proposamen, matematikarako gaitasuna lantzekoMATEMATICAS... · Proiektu honetan, zenbait proposamen, iradokizun eta jarduera bildu ditugu, matematika- ... ariketak; ikasleak zenbaki-sistemen

Fotokopiatzeko fitxak

Ariketategiak

Ikaskuntza eraginkorra izateko estrategiak

Iradokizun didaktikoak

100proposamen, matematikarako gaitasuna lantzekoZenbakiak, zenbakien arteko oinarrizko

eragiketak, sinboloak eta informazioa

sortzeko zein interpretatzeko moduak

erabiltzeko trebetasuna, errealitateko

alderdi kuantitatiboei eta espazialei

buruz gehiago jakiteko, eta eguneroko

bizitzarekin eta lanarekin lotutako

problemak ebazteko.

189069 _ 0001-0039.indd 1 16/4/09 10:40:19

© 2009 by Zubia Editoriala, S. L. / Santillana Educación, S. L.Legizamon poligonoaGipuzkoa kalea, 3148450 Etxebarri (Bizkaia)Inprimatzailea

EK: 189069Lege-gordailua:

Lan hau egile-eskubideei buruzko legeek babestuta dago eta Zubia-Santillanari dagokio haren jabetza intelektuala. Legezko erabiltzaileei ikasgelan erabiltzeko fotokopiak egitea bakarrik zaie zilegi. Debekatuta dago baimendutakoez bestera erabiltzea, batez ere merkataritza-helburuekin erabiltzen bada.

100 proposamen Matematikako gaitasuna lantzeko

liburua Gaitasunak izeneko proiektuaren barruan dago,

eta Zubia Editoriala, S. L.ren eta Santillana Educación, S. L.ren

Lehen Hezkuntzako Sailean Joseba Santxo Uriarteren eta Enric Juan Redalen

zuzendaritzapean sortu, taxutu eta gauzaturiko talde-lana da.

Proiektu honetan egile-talde honek esku hartu du:

Casilda Bárcena, Fernando J. Cortiguera, Malena Fuentes, Daniel Gabarró, Javier López,

Juan Ignacio Medina, Elena O´Callaghan, Maite López-Sáez, Inmaculada Díaz, Ana María

Rodríguez, Adela Rodríguez eta Martín Varela.

Hizkuntza-egokitzapena: Josu Garate

Programa bereziak: Daniel Gabarró Berbegal eta Javier López Apesteguía

Proiektua eta edizioa: Ainhoa Basterretxea eta José Luis Alzu

Diseinua eta maketazioa: ARTI*MAGOS (Malena F. Alzu), Maitane Barrena

eta Miren Pellejero

Irudiak: ARTI*MAGOS (Esther Pérez-Cuadrado) eta Esther Lecina

Zuzenketa: Amaia Lasheras

189069 _ 0001-0039.indd 2 16/4/09 10:40:19

Aurkezpena100 proposamen, matematikako gaitasuna lantzeko

Proiektu honetan, zenbait proposamen, iradokizun eta jarduera bildu ditugu, matematika-rako gaitasuna hobetzeko. Proposamen horiek irakaskuntza-ikaskuntza prozesuaren barruan daude, eta bi dimentsio dituzte: osagarriak dira, eta alternatiboak.

Osagarriak dira, irakaslearen ohiko jardueraz gain eta ikasliburuek eta gainerako didaktika-materialek eskaintzen dituzten baliabideez gain, ziklo honetako eskola-helburuetara hurbil-tzeko beste modu bat dakartelako: hain zuzen, ezagutzak eguneroko bizitzako egoeretan eta testuinguruetan aplikatzeko helburua dute.

Alternatiboak dira, proposamen multzo horretako jarduerei, curriculumeko helburuak lortzen laguntzeko prestatuta badaude ere, beste ikuspuntu batetik heltzen zaielako; irakasteko eta ikasteko beste modu bat da.

100 proposamenen lekua didaktika-prozesuaren barruan

Irakasleak –esperientzia baitu eta ikasgaia nahiz ikasleen ezaugarriak baitakizki– beste mota bateko baliabideak erabili nahi dituenerako eskaintzen da 100 proposamen, matematikarako gaitasuna lantzeko izeneko materiala. Batzuetan, atzeratuta doazen ikasleak oinarrizko helburuetara hurbiltzeko balio dezakete proposamenek; beste batzuetan, ikaskuntzak finkatzeko, jarduerak eguneroko bizitzarekin lotuz; eta beste batzuetan, eskola ematen hasteko edo amai tzeko jarduera labur baina interesgarriak egiteko erabil daitezke, bai irakaslea bai ikasleak helburua osoki lortu dela ohar daitezen.

Proposamenen nondik norakoak

Matematikarako gaitasuna lantzeko 100 proposamenak 100 fitxa independente dira. Diseinatutako lau ereduetako bati dagokio fitxa bakoitza: hiru irakasleentzat eta bat ikasleentzat. Hauek dira proposamen motak:

1. Iradokizunen proposamena (I). Ideia praktikoen multzo bat da, irakasleek ikuspuntu jakin bat har dezaten ikasgaia edo ikasgaiari dagokion programa bat lantzeko, ikaskuntza era-ginkorra izan dadin. Zenbait teknika proposatzen dira, zenbakien zenbait erabilera ulertzeko, problemak ebazteko estrategiak aurkitzeko, eta geometriari zentzu sortzailea, dibertigarria eta erabilgarria emateko.

189069 _ 0001-0039.indd 3 16/4/09 10:40:19

2. Ereduen proposamena (E). Ereduen proposamena lanerako estrategia edo trikimailu bat da; ikasleentzat prestatu da, baina irakasleei eskaintzen zaie, ikasgelan beren azalpenen bidez lantzeko.

3. Irakaslearentzako ariketa-proposamena (IR). Irakaslearentzako fitxa bat da; zenbait ari-keta monografiko aurkezten dira, irakasleari egoki iruditzen zaionean ikasleei banatzeko edo diktatzeko.

4. Ikasleentzako ariketen proposamena (IK). Ariketa horiek fotokopiatzeko fitxak dira, eta ikasleei banatuko zaizkie, problemak ebazteko eta ariketak edo jarduerak egiteko. Fitxa horiek identifikatzeko, hondo zuria duen zerrenda bat ipini zaie, fitxaren zenbakiaren on doan IK letrak dituena.

Irakasleek irakasleentzat

Matematikarako gaitasuna hobetzeko 100 proposamenak Lehen Hezkuntzan eskolak ema-ten urte asko daramatzaten irakasleek idatzi dituzte. Estrategiak eta trikimailuak aplikatu, eta emaitza onenak eman dizkietenak aukeratu dituzte.

Proposamenen edukia eta antolaketa

Proposamen guztiak Lehen Hezkuntzako bigarren eta hirugarren zikloetako curriculumeko edukiei buruzkoak dira. Atal bakoitzaren hasieran, dagokion oinarrizko gaitasuna aurkezten da izenburuarekin batera, curriculum ofizialaren ebaluazio-irizpideetatik aterata. Idatzi horre-tan, bigarren ziklorako adierazitako helburuei hirugarren zikloak erantsitakoak nabar-menduta ageri dira. Ondoren, atal horretako proposamenen aurkibidea aurkezten da, fitxa mota ere adierazten dela. Hona hemen irakasgai honetako atalak:

I. Zenbakiak eta eragiketak. Zenbaki-sistemak.

II. Zenbakiak eta eragiketak. Zenbakizko kalkulua.

III. Zenbakiak eta eragiketak. Problemak ebaztea.

IV. Geometria. Kokapena espazioan.

V. Geometria. Irudi geometrikoak.

VI. Neurria: iritzira kalkulatzea eta kalkulatzea.

VII. Informazioa tratatzea, zoria eta probabilitatea.

VIII. Zehar-gaitasunak.

Proposamen guztiak curriculumarekin lotuta dauden arren, asmoa ez da liburu paralelo bat egitea, ez eta ebaluazio-koaderno bat ere. Programa bakoitzeko funtsezko edukiak aukeratu dira, eta tresnekin zerikusia duten alderdi batzuei eman zaie garrantzi handiena; irakasleen ustez ikasle guztiek behar bezala ulertu ezin dituzten alderdiei, hain zuzen ere.

189069 _ 0001-0039.indd 4 3/4/09 13:56:13

Aurkibidea

1. Zenbakien historia (IR).

2. Zenbakirik gabeko mundua? (IK).

3. Zenbakiak egiten (E).

4. Dagokion lekuan (IK).

5. Zatikien lehiaketa (E).

6. Zenbaki handiak (IK).

7. Diktaketari jarraituz zenbakiak idazteko trikimailua (IK).

8. Binaka zenbatzeko trikimailuak (E).

9. Hamartarrak eta zatikiak (IK).

10. Alderatzen (IK).

11. Erromatar hauek! (IK).

12. Prezioak biribiltzen (E).

13. Zenbaki bitxiak (IK).

14. Zenbakien SUPERTESTa (IK).

I. ZENBAKIAK ETA ERAGIKETAK.ZENBAKI-SISTEMAK

Oinarrizko gaitasunak1. Ikasketa-prozesua amaitutakoan, ikaslea gai da eguneroko bizitzako testuingurue-

tan sei zifrarainoko zenbakiak irakurtzeko eta idazteko, zifra bakoitzaren posizio-balioa interpretatzeko, eta zenbakiak zifren posizio-balioa kontuan hartuta alderatzeko eta ordenatzeko, bai eta zenbakizko zuzenean alderatzeko eta ordenatzeko ere.

...ikaslea gai izango da zenbait zenbaki mota (arruntak, zatikiak eta hamartarrak, ehu-nenak arte) irakurtzeko, idazteko eta ordenatzeko, arrazoiketa egokien bidez.

189069 _ 0001-0039.indd 5 3/4/09 13:56:13

Beharbada, zure ikasleek jakingo dute fitxa honetan ageri den historiaren bat. Hala ere, interesgarria iruditzen zaigu fitxa honetan kanti-tateak zenbatzeko eta adierazteko zenbait modu biltzea, eta balio didaktiko handia ematea.

Eman ikasleei informazio historiko hauen berri, enfasi handia jarriz. Ondoren, jarri adibi-deak arbelean eta egin ikasitakoa aplikatzeko ariketak; ikasleak zenbaki-sistemen bilakaeraz eta egun erabiltzen dugun sistemaren abantailez jabe daitezen.

Historiaurrean

Duela 20.000 urte baino gehiago, gizakiek maskorrak erabiltzen zituzten ehizatutako ani-maliak zenbatzeko: maskor bakoitzak hildako animalia bat adierazten zuen. Hezurrei koskak ere egiten zizkieten: koska bat hildako animalia bakoitzeko.

Hispanoamerikan

Inkek, XVI. mendera arte, korapiloak egiten zituzten «quipus» izeneko koloretako zenbait zintatan. Korapilo kopuruak eta haien posizioek kantitateak adierazten zituzten.

Beste kultura batzuetan

Beste kultura batzuek giza gorputzean oinarritutako zenbaki-sistema erabiltzen zuten. Eskuetako eta oinetako hatzek, ukondoek, belaunek, sorbaldak... zenbait kantitate adierazten zituzten.

Egiptoarrak

Duela 5.000 urte, egiptoarrek idazketa asmatu zuten eta zenbait zeinu erabili zituzten zenba-kiak adierazteko:

Batekoa = Hamarrekoa =

Ehunekoa = Milakoa = etab.

Egiptoarrek, zenbakiak irakurtzeko, zeinu guz-tien balioak batzen zituzten. Adibidez:

(3 X 1.000) + (2 X 100) + 10 + 3 = 3.213

Erromatarrak

Erromatarrek erabilitako zenbaki-sistema gaur egunera arte iritsi da.

Zenbait letra erabiltzen zituzten:

I = 1 V= 5 X = 10 L = 50

C = 100 D = 500 M = 1.000

MDCCCLII = 1.852

Gaur egun

Egun, sistema hamarta-rrean oinarritutako zen-bakiak eta arabiar zifrak erabil tzen ditugu. Idazkera hori XVI. mendearen ondo-ren iritsi zen gugana.

= 31

Zenbaki-sistemak aipatzea

IRZenbakien historia 1

ZE

NB

AK

I-

SI

ST

EM

AK

189069 _ 0001-0039.indd 6 3/4/09 13:56:13

Irakurri testua eta erantzun.

Egunean hiru ordu aurrezteko aukera ematen duen makina

Azaroaren l7an, Asmakizunen III. Aretoa ireki zen. Lehen saria hiru anaiak irabazi zuten, Duchalav asmakizuna aurkeztuta. Makina hori erdi dutxa eta erdi garbigailua da: arropa eta pertsonak garbitzen ditu hamar minutuan.

Duchalav makinak bi kabina ditu elkarri lotuta. Lehenengo kabinak xaboia eman eta kentzen du. Bigarrenak, berriz, lehortze- eta lisatze-lana egiten du.

Beraz, pertsona bat dutxatuta eta arropa garbituta, lehortuta eta lisatuta daukala irten daiteke makinatik. Eragozpen bakarra makinaren neurria da, hiru metro baino gehiago baita luze eta bi metro altu.

Anaiek 750 €-ko txeke bat irabazi zuten, eta lau epetan jasoko dute.

Inguratu zenbakiei eta kantitateei buruzko 10 hitz gutxienez.

Idatzi testuko zenbaki hauek:

a) Bi zenbaki ordinal. ›

b) Denbora-neurria adierazten duten bi zenbaki. ›

c) Espazio-neurria adierazten duten bi zenbaki. ›

d) Dirua adierazten duen zenbaki bat. ›

e) Marrazkian ageri diren bi zenbaki. ›

Irakurri berriz testua ozen, zenbakirik irakurri gabe. Ulertzen al da?

Moztu albiste bat egunkari batetik eta saiatu albistea zenbakirik aipatu gabe kontatzen.

5

4

3

2

1

Zenbakien zenbait erabilera

IK Zenbakirik gabeko mundua?2

Izena:

Data:

ZE

NB

AK

I-

SI

ST

EM

AK

1.a

189069 _ 0001-0039.indd 7 3/4/09 13:56:14

Zatiki baten gaiak identifikatzea eta eragiketetan zer esanahi duten jakitea

ZE

NB

AK

I-

SI

ST

EM

AK

EZatikien lehiaketa 5

A taularen eredua

B taularen eredua

= 4

3+ 4

1

Lehiaketa gisa planteatutako ariketa honen helburua ikasleek zatikien gaien esanahia ulertzea da. Horretarako, adierazpen grafikoak era-biliko ditugu.

Lehenik eta behin, dadoetan ageri diren zen-bakiak erabiliko ditugu; beraz, 6 zenbakia izan-go da handiena. Hala eta guztiz ere, jokoa nahi adina korapila daiteke, zenbaki handiagoak erabiliz.

Jokalariak: bi jokalari; bata bestearen aurka.Materiala: dado bat eta orrialde honen beheko

aldean ageri diren A eta B taulak. Ikasle bakoitzak koadernoan marraztu behar ditu taulak.

Arauak: 1. Jokalari batek dadoa jaurti behar du. Emaitza

zatikiaren izendatzailea izango da. Dadoa berri-ro jaurti behar du eta emaitza zatikiaren zenba-kitzailea izango da:

2. Idatzi zatikia A taulan.

3. Ondoren, adierazi zatikia B taulan, honela: laukien inguruak nabarmendu behar dira, izenda- tzaileak adierazitako kopurua (4) adina laukirena, eta, horietatik, zenbakitzaileak adierazitako kopu-rua (3) margotu. Lauki zuri bat geratuko da.

4. Dadoak jaurtitzean lortutako zatikia bat baino handiagoa bada, zenbakitzailearen kopu-rua adierazteko behar adina unitate adierazi behar dira. Adibidea: 6/2.

5. Zatikiak adierazi ondoren, B taulan geratu diren lauki zuriak margotzeko, dadoa bi aldiz jaurti eta behar dugun zatikia ateratzea lortu behar da:

6. Ondoren, aurkariaren txanda da. Jokalari batek taula osatu eta lauki zuririk uzten ez due-nean amaitzen da jokoa. Jokalari batek dadoa bi aldiz jaurti eta lortzen ez badu lauki zuriak osa tzeko behar duen zatikia, aurkariari emango zaio txanda.

43

1. txanda

43

1. txanda 2. txanda 3. txanda 4. txanda 5. txanda 6. txanda

= 4

189069 _ 0001-0039.indd 8 3/4/09 13:56:14

Zenbakiak alderatzea eta zenbakizko zuzenean idaztea

IK

Frogatu badakizula zein diren zenbaki hamartarrak eta zatikiak. Egin ariketa hauek:

Idatzi zenbakiak zenbaki hamartar gisa eta adierazi zer kokapen duten zenbakizko zuzenean.

1

Izena:

Data:

ZE

NB

AK

I-

SI

ST

EM

AK

Hamartarrak eta zatikiak 9

Idatzi dagozkion zenbaki hamartarrak.

Idatzi zatikiak eta kokatu zenbakizko zuzenean. Lehendabizi, idatzi zatiki bakoitzaren adierazpen hamartarra.

3

2

bi eta hamarren bat

0 1 2 3

2’1

32

hamarren bat zortzi hamarren hiru eta hiru hamarren

0 1 2 3

hiru erdi sei hamabiren zazpi hamarren sei heren

= 1,5 = = =

0 1 2 3

1 , 5

189069 _ 0001-0039.indd 9 3/4/09 13:56:14

II.ZENBAKIAK ETA ERAGIKETAK.ZENBAKIZKO KALKULUA

Aurkibidea

15. Kalkuluaren txokoa (I).

16. Marrazki misteriotsua (IK).

17. Kalkulu-abiadura (IK).

18. Fakturak berreskuratzen (IK).

19. Hurbilketak (IK).

20. Pinen jolasa (IK).

21. Kenduren proba (IK).

22. Ez nahasteko (IK).

23. Kalkuluen istorioak (IR).

24. Iritzirako kalkulu zentzudunak (IK).

25. Zatikiak alderatzen (IK).

26. Uztaien jolasa (IK).

27. Kalkulu zailak (IR).

28. Buruzko kalkuluen lehiaketak (IR).

29. Berreketak eta erroketak (IK).

30. Abiadura kalkuluak egitean (IK).

31. Kalkuluak hamartarrekin (IK).

32. Kalkuluaren SUPERTESTa (IK).

Oinarrizko gaitasunak2. Ikasketa-prozesua amaitutakoan, ikaslea gai izango da zatikiekin eta ehuneko erra-

zekin zenbakizko kalkuluak egiteko, eguneroko bizitzako testuinguruetako informazioa interpretatzeko eta trukatzeko, zenbaki-sistema hamartarrari buruz dakiena eta eragiketen propietateak inplizituki adierazten dituzten prozedurak erabiliz.

…buruzko kalkuluko estrategia pertsonalak erabiltzeko gai da, batuketen, kenketen, biderketen eta zatiketen eragiketa konbinatuak egiteko, bai eta erabileraren abantailak kontuan hartzeko ere, egin beharreko kalkuluen arabera.

189069 _ 0001-0039.indd 10 3/4/09 13:56:14

ZE

NB

AK

IZ

KO

K

AL

KU

LU

A

IKalkuluaren txokoa15

Kalkuluari buruzko eskola

Kalkulua eta matematikarako gaitasuna

Guztiok nahi dugu gure ikasleek gaitasun han-dia lortzea matematikaren alorrean. Eta horrek esan nahi du behar bezalako ezagutzak izan behar dituztela zenbaki-sistemari buruz eta oina-rrizko kalkulu-tresnei buruz eguneroko bizitza-ko egoeretan segurtasunez moldatzeko.

Beraz, ikasleek gai izan behar dute matema-tikoki adierazitako zenbait egoera –erosketak, neurriak, aurrezkiak, ordenatzea, eta abar– ulertzeko, bai eta aurkeztutako problemak ebazteko ere.

Horrela planteatuta, logika matematikoa eta problemak ebazteko estrategiak lehentasunezko helburu bihurtzen dira. Hala ere, horrek ez gaitu urruntzen helburu tradizional eta konbentzio-naletik: kalkulua behar bezala egiten jakitetik, hain zuzen. Aurreko zikloan azaldu ziren kal-kuluaren oinarrizko lau eragiketak: batuketa, kenketa, biderketa eta zatiketa. Gainera, eragi-keta horiek landu ere egin ziren. Ziklo honetan, ezagutza-maila osatu behar dugu, eta, batik bat, ikasitakoa finkatu eta ahalmena, segurtasuna eta erabilgarritasuna eman. Ikasketa eta entre-namendua eraginkorrak izan daitezen saiatuko gara, eta, horretarako, aintzat hartu behar ditugu zenbait eskakizun.

a) Zenbakiak behar bezala idaztea. Oraindik garaiz gaude, idatzizko kalkuluari buruzko alder-di formalekin lotuta dagoen guztia bidera tzeko eta zuzentzeko: Eragiketetan zenbaki bakoitza behar bezala idaztea, nahasmendurik ez izateko, eta zenbakien zifrak dagokien lekuan idaztea, kasu batzuetan bertikaltasuna bermatuz, eta beste batzuetan, horizontaltasuna. Sarritan, era-

giketetako akatsak zenbakiak behar bezala ez idazteagatik sortzen dira.

b) Emaitzen zehaztasuna. Ikasleei behin eta berriz esaten diegu ahalegin handia egin behar dutela zehaztasunez aritzeko ariketak hala eska- tzen duenean; eragiketa errepikatu egin behar dela, proba egin, zuzendu eta abar. Gainera, bide batez, lanean arduraz aritzea ari gara finka- tzen.

c) Iritzirako kalkuluak eta kalkulu hurbil-duak. Sarritan, ez zaigu emaitza zehatza inte-resatzen, iritzirako kalkuluaren emaitza edo emai tza orokorra baizik. Kalkulatzeko modu horri duen garrantzia ematen diogu. Iritzirako kalkuluak egiteko, matematika-sena behar da, antizipazio logikoa eta, batik bat, egoera eta problema behar bezala ulertzea. Kalkulu meka-nikoari eta zehatzari garrantzia ematen diogun arren, ikaskuntza esanguratsuko aukera eder hori baliatu nahi dugu.

d) Ikasgelako dinamika. Kalkuluaren beraren izaera dela-eta (oroimenezko alderdiak, pape- rean egiten den lana, buruzko kalkulua, azkar-tasuna, eta abar), matematikaren dimentsio hori egokia da talde-lanerako. Tradizionalki, mota guztietako lehiaketak, txapelketak eta norgehia-gokak egin dira ikasgelan, ikasketa segurua, azkarra eta eraginkorra bermatzen dutelako.

Gaur egun aplikatzen diren didaktika-printzi-pioak ez dira bateraezinak kalkulu-mekanismo guztiak finkatzeko praktika horiekin. Segurutzat jotzen dugu kalkuluko prozeduraren eta estra-tegia pertsonalen arrazionalizazio-fase bat izan dela (zenbaki-sistema hamartarra kalkuluari apli-ka tzea, batuketak eta kenketak bururakoarekin, biderketak eta zatiketak egiteko prozedurak eta abar).

189069 _ 0001-0039.indd 11 3/4/09 13:56:14

Magnitudeak kalkulatzea, hurbilketa bidez

ZE

NB

AK

IZ

KO

K

AL

KU

LU

A

IKIzena:

Data:

Hurbilketak 19Sarritan, elkarrizketetan nahiz galdera bati erantzutean, zenbaki hurbildu bat adierazi behar izan duzu. Ondoren, informazioa bilatzen duzu, hurbilketa zuzena den aztertzeko.

Irakurri galderak eta aukeratu magnitude hurbildua. Ondoren, esan zergatik aukeratu duzun kopuru hori eta idatzi nola baiezta dezakezun.

1

• Espainiako ibairik luzeenak luzera hau du, gutxi gorabehera:

20.000 km 250 km 1.000 km

Luzera hori baiezta dezaket

• Borragoma baten gutxi gorabeherako pisua:

kilo laurdena hogei gramo lau gramo

Kopuru hori baiezta dezaket

• 15 kilo laranjaren gutxi gorabeherako prezioa:

20 € 6 € 150 € 90 €


• Jaioberri baten gutxi gorabeherako altuera:

metro bat metro erdia

hogei zentimetro bi metro


• Munduko mendirik altuenaren gutxi gorabeherako altuera:

25.000 m 700 m 10.000 m 30 m


? ?

189069 _ 0001-0039.indd 12 3/4/09 13:56:14

Batuketak, kenketak, biderketak eta zatiketak buruz kalkulatzea

ZE

NB

AK

IZ

KO

K

AL

KU

LU

A

IK Irudien jolasa20

Goiko marrazkiko irudi bakoitzak 1etik 9ra arteko balio bat du. Kalkulatu irudien balioak, ilara eta zutabe bakoitzeko balioen baturak kontuan hartuta.

Amaieran, idatzi ikur bakoitzaren balioa alboko taulan.

L ¬ z ¬ L

X X z X X

L ¥ z fl ‹

L w z w ‹

= 14

= 14

= 22

= 23

= 14

= 14

= 22

= 23

=====

6 22 8 25 12

=====

6 22 8 25 12

L = ¬ = z = X = ¥ = fl =

‹ = w = ¥ = ¬ + L

Izena:

Data:

189069 _ 0001-0039.indd 13 3/4/09 13:56:15

Kalkulu-eragiketen propietate bitxiak ikastea

IR

Egoki irizten diozunean, irakurri historia hauek zure gelako ikasleei edo eskatu ikasleei berei ozen irakurtzeko. Jarraian, egin galdera batzuk aurreko eskoletan ikasitakoa landu ahal izate-ko.

Lauki magikoak

Europan, orain dela urte asko, zinginarriak era biltzen ziren gaixotasunetatik babesteko.

Lauki bat grabaturik zeukan zilarrezko xafla oso zinginarri arrunta zen.

Laukian, 1etik 9ra arteko zenbakiak idazten ziren, ilara, zutabe eta diagonal guztietako zen-bakien batura bera zela.

Matematikan zenbakiak jartzeko erabiltzen diren modu batzuek oso propietate bitxiak dituzte.

Aipatu ditugun lauki horiei lauki magiko esa-ten zaie.

Fibonacci

Leonardo Pisanok –mundu osoan Fibonacci ezizenaz ezaguna– sistema hamartarreko zen-bakien arteko hainbat erlazio aurkitu zuen bere azterketetan. Matematikari hori orain dela 800 urte bizi izan zen.

Erlazio horietako ezagunenetako bat zenbaki se gi da hau da.

1, 2 , 3, 5, 8, 13, 21…

Segida horretako zenbaki bakoitza lortze-ko, aurreko biak batu behar dira. Segida horri Fibonacciren segida esaten zaio eta aplikazio asko ditu matematikan.

Biderketak hatzen bidez

Aspaldi, oso ezaguna zen 9 zenbakiaren bider-katzeko taula gogoratzeko trikimailu bat.

9 zenbakia bider 2 egin nahi badugu, bi es-kuak zabaldu behar ditugu ahurrak behera begi-ra jarrita, eta ezkerreko eskuko bigarren hatza tolestu, ezkerretik zenbatzen hasita. Horrela eginez, tolestutako hatzaren ezkerrean hatz bat izango dugu luzatuta, eta, eskuinean, hiru hatz gehi beste eskuko 5 hatzak. Guztira, 8. Hortaz, 9 x 2 = 18.

9 bider 4 egin nahi badugu, berriz, ezkerreko eskuko laugarren hatza tolestuko dugu. Horren ondorioz, hatz horren ezkerrean, 3 hatz izango ditugu luzatuta, eta, eskuinean, hatz bat gehi beste eskuko 5 hatzak. Hortaz, 9 x 4 = 36.

Kalkuluen historiak23

2.HATZA

ZE

NB

AK

IZ

KO

K

AL

KU

LU

A

189069 _ 0001-0039.indd 14 3/4/09 13:56:15

Biderketak buruz kalkulatzea

IK Kalkuluak azkar egiten30

Izena:

Data:

ZE

NB

AK

IZ

KO

K

AL

KU

LU

A

Osatu biderkatzeko taula hauek, ahalik azkarrena.

Osatu 5 pertsonako bi talde. Irakasleak letra bat eta zenbaki bat diktatuko dizkio A taldeari, eta taldeko kide bakoitzak ariketak ebatziko ditu. Ikasle batek akatsen bat eginez gero, B taldeari pasatuko zaio txanda. Gehien asmatzen duen taldeak irabaziko du.

Kalkulatu buruz biderketa eta zatiketa hauek.

• 90 x 10 = 900 • 300 x 20 = • 600 x 8 =

• 310 : 10 = 31 • 9. 000 : 30 = • 1.500 : 100 =

• 64 : 2 = • 666 : 3 = • 1.240 : 2 =

3

2

1

A (4 x 3) + 4 (3 x 8) - 6 9 x 9 (4 x 4) - 9 30 - (2 x 5)

B 7 x 5 (6 x 7) + 11 (6 x 4) - 4 (3 x 8) - 5 (8 x 8) - 9

C 5 x 9 (4 x 7) - 8 9 x 8 (5 x 7) - 20 (6 x 6) - 6

D (3 x 9) - 4 (3 x 9) + 3 (8 x 3) - 24 (7 x 73) + 9 (4 x 9) + 5

E 7 x 2 (3 x 3) - (4 x 4) 8 x 4 (9 x 3) - 17 3 x 6

F (9 x 2) + (2 x 5) (4 x 5) + (5 x 4) (80 x 10) + 100 (8 x 7) - 56 25 x 10

1 2 3 4 5

5 7 6

2 10 8 6

4 20 16 12

15 12

6 42

8 40 32 24

4 8 6 3

3 12 27

6 36

20 40 30 15

7 63

2 18

2 x = 10 3 x 4 = 12

189069 _ 0001-0039.indd 15 3/4/09 13:56:15

Aurkibidea

33. Erraza da problemak ebaztea (I). 34. Problemak azaltzeko trikimailua (E). 35. Ikasgelako kontuak (IK). 36. Kenketa-problemak azaltzeko trikimailua (E). 37. Aurrezkiak zenbatzen (IK). 38. Kiroldegiko baloiak (IR). 39. Irabazteko/galtzeko jolasak (IR). 40. Zenbat urte dituzu? (IR). 41. Kromoak eta kromoak (IR). 42. Problemak ebazteko txantiloia (IK). 43. Biderketa-problemei buruz arrazoitzeko trikimailua (E). 44. Biderketa-problemak (IK). 45. Zatiketa-problemak ebazteko trikimailua (E). 46. Datuaren bila (IK). 47. Jolas-parkeko gastuak (IR). 48. Beste zenbat aldiz? (IR). 49. Ibilaldiak bizikletaz (IR). 50. Bi eragiketako problemak arrazoitzea (E). 51. Problema zailagoak (E). 52. Kanpalekura goaz (IK). 53. Beste problema batzuk (IK). 54. Bi urratseko problemak ebazteko txantiloia (IR). 55. Problemak sortzen (IK). 56. Problema sorta (IR).

III.ZENBAKIAK ETA ERAGIKETAK.PROBLEMAK EBAZTEA

Oinarrizko gaitasunak3. Ikasketa-prozesua amaitutakoan, ikaslea gai da eguneroko bizitzako problemak ebazteko,

eta horretarako, estrategia pertsonalak erabili eta beharrezko eragiketak egiten ditu.…problema errazak ebazteko testuinguru batean, gai da zentzuzko ebazpen bat aurre-

ra tzeko eta ebazpen-prozesurako prozedura matematiko egokienak bilatzeko. Balioetsi estrategiak, eta ahalegindu datu eta ebazpen zehatzak bilatzen, problema adierazteko zein ebazteko.

189069 _ 0001-0039.indd 16 3/4/09 13:56:15

Problemak ebazteko estrategiak irakasteko eredua

PR

OB

LE

MA

K

EB

AZ

TE

A

I

Problemak matematikan

Dudarik gabe, matematikaren fun tsa proble-mak ebaztean datza. Izan ere, horixe da irakas-gaiaren muina. Horregatik, irakasleak eta esko-la-eskuliburuak formula eraginkorrak bilatzen saiatzen dira, matematikan aplikatzeko moduko estrategiak irakasteko.

Funtsezko planteamendua

Gaur egungo metodo guztiek Polya metodo klasikoa dute oinarritzat. Metodo horren bidez, ondoz ondoko urratsak ebazten dira, harik eta azken ebazpena lortu arte:

1. Problema ulertu.2. Ebazteko plana egin.3. Plana gauzatu.4. Egindakoa aztertu.

Baina Polyak berak ere ongi esan zuen bezala, urrats bakoitzean garapen bat behar da plana bide onetik joan dadin eta problema behar beza-la ebatz dezagun.

Proposamena ildo horri lotzen zaio eta es ke- ma bat proposatu nahi du, ebazpen-planerako aukeratutako zenbait eragiketa azaltzeko, arra-zoitzeko eta justifikatzeko.

Formula desberdina eta eraginkorra

Aurkezten ari garen proposamenean, proble-mak ebazteko erabiltzen den oinarrizko plan-teamenduan jartzen da arreta: enuntziatuko zer datu aukeratu eta nola lotu behar ditudan (batu-keta, kenketa, biderketa edo zatiketa eginez).

Datuak adierazteko, aurrerago deskribatuko ditugun oinarrizko lauki hauek erabiltzen dira:

Z Z G batuketa- eta kenketa-problemetan.

U E G biderketa- eta zatiketa-problemetan.

Lauki horien bidez, edozein problema azaltzeko eta ebazteko prozesua ikus eta egitura daiteke, denik eta zailena izanda ere.

Problemaren datuak

Gure proposamenaren oinarria hau da: pro-blema guztietan, hiru datu erabiltzen dira beti. Eta guk laukiaren bidez lotuko ditugu. Eragiketa bakarreko problemetan, hiru datuetatik bi jaki-ten ditugu eta hirugarrena lortzea es katzen digute. Bi urratseko problemetan, berriz, galdera egin eta datu bakarra ematen digute lehen urra- tsean. Horregatik, lehenik, datu hori lortu behar izaten dugu, eta, gainerako datuekin lotuz, pro-blema ebatzi.

Har dezagun problema bakun hau: Eiderrek 25 zentimo zituen eta beste 40 zentimo eman dizkiote. Zenbat zentimo ditu? Bi datu eman dizkigute: 25 eta 40, eta hirugarrena lortu behar dugu. Edo beste hau: Unaxek 25 kromo zituen. Mirenek 6 gutxiago ditu. Zenbat dituzte bien artean? Bien artean zenbat kromo dituzten jaki-teko, Mirenek zenbat kromo dituen jakin behar dugu lehenik, enuntziatuak ez baitu datu hori ematen. Mirenek zenbat kromo dituen dakigu-nean, ebazpena lortzeko behar diren datuak izango ditugu .

Ulertzea, abiapuntua

Proposatzen dugun estrategiarako, enuntziatua behar bezala irakurri eta ulertu beharra dago; bestela, ezinezkoa da ZZG ala UEG laukia auke-ratu behar dugun jakitea eta datuak kokatzea.

Metodoaren helburua da metodo hezigarri orok ezinbestean bete beharreko hiru baldintzak betetzea.

• Ikasleari ikasi beharreko estrategia jakina irakastea.• Ikasleei ikusaraztea

estrategia hori eraginkorra dela.• Ikasleak problema

ebazteko prozesua kontrolatzeko gai izan daitezen lortzea.

Erraza da problemak ebaztea 33

189069 _ 0001-0039.indd 17 16/4/09 10:40:21

Azaldu ikasleei nola ebazten diren kenke-ta-problemak ZZG estrategiaren bidez. Idatzi eskema arbelean, eta erakutsi ikasleei zer urratsi jarraitu behar dieten eta nola gauzatu behar dituzten.

Batuketetan bezala, lehenik eta behin, zenbaki txikiak landuko ditugu. Izan ere, helburua ez da ikasleek eragiketa konplexuak egitea, baizik eta problema nola ebatzi duten arrazoitzeko eta azaltzeko gai izatea. Hasierako urrats hori gain-ditzen duten ikasleek beren estrategia propioak bilatu ahal izango dituzte.

• 1. Batuketaren fitxan landu eta ebatzi-tako egoera hori bera hartuko dugu abia- puntu.

Aztergai dugun egoeran, guztizkoa (G = 202) eta bi zati ditugu (Z = 126 eta Z = 76):

G 202 petsona ibiltzen dira futbolean.

Z 126 mutilak dira.

Z 76 neskak dira.

• 2. Aurreko egoera kenketa-problema gisa planteatuko dugu. Enuntziatuan, G eta Z ageri dira, eta Z kalkulatu nahi dugu.

• Zer jakin nahi dugu?

Klubeko neska kopurua Z = ?

• Zer dakigu?

Klubeko jokalarien guztizkoa G = 202

Klubeko mutil kopurura Z = 126

• 3. Egoera adierazteko, datu bakoitza dagokion laukiari lotuko diogu:

Z

Z

G

126 ? 202

• 4. G eta Z dakizkigunez, eta ez Z, KEN-KETAREN bidez ebatziko dugu problema

G – Z = Z

• 5. Datuak idatzi, eta ebatzi egingo dugu.

Ebazpena: klubak 76 neska ditu.

ZZG estrategia irakasteko eredua, kenketa-problemak ebazteko

E Kenketa-problemak azaltzeko trikimailua36

Gure auzoan, futbolerako zaletasun han-dia dago. Klubak 202 jokalari ditu; haietatik, 126 mutilak dira, eta 76, neskak.

Auzoko nesken artean handitu egin da futbo lerako zaletasuna. Denboraldi honetan, 202 jokalarietatik, 126 mutilak dira, eta gaine-rakoak, neskak. Zenbat neska ditu klubak?

2 0 2– 1 2 6 0 7 6

PR

OB

LE

MA

K

EB

AZ

TE

A

189069 _ 0001-0039.indd 18 3/4/09 13:56:15

Aurkeztu ikasleei kantitateak elkartzeko edo bereizteko zenbait problema. Hori egin ondo-ren, eskatu ikasleei ZZG eskemako datuak identifika ditzatela, aurkeztutako problema horietan:

Z

Z

G

zati bat beste zatia guztizkoa

Marraztu hiru laukiak arbelean eta lagundu ikasleei proposatutako pro blemak ebazten, gal-derak eginez.

Gogora ditzagun azalpenak:

1. Zatien datuak badakizkigu (Z eta Z) eta guztizkoa (G) jakin nahi badugu, batuketa baten bidez ebatziko dugu problema:

Z + Z = G

2. Guztikoaren (G) eta zatietako baten (Z) da tuak baditugu, eta beste zatia (Z) lortu nahi badugu, kenketa baten bidez ebatziko dugu problema:

G - Z = Z

EGOERA OROKORRA

Lehen problema

Xabatek saskibaloiko 15 baloi eta fut-boleko 18 baloi zenbatu ditu. Zenbat baloi ditu? Behar dituen guztiak al ditu?

• Erantzuna: bi zati ditugu (Z = 15, Z = 18) eta

guztizkoa jakin nahi dugu (Z + Z = G).

• Problema mota: Zergatik?

• Ebazpena:

Bigarren problema

Xabatek 33 baloi zenbatu ditu guztira. 15 baloi saskibaloikoak badira, zenbat dira futbolekoak?

• Erantzuna: guztizkoa (G = 33) eta zatietako bat ditugu (Z = 15). Beraz: (G – Z = Z).


• Ebazpena:

Hirugarren problema

Xabaten laguntzaileak berriro zenbatu ditu baloiak. Badaki baloiak 33 direla guzti-ra, eta haietatik, 18 futbolekoak. Nola jakin-go du saskibaloiko zenbat baloi dituen?

• Erantzuna: guztizkoa (G = 33) eta zatietako bat ditugu (Z = 18). Beraz: (G – Z = Z).


• Ebazpena:

Kantitateak elkartzeko problemak arrazoitzea

IR Kiroldegiko baloiak38

Kiroletako arduradunak 33 baloi behar ditu; batzuk, saskibaloirako, eta beste ba tzuk, berriz, futbolerako. Baloi guztiak di tu ela egiaztatzeko, zenbait aldiz zenba-tu ditu.

PR

OB

LE

MA

K

EB

AZ

TE

A

Z Z G

189069 _ 0001-0039.indd 19 3/4/09 13:56:15

UEG estrategia irakasteko eredua, zatiketa-problemetan

PR

OB

LE

MA

K

EB

AZ

TE

A

EZatiketa-problemak arrazoitzeko trikimailua 45

Irakatsi ikasleei zein den zatiketa-problemak ebazteko prozesua, UEG estrategia erabiliz. Horretarako, idatzi eskema arbelean, ikasleek gogora ekar dezaten:

U

E

G

unitate bat zenbatetan guztizkoa errepikatzen den edo azken unitatea emaitza

Lehenik eta behin, zenbaki txikiak landuko ditugu, helburua ez baita ikasleek eragiketa konplexuak egitea, baizik eta problema nola ebatzi duten arrazoitzeko eta azaltzeko gai iza-tea. Urrats hori gainditzen duten ikasleek beren estrategia propioak bilatu ahal izango dituzte.

• 1. Azter dezagun ebatzitako egoera baten adibidea.

Bigarren zikloko 4 gelok Gabonetako 320 txartel egiteko konpromisoa hartu dugu. Txartelak salduta, Afrikako ikastetxe baterako dirua lortu nahi dugu. Horren-bestez, gela bakoitzak 80 txartel egin behar-ko ditu.

Egoera horretan, guztizkoa (G = 320) eta zatietako bat ditugu (E = 4). Beste zatia U = 80 da.

U Bigarren zikloko gela kopurua: 4.

G Txartel kopurua: 320.

E Gela bakoitzari dagozkion txartelak: 80.

• 2. Ondoren, zatiketa-problema gisa plan-teatuko dugu aurreko egoera. Enuntzia-tuan, U eta G agertuko dira, baina guk E lortu beharko dugu; hots, gela bakoitzak zenbat txartel egin behar dituen.

Bigarren zikloko 4 gelok Gabonetako 320 txartel egiteko konpromisoa hartu dugu. Txartelak salduta, Afrikako ikastetxe baterako dirua lortu nahi dugu. Zenbat txartel egin beharko ditu gela bakoitzak?

• Zer jakin nahi dugu?

Zenbat dagozkion gela bakoitzari U = ?

• Zer dakigu?

Txartel kopuru osoa G = 320

Zikoko gela kopurua E = 4

• 3. Egoera adierazteko, datu bakoitza dagokion laukiari lotuko diogu:

U

E

G

? 4 320

• 4. Unitatea zenbatetan errepikatzen den (E) eta guztizkoa (G) zein den badakigu, ZATIKETAREN bidez jakingo dugu unitate bakoitzari (U) zer dagokion.

G : U = E

• 5. Datuak idatzi eta ebatzi egingo dugu.

Ebazpena: gela bakoitzari 80 txartel dagozkio.

320 : 4 = 80

189069 _ 0001-0039.indd 20 3/4/09 13:56:15

Hiru magnitude lotzen dituzten biderketa-problemak arrazoitzea

PR

OB

LE

MA

K

EB

AZ

TE

A

IRIbilaldiak bizikletan49

Ibilbideei buruzko problemetan, normalean, hiru magnitude lotu behar izaten dira: egindako espazioa, batez besteko abiadura eta horretan emandako denbora. Bi magnitude badakizkigu eta hirugarrena kalkulatu nahi dugu. Problemak ebazteko, biderketa bat edo zatiketa bat egin beharko dugu.

Aurkeztu ikasleei U, E eta G datuak identifikatzeko zenbait problema, ikasleek berek ebazte-ko.

Marraztu hiru laukiak arbelean eta eman hemen adierazitako esanahia.

U

E

G

unitate baten zenbatetan guztizkoa

balioa biderkatzen edo

banatzen den

Datu batek unitatea adierazten du; beste batek, zenbatez biderkatzen edo zatitzen den eta besteak, azken emaitza.

Ekarri gogora azalpenak:

1. U eta E jakinik, biderketa egingo dugu G kalkulatzeko.

U x E = G

2. U eta G jakinik, zatiketa egingo dugu E kalkulatzeko

G : U = E

3. G eta E jakinik, zatiketa egingo dugu U kalkulatzeko.

G : E = U

Lehen problema

Sasoi onean nago! Bizikletaz ibili naiz 3 orduz, orduko 9 km-ko abiaduran. Ba al dakizu zenbat kilometro egin ditudan?

• Erantzuna: U, ordubetean egindako

kilometroak, eta E, ibilitako ordu kopurua,

jakinak dira (U = 9 km/h eta E = 3).

Ez dakigu zenbat den G, egindako

kilometroak, (G = ?). Beraz, U x E = G


• Ebazpena:

Bigarren problema

Atzo, haize handia zegoenez, 2 orduz baino ez nintzen ibili, eta 16 kilometro egin nituen. Zer abiaduratan ibili nintzen, batez beste?

• Erantzuna: G, kilometro kopurua, eta E, ordu

kopurua, jakinak dira (G = 16 eta E = 2).

U, ordubetean egindako kilometro kopurua,

ez dakigu (U = ?). Beraz, G : E = U


• Ebazpena:

Hirugarren problema

Hurrengo asteburuan, 48 kilometroko lasterketa batean parte hartu behar dut. Ibilbidea nolakoa den kontuan hartuta, ordu-ko 12 kilometroko abiaduran egingo dut, batez beste. Zenbat ordu beharko ditut?

• Erantzuna: G, kilometro kopurua, eta U,

ordubetean egingo dudan kilometro kopurua,

jakinak dira (G = 48 eta U = 12). E, behar-

ko dudan ordu kopurua, ez dakigu (E = ?)

Beraz, G : U = E.

• Problema mota Zergatik?

• Ebazpena:

189069 _ 0001-0039.indd 21 3/4/09 13:56:16

Problemak ebazteko estrategiak

PR

OB

LE

MA

K

EB

AZ

TE

A

IKIzena:

Data:

Ebatzi problemak, UZG estrategia edo zeure estrategiak erabiliz. Ondoren, asmatu antzeko problema baten enuntziatua eta eman ikaskide bati.

BIDERKETA-PROBLEMAK EDO BIDEZKO BANAKETA.

520 argazki ditut, eta 60 orrialdeko album batean jarri nahi ditut. Orrialde bakoitzean 6 argazki sartzen dira. Sartuko al dira guztiak albumean? Zenbat argazki izango ditut sobera edo faltan?

Nire problema:

ALDERATZE-PROBLEMA.

Ainhoak 252 orrialdeko liburu bat irakurri du aste honetan. Anek askoz gutxiago irakurri du. Ainhoarekin berdintzeko, irakurri dituen orrialdeak halako hiru irakurri behar ditu. Zenbat orrialde irakurri ditu Anek?

Nire problema:

MAGNITUDEAK LOTZEKO PROBLEMAK.

Irakasleak 80 arkatz erosi ditu, ikasleen artean banatzeko, eta 13 € 46 zentimo ordaindu ditu. Zenbat balio du arkatz bakoitzak?

Nire problema:

2

3

1

Beste problema batzuk 53

189069 _ 0001-0039.indd 22 3/4/09 13:56:16

Aurkibidea

57. Geometria ikasgelan eta kalean (I).

58. Espazioko kokapenak bereizten (IR).

59. Eskalatzailea (IK).

60. Mugimenduak espazioan (E).

61. Jostailuen katalogoa (IK).

62. Simetria-jolasak (IK).

63. Ikuspegia (IK).

64. Geometria ikastea, geoplanoa erabiliz (E).

65. Erregela behar bezala erabiltzea (E).

66. Tangramaren bidezko sorkuntzak (IK).

67. Iparrorratza (IK).

68. Geometria telefono bidez (IK).

69. Geometria kalean (IK).

70. Gure etxeko planoa (IK).

71. Irudiak (IK).

72. Geometria sortzailea (IK).

73. Badakigu zer diren bolumenak (IR).

74. Geometriari buruzko SUPERTESTa (IK).

IV. GEOMETRIA.KOKAPENA ESPAZIOAN

Oinarrizko gaitasunak4. Ikasketa-prozesua amaitutakoan, ikaslea gai da espazioan adierazitako objektuak

interpretatzeko, bai eta erreferentzia-sistema batetik abiatutako egoera ezagunak (ibil-bide baten krokisa, etxeen planoak, maketak) interpretatzeko ere.

5. Ikasketa-prozesua amaitutakoan, ikaslea gai da forma geometrikoak bereizteko eta deskribatzeko.

…eta paralelismoa, elkarzutasuna eta simetria, perimetroa eta azalera geometria-kontzeptuak erabiltzea, eguneroko bizitzako egoerak deskubritzeko eta ulertzeko, bai eta geometriak eskulturari eta arkitekturari egindako arte-ekarpenak balioetsi ahal izateko ere.

189069 _ 0001-0039.indd 23 3/4/09 13:56:16

Giro egokia sortzea, geometria ikasteko

GE

OM

ET

RI

A

I

Garrantzitsua al da geometria?

Geometriari buruz ari garenean, irakasle askori galderak sortzen zaizkigu: Beste garai batzuetan, geometriak garrantzi handia zuen matematika-ren barruan; zergatik ari da galtzen garai bate-ko garrantzi hura? Geometriaren ikaskuntzan, definizioek eta azterketako ariketek osatutako ikasketa teorikoa da nagusi, eta hori behin eta berriz errepikatzen da ikastaroz ikastaro, ia hitz bakar bat ere aldatu gabe; zergatik? Zer motata-ko sormena garatu nahi dugu gure ikasleengan geometriaren esparruaren barruan? Eta beste galdera asko.

Irakasgaiaren ikasketa teorikoen alorrean, espazioko posizioen berri izatea eta forma geometrikoen azterketa oso garrantzitsuak dira, inolako zalan tzarik gabe. Baina, gainera, gure ustez, ikasketa horien heziketa-dimentsioa oso garran tzitsua da eta eguneroko bizitzarako behar-beharrezkoak diren gaitasunak garatzen lagun-tzen dute.

Geometria eta jolasa

Izenburua irakurrita, norbaitek pentsa dezake geometriako edukiei azaletik heldu nahi die-gula eta bigarren mailako balioa azpimarratu, irakasgaiko zenbait planteamendutan egin den moduan. Ez da hori gure asmoa, inondik inora. Gure ustez, ikasleek geometriako kontzeptuak berenganatzeko modu onenetako bat jolasak eta norgehiagokak erabiltzea da, eta hala planteatu dugu. Matematikari buruz Martin Gadnerrek oro har egindako baieztapena aplikatzen dugu. Honela dio baieztapen horrek: Ikasle bat adi egoteko metodorik onena matematikako jolas bat, denbora-pasa bat, magia-trikimailu bat,

paradoxa bat edo eredu bat proposatzea da, edo bestela, erabat azalekoak direlakoan ira-kasle aspergarriek baztertu ohi dituzten mila gauza horietako edozein. Ikuspegi hori kontuan hartuta, garai batean lerroak, angeluak eta poli-go noak zer diren irakasteko lur bustian «iltzean» jolasten aritzen ziren irakasle zahar haiek ekarri nahi ditugu gogora.

Geometria eta errealitatea

Geometriaren oinarrian orokortzeak eta kon- tzeptualizazioak dauden arren, begien aurrean ditugun gertaerak eta datuak erabiltzen dira horretarako. Ikasgelan, deskribatzen, sailkatzen, neurtzen eta marrazten saiatzen garen irudi guz-tiak kalean ditugu. Eta ikasgelan irudimenaren bidez lantzen ditugun posizioak, distantziak eta mugimenduak neurri handiagoan ageri zaizkigu kalean.

Lanerako tresnak

Hori guztia kontuan hartuta, geometriako eskolak oso aktiboa eta parte hartzekoa izan behar du.

Ikasleek jabetuz joan behar dute, eta, azkenik, formak eta irudiak egin behar dituzte. Formek eta irudiek balio plastiko handia dute, balio formalaz gainera. Hori lortzeko, mota guztietako tresnak, erregelak, konpasak, angelu-garraiagai-luak eta abar erabiliko ditugu. Espazioa arbela izango da lehenik eta behin, eta, ondoren, nor-beraren koadernoa. Eta ordenagailua ere era-biliko dugu, geometrian aukera asko eta asko ematen dituelako.

Geometria ikasgelan eta kalean 57

189069 _ 0001-0039.indd 24 3/4/09 13:56:16

GE

OM

ET

RI

A

IKIzena:

Data:

Jostailuen katalogoa 61

Jostailuen katalogo honetan, zenbait jostailuren bistak ageri dira. Bista horiek aurretikoak,albotikoak eta goitikoak dira.

Erreparatu jostailu bakoitzaren hiru bistei eta inguratu adierazten duten jostailua, eskuinean. Ondoren, esan zergatik inguratu duzun jostailu hori; zergatik uste duzun hori dela.

1

Objektu bat bereiztea, haren bistak ikusita

aurretik albotik

goitik

aurretik albotik

goitik

aurretik albotik

goitik

a)b)

c)

a)

b)

c)

a) b)

c)

A

B

C

189069 _ 0001-0039.indd 25 3/4/09 13:56:16

Espazioko erreferentzia-sistemak bereiztea

GE

OM

ET

RI

A

IK

Oihanak, Mikelek, Nereak eta Jonek marrazki-lehiaketa batean parte hartu behar dute. Gauza berak marraztu behar dituzte, baina nork bere ikuspuntutik.

Erreparatu marrazkiei eta asmatu zein marraztu duen bakoitzak. 1

Izena:

Data:

Ikuspuntua 63

JON

OIHANA

NEREA

MIKEL

Marrazkilaria: Marrazkilaria:

Marrazkilaria: Marrazkilaria:

a) b)

c) d)

189069 _ 0001-0039.indd 26 3/4/09 13:56:17

Angeluen neurketa benetako egoera batean aplikatzea

GE

OM

ET

RI

A

IK

Eneko eta Unai kanpaleku batean daude. Dendako lurrean, iparrorratz bat jarri dute iparraldera begira eta leku batzuen orientazio zehatzaren berri izan nahi dute.

Marraztu lerro zuzen bat iparrorratzaren erditik leku bakoitzera, eta neurtu lerro horietako bakoitzak eta iparra adierazten duen lerroak osatutako angeluak. Esan zer angelu mota diren (zorrotza, zuzena, kamutsa, laua..)

1

Izena:

Data:

Iparrorratza 67

• Iturrirako norabidea adierazten duen angelua › Angelu da.

• Bordarako norabidea adierazten duen angelua › Angelu da.

• Ibairako norabidea adierazten duen angelua › Angelu da.

• Basorako norabidea adierazten duen angelua › Angelu da.

• Haitzulorako norabidea adierazten duen angelua › Angelu da.

• Katagorrienganako norabidea adierazten duena › Angelu da.

90o E zuzena

I

H

EMI

H

EM

IEIM

HM HE

189069 _ 0001-0039.indd 27 16/4/09 10:40:23

Forma geometrikoak identifikatzea, eguneroko bizitzan

GE

OM

ET

RI

A

IK

Osatu taldeak eta egin «zelatari geometrikoarena» kalean. Talde bakoitza ikastetxearen inguruko leku batean kokatuko da eta inguruan ikusitako forma geometrikoak idatziz jasoko ditu. Taldeek ikasgelan azalduko dituzte ikerketak, eta ikaskideek asmatzeak eta hutsegiteak aipatuko dituzte.

IRUDI ETA FORMA GEOMETRIKOAK

lerro zuzenak lerro kurbatuak lerro poligonalak lerro paraleloak lerro elkarzut diagonalak

angelu zuzenak osatzen dituzten lerroak angelu zorrotzak osatzen dituzten lerroak angelu kamutsak osatzen dituzten lerroak

poligonoak osatzen dituzten lerroak: triangeluak, angeluzuzenak, laukiak, bestelako poligonoak.

bolumen geometrikoak: piramideak, prismak, esferak…

Entrenamendu gisa, erreparatu beheko marrazkiari eta aurkitu adierazitako lerroak. Margotu.

zirkunferentzia lerro bertikala triangelua laukia esfera angelu zuzena

2

1

Izena:

Data:

Geometria kalean 69

189069 _ 0001-0039.indd 28 3/4/09 13:56:17

V.NEURRIA: KALKULATZEAETA IRITZIRA KALKULATZEA

Oinarrizko gaitasunak6. Ikasketa-prozesua amaitutakoan, gai da iritzirako kalkuluak eta neurketak egiteko

benetako testuinguruetan. Horretarako, unitate eta tresna egokienak erabiltzen ditu, neurtu beharreko objektuaren neurria eta izaera kontuan hartuta.

Aurkibidea

75. Neurketak (I).

76. Nola neurtu luzerak? (E).

77. Luzerak iritzira kalkulatzen eta alderatzen (IK).

78. Dimentsioak adierazteko zenbait modu (IK).

79. Neurriak hartzen (IK).

80. Neurketa-problemak (IR).

81. Masa neurtzen (E).

82. Masa-neurrien adierazpenak (IK).

83. Pisuak iritzira kalkulatzen eta alderatzen (IK).

84. Pisu-problemak (IR).

85. Litroak eta litroak (IK).

86. Edukiera adierazten (IK).

87. Neurrien arteko erlazioa (IK).

88. Edukierak iritzira kalkulatzen eta alderatzen (IK).

89. Edukiera-problemak (IR).

90. Azalera neurtzen (IK).

91. Bidaia itsasontzian (IK).

92. Neurriei buruzko SUPERTESTa (IK).

189069 _ 0001-0039.indd 29 3/4/09 13:56:17

Neurriari buruzko irakaskuntza eraginkorra

NE

UR

RI

A

I

Neurketa eta magnitudeak Lehen Hezkuntzan

Lehen Hezkuntzako lehenengo zikloan, lehen hurbilketa bat egin genuen, magnitudeak eta oinarrizko neurri-unitateak zer diren jakiteko, bai eta horiek biak intuitiboki erabiltzen ikaste-ko ere. Ziklo hauetan beste urrats bat emango dugu, eta alor horretan gaitasuna eskuratzeko beste kontu batzuk planteatuko ditugu: inolako neurketarik behar ez duten egoerak egiaztatzea, magnitude jakin ba tzuk neurtzeko zer-nolako unitateak erabili behar diren jakitea, neurketak zehatza izan behar duen ala ez jakitea, iritzirako kalkulua egitea zer egoeratan den erabilgarria, eta azkenik, luzera-, masa- edo edukiera-neu-rriekin lotutako eguneroko bizitzako problemak ebaztea.

Neurtzeko abileziaren ikasketa eraginkorra

Alor honetako ikasketa eraginkorra izan dadin, oso garrantzi tsua da ikasgelan giro egokia sor-tzea eta ikasleek ikasitako guztia praktikan jartzea. Inolako zalantzarik gabe, ikasketa teoriko ugari eskuratu behar ditugu, diziplina guztietan gertatzen den moduan; esate baterako, termi-nologia, neurri-unitateen balioa eta neurriari aplikatutako sistema hamartarrak nola funtziona-tzen duen. Hala eta guztiz ere, ezinbestekoa da ezagu tza horiek benetako egoeretan aplikatzea. Izan ere, bestela, gerta daiteke ikasleek kon-tzeptu asko behar bezala ez berenganatzea edo zenbait magnituderen eta neurriren esanahia oker uler tzea.

Zehaztasuna neurketetan

Hau da ziklo honetako helburuetako bat: ikasleek ulertzea oso garrantzitsua dela zenbait egoeratan neurketa zehaztasun osoz egitea, eta neurketa-tresna erabiltzean kontu handiz ibili behar dela. Esate baterako, altuera-jauziko erre-

kor bat ezar tzeko, zentimetroen eta milimetroen berri izan behar da; loditu ala argaldu egin garen jakiteko, zenbat kilogramoko eta zenbat gramo-ko pisua dugun jakin behar dugu; 100 metroko abiadura-lasterketako txapeldunaren markaren berri izateko, segundoen eta segundo hamarre-nen berri izan behar dugu; eta eskuz egindako lan bateko piezak bat etor daitezen, milimetroak zehaztu behar dira.

Neurri hurbilduak

Beste batzuetan, neurri zehatza ez da hain garrantzitsua, alderatzean eta iritzirako kalku-luan oinarritutako balioespen jakin batzuk bai-zik. Lan honetan kalkulu hurbilduaz ari garenez, arrazoiketa eta logika erabiltzen dira, problemak ebazteko.

Neurketak egiteko gela

Alor honetako ikasketaren izaera praktikoa dela-eta, ikasgelan ikusgai egongo dira gehien erabiltzen diren neurketa-objektuak, bai eta neurtzeko eta pisuak eta bolumenak kalkula-tzeko tresnak ere. Bestalde, ikasketa-prozesuko errealismoari esker, neurrien praktikak erron-kak izango dira, bai eta problema praktikoak ebaztea eta abileziak erakustea ere. Orientabide horrek mesede egingo dio ikasleen motibazioari, eta ezagutzak ikasgelaz kanpo erabiltzeko gaita-suna emango die.

Gauzen neurria 75

189069 _ 0001-0039.indd 30 3/4/09 13:56:17

• 1 k •

• 100 g •

• 500 g •

• 60 k •

Eguneroko bizitzako objektuen masa alderatzea eta iritzira kalkulatzea

NE

UR

RI

A

IK

Ordenatu objektuak, pisu handienekotik txikienekora. Idatzi 1, 2, 3, 4, 5 eta 6 zenbakiak.

Kutxa guztiak neurri berekoak dira eta erabat beteta daude. Lagundu Joni kutxak jartzen. Binaka jarri behar ditu, pisu handienekoak behean direla eta arinenak goian.

Jonek 20 tona adreilu garraiatu behar ditu. Adierazi zein den kamioirik egokiena.

Lotu gauza bakoitza bere gutxi gorabeherako pisuarekin. 4

3

2

1

Izena:

Data:

Pisuak iritzira kalkulatzen eta alderatzen 83

1 2 3 4

Kotoia

Torlojuak

Liburuak

Gomak

189069 _ 0001-0039.indd 31 3/4/09 13:56:18

Litroa, eta litroaren multiploak eta azpimultiploak bereiztea

IK Edukiera adierazten86

Izena:

Data:

NE

UR

RI

A

Kilolitroak Hektolitroak Dekalitroak Litroak Dezilitroak Zentilitroak Mililitroak

kl hl Dl l dl cl ml

3 5

Erreparatu edukiera-unitateen taulari eta idatzi magnitudeak behar bezala.

35 l 450 dl 1.005 ml 63 hl 100 cl 40 Dl 3kl

Pasatu magnitudeak modu sinpletik modu konplexura (gogoratu magnitudea zenbait neurri-unitatetan adierazi behar dela).

ADIBIDEA: Freskagarriak egiteko, 2 dezilitroko 22 poto limonada erabili ditugu. Zenbat litro limonada erabili ditugu? 22 x 2 = 44 dl = 4 l eta 4 dl

• 1.234 ml = l + dl + cl + ml

• 6.036 cl = Dl + l + dl + cl

Pasatu magnitudeak modu konplexutik sinplera (gogoratu magnitudean ageri den unitaterik txikienean adierazi behar direla kantitate guztiak).

ADIBIDEA: Zenbat dezilitro dira 4 hl, 2 l eta 6 dl? 4.000 dl + 20 dl + 6 dl = 4.026 dl

• 2 l eta 25 dl = • 12 l eta 35 dl =

• 3 kl, 4 Dl, 16 l, 9 cl =

3

2

1

189069 _ 0001-0039.indd 32 3/4/09 13:56:18

Orduen programazioak interpretatzea

NE

UR

RI

A

IK

Mediterraneo itsasoan zehar itsasontziz bidaiatzeko iragarki-orri hau iritsi da Jokinen etxera. Egun guztietako ordutegiak ageri dira.

1

Izena:

Data:

Itsasontzian 91

Erantzun:

a) Zenbat egun irauten du, guztira, bidaiak?

b) Zer hiritatik pasatzen da?

c) Zer ordutan aterako da benetan Bilbotik hegaldia?

d) Zenbat irauten du Bilbotik Veneziarako bidaiak?

e) Zer ordutan iritsiko da?

f) Zenbat irauten du Rodastik Atenaserako bidaiak?

Eguna Hegaldia atera Hegaldia iritsi Gorabeherak Itsasontzia atera Itsasontzia iritsi

1 Bilbo, 16:30 Venezia, 19:00 Atzerapena: 25 min.

2 Venezia, 17:00 Dubrovnik, 12:00

3 Dubrovnik, 20:00 Korfu, 9:00

4 Korfu, 16:00 Rodas, 9:00

5 Rodas, 18:00 Atenas, 7:00

6 Atenas, 22:50 Bilbo, 24:55

BILBOVENEZIA

KORFU ATENAS

DUBROVNIK

189069 _ 0001-0039.indd 33 3/4/09 13:56:18

Oinarrizko gaitasunak7. Ikasketa-prozesua amaitutakoan, ikaslea gai da eguneroko bizitzako gertaerei eta

objektuei buruzko datuak biltzeko, zenbaketa-teknika errazak erabiliz, datu horiek sail-kapen-irizpide baten arabera ordenatzeko, eta emaitza taula edo grafiko baten bidez adierazteko.

…ikaslea gai da inguruneko datuen multzo bati buruzko adierazpen grafikoak egiteko, irakur tzeko eta interpretatzeko. Gainera, ausazko joko errazen emaitzak (posiblea, ezinezkoa, ziurra) oinarri hartuta, iritzirako kalkuluak egiteko eta emaitza egiazta tzeko ere gai da.

Aurkibidea

93. Estatistika ikasteko modu erraza eta eraginkorra (I).

94. Zer hiletan da zure urtebetetzea? (IK).

95. Informazio argia (IR).

96. Informazio argia (IK).

VI. INFORMAZIOATRATATZEA, ZORIA ETA

PROBABILITATEA

189069 _ 0001-0039.indd 34 3/4/09 13:56:18

Ikasleak motibatzea, informazioaren trataera lantzeko

ZO

RI

A

ET

A

PR

OB

AB

IL

IT

AT

EA

I

Probabilitateak kalkulatzeko eta Estatistikako eskola

Lehen Hezkuntzako bigarren eta hirugarren zikloetan, informazioaren trataerari eta probabi-litateari buruzko ikasketak hasten dira.

Oso une egokia da, inguruneko datuak jakite-ko, jakin-minaz, gainera, jarduerarekiko interesa ere badutelako ikasleek. Alor horri lehenengo aldiz ekingo diogunez, arreta berezia jarri behar da lehen urratsetan ikasleek errealitatearen eta bizitako esperientzien laguntza izan dezaten, bai eta oinarrizko ideiak eta prozedurak behar beza-la uler ditzaten ere. Matematikaren alor horre-tan, ikasketa eraginkorra lortzea izan daiteke gure helburuetako bat, eguneroko bizitzako eta inguruneko bizitzako gertakariak gure esku izan di tzakegulako.

Abiapuntua

Eskola eraginkorraren abiapuntua galderak egoki formulatzea da, ikasleek erantzutean datuak erabil ditzaten, eta beharrezko eran-tzunak lortzeko datu horiek antolatzen jakin dezaten. Maila horretan, ikasleek berei eta beren familiei buruzko galderak proposatu beharko dituzte, familiako gaiei buruzkoak, ikasgelari buruzkoak eta beste arlo batzuetan ikasten ari direnari buruzkoak: astialdirako zer ekintza dituzten gogoko, otorduetan zer duten gus-tukoen, gorputz-hazkuntzari buruzko datuak, uraren kon tsumoa… Ikasleak gero eta gehia-go jabetzen dira inguruan duten munduaz, eta badakite prest egon behar dutela erabakietan eragina izango duten zenbait gairi ekiteko.

Datuak biltzea eta erregistratzea

Gure ikasleak berandu baino lehen ohartuko dira zer egin behar den azterketari ekiteko behar-beharrezkoak diren datuak lortzeko: inkestak, behaketa sistematikoa, zenbait iturritan ikerke-tak egitea.

Gainera, erantzunak zenbatzeko sistemak ondo ezagutu behar dituzte, eta erantzunak antola tzen eta sailkatzen jakin.

Datuak adieraztea

Gure ikasleek ohitu egin beharko dute datuak adierazteko oinarrizko modu ulerterrazak era-biltzen; esate baterako: taulak, puntu-diagra-mak, barra-diagramak eta diagrama linealak. Baliabide desberdinak direla jakinaraziko diegu ikasleei eta koordenatu-ardatzen esanahia azal-duko diegu. Gure azalpena indartzeko, zenbait komunikabidetan lortutako ereduak erabiliko ditugu. Ariketa jakin bat hartuta, ikasleek gai izan behar dute adierazteko modurik egokiena aukeratzeko.

Adierazitakoa interpretatzea

Motiba ditzagun gure ikas-leak, datuen esanahia jaki-teko interesa izan dezaten: Zer datu dira garrantzitsuenak? Zer datu dira maiztasun handienekoak? Zer leku du gehien interesatzen zaidanak grafiko horretan? Lagun diezaiegun datuak alderatzen.

Garrantzitsua da ikasleak ariketen bidez pix-kanaka-pixkanaka konturatzen hastea ariketetan lantzen diren datu multzoak populazio handien laginak direla, eta horiei esker orokortzeak lortzen direla.

Probabilitatea

Hasteko ikasleek gertakariak ziur, probable edo ezinezko gisa sailkatuko badituzte ere, orain, gertakari bat betetzeko probabilitatea nola kalkula daitekeen ikasten hasi behar dute. Ho rre ta ra ko, beharrezko datu guztiak hartuko dituzte, benetako gertakari bati buruz ari bagara, edo esperimentuak errepikatuko dituzte, irudi-menezko gertakari bati buruz ari bagara.

Estatistikaren ikasketa erraza eta eraginkorra 93

189069 _ 0001-0039.indd 35 3/4/09 13:56:18

Datuak zenbatzeko estrategia eraginkorrak erabiltzea

IK Zer hiletan betetzen dituzu urteak?94

Izena:

Data:

ZO

RI

A

ET

A

PR

OB

AB

IL

IT

AT

EA

LEHEN HIRUHILEKOA BIGARREN HIRUHILEKOA HIRUGARREN HIRUHILEKOA UDA

Iraila Urria Azaroa Abendua Urtarrila Otsaila Martxoa Apirila Maiatza Ekaina Uztaila Abuztua

ALDIA MAIZTASUNA

Lehen hiruhilekoa

Bigarren hiruhilekoa

Hirugarren hiruhilekoa

Laugarren hiruhilekoa

Azterketa estatistiko bat egin beharko duzu ikaskideekin, urteak zer hiletan betetzen dituzuen ikusteko. Emaitzak interpretatu eta baterako ekintzaren bat egingo duzue.

• Azterketa egiteko, lau urratsi jarraituko diezue.

Lehen urratsa. Datuak bildu eta erregistratu.Ikasle batek beste guztiei galdetuko die, ozen, ea zer hiletan betetzen dituzten urteak. Gainerakoek makila bat marraztuko dute behar den hilean, erantzun bakoitza entzun ahala.

Bigarren urratsa. Maiztasunak erregistratu. Hirugarren urratsa. Emaitza adierazi barra-grafiko batean.

Bildu beste gela bateko informazioa eta elkartu datu guztiak barra-grafiko batean.

Laugarren urratsa. Datuak interpretatu.

Erantzun galdera hauei.

• Zenbat ikasle dira zure hil berekoak?

• Zer hiletan ospatzen dira zure gelan urtebetetze gehien?

• Inkestari erantzun dioten maila guztiak kontuan hartuta,

zer hiruhilekotan izaten da urtebetetze gehien?

• Zenbatek betetzen dituzte urteak udan?

Zer egin daiteke haien urtebetetzeak ospatzeko?

1

1. hiruhilekoa 2. hiruhilekoa 3. hiruhilekoa uda2

4

6

8

10

12

189069 _ 0001-0039.indd 36 3/4/09 13:56:18

Aurkibidea

97. Matematika ordenagailu bidez (IR).

98. Ideia eta hizkuntza matematikoak erabiltzea (E).

99. Matematikaren eskola-eguna (IR).

100. Esan ingelesez (IK).

VII. ZEHAR-GAITASUNAK

189069 _ 0001-0039.indd 37 3/4/09 13:56:19

Jai-giroa

Liburuaren eguna, ingurumenaren eguna, emakume langilearen eguna eta beste zenbait efemeride ospatzen ditugun moduan, matemati-karen eguna ospatzea iradokitzen dugu propo-samen honetan. Espainian, egun hori maiatza-ren 12an ospatzea proposatu da; leku askotan, matematikarekin lotutako denetariko ekitaldiak antolatzen dira egun horretan.

Proposamenari jai-kutsua eman nahi diogu, batik bat. Une batez, matematikaren jarrera zorrotz, serio eta paradigmatikoa alde batera utziko dugu, nolabaiteko kutsu matematikoa duten ekintza dibertigarriak bilatzeko. Ikasleak matematikako ideiak ikasten hasten diren lehen urteetan zenbait ikasleren iritziz irakasgaiak duen izaera «gogorra» hain dramatikoa ez izate-ko modu bat litzateke, bai eta ikasleek sormena lantzeko ere, eta, hala, matematikaz gozatzeko.

Zer egin daiteke?

Bururatu zaigun lehen ekintza gure ikasleen sormena pixka bat akuilatzea da. Horretarako, ikasleak banaka edo talde txikitan jarriko dira, eta matematikan ikasitako teoriari buruzko paro-diak, an tzezpenak eta egoeren simulazioak egin-go dituzte.

Matematikarekin zerikusia duten txisteen edo proposamen zentzugabeen lehiaketa. Horri buruzko eredu asko daude sarean.

•Asmakizunak, igarkizunak, esaerak.

•Txartelak marraztea. Zenbakiak, agertokiak, eszenak. Koloreen jolas geometrikoak.

•Drama satirikoak. Ikasgelan gertatuko ziren, ziur asko, matematikarekin zerikusia duten egoera xelebreak. Bada, horiek adieraziko dira, umore eta asmo onez.

•Albisteak bildu eta ikusgai jartzea. Zenbakiak, kalkuluak eta geometria izango dira elementu nagusiak.

•Mozorro-lehiaketa. Zenbakiekin edo geome-triarekin lotutako mozorroak erabiliko dira.

Matematika eguneroko bizitzan

ZE

HA

R-

GA

IT

AS

UN

AK

IR Matematikaren eskola-eguna99

189069 _ 0001-0039.indd 38 3/4/09 13:56:19

Galderak, iradokizunaketa erantzunak

2. fitxa. Erantzunak

a): III, bigarrena; b): azaroaren 17a, hamar minutu; c): hiru metro, bi metro; d): 750 €; e): 1.a, 240.


0: 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90.1: 70, 72, 74, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90.2: 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180, 190,

200. 120, 140, 160, 180, 200, 220, 240, 260, 280, 300.

3: 1.100, 1.200, 1.300, 1.400, 1.500, 1.600, 1.700, 1.800, 1.900, 2.000. 1.200, 1.400, 1.600, 1.800, 2.000. 1.200, 1.400, 1.600, 1.800, 2.000, 2.200, 2.400, 2.600, 2.800, 3.000.

7. fitxa. Zenbakien diktaketa

A: hiru mila eta zortzi. Milakoa; B: hirurehun eta berrogei mila berrehun eta laurogei. Ehun milakoa; C: zortzi mila laurehun eta berrogeita hamar. Milakoa; D: hogeita hamar mila zazpiehun eta berrogeita hemeretzi. Hamar milakoa.


2. a): >

b): <

c): >

d): <


1: 1. 778; 2: IV, V, IX, X; 3: MCCCI; 4: LVIII.; LIX.; LX.; LXI.; LXII.


1: 828; 26.062; 66. 2: 10; 3: 00, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99; 5: 3, 6, 8, 0; 6 eta 9 aldatu dira.


1: 554, 545, 544, 455, 454, 445; 2: 37, 46, 56, 67, 79, 92. 3: 30; 4: MCDLXXXVII. 5: duodécimo; 6: 87.732; 7: 20-30; 440-450; 270-280; 8: 45 y 15; 9: 987, 102.


a): 173, 751, 1.546, 6.443; b): 261, 239, 2.289; c): 80, 35, 132, 367, 17, 19, 14, 11; d): 23, 30.


a): 236 + 482 = 718; b): 2.525 + 823 + 622 = 3.970; c): 4.604 – 362 = 4.242; d): 246 x 3 = 738.


a): 8 + 6 + 5 + 9 = 28. Ez dute nahikoa diru; b): erantzun librea.


1, 5, 2, 5, 1; 3, 3, 2, 3, 3; 1, 6, 2, 9, 4; 1, 8, 2, 8, 4.

21. fitxa. Zenbakien diktaketa

Adibideak: a): 7 ken 2; 9 ken 2; 11 ken 2; 13 ken 2; 15 ken 2; 17 ken 2; 19 ken 2; 21 ken 2; 25 ken 2; 27 ken 2. b): 5 ken 3; 6 ken 3; 8 ken 3; … c): 7 ken 5; 9 ken 5; 11 ken 5;…

24. fitxa. Diktaketa

1: bizikleta eta MP3a, 426 €; 2: telebista eta mikrouhin-labea, 1.014 €; 3: musika-gailua eta pati-netea, 546 €; 4: zinta eta eskiatzeko tresnak, 455 €.


1: (4 x 6) + (4 x 2) + (3 x 4) = 44; (6 x 7) + (3 x 4) + (3 x 5) = 69. Mikel irabazle; 69 puntu.

2: (7 x 5) + (3 x 5) + (4 x 4) = 56; (5 x 7) + (4 x 4) = 51. Oier irabazle; 66 puntu.

3: Mikel-Oier-Nekane-Saioa.


1:

5 7 4 6 3

2 10 14 8 12 6

4 20 28 16 24 12

3 15 21 12 18 9

6 30 42 24 36 18

8 40 56 32 48 24

4 9 8 6 3

3 12 27 24 18 9

6 24 54 48 36 18

5 20 45 40 30 15

7 28 63 56 42 21

2 8 18 16 12 6

189069 _ 0001-0039.indd 39 3/4/09 13:56:19

Documents

proposamen, matematikarako gaitasuna lantzekoMATEMATICAS... · Proiektu honetan, zenbait proposamen, iradokizun eta jarduera bildu ditugu, matematika- ... ariketak; ikasleak zenbaki-sistemen