distribution.model = "norm")

modelo2<- try(arfimafit(spec2,dif.entera,solver = "gosolnp"))

tcal=as.numeric(modelo2@fit$coef[3]/modelo2@fit$se.coef[3])

res<-ifelse(abs(tcal)>qt(0.95,(length(dif.entera))-2),1,0)

return(res)

}

resultado<-try(paso(z))

res<-ifelse(class(resultado)=="try-error",0,resultado)

cont<-ifelse(class(resultado)=="try-error" || class(resultado)=="NA",1,0)

return(c(res,cont))

}

###################

## PRUEBA GPH ###

###################

gph.met<-function(z){

dif.entera<-diff(z)


y.esp<-spectrum(dif.entera,plot=FALSE)

vresp<-log(y.esp$spec)

cova<-log(4*((sin(y.esp$freq/2))^2))

m<-round(sqrt(length(dif.entera)))

gph.reg<-lm(vresp[1:m]~cova[1:m])

gph.sum<-summary(gph.reg)

tcal=(gph.reg$coefficients[2]*(-1))/sqrt(gph.sum$cov.unscaled*pi/6)[2,2]

res<-ifelse(abs(tcal)>qt(0.975,m-2),1,0)

return(res)

}

###################

## PRUEBA ROB95 ###

###################

rob.met<-function(z){

dif.entera<-diff(z)

y.esp<-spectrum(dif.entera,plot=FALSE)


cova<-2*(log(abs(y.esp$freq)))

m<-round((length(dif.entera))^0.55)

rob.reg<-lm(vresp[seq(3,m,2)]~cova[seq(3,m,2)])

rob.sum<-summary(rob.reg)

tcal=(rob.reg$coefficients[2]*(-1))/sqrt(rob.sum$cov.unscaled*pi/6)[2,2]

res<-ifelse(abs(tcal)>qt(0.975,(length(vresp[seq(3,m,2)])-2)),1,0)

return(res)

}

######################################

## PRUEBA DGM estandar y aumentada ###

######################################

prueba.DGM<-function(z){

library(fracdiff)

library(dynlm)

#Funcion para obtener una matriz de parametros


mat.para<-function(a,b){

x<-seq(a,b,0.05)

y<-round(seq(-0.9,0.9,0.3),1)

z<-c(-0.7,-0.4,-0.1,0,0.1,0.4,0.7)

paramet<-rbind(cbind(rep(z,length(x)),sort(rep(x,length(y))),r

ep(y,length(x))),cbind(rep(-z,length(x)),sort(rep(x,length(y))),

rep(y,length(x))))

return(paramet)

}

########################################################################

# Funcion para obtener los residuales

fun.res<-function(x,z){

library(rugarch)

if (x[2]!=1){



setfixed(spec)<-list(mu=0,ar1=x[1],ma1=x[3],arfima=x[2],sigma = 1)

x <- arfimafilter(spec,z)

res<-residuals(x)

} else {

if(x[1]==0 && x[3]==0){

y<-arima(z,c(0,1,0))

res<-y$residuals

}else{

if(x[1]==0 && x[3]!=0){

y<-arima(z,c(0,1,1),fixed=c(x[3]))

res<-y$residuals

}else{

if(x[1]!=0 && x[3]==0){

y<-arima(z,c(1,1,0),fixed=c(x[1]))

res<-y$residuals

}else{

y<-arima(z,c(1,1,1),fixed=c(x[1],x[3]))


res<-y$residuals

}

}

}

return(res)

}

}

############################################################################

#Funcion para buscar el valor de d que minimiza Vte

min.dis.est<-function(x,z){

T<-length(z)

residuos<-fun.res(x,z)

correla<-(acf(residuos,lag.max = NULL,plot=FALSE,type

="correlation")$acf)^2

# VTe(lambda) estimation

V.res<-sum(correla[1:round(T^(1/4))])

return(c(x[2],V.res))

}

matriz.para<-mat.para(0.6,1.4)

est.MDE<-t(apply(matriz.para,1,min.dis.est,z))

d.est<-est.MDE[which.min(est.MDE[,2])]

#Prueba DGM Estandar

dgm<-function(z,d){

dif.entera<-diff(z)

dif.frac <-diffseries(z,d)

mod1<- lm(dif.entera ~ dif.frac[1:(length(dif.frac)-

floor(d.est[1]+.5))]-1)#omitiendo el intercepto

res<-ifelse(summary(mod1)$coefficients[3]< qt(0.05,

(length(dif.entera)-1)),1,0)

return(res)

}

#Prueba DGM Aumentada


#Modelos de Regresion - sin tendencia incluyendo rezagos

dgm.aum<-function(z,d){

dif.entera<-diff(z)


reg.drift1 <- lm(dif.entera[2:length(dif.entera)] ~

dif.frac[1:(length(dif.frac)-2)] +

dif.entera[1:(length(dif.entera)-1)] -1)



dif.entera[2:(length(dif.entera)-1)]

+ dif.entera[1:(length(dif.entera)-2)] -1)



dif.entera[3:(length(dif.entera)-1)]

+ dif.entera[2:(length(dif.entera)-2)] +


modelos = list(reg.drift1,reg.drift2,reg.drift3)

criterio.AIC = lapply(modelos,AIC)

posi = which.min(criterio.AIC)

p<-summary(modelos[[posi]])

posi2=p[["coefficients"]][1,3]

res2<-ifelse(posi2<qt(0.05,(length(dif.entera)-(posi+1))),1,0)

return(res2)

}

intento1<-try(dgm(z,d.est))

if(class(intento1)=="try-error"){

res<-0

} else {

res<-intento1

}

intento2<-try(dgm.aum(z,d.est))


res2<-0


} else {

res2<-intento2

}

return(c(res,res2))

}

######################################

## PRUEBA LV estandar y aumentada ###

######################################

prueba.lv<-function(z){

library(fracdiff)

library(rugarch)

est.LV.cal<-function(z){

cal.Qp.Rp<-function(x){

#Calculo Qp (d )

#Siguiente Lınea: Vector con G*lambda_j^(-2d )

vect.paso1<-x[2]*(mat.paso[,2]^(-2*x[1]))

#Siguiente Lınea: Vector con log(G*lambda_j^(-2d ))

vect.paso2<-log(vect.paso1)

#Siguiente Lınea: Vector con Ip(lambda_j) / G*lambda_j^(-2d )

vect.paso3<-mat.paso[,1]/vect.paso1

qp.min<-(x[4]/x[3])*sum(vect.paso2[seq(x[4],x[3],x[4])]+

vect.paso3[seq(x[4],x[3],x[4])])

#Calculo Rp (d )

vect.paso4<-mat.paso[,1]*(mat.paso[,2]^(2*x[1]))

est.Gpd<-(x[4]/x[3])*sum(vect.paso4[seq(x[4],x[3],x[4])])

vect.paso5<-log(mat.paso[,2])

est.Rpd<-log(est.Gpd)-(2*x[1]*(x[4]/x[3])*

(sum(vect.paso5[seq(x[4],x[3],x[4])])))

return(c(qp.min,est.Rpd))

}

y.esp<-spec.pgram(z,kernel("modified.daniell"),taper=0.1,plot=FALSE)


cova<-2*(log(y.esp$freq))

m<-round((length(z))^0.55)


lv.reg<-lm(vresp[seq(1,(2*m),2)]~cova[seq(1,(2*m),2)])

d.est1<-round((-1)*lv.reg$coefficients[2],2)

secuen<-as.vector(rep(d.est1,9)+seq(-0.4,0.4,0.1))

ifelse(lv.reg$coefficients[1]>700,

lv.reg$coefficients[1]<-700,lv.reg$coefficients[1])

G<-exp(lv.reg$coefficients[1])

mat.paso<-cbind(y.esp$spec,y.esp$freq)

vect.paso<-cbind(secuen,as.numeric(rep(G,length(secuen)))

,rep(m,length(secuen)),rep(3,length(secuen)))

enc.min<-apply(vect.paso,1,cal.Qp.Rp)

paso<-c(secuen[which.min(enc.min[1,])],secuen[which.min(enc.min[2,])])

d.est2<-paso[which.min(paso)]

paso1<-c(d.est1,d.est2)

d.fin<-paso1[which.min(paso1)]

return(d.fin)

}

d.est<-est.LV.cal(z)

lv.test<-function(z,d){

#Prueba LV Estandar

dif.entera<-diff(z)


z.dest.lv<-(dif.frac[1:length(dif.entera)]-dif.entera)/(1-d)

mod1<- try(lm(dif.entera ~ z.dest.lv -1))#omitiendo el intercepto

res<-ifelse(class(mod1)=="try-error",0,ifelse(summary(mod1)

$coefficients[3]<qt(0.05,(length(dif.entera))-1),1,0))

return(res)

}

#Prueba LV Aumentada

lv.aumen<-function(z,d){

dif.entera<-diff(z)


z.dest.lv<-(dif.frac[1:length(dif.entera)]-dif.entera)/(1-d)


coef.reg1 <- lm(dif.frac[2:length(dif.frac)] ~

dif.frac[1:(length(dif.frac)-1)]-1)


dif.frac[2:(length(dif.frac)-1)]+dif.frac[1:(length(dif.frac)-2)] -1)


dif.frac[3:(length(dif.frac)-1)]+dif.frac[2:(length(dif.frac)-2)]

+dif.frac[1:(length(dif.frac)-3)] -1)

vec.coef1<-round(as.numeric(coef.reg1$coefficients),2)



ser.fil1<-na.omit(filter(z.dest.lv,c(1,-vec.coef1),method = "convolution"))



reg.drift1 = lm(dif.entera[2:length(dif.entera)] ~

ser.fil1 + dif.entera[1:(length(dif.entera)-1)] -1)


ser.fil2 + dif.entera[2:(length(dif.entera)-1)] +



ser.fil3 + dif.entera[3:(length(dif.entera)-1)] +

dif.entera[2:(length(dif.entera)-2)] +

dif.entera[1:(length(dif.entera)-3)]-1)

modelos = list(reg.drift1,reg.drift2,reg.drift3)

criterio.AIC = lapply(modelos,AIC)

posi = which.min(criterio.AIC)

p<-summary(modelos[[posi]])

posi2=p[["coefficients"]][1,3]

res2<-ifelse(posi2<qt(0.05,(length(dif.entera)-(posi+1))),1,0)

return(res2)

}

intento1<-try(lv.test(z,d.est))



res<-0

} else {

res<-intento1

}

intento2<-try(lv.aumen(z,d.est))


res2<-0

}else{

res2<-intento2

}

return(c(res,res2))

}

####################

## PRUEBA TANAKA ###

####################

pruebaTAN<-function(z){

fun.resp.mod1<-function(z){

inf.mod1<-arima(z, order = c(1,1,0))

res1<-inf.mod1$residuals

vec.corr1<-acf(res1,lag.max=(length(z)-1),type="correlation",plot=F)$acf

vec.paso1<-vec.corr1[2:length(vec.corr1)]/seq(2:length(vec.corr1))

a<-as.numeric(inf.mod1$coef[1])

w1<- ((pi^2)/6)-(((1-a^2)/a^2)*(log(1-a))^2)

tan1<-sum(vec.paso1)*sqrt(length(z))

est.tan1<-tan1/sqrt(w1)

resp1<-ifelse(abs(tan1)>qnorm(0.975),1,0)

return(resp1)

}

inf.mod<-try(arima(z, order = c(1,1,0)))


if(class(inf.mod)=="try-error"){

resp<-0

} else {

resp<-fun.resp.mod1(z)

}

return(resp)

}

####################

## PRUEBA HML ###

####################

prueba.HML<-function(z){

fun.wl<-function(z){

l<-floor((2/3)*(length(z))^(12/25))

vec.corr<-acf(diff(z),lag.max=(length(diff(z))-1),type="covariance",plot=F)$acf

vec.paso<-c(vec.corr[(l+1):1],vec.corr[2:(l+1)])

mat.paso<-matrix(0,((2*(l+1))-1),((2*(l+1))-1))

for(i in 2:((2*(l+1))-1)){

mat.paso[1,]<-c(vec.corr[((2*(l+1))-1):1])

mat.paso[i,]<-c(vec.corr[(((2*(l+1))-1)+1-i):1],vec.corr[2:i])

}

product<-vec.paso*mat.paso

vec.paso2<-apply(product,2,sum)

hj<-c((pi^2)/6,cumsum(1/seq(1,l,1))/seq(1,l,1))

vec.paso3<-c(hj[length(hj):1],hj[2:length(hj)])

prod.fin<-vec.paso2*vec.paso3

return(sum(prod.fin))

}

k<-floor(sqrt(length(z)))

vec.corr<-acf(diff(z),lag.max=(length(diff(z))-1),type="covariance",plot=F)$acf

vec.paso<-vec.corr[k:(length(diff(z))-1)]/seq(1:(length(diff(z))-1-k))

Nk.est<- sum(vec.paso)*sqrt(length(z)-k)

Sk.est<-Nk.est/sqrt(fun.wl(z))

res<-ifelse(Sk.est>qt(0.95,(length(z)-k)),1,0)


return(res)

}

prueba.HML2<-function(z){

fun.wl<-function(z){

l<-floor(2/3*length(z)^(12/25))

vec.corr<-acf(z,lag.max=(length(z)-1),type="covariance",plot=F)$acf

vec.paso<-c(vec.corr[(l+1):1],vec.corr[2:(l+1)])

mat.paso<-matrix(0,((2*(l+1))-1),((2*(l+1))-1))

for(i in 2:((2*(l+1))-1)){

mat.paso[1,]<-c(vec.corr[((2*(l+1))-1):1])

mat.paso[i,]<-c(vec.corr[(((2*(l+1))-1)+1-i):1],vec.corr[2:i])

}

product<-vec.paso*mat.paso

vec.paso2<-apply(product,2,sum)

hj<-c((pi^2)/6,(cumsum(1/seq(1,l,1))/seq(1,l,1)))

vec.paso3<-c(hj[length(hj):1],hj[2:length(hj)])

prod.fin<-vec.paso2*vec.paso3

return(sum(prod.fin))

}

k<-floor(sqrt(length(z)))

vec.corr<-acf(z,lag.max=(length(z)-1),type="covariance",plot=F)$acf

vec.paso<-vec.corr[k:(length(z)-1)]/seq(1:(length(z)-1-k))

Nk.est<- sum(vec.paso)*sqrt(length(z)-k)

Sk.est<-Nk.est/sqrt(fun.wl(z))

res<-ifelse(Sk.est>qnorm(0.95),1,0)

return(res)

}

############################################

## Funcion para crear Cluster ###

## y realizar los calculos ###

## de potencias y tama~nos ###

############################################


sim.fin.pot<-function(x){

cl <- makeCluster(c("localhost","localhost","localhost","localhost"),

type="SOCK")

mat.paso<-matrix(rep(c(x[1],x[2],x[3]),100),byrow=T,ncol=3)

z<-parApply(cl,mat.paso,1,saca.arfimas)

simul.cast<-parApply(cl,z,2,castano.et.al)

simul.gph<-parApply(cl,z,2,gph.met)

simul.rob<-parApply(cl,z,2,rob.met)

simul.DGM<-parApply(cl,z,2,prueba.DGM)

simul.lv<-parApply(cl,z,2,prueba.lv)

simul.TAN<-parApply(cl,z,2,pruebaTAN)

simul.HML<-parApply(cl,z,2,prueba.HML)

simul.HML2<-parApply(cl,z,2,prueba.HML2)

stopCluster(cl)

return(c((sum(na.omit(simul.cast[1,]))/(100-sum(na.omit(simul.cast[2,])))),

mean(simul.gph),mean(simul.rob),mean(simul.DGM[1,]),

mean(simul.DGM[2,]),mean(simul.lv[1,]),mean(simul.lv[2,]),mean(simul.TAN),

mean(simul.HML),mean(simul.HML2)))

}

sim.fin.tam<-function(x){

cl <- makeCluster(c("localhost","localhost","localhost","localhost"),

type="SOCK")

mat.paso<-matrix(rep(c(x[1],x[2],x[3]),100),byrow=T,ncol=3)

z<-parApply(cl,mat.paso,1,saca.arimas)

simul.cast<-parApply(cl,z,2,castano.et.al)

simul.gph<-parApply(cl,z,2,gph.met)

simul.rob<-parApply(cl,z,2,rob.met)

simul.DGM<-parApply(cl,z,2,prueba.DGM)

simul.lv<-parApply(cl,z,2,prueba.lv)

simul.TAN<-parApply(cl,z,2,pruebaTAN)

simul.HML<-parApply(cl,z,2,prueba.HML)

simul.HML2<-parApply(cl,z,2,prueba.HML2)

stopCluster(cl)

}


system.time(pot1<-sim.fin.pot(c(0.3,0.8,-0.4)))

system.time(tam1<-sim.fin.tam(c(0.3,-0.8)))


C. Apendice: Resultados de simulacion

A continuacion se presentan las tablas con todos los resultados de simulacion obtenidos.

Las primeras 9 tablas presentan las potencias y tamanos obtenidos para series de tiempo

de 500 observaciones a lo largo del intervalo de valores considerados del parametro de

diferenciacion d. Las 9 tablas restantes presentan las potencias y tamanos obtenidos para

series de tiempo de 1000 observaciones a lo largo del intervalo de valores considerados del

parametro de diferenciacion d.

108

CApendice:

Resultad

osdesimulacion

Potencias obtenidas por las pruebas para d = 0.6 y T = 500

AR MA d LV LV2 DGM DGM2 Castano GPH Robinson Tanaka HML1 HML

0 0 0.6 0.9470 0.9579 0.9252 0.9337 0.9389 0.7418 0.6070 0.9766 0.0432 0.6410

0.3 0 0.6 0.9672 0.9767 0.9206 0.9360 0.9794 0.7310 0.5722 0.9870 0.0244 0.6362

0.6 0 0.6 0.9703 0.9831 0.8308 0.8714 0.9498 0.6698 0.4838 0.0612 0.0234 0.6500

0.9 0 0.6 0.9226 0.9312 0.9021 0.9340 0.8994 0.1276 0.3100 0 0.0012 0.8052

-0.3 0 0.6 0.9627 0.9704 0.9364 0.9641 0.9816 0.7456 0.6062 0.9818 0.0352 0.6404

-0.6 0 0.6 0.9691 0.9725 0.9232 0.9540 0.9883 0.7370 0.6304 0.9746 0.0360 0.6380

-0.9 0 0.6 0.9714 0.9845 0.9678 0.9816 0.9836 0.6166 0.6258 0.9622 0.0074 0.4814

0 0.4 0.6 0.9686 0.9822 0.4406 0.4138 0.9709 0.7360 0.6054 0.9998 0.0326 0.6502

0 0.8 0.6 0.9745 0.9836 0.2868 0.3016 0.9551 0.7336 0.5992 0.9998 0.0260 0.6600

0 -0.4 0.6 0.9617 0.9719 0.9334 0.9690 0.9834 0.7424 0.6528 0.9627 0.0354 0.6442

0 -0.8 0.6 0.9710 0.9714 0.9410 0.9755 0.9619 0.8066 0.9224 0.9579 0.0426 0.5068

0.3 0.4 0.6 0.9520 1 0.7796 0.7424 0.9988 0.7190 0.5672 0.9536 0.0242 0.6444

0.3 0.8 0.6 0.9257 1 0.9188 0.9210 0.9992 0.7162 0.5758 0.0792 0.0250 0.6424

0.3 -0.4 0.6 0.9462 0.9612 0.9320 0.9474 0.8698 0.7492 0.6458 1 0.0326 0.6396

0.3 -0.8 0.6 0.9666 0.9825 0.9378 0.9446 0.8998 0.8812 0.9164 1 0.0408 0.5720

0.6 0.4 0.6 0.9598 0.9783 0.9243 0.9406 0.9534 0.6490 0.4666 0 0.0150 0.6504

0.6 0.8 0.6 0.9526 0.9898 0.9270 0.9440 0.9576 0.6628 0.4754 0 0.0154 0.6514

0.6 -0.4 0.6 0.9848 0.9984 0.9364 0.9534 0.9616 0.6936 0.5274 0.8628 0.0264 0.6424

0.6 -0.8 0.6 0.9976 1 0.9292 0.9448 0.8921 0.8784 0.8686 1 0.0404 0.5816

0.9 0.4 0.6 0.9472 0.9584 0.9124 0.9220 0.8702 0.1112 0.3426 0.0004 0.0006 0.7928

0.9 0.8 0.6 0.9232 0.9524 0.9121 0.9234 0.8878 0.1136 0.3294 0.8118 0.0020 0.7912

0.9 -0.4 0.6 0.9698 0.9774 0.8822 0.8008 0.7234 0.1116 0.2860 0.4752 0.0022 0.7838

0.9 -0.8 0.6 0.9986 0.9990 0.9282 0.9798 0.7094 0.3058 0.2518 0.9340 0.0222 0.7582

-0.3 0.4 0.6 0.9458 0.9838 0.9196 0.9362 0.9898 0.7390 0.6124 1 0.0326 0.6504

-0.3 0.8 0.6 0.9594 0.9993 0.5766 0.5292 0.9148 0.7328 0.6052 1 0.0344 0.6478

-0.3 -0.4 0.6 0.9576 0.9856 0.9338 0.9436 0.8954 0.7384 0.6570 1 0.0366 0.6218

-0.3 -0.8 0.6 0.9549 0.9742 0.9364 0.9544 0.9648 0.6710 0.9198 1 0.0460 0.3694

-0.6 0.4 0.6 0.9613 0.9896 0.9256 0.9598 0.9746 0.7392 0.6064 1 0.0358 0.6592

-0.6 0.8 0.6 0.9839 0.9998 0.9308 0.9856 0.9868 0.7538 0.6028 1 0.0302 0.6410

-0.6 -0.4 0.6 0.9758 0.9918 0.9388 0.9423 0.8894 0.6568 0.6590 1 0.0360 0.6192

-0.6 -0.8 0.6 0.9555 0.9873 0.9352 0.9402 0.9608 0.4906 0.9236 1 0.0378 0.1622

-0.9 0.4 0.6 0.9584 0.9700 0.9276 0.9433 0.9628 0.7194 0.6020 0.9902 0.0090 0.6172

-0.9 0.8 0.6 0.9766 0.9957 0.9322 0.9672 0.9826 0.7492 0.6156 0.9998 0.0156 0.6520

-0.9 -0.4 0.6 0.9643 0.9960 0.9372 0.9659 0.8822 0.4386 0.6478 1 0.0080 0.1462

-0.9 -0.8 0.6 0.9660 0.9891 0.9514 0.9382 0.9926 0.2646 0.8474 1 0.0088 0.0118

109



0 0 0.7 0.9696 0.9749 0.9266 0.9441 0.9534 0.5458 0.4584 0.9982 0.0308 0.7734

0.3 0 0.7 0.9587 0.9651 0.6900 0.7122 0.9770 0.5310 0.4324 0.7644 0.0252 0.7694

0.6 0 0.7 0.9754 0.9870 0.9292 0.9562 0.9034 0.4626 0.3344 0.0014 0.0128 0.7734

0.9 0 0.7 0.9116 0.9082 0.8773 0.8854 0.8518 0.1510 0.4524 0 0.0014 0.8828

-0.3 0 0.7 0.9488 0.9573 0.9256 0.9441 0.9599 0.5558 0.4694 0.9627 0.0346 0.7594

-0.6 0 0.7 0.9568 0.9804 0.9270 0.9489 0.9675 0.5518 0.4744 0.9583 0.0356 0.7814

-0.9 0 0.7 0.9687 0.9842 0.9304 0.9659 0.9762 0.4890 0.4800 0.9854 0.0068 0.7094

0 0.4 0.7 0.9662 0.9713 0.5692 0.5962 0.9717 0.5562 0.4524 0.9952 0.0280 0.7618

0 0.8 0.7 0.9729 0.9829 0.7102 0.6678 0.9818 0.5346 0.4398 0.9246 0.0254 0.7686

0 -0.4 0.7 0.9405 0.9733 0.9276 0.9622 0.9892 0.5780 0.4906 0.9735 0.0360 0.7598

0 -0.8 0.7 0.9647 0.9786 0.9292 0.9526 0.9843 0.7560 0.8532 0.9593 0.0342 0.7136

0.3 0.4 0.7 0.9838 0.9902 0.9018 0.9584 0.9848 0.5254 0.4254 0.2612 0.0204 0.7726

0.3 0.8 0.7 0.9624 0.9902 0.9438 0.9567 0.9864 0.5226 0.4378 0 0.0212 0.7846

0.3 -0.4 0.7 0.9532 0.9886 0.9246 0.9518 0.9122 0.5660 0.4902 1 0.0334 0.7798

0.3 -0.8 0.7 0.9474 0.9946 0.9316 0.9410 0.6230 0.7986 0.8398 1 0.0372 0.7312

0.6 0.4 0.7 0.9534 0.9742 0.9240 0.9340 0.9432 0.4564 0.3420 0 0.0124 0.7772

0.6 0.8 0.7 0.9740 0.9844 0.9381 0.9322 0.8052 0.4572 0.3326 0 0.0096 0.7728

0.6 -0.4 0.7 0.9603 0.9972 0.9284 0.9524 0.7194 0.4864 0.3718 0.2628 0.0218 0.7724

0.6 -0.8 0.7 0.9783 0.9963 0.7362 0.7888 0.7062 0.7736 0.7618 1 0.0406 0.7454

0.9 0.4 0.7 0.9682 0.9978 0.9276 0.9671 0.8098 0.1588 0.4560 0.0714 0.0008 0.8692

0.9 0.8 0.7 0.9670 0.9760 0.9292 0.9494 0.8396 0.1518 0.4650 0.9914 0.0010 0.8702

0.9 -0.4 0.7 0.9320 0.9456 0.8816 0.9096 0.6388 0.1452 0.4026 0.5222 0.0022 0.8690

0.9 -0.8 0.7 0.9330 0.9442 0.8938 0.9258 0.3162 0.1626 0.2194 0.3156 0.0116 0.8466

-0.3 0.4 0.7 0.9603 0.9842 0.9160 0.9328 0.9634 0.5462 0.4606 0.9980 0.0236 0.7698

-0.3 0.8 0.7 0.9568 0.9790 0.0890 0.1248 0.9983 0.5370 0.4526 1 0.0268 0.7776

-0.3 -0.4 0.7 0.9646 0.9878 0.7352 0.7535 0.8204 0.5796 0.5168 1 0.0336 0.7640

-0.3 -0.8 0.7 0.9589 0.9888 0.9326 0.9731 0.7806 0.6838 0.8576 1 0.0358 0.6332

-0.6 0.4 0.7 0.9632 0.9859 0.9302 0.9604 0.9824 0.5466 0.4550 0.9836 0.0336 0.7832

-0.6 0.8 0.7 0.9506 0.9871 0.8702 0.9238 0.9138 0.5664 0.4636 1 0.0296 0.7694

-0.6 -0.4 0.7 0.9544 0.9769 0.9096 0.9394 0.9250 0.5292 0.5100 1 0.0372 0.7584

-0.6 -0.8 0.7 0.9655 0.9872 0.9246 0.9468 0.7274 0.5130 0.8544 1 0.0398 0.4274

-0.9 0.4 0.7 0.9591 0.9896 0.9314 0.9712 0.9751 0.5474 0.4646 0.5580 0.0074 0.7560

-0.9 0.8 0.7 0.9808 0.9828 0.9338 0.9615 0.9656 0.5404 0.4566 0.9370 0.0166 0.7626

-0.9 -0.4 0.7 0.9569 0.9866 0.9194 0.9522 0.8972 0.3870 0.4956 1 0.0078 0.4300

-0.9 -0.8 0.7 0.9610 0.9934 0.9112 0.9323 0.8984 0.2818 0.7866 1 0.0110 0.0262

110

CApendice:

Resultad

osdesimulacion



0 0 0.8 0.7840 0.7989 0.7654 0.7996 0.7999 0.3350 0.3272 0.8346 0.0234 0.8616

0.3 0 0.8 0.6594 0.6962 0.1314 0.1450 0.6960 0.3360 0.3018 0.1730 0.0194 0.8558

0.6 0 0.8 0.6684 0.6726 0.5248 0.5692 0.6190 0.2706 0.2498 0 0.0114 0.8716

0.9 0 0.8 0.6833 0.7094 0.5794 0.5988 0.5846 0.3148 0.5998 0.0026 0.0046 0.9284

-0.3 0 0.8 0.7633 0.7990 0.7316 0.7634 0.7867 0.3536 0.3378 0.9810 0.0308 0.8642

-0.6 0 0.8 0.7487 0.7898 0.7328 0.7938 0.8090 0.3338 0.3304 0.9986 0.0340 0.8596

-0.9 0 0.8 0.7865 0.7992 0.7634 0.7805 0.8198 0.3276 0.3446 0.9998 0.0088 0.8470

0 0.4 0.8 0.8457 0.8698 0.5498 0.5578 0.8510 0.3244 0.3322 0.7038 0.0216 0.8676

0 0.8 0.8 0.7738 0.7986 0.7298 0.7504 0.7898 0.3414 0.3174 0.1606 0.0176 0.8580

0 -0.4 0.8 0.7866 0.7958 0.7286 0.7416 0.6228 0.3548 0.3566 0.9709 0.0364 0.8554

0 -0.8 0.8 0.7881 0.7988 0.7671 0.7897 0.5268 0.6394 0.7364 0.9792 0.0382 0.8276

0.3 0.4 0.8 0.8154 0.8304 0.7886 0.7958 0.8268 0.3180 0.3146 0.0016 0.0158 0.8650

0.3 0.8 0.8 0.8699 0.8876 0.8410 0.8738 0.9156 0.3270 0.3074 0 0.0146 0.8664

0.3 -0.4 0.8 0.8649 0.8998 0.7998 0.8254 0.6976 0.3554 0.3412 0.9916 0.0268 0.8656

0.3 -0.8 0.8 0.8933 0.8995 0.8599 0.8312 0.6502 0.6468 0.7286 1 0.0400 0.8356

0.6 0.4 0.8 0.8262 0.8566 0.8134 0.8382 0.8484 0.2612 0.2372 0 0.0072 0.8602

0.6 0.8 0.8 0.8624 0.8993 0.8348 0.8551 0.8712 0.2560 0.2344 0.1186 0.0108 0.8636

0.6 -0.4 0.8 0.8884 0.7902 0.0700 0.0942 0.3568 0.2900 0.2690 0.0120 0.0162 0.8722

0.6 -0.8 0.8 0.7930 0.8066 0.7308 0.7462 0.6200 0.5990 0.6198 1 0.0340 0.8502

0.9 0.4 0.8 0.6959 0.6978 0.5853 0.6310 0.6554 0.3134 0.6072 0.5980 0.0046 0.9276

0.9 0.8 0.8 0.6434 0.6776 0.6346 0.6501 0.6494 0.3194 0.6070 0.9996 0.0024 0.9304

0.9 -0.4 0.8 0.5788 0.5994 0.5314 0.5538 0.5574 0.2952 0.5524 0.2392 0.0056 0.9234

0.9 -0.8 0.8 0.4540 0.4690 0.3202 0.3818 0.1692 0.1202 0.2412 0.0190 0.0122 0.9120

-0.3 0.4 0.8 0.8699 0.8990 0.8474 0.8536 0.8976 0.3464 0.3294 0.8674 0.0218 0.8568

-0.3 0.8 0.8 0.8026 0.8288 0.1558 0.1782 0.8290 0.3370 0.3352 0.9492 0.0208 0.8686

-0.3 -0.4 0.8 0.8493 0.8851 0.8159 0.8324 0.7298 0.3728 0.3752 1 0.0388 0.8570

-0.3 -0.8 0.8 0.8558 0.8925 0.8193 0.8380 0.5586 0.5914 0.7500 1 0.0374 0.8090

-0.6 0.4 0.8 0.8551 0.8926 0.8492 0.8643 0.8970 0.3452 0.3272 0.6114 0.0320 0.8616

-0.6 0.8 0.8 0.8106 0.8628 0.5670 0.5256 0.7778 0.3436 0.3238 0.9656 0.0236 0.8576

-0.6 -0.4 0.8 0.8575 0.8999 0.8187 0.8280 0.8804 0.3552 0.3632 1 0.0384 0.8588

-0.6 -0.8 0.8 0.8609 0.8934 0.8486 0.8657 0.6202 0.4826 0.7494 1 0.0370 0.7128

-0.9 0.4 0.8 0.8368 0.8642 0.8222 0.8394 0.8135 0.3380 0.3316 0.0336 0.0092 0.8600

-0.9 0.8 0.8 0.8498 0.8994 0.8256 0.8397 0.8306 0.3406 0.3332 0.3920 0.0126 0.8566

-0.9 -0.4 0.8 0.8223 0.8808 0.7174 0.7370 0.7534 0.3038 0.3686 1 0.0088 0.7116

-0.9 -0.8 0.8 0.8205 0.8449 0.8092 0.8156 0.5150 0.2734 0.7154 1 0.0096 0.0984

111



0 0 0.9 0.6438 0.6698 0.6252 0.6566 0.6828 0.1738 0.2414 0.1730 0.0250 0.9238

0.3 0 0.9 0.5201 0.5477 0.4956 0.5113 0.4244 0.1716 0.2282 0.0048 0.0136 0.9158

0.6 0 0.9 0.4185 0.4586 0.3307 0.3322 0.3616 0.1518 0.2218 0 0.0102 0.9220

0.9 0 0.9 0.3665 0.3999 0.2616 0.2875 0.3500 0.5268 0.7316 0.0124 0.0128 0.9630

-0.3 0 0.9 0.6451 0.6876 0.6338 0.6807 0.7076 0.1832 0.2496 0.4978 0.0284 0.9202

-0.6 0 0.9 0.6662 0.6896 0.6176 0.6572 0.7388 0.1780 0.2436 0.7386 0.0302 0.9190

-0.9 0 0.9 0.6912 0.6924 0.6572 0.6886 0.7464 0.1818 0.2468 0.8632 0.0066 0.9178

0 0.4 0.9 0.6796 0.6814 0.6710 0.6722 0.7284 0.1730 0.2418 0.0612 0.0182 0.9270

0 0.8 0.9 0.6114 0.6312 0.5974 0.6316 0.7710 0.1810 0.2268 0.0004 0.0156 0.9262

0 -0.4 0.9 0.6534 0.6855 0.6397 0.6684 0.2906 0.2066 0.2646 0.9998 0.0322 0.9222

0 -0.8 0.9 0.6368 0.6568 0.6655 0.6768 0.2324 0.4550 0.5900 0.9876 0.0378 0.9090

0.3 0.4 0.9 0.5439 0.5971 0.4189 0.4086 0.3548 0.1726 0.2288 0 0.0136 0.9236

0.3 0.8 0.9 0.5676 0.5746 0.4553 0.4503 0.4034 0.1674 0.2198 0 0.0136 0.9242

0.3 -0.4 0.9 0.5873 0.5912 0.4957 0.5116 0.4142 0.1938 0.2590 0.6144 0.0266 0.9166

0.3 -0.8 0.9 0.5132 0.5970 0.5476 0.5875 0.3052 0.4408 0.5812 1 0.0380 0.9032

0.6 0.4 0.9 0.4963 0.4132 0.3560 0.3544 0.2358 0.1360 0.2148 0.0006 0.009 0.9270

0.6 0.8 0.9 0.4152 0.4558 0.4370 0.4676 0.2472 0.1360 0.2194 0.7964 0.0096 0.9278

0.6 -0.4 0.9 0.4231 0.4644 0.4326 0.4124 0.2886 0.1458 0.2166 0.0054 0.0152 0.9228

0.6 -0.8 0.9 0.4673 0.4956 0.4424 0.4546 0.5362 0.3814 0.4814 1 0.0382 0.9088

0.9 0.4 0.9 0.4209 0.4968 0.4591 0.4653 0.4694 0.5282 0.7426 0.9634 0.0130 0.9614

0.9 0.8 0.9 0.4102 0.4782 0.4360 0.4484 0.5048 0.5478 0.7456 1 0.0108 0.9626

0.9 -0.4 0.9 0.4580 0.4990 0.4185 0.4388 0.4916 0.5026 0.6974 0.0184 0.0100 0.9648

0.9 -0.8 0.9 0.4722 0.4706 0.4174 0.4344 0.2818 0.2120 0.3354 0.2336 0.0156 0.9488

-0.3 0.4 0.9 0.3472 0.3886 0.1432 0.1624 0.2328 0.1846 0.2400 0.2210 0.0174 0.9164

-0.3 0.8 0.9 0.4864 0.4921 0.4340 0.4776 0.4174 0.1900 0.2354 0.2486 0.0192 0.9252

-0.3 -0.4 0.9 0.4231 0.4992 0.4724 0.4878 0.3664 0.2008 0.2584 1 0.0398 0.9200

-0.3 -0.8 0.9 0.4619 0.4863 0.4188 0.4264 0.3924 0.4392 0.6116 1 0.0440 0.8988

-0.6 0.4 0.9 0.5313 0.5278 0.4409 0.4896 0.5790 0.1802 0.2380 0.0520 0.0272 0.9230

-0.6 0.8 0.9 0.5771 0.5860 0.0388 0.0626 0.4928 0.1816 0.2350 0.4412 0.0194 0.9256

-0.6 -0.4 0.9 0.4488 0.4678 0.3403 0.3662 0.3136 0.1996 0.2640 1 0.0408 0.9230

-0.6 -0.8 0.9 0.3965 0.3954 0.3643 0.3763 0.2274 0.3842 0.6054 1 0.0392 0.8764

-0.9 0.4 0.9 0.5125 0.5876 0.5263 0.5272 0.6994 0.1816 0.2428 0.4278 0.0086 0.9246

-0.9 0.8 0.9 0.5884 0.5908 0.5186 0.5403 0.6688 0.1802 0.2474 0.0306 0.0126 0.9174

-0.9 -0.4 0.9 0.5324 0.5788 0.5651 0.5916 0.3858 0.1836 0.2572 1 0.0096 0.8708

-0.9 -0.8 0.9 0.5686 0.6031 0.5288 0.5467 0.2978 0.2456 0.5942 1 0.0090 0.3470

112

CApendice:

Resultad

osdesimulacion

Tamanos obtenidos por las pruebas para d = 1.0 y T = 500


0 0 1.0 0.0552 0.0562 0.0542 0.0576 0.0534 0.2608 0.2196 0.0090 0.0238 0.9532

0.3 0 1.0 0.0834 0.0844 0.0846 0.0762 0.0642 0.2574 0.2066 0.0012 0.0196 0.9550

0.6 0 1.0 0.0862 0.0840 0.0856 0.0834 0.0664 0.2518 0.2408 0 0.0162 0.9566

0.9 0 1.0 0.0982 0.0940 0.1188 0.1046 0.1084 0.7984 0.8442 0.0068 0.0360 0.9790

-0.3 0 1.0 0.0594 0.0644 0.0688 0.0626 0.0612 0.2544 0.2118 0.0316 0.0302 0.9512

-0.6 0 1.0 0.0658 0.0661 0.0768 0.0754 0.0668 0.2672 0.2018 0.0658 0.0350 0.9598

-0.9 0 1.0 0.0640 0.0666 0.0791 0.0766 0.0516 0.2480 0.2156 0.1044 0.0086 0.9566

0 0.4 1.0 0.0485 0.0476 0.0697 0.0683 0.0548 0.2630 0.2172 0.0012 0.0214 0.9564

0 0.8 1.0 0.0772 0.0704 0.0759 0.0788 0.0790 0.2632 0.2130 0.0000 0.0224 0.9592

0 -0.4 1.0 0.0588 0.0714 0.0728 0.0782 0.0764 0.2632 0.2072 0.8544 0.0340 0.9562

0 -0.8 1.0 0.0683 0.0760 0.0822 0.0792 0.0692 0.4684 0.4330 1 0.0390 0.9528

0.3 0.4 1.0 0.0552 0.0550 0.0786 0.0754 0.0656 0.2524 0.2168 0 0.0188 0.9536

0.3 0.8 1.0 0.0686 0.0594 0.0928 0.0984 0.0676 0.2522 0.2084 0.0026 0.0204 0.9568

0.3 -0.4 1.0 0.0676 0.0694 0.0693 0.0734 0.0822 0.2562 0.1990 0.0614 0.0248 0.9568

0.3 -0.8 1.0 0.0758 0.0788 0.0804 0.0668 0.0992 0.4390 0.4168 1 0.0364 0.9472

0.6 0.4 1.0 0.0932 0.0940 0.0985 0.0996 0.0920 0.2512 0.2460 0.1438 0.0162 0.9584

0.6 0.8 1.0 0.1113 0.1222 0.1190 0.1043 0.1180 0.2662 0.2566 0.9928 0.0150 0.9622

0.6 -0.4 1.0 0.0882 0.0878 0.0993 0.0985 0.1076 0.2420 0.2220 0.0426 0.0204 0.9596

0.6 -0.8 1.0 0.0904 0.0910 0.1040 0.1188 0.1084 0.4162 0.3454 0.9864 0.0360 0.9498

0.9 0.4 1.0 0.1858 0.1736 0.1830 0.1994 0.1732 0.7964 0.8574 0.9990 0.0362 0.9826

0.9 0.8 1.0 0.2576 0.2444 0.2852 0.2915 0.2867 0.7924 0.8414 1 0.0416 0.9598

0.9 -0.4 1.0 0.1490 0.1412 0.1908 0.1332 0.1248 0.7652 0.8202 0.2306 0.0368 0.9778

0.9 -0.8 1.0 0.1406 0.1346 0.1317 0.1324 0.1205 0.4860 0.4546 0.6512 0.0328 0.9770

-0.3 0.4 1.0 0.0532 0.0528 0.0536 0.0548 0.0610 0.2560 0.2128 0.0078 0.0242 0.9518

-0.3 0.8 1.0 0.0634 0.0674 0.0721 0.0788 0.0600 0.2570 0.2158 0.0040 0.0212 0.9584

-0.3 -0.4 1.0 0.0638 0.0698 0.0654 0.0686 0.0618 0.2596 0.2016 0.9988 0.0344 0.9550

-0.3 -0.8 1.0 0.0523 0.0376 0.0490 0.0448 0.0622 0.4530 0.4560 1 0.0390 0.9482

-0.6 0.4 1.0 0.0950 0.1008 0.0932 0.1018 0.0562 0.2618 0.2270 0.0978 0.0246 0.9538

-0.6 0.8 1.0 0.1250 0.1241 0.1343 0.1312 0.1308 0.2544 0.2056 0.0252 0.0242 0.9572

-0.6 -0.4 1.0 0.0828 0.0825 0.1011 0.1184 0.0710 0.2576 0.2024 1 0.0366 0.9580

-0.6 -0.8 1.0 0.0758 0.0676 0.0782 0.0731 0.0718 0.4310 0.4562 1 0.0354 0.9418

-0.9 0.4 1.0 0.2038 0.2486 0.2809 0.2706 0.1618 0.2574 0.2198 0.9706 0.0080 0.9560

-0.9 0.8 1.0 0.3390 0.3124 0.3285 0.3132 0.3289 0.2512 0.2080 0.0882 0.0152 0.9516

-0.9 -0.4 1.0 0.1478 0.1516 0.1975 0.1926 0.1832 0.2530 0.2156 1 0.0080 0.9470

-0.9 -0.8 1.0 0.1362 0.1620 0.1861 0.2388 0.1680 0.3148 0.4364 1 0.0084 0.6794

113



0 0 1.1 0.6850 0.7038 0.6588 0.6734 0.6740 0.2288 0.3046 0.3216 0.0352 0.9274

0.3 0 1.1 0.5804 0.5826 0.4792 0.5060 0.4720 0.2032 0.2656 0.0076 0.0316 0.9706

0.6 0 1.1 0.4168 0.4314 0.3326 0.3926 0.2794 0.2700 0.3322 0.0016 0.0370 0.9578

0.9 0 1.1 0.2964 0.2858 0.2988 0.2914 0.2462 0.8680 0.9026 0.1368 0.1068 0.9678

-0.3 0 1.1 0.7204 0.7584 0.6236 0.6732 0.7037 0.1882 0.2460 0.3574 0.0388 0.9402

-0.6 0 1.1 0.8368 0.8656 0.8166 0.8236 0.8464 0.1844 0.2562 0.6272 0.0370 0.9506

-0.9 0 1.1 0.7654 0.8166 0.7783 0.7716 0.7856 0.1854 0.2554 0.7888 0.0062 0.9792

0 0.4 1.1 0.7350 0.7656 0.7060 0.7390 0.7954 0.1844 0.2636 0.0008 0.0324 0.9764

0 0.8 1.1 0.7292 0.7396 0.6294 0.6890 0.7308 0.1950 0.2610 0.0012 0.0374 0.9788

0 -0.4 1.1 0.7566 0.7963 0.6098 0.6872 0.2770 0.1688 0.2324 0.1456 0.0440 0.9762

0 -0.8 1.1 0.6820 0.6922 0.6350 0.6584 0.2280 0.1344 0.3202 1 0.0380 0.9599

0.3 0.4 1.1 0.4973 0.4969 0.3944 0.4940 0.4202 0.2144 0.2674 0.0004 0.0356 0.9542

0.3 0.8 1.1 0.4658 0.4524 0.3948 0.4070 0.4316 0.2130 0.2740 0.1934 0.0344 0.9467

0.3 -0.4 1.1 0.4660 0.4638 0.0732 0.0950 0.4320 0.1896 0.2412 0.0730 0.0362 0.9796

0.3 -0.8 1.1 0.4990 0.4992 0.4349 0.4360 0.2482 0.1356 0.2998 1 0.0412 0.9740

0.6 0.4 1.1 0.4708 0.4968 0.4128 0.4950 0.4896 0.2618 0.3400 0.7084 0.0358 0.9512

0.6 0.8 1.1 0.4582 0.4418 0.3952 0.4234 0.4858 0.2570 0.3464 0.9996 0.0388 0.9792

0.6 -0.4 1.1 0.4882 0.4890 0.4722 0.5028 0.3956 0.2444 0.2984 0.1006 0.0348 0.9665

0.6 -0.8 1.1 0.4762 0.4742 0.4286 0.4499 0.4240 0.1200 0.2470 0.5724 0.0424 0.9722

0.9 0.4 1.1 0.6192 0.6456 0.6142 0.6341 0.6364 0.6294 0.9148 1 0.0944 0.9726

0.9 0.8 1.1 0.6970 0.7172 0.6243 0.6864 0.6986 0.8728 0.9154 1 0.1024 0.9674

0.9 -0.4 1.1 0.6980 0.7052 0.6868 0.6956 0.6608 0.8652 0.8846 0.8256 0.1026 0.9633

0.9 -0.8 1.1 0.6234 0.6396 0.5967 0.6252 0.7586 0.6290 0.6076 0.7570 0.0754 0.9638

-0.3 0.4 1.1 0.6329 0.6782 0.5505 0.5650 0.5664 0.1998 0.2610 0.0340 0.0386 0.9794

-0.3 0.8 1.1 0.6756 0.6664 0.5884 0.6278 0.6562 0.1960 0.2534 0.0010 0.0386 0.9635

-0.3 -0.4 1.1 0.6046 0.6392 0.6184 0.6594 0.2268 0.1744 0.2316 0.7524 0.0370 0.9794

-0.3 -0.8 1.1 0.6292 0.6445 0.5408 0.5806 0.2284 0.1454 0.3282 1 0.0448 0.9736

-0.6 0.4 1.1 0.6086 0.6432 0.2412 0.2520 0.5144 0.2024 0.2524 0.5838 0.0378 0.9710

-0.6 0.8 1.1 0.6880 0.7182 0.6476 0.6518 0.6904 0.1968 0.2536 0.0104 0.0340 0.9688

-0.6 -0.4 1.1 0.6224 0.6892 0.6387 0.6828 0.3186 0.1746 0.2270 0.9812 0.0374 0.9724

-0.6 -0.8 1.1 0.6580 0.6802 0.6122 0.6153 0.2436 0.1472 0.3260 1 0.0338 0.9692

-0.9 0.4 1.1 0.6918 0.6973 0.6057 0.6383 0.7180 0.2050 0.2654 1 0.0098 0.9764

-0.9 0.8 1.1 0.6489 0.6835 0.6499 0.6557 0.6862 0.1952 0.2648 0.4740 0.0274 0.9786

-0.9 -0.4 1.1 0.5578 0.5602 0.4737 0.5014 0.3884 0.1686 0.2244 0.9996 0.0096 0.9738

-0.9 -0.8 1.1 0.5120 0.5536 0.4951 0.5377 0.2630 0.1386 0.3174 1 0.0092 0.8760

114

CApendice:

Resultad

osdesimulacion



0 0 1.2 0.7948 0.7962 0.7635 0.7756 0.7648 0.4740 0.4798 0.7456 0.0810 0.9683

0.3 0 1.2 0.6566 0.6834 0.5690 0.6191 0.6652 0.3990 0.3758 0.0342 0.0826 0.9664

0.6 0 1.2 0.6042 0.6358 0.5826 0.5924 0.6122 0.4706 0.4646 0.0280 0.0810 0.9779

0.9 0 1.2 0.6596 0.6953 0.6582 0.6896 0.6976 0.9441 0.9492 0.8176 0.2150 0.9854

-0.3 0 1.2 0.8602 0.8768 0.2704 0.2894 0.8710 0.3764 0.3420 0.8276 0.0884 0.9791

-0.6 0 1.2 0.9158 0.9358 0.8878 0.9098 0.9848 0.3686 0.3592 0.9806 0.0666 0.9889

-0.9 0 1.2 0.9292 0.9633 0.8936 0.9286 0.9796 0.3758 0.3472 0.9988 0.0104 0.9891

0 0.4 1.2 0.9244 0.9572 0.9042 0.9476 0.9614 0.3786 0.3664 0.0200 0.0828 0.9729

0 0.8 1.2 0.9194 0.9462 0.9086 0.9388 0.9890 0.3798 0.3626 0.0176 0.0760 0.9702

0 -0.4 1.2 0.8896 0.8890 0.8228 0.8644 0.6112 0.3520 0.3214 0.2808 0.0752 0.9891

0 -0.8 1.2 0.8342 0.8454 0.8393 0.8480 0.6986 0.1418 0.2252 0.9787 0.0400 0.9853

0.3 0.4 1.2 0.8328 0.8792 0.8084 0.8586 0.8066 0.4016 0.3852 0.0114 0.1590 0.9983

0.3 0.8 1.2 0.8414 0.8836 0.8012 0.8102 0.8660 0.3950 0.3852 0.6560 0.1556 0.9888

0.3 -0.4 1.2 0.8626 0.8868 0.8122 0.8358 0.8116 0.3634 0.3424 0.3700 0.1496 0.9877

0.3 -0.8 1.2 0.8154 0.8304 0.8137 0.8292 0.4878 0.1424 0.2072 0.9920 0.0576 0.9826

0.6 0.4 1.2 0.8466 0.8699 0.8081 0.8330 0.8322 0.4798 0.4758 0.9310 0.1596 0.9870

0.6 0.8 1.2 0.8438 0.8560 0.8264 0.8232 0.8806 0.4820 0.4958 0.9998 0.1668 0.9684

0.6 -0.4 1.2 0.8482 0.8952 0.7775 0.8165 0.7160 0.4602 0.4222 0.1008 0.1540 0.9898

0.6 -0.8 1.2 0.7732 0.7932 0.7317 0.7647 0.5150 0.1704 0.2070 0.0804 0.0948 0.9696

0.9 0.4 1.2 0.7922 0.7958 0.7382 0.7525 0.7744 0.9468 0.9546 1 0.2774 0.9605

0.9 0.8 1.2 0.8554 0.8876 0.8011 0.8510 0.8507 0.9438 0.9558 1 0.2842 0.9733

0.9 -0.4 1.2 0.8552 0.8824 0.8354 0.8497 0.4898 0.9422 0.9378 0.9606 0.2728 0.9696

0.9 -0.8 1.2 0.8576 0.8620 0.8208 0.8436 0.8334 0.8122 0.7432 0.5410 0.2426 0.9778

-0.3 0.4 1.2 0.8518 0.8613 0.7788 0.7929 0.8034 0.3884 0.3604 0.1548 0.1474 0.9694

-0.3 0.8 1.2 0.8350 0.8550 0.7757 0.7972 0.9332 0.3896 0.3646 0.0240 0.1506 0.9778

-0.3 -0.4 1.2 0.8320 0.8754 0.8145 0.8656 0.5930 0.3528 0.3110 0.1776 0.0804 0.9656

-0.3 -0.8 1.2 0.8380 0.8781 0.8307 0.8655 0.4814 0.1350 0.2430 1 0.0470 0.9787

-0.6 0.4 1.2 0.8042 0.8141 0.3858 0.3662 0.8338 0.3954 0.3626 0.8442 0.1510 0.9694

-0.6 0.8 1.2 0.8686 0.8856 0.8238 0.8678 0.9478 0.3746 0.3550 0.0938 0.1522 0.9740

-0.6 -0.4 1.2 0.8212 0.8505 0.7743 0.7967 0.7060 0.3542 0.3284 0.3548 0.0544 0.9693

-0.6 -0.8 1.2 0.8583 0.8708 0.8158 0.8244 0.4290 0.1332 0.2438 1 0.0404 0.9682

-0.9 0.4 1.2 0.8459 0.8932 0.8098 0.8881 0.8922 0.3808 0.3536 1 0.1168 0.9735

-0.9 0.8 1.2 0.8187 0.8422 0.5762 0.5932 0.8964 0.3778 0.3564 0.7234 0.1534 0.9754

-0.9 -0.4 1.2 0.8450 0.8751 0.8039 0.7763 0.7174 0.3444 0.3264 0.6876 0.0596 0.9793

-0.9 -0.8 1.2 0.7855 0.7938 0.7289 0.7798 0.4872 0.1198 0.2466 1 0.0646 0.9666

115



0 0 1.3 0.9682 0.9765 0.8772 0.8156 0.9746 0.6206 0.4910 0.4174 0.1806 0.9558

0.3 0 1.3 0.9266 0.9522 0.9224 0.9392 0.9482 0.6352 0.5246 0.1890 0.1860 0.9556

0.6 0 1.3 0.9460 0.9528 0.8948 0.9348 0.9672 0.6924 0.6320 0.0706 0.1872 0.9656

0.9 0 1.3 0.9214 0.9576 0.9156 0.9582 0.9024 0.9750 0.9752 0.9978 0.3622 0.9970

-0.3 0 1.3 0.8922 0.9377 0.5502 0.5170 0.9744 0.6084 0.4798 0.8368 0.1690 0.9956

-0.6 0 1.3 0.9682 0.9697 0.4960 0.4800 0.9884 0.5996 0.4810 0.9794 0.1606 0.9944

-0.9 0 1.3 0.9780 0.9876 0.9226 0.9730 0.9896 0.6000 0.4818 0.9624 0.0166 0.9932

0 0.4 1.3 0.8712 0.9132 0.4412 0.4312 0.9746 0.6154 0.4882 0.1286 0.1712 0.9950

0 0.8 1.3 0.8536 0.8775 0.8256 0.8880 0.9814 0.6146 0.4878 0.0852 0.1684 0.9968

0 -0.4 1.3 0.9454 0.9556 0.6464 0.6492 0.9768 0.5912 0.4498 0.7144 0.1574 0.9946

0 -0.8 1.3 0.9708 0.9748 0.9172 0.9288 0.9896 0.2630 0.2180 0.9958 0.0520 0.9944

0.3 0.4 1.3 0.8716 0.8846 0.8294 0.8476 0.9534 0.6402 0.5314 0.0874 0.3340 0.9998

0.3 0.8 1.3 0.8502 0.8878 0.7750 0.8108 0.8680 0.6300 0.5334 0.7598 0.3324 1

0.3 -0.4 1.3 0.9484 0.9888 0.8986 0.9176 0.8334 0.6028 0.4784 0.5474 0.3320 1

0.3 -0.8 1.3 0.9394 0.9450 0.8774 0.8842 0.5624 0.2802 0.2136 0.6714 0.1458 1

0.6 0.4 1.3 0.8652 0.8998 0.8262 0.8822 0.9686 0.7030 0.6302 0.9774 0.3382 0.9998

0.6 0.8 1.3 0.9086 0.9190 0.8636 0.8834 0.9720 0.7084 0.6326 1 0.3436 0.9996

0.6 -0.4 1.3 0.8824 0.9218 0.8680 0.8854 0.7092 0.6724 0.5840 0.2592 0.3342 1

0.6 -0.8 1.3 0.9490 0.9682 0.8408 0.8706 0.4892 0.3532 0.2528 0.1146 0.2452 0.9998

0.9 0.4 1.3 0.9494 0.9558 0.9034 0.9170 0.9396 0.9766 0.9776 0.9994 0.4922 1

0.9 0.8 1.3 0.9118 0.9530 0.9282 0.9336 0.9916 0.9812 0.9756 0.9988 0.4904 1

0.9 -0.4 1.3 0.9402 0.9590 0.9020 0.9348 0.8444 0.9758 0.9728 0.8348 0.4908 1

0.9 -0.8 1.3 0.9615 0.9690 0.9518 0.9622 0.8904 0.9120 0.8434 0.4086 0.4584 0.9998

-0.3 0.4 1.3 0.8436 0.8656 0.8508 0.8618 0.8658 0.6184 0.4834 0.2626 0.3134 0.9998

-0.3 0.8 1.3 0.9280 0.9550 0.9238 0.9364 0.9958 0.6108 0.5042 0.1082 0.3184 0.9998

-0.3 -0.4 1.3 0.9928 0.9944 0.7836 0.7296 0.9432 0.5886 0.4518 0.7080 0.2372 1

-0.3 -0.8 1.3 0.9530 0.9550 0.9378 0.9541 0.7774 0.2668 0.2140 1 0.0532 1

-0.6 0.4 1.3 0.9038 0.9356 0.7070 0.7670 0.9020 0.6146 0.4924 0.7826 0.3186 1

-0.6 0.8 1.3 0.9388 0.9522 0.9140 0.9386 0.9414 0.6326 0.4898 0.2170 0.3264 1

-0.6 -0.4 1.3 0.9786 0.9928 0.9034 0.9334 0.9490 0.5768 0.4420 0.6148 0.1158 1

-0.6 -0.8 1.3 0.9306 0.9686 0.9016 0.9248 0.6596 0.2582 0.2196 1 0.0458 1

-0.9 0.4 1.3 0.8810 0.8868 0.8086 0.8628 0.9966 0.6136 0.4830 0.9960 0.2944 1

-0.9 0.8 1.3 0.8688 0.8909 0.8318 0.8506 0.9708 0.6102 0.4990 0.6750 0.3298 1

-0.9 -0.4 1.3 0.9380 0.9475 0.8734 0.8984 0.9564 0.5528 0.4398 0.5096 0.0682 1

-0.9 -0.8 1.3 0.9474 0.9655 0.9138 0.9287 0.7074 0.2464 0.2002 1 0.0568 0.9996

116

CApendice:

Resultad

osdesimulacion



0 0 1.4 0.9400 0.9684 0.9104 0.9370 0.9743 0.8086 0.6480 0.5276 0.3092 0.9970

0.3 0 1.4 0.9262 0.9376 0.8816 0.9230 0.9674 0.8104 0.6654 0.5084 0.3308 0.9986

0.6 0 1.4 0.9420 0.9637 0.8950 0.9160 0.9373 0.8490 0.7562 0.0802 0.3264 0.9980

0.9 0 1.4 0.9356 0.9510 0.9150 0.9268 0.9428 0.9920 0.9904 0.9918 0.5306 0.9984

-0.3 0 1.4 0.9367 0.9604 0.8018 0.8450 0.9756 0.8052 0.6520 0.7884 0.3132 0.9976

-0.6 0 1.4 0.9683 0.9789 0.8900 0.8938 0.9861 0.7924 0.6356 0.8978 0.2998 0.9982

-0.9 0 1.4 0.9882 0.9942 0.9330 0.9720 0.9927 0.8034 0.6488 0.9886 0.0582 0.9982

0 0.4 1.4 0.9418 0.9838 0.9146 0.9438 0.9773 0.7966 0.6540 0.3830 0.3186 0.9976

0 0.8 1.4 0.9214 0.9442 0.9342 0.9392 0.9619 0.7980 0.6456 0.1702 0.3160 0.9982

0 -0.4 1.4 0.9627 0.9818 0.8174 0.8734 0.9778 0.7880 0.5940 0.7702 0.3036 0.9972

0 -0.8 1.4 0.9578 0.9434 0.8184 0.8596 0.9972 0.4794 0.2566 0.7628 0.1066 0.9974

0.3 0.4 1.4 0.9214 0.9358 0.8782 0.9136 0.9572 0.8080 0.6690 0.1792 0.5602 1

0.3 0.8 1.4 0.9102 0.9687 0.8760 0.8984 0.9484 0.8122 0.6760 0.7066 0.5358 1

0.3 -0.4 1.4 0.9546 0.9614 0.8608 0.9073 0.9152 0.7934 0.6248 0.6386 0.5412 1

0.3 -0.8 1.4 0.9598 0.9630 0.2260 0.2344 0.7422 0.5138 0.2786 0.3182 0.3768 0.9998

0.6 0.4 1.4 0.9416 0.9614 0.9152 0.9479 0.9772 0.8610 0.7724 0.9980 0.5678 1

0.6 0.8 1.4 0.9360 0.9526 0.9168 0.9288 0.9628 0.8538 0.7612 1 0.5542 1

0.6 -0.4 1.4 0.9082 0.9136 0.8698 0.9102 0.8656 0.8436 0.7114 0.6508 0.5524 1

0.6 -0.8 1.4 0.8942 0.8988 0.6876 0.6458 0.8788 0.5954 0.3528 0.4280 0.4946 1

0.9 0.4 1.4 0.9238 0.9700 0.9154 0.9078 0.9850 0.9900 0.9886 0.9794 0.7073 1

0.9 0.8 1.4 0.9216 0.9674 0.8570 0.8996 0.9878 0.9914 0.9902 0.9716 0.6962 1

0.9 -0.4 1.4 0.9296 0.9486 0.8538 0.8980 0.9440 0.9886 0.9878 0.2872 0.7004 1

0.9 -0.8 1.4 0.9420 1 0.9358 0.9762 0.9320 0.9656 0.9088 0.8086 0.668 1

-0.3 0.4 1.4 0.9184 0.9288 0.8658 0.8912 0.9564 0.7924 0.6414 0.4836 0.5528 1

-0.3 0.8 1.4 0.9508 0.9618 0.9349 0.9528 0.9960 0.7982 0.6524 0.3600 0.5594 1

-0.3 -0.4 1.4 0.9598 0.9674 0.4034 0.3994 0.9458 0.7828 0.6012 0.8582 0.5098 1

-0.3 -0.8 1.4 0.9876 0.9982 0.9366 0.9646 0.7854 0.4814 0.2446 0.9636 0.105 1

-0.6 0.4 1.4 0.9517 0.9642 0.9008 0.9154 0.9970 0.7944 0.6496 0.7446 0.5452 1

-0.6 0.8 1.4 0.9372 0.9564 0.9290 0.9468 0.9686 0.7950 0.6394 0.4574 0.5514 1

-0.6 -0.4 1.4 0.9018 0.9164 0.8626 0.8696 0.9148 0.7856 0.5996 0.9136 0.3732 1

-0.6 -0.8 1.4 0.9406 0.9520 0.9252 0.9016 0.9358 0.4724 0.2576 0.9962 0.055 1

-0.9 0.4 1.4 0.9652 0.9704 0.4452 0.4266 0.9986 0.7988 0.6396 0.9304 0.5568 1

-0.9 0.8 1.4 0.9930 0.9961 0.9171 0.9257 0.9570 0.7998 0.6396 0.6538 0.5596 1

-0.9 -0.4 1.4 0.9808 0.9932 0.9277 0.9630 0.9472 0.7684 0.5948 0.9692 0.1044 0.9998

-0.9 -0.8 1.4 0.9633 0.9792 0.9325 0.9556 0.8594 0.4474 0.2632 0.9996 0.0656 0.9998

117



0 0 0.6 1 1 0.9412 1 1 0.8804 0.8300 1 0.0362 0.8720

0.3 0 0.6 1 1 0.8842 0.9499 1 0.8716 0.8150 1 0.0354 0.8736

0.6 0 0.6 1 1 0.8906 0.9010 0.9982 0.8478 0.7480 0.6726 0.0266 0.8756

0.9 0 0.6 0.9648 0.9739 0.9342 0.9834 0.9376 0.2846 0.2372 0 0.0022 0.9256

-0.3 0 0.6 1 1 0.9450 1 1 0.8758 0.8396 1 0.0396 0.8712

-0.6 0 0.6 1 1 0.9557 1 1 0.8600 0.8324 1 0.0424 0.8736

-0.9 0 0.6 1 1 0.9424 1 1 0.7760 0.8272 1 0.0636 0.8612

0 0.4 0.6 1 1 0.6282 0.6812 1 0.8708 0.8354 1 0.0342 0.8678

0 0.8 0.6 1 1 0.4124 0.4322 1 0.8680 0.8232 1 0.0288 0.8662

0 -0.4 0.6 1 1 0.9348 0.9815 0.9782 0.8764 0.8486 1 0.0388 0.8702

0 -0.8 0.6 1 1 0.9584 1 0.9828 0.8552 0.9748 1 0.0440 0.8012

0.3 0.4 0.6 0.9650 1 0.8576 0.8983 1 0.8672 0.8038 1 0.0304 0.8756

0.3 0.8 0.6 0.9331 1 0.9432 0.9875 1 0.8760 0.8168 0.8982 0.0244 0.8694

0.3 -0.4 0.6 0.9689 1 0.9419 0.9436 0.9818 0.8770 0.8436 1 0.0408 0.8658

0.3 -0.8 0.6 0.9838 1 0.9316 0.9554 0.7728 0.9196 0.9740 1 0.0388 0.8370

0.6 0.4 0.6 0.9885 1 0.9358 0.9629 0.9982 0.8430 0.7352 0.0008 0.0222 0.8620

0.6 0.8 0.6 0.9669 1 0.9436 0.9563 0.9980 0.8368 0.7480 0 0.0246 0.8732

0.6 -0.4 0.6 1 1 0.9498 0.9677 0.9326 0.8494 0.7860 0.9986 0.0318 0.8746

0.6 -0.8 0.6 0.9574 1 0.9406 0.9691 0.8564 0.9338 0.9546 1 0.0430 0.8480

0.9 0.4 0.6 0.9602 0.9624 0.9313 0.9464 0.9472 0.2824 0.2376 0.0030 0.0014 0.9266

0.9 0.8 0.6 0.9522 0.9756 0.9484 0.9630 0.9390 0.2686 0.2454 0.9996 0.0008 0.9298

0.9 -0.4 0.6 0.9566 0.9582 0.9292 0.9632 0.8672 0.2984 0.2366 0.8748 0.0016 0.9318

0.9 -0.8 0.6 1 1 0.9516 1 0.7048 0.5244 0.3720 0.9990 0.0268 0.9082

-0.3 0.4 0.6 1 1 0.9444 1 0.9990 0.8782 0.8304 1 0.0356 0.8778

-0.3 0.8 0.6 1 1 0.6920 0.7388 0.9998 0.8704 0.8298 1 0.0360 0.8694

-0.3 -0.4 0.6 1 1 0.9321 0.9357 0.9876 0.8628 0.8472 1 0.0432 0.8652

-0.3 -0.8 0.6 1 1 0.9429 0.9430 0.9746 0.7312 0.9768 1 0.0430 0.6864

-0.6 0.4 0.6 0.9960 1 0.9567 0.9436 0.9998 0.8752 0.8312 1 0.0420 0.8712

-0.6 0.8 0.6 0.9927 1 0.9278 0.9694 0.9986 0.8642 0.8362 1 0.0394 0.8742

-0.6 -0.4 0.6 0.9731 1 0.9400 0.9352 0.9808 0.8130 0.8574 1 0.0388 0.8534

-0.6 -0.8 0.6 0.9600 1 0.9398 0.9702 0.9748 0.5372 0.9784 1 0.0400 0.3836

-0.9 0.4 0.6 1 1 0.9422 0.9594 1 0.8614 0.8350 1 0.0606 0.8698

-0.9 0.8 0.6 1 1 0.9446 0.9859 0.9996 0.8798 0.8310 1 0.0482 0.8664

-0.9 -0.4 0.6 1 1 0.9402 0.9691 0.9730 0.5640 0.8418 1 0.0616 0.5866

-0.9 -0.8 0.6 1 1 0.9462 0.9653 0.9984 0.2748 0.9392 1 0.0692 0.0932

118

CApendice:

Resultad

osdesimulacion



0 0 0.7 1 1 0.9482 1 1 0.6930 0.6512 1 0.0292 0.9398

0.3 0 0.7 1 1 0.3724 0.3734 1 0.6928 0.6366 0.9970 0.0254 0.9436

0.6 0 0.7 1 1 0.9296 0.9704 0.9720 0.6378 0.5478 0.0682 0.0170 0.9424

0.9 0 0.7 0.9860 0.9868 0.9408 0.9768 0.9680 0.1360 0.3448 0 0.0006 0.9734

-0.3 0 0.7 1 1 0.9686 1 1 0.7038 0.6812 1 0.0396 0.9416

-0.6 0 0.7 1 1 0.9592 0.9963 1 0.6908 0.6548 1 0.0336 0.9386

-0.9 0 0.7 1 1 0.9412 0.9820 1 0.6514 0.6568 1 0.0622 0.9476

0 0.4 0.7 1 1 0.3256 0.3120 1 0.6902 0.6466 1 0.0218 0.9484

0 0.8 0.7 1 1 0.8426 0.8664 1 0.6950 0.6950 1 0.0284 0.9490

0 -0.4 0.7 1 1 0.9378 0.9813 0.9902 0.7110 0.6780 1 0.0376 0.9472

0 -0.8 0.7 1 1 0.9334 1 0.9858 0.8050 0.9292 1 0.0438 0.9238

0.3 0.4 0.7 1 1 0.9338 0.9667 1 0.6994 0.6304 0.9938 0.0226 0.9400

0.3 0.8 0.7 1 1 0.9415 0.9823 1 0.6868 0.6326 0.0172 0.0224 0.9420

0.3 -0.4 0.7 0.9343 0.9854 0.8856 0.9230 0.9316 0.6998 0.6674 1 0.0330 0.930

0.3 -0.8 0.7 0.9475 1 0.9042 0.9398 0.9268 0.8408 0.9156 1 0.0422 0.9286

0.6 0.4 0.7 0.9730 0.9877 0.9538 0.9641 0.9762 0.6430 0.5498 0 0.0120 0.9438

0.6 0.8 0.7 0.9796 0.9998 0.9635 0.9504 0.9642 0.6334 0.5492 0.0090 0.0160 0.9414

0.6 -0.4 0.7 0.9974 1 0.9521 0.9996 0.9638 0.6662 0.5916 0.7388 0.0278 0.9372

0.6 -0.8 0.7 0.9851 1 0.7664 0.8392 0.7898 0.8364 0.8804 1 0.0404 0.9340

0.9 0.4 0.7 0.9822 0.9858 0.9479 0.9516 0.8320 0.1240 0.3618 0.4254 0.0014 0.9724

0.9 0.8 0.7 0.9760 0.9844 0.9401 0.9542 0.9442 0.1326 0.3490 1 0.0002 0.9672

0.9 -0.4 0.7 0.9728 0.9822 0.9396 0.9497 0.8066 0.1348 0.3272 0.9428 0.0018 0.9720

0.9 -0.8 0.7 0.9856 0.9886 0.9294 0.9488 0.7314 0.2802 0.2508 0.6638 0.0180 0.9612

-0.3 0.4 0.7 1 1 0.9414 0.9484 0.9656 0.6990 0.6621 1 0.0316 0.9394

-0.3 0.8 0.7 0.9918 1 0.9472 0.9326 1 0.6938 0.6396 1 0.0330 0.9434

-0.3 -0.4 0.7 1 1 0.8378 0.8322 0.9686 0.7070 0.6998 1 0.0418 0.9412

-0.3 -0.8 0.7 0.9942 1 0.9434 1 0.8920 0.7094 0.9198 1 0.0394 0.8962

-0.6 0.4 0.7 1 1 0.8646 0.8948 0.9994 0.6978 0.6518 1 0.0350 0.9308

-0.6 0.8 0.7 0.9951 1 0.9172 0.9407 0.9424 0.6840 0.6514 1 0.0308 0.9396

-0.6 -0.4 0.7 0.9962 1 0.9376 0.9862 0.9720 0.6642 0.6966 1 0.0406 0.9336

-0.6 -0.8 0.7 0.9956 1 0.9406 1 0.9586 0.5638 0.9258 1 0.0442 0.7560

-0.9 0.4 0.7 0.9971 1 0.7978 0.8390 1 0.6872 0.6712 0.9034 0.0662 0.9402

-0.9 0.8 0.7 1 1 0.8899 0.9446 0.9980 0.6924 0.6636 0.9994 0.0504 0.9468

-0.9 -0.4 0.7 1 1 0.9329 0.9782 0.9702 0.5202 0.6854 1 0.0656 0.8680

-0.9 -0.8 0.7 1 1 0.9508 0.9805 0.9918 0.3054 0.8914 1 0.0696 0.2080

119



0 0 0.8 0.8896 0.8721 0.8622 0.8678 0.8581 0.4380 0.4540 0.9960 0.0294 0.9744

0.3 0 0.8 0.7880 0.7938 0.3518 0.3514 0.7830 0.4298 0.4330 0.6910 0.0220 0.9776

0.6 0 0.8 0.7974 0.7906 0.6350 0.6810 0.7228 0.3832 0.3654 0.0004 0.0128 0.9770

0.9 0 0.8 0.7870 0.7972 0.6836 0.6978 0.6016 0.1318 0.5466 0.0104 0.0020 0.9884

-0.3 0 0.8 0.8796 0.8863 0.8490 0.8714 0.8894 0.4276 0.4628 1 0.0318 0.9738

-0.6 0 0.8 0.8498 0.8585 0.8309 0.8434 0.8808 0.4306 0.4752 1 0.0378 0.9738

-0.9 0 0.8 0.8504 0.8710 0.8175 0.8332 0.8764 0.4306 0.4646 1 0.0582 0.9778

0 0.4 0.8 0.8624 0.8796 0.5100 0.5090 0.8818 0.4324 0.4458 0.9988 0.0250 0.9758

0 0.8 0.8 0.8591 0.8708 0.8360 0.8498 0.8693 0.4302 0.4390 0.9362 0.0204 0.9748

0 -0.4 0.8 0.8211 0.8763 0.8478 0.8672 0.8064 0.4526 0.4852 1 0.0348 0.9738

0 -0.8 0.8 0.8246 0.8807 0.8304 0.8405 0.5226 0.6444 0.8156 1 0.0372 0.9716

0.3 0.4 0.8 0.8584 0.8736 0.8362 0.8555 0.8744 0.4230 0.4186 0.1472 0.0198 0.9818

0.3 0.8 0.8 0.8526 0.8577 0.8401 0.8488 0.8626 0.4406 0.4196 0 0.0164 0.9742

0.3 -0.4 0.8 0.8256 0.8408 0.8250 0.8486 0.7522 0.4490 0.4744 1 0.0296 0.9772

0.3 -0.8 0.8 0.8673 0.8915 0.8392 0.8518 0.5802 0.6562 0.7852 1 0.0434 0.9742

0.6 0.4 0.8 0.8304 0.8537 0.8204 0.8302 0.8728 0.3644 0.3580 0 0.0108 0.9748

0.6 0.8 0.8 0.8488 0.8768 0.8288 0.8322 0.8926 0.3710 0.3424 0.7666 0.0120 0.9732

0.6 -0.4 0.8 0.9064 0.8962 0.8094 0.8336 0.7160 0.3828 0.3898 0.0466 0.0204 0.9774

0.6 -0.8 0.8 0.8860 0.8994 0.8384 0.8906 0.6296 0.6136 0.7338 1 0.0390 0.9702

0.9 0.4 0.8 0.8151 0.8520 0.8120 0.8386 0.8678 0.1362 0.5542 0.9728 0.0026 0.9868

0.9 0.8 0.8 0.8373 0.8432 0.8299 0.8384 0.8580 0.1338 0.5368 1 0.0022 0.9908

0.9 -0.4 0.8 0.7191 0.7466 0.7098 0.7396 0.6124 0.1294 0.5056 0.6940 0.0020 0.9880

0.9 -0.8 0.8 0.8484 0.8904 0.8458 0.8382 0.3746 0.1294 0.2524 0.0204 0.0088 0.9836

-0.3 0.4 0.8 0.8607 0.8699 0.8430 0.8166 0.8484 0.4382 0.4522 0.9984 0.0256 0.9754

-0.3 0.8 0.8 0.8698 0.8882 0.3640 0.3692 0.8453 0.4338 0.4430 1 0.0262 0.9724

-0.3 -0.4 0.8 0.8359 0.8817 0.8010 0.8384 0.8965 0.4584 0.4778 1 0.0434 0.9722

-0.3 -0.8 0.8 0.8594 0.8781 0.8382 0.8491 0.7890 0.6150 0.8158 1 0.0404 0.9612

-0.6 0.4 0.8 0.9342 0.9892 0.9168 0.9258 0.9240 0.4224 0.4414 0.9390 0.0306 0.9748

-0.6 0.8 0.8 0.8896 0.8994 0.8004 0.8521 0.8316 0.4224 0.4372 1 0.0278 0.9786

-0.6 -0.4 0.8 0.9512 0.9773 0.8425 0.8386 0.9369 0.4464 0.4954 1 0.0420 0.9764

-0.6 -0.8 0.8 0.9095 0.9786 0.9002 0.9408 0.6342 0.5102 0.8168 1 0.0362 0.9378

-0.9 0.4 0.8 0.9376 0.9426 0.9094 0.9192 0.9876 0.4384 0.4568 0.0432 0.0518 0.9782

-0.9 0.8 0.8 0.8612 0.8728 0.8463 0.8528 0.8952 0.4382 0.4638 0.8054 0.0418 0.9790

-0.9 -0.4 0.8 0.8429 0.8506 0.8104 0.8346 0.8620 0.3818 0.4922 1 0.0648 0.9654

-0.9 -0.8 0.8 0.8345 0.8431 0.8265 0.8466 0.7888 0.3124 0.7920 1 0.0642 0.5406

120

CApendice:

Resultad

osdesimulacion



0 0 0.9 0.6890 0.6926 0.6204 0.6624 0.6822 0.2038 0.2912 0.4740 0.0254 0.9906

0.3 0 0.9 0.5834 0.5908 0.4502 0.4050 0.4812 0.1930 0.3066 0.0402 0.0214 0.9912

0.6 0 0.9 0.4540 0.4616 0.3722 0.3996 0.4080 0.1704 0.2444 0 0.0110 0.9916

0.9 0 0.9 0.4088 0.4198 0.3498 0.3980 0.3998 0.3256 0.7246 0.0198 0.0064 0.9970

-0.3 0 0.9 0.6602 0.6910 0.6512 0.6670 0.6814 0.2040 0.2950 0.8418 0.0324 0.9906

-0.6 0 0.9 0.6898 0.6973 0.6145 0.6426 0.7120 0.2082 0.3020 0.9552 0.0384 0.9914

-0.9 0 0.9 0.7592 0.7794 0.7331 0.7594 0.8016 0.2124 0.2870 0.9910 0.0566 0.9813

0 0.4 0.9 0.6856 0.6880 0.6124 0.6781 0.7120 0.2056 0.2920 0.4868 0.0222 0.9930

0 0.8 0.9 0.6870 0.6856 0.6386 0.6417 0.7264 0.2158 0.2884 0.0208 0.0200 0.9928

0 -0.4 0.9 0.7901 0.7964 0.7406 0.7640 0.7194 0.2116 0.3062 1 0.0358 0.9862

0 -0.8 0.9 0.7671 0.7844 0.7370 0.7787 0.2592 0.3926 0.6264 1 0.0362 0.9884

0.3 0.4 0.9 0.5784 0.5842 0.4873 0.5056 0.4532 0.1964 0.2792 0 0.0172 0.9214

0.3 0.8 0.9 0.5768 0.5786 0.4814 0.4990 0.5082 0.1972 0.2824 0 0.0152 0.9264

0.3 -0.4 0.9 0.6477 0.6922 0.6414 0.6676 0.4652 0.2090 0.2878 0.9480 0.0248 0.9232

0.3 -0.8 0.9 0.5856 0.5906 0.5120 0.5225 0.2602 0.4080 0.6096 1 0.0368 0.9922

0.6 0.4 0.9 0.5870 0.5568 0.4913 0.5147 0.5116 0.1746 0.2434 0.0186 0.0108 0.9910

0.6 0.8 0.9 0.4562 0.3681 0.3392 0.3315 0.4074 0.1746 0.2428 1 0.0116 0.9928

0.6 -0.4 0.9 0.4618 0.4634 0.4464 0.4412 0.3052 0.1888 0.2574 0.0046 0.0182 0.9910

0.6 -0.8 0.9 0.4599 0.4798 0.4552 0.4718 0.4670 0.3530 0.5284 1 0.0424 0.9894

0.9 0.4 0.9 0.3986 0.4050 0.3880 0.3927 0.4274 0.3216 0.6362 1 0.0074 0.9940

0.9 0.8 0.9 0.3984 0.3998 0.3856 0.3970 0.4508 0.3290 0.6346 1 0.0092 0.9952

0.9 -0.4 0.9 0.4854 0.4992 0.3990 0.4254 0.5246 0.2964 0.6010 0.0480 0.0076 0.9974

0.9 -0.8 0.9 0.4752 0.4972 0.4106 0.4236 0.5492 0.1548 0.3882 0.5100 0.0114 0.9968

-0.3 0.4 0.9 0.4806 0.4914 0.4428 0.4696 0.4170 0.2084 0.2916 0.6298 0.0220 0.9900

-0.3 0.8 0.9 0.4876 0.4912 0.4502 0.4760 0.6762 0.2090 0.2868 0.8702 0.0180 0.9920

-0.3 -0.4 0.9 0.4760 0.4964 0.4900 0.4993 0.3968 0.2164 0.3054 1 0.0410 0.9914

-0.3 -0.8 0.9 0.4754 0.4956 0.4358 0.4998 0.4114 0.3788 0.6294 1 0.0420 0.9878

-0.6 0.4 0.9 0.6752 0.6876 0.6480 0.6833 0.7734 0.1906 0.2972 0.1014 0.0318 0.9928

-0.6 0.8 0.9 0.5850 0.5888 0.5648 0.5886 0.7414 0.2094 0.2866 0.8892 0.0222 0.9894

-0.6 -0.4 0.9 0.4934 0.4978 0.4396 0.4793 0.4114 0.2052 0.3146 1 0.0388 0.9924

-0.6 -0.8 0.9 0.4705 0.4886 0.4394 0.4685 0.2426 0.3644 0.6352 1 0.0422 0.9846

-0.9 0.4 0.9 0.5892 0.5993 0.5354 0.5876 0.7826 0.2126 0.3114 0.7460 0.0616 0.9924

-0.9 0.8 0.9 0.6904 0.6908 0.6494 0.6698 0.7320 0.2038 0.2904 0.0538 0.0330 0.9908

-0.9 -0.4 0.9 0.6768 0.6998 0.6374 0.6858 0.4296 0.2116 0.3132 1 0.0610 0.9896

-0.9 -0.8 0.9 0.6323 0.6407 0.6408 0.6626 0.2640 0.2502 0.6320 1 0.0630 0.8674

121

Tamanos obtenidos por las pruebas para d = 1.0 y T = 1000


0 0 1.0 0.0596 0.0632 0.0527 0.0552 0.0515 0.2596 0.2166 0.0108 0.0370 0.9964

0.3 0 1.0 0.0572 0.0522 0.0588 0.0572 0.0540 0.2672 0.2420 0.0010 0.0270 0.9980

0.6 0 1.0 0.0716 0.0754 0.0849 0.0874 0.0782 0.2654 0.2576 0 0.0210 0.9966

0.9 0 1.0 0.0994 0.0904 0.1091 0.1058 0.1198 0.7248 0.8684 0.0066 0.0350 0.9980

-0.3 0 1.0 0.0590 0.0600 0.0640 0.0658 0.0543 0.2744 0.2380 0.0334 0.0356 0.9964

-0.6 0 1.0 0.0622 0.0660 0.0716 0.0724 0.0618 0.2684 0.2346 0.0770 0.0416 0.9956

-0.9 0 1.0 0.0748 0.0718 0.0741 0.0788 0.0778 0.2650 0.2400 0.1078 0.0612 0.9964

0 0.4 1.0 0.0418 0.0449 0.0506 0.0443 0.0542 0.2730 0.2304 0.0052 0.0266 0.9972

0 0.8 1.0 0.0668 0.0612 0.0782 0.0646 0.0594 0.2610 0.2288 0 0.0260 0.9954

0 -0.4 1.0 0.0603 0.0566 0.0612 0.0530 0.0736 0.2602 0.2288 0.0908 0.0322 0.9976

0 -0.8 1.0 0.0402 0.0316 0.0428 0.0406 0.0972 0.4142 0.4256 0.0649 0.0434 0.9956

0.3 0.4 1.0 0.0460 0.0447 0.0577 0.0516 0.0597 0.2602 0.2310 0 0.0288 0.9972

0.3 0.8 1.0 0.0496 0.0425 0.0556 0.0516 0.0365 0.2650 0.2294 0.0686 0.0240 0.9966

0.3 -0.4 1.0 0.0659 0.0662 0.0770 0.0774 0.1178 0.2736 0.2282 0.1178 0.0292 0.9972

0.3 -0.8 1.0 0.0581 0.0580 0.0828 0.0894 0.1220 0.3796 0.4038 0.0603 0.0420 0.9966

0.6 0.4 1.0 0.0637 0.0674 0.0755 0.0698 0.0533 0.2666 0.2588 0.0750 0.0232 0.9972

0.6 0.8 1.0 0.0862 0.0648 0.1521 0.1190 0.0680 0.2680 0.2616 0.0666 0.0230 0.9972

0.6 -0.4 1.0 0.0974 0.0943 0.1174 0.1172 0.0978 0.2680 0.2408 0.1516 0.0258 0.9968

0.6 -0.8 1.0 0.0310 0.0316 0.0998 0.0908 0.0882 0.3482 0.3372 0.4996 0.0372 0.9958

0.9 0.4 1.0 0.1686 0.1577 0.1996 0.1486 0.1610 0.7268 0.8676 1 0.0340 0.9986

0.9 0.8 1.0 0.1987 0.1788 0.1992 0.1956 0.1954 0.7216 0.8658 1 0.0356 0.9986

0.9 -0.4 1.0 0.1323 0.1378 0.1365 0.1444 0.1418 0.7028 0.8422 0.3150 0.0348 0.9980

0.9 -0.8 1.0 0.1081 0.1026 0.1124 0.1173 0.0880 0.4952 0.5848 0.9667 0.0308 0.9982

-0.3 0.4 1.0 0.0543 0.0507 0.0558 0.0523 0.0564 0.2734 0.2406 0.0170 0.0266 0.9968

-0.3 0.8 1.0 0.0576 0.0588 0.0601 0.0522 0.0570 0.2656 0.2266 0.0314 0.0264 0.9960

-0.3 -0.4 1.0 0.0603 0.0557 0.0591 0.0589 0.0552 0.2688 0.2280 0.0666 0.0374 0.9970

-0.3 -0.8 1.0 0.0518 0.0559 0.0574 0.0594 0.0537 0.3930 0.4410 0.0699 0.0422 0.9946

-0.6 0.4 1.0 0.1168 0.1158 0.1197 0.1138 0.0516 0.2660 0.2386 0.2326 0.0316 0.9954

-0.6 0.8 1.0 0.0720 0.0748 0.0885 0.0967 0.1036 0.2684 0.2386 0.0548 0.0286 0.9972

-0.6 -0.4 1.0 0.0782 0.0542 0.1008 0.1048 0.0558 0.2744 0.2288 0.0688 0.0414 0.9966

-0.6 -0.8 1.0 0.0627 0.0622 0.0790 0.0746 0.1058 0.3832 0.4268 0.0675 0.0418 0.9956

-0.9 0.4 1.0 0.1654 0.1554 0.1877 0.1808 0.1174 0.2604 0.2352 0.0060 0.0610 0.9982

-0.9 0.8 1.0 0.1190 0.1100 0.1195 0.1300 0.1062 0.2722 0.2260 0.2012 0.0380 0.9968

-0.9 -0.4 1.0 0.1340 0.1386 0.1367 0.1421 0.1434 0.2680 0.2426 0.0674 0.0642 0.9972

-0.9 -0.8 1.0 0.1304 0.1452 0.1376 0.1383 0.1608 0.3120 0.4374 0.0689 0.0608 0.9822

122

CApendice:

Resultad

osdesimulacion



0 0 1.1 0.6708 0.6684 0.6180 0.6826 0.7690 0.1930 0.2546 0.1108 0.0556 0.9386

0.3 0 1.1 0.5638 0.5790 0.4362 0.4952 0.4334 0.2290 0.3346 0.0248 0.0568 0.9286

0.6 0 1.1 0.4446 0.4886 0.3490 0.3992 0.2482 0.2620 0.3804 0.0014 0.0556 0.9192

0.9 0 1.1 0.4038 0.4992 0.3386 0.3958 0.3970 0.2316 0.2362 0.3174 0.1172 0.9596

-0.3 0 1.1 0.7804 0.7826 0.7674 0.7690 0.8372 0.2186 0.3138 0.7208 0.0570 0.9696

-0.6 0 1.1 0.8692 0.8662 0.8194 0.8348 0.8574 0.2078 0.3030 0.9154 0.0446 0.9792

-0.9 0 1.1 0.8335 0.8869 0.8379 0.8404 0.8653 0.2296 0.2976 0.9756 0.0614 0.9888

0 0.4 1.1 0.7720 0.8252 0.6382 0.6966 0.8788 0.2216 0.3140 0.0052 0.0526 0.9188

0 0.8 1.1 0.7748 0.8100 0.6982 0.7194 0.8550 0.2234 0.3122 0.0106 0.0574 0.9090

0 -0.4 1.1 0.7556 0.7628 0.6426 0.6980 0.3958 0.2074 0.2880 0.2012 0.0504 0.9980

0 -0.8 1.1 0.7247 0.7304 0.6984 0.7238 0.3486 0.1182 0.2908 1 0.9980 0.9792

0.3 0.4 1.1 0.5078 0.5086 0.3988 0.4450 0.4870 0.2158 0.3298 0.0130 0.0604 0.9592

0.3 0.8 1.1 0.4772 0.4808 0.4087 0.4499 0.4930 0.2282 0.3400 0.9024 0.0646 0.9278

0.3 -0.4 1.1 0.4656 0.5288 0.4180 0.4224 0.4160 0.2210 0.3058 0.1802 0.0530 0.9392

0.3 -0.8 1.1 0.4878 0.4987 0.4027 0.4425 0.4598 0.1210 0.2674 1 0.0408 0.9786

0.6 0.4 1.1 0.4762 0.5272 0.4124 0.4364 0.4428 0.2686 0.3862 0.9964 0.0602 0.9190

0.6 0.8 1.1 0.4719 0.4858 0.4198 0.4664 0.4383 0.2646 0.3852 1 0.0562 0.9090

0.6 -0.4 1.1 0.4666 0.4884 0.4520 0.4714 0.3856 0.2540 0.3680 0.3978 0.0618 0.9392

0.6 -0.8 1.1 0.5090 0.5430 0.4987 0.4876 0.4316 0.1198 0.2348 0.9066 0.0508 0.9492

0.9 0.4 1.1 0.6996 0.7062 0.5876 0.5920 0.7180 0.7268 0.7432 1 0.1194 0.9690

0.9 0.8 1.1 0.9170 0.9356 0.9042 0.9180 0.8932 0.8832 0.6436 1 0.1142 0.9996

0.9 -0.4 1.1 0.6990 0.7274 0.6132 0.6761 0.6802 0.6114 0.6362 0.9794 0.1200 1

0.9 -0.8 1.1 0.7994 0.7986 0.7214 0.7546 0.8006 0.6464 0.7616 0.9790 0.1010 0.9496

-0.3 0.4 1.1 0.6753 0.6806 0.6252 0.6498 0.7054 0.2236 0.3098 0.1136 0.0584 0.9494

-0.3 0.8 1.1 0.6378 0.6748 0.6255 0.6337 0.6716 0.2258 0.3106 0.0042 0.0572 0.9588

-0.3 -0.4 1.1 0.6802 0.6986 0.6346 0.6596 0.3968 0.2000 0.2874 0.9134 0.0424 0.9586

-0.3 -0.8 1.1 0.6856 0.6903 0.6284 0.6960 0.3430 0.1112 0.2742 1 0.0414 0.9588

-0.6 0.4 1.1 0.7658 0.7672 0.7071 0.7292 0.7404 0.2226 0.3182 0.9248 0.0580 0.9596

-0.6 0.8 1.1 0.7240 0.7684 0.6136 0.6922 0.7531 0.2188 0.3234 0.0314 0.0558 0.9994

-0.6 -0.4 1.1 0.7048 0.7400 0.6726 0.6869 0.4070 0.2098 0.2902 0.9994 0.0398 0.9896

-0.6 -0.8 1.1 0.7121 0.7350 0.6424 0.6998 0.3888 0.1216 0.2844 1 0.0428 0.9886

-0.9 0.4 1.1 0.6994 0.6984 0.5512 0.6183 0.7796 0.2242 0.3040 1 0.0602 0.9886

-0.9 0.8 1.1 0.6694 0.6970 0.6334 0.6370 0.7408 0.2194 0.3138 0.8586 0.0594 0.9794

-0.9 -0.4 1.1 0.6446 0.6964 0.6234 0.6998 0.5126 0.2020 0.2922 1 0.0628 0.9390

-0.9 -0.8 1.1 0.6192 0.6638 0.6206 0.6768 0.5256 0.1206 0.2688 1 0.0576 0.9590

123



0 0 1.2 0.7910 0.7882 0.7580 0.7888 0.8032 0.3872 0.3632 0.3240 0.1454 0.9298

0.3 0 1.2 0.6926 0.6934 0.6246 0.6886 0.6692 0.4844 0.5080 0.1020 0.1474 0.9837

0.6 0 1.2 0.6680 0.6834 0.6378 0.6604 0.6400 0.5226 0.5830 0.0220 0.1518 0.9725

0.9 0 1.2 0.6984 0.6888 0.6372 0.6830 0.6940 0.9364 0.9798 0.9772 0.2756 0.9896

-0.3 0 1.2 0.8940 0.8950 0.2396 0.2380 0.8996 0.4844 0.4814 0.9876 0.1286 0.9398

-0.6 0 1.2 0.9746 0.9948 0.8940 0.9602 1 0.4606 0.4758 1 0.1088 0.9494

-0.9 0 1.2 0.9728 1 0.9514 0.9932 1 0.4834 0.4826 1 0.0670 0.9532

0 0.4 1.2 0.9406 0.9542 0.9332 0.9482 0.9459 0.4870 0.4948 0.0898 0.1568 1

0 0.8 1.2 0.9452 0.9622 0.9338 0.9512 1 0.4728 0.4940 0.2492 0.1602 1

0 -0.4 1.2 0.8684 0.8934 0.8502 0.8756 0.8892 0.4560 0.4598 0.5882 0.1302 0.8996

0 -0.8 1.2 0.8616 0.8772 0.8538 0.8366 0.7158 0.2558 0.2406 1 0.0496 0.9334

0.3 0.4 1.2 0.8662 0.8810 0.8137 0.8426 0.8622 0.4994 0.5166 0.2532 0.1468 0.9697

0.3 0.8 1.2 0.8464 0.8696 0.8252 0.8628 0.9090 0.4766 0.5096 0.9728 0.1574 0.9472

0.3 -0.4 1.2 0.9133 0.9736 0.9386 0.9500 0.9888 0.4684 0.4706 0.7832 0.1490 0.9451

0.3 -0.8 1.2 0.9256 0.9776 0.9288 0.9428 0.8604 0.2462 0.2336 0.9990 0.0660 0.9794

0.6 0.4 1.2 0.8572 0.8670 0.8334 0.8308 0.8750 0.5374 0.5704 0.9980 0.1646 0.9094

0.6 0.8 1.2 0.8684 0.8843 0.8325 0.8466 0.8904 0.5526 0.5842 1 0.1588 0.9192

0.6 -0.4 1.2 0.8768 0.8974 0.8218 0.8820 0.7964 0.5146 0.5430 0.3412 0.1456 0.9698

0.6 -0.8 1.2 0.8442 0.8540 0.7740 0.7830 0.6582 0.2996 0.2726 0.1192 0.1070 0.9718

0.9 0.4 1.2 0.8897 0.8968 0.8324 0.8736 0.8768 0.8364 0.9758 1 0.2836 0.9298

0.9 0.8 1.2 0.8796 0.8980 0.8398 0.8846 0.8802 0.8372 0.9808 1 0.2772 0.9298

0.9 -0.4 1.2 0.8868 0.8984 0.8518 0.8624 0.8568 0.8390 0.9786 0.9998 0.2622 1

0.9 -0.8 1.2 0.8972 0.8980 0.8622 0.8748 0.8964 0.8390 0.8744 0.8236 0.2252 0.9798

-0.3 0.4 1.2 0.8728 0.8866 0.8658 0.8684 0.8898 0.4840 0.4842 0.5068 0.1480 0.9190

-0.3 0.8 1.2 0.8718 0.8754 0.8606 0.8692 0.8992 0.4824 0.4790 0.1268 0.1486 0.9688

-0.3 -0.4 1.2 0.8878 0.8912 0.8680 0.8724 0.9078 0.4596 0.4420 0.2528 0.0878 0.9996

-0.3 -0.8 1.2 0.8740 0.8772 0.8398 0.8707 0.7088 0.2336 0.2402 1 0.0434 0.9794

-0.6 0.4 1.2 0.8745 0.8870 0.6806 0.6464 0.8154 0.4774 0.4886 0.9908 0.1390 0.9688

-0.6 0.8 1.2 0.8870 0.8962 0.8652 0.8754 0.8988 0.4602 0.4798 0.3322 0.1510 0.9496

-0.6 -0.4 1.2 0.8832 0.8910 0.8271 0.8450 0.9168 0.4638 0.4308 0.3734 0.0564 0.9896

-0.6 -0.8 1.2 0.8782 0.8788 0.8317 0.8394 0.6910 0.2330 0.2316 1 0.0436 0.9898

-0.9 0.4 1.2 0.8658 0.8668 0.8332 0.8470 0.8675 0.4760 0.4860 1 0.1226 0.9790

-0.9 0.8 1.2 0.8354 0.8364 0.8286 0.8214 0.8494 0.4840 0.4858 0.9676 0.1612 0.9198

-0.9 -0.4 1.2 0.8674 0.8791 0.8402 0.8542 0.9254 0.4490 0.4542 0.7736 0.0678 1

-0.9 -0.8 1.2 0.8784 0.8786 0.8138 0.8661 0.8820 0.2180 0.2376 1 0.0638 0.9098

124

CApendice:

Resultad

osdesimulacion



0 0 1.3 0.9861 0.9904 0.9244 0.9660 1 0.7472 0.6778 0.7290 0.3358 0.9631

0.3 0 1.3 0.9776 0.9872 0.9630 0.9758 1 0.7524 0.7058 0.2144 0.3404 0.9608

0.6 0 1.3 0.9692 0.9884 0.9272 0.9688 0.9866 0.7808 0.7612 0.0816 0.3326 0.9842

0.9 0 1.3 0.9622 0.9866 0.9356 0.9492 0.9958 0.9788 0.9928 1 0.4868 0.9821

-0.3 0 1.3 0.9886 1 0.9724 0.9806 1 0.7452 0.6748 0.9572 0.3344 0.9750

-0.6 0 1.3 0.9696 0.9798 0.6634 0.6794 1 0.7528 0.6730 0.9988 0.3076 0.9998

-0.9 0 1.3 0.9776 0.9763 0.9620 0.9878 1 0.7334 0.6728 1 0.1184 0.9998

0 0.4 1.3 0.9976 0.9998 0.9897 0.9924 1 0.7518 0.6940 0.2140 0.3276 0.9998

0 0.8 1.3 0.9662 0.9732 0.9636 0.9764 1 0.7486 0.6906 0.5040 0.3374 1

0 -0.4 1.3 0.9994 0.9996 0.8694 0.8718 0.9992 0.7436 0.6402 0.9382 0.3084 1

0 -0.8 1.3 0.9488 0.9986 0.9316 0.9578 0.9812 0.5128 0.3366 0.9992 0.0782 0.9998

0.3 0.4 1.3 0.9640 0.9876 0.9336 0.9754 0.9762 0.7534 0.6972 0.4800 0.3348 0.9998

0.3 0.8 1.3 0.9470 0.9691 0.9222 0.9534 0.9726 0.7668 0.6966 0.9502 0.3254 0.9998

0.3 -0.4 1.3 0.9978 0.9964 0.9632 0.9864 0.9226 0.7410 0.6754 0.8268 0.3200 0.9998

0.3 -0.8 1.3 0.9586 0.9624 0.9214 0.9644 0.7398 0.5338 0.3448 0.7912 0.1340 0.9998

0.6 0.4 1.3 0.9852 0.9992 0.9710 0.9968 0.9990 0.7864 0.7664 0.9996 0.3464 0.9998

0.6 0.8 1.3 0.9699 0.9810 0.9718 0.9866 0.9994 0.7734 0.7744 1 0.3418 0.9998

0.6 -0.4 1.3 0.9676 0.9846 0.9486 0.9622 0.8782 0.7708 0.7416 0.2824 0.3414 1

0.6 -0.8 1.3 0.9830 0.9986 0.9290 0.9440 0.7608 0.5652 0.4168 0.2710 0.2516 0.9998

0.9 0.4 1.3 0.9508 0.9870 0.9690 0.9728 0.9932 0.9852 0.9920 1 0.4866 0.9998

0.9 0.8 1.3 0.9836 0.9878 0.9726 0.9832 0.9998 0.9816 0.9924 1 0.4876 0.9998

0.9 -0.4 1.3 0.9858 0.9942 0.9686 0.9782 0.9693 0.9828 0.9910 0.9844 0.4754 1

0.9 -0.8 1.3 0.9846 0.9938 0.9658 0.9742 0.9546 0.9452 0.9524 0.4974 0.4548 0.9998

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-0.9 -0.8 1.3 0.9528 0.9582 0.9392 0.9458 0.8792 0.4852 0.3170 1 0.0660 1

125



0 0 1.4 0.9568 0.9714 0.9344 0.9360 1 0.9082 0.8378 0.6964 0.5422 1

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Prueba de hip´otesis sobre la existencia de una ra´ız ... · Prueba de hip´otesis sobre la existencia de una ra´ız fraccional en una serie de tiempo no estacionaria Diego Fernando