Propuesta y análisis de un modelo de difusión de ...materias.fi.uba.ar/7500/Rovere.pdf(2) el rol de los canales de comunicación como transmisores de la innovación; (3) la forma

Propuesta y análisis de un modelo de difusión de innovaciones basado en

agentes

Santiago Luis Rovere

Padrón 75.644

[email protected]

Director: Dr. Carlos E. Laciana

Tesis de grado de Ingeniería en Informática Departamento de Computación

Facultad de Ingeniería

Universidad de Buenos Aires

Propuesta y análisis de un modelo de difusión de innovaciones basado en agentes

Tesista: Santiago L. Rovere | Director: Dr. Carlos E. Laciana ii

Índice

1 Introducción ............................................................................................................................. 1

1.1 Reseña histórica................................................................................................................. 1

1.2 Motivación y objetivos ...................................................................................................... 3

1.3 Estructura de la tesis ......................................................................................................... 5

2 Modelo de Ising ........................................................................................................................ 7

2.1 Orígenes del modelo de Ising ............................................................................................ 7

2.2 Aplicación a un contexto social ......................................................................................... 9

2.2.1 Percepción individual de la utilidad ........................................................................... 9

2.2.2 Influencia de los pares: redes sociales ..................................................................... 11

2.2.3 Interpretación de la temperatura ............................................................................ 14

3 Modelos basados en agentes ................................................................................................. 17

3.1 Introducción a la modelación basada en agentes ........................................................... 17

3.1.1 Agentes..................................................................................................................... 18

3.1.2 Relaciones ................................................................................................................ 20

3.1.3 Ambiente .................................................................................................................. 22

3.2 Desarrollo de un modelo basado en agentes.................................................................. 22

3.3 Elección de una herramienta para la implementación del ABM .................................... 26

3.4 Diseño conceptual del modelo ........................................................................................ 27

4 Estudio de las variables relevantes del modelo de difusión basado en el modelo de Ising .. 30

4.1 Percepción individual: su influencia en la valoración ..................................................... 31

4.1.1 Percepción individual constante en el tiempo y en el espacio ................................ 32

4.1.2 Percepción individual variable en el espacio ........................................................... 35

4.1.3 Ponderación de la percepción individual y la presión social ................................... 39

4.2 Efecto de la semilla inicial ............................................................................................... 40

4.3 Influencia social: modificaciones en la topología de la red............................................. 44


Tesista: Santiago L. Rovere | Director: Dr. Carlos E. Laciana iii

4.3.1 Cambios en la probabilidad de reconexión. ............................................................. 45

4.3.2 Introducción de un referente común (hub). ............................................................ 46

4.4 La temperatura como indicador de incertidumbre global .............................................. 48

4.5 Propiedades de escala ..................................................................................................... 49

4.6 Competencia: estudio e implementación de un modelo simple .................................... 53

5 Asociaciones entre el modelo de agentes y el modelo macroscópico de Bass ..................... 56

5.1 Objetivo de la propuesta ................................................................................................. 56

5.2 Descripción del modelo ................................................................................................... 58

5.2.1 Introducción ............................................................................................................. 58

5.2.2 Fundamentación probabilística del modelo de Bass ............................................... 59

5.3 Adaptación del modelo de agentes................................................................................. 63

5.3.1 Parametrización del modelo de agentes ................................................................. 64

5.3.2 Criterio para introducir innovadores ....................................................................... 65

5.4 Análisis de resultados ...................................................................................................... 66

5.4.1 Generación de trayectorias de adopción sintéticas mediante ABM ....................... 67

5.4.2 Ajuste para la obtención de los parámetros de Bass p y q ...................................... 68

5.4.3 Asociación de parámetros de Bass a cambios en variables microscópicas ............. 70

5.4.4 Comparación de valores de p y q estimados con valores reales ............................. 73

5.4.5 Relación entre el tiempo de takeoff y los parámetros microscópicos .................... 75

5.5 Ejemplo de aplicación...................................................................................................... 77

Conclusiones................................................................................................................................... 79

Referencias ..................................................................................................................................... 82

Apéndice I..................................................................................................................................... A-1


Tesista: Santiago L. Rovere | Director: Dr. Carlos E. Laciana 1

1 Introducción

1.1 Reseña histórica

El estudio de la difusión de innovaciones se remonta a principios del siglo pasado, cuando el

abogado y juez francés Gabriel Tarde [1] (uno de los padres de la sociología y psicología social)

realizó algunas generalizaciones de lo que él llamó las Leyes de Imitación. El propósito de sus

estudios fue entender por qué dadas “100 diferentes innovaciones (productos, procesos

industriales, etc.) concebidas al mismo tiempo, 10 prosperaban y 90 quedaban en el olvido”.

Tarde fue un adelantado de su época en lo que respecta a la difusión de innovaciones. Introdujo

el concepto de imitación como factor decisivo en el proceso de adopción, observó que

usualmente las curvas que describían el porcentaje de adopción tenían una forma de S y

descubrió que el proceso entraba en una etapa de despegue cuando los líderes de opinión

tomaban una postura respecto de la innovación.

Otros investigadores que realizaron contribuciones al respecto en forma independiente a Tarde

fueron un grupo de antropólogos conocidos como los Difusionistas ingleses y Difusionistas

germano-austríacos [1]. El difusionismo era el punto de vista dentro de la antropología que

explicaba el cambio dentro de una sociedad debido a la introducción de innovaciones de otra

sociedad. La visión que tenían estos investigadores no es aceptada totalmente en la actualidad,

ya que ellos proclamaban que todos los cambios sociales se debían únicamente a la difusión. En

cambio, el punto de vista actual se basa en la noción de que los cambios sociales se deben tanto

a la generación de innovaciones locales como a la difusión.

La más importante contribución de estos pioneros europeos fue que, producto de sus

investigaciones, otros científicos se interesaron también por el estudio de la difusión de

innovaciones. Estos estudios fueron retomados por antropólogos estadounidenses en la década

de 1920. Es importante destacar que cada disciplina se focalizaba en investigar distintos tipos de

innovaciones (por ejemplo, los sociólogos rurales se enfocaban en innovaciones propias de la

agricultura). Estas líneas de investigación motivaron indirectamente al estudio que Ryan y Gross

[1] llevaron a cabo sobre las semillas de maíz híbrido en Iowa, trabajo que impulsó el paradigma

básico para estudiar la difusión de innovaciones. El nuevo paradigma que ellos presentaban se

enfocaba en el estudio de cuatro aspectos de la difusión: (1) el proceso de innovación-difusión

de un individuo incluyendo las etapas secuenciales de concientización, evaluación y adopción;

(2) el rol de los canales de comunicación como transmisores de la innovación; (3) la forma de la

curva de adopción; (4) las características personales, económicas y sociales de los decisores,

agrupados en ciertas categorías de acuerdo al momento de adopción de la innovación.



Hasta la década de 1960, cada disciplina realizaba sus estudios de difusión con interacción casi

nula con el resto de las disciplinas. Fue a partir de este momento, en que las fronteras de estas

líneas de investigación comenzaron a hacerse más borrosas y comenzaron a converger hacia un

único cuerpo conceptual debido a importantes trabajos de Fourt y Woodlock (1960)[2],

Mansfield (1961)[3], Floyd (1962)[4], Rogers (1962)[1], Chow (1967)[5] y Bass (1969)[6]. Este

último ha tenido una gran aceptación y ha dado lugar a una gran cantidad de trabajos debido a

su simplicidad y alto grado de ajuste a datos históricos. En el capítulo 5 de esta tesis de

describirá con mayor detalle.

En la década de 1970 y 1980, los avances más importantes se enfocaron en modificar los

modelos existentes hasta ese momento para brindarles mayor flexibilidad[7]: (1) introducción

de variables de marketing (Robinson y Lakhani introdujeron el impacto del precio de los

productos en el modelo de Bass lo cual permitió estudiar estrategias de variación del mismo)[8];

(2) generalización de los modelos para poder abarcar innovaciones en distintas etapas y en

distintos países [9]; (3) generalización de los modelos para considerar las generaciones

tecnológicas(versiones modernizadas de productos existentes) [10].

Actualmente, en la literatura encontramos diversas líneas de investigación relacionadas con la

difusión de innovaciones (productos o tecnologías). Una forma de clasificarlas es de acuerdo a

las siguientes categorías: a) nivel macroscópico o agregado y b) nivel microscópico o individual

[11, 12]. Las primeras se centran en el análisis del proceso de difusión a gran escala, teniendo en

cuenta ciertas propiedades medias de los decisores. Producto de estas líneas de investigación,

han surgido modelos analíticos capaces de describir y predecir la difusión de un producto

dentro de un mercado [7]. Las últimas, ahondan más en las propiedades microscópicas del

decisor (preferencias individuales, interacción entre decisores vía redes sociales, etc .) que

influyen en la probabilidad de adopción de la innovación de dicho individuo [12].

El presente trabajo se enfocará principalmente en estas últimas líneas de investigación. Dentro

de las mismas, se encuentra la denominada modelación basada en agentes, la cual ha cobrado

gran importancia debido a su capacidad para modelar sistemas complejos. Principalmente, los

modelos de agentes más usados derivan del conocido modelo de autómata celular, dado que

representan un sistema compuesto por un conjunto de objetos discretos que interactúan entre

sí y evolucionan en pasos discretos. Particularmente, los modelos de agentes aplicados al

estudio de difusión de innovaciones están basados en la superación de cierto umbral de

decisión por parte del decisor [12, 13], que contemplan tanto las características propias del

mismo (como por ejemplo la evaluación personal en cuanto a la adopción), así como también la

observación de la actitud de sus pares. La interacción entre los agentes se da mediante la

implementación de redes que pueden ser de diverso tipo: desde las regulares (que permiten

una descripción más apropiada en los casos donde es más importante la cercanía geográfica),



pasando por las redes de mundos pequeños (aplicables a numerosos problemas de las ciencias

naturales y sociales) hasta las puramente estocásticas [14]. Recientemente gran cantidad de

investigación sobre redes ha sido motivada por el estudio de la Internet, desarrollándose

criterios para definir conectividad y probabilidad de que una dada información alcance un nodo

determinado.

1.2 Motivación y objetivos

El estudio de la difusión de innovaciones puede ser abordado desde dos perspectivas diferentes:

el enfoque microscópico y el macroscópico. A nivel macroscópico, el mercado entero es

examinado a fin de identificar o pronosticar la cantidad de consumidores que eventualmente

adoptarán la innovación (el tamaño del mercado) y cuándo lo harán (la trayectoria de

adopción). Gran cantidad de estudios de nivel macroscópico están basados en el trabajo de Bass

[6] descripto con mayor detalle en el capítulo 5.

Los modelos macroscópicos proveen expresiones analíticas para estudiar el mercado como un

todo e interpretar su comportamiento. La ventaja de éstos es que utilizan información a nivel de

mercado para pronosticar las ventas [15], frecuentemente más disponible que la información de

los decisores a nivel individual. Por el contrario éstos no dan ninguna información acerca de los

procesos que determinan la adopción ni de los efectos de las interacciones individuales en

relación al comportamiento global del mercado [16].

Por otro lado, a nivel microscópico cada decisor (un individuo, familia o compañía) debe decidir

entre adoptar o no una innovación. En este enfoque el énfasis es puesto en entender los

procesos y factores que influencian al decisor en su toma de decisión - incluyendo tanto

características del producto como las interacciones sociales – y en analizar cómo éstos afectan

al proceso de difusión a nivel agregado [12, 17]. Comprender la naturaleza de éstos procesos

puede facilitar la elaboración de estrategias de marketing [18].

En las últimas décadas se ha comenzado a dar creciente importancia a la estructura social como

canal necesario para la difusión de las innovaciones. Una asunción implícita de los enfoques

macroscópicos tales como el modelo de Bass es que los decisores pertenecientes al mercado

potencial están totalmente conectados. Es decir, que cada individuo puede potencialmente

interactuar con cualquier otro y ejercer la misma influencia social sobre todos [19].

Esto es claramente no realista, dado que existe evidencia considerable que las redes sociales no

son homogéneas ni totalmente conectadas. En particular, las topologías de redes conocidas

como redes de mundos pequeños (SWN por sus siglas en inglés [20]) aparecen frecuentemente

en modelos de relaciones sociales [21]. Como se verá más adelante, las redes de mundos



pequeños tienen la característica de ser muy eficientes en términos de propagación de la

información [22, 23].

Además de la influencia social, existe una tendencia reciente en la literatura sobre difusión de

innovaciones a enfatizar la heterogeneidad en las características de los decisores – tales como la

susceptibilidad al comportamiento de los pares o sensibilidad al precio – como un factor que

afecta notablemente la propensión a adoptar de un individuo [12].

Estudios recientes han incluso desafiado la noción prevaleciente de que el contagio es un

importante motor de la difusión de un nuevo producto, apuntando en cambio a que la forma

típica de las curvas de difusión no se deriva del contagio social sino más bien de la

heterogeneidad entre individuos y su tendencia intrínseca a adoptar [18]. Esto es un punto a

favor de los modelos microscópicos dado que la heterogeneidad no está explícitamente

considerada en los modelos macroscópicos.

Los modelos simulados (como por ejemplo autómatas celulares, basados en agentes o modelos

de percolación) proveen una manera sistemática de llevar a cabo experimentos con el fin de

entender el efecto de variables microscópicas sobre los procesos de difusión [12].

Recientemente, la modelación basada en agentes [24, 25] ha sido utilizada en gran cantidad de

estudios sobre difusión de innovaciones debido a que ésta tiene la ventaja de superar ciertas

limitaciones de los modelos macroscópicos tales como la asunción de homogeneidad de

decisores o la ausencia de estructura social.

En los modelos de difusión de innovaciones basados en agentes, la unidad de modelación es el

individuo, consumidor o agente y los procesos microscópicos que son el motor del proceso de

adopción. En consecuencia, la dinámica macroscópica de la difusión emerge del

comportamiento agregado de los agentes y la interacción entre ellos [26].

Más aún, los modelos basados en agentes son capaces de capturar características heterogéneas

en diversos aspectos tales como respuesta al precio y la publicidad [27], comunicación de

opinión negativa [28], capacidad intrínseca de innovación de los consumidores [29] y roles

dentro de una red social – como por ejemplo la influencia de líderes de opinión y asesores [30].

En vista de las bondades que presentan este tipo de modelos, se plantean dos objetivos

principales para esta tesis:

Proponer un modelo microscópico de difusión de innovaciones que reúna las ventajas de

los modelos de agentes anteriormente mencionados. Además que el mismo se base en

una analogía con un modelo proveniente de la mecánica estadística (modelo de Ising),

siguiendo la tendencia actual de la disciplina moderna conocida como sociofísica, la cual

aprovecha nociones de termodinámica en las modelaciones sociales [31]. Alcanzar este



objetivo permitirá explorar el efecto de los procesos microscópicos y los patrones

emergentes resultantes de la manipulación de las variables microscópicas que

caracterizan dichos proceso. Desde un punto de vista teórico, éste será el aporte de esta

tesis, dado que el modelo propuesto constituye una herramienta versátil la cual no sólo

se utilizará para obtener implicancias prácticas en este trabajo sino que también

posiblemente en otros futuros trabajos. La realización de este modelo ha dado lugar a la

publicación de un artículo por parte del autor y del director de esta tesis [32]

Haciendo uso del modelo mencionado en el punto anterior, se explorarán las

asociaciones existentes entre los microparámetros propios de dicho modelo y los

patrones emergentes del ampliamente utilizado modelo macroscópico de Bass.

Entender la vinculación entre ellos permitirá a los expertos en marketing elaborar

ensayos de laboratorio (utilizando el modelo de agentes) para que, mediante la

modificación de los valores de los microparámetros relacionadas a de variables de

control plausibles de intervención, se puedan observar los patrones eme rgentes

resultantes y de esta manera determinar las estrategias de marketing necesarias para

optimizar la difusión de un producto. Este será el aporte del presente trabajo desde un

punto de vista aplicado, el cual a su vez ha dado lugar a la publicación de un segundo

artículo [33].

1.3 Estructura de la tesis

El presente trabajo se organizará en 6 capítulos, de los cuales la presente introducción es el

primero.

A continuación, en el capítulo 2 se realizará una explicación detallada del modelo de Ising desde

su origen en la mecánica estadística (para el estudio del comportamiento de materiales

ferromagnéticos) hasta su adaptación a contextos sociales, en particular a la descripción de

procesos de difusión de innovaciones.

En el capítulo 3 se darán los detalles de implementación computacional del modelo de Ising

explicado en el capítulo anterior. Para ello, primero se introducirán las nociones conceptuales

de la modelación basada en agentes y finalmente se darán detalles del middleware a utilizar

para implementar dicho modelo de agentes, su funcionamiento y características.

El capítulo 4 consistirá en una serie de ensayos que tendrán dos objetivos fundamentales:

a. Aplicar el modelo propuesto para analizar el efecto de las variables microscópicas en

los procesos de difusión de innovaciones, que en conjunto con lo descripto en los

capítulos 2 y 3 y el modelo implementado tiende a cerrar lo planteado en el primer

objetivo de la tesis.



b. Sentar las bases necesarias en cuanto a la identificación de parámetros y sus rangos de

aplicación para que luego éstos puedan ser utilizados en el capítulo 5 para realizar la

exploración de asociaciones entre variables microscópicas y patrones emergentes.

También en este capítulo se presentarán algunos estudios de interés para abrir caminos a

futuros trabajos, tales como (a) uso de temperatura como indicador de incertidumbre global, (b)

propiedades de escala y (c) ilustración de un modelo de competencia entre opciones.

En el capítulo 5, utilizando todo lo analizado en el capítulo 4 se realizará la exploración de

asociaciones entre las variables microscópicas del modelo de agentes y los patrones emergentes

resultantes del modelo de Bass. Los resultados de este capítulo completan el segundo objetivo

planteado para esta tesis.

Finalmente, en el capítulo 6 se darán las conclusiones generales del trabajo así como propuestas

futuras de acuerdo a los resultados obtenidos.



2 Modelo de Ising

2.1 Orígenes del modelo de Ising

El modelo de Ising fue propuesto por Ernst Ising en 1925 [34]. Es un modelo que se utiliza en

mecánica estadística para explicar las transiciones de fase en materiales ferromagnéticos. Este

modelo parte de la representación de un material a través de una red regular de N nodos donde

cada uno de ellos es un ion metálico el cual tiene una propiedad física denominada espín (del

inglés spin) que caracteriza el campo magnético local producido por esa partícula. Estos espines

pueden ser vistos como imanes microscópicos cuyo estado puede ser -1 o +1 de acuerdo a la

orientación respecto a un campo magnético externo tomado como referencia [35].

Cada espín interactúa con sus espines vecinos, los cuales influyen entre sí y muestran una

tendencia a alinearse en una misma orientación, que equivale a decir que tienden a estar en el

mismo estado. Esta interacción se da más fuertemente entre los primeros vecinos, es decir,

entre aquellos que están a distancia 1 entre sí. En adelante, nos referiremos al estado del espín

en la posición i de la red como si. Habiendo definido esta cantidad, podemos expresar la energía

total del sistema mediante la siguiente ecuación:

1 ( ) 1 1

, N N N

ik k i i i i

i k V i i i

E w s h s m s E

(1)

donde wik es el coeficiente de acoplamiento entre el espín i y sus vecinos inmediatos, h es un

campo magnético constante externo y mi es el campo magnético alrededor de i [36].

Los modelos físicos se basan en el principio fundamental de minimización de la energía, caso

que se da cuando todos los espines están orientados en la misma dirección (es decir, que todos

se encuentran en el estado -1 o +1). Pero además, este principio tiene que estar balanceado con

otro principio contrapuesto que es el de la maximización de la entropía [35]. Josiah Williard

Gibbs desarrolló en manera precisa una formulación que balancea ambos. Para alcanzar este

objetivo, la probabilidad de encontrar el espín i en el estado si está dada por la siguiente

expresión:

,

iE

kT

i

eP s

Z

(2)

donde Ei es el estado de energía del espín i, k es la constante de Boltzmann, T es la temperatura

y Z es la llamada función de partición del sistema, dada por la siguiente expresión:



1

.iEN

kT

i

Z e

(3)

Utilizando la condición de balance detallado [37], la cual garantiza la convergencia al equilibrio

(representando con el estado de partida y el estado de llegada)

,i i i i i iP s P s s P s P s s (4)

podemos obtener una fórmula para calcular la probabilidad de transición entre los dos estados

posibles. De (2) y (4) se tiene que:

( ) ( ).

( )

i iE Ei i

i kT

i i i

P s sP se

P s P s s

(5)

Como existen sólo dos estados posibles, sabemos además que:

1.i i i iP s s P s s (6)

De (5) y (6) llegamos a la siguiente expresión:

( )

1.

i iE Ei i

kT

i i

P s se

P s s

(7)

Despejando de esta última ecuación la probabilidad de transición, obtenemos:

( )

1 .

1i i

i i E E

kT

P s s

e

(8)

Reemplazando = 1/kT y usando la definición dada en la Ec. (8), obtenemos la fórmula para la

transición de estados:

2

1 1 .

1 ii m

P se

(9)



2.2 Aplicación a un contexto social

El modelo de Ising ha sido aplicado en numerosos trabajos para simular diferentes dinámicas

sociales como procesos de formación de opinión [38-40] y difusión de innovaciones [41]. Esto se

debe a la posibilidad de evaluar a nivel microscópico el estado individual de cada agente del

sistema. Dicho estado puede ser una posición política, la adopción o no de un nuevo producto o

tecnología, el contagio o no de una enfermedad, etc.

Éste modelo considera solamente las interacciones con los vecinos espaciales más cercanos, los

cual significa que es una interacción de corto alcance. Se debe tener sumo cuidado al aplicar

este modelo a las ciencias sociales, ya que en este contexto, la interacción de corto alcance

puede ser una expresión carente de sentido. Esto se basa en el hecho de que las interacciones

entre individuos no se dan exclusivamente mediante la proximidad física. Incluso en situaciones

donde la misma es determinante (como en el caso de contagio de enfermedades), existen

interacciones de largo alcance (como pueden ser por ejemplo las migraciones de una zona a

otra).

Teniendo en cuenta lo expresado anteriormente, se debe agregar un nuevo elemento con el

propósito de adaptar el modelo de Ising a un contexto social: las redes sociales [21]. Los nodos

de ésta red son los individuos que componen el sistema a modelar cuya comunicación se

representa mediante los vínculos de la misma.

Las redes sociales son los canales para la interacción de los modelos sociales [35]. Las

características topológicas de una red tienen un considerable efecto sobre la dinámica de la

interacción. Existen diversas topologías como las redes de mundos pequeños (SWN por sus siglas

en inglés) [14, 20], las redes libres de escala [42-44], las modulares [45], las regulares [41], etc.

En nuestro caso de estudio, las redes sociales son el medio a través del cual los individuos

transmiten su estado de adopción a sus contactos, influenciándolos en su proceso de decisión.

2.2.1 Percepción individual de la utilidad

En un contexto social, los espines del modelo original de Ising equivalen a individuos o agentes

que deben elegir entre dos opciones: adoptar una innovación o no adoptarla. La magnitud mi de

la Ec. (1) puede ser interpretada como la utilidad eficaz relativa entre las opciones. En nuestro

estudio, para adoptar una notación más familiar, la denominaremos Ui. De manera similar a lo

realizado por Weisbuch y Boudjema [41] y por analogía con la Ec. (1), podemos expresar a Ui

de la siguiente manera:

1( )

2 2 1 .N

iki i k i ii

k k i v

JU s u

N

(10)



El lado derecho de la ecuación contiene dos términos principales. El primero (análogo al término

de la interacción entre espines del modelo de Ising) describe la contribución de la influencia

social, mientras que el segundo (análogo al campo magnético externo del modelo físico)

describe la contribución de la preferencia individual. En la Ec. (10), N es el número total de

agentes, Nvi el número de individuos conectados al agente i por un vínculo de primer orden en

la red social (es decir, aquellos que tienen influencia social sobre sus decisiones). Jik son los

elementos que caracterizan la conectividad social entre los agentes. Cada uno de estos

elementos representa el peso relativo o influencia de un agente sobre otro (en el caso de que Jik

= 0, esto significa que o bien los agentes i y k no están conectados por un vínculo de primer

orden o la influencia es nula).

El factor i ϵ [0, 1] mide la importancia relativa de la influencia social y de la preferencia

individual sobre la utilidad de una opción o un producto dado. Si i > 0,5 esto significa que la

influencia social es más importante que la preferencia individual y viceversa. El valor de está

fuertemente relacionado con el tipo de producto o tecnología. Por ejemplo, para mercados

donde el peso de la moda es muy importante, será cercano a 1 (es decir que la influencia

social prevalece). El parámetro ui puede definirse como

( )

,| ( )

i i

i

i i

u A u Bu

max u A u B

(11)

donde ui(A) y ui(B) representan la utilidad (en sentido amplio) que percibe el agente i al elegir

las opciones A o B respectivamente. De acuerdo a la Ec. (11), el valor de ui está acotado al

intervalo [-1, 1], lo que lo hace numéricamente comparable con la influencia social. La función

ui(x) puede tomar diversas formas que pueden representar, por ejemplo, el valor esperado de

los beneficios económicos de una opción dada. Alternativamente puede representar la utilidad

esperada [46], un valor obtenido mediante el uso de la Teoría de las Perspectivas [47, 48] u otra

forma de utilidad.

El uso de estos últimos paradigmas implica la modelación de decisores con características

heterogéneas, ya que existen características que son propias de cada individuo las cuales son

tenidas en cuenta al momento de calcular la utilidad (en el caso de la utilidad esperada, el

capital inicial y el coeficiente de aversión al riesgo; en el caso de la teoría de las perspectivas, el

nivel de aspiración, el coeficiente de aversión al riesgo, valoración de pérdidas, valoración de

ganancias, etc.).



2.2.2 Influencia de los pares: redes sociales

Las redes sociales son redes que representan patrones de amistad, consejo, comunicación o

soporte entre los miembros de un sistema social [49]. Como los procesos de difusión de

innovaciones usualmente involucran a miles o millones de potenciales adoptadores los

investigadores utilizan redes hipotéticas que simulan tener características similares a la de la

población que se desea modelar [50].

En el trabajo de Newman (2000)[51], el autor identifica tres aspectos esenciales que

caracterizan a la redes sociales que existen en la realidad: la longitud promedio, el coeficiente de

clustering y la distribución de grado. A continuación se describirán estas tres propiedades, para

lo cual se asumirá una red no direccionada (es decir que cada vínculo entre nodos establece un

lazo en ambos sentidos) de N nodos donde dij es la distancia mínima entre el nodo i y el nodo j.

La definición para redes direccionadas es similar.

La longitud promedio es la cantidad promedio de vínculos que une cualquier par de nodos de la

red. En redes reales, este número debe ser pequeño aún si la red es grande. Esta propiedad es

la que se conoce como de mundo pequeño e implica que dados dos nodos cualesquiera de la

red, existe forma de unirlos atravesando una cantidad pequeña de vínculos. Este concepto se

desarrollará con mayor detalle cuando se introduzca la topología de red de mundos pequeños (o

SWN por sus siglas en inglés). La longitud promedio puede expresarse de la siguiente manera:

,

1

( 1).ij

i j

L dN N

(12)

El coeficiente de clustering mide el nivel de agrupamiento o interconexión entre los vecinos de

una red. Para entender mejor este concepto es conveniente definir primero el coeficiente de

clustering local asociado a un nodo cualquiera de la red. Definimos como coeficiente de

clustering local del nodo vi a la proporción entre los vecinos de vi que están conectados entre sí

sobre la cantidad de vínculos posibles que podría haber entre dichos vecinos. Podemos expresar

el coeficiente de clustering local del nodo vi de la siguiente manera:

{ } 2 { }

,( 1)

2

jk jk

i i iiv vv

e eC

N NN

(13)

donde Nvi es la cantidad de vecinos del nodo vi y {ejk} es el conjunto de aristas que involucran a

vecinos de vi pero que no tienen como origen ni destino a vi. Luego, podemos definir al

coeficiente de clustering de la red como el promedio de los coeficientes de clustering locales:



.1

iC CN

(14)

Esta métrica mide la cantidad de triángulos o cúmulos (clusters) que hay en red.

Finalmente, el tercer indicador al que hace referencia Newman no es en número sino una

función de distribución: la distribución de grados de una red. Para poder comprender este

concepto, es necesario definir el significado de grado. Denominamos grado de un nodo vi a la

cantidad de aristas conectada a éste. Por lo tanto, la distribución de grados de una red es

simplemente una función de distribución donde la variable en cuestión es el grado de todos los

nodos de la red. Un indicador que surge como consecuencia de éste es el grado medio de una

red, definido como el promedio de la función de distribución ya mencionada. Cuanto mayor es

el grado medio, mayor será la interconexión de la red.

A continuación se mostrarán cuatro topologías de red que se utilizan muy frecuentemente

como aproximaciones de redes reales: (a) red aleatoria, (b) red regular o de autómata celular,

(c) red de mundos pequeños y (d) red libre de escala. En la Error! Reference source not found.

se muestran las cuatro topologías de red. Se analizarán las tres propiedades mencionadas

anteriormente para cada una de éstas topologías.



Fig. 1: Topologías de red utilizadas frecuentemente como aproximaciones de redes reales: (a) red aleatoria, (b) red regular o de autómata celular, (c) red de mundos pequeños y (d) red libre de escala.

En la tabla de la Fig. 2, Albert y Barabási [22] enumeran una serie de redes reales para las cuales

se ha calculado el grado medio (el cual está relacionado con la distribución de grados de las

mismas ya que es el valor medio de dicha distribución), la longitud promedio y el coeficiente de

clustering. Además, para poder tener una noción comparativa, también se indican las longitudes

promedio y coeficientes de clustering para una red aleatoria con la misma cantidad de nodos.



Fig. 2: En la primer columna (network) se detalla la red real descripta; la segunda (size) indica la cantidad de

nodos muestreados de dicha red; la tercera (k), su grado medio; la cuarta y quinta (l y lrand) representan la longitud promedio para la red real y una aleatoria respectivamente; la sexta y la séptima (C y Crand), el coeficiente de clustering para la red real y una aleatoria respectivamente [22].

2.2.3 Interpretación de la temperatura

La Ec. (9) muestra la forma de calcular la probabilidad de pasar de un estado a otro. En el caso

de un sistema social esto es análogo a calcular la probabilidad de “dejar de utilizar el producto o

tecnología A y comenzar a utilizar el producto o tecnología B” (o viceversa). Ésta fórmula

contiene el parámetro que es función de la temperatura.

En un contexto social, la temperatura se puede interpretar como ruido al azar debido a

circunstancias erráticas que influencian la opinión de todos los agentes sobre las ventajas de

elegir una de las dos opciones [52, 53]. Por ejemplo, si los agentes son productores agrícolas

decidiendo sobre la adopción de una nueva tecnología, la temperatura representa fluctuaciones

relacionadas con ciertos eventos como epidemias, fluctuaciones climáticas anuales,

acontecimientos políticos, etc. Estos acontecimientos cambian la percepción de los productores

y pueden hacerlos tomar decisiones que no hubieran tomado bajo circunstancias normales [41].

Los efectos de modificar el parámetro de temperatura pueden observarse a partir del análisis de

la Ec. (9). Cuando T→0 (no hay ruido aleatorio), la probabilidad de alcanzar un estado

determinado (o lo que es lo mismo, de adoptar un producto o tecnología) está dada por el signo

de Ui. Para el caso de pasar al estado +1 (lo que es equivalente a adoptar la innovación),

tenemos que:



20

1lim ( 1) lim .

1 ii UT

P se

(15)

Como es siempre mayor que cero, entonces el signo del exponente de la exponencial del

denominador es opuesto al signo de Ui. En la siguiente explicación, diremos que un producto o

tecnología es mejor, peor o igual que otro siempre basándonos en el valor de la utilidad eficaz

relativa o Ui, lo cual ocurre cuando éste toma valores mayores que cero, menores que cero o

igual a cero respectivamente.

Si el signo de Ui es negativo, la exponencial del denominador tiende a infinito, y por

consiguiente, la probabilidad de adoptar la innovación tiende a cero. También puede observarse

que si Ui es positivo, la probabilidad de adoptar la innovación tiende a 1. Y finalmente, cuando

Ui es igual a cero, la probabilidad de adoptar cualquiera de las dos opciones es en ambos casos

igual a 0,5. Es decir, que cuando la temperatura tiende a cero, ocurre lo que uno esperaría a

priori: se elige el producto que mejor utilidad eficaz tiene y cuando ambas son iguales, la

elección de cualquiera de ellos es indistinta. Esta afirmación podemos expresarla de la siguiente

manera:

0

1 0

lim ( 1) 0,5 0

0 0

i

i iT

i

si U

P s si U

si U

(16)

Sin embargo, cuando la temperatura es mayor que cero, la elección deja de estar determinada

por completo por la utilidad eficaz relativa, y la temperatura comienza a tener un papel más

preponderante a medida que ésta aumenta. En el caso de que la temperatura sea demasiado

alta (lo que significa que el grado de incertidumbre global es muy grande), la probabilidad de

adoptar la innovación toma a siguiente forma:

20

1 1lim ( 1) lim .

1 2ii UT

P se

(17)

Lo mismo sucede con la probabilidad de adoptar el producto o tecnología anterior (también

llamada opción default), la cual tiende a 0,5 cuando la temperatura tiende a infinito. Es

interesante notar que cuando la temperatura es muy alta, la elección ya no depende de la

utilidad eficaz relativa sino que es totalmente aleatoria.

Por otra parte cuando la temperatura es finita (y no necesariamente muy alta), en el caso que la

diferencia de utilidad sea positiva para la transición considerada previamente, la probabili dad

de adopción será mayor que 0,5, mostrando la tendencia a adoptar +1. Sin embargo, dado que



dicha probabilidad será menor que 1, resulta que está asegurada la adopción, hecho que pone

de manifiesto la incertidumbre en la decisión. De allí que podamos asociar la incertidumbre con

la temperatura.



3 Modelos basados en agentes

3.1 Introducción a la modelación basada en agentes

Los modelos basados en agentes se rigen fundamentalmente por la noción de que la totalidad

de un sistema es mayor que la suma de las partes [25]. Cada componente del sistema tiene una

serie de atributos, reglas y responsabilidades. Pueden incluso existir interacciones entre éstos

componentes, pero ninguno de ellos por sí solo determina el comportamiento total del sistema.

A éste conjunto de componentes se lo denomina sistema complejo adaptativo. Los modelos

basados en agentes son capaces de modelar éste tipo de sistemas combinando distintas

técnicas como por ejemplo la simulación por eventos discretos y la programación orientada a

objetos.

Existen otras técnicas de modelación capaces de abordar éste tipo de sistemas, tales como la

modelación estadística, optimización, simulación participativa, etc. Pero todas presentan

dificultades en capturar interacciones altamente no lineales muy comunes en éste tipo de

problemas las cuales producen las denominadas conductas o patrones emergentes.

Además, existen dos características fundamentales que distinguen a la modelación basada en

agentes de otras técnicas de modelación: el énfasis en la introducción de heterogeneidad en los

atributos y comportamiento de los agentes y la posibilidad de observar patrones emergentes

como producto resultante de la simulación [54].

Un modelo de agentes está compuesto por un conjunto de decisores que, valga la redundancia,

son llamados agentes. Estas entidades son objetos con una serie de atributos y reglas de

comportamiento. Los agentes no son entidades aisladas sino que se encuentran insertos dentro

de un ambiente (llamado contexto) el cual les permite interactuar con otros agentes de acuerdo

a los vínculos que el modelador desee establecer [25].

Por lo expresado anteriormente, podemos decir que un modelo de agentes posee la sig uiente

estructura básica: (1) un conjunto de agentes autónomos, cada uno de los cuales tiene definida

una serie de atributos y reglas de comportamiento; (2) un conjunto de relaciones y métodos de

interacción los cuales se basan en alguna topología definida por el modelador; (3) un ambiente

con el cual los agentes interactúan además de hacerlo con otros agentes [54]. A continuación se

explicará con mayor detalle cada uno de estos tres componentes. En la Fig. 3 se muestra en

forma esquemática la relación entre estos tres componentes.



Fig. 3: La estructura de interacción típica de un modelo basado en agentes, la cual incluye el conjunto de

agentes, las topologías que definen las relaciones entre éstos y el ambiente con el cual intercambian información [54].

3.1.1 Agentes

Desde el punto de vista teórico, no hay consenso universal en la definición precisa de lo que es

un agente. Si puede decirse que la característica más importante de dichas entidades es el

comportamiento autónomo. Esta característica permite que los agentes actúen en forma

independiente y sin dirección externa en respuesta a situaciones con las que se va encontrando

a lo largo de la simulación [54].

Existen autores [55] que sostienen que un agente tiene que poseer además capacidad de

adaptación. Esto implica que existan dos niveles de reglas: (1) reglas de bajo nivel para regular el

comportamiento de los agentes; (2) reglas de alto nivel que permitan alterar las reglas

anteriormente mencionadas (por ejemplo en agentes que implementen un comportamiento

con inteligencia artificial). Estas reglas permiten incorporar un comportamiento adaptativo más

avanzado.

Desde el punto de vista práctico, Macal y North en su trabajo de 2010 [54] indican una serie de

características en común que han observado en todas las modelaciones basadas en agentes

(tanto las realizadas por ellos mismos como así también las presentes en la bibliografía del

tema), concluyendo entonces que los agentes reúnen las siguientes condiciones:

a. Son auto-contenidos, modulares e identificables. Esto permite distinguir los límites de cada

agente, pudiendo determinar qué es parte de un agente y qué no.



b. Son autónomos y auto-dirigidos, característica explicada inicialmente y la cual es la más

importante de todas.

c. Tienen un estado que varía a lo largo de la simulación. El estado es un subconjunto de sus

atributos que representan la situación actual del agente.

d. Tienen comportamiento social, lo cual implica que son influenciados e interactúan con otros

agentes.

Estas características enumeradas por Macal y North son a criterio de dichos autores, las

esenciales para que una entidad pueda ser denominada agente. Existen también otras

características comunes a los agentes pero que no están presentes en todos los modelos:

a. Adaptabilidad: Es el mecanismo por el cual un agente puede cambiar sus reglas de

comportamiento a través del aprendizaje lo cual permite a los mismos adaptarse a los

cambios en el ambiente.

b. Evaluación de objetivos: Este mecanismo permite la autoevaluación de cada agente, lo cual

puede ser un disparador de reglas de interacción y/o adaptación.

c. Heterogeneidad: Este es uno de los fuertes de la modelación basada en agentes. A

diferencia de otros tipos de modelos donde las entidades tiene ciertas características

medias, los agentes pueden tener un alto nivel de heterogeneidad, tan alto como el

modelador lo desee.

En la Fig. 4 se observa un esquema descriptivo de un agente.



Fig. 4: Esquema típico de un agente, el cual consta de atributos estáticos o dinámicos y métodos que definen

su comportamiento y reglas de adaptación [25].

3.1.2 Relaciones

En la modelación basada en agentes es tan importante la descripción de los agentes mediante

sus atributos, reglas de comportamiento y adaptación como también la especificación de la

dinámica de interacción. Es importante destacar que los agentes no interactúan necesariamente

con todos los demás agentes existentes, sino más bien con un subconjunto de ellos

denominados contactos o vecinos. También es importante resaltar que ese conjunto de

contactos o vecinos puede variar a lo largo de la simulación [54].



La forma en que los agentes se encuentran conectados se denomina topología. Las topologías

típicas que se utilizan son grillas o redes. La topología indica básicamente quién se conecta con

quién. El conjunto de contactos o vecinos se denomina vecindario. El vecindario es un concepto

genérico que no necesariamente denota cercanía física.

Los primeros modelos de agentes se basaban en el conocido modelo de autómata celular, por lo

que el vecindario era el conjunto de primeros vecinos dentro de en una grilla bidimensional.

Actualmente se utilizan más topologías que permiten modelar situaciones más realistas como

por ejemplo redes de mundos pequeños, redes libres de escala, espacios GIS (método de

representación espacial diseñado para manipular información geográficamente referenciada),

etc.

Una característica importante es que dentro de un modelo de agentes, los mismos pueden

presentar interacciones a través de más de una topología. Supongamos por ejemplo que

queremos simular las interacciones de un productor agropecuario. Es lógico pensar que el

productor interactúa con sus productores vecinos. Esta proximidad física puede representarse

de una manera simplificada mediante una grilla bidimensional, o de manera más compleja,

mediante un espacio GIS. Pero además, los productores agropecuarios tienen interacciones con

otros productores que no son vecinos sino más bien conocidos, amigos o contactos

profesionales. Incluso pueden interactuar con otros agentes que no sean siquiera productores

(por ejemplo, asesores profesionales). Este tipo de interacción se representa típicamente a

través de redes.

De este modo, vemos que en un modelo de agentes puede existir más de una topología,

ninguna de las cuales es necesariamente más importante que las demás, sino que son

complementarias. A continuación se muestra la Fig. 5 con distintas configuraciones de

vecindarios.



Fig. 5: Tipos de proyecciones a partir de las cuales se implementan las topologías que definen las relaciones entre los agentes: (a) grilla bidimensional, (b) espacio euclídeo, (c) red, (d) espacio GIS y (e) modelo no espacial [25].

3.1.3 Ambiente

Como se dijo anteriormente, los agentes interactúan entre sí y además con el ambiente. El

ambiente es un contexto genérico que básicamente provee información común a todos los

agentes. Esta información puede ir desde la localización espacial de cada agente hasta

conjuntos de datos más complejos. Por ejemplo, retomando el caso de los productores

agropecuarios, el contexto puede proveer información climática, precios de commodites, costos

de insumos y labores, etc. para una campaña agrícola determinada.

Esta información es accesible por todos los agentes y es imprescindible para la toma de

decisiones y el correcto funcionamiento del modelo.

3.2 Desarrollo de un modelo basado en agentes

El desarrollo de un modelo de agentes requiere principalmente de la correcta identificación y

descripción de los tres ítems enumerados anteriormente: los agentes y las relaciones en ellos y



el ambiente en el que se encuentran insertos. A fin de poder llevar a cabo con éxito esta

descripción, Macal y North [25] proponen una serie de preguntas iniciales que todo diseñador

debería realizarse. Para una mayor comprensión se detallan las mismas clasificadas en grupos:

I. Aspectos respectivos al modelo en general

a. ¿Qué problema específico debe resolver el modelo?

b. ¿Qué preguntas específicas debe responder el modelo?

c. ¿Qué valor agregado da la modelación basada en agentes al estudio del proble ma

que otras técnicas no brinda?

d. ¿De qué manera se validaría el modelo, en particular el comportamiento de los

agentes?

II. Aspectos relacionados con los agentes

a. ¿Qué son los agentes dentro del modelo?

b. ¿Quiénes son los tomadores de decisión?

c. ¿Cuáles son las entidades que tienen un comportamiento modelable y de interés ?

d. ¿Qué atributos de los agentes son simplemente descriptivos (estáticos) cuáles son

modificados endógenamente como resultado del modelo (dinámicos)?

e. ¿Cuáles son las decisiones que puede tomar un agentes y basadas en qué

mecanismos?

III. Aspectos relacionados con las interacciones entre los agentes

a. ¿De qué manera interactúan los agentes entre sí?

b. ¿Quiénes son los agentes con los que un decisor determinado escoge interactuar?

IV. Aspectos relacionados con las interacciones con el ambiente

a. ¿Cuál es el ambiente en el cual los agentes se encuentran insertos?

b. ¿Es importante considerar la movilidad espacial de los agentes dentro del ambiente?

c. ¿Qué o quién provee los datos que sirven de entrada al modelo?

Este listado no es exhaustivo, pero representa un buen punto de partida para la comprensión

conceptual cuando se aborda una problemática mediante el uso de un ABM.



La modelación basada en agentes puede efectuarse, en principio, utilizando lenguajes de

programación de propósito general. Sin embargo, hoy en día existe una gran variedad de

software cuyo propósito específico es el de abordar este tipo de problemas para prototipos o

pequeños modelos que corran en estaciones de trabajo de escritorio o grandes modelos que se

ejecuten en clusters de computadoras preparados para dicho propósito.

Estos programas mencionados proveen servicios específicos, entre los cuales podemos

mencionar los siguientes:

I. Especificación de proyectos: para brindar a los modeladores una manera de agrupar

recursos que constituyen un modelo (base de datos, ficheros, código fuente, librerías,

etc). Los servicios de especificación de proyectos los podemos clasificar en:

a. orientados por librerías, en los cuales existe una API (Application Programming

Interface) a través de la cual el modelador puede efectuar llamadas a clases

existentes, lo cual provee un alto grado de flexibilidad para el programador. Un

ejemplo de éstos son las librerías JAR (Java Archive) utilizadas por REPAST, las

librerías binarias de Swarm, etc.

b. Mediante un IDE (Integrated Development Environment), el cual permite

organizar a través de un entorno gráfico la construcción del modelo, que

generalmente son sencillos de aprender y utilizar pero a veces tienen

dificultades desde el punto de vista de la escalabilidad. Un clásico ejemplo de

éstos es el NetLogo [56].

c. Un híbrido entre ambos. Los middleware Repast Simphony [57] y AnyLogic [58]

son ejemplos de software que proveen tanto la flexibilidad de uso de librerías

como la facilidad de construcción de un modelo mediante un entorno gráfico.

II. Especificación de agentes: para proveer los medios al modelador que le permitan

definir los atributos y comportamientos de los agentes. Para éste servicio se utilizan

básicamente las prestaciones de los lenguajes clásicos orientados a objetos como C++,

Java, etc. Como también mecanismos de programación gráfica los cuales son mucho

más sencillos pero también más limitados (ver figura 3.2a).

III. Especificación y almacenamiento de datos de entrada: permiten configurar y almacenar

los datos necesarios para inicializar las simulaciones de posibles escenarios del modelo.

La inicialización de datos puede variar, desde un mecanismo interactivo a través de una

interfaz gráfica hasta la implementación programática de su lectura a través de ficheros

o bases de datos. El almacenamiento de los datos puede admitir diversos formatos que

pueden ir desde archivos XML, hojas de cálculo, bases de datos relacionales o archivos

GIS.



IV. Ejecución del modelo: proveen al modelador un mecanismo para correr e interactuar

con el modelo. La ejecución interactiva permite ver y modificar atributos de los agentes

en cualquier instante de la simulación. Esto es especialmente útil en etapas tempranas

del desarrollo del modelo, ya que facilita la comprensión del funcionamiento en detalle

del mismo. También existen modos de ejecución por lotes, donde es posible hacer

múltiples corridas simultáneas incluso en clusters de computadoras. Este modo es ideal

para hacer barrido de parámetros, al momento de la calibración.

V. Almacenamiento de resultados y análisis: permiten analizar los resultados de una o más

ejecuciones del modelo mediante mecanismos de visualización, data mining y análisis

estadístico. Para ello, muchos ambientes permiten generar archivos de salida binarios y

de texto los cuales pueden ser importados por herramientas de análisis específicas

(como por ejemplo R, MatLab, etc).

VI. Empaquetamiento y distribución: brindan facilidades para empaquetar y distribuir e

instalar los modelos generados a fin de poder ser ejecutados por otros usuarios.



Fig. 6: Entorno de desarrollo Eclipse utilizando RePAST para crear un modelo basado en agentes. En este caso, observamos que la definición del modelo se hace en forma gráfica, lo que permite a modeladores crear prototipos rápidamente sin necesidad de escribir un programa [57].

3.3 Elección de una herramienta para la implementación del ABM

En la subsección anterior se enumeraron de manera no exhaustiva algunas herramientas que

permiten la implementación de modelos basados en agentes. Todas ellas podrían haber sido

utilizadas para el siguiente estudio. Sin embargo, dado que se cuenta con experiencia previa en

el uso del RePAST en relación a otros proyectos de investigación realizados conjuntamente con

investigadores del Laboratorio Argonne (Charles Macal y Michael North, autores de algunas de

las referencias del presente trabajo), resulta conveniente elegir este framework para

aprovechar la experiencia y el posible apoyo técnico.

Debe tenerse en cuenta que el potencial de esta herramienta excede por mucho las



necesidades de este trabajo de investigación, lo cual permite efectuar perfectamente los

experimentos planteados y pensar en futuras aplicaciones no incluidas en esta tesis ya sea

mediante el escalamiento o el agregado de mayor complejidad al modelo propuesto.

3.4 Diseño conceptual del modelo

Como se vio en la subsección 3.2, es importante que el modelador se haga una serie de

preguntas cuya respuesta serán el comienzo del diseño del mismo, no sólo a nivel informático

sino también a nivel conceptual. De este modo, a fin de poder entender mejor los experimentos

del capítulo 4 se revisarán todas las preguntas planteadas aplicando una respuesta particular al

modelo planteado:

I. Aspectos respectivos al modelo en general

a. ¿Qué problema específico debe resolver el modelo? Debe resolver el problema de

modelar la adopción de innovaciones donde existen dos opciones en competencia,

una de las cuales es el producto o tecnología existente en el mercado y la otra es

la innovación introducida.

b. ¿Qué preguntas específicas debe responder el modelo? Debe poder calcularse la

curva de proporción de adoptadores versus tiempo para una serie de escenarios

datos que surgen de la combinación de variables microscópicas las cuales se

detallarán en el capítulo 4. Esas curvas de adopción permitirán obtener patrones

emergentes relacionados con los valores de dichas variables lo cual permitirá

sacar conclusiones de los efectos producidos por las mismas.

c. ¿Qué valor agregado da la modelación basada en agentes al estudio del problema

que otras técnicas no brinda? En este caso, la posibilidad de efectuar

interacciones entre decisores mediante diversas topologías de red, la posibilidad

de modelar un comportamiento complejo basado en una gran cantidad de

variables microscópicas las cuales pueden ser las mismas para todos los agentes o

presentando algún grado de heterogeneidad.

d. ¿De qué manera se validaría el modelo, en particular el comportamiento de los

agentes? Una posible validación de nuestro modelo se realiza en el capítulo 5,

contrastando los resultados producidos por el mismo con datos experimentales

presentados en la bibliografía. Esta comparación pretende mostrar que gran

parte de los resultados obtenidos por el modelo de agentes está dentro del rango

de resultados reales, lo cual lo torna realista.

II. Aspectos relacionados con los agentes



a. ¿Qué son los agentes dentro del modelo? Los agentes son decisores que en cada

instante discreto de la simulación tienen que elegir entre dos opciones posibles

para adoptar. Además de estos decisores, existe un coordinador (un agente

abstracto a los fines de la modelación) que se encarga de brindar información a

los agentes basados en observaciones generalmente macroscópicas de la

simulación.

b. ¿Quiénes son los tomadores de decisión? Los tomadores de decisión representan

decisores genéricos para cualquier tipo de mercado. Pueden ser tanto personas

físicas como ideales. Es decir, los agentes fueron modelados a fin de poder

representar cualquier tipo de tomadores de decisión (por ejemplo, productores

agropecuarios).

c. ¿Cuáles son las entidades que tienen un comportamiento modelable y de

interés? Las entidades principales a modelar son los tomadores de decisión ya que

son los objetos cuyo comportamiento resulta de interés observar e interpretar. En

un segundo plano podemos destacar la modelación del coordinador de la

simulación (el cual no representa un agente con realidad física pero que resulta

necesario para la misma) y clases asociadas con el modelo de Ising y el modelo de

generación de la topología de red. Estas entidades modelables, si bien no tienen

un comportamiento observable de interés, son pilares fundamentales del modelo.

d. ¿Qué atributos de los agentes son simplemente descriptivos (estáticos) cuáles

son modificados endógenamente como resultado del modelo (dinámicos)? Los

atributos estáticos, entre otros, la posición espacial de los agentes dentro de una

grilla bidimensional utilizada, la diferencia de utilidad entre las dos opciones (en

casi todos los ensayos realizados), el factor de peso entre la percepción individual

y la presión social y el conjunto de contactos que se toman en cuenta al momento

de decidir el estado de adopción. Entre los atributos dinámicos podemos

enumerar a los siguientes: el estado de adopción del agente y la diferencia de

utilidad entre las dos opciones (en algunos ensayos puntuales realizados).

e. ¿Cuáles son las decisiones que puede tomar un agente y basadas en qué

mecanismos? La única decisión que pueden tomar es la de adoptar o no la

innovación propuesta. Esa toma de decisión está basada en el modelo de Ising

aplicado a contextos sociales el cual ya fue explicado en el capítulo 2.

III. Aspectos relacionados con las interacciones entre los agentes

a. ¿De qué manera interactúan los agentes entre sí? Los agentes interactúan entre

sí observando el estado de adopción de los contactos. Esta información puede ser

decisiva al momento de inclinarse por la adopción o no de la innovación.



b. ¿Quiénes son los agentes con los que un decisor determinado escoge

interactuar? Los agentes inicialmente están dispuestos en una topología de grilla

bidimensional, cuyos contactos son los primeros 4 u 8 vecinos (según se quiera

modelar un vecindario de Von Neumann o Moore respectivamente). Estos vecinos

espaciales pueden ser remplazados por otros mediante un proceso de reconexión

de la red basado en una probabilidad, dando lugar a topologías como por ejemplo

la de mundos pequeños.

IV. Aspectos relacionados con las interacciones con el ambiente

a. ¿Cuál es el ambiente en el cual los agentes se encuentran insertos? El ambiente

en este caso es una entidad abstracta, ya que como se dijo anteriormente, los

mismos fueron modelados de manera genérica para poder representar cualquier

tipo de decisor.

b. ¿Es importante considerar la movilidad espacial de los agentes dentro del

ambiente? En este modelo la movilidad espacial es irrelevante. Es por ello que la

posición del agente dentro de la grilla bidimensional es invariante en el tiempo tal

como se mencionó anteriormente.

c. ¿Qué o quién provee los datos que sirven de entrada al modelo? Cada simulación

es inicializada mediante un conjunto parámetros, algunos de los cuales

representan atributos particulares de los decisores (por ejemplo la diferencia de

utilidad entre las opciones) y otros, atributos globales (como por ejemplo la

temperatura del sistema). Los parámetros particulares son provistos a los

decisores al inicio de la simulación cuando los mismos son creados. Los globales,

son asociados al coordinador de la simulación, objeto que se encargará de tomar

las acciones necesarias de acuerdo a los valores especificados.



4 Estudio de las variables relevantes del modelo de

difusión basado en el modelo de Ising

En este capítulo se describirán una serie de experimentos realizados a partir del modelo de Ising

modificado para su aplicación a contextos sociales, el cual ha s ido descripto en el capítulo 2.

Para su implementación se ha utilizado modelación basada en agentes, implantada

concretamente utilizando el middleware REPAST, el cual también ha sido descripto en el

capítulo 3.

El objetivo del mismo es lograr entender el funcionamiento de los parámetros que componen el

modelo a fin de poder detectar aquellos que juegan un papel más relevante en el proceso de

difusión. La comprensión de estos procesos nos permitirá establecer más adelante una relación

entre los microparámetros del modelo de agentes y los patrones emergentes del modelo

macroscópico de Bass, ampliamente utilizado y validado.

Debe tenerse en cuenta que los ensayos realizados no son exhaustivos ni cubren la totalidad de

los posibles parámetros de estudio. Aun así, estos son relevantes de acuerdo a la bibliografía

citada en este trabajo y además nos alcanzan para entender gran parte de la dinámica de la

difusión y establecer un vínculo con modelos macroscópicos, tema a tratar en el capítulo 5.

En este sentido, se realizaron simulaciones en un ambiente compuesto por una red

bidimensional de 10.000 agentes ubicados en una grilla de 100x100 sin condiciones de

periodicidad toroidal. Dentro de esta grilla cada agente está conectado a sus 8 primeros vecinos

(a excepción de aquellos localizados en los bordes). Estas condiciones (cantidad de nodos,

topología de red, condición de periodicidad y cantidad de vecinos) se asumirán para todas las

simulaciones excepto para aquellas en las que se indiquen otras.

En cada paso de la simulación, denominado en adelante tick, todos y cada uno de los agentes

deciden su estado de adopción, el cual puede ser uno y sólo uno de los siguientes: adoptar o no

adoptar. Esta decisión se basa en la probabilidad de adopción descripta por la Ec. (9). Para la

mayoría de los casos, se asumirá temperatura cero, con lo cual el algoritmo será el dado por la

Ec. (16), el cual es determinista en los casos en que una de las opciones resulta ventajosa.

En todos los casos, y por una cuestión de simplicidad, se asume que el peso de los agentes sobre

la decisión de sus vecinos es constante y el mismo para todos (esto es, Jik = 1 en la Ec. (10)).

Cabe destacar además que el factor de peso entre la percepción individual de la utilidad y la

influencia social será considerado igual a 0,5 para todos los agentes como valor de base cuya

sensibilidad también abordaremos. El resto de los parámetros se explicitará en cada uno de los

distintos ensayos.



Debe tenerse en cuenta que no es posible estudiar el efecto de un único parámetro a la vez ya

que el modelo debe tener definidas las condiciones iniciales necesarias para poder ser

ejecutado. Sin embargo, cada ensayo pone el foco en la variable de estudio, parametrizando el

resto.

En la sección 4.1 se analizará la percepción individual como indicador de utilidad de la

innovación y su vinculación al factor de peso y la distribución inicial de adoptadores

tempranos. Luego, en la sección 4.2 se pondrá el foco en la distribución de dichos adoptadores

tempranos, también denominada semilla. En 4.3 se estudiará el efecto de las redes sociales

como canal de comunicación entre agentes. Cabe destacar que en estas tres secciones se

describen las variables microscópicas más importantes del modelo.

En las secciones siguientes, en cambio se explorarán otros aspectos no tan vinculados con el

objetivo planteado para el capítulo 5, pero que resultan de interés para profundizar el

conocimiento del modelo y para abrir caminos a futuros trabajos. En este sentido, en la sección

4.4 se introducirá a la temperatura como indicador de incertidumbre global y su relación con la

proporción final de adoptadores. En 4.5 se estudiarán las propiedades de escala del sistema y se

brindará una aproximación analítica del tiempo de saturación como función de la escala.

Finalmente, en 4.6 a modo de ejemplo de aplicación se ensayará un modelo muy sencillo de

competencia en donde se estudian las implicancias de las variables mencionadas en las primeras

secciones.

4.1 Percepción individual: su influencia en la valoración

Como se explicó en la subsección 2.2.1, la percepción individual representa la utilidad relativa

en sentido amplio que percibe el agente i al elegir entre dos opciones. A continuación se

estudiará cómo varían los patrones de adopción frente a modificaciones en esta magnitud.

Inicialmente se estudiará el comportamiento de las curvas de adopción para tres escenarios de

percepción personal. En este ensayo el valor de dicho parámetro se mantendrá invariante en el

tiempo y en el espacio para cada escenario de los mencionados anteriormente.

Luego se realizará otro ensayo en donde el valor de la percepción individual se mantendrá

invariante en el tiempo pero no en el espacio. La función de variación espacial será elegida de

acuerdo a un criterio que pueda representar una situación real.

Finalmente, se estudiará la sensibilidad respecto del parámetro , el cual como se ha visto en el

capítulo 2, está asociado al peso relativo que el decisor asigna a la percepción individual

respecto de la presión social.



4.1.1 Percepción individual constante en el tiempo y en el espacio

En este primer ensayo se busca entender el efecto de la percepción individual de la utilidad en

el proceso de adopción. Para ello se han efectuado nueve ensayos considerando tres posibles

valores de percepción individual: 0,8, 0,6 y 0,4. Estos valores representan innovaciones cuyo

grado de conveniencia es alto, medianamente conveniente y ligeramente conveniente,

respectivamente. Como lo indica el título de esta subsección, estos valores son constantes en el

tiempo e iguales para todos los agentes.

Además, cada valor de percepción individual ha sido ensayado en tres escenarios diferentes,

cada uno de ellos correspondiente a una distribución inicial de adoptadores tempranos. No es el

objetivo de este ensayo el análisis del efecto de dicha condición inicial, sino el poder obtener

conclusiones sobre la percepción individual que sean más generales.

Las tres distribuciones mencionadas previamente varían desde una ubicación compacta en el

centro de la grilla hasta otra totalmente uniforme. En la sección 4.2 se dará mayor detalle sobre

la metodología utilizada para generar estas distribuciones espaciales y sobre los efectos

producidos por las mismas. A continuación pueden observarse los patrones iniciales de

adoptadores tempranos para cada una de ellas en la Error! Reference source not found..

Fig. 7: Distribución inicial de adoptadores tempranos. En el panel a) se muestra una configuración compacta, en al b) una intermedia (ni totalmente compacta ni totalmente uniforme) y finalmente en el c) una uniforme.

Para cada distribución de adoptadores tempranos se ha efectuado una simulación para cada

valor de percepción individual de la utilidad.



Fig. 8: Curvas de proporción de adoptadores como función del tiempo (tick). Las figuras de cada panel se corresponden con las distribuciones de adoptadores tempranos de la Error! Reference source not found. (a.

compacta, b. intermedia y c. uniforme). En todos los paneles, las curvas continuas representan la curva de

para u = 0,8, las graficadas con guiones corresponden a u = 0,6 y las punteadas, a u = 0,4.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 20 40 60 80 100 120 140

Pro

po

rció

n d

e a

do

pta

do

res

Tick

a)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 20 40 60 80 100 120 140

Pro

po

rció

n d

e a

do

pta

do

res

Tick

b)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 10 20 30 40 50

Pro

po

rció

n d

e a

do

pta

do

res

Tick

c)



Tal como se muestra en la Error! Reference source not found., en para los casos donde u = 0,6

o u = 0,8 se observa que cuanto mayor es el valor de la percepción individual de la utilidad,

más rápido se alcanza adopción total. Esto era de esperar, ya que una mayor percepción

individual implica un producto más conveniente en un sentido amplio, factor que a su vez

debería acelerar su inserción en el mercado. Sin embargo, este comportamiento no se aplica

para u = 0,4, tema que se explicará someramente al final de 4.1.1 y con mayor detalle en 4.2.

Desde el punto de vista matemático, partiendo de la Ec. (10) y considerando que = 0,5, NV = 8

y Jik = 1 para los agentes vecinos (y cero para los demás), se obtiene que:

8

1( )

1 ,

8k

k k i

U s u

(18)

donde sk representa el estado de adopción o no-adopción con valores +1 y -1 respectivamente.

Si denominamos v+ a la cantidad de vecinos adoptadores sabiendo que la suma de la cantidad

de adoptadores y no-adoptadores es la cantidad total de vecinos (es este caso, 8), entonces

podemos rescribir la expresión anterior de la siguiente manera:

1

1.4

U u v (19)

De acuerdo a la Ec. (16), y para una temperatura T = 0, a fin de que la probabilidad de adoptar

sea 1 (es decir, que la adopción sea obligada), U debe ser mayor que 0. Luego, imponiendo

esta condición en la expresión anterior y realizando un despeje, se obtiene la cantidad mínima

de vecinos adoptadores respectivamente para garantizar la adopción:

4(1 ).minv u (20)

El valor v+min es una cantidad importante y denota la cantidad mínima de vecinos o contactos

adoptadores necesarios para inducir la adopción. A este valor lo denominaremos de ahora en

adelante umbral. Si remplazamos los tres valores de u en la expresión anterior, y obtenemos

su valor absoluto, veremos que para los valores de percepción individual de la utilidad iguales a

0,8, 0,6 y 0,4 son necesarios al menos 1, 2 y 3 vecinos adoptadores para que un agente también

elija adoptar.

Es decir que a medida que u aumenta, el umbral disminuye. Por este motivo, al necesitar

menos vecinos adoptadores, el proceso de difusión es más rápido para valores mayores de u.

Es interesante destacar que en el caso de u = 0,4 son necesarios 3 adoptadores vecinos para

que un agente adopte. Cuando los adoptadores tempranos están ubicados en forma



concentrada, la difusión progresa de manera continua hasta llegar al 100%. Pero cuando los

mismos están muy dispersos, no se llega a alcanzar ese umbral mínimo de 3 y en consecuencia,

la difusión no prospera (o lo hace más lentamente; de hecho se observa que el tiempo de

saturación para una distribución intermedia es mayor que para una compacta, contrario a los

otros dos casos).

Por este motivo, para el caso de adoptadores tempranos distribuidos de manera uniforme, no

está graficada la curva de proporción de adoptadores para u = 0,4. Esto se debe a que en

algunos casos la misma prospera, pero en muchos otros no. En sección 4.2 se profundizará más

sobre esta idea.

4.1.2 Percepción individual variable en el espacio

En situaciones reales, el valor de la percepción individual es diferente para los distintos

decisores que componen el sistema en estudio. En algunos casos, este valor puede ser función

de la localización espacial del agente. Por ejemplo, supongamos que estamos estudiando dos

variedades de maíz, una de las cuales tiene mayor tolerancia a la sequía (innovación) que la otra

(producto existente). En este caso, es altamente probable que la variedad tolerante a la sequía

tenga más utilidad en localidades donde el estrés hídrico es mayor.

Para explorar este efecto, se efectuaron simulaciones en donde el valor de u decrece en forma

radial a partir del centro de la red. Para ello, el valor de u lo definimos mediante la siguiente

expresión:

0 ,

d

lu u e

(21)

donde u0 = 0,8 es el valor de la percepción individual en el centro de la red, l es la longitud

desde el centro hasta el nodo más externo (como en este caso la red es una grilla bidimensional,

se toma √ ⁄ , donde N representa la cantidad total de agentes) y es un parámetro

adimensional el cual describe la velocidad de cambio de u de acuerdo a la distancia (en este

caso se tomó = 3).

También se efectuaron ensayos variando la topología de la red mediante un proceso de

reconexión, el cual se abordará con mayor detalle en la sección 4.3. Además, también se

realizaron comparaciones con redes donde la cantidad de vecinos geográficos es 4 en vez de 8.

En todos los casos, las simulaciones se realizaron para una grilla con 10.000 agentes y un 1% de

adoptadores tempranos agrupados en el centro de la red.



De la Ec. (21) podemos inferir que existen regiones concéntricas en la red donde se presentan

umbrales de adopción distintos (Fig. 9a y Fig. 9b - correspondientes a una vecindad de Von

Newmann y Moore respectivamente).

El resto de los gráficos de la Fig. 9 (9c a 9h) muestran los patrones de difusión una vez llegado al

punto de equilibrio, es decir, donde o bien no ocurren más cambios de estado o donde los

mismos se compensan. En la mayoría de los casos no existe una saturación total de un estado (a

excepción de la Fig. 9g). Los gráficos de la izquierda corresponden a patrones resultantes de la

vecindad de Von Newmann y los de la derecha a los resultantes de la vecindad de Moore.

Para redes regulares (donde no existe reconexión, Fig. 9c y Fig. 9d) el patrón resultante

responde a un polígono regular compacto cuya cantidad de lados coincide con la cantidad de

vecinos (un cuadrado para una vecindad de Von Newmann y un octógono para una vecindad de

Moore).

Estos patrones pueden ser fácilmente interpretados. Dado el valor radial decreciente de u, a

medida que nos alejamos del centro de la grilla, más vecinos adoptadores son necesarios para

alcanzar la adopción (ya que el umbral aumenta como se explicó anteriormente). A una cierta

distancia del centro cuatro adoptadores vecinos son necesarios. Este umbral no es posible de

alcanzar dado que los adoptadores iniciales están agrupados en el centro, lo cual implica que el

patrón de difusión “crece” de adentro hacia afuera con una regularidad similar a la de un cristal.

Por ese motivo, la adopción no es posible luego de esta frontera, la cual tiene una topología

relacionada con la cantidad de vecinos de cada agente.

Si embargo, para redes no regulares (donde la probabilidad de reconexión es mayor que 0), los

patrones de adopción finales no tienen formas regulares. Esto se debe a que los vecinos que

tienen los decisores no necesariamente incluyen a agentes geográficamente adyacentes de la

grilla. A medida que la probabilidad de reconexión aumenta, los patrones finales van tendiendo

a formas circulares con algunas irregularidades producto de la aleatoriedad del proceso, como

puede observarse en las Fig. 9e, Fig. 9f y Fig. 9h.

El tamaño de las islas resultantes es mayor para vecindades de Moore. Esto puede explicarse

mediante el análisis de los umbrales distribuidos en anillos concéntricos (Fig. 9a y Fig. 9b).

Recordemos que la influencia social está definida por la proporción de vecinos adoptadores

respecto de los vecinos totales. Cuando este valor supera un umbral dado, entonces el agente

adopta. Para una vecindad de Moore, un umbral de 3 vecinos adoptadores implica que al menos

37.5% de los vecinos de un agente tienen que haber adoptado para que éste adopte. Un umbral

de 4 corresponde a un 50% de vecinos adoptadores.



Para una vecindad de Von Newmann, sólo existen los umbrales de 1 y 2 vecinos. Este último es

equivalente al umbral de 4 en la vecindad de Moore, ya que implica una proporción del 50%.

Como se explicó anteriormente, este umbral determina la frontera de adopción. Observando los

gráficos de las Fig. 9a y Fig. 9b vemos que el área abarcada por los umbrales 1, 2 y 3 en la

vecindad de Moore es mayor que la abarcada por el umbral 1 en la de Von Newmann.

Finalmente, cuando la probabilidad de reconexión es 0,5, los patrones de adopción resultantes

son muy diferentes para las vecindades de Von Newmann y Moore (Fig. 9g y Fig. 9h

respectivamente). Para la primera, se observa una adopción completa mientras que para la

segunda, no. Una posible explicación para este fenómeno puede encontrarse tomando como

base lo expuesto en el párrafo previo. Dado que para el vecindario de Von Neumann el umbral

máximo es de sólo 2 vecinos, al haber una probabilidad de reconexión tan elevada, es altamente

probable que uno de ellos pertenezca a la zona central donde inicialmente se encuentran

concentrados los adoptadores. Por lo tanto es más fácil que un agente tenga vecinos

adoptadores y por ese motivo lo induzca a éste a adoptar la innovación.



Fig. 9: Los gráficos de la izquierda corresponden a la vecindad de Von Newmann (4 vecinos) y los de la

derecha a la de Moore (8 vecinos). Las figuras a) y b) corresponden a la localización de los umbrales para ambas vecindades. Las figuras c-d, e-f y g-h corresponden a los patrones finales de difusión para

probabilidades de recableo p = 0, p = 0.25 y p = 0,5 respectivamente [32].



4.1.3 Ponderación de la percepción individual y la presión social

En esta subsección se pondrá el foco en los efectos que produce la variación del peso relativo

entre la percepción individual y la presión social, el cual se representa mediante el parámetro

en la Ec. (10).

La literatura sugiere que el peso relativo entre la percepción individual y la influencia social

depende de la naturaleza del producto o tecnología que se está estudiando [59]. Por ejemplo,

en mercados donde la influencia de la moda es importante (ropa, dispositivos electrónicos, etc.)

la influencia social tiene un peso muy importante, mientras que para otros tipos de mercados

no sucede lo mismo.

En la mayoría de las simulaciones realizadas se asume un valor de = 0,5 por una cuestión de

simplicidad, pero en esta sección evaluaremos los efectos de su variación, para lo cual nos

remitimos a la Ec. (10). Para los casos extremos de = 0 y = 1 podemos observar que en el

primer caso se anula por completo la influencia social y en el último la percepción individual.

Son los casos extremos de decisores que se guían exclusivamente por la presión social (moda) o

por su percepción del producto.

Sin embargo, existen casos intermedios, para los cuales, realizando un análisis semejante al

efectuado en la subsección 4.1.1, se obtiene que la cantidad mínima de vecinos adoptadores

necesarios para inducir la adopción está dada por:

1

1 1 .2

i imin i

i

Nv u

(22)

Es decir, que es una función de la percepción individual del decisor, su cantidad de vecinos y el

peso relativo que éste asigna para valorar la percepción individual y la influencia social. Se

observa entonces que a medida que i aumenta su valor, el umbral también aumenta. Esto es

de esperar ya que cuando este parámetro toma el valor 1, el decisor sólo mide la influencia

social y no la percepción individual. Al no tener ninguna contribución de esta última, el término

de la influencia social debe ser estrictamente mayor que cero para inducir automáticamente la

adopción.

Si comparamos el umbral para un valor de i cualquiera respecto del umbral para i = 0,5 se

tiene que:

,0 00,5 1 .2

i i imin min i i

Nv v u (23)



Despejando, se obtiene la siguiente relación funcional entre ,0i

minv y i

minv :

,0

0

11

.

1

1

i

ii i

min min

i

u

v vu

(24)

Si quisiéramos que el umbral fuera exactamente el mismo, entonces deberíamos pedir que el

factor que multiplica a ,0i

minv sea exactamente igual a 1. Para que se cumpla esta condición

necesariamente debe valer la siguiente igualdad:

0

.1

1

ii

i

uu

(25)

En vista de esta última expresión se observa que para temperatura nula, es matemáticamente

equivalente tener un sistema con i 0 y ui = u0 que otro con un i 0,5 y ui = -u0/(1--1).

De esta manera, estudiar los cambios en el parámetro i se reduce a estudiar las variaciones en

la percepción individual. También es importante remarcar que la cantidad de vecinos no juega

ningún papel en este caso tal como se observa en la expresión anteriormente deducida.

4.2 Efecto de la semilla inicial

Trabajos previos han mostrado que los patrones de adopción de nuevas tecnologías son

sensibles a cambios en la distribución de los innovadores (es decir, aquellos que ya han

adoptado la nueva tecnología aún antes de comenzar la simulación). Por ejemplo, en [60] se

muestra que las estrategias de marketing que conllevan a diferentes distribuciones de

innovadores, introducen diferencias en la velocidad de difusión. De manera similar, en [13] se

exploran patrones de difusión resultantes para distribuciones iniciales concentradas o dispersas.

El objetivo de esta subsección es explorar los efectos de la distribución espacial de innovadores

para el modelo de Ising. Se simularán distintos patrones de dispersión para una cantidad

constante de adoptadores tempranos, la cual representa el 1% del total de los agentes (N =

10.000).

Para definir la ubicación espacial de cada uno de los innovadores, se genera un par ordenado (x,

y) mediante una distribución normal bivariada de variables no correlacionadas. La distribución

tiene un valor medio correspondiente al centro geométrico de la grilla. Con esta distribución se

generan tantos ensayos como sean necesarios como para obtener las 100 coordenadas

necesarias de los innovadores. Como es posible que en algunos ensayos se obtengan valores



iguales de x e y (ya que debe tenerse en cuenta que son valores enteros), entonces se vuelve a

repetir el ensayo hasta obtener un valor que no se haya generado anteriormente.

Este procedimiento ocasiona que la desviación estándar de la distribución resultante de

adoptadores pueda no responder a la de la distribución normal original. Es por este motivo que

se utiliza un mecanismo a posteriori para evaluar el grado de dispersión espacial de dichos

innovadores (es decir la dispersión de la muestra se calcula mediante un algoritmo luego de

generada la misma).

Sabemos que en una distribución normal univariada, el área encerrada por el intervalo

[ – ; + ] es aproximadamente el 68% del área total. Razonando por analogía, buscamos la

apotema del cuadrado más chico centrado en la grilla que encierre al 68% de los innovadores

(en este caso, 68 agentes). El valor de la apotema de dicho cuadrado lo denominamos

dispersión y en lo sucesivo utilizaremos la letra para referirnos a él, debido a la similitud con el

concepto de desviación estándar. La descripción gráfica de este concepto la podemos observar

en la Fig. 10a.

Consideraremos el espacio de la grilla como un mercado potencial para un nuevo producto o

tecnología. Al comienzo de la simulación el mercado está saturado por un producto default a

excepción de un 1% de innovadores los cuales se encuentran adoptando el nuevo producto.

Como una primera aproximación se puede pensar que dos estrategias de marketing posibles

son las siguientes: a) concentrar todos los recursos en un área pequeña y b) concentrar todos

los recursos en toda el área de manera uniforme.

La pregunta que surge es la siguiente: cuál de las dos estrategias es más eficiente en términos

de velocidad de difusión. Para abordar esta pregunta asumiremos que existe una

correspondencia directa entre el patrón de publicidad o marketing y la dispersión de los

innovadores. Esto significa que al concentrar los recursos en una pequeña área implicará tener

una distribución concentrada de innovadores. De la misma forma, distribuir los recursos de

manera uniforme en toda el área, generará una distribución uniforme de innovadores. Como se

explicó anteriormente, se cuantificará el grado de dispersión mediante el cálculo a posteriori

de .

La Fig. 11 muestra la relación entre el tiempo de saturación (el tiempo para el cual uno de los

productos gana todo el mercado) para un rango de valores de que va de 4 (distribución muy

concentrada) a 41 (distribución uniforme). Los resultados simulados corresponden a dos tipos

de topologías: a) una red regular y b) una red de mundos pequeños generada mediante el

proceso de reconexión propuesto por Watts y Strogatz [14]. También se efectuaron ensayos

para tres valores distintos de percepción individual de la utilidad a fin de representar

innovaciones cuya utilidad relativa sea alta (u = 0,8), mediana (u = 0,6) y baja (u = 0,4).



Para cada combinación de u y topología de red se efectuaron 100 simulaciones con el objeto

de obtener un comportamiento promedio. Para u = 0,4 la saturación de la innovación se logra

sólo hasta cierto valor de dispersión inicial (hasta 15). En este rango de valores, la difusión

es más rápida para valores más pequeños de y este patrón es cualitativamente similar tanto

para la red regular como para la de mundos pequeños a pesar de que la difusión es más rápida

en esta última. Más allá de 15, la mayoría de los ensayos no conducen a la saturación de la

innovación debido a que al dispersar cada vez más los innovadores se hace cada vez más difícil

alcanzar el umbral de 3 vecinos adoptadores necesarios (esto también explica por qué a medida

que aumenta el tiempo de saturación también aumenta). En estos casos lo que se produce es

la saturación del producto default, el cual termina ganando todo el mercado.

Cuando el umbral de adopción es menor (u = 0,6 y 0,8), la saturación de la innovación se

alcanza siempre. Incluso, el comportamiento del tiempo de saturación respecto de es

diferente: la difusión es más rápida a medida que la dispersión es mayor. Esto se debe a que

como en ambos casos es más fácil alcanzar el umbral de adopción, al tener los innovadores más

dispersos, se llega antes a los extremos de la grilla. Con respecto al comportamiento de las

distintas topologías de red, el comportamiento es similar respecto de , pero es importante

destacar que en todos los casos la red de mundos pequeños es más eficiente en términos de

velocidad de adopción gracias a los shortcuts o atajos que la caracterizan.



Fig. 10: a) Interpretación gráfica de la métrica de dispersión. b), c) y d) Ejemplos de patrones de distribución

inicial de innovadores para valores de s =4, s=14 y s=41 respectivamente [32].



Fig. 11: Comparativa de tiempos de saturación vs. Dispersión para dos topologías de red (red regular – RN – y

red de mundos pequeños – SWN) y tres valores de percepción individual de la utilidad [32].

4.3 Influencia social: modificaciones en la topología de la red

En la subsección 2.2.2 se destacó la importancia de las redes en el proceso de comunicación el

cual, a su vez, es un factor esencial para la difusión. En esta sección se investigará el efecto de

las mismas para lo cual se realizarán ensayos partiendo de la red regular ya mencionada, la cual,

mediante un proceso de reconexión modificará su topología.

El mecanismo de reconexión mencionado está basado en el descripto en [20] para la

construcción de redes de mundos pequeños. Se parte de una red regular y mediante una

probabilidad de reconexión que denominaremos Pr se evalúa para cada vínculo de cada agente

la probabilidad de que éste sea remplazado por un nuevo vínculo con cualquier otro agente

seleccionado aleatoriamente.

Para ciertos valores de Pr, se obtienen las denominadas redes de mundos pequeños (o SWN por

sus siglas en inglés). Sin embargo, si exploramos aún más allá se obtienen otras topologías de



red hasta llegar a redes totalmente aleatorias cuando Pr = 1. Esto será llevado a cabo en la

subsección 4.3.1.

En la subsección 4.3.2 también se investigará el efecto de los denominados referentes comunes

o hubs. Son aquellos agentes con gran número de vínculos observados por muchos decisores

por ser considerados referentes a imitar.

4.3.1 Cambios en la probabilidad de reconexión.

En el siguiente ensayo se busca analizar el efecto de la topología de la red en la dinámica de la

difusión. Como se explicó anteriormente, la topología de la red está íntimamente relacionada

con la influencia social. En ensayos anteriores se realizaron simulaciones modificando la

probabilidad de reconexión pero no se hizo una fundamentación de los efectos de la misma.

Inicialmente se parte de una red regular, la cual se modifica de acuerdo al procedimiento

detallado al comienzo de la sección 4.3. Luego, para cada topología obtenida se realiza una

simulación del proceso de difusión para una grilla de 10.000 agentes, 1% de adoptadores

tempranos distribuidos de uniformemente y una percepción individual de la utilidad igual a 0,6.

Como se observa en la Fig. 12, el tiempo de saturación disminuye a medida que se aumenta la

probabilidad de reconexión hasta un cierto punto. Luego, éste comienza a aumentar

nuevamente y para valores muy altos de Pr, no siempre se alcanza la saturación debido a una

disminución drástica en el coeficiente de clustering lo cual impide la formación de grupos de

contagio. Por este motivo sólo se grafican puntos para valores de Pr menores o iguales que 0,4.

Fig. 12: Tiempo de saturación como función de la probabilidad de reconexión para un proceso de difusión con

10.000 agentes y un 1% de adoptadores tempranos.

0

10

20

30

40

50

60

70

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4

Tie

mp

o d

e s

atu

raci

ón

Probabilidad de reconexión



Este comportamiento se puede deber a dos efectos contrapuestos. Por un lado, la reconexión

estocástica elimina la noción de la distancia euclidiana. Es decir, dos nodos que están

espacialmente separados pueden estar conectados directamente. La longitud característica,

métrica que mide la separación promedio entre dos nodos cualesquiera de una red, disminuye

cuando Pr aumenta [14]. Como resultado, la red transmite la información más eficientemente

entre nodos, y el tiempo de saturación disminuye.

Sin embargo, para valores más grandes de Pr, el tiempo de saturación comienza a aumentar otra

vez. Esto es debido al hecho de que algunos de los vínculos locales desaparecen por la

reconexión realizada, motivo por el cual el coeficiente de clustering disminuye, lo cual es similar

al efecto observado con las redes unidimensionales [20] cuando estamos lejos de las redes de

mundo pequeño. Es por lo tanto más difícil de alcanzar el umbral de adopción y por

consiguiente el proceso global se ve demorado.

4.3.2 Introducción de un referente común (hub).

De acuerdo al trabajo de Janssen (2003) [61], se cree que la difusión de innovaciones está

altamente influenciada por decisores con gran cantidad de contactos. En la literatura existente

sobre redes sociales, estos individuos son denominados hubs, líderes de opinión o “miembros

de una familia real” observados por muchos otros decisores de la red [62].

En esta subsección se investigará el efecto que produce la introducción de hubs en la dinámica

de difusión. En la literatura se sugiere que estos líderes de opinión pueden tener mayor peso

que el resto de los contactos de un decisor al momento de tomar una decisión. De todos modos,

en los ensayos realizados, se asigna el mismo peso a todos los contactos incluidos los líderes de

opinión. De esta manera observaremos la sensibilidad del modelo debido al cambio en la

topología de la red debida a la introducción de estos agentes.

En el trabajo de Libai (2005) [60] se utiliza un modelo similar, donde cada decisor es

influenciado por dos tipos de agentes: sus primeros vecinos y agentes de otras regiones

denominados familiares o parientes. Sin embargo, el modelo de Libai difiere en que no

considera el efecto de la percepción individual y además no considera la posibilidad de

desadopción.

Para estudiar los efectos producidos por los hubs se realizaron simulaciones comparando la

dinámica para una red regular y para una red regular modificada por la introducción de líderes

de opinión. La modificación consistió en agregar un líder en el centro de la grilla y reemplazar

todos los vínculos de los demás decisores con una probabilidad de p = 0,1 por un vínculo con el



líder. A pesar de que los hubs no necesariamente deben ser adoptadores [30], el líder es

inicializado como tal en la simulación.

En las Fig. 13a y Fig. 13d se observa la curva de proporción de adoptadores como función del

tiempo para los ensayos con y sin hub para valores de u = 0,6 y u = 0,4 respectivamente. Para

ambos valores de u, la adopción es más rápida cuando hay un líder de opinión. En las Fig. 13b-f

se muestran instantáneas de los patrones de adopción para etapas comparables del proceso.

Estas figuras confirman el aumento de la velocidad de difusión al estar presente un hub.

Más aún, el crecimiento de las islas de adoptadores es diferente. Cuando no hay hubs, las islas

presentan una forma regular debido a la propia regularidad de la red, mientras que cuando el

hub está presente éste introduce un componente de irregularidad en la red que termina

impactando en la irregularidad de las islas.

Fig. 13: Comparación de proceso de adopción para u = 0,6 (figuras superiores), u = 0,4 (figuras inferiores) y

probabilidades de reconexión p = 0 (sin hub) y p = 0,1 (con hub). Para u = 0,6 se utilizó una distribución

uniforme de innovadores, mientras que para u = 0,4 se utilizó una con = 29 para poder garantizar la saturación. Los gráficos a) y d) muestran una comparación de las curvas de adopción. Las figuras b), c), e) y f)

son instantáneas de los patrones de adopción para distintas combinaciones de u, p y tiempo [32].

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0

10 20 30 40 50 60

N+-

N

Tick

Con HUB Sin HUBa)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0

20 40 60 80

100

120

140

160

N+

-N

Tick

Con HUB Sin HUBb)



4.4 La temperatura como indicador de incertidumbre global

En las secciones previas se utilizó el algoritmo de decisión a temperatura cero (Ec. (16)) para

decidir el estado de adopción de una innovación. En esta sección se explorarán las

consecuencias de introducir en el sistema una temperatura distinta de cero. Como se explicó en

el capítulo 2, la inclusión de temperatura distinta de cero agrega ruido en la decisión de los

agentes, transformando un proceso que era determinístico en estocástico.

Fig. 14: Comparación de las curvas de adopción para distintos valores de temperatura. Los valores de temperatura correspondientes a cada serie se encuentran indicados en las referencias del gráfico.

La Fig. 14 muestra la evolución temporal de la proporción de adoptadores para valores de

temperatura T = -1 = { 0, 0.1, 2, } para un valor de u = 0,6 y una distribución uniforme de

innovadores. Cuando se introduce incertidumbre por medio de temperatura distinta de cero, se

pueden alcanzar situaciones de equilibrio dinámico en el que coexisten adoptadores y no

adoptadores.

Para temperatura infinita, ambas opciones (productos o tecnologías) tienen la misma

probabilidad de ser seleccionadas en todo momento alcanzándose un equilibrio dinámico

donde hay aproximadamente la misma cantidad de decisores en cada uno de los estados

(adopción y no-adopción). Para temperatura T = 2, también se alcanza un equilibrio dinámico

con mayor proporción de adoptadores.



Sin embargo, para T = 0,1 y T = 0 (escenarios ensayados con anterioridad) se observa saturación

del nuevo producto. De todos modos también se observa que en el primer caso la velocidad de

adopción se ve incrementada. Para el valor de percepción individual elegido (u = 0,6) el umbral

es de 2. En el caso de temperatura 0, la adopción se produce en aquellos decisores que tengan

esa cantidad de vecinos adoptadores o más. Sin embargo, para T = 0,1 puede haber decisores

que no alcancen ese umbral pero que de todos modos se conviertan en adoptadores dada la

naturaleza estocástica del efecto de la temperatura. Como al comienzo de la simulación existe

mayor cantidad de no-adoptadores, la cantidad de decisores que pueden pasar de estado de

no-adopción a estado de adopción por este mecanismo es mayor que la de decisores que pasen

de adopción a no-adopción. El resultado es un incremento en la velocidad de adopción.

Es interesante destacar que se puede obtener una relación funcional entre la proporción final

de adoptadores una vez alcanzado el equilibrio y la temperatura. Para ello debemos asumir que:

a) en el equilibrio la proporción de vecinos adoptadores que tiene cada decisor es precisamente

la proporción de equilibrio a la que llamaremos pe = Ni/N y b) que la probabilidad de adoptar en

el equilibrio es numéricamente igual a pe. Haciendo uso de estas asunciones intuitivas y

reemplazando en la Ecs. (9) y (10) se tiene que:

2

11

1 ii e U

P s p ye

(26)

2

2 2 1e i ii i i i

i

p N NU u

N

. (27)

Tomando Ni = 8 vecinos y i = 0,5 y reagrupando llegamos a:

2 1 2

.1

e i

e

e

p uT

pln

p

(28)

Para el caso considerado de u = 0,6 vemos que si se busca llegar a una proporción de equilibrio

pe = 0,75 entonces la temperatura debe ser aproximadamente 2. Esto es consistente con la

curva de adopción de la figura 4.4 correspondiente a T = 2.

4.5 Propiedades de escala

En este ensayo exploramos la dependencia funcional del tiempo de saturación (es decir, el

tiempo en alcanzar la adopción total de la innovación) con respecto al número total de agentes,

cuando la proporción de adoptadores iniciales se mantiene constante. La pregunta que



queremos responder es la siguiente: ¿el proceso de difusión es invariante en escala (tomando

como factor de escala la cantidad de agentes que componen el sistema) tal como está

planteado?

De existir invariancia en escala, la misma tendría una consecuencia práctica muy importante. Es

decir, que nos permitiría estudiar un sistema con una cantidad muy grande de agentes

mediante el análisis de un modelo a escala más pequeña dado que las propiedades de ambos

serían las mismas.

Para abordar este problema, primero simulamos el proceso de difusión para redes regulares

(Pr = 0) que tienen entre 3.600 (grilla de 60x60) a 90.000 (grilla de 300x300) agentes. En todos

los casos, la proporción de adoptadores iniciales se mantuvo constante en un valor de 1%. Los

mismos fueron ubicados con una distribución espacial uniforme dado que es la manera más

simple de localizar a los innovadores en forma aleatoria. Además, se estableció un valor de

percepción individual de la utilidad igual a u = 0,6 para todos los agentes. Esto garantizó la

saturación de la innovación en todos los casos.

Fig. 15: Tiempo de saturación como función de la cantidad de agentes. Cada serie corresponde a una

topología de red, cuya probabilidad de reconexión se encuentra especificada en las referencias del gráfico.

15

25

35

45

55

65

75

3600 13600 23600 33600 43600 53600 63600 73600 83600

Tie

mp

o d

e s

atu

raci

ón

N

P = 0 P = 0,0125 P = 0,025 P = 0,05 P = 0,2



En experimentos subsiguientes, se modificó la topología de la grillas mediante el proceso de

reconexión descripto en la sección 4.3 para analizar sus efectos en conjunto con la variación de

la escala, pero sólo hasta un valor de Pr = 0,4, debido a las consideraciones realizadas

oportunamente en la subsección 4.3.1. La Fig. 15 exhibe el tiempo de saturación como una

función del tamaño de la red para diversas topologías. Dicho valor de fue calculado habiendo

promediado los tiempos de saturación de 100 simulaciones diferentes para cada combinación

de parámetros.

Como se observa en la figura anterior, el tiempo de saturación aumenta a medida que la

cantidad de nodos de la red crece para todas las topologías analizadas. Esto es razonable ya que

es de esperar que cuanto mayor sea el mercado potencial, más tiempo tome alcanzar la

saturación.

Sin embargo, también puede observarse que el tiempo de saturación no crece linealmente, sino

que dicho crecimiento se va desacelerando paulatinamente. Esta forma funcional puede ser

ajustada con un alto grado de precisión utilizando una función logarítmica de la forma

.a bln N (29)

En la Fig. 16 se observan los ajustes para cada curva con los valores correspondientes de a y b y

el coeficiente r2 que refleja la bondad mismo. La derivada de la función anterior es proporcional

a la inversa de N. Luego, para valores muy grandes de N el proceso de difusión tiene un

comportamiento invariante en escala, lo que lo hace independiente del tamaño de la red.



Fig. 16: Representación de curvas de la Fig. 15 con el agregado de curvas de tendencia logarítmicas. La expresión analítica de las curvas de tendencia y el coefiente de ajuste R

2 se encuentran por encima de la

curva ajustada correspondiente.

La Fig. 17 muestra tres curvas, cada una de las cuales representa el tiempo de saturación como

función de la probabilidad de reconexión para valores de N = { 10.000, 40.000, 90.000 }. Como

se observa, la invariancia en escala también depende del valor de Pr, ya que si bien para valores

no muy grandes de Pr la invariancia se conserva, para Pr > 0,3 comienza a observarse una

discrepancia cada vez mayor en el tiempo de saturación para valores distintos de N.

y = 6,4924ln(x) - 0,6207 R² = 0,9404

y = 3,8133ln(x) + 7,1144 R² = 0,9885

y = 2,1171ln(x) + 15,154 R² = 0,9853

y = 1,0274ln(x) + 17,677 R² = 0,9658

y = 0,613ln(x) + 14,226

R² = 0,9576

15

25

35

45

55

65

75

3600 13600 23600 33600 43600 53600 63600 73600 83600

Tie

mp

o d

e s

atu

raci

ón

N

P = 0 P = 0,0125 P = 0,025 P = 0,05 P = 0,2



Fig. 17: Tiempo de saturación como función de la probabilidad de reconexión para tres valores distintos de cantidad de agentes. Se observa que a medida que aumenta la probabilidad de reconexión, el tiempo de saturación converge para las tres series. Sin embargo, a partir de cierto punto crítico de Pr comienza a

divergir nuevamente.

La comprensión de este interesante fenómeno de rotura de la invariancia de escala con la

probabilidad de reconexión va a ser motivo de estudio en futuros trabajos. Sin embargo el valor

crítico de Pr, para el cual se produce el efecto, está muy por encima del límite superior de las

redes de mundos pequeños, que como dijimos son las que más se aproximan a las

características de las redes sociales y por lo tanto las que más nos interesan en el presente

análisis.

4.6 Competencia: estudio e implementación de un modelo simple

En todos los ensayos previos, las utilidades relativas de los productos o tecnologías se definían

al comienzo de la simulación y no experimentaban cambios durante el transcurso de la misma.

En esta sección introduciremos cambios en el valor de u para simular una dinámica de

competencia entre ambos productos o tecnologías.

Para todas las simulaciones hemos asumido que al introducirse un nuevo producto en el

mercado para competir con uno prexistente, la utilidad del nuevo es mayor que la del

preexistente por tratarse de una innovación, ya que es de suponer ésta constituye una

propuesta superadora. Por este motivo la innovación comienza a ganar lugar en el mercado. Sin

embargo, una vez que los fabricantes del producto prexistente notan que la innovación alcanza

cierta proporción de adoptadores en el mercado (denominada proporción crítica de

adoptadores o CMS por sus siglas en inglés – critical market share), los mismos reaccionan

0

20

40

60

80

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4Tie

mp

o d

e s

atu

raci

ón

Probabilidad de reconexión

N = 10000 N = 40000 N = 90000



introduciendo mejoras en su producto de manera de equiparar a la innovación en términos de

utilidad relativa (es decir que a partir de ese momento u se vuelve igual a 0).

El objetivo de esta sección es estudiar la dinámica de difusión de este sistema. Primero se

analizará cuál es probabilidad de que la innovación prevalezca (es decir, que mantenga o

incremente su proporción de adoptadores) en el mercado luego de que se equipare su utilidad

relativa con la del producto preexistente. Denotaremos esta probabilidad como y

estimaremos su valor mediante el cálculo de la frecuencia relativa de éxito (la innovación

prevalece) o fracaso (la innovación no prevalece) a lo largo de 100 simulaciones para un dado

conjunto de condiciones.

La Fig. 18 muestra la variación de como función de la CMS para una red regular. Cuando CMS <

0,5 existe una probabilidad mayor de prevalecer cuando la semilla inicial de innovadores está

espacialmente dispersa. Por el contrario, cuando CMS 0,5, las distribuciones concentradas de

innovadores tienen mayor probabilidad de prevalecer. La transición entre no prevalecer y

prevalecer ocurre más abruptamente cuando los innovadores están más concentrados. Esto se

debe a que la cantidad de configuraciones iniciales no equivalentes es menor.

La Fig. 19 muestra el mismo conjunto de resultados pero aplicado a una red de mundos

pequeños generada a partir de la red regular anterior con una probabilidad de reconexión Pr =

0,005. En éste caso los cambios en la probabilidad de prevalecer son mucho menos sensibles a

la distribución inicial de innovadores lo cual hace que la misma evolucione de manera más

suave como función de la CMS. Es importante destacar que tanto en éste caso como en el

anterior, la probabilidad de prevalecer es mayor cuando la CMS también es mayor. Esto es un

hecho intuitivo, ya que revertir el proceso (por parte de los fabricantes del producto

preexistente) es más difícil cuando la innovación ya ha alcanzado un grado de aceptación

(medido por la proporción de adoptadores) más alto.



Fig. 18: Probabilidad de que la innovación prevalezca para una red regular [32].

Fig. 19: Probabilidad de que la innovación prevalezca para una red de mundos pequeños [32].



5 Asociaciones entre el modelo de agentes y el

modelo macroscópico de Bass

5.1 Objetivo de la propuesta

Como se mencionó en el capítulo 1, la difusión de innovaciones puede ser abordada desde una

perspectiva macroscópica o microscópica. A nivel macro, el mercado es examinado en forma

global para identificar y/o predecir cuántos consumidores eventualmente adoptarán la

innovación (la proporción final de adoptadores) y en qué momento lo harán (la curva de

adopción). Una cantidad considerable de la literatura referida a difusión de innovaciones a nivel

macro está basada en el conocido trabajo de Bass [6], descripto con mayor detalle en las

subsecciones siguientes.

Los modelos macroscópicos proveen una herramienta analítica para el estudio e interpretación

del comportamiento del mercado a nivel agregado. La ventaja de estos modelos es que para

poder realizar un pronóstico sólo se requieren datos globales del mercado, a diferencia de los

modelos microscópicos que requieren datos individuales de los decisores, los cuales son mucho

más difíciles de estimar [15]. Sin embargo, los modelos macroscópicos no brindan una visión

detallada de los procesos que conllevan a la adopción ni del modo en que influyen las

interacciones individuales en el comportamiento global del mercado [16].

Por otro lado, a nivel microscópico, cada decisor (individuo, familia o empresa) debe evaluar y

decidir si adopta la innovación o no en cada unidad de tiempo discreto que forma parte del

proceso de difusión. En este enfoque el énfasis se pone en la comprensión de procesos y

factores que afectan el comportamiento individual (incluyendo características del producto y las

interacciones sociales entre los decisores) y cómo a su vez dicho comportamiento afecta al

proceso de difusión a nivel agregado [12, 17].

En las últimas décadas se ha comenzado a dar mayor importancia al estudio de las estructuras

sociales como factor esencial en el proceso de difusión de innovaciones. Una asunción implícita

del modelo de Bass es que la población tiene una estructura de grafo completo. Esto significa

que cada individuo puede potencialmente interactuar con cualquier otro de la población

pudiendo ejercer la misma influencia social que cualquier otro [19].

Esto es claramente una hipótesis poco realista, ya que existe suficiente evidencia para afirmar

que las redes sociales que conectan a los decisores son heterogéneas (en términos de peso en la

influencia entre individuos) y no completas (cada decisor solamente es influenciado por unos

pocos contactos). En particular, las topologías de redes conocidas como redes de mundos



pequeños, las cuales ya hemos mencionado anteriormente, han sido ampliamente aceptadas

como descripciones realistas de modelos sociales [21].

Además, estudios recientes de la literatura enfatizan que la heterogeneidad en las

características de los decisores (tales como su aversión al riesgo) son determinantes al

momento de evaluar la adopción [12]. Incluso algunos estudios recientes desafían a la noción

actualmente aceptada que afirma que el contagio social es un importante factor que determina

la difusión del producto. Estos estudios afirman que las curvas típicas de adopción no están

arraigadas fundamentalmente al contagio social sino más bien a la heterogeneidad entre

individuos en su propensión a la adopción [18]. Dado que la heterogeneidad entre individuos no

es un elemento considerado en modelos macroscópicos, esto es una ventaja inherente de los

modelos microscópicos.

El objetivo de este capítulo es explorar las asociaciones existentes entre los micro-parámetros

del modelo de agentes utilizado en el capítulo 4 y patrones emergentes [26] del ampliamente

utilizado modelo de Bass. Existe en la literatura estudios previos donde se establecen vínculos

entre el comportamiento individual de los decisores y patrones agregados a nivel de mercado

[18, 63, 64]. En particular, se ha estudiado la vinculación entre modelos de agentes y el modelo

de Bass en [17] y [65]. Además en [66] se muestra que un conjunto de agentes vinculados por

una red de mundos pequeños pueden reproducir el patrón de adopción del modelo de Bass.

Sin embargo la vinculación entre el nivel individual y global merece aún una mayor exploración.

En este trabajo se muestra que partiendo de micro-parámetros empíricos (cuya disponibilidad

es mayor en comparación con macro-parámetros [67]) el modelo de agentes produce

resultados consistentes con el modelo de Bass.

Desde un punto de vista teórico, la contribución de este estudio es la implementación de un

modelo microscópico que permite el uso de topologías de redes sociales plausibles y que

además admite heterogeneidad entre los decisores. Incluso, el algoritmo de decisión descripto

en el capítulo 2 permite fácilmente la introducción de incertidumbre en la decisión (debido al

contexto socio-económico o institucional por ejemplo), lo cual lo hace una herramienta versátil

para ser utilizada en futuros trabajos.

En la subsección 5.2 se explicará con mayor detalle el modelo de Bass. La subsección 5.3

contiene una explicación de las adaptaciones necesarias al modelo de agentes que son

necesarias para realizar una comparación adecuada con el modelo de Bass. En la subsección 5.4

se mostrarán los experimentos realizados para establecer el vínculo entre ambos modelos.

Estos experimentos y su análisis permitirán entender la influencia de los procesos microscópicos

a nivel agregado. Finalmente, la subsección 5.5 contiene un posible ejemplo de aplicación de lo

expuesto en 5.4.



5.2 Descripción del modelo

5.2.1 Introducción

Como se mencionó en la introducción de este trabajo, una forma de clasificar los modelos de

difusión de innovaciones es diferenciar aquellos que enfocan el estudio del problema desde una

perspectiva macroscópica o agregada, de aquellos que lo hacen desde un punto de vista

microscópico o individual [11], ejemplo de los cuales es el modelo de Ising.

El modelo de Bass [6] describe la curva de adopción de una innovación enfatizando dos

procesos de comunicación: (1) la influencia externa debida a publicidad en medios masivos y (2)

la influencia interna a través de la difusión boca a boca. Sin embargo, cabe destacar que éste

modelo no especifica la toma de decisión a nivel individual ni cómo es la comunicación entre los

decisores, motivo por el cual se lo clasifica dentro de los primeros tipos de modelos

mencionados (macroscópicos).

El modelo de Bass fue originalmente pensado para reproducir la curva de adopción de bienes

durables al mercado (en la Fig. 20 se puede visualizar una tabla extraída del trabajo pionero de

Bass la cual lista los casos de estudio). Sin embargo, el mismo es capaz de describir la dinámica

de adopción de un amplio espectro de productos [6, 9, 68-71].

Éste modelo describe el ciclo de vida de un producto, desde el lanzamiento hasta la saturación

del mercado por medio de una simple representación analítica. La asunción básica del modelo

es que la probabilidad de adopción de una innovación en un determinado momento depende

linealmente de dos componentes: una asociada a los innovadores y otra a los imitadores.

Los innovadores son individuos que aceptan el nuevo producto por el simple hecho de

considerar que tiene ventajas comparativas respecto del anterior. Su decisión está afectada por

factores externos pero no por la influencia de otros decisores. Los imitadores, en cambio, son

individuos que toman decisiones sobre la adopción del nuevo producto basándose en el

comportamiento de sus contactos. Es decir que el proceso de comunicación predominante es la

influencia interna.

El modelo de Bass describe el proceso de adopción por medio de una ecuación diferencial

parametrizada por los valores p y q, los cuales capturan el comportamiento de los innovadores e

imitadores respectivamente. A continuación se dará una fundamentación probabilística que nos

llevará a la expresión analítica de la ecuación de Bass y a su respectiva solución.



Fig. 20: Tabla extraída del trabajo de Bass (1969) [6] sobre difusión de innovaciones. En esta tabla se

muestran una serie de bienes durables junto con la estimación de parámetros correspondientes.

5.2.2 Fundamentación probabilística del modelo de Bass

En la siguiente sección se deducirá la ecuación del modelo de Bass, partiendo de los eventos

que se enuncian a continuación:

E1 = { adoptar en el instante T }

E2 = { adoptar espontáneamente en el instante T (innovador) }

E3 = { imitar a otros adoptadores en el instante T (imitador) }

E4 = { existencia de adoptadores en el tiempo T }

A partir de los siguientes eventos, establecemos que la probabilidad de adoptar la innovación en

el instante T está dada por:

1 2 3 4 . P E P E E E (30)

Podemos fundamentar esta igualdad ya que adoptar (E1) implica que se innove (E2) o se imite

(E3). Y además, para imitar es necesario la existencia de adoptadores anteriores (E4).



Desarrollando el término derecho de la ecuación anterior, y considerando que la innovación es

independiente de la imitación, llegamos a que:

1 2 3 4 4/ .P E P E P E E P E (31)

Llamando f(t) a la función de distribución de adoptadores en el tiempo, hallamos fácilmente

que:

4

0

.

T

P E P t T f t dt (32)

Es decir, que la integral del lado derecho nos indica la proporción de adoptadores en el tiempo T

respecto de cierto mercado potencial. En el artículo de Bass [6], se denomina F(T) ≡ P(t ≤ T), m al

mercado potencial e Y(T) a las ventas (adopciones) en el tiempo T. Luego,

( )

.Y T

F Tm

(33)

En dicho artículo también asigna los valores p.dT = P(E2) y q.dT = P(E3/E4). De la Ec. (32), además

podemos deducir que P(E1) = P(t = T). Reemplazando estos valores en la Ec. (31), se obtiene la

siguiente expresión:

.P T p qF T dT (34)

El trabajo de Bass se basa en el estudio de adopción de bienes durables. El conjunto en estudio

tiene la característica particular de que cuando un decisor adopta el producto, mantiene su

postura en el tiempo. Es decir, no existe la desadopción. Por lo tanto, el valor P(T) representa la

probabilidad de no alcanzar la adopción hasta el momento T y un infinitésimo después, si . Esto

se puede expresarse de la siguiente manera:

/ .

P T t T dT t TP T P T t T dT t T

P t T

(35)

Si analizamos la expresión del lado derecho, podemos observar que el numerador es f(T)dT,

mientras que el denominador es 1 – F(T). Efectuando este reemplazo, se obtiene:

.

1

f T dTP T h T dT

F T

(36)



La función h(T) se denomina en estadística función hazard y representa la probabilidad de que

al tiempo T no se haya alcanzado la adopción y un infinitésimo después, si. Como las Ecs. (34) y

(36) representan la misma función P(T), las igualamos. Sabiendo además que f(t) es la derivada

de F(t):

1 ( )

. 1 ( )

dF tp qF t

F t dt

(37)

Teniendo en cuenta la Ec. (33) y reagrupando, llegamos a:

( ) ( ) ( )

1 .dY t Y t Y t

m p qdt m m

(38)

Esta igualdad es la ecuación diferencial original del modelo de Bass . En adelante, llamaremos

n+(t) a la proporción acumulada de adopciones (ventas) en el tiempo respecto de un mercado

potencial m. Luego:

d ( )

(1 ( )) .dt

n tp qn t n t

(39)

Cabe destacar que el mercado potencial total puede ser visto como la suma de la cantidad de

adoptadores más la cantidad de no-adoptadores. Esta ecuación puede ser resuelta

analíticamente [6, 72], obteniendo para la condición inicial n+(0) = 0 la siguiente expresión:

1( ) .

1

p q t

p q t

en t

qe

p

(40)

Esta función es en general una curva S la cual representa la proporción de adoptadores en el

tiempo. Un valor observable importante ampliamente mencionado y analizado en la literatura

es el denominado tiempo de takeoff, definido como el momento del ciclo de vida de la

innovación para el cual pasa de una etapa introductoria a una etapa de crecimiento [73]. En

otras palabras, el tiempo de takeoff representa la transición de ser un producto deseable a un

producto popular.

Matemáticamente, el valor de tiempo de takeoff tTO corresponde al valor que maximiza la tasa

de cambio en la proporción de adoptadores, o lo que es lo mismo, al punto en el cual el cambio

en la derivada de n+(t) es máximo. Luego, el valor de tTO corresponde al valor de t que satisface

la siguiente ecuación:



3

3

d ( ) 0.

d

n t

t

(41)

Esta ecuación ya fue previamente analizada en [74]. De su resolución, se obtiene:

1t ln .

2 3TO

q

p q p

(42)

El tiempo de takeoff es una métrica muy importante para una empresa que introduce una

innovación, dado que un rápido despegue de la misma puede garantizar una ventaja

competitiva, lo cual es determinante para que el producto sea un éxito o un fracaso. Por otro

lado, un rápido crecimiento requiere el uso de gran cantidad de recursos, tanto humanos como

económicos [75, 76]. Más aún, el tiempo de takeoff es usualmente un hito que marca el

comienzo de la adopción en masa. Conocer el impacto de las decisiones de las empresas que

afectan el tiempo de takeoff es crucial para que una innovación sea un éxito.

A modo de ilustración de lo expuesto anteriormente, en la Fig. 21 podemos ver el ajuste con

modelo de Bass (utilizando el método de cuadrados mínimos) de datos históricos

correspondientes a la difusión de las conexiones de banda ancha frente al viejo sistema dial-up

en la Argentina desde el año 2001 hasta el 2007 inclusive. También se puede observar el valor

del tiempo de takeoff calculado mediante la Ec. (42) a partir de los datos del ajuste.



Fig. 21: Proporción de adoptadores de banda ancha frente a dial-up en la Argentina para el período 2001-2007. Téngase en cuenta que la proporción está indicada con respecto al mercado potencial anual de accesos a Internet el cual varía con el tiempo. La línea vertical punteada indica el tiempo de takeoff [33].

Los valores resultantes de la aproximación fueron p = 1.15E-04, q = 0.857 y R2 = 0.986. También

se indica el tiempo de takeoff, el cual fue calculado mediante la expresión analítica dada por la

Ec.(42). El mismo resulta ser cercano a Octubre de 2003.

5.3 Adaptación del modelo de agentes

En el modelo de Bass hay dos tipos de decisores claramente definidos: los innovadores y los

imitadores. El modelo de agentes también tiene dos tipos de agentes aunque no exactamente

idénticos a los anteriores. Tal como en el modelo de Bass, existen innovadores en el modelo de

agentes que adoptan espontáneamente la innovación durante las primeras etapas de la

simulación. Los mismos no se ven influenciados por ningún otro decisor al momento de efectuar

esta decisión. Sin embargo, a diferencia del modelo de Bass, el modelo de agentes no tiene

decisores que sean imitadores puros. El resto de los agentes pesan su preferencia individual y la

influencia social ejercida por sus contactos para tomar su decisión.

Como el objetivo es poder comparar ambos modelos en forma numérica, debemos realizar

ciertas consideraciones en lo que respecta a la definición de los parámetros propios de cada uno

de ellos. A continuación se expondrán los criterios considerados para los ensayos realizados con

el modelo de agentes.

2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0



5.3.1 Parametrización del modelo de agentes

El ambiente en el que se correrá el modelo de agentes involucra una red bidimensional de

40.000 nodos (basada en una grilla de 200x200). Cada nodo representa un agente que decide

sobre su estado de adopción. Los vínculos entre los nodos representan oportunidades de

contacto entre los agentes a fin de establecer una influencia entre ellos en la decisión a tomar

[66].

En el modelo de base, todos los agentes están conectados a sus primeros vecinos, los cuales

conforman una grilla bidimensional. Todos los decisores tienen el mismo número de vecinos (4

u 8, dependiendo del uso de vecindarios de von Neumann o Moore) a excepción de aquellos

localizados en los bordes de la grilla, los cuales tienen una menor cantidad ya que no se

considera una periodicidad toroidal.

En simulaciones subsiguientes, esta topología regular es modificada para alcanzar topologías

alternativas mediante un proceso de reconexión utilizando el procedimiento descripto en [20] a

fin de obtener redes de mundos pequeños (ver Fig. 5.3.1a). Este proceso está parametrizado

por una probabilidad de reconexión (Pr) que representa la probabilidad de que un primer vecino

sea reemplazado por un contacto en cualquier otra ubicación de la red.

En cada paso de la simulación, todos los agentes que aún no han adoptado la innovación

deciden su próximo estado de adopción utilizando el algoritmo descripto en el capítulo 2. Los

demás agentes que ya han alcanzado la adopción permanecen en dicho estado. Esto es una

modificación necesaria al modelo de agentes original. Esto se debe a que el modelo original de

Bass fue concebido para ser utilizado en el estudio de bienes durables, mercado en el cual la

desadopción no es observada.

Como se explicó en el capítulo 2, la decisión está parcialmente influenciada por la percepción

del agente de la diferencia utilidad entre ambas opciones (esto es, i i iu u u ). El valor

percibido puede ser distinto para cada agente dependiendo de sus características personales

(por ejemplo, su aversión al riesgo [46]).

Por simplicidad asumimos que la variación entre las percepciones individuales entre agentes es

pequeña, lo cual justifica el uso de la misma iu para todos los decisores. Más aún, se asume

también que el valor de iu es invariante en el tiempo. En un escenario más realista, se debería

considerar una distribución heterogénea de valores de iu .

Finalmente, la simulación finaliza una vez que se observan fluctuaciones muy pequeñas en el

patrón de adopción o cuando una de las dos opciones prevalece por completo en el mercado (es

decir, que logra el 100% de adoptadores).



En la Fig. 22 puede visualizarse la construcción de una SWN para el caso bidimensional, tal como

se muestra en [77] mostrando además como varían el coeficiente de clustering y la longitud

característica. En dicha figura se pone en evidencia la propiedad de las SWN de tener alto

coeficiente de clustering y baja longitud característica, lo que como se explicó anteriormente

hace a las mismas más eficientes en la transmisión de información.

Fig. 22: Generación de redes de mundos pequeños a partir de una grilla bidimensional (parte superior). En la figura inferior se muestran los valores de probabilidad de reconexión asociados a estas topologías de red [77].

5.3.2 Criterio para introducir innovadores

En el modelo de Bass, los innovadores van apareciendo en forma dinámica a partir de lo

indicado por la Ec. (39). En el modelo de agentes original, no hay un criterio para introducirlos

en forma dinámica, por lo que se hace necesario establecer uno que sea compatible con el



modelo de Bass. Sin embargo, se hará una aproximación de primer orden para simplificar éste

mecanismo.

Por este motivo, se irán introduciendo innovadores de manera gradual a una cierta tasa

constante, la cual se estimará heurísticamente a partir de la Ec.(39). Para ello, se reescribe la

misma en forma integral considerando N+ = n+/N, donde N es la cantidad total de agentes:

t t

0 0

N (t)N t p (N N T )dT q N N T dT.

N

(43)

El primer término del lado derecho de la ecuación nos determinará los innovadores como

función del tiempo NI(t), o sea que definimos:

t

I

0

N t p (N N T )dT. (44)

Podemos entonces calcular la pendiente al origen de la tangente a la curva de innovadores

como:

IN0 p N N 0 pN.

d

dt

(45)

Proponemos entonces introducir los innovadores de acuerdo a una tasa = pN, hasta completar

aproximadamente un 2.5% del mercado de acuerdo con los estudios de Rogers [1]. Como el

tamaño del mercado del modelo es de 40.000 agentes, se introducirán hasta un máximo de

1.000 innovadores los cuales irán apareciendo en forma gradual en distintos momentos de la

etapa inicial.

De la Ec.(45), considerando un rango plausible de valores de p = [0.003, 0.025] correspondiente

a las SWN de acuerdo a [77], se calcula un conjunto de valores de a ser utilizados en las

distintas simulaciones. De este modo, en los experimentos subsiguiente se utilizarán valores de

= [125, 200, 250, 500, 1000] innovadores a ser introducidos en cada paso de la simulación,

siempre hasta alcanzar un máximo de 1.000 tal como se indicó en el párrafo anterior.

5.4 Análisis de resultados

La principal motivación de los experimentos presentados a continuación es la exploración de las

asociaciones existentes en los parámetros microscópicos del modelo de difusión de

innovaciones basado en agentes y los parámetros macroscópicos del modelo de Bass.



En primer lugar se simularon múltiples trayectorias de adopción en el tiempo mediante la

variación sistemática de los parámetros más relevantes del modelo de agentes (subsección

5.4.1). Luego, se estimaron los valores de los parámetros de Bass p y q y se calculó el tiempo de

takeoff para cada trayectoria simulada (subsección 5.4.2). Con estos datos, se exploraron las

asociaciones existentes entre los parámetros del modelo de agentes y el de Bass (subsección

5.4.3) y se compararon los valores de p y q estimados con los de algunos ensayos reportados en

la bibliografía (subsección 5.4.4). En la subsección 5.4.5 se investigaron las asociaciones

existentes entre los parámetros microscópicos y el tiempo de takeoff. Por último, en la

subsección 5.4.6 se ilustra un posible ejemplo de aplicación.

5.4.1 Generación de trayectorias de adopción sintéticas mediante ABM

En esta subsección se explica el procedimiento de generación de trayectorias sintéticas de

adopción mediante el uso de nuestro modelo de agentes. Los parámetros microscópicos

considerados pueden ser agrupados en dos grandes categorías las cuales representan: (a) la

influencia externa asociada a la innovación pura (u, y ) y (b) la influencia interna relacionada

al proceso de imitación (Pr y k).

El parámetro u representa la diferencia de utilidades entre el nuevo producto y el existente.

Como se indicó en el párrafo anterior, esta variable refleja una percepción individual la cual

puede ser influencia para factores externos como mejoras en el producto o disminución de su

precio. Se utilizarán dos valores para este parámetro: 0,6 y 0,8. Estos valores representan

productos con utilidades positivas y altamente positivas respectivamente. Además, el uso de

estos valores garantizan la saturación total del mercado (es decir que se alcanza el 100% de

adopción de la innovación).

El segundo parámetro considerado es la tasa de introducción de innovadores . Esta variable

puede ser vinculada a la publicidad (entre otras influencias externas) pero no al proceso de

comunicación boca a boca. Tal como se dijo en la subsección 5.3.2 los innovadores (los cuales

totalizarán un valor de 1.000 el cual representa el 2,5% de la población) pueden ser introducidos

a distinta velocidad. Como en general todas las simulaciones consideradas toman entre 15 y 45

pasos de tiempo discreto en alcanzar la saturación total, escogimos un número de 8 pasos como

el máximo posible para la introducción de la totalidad de los innovadores. Esto es razonable

dado que en el modelo de Bass la innovación ocurre en las etapas tempranas del proceso de

adopción. Con este criterio, entonces establecemos que el proceso de innovación dentro del

modelo de agentes puede tomar 8, 5, 4, 2 o 1 paso de tiempo discreto (denominado tick), los

cuales corresponden a tasas de 125, 200, 250, 500 y 1.000 adopciones por tick respectivamente.

Dado que se está simulando la adopción en una red que refleja la distancia social entre agentes,

la distribución de los innovadores mencionados en el párrafo anterior puede tener influencia en



el proceso de difusión [13]. Se exploran tres patrones de dispersión espacial () bien definidos:

(a) una distribución compacta de innovadores localizados en el centro de la red, (b) una

distribución uniforme y (c) una distribución intermedia a las dos anteriormente mencionadas. La

distribución espacial de innovadores pierde relevancia a medida que la topología de red varía de

una red regular a una totalmente aleatoria, ya que este pasaje implica una pérdida de la noción

de vecindad física.

El segundo grupo de parámetros está relacionado con la topología de red que vincula a los

decisores que conforma el mercado. El primero de ellos es la probabilidad de reconexión entre

nodos adyacentes Pr. El mínimo valor considerado para esta variable es Pr = 0, el cual

corresponde a una red completamente regular. Otros valores utilizados para Pr son 0,0025,

0,005, 0,01, 0,02 y 0,04. Estos valores intentan abarcar todo el rango de las redes de mundos

pequeños tal como se muestra en la Fig. 22.

Finalmente, el último parámetro explorado es el parámetro k, el cual representa el grado medio

de la red (esto es, el número promedio de contactos que tiene cada decisor). Los agentes

vinculados a otros que hayan tomado la decisión de adoptar tienen mayor probabilidad de

adoptar la innovación dado que sus pares proveen información de las ventajas o riesgos

inherentes a la misma. Éstos últimos, a su vez, ejercen una influencia conjunta la cual es

considerada en el algoritmo descripto en el capítulo 2. En este trabajo se simulan dos valores

posibles para el grado medio de la red: 4 y 8. Estos valores corresponden a 4 y 8 primeros

vecinos en una red regular (es decir, un vecindario de von Neumann y Moore, respectivamente).

Para Pr > 0, a pesar de que el número de contactos de cada agente puede modificarse, el grado

medio de la red permanece invariante.

Estos valores considerados para los cinco parámetros mencionados anteriormente dan un total

de 360 combinaciones posibles, cada una de ellas asociada a una trayectoria sintética de

adopción (o lo que es lo mismo, una curva de proporción de adoptadores como función del

tiempo).

5.4.2 Ajuste para la obtención de los parámetros de Bass p y q

Los parámetros p y q correspondientes al modelo de Bass pueden ser estimados a partir de

datos empíricos utilizando una gran variedad de métodos tales como aproximación por

cuadrados mínimos [6], máxima similitud [78], cuadrados mínimos no lineales [79] y algoritmos

genéticos [80].

En el presente trabajo se estiman los valores de p y q para cada una de las 360 trayectorias de

adopción simuladas descriptas en la subsección anterior utilizando la función

NonLinearModelFit de Mathematica 8 [81] utilizando los parámetros por default especificados



para dicha función. A modo de ilustración, en la Fig. 23 se muestran algunos de los ajustes

realizados. Los cuatro paneles mostrados corresponden a valores de u = 0,6, k = 8 y una

distribución uniforme de innovadores ().

Los dos paneles superiores (Figs. A y B) corresponden a una red completamente regular (Pr = 0)

y valores de iguales a 200 y 500 innovadores por tick (es decir que la totalidad de los mismos

es introducida en 5 y 2 ticks) respectivamente. Los dos paneles inferiores (Figs. C y D)

corresponden al límite superior de las redes de mundos pequeños (en términos de probabilidad

de reconexión; rP = 0.04) y a los mismos valores de .

Se observa que el número de ticks necesarios para alcanzar la saturación total del mercado (en

favor del nuevo producto) en mayor en los paneles superiores, lo cual refleja una mayor

velocidad de adopción en las redes de mundos pequeños (paneles inferiores). La curva de Bass

hallada ajusta casi perfectamente a las trayectorias simuladas. Esto no ocurre solamente para

los cuatro casos presentados sino también para el resto de las curvas, ya que para todos los

casos el valor del coeficiente r2 es muy alto (mayor a 0,98). En laTabla 1 del apéndice I se

presenta una tabla con todos los ajustes realizados.



Fig. 23: Trayectorias de adopción simuladas (puntos) y curvas de Bass ajustadas (líneas contínuas ). Las

trayectorias de adopción simuladas corresponden a los parámetros u = 0.6, k = 8 y una distribución espacial

uniforme de innovadores (). Los paneles A y B corresponden a valores de = 200 y 500 respectivamente para el caso de una red regular (Pr = 0). Los paneles C y D corresponden a los mismos valores de parámetros mencionados para los paneles A y B, excepto que en este caso los agentes están vinculados mediante una red

de mundos pequeños (Pr = 0,04) [33].

5.4.3 Asociación de parámetros de Bass a cambios en variables microscópicas

Los valores de p y q estimados en la subsección 5.4.2 pueden ser asociados a los parámetros

microscópicos utilizados para simular las trayectorias de adopción. En la Fig. 24 se muestran los

bordes de una región que abarca todos los valores de p y q alcanzables por el ajuste, es decir no

sólo aquellos efectivamente alcanzados si no aquellos que se alcanzarían de acuerdo a la ley de

variación observada. Los cálculos fueron realizados restringiéndonos al subconjunto que resulta

de fijar de manera siguiente los microparámetros: u = 0,6, k = 8 y una distribución espacial

compacta de innovadores ().



Una implicación importante que se desprende de esta figura es que todas las combinaciones de

valores (p, q) dentro de esta región pueden ser asociadas a una combinación particular de

parámetros microscópicos. De este modo, es posible evaluar patrones emergentes de adopción

a nivel agregado mediante posibles intervenciones en dichos micro-parámetros.

Fig. 24: Variaciones en parámetros p y q en respuesta a cambios en los parámetros del modelo de agentes. La región mostrada corresponde a trayectorias simuladas con la siguiente combinación de micro-parámetros:

u = 0,6, k = 8 y una distribución espacial compacta de innovadores (). Las flechas alrededor de los bordes

de la región indican el sentido de variación de los micro-parámetros y Pr [33].

Los bordes de la región mostrada en la Fig. 24 están definidos por la combinación de dos

parámetros microscópicos: 5 valores para (desde 125 hasta 1.000 innovadores por tick) y 6

valores para Pr (desde 0 hasta 0,04). Las flechas alrededor de los bordes indican el sentido de

variación de estas dos variables.



Es importante destacar que a pesar de que se realizaron simulaciones para los tres patrones de

distribución espacial de innovadores indicados en 5.4.1, este parámetro no reflejó cambios

sustanciales en los valores de p y q. Por este motivo, y por una cuestión de claridad y

simplicidad en adelante sólo se mostrarán resultados para una distribución espacial compacta a

menos que se indique lo contrario.

De lo expuesto anteriormente, se desprende que los bordes superior e inferior de la región

están asociados a la variación del parámetro . Si nos movemos en el gráfico de izquierda a

derecha, el valor de se incrementa partiendo de un valor de 125 hasta alcanzar un máximo de

1.000. Este comportamiento es razonable dado que p (eje x) está asociado al proceso de

innovación y tiene mayor relevancia durante las etapas tempranas de la difusión. Al mismo

tiempo, las variaciones en no inducen cambios sustanciales en q (eje y) por lo que los bordes

superior e inferior son prácticamente horizontales. Esto también es razonable dado que no sería

de esperar que los cambios en los adoptadores tempranos repercutan en el proceso de

imitación.

Los bordes laterales de la región de la figura están asociados a la variación del parámetro Pr, el

cual toma valores desde 0 (red regular) hasta 0,04 (superando el límite superior de las redes de

mundos pequeños de acuerdo a [77]) si observamos la figura desde abajo hacia arriba

respectivamente. Por consiguiente, los cambios inducidos en q resultan de la variación del

parámetro Pr el cual representa la probabilidad de reconexión. A medida que nos movemos de

abajo hacia arriba por las fronteras laterales, los valores de q se duplican (desde 0,35 hasta 0,7

aproximadamente). Estos cambios en q son de esperar ya que un aumento en la probabilidad de

reconexión disminuye la longitud característica de la red, lo cual a su vez facilita y acelera el

proceso imitación.

Sin embargo, la variación en la topología de la red induce cambios en p (que disminuye

levemente a medida que la probabilidad de reconexión aumenta). Esto se desprende de la

observación de los bordes laterales, los cuales no son verticales sino oblicuos. Los motivos que

subyacen detrás de este fenómeno no son del todo claros, ya que sería de esperar que la

topología de la red no fuera un factor que altere el proceso de innovación, atribuido puramente

a factores externos.

Siguiendo la línea de pensamiento probabilística que inspiró el trabajo original de Bass, tal vez

no se debería asociar al parámetro p a la aparición espontánea de adoptadores de una manera

totalmente aislada del contexto social, ya que esto no es realista. Por el contrario, el

comportamiento que conduce a la innovación espontánea puede estar influenciado por la

identidad social del decisor, de alguna manera vinculada a la red social en la que se encuentra

inserto. Por ejemplo, si un productor agropecuario cree que ser un buen productor implica

adoptar nuevas tecnologías de manera temprana, entonces las características asociadas a la



innovación pueden estar atadas al rol que un agente tiene (o cree tener) dentro de su red social.

Este vínculo ser una explicación plausible que explique la dependencia de p del

micro-parámetro Pr.

De la misma manera que se generó una región como la de la Fig. 24, también es posible definir

una región para un grado medio de red k = 4 (manteniendo los demás micro-parámetros

invariantes). Dado que la forma de la región es similar y caben las mismas consideraciones, esta

figura no se muestra en forma explícita aunque aparece como parte de la Fig. 25 (con líneas

punteadas) en la próxima subsección. Sin embargo, cabe aclarar que reducir el grado medio de

la red resulta en un desplazamiento de la región hacia valores de p, y en menor medida, a

mayores valores de q.

La razón de este desplazamiento no es trivial. El mismo está ligado a cambios en la influencia

social necesaria (representada por el número de contactos adoptadores) para inducir la

adopción para un valor dado de diferencia de utilidad u. En el modelo de agentes, una

reducción en el grado medio es equivalente a una disminución en la cantidad de contactos

adoptadores necesarios para disparar la adopción. Esto es, para k = 8 y u = 0,6 son necesarios

dos contactos adoptadores para inducir la adopción, mientras que para u = 0,8, uno sólo es

necesario. En cambio, para k = 4, sólo un contacto adoptador es necesario para ambos valores

de u. Por este motivo, y dado que caben las mismas consideraciones que para u = 0,6,

tampoco se ha graficado la región para u = 0,8.

5.4.4 Comparación de valores de p y q estimados con valores reales

En la Fig. 25 se muestran 68 valores de (p, q) reportados en cinco estudios publicados en las

referencias [6, 9, 69-71]. En esta figura se muestra la región de la Fig. 24 (en línea sólida) y otra

análoga correspondiente a un grado medio k = 4 (en línea punteada).



Fig. 25: Comparación de parámetros p y q estimados a partir de trayectorias sintéticas con valores de procesos reales (B.K.J: [69], Bellón: [70], Bass: [6], W: [71], G.E.R.: [9]) de difusión de innovaciones. La región delimitada por una línea sólida es la región de la Fig. 5.4.3. La delimitada por una línea punteada corresponde a un grado medio de red k = 4 (dejando el resto de los micro-parámetros iguales que para le región de línea

sólida).

Muchos de los valores de p y q reportados en la literatura están dentro o en las cercanías de los

bordes de alguna de las dos regiones mostradas en la Fig. 25. Los puntos observados

corresponden en su mayoría a difusión de bienes de consumo durable en Estados Unidos y

España [6, 69, 70]. También hay otros que corresponden a la difusión del uso de Internet, banda

ancha y telefonía celular en Estados Unidos y Argentina [71].

Sin embargo, existe una cantidad de puntos alejados de ambas regiones. En su mayoría

corresponden a la introducción de bienes durables en Europa [9]. Por su localización en el

espacio p-q, estos puntos parecen tener en común un alto valor de p, o lo que es lo mismo, una

gran influencia del proceso de innovación.



Esto puede estar relacionado al hecho de que los productos introducidos en Europa fueron

lanzados previamente en Estados Unidos, estableciendo en los potenciales adoptadores

europeos un nivel de conocimiento previo distinto al de una innovación que se introduce por

primera vez en el mercado. Además, también es posible que existan diferencias culturales en

cuanto a patrones de adopción [6, 18, 70].

El valor del coeficiente q/p caracteriza la forma de la curva de adopción, lo que implica que éste

sea mencionado en la literatura como un factor de forma [63]. Los puntos de la Fig. 25 alejados

de ambas regiones tienen una característica en común: todos tienen y valor de q/p menor al de

aquellos contenidos o en las cercanías de alguna de las regiones.

En el artículo [18] se describe el efecto de varios factores individuales y sociales que impactan

en el valor de q/p. Por ejemplo, el individualismo y la heterogeneidad son factores que tienen a

disminuir el valor de este coeficiente. El individualismo puede ser modelado mediante un

promedio pesado entre la preferencia individual y la influencia social. En nuestro modelo de

agentes, ello se hace a través del parámetro α lo cual como vimos es matemáticamente

equivalente a variar el valor de u, el cual ya ha sido analizado en la subsección anterior. Sin

embargo, la heterogeneidad requiere la implementación de decisores con características

individuales diferentes utilizando algún tipo de distribución basada en ciertos criterios

determinados por el modelador. Este enfoque no ha sido considerado en el presente trabajo,

pero puede ser abordado en futuros trabajos.

5.4.5 Relación entre el tiempo de takeoff y los parámetros microscópicos

En esta subsección se exploran los cambios en el tiempo de takeoff (en adelante denominado

tTO) en respuesta a variaciones en y Pr, los micro-parámetros que parecen tener mayor

influencia en los parámetros de Bass p y q. La Fig. 26 presenta cuatro paneles, de los cuales los

de la izquierda (A y C) muestran cambios en tTO (calculado a partir de los parámetros p y q

inducidos de las trayectorias simuladas) en respuesta a la variación en la tasa de introducción de

innovadores para redes con un grado medio k = 8 y k = 4 respectivamente. Las series

presentes en cada panel representan distintas combinaciones de micro-parámetros, pero sólo

se resaltan aquellas que introducen cambios significativos en los resultados.



Fig. 26: Tiempo de takeoff como function de diversas variaciones en los parámetros (paneles A y C) y Pr (paneles B y D). Los paneles superior corresponden a simulaciones realizadas para un grado medio de la red k = 8 y los inferiores, para k=4.

En el panel A se observa que tTO disminuye a medida que se incrementa. Una mayor velocidad

en la introducción de innovadores acelera la formación de grupos de adoptadores lo cual

implica que los umbrales de adopción se alcancen más rápidamente y en consecuencia se

reduzca el tiempo de despegue del producto. A su vez, en este panel se observan dos grupos de

series claramente definidos, correspondientes a u = 0,6 (series superiores) y u = 0,8 (series

inferiores). Un incremento en el valor de u produce una disminución notable en tTO. Por el

contrario, los cambios en la topología de la red (Pr) y la dispersión espacial de innovadores ()

tienen efectos de segundo orden.



En el panel C se muestra la misma información que en A pero para una red con grado medio k =

4. Como se discutió en la subsección 5.4.3, un número menor de contactos ocasiona que para

ambos valores de u el mismo umbral sea el mismo (es decir un contacto adoptador). Por este

motivo, en el panel C se observa un solo grupo de series y no dos como en el panel A. A

excepción de esta observación, caben las mismas consideraciones que para dicho panel.

En los paneles B y D se ilustran los cambios en tTO resultantes de la variación en la probabilidad

de reconexión Pr. De manera análoga, el panel B presenta la información asociada a una red con

grado medio k = 8 y el D a otra con k = 4. Ambos paneles muestran que la variación de Pr no

produce cambios significativos en tTO, dado que todas las series son relativamente horizontales.

Sin embargo los cambios son significativos para variaciones de y u, lo cual es consistente con

los paneles A y C.

En el panel B se observan cuatro grupos de series bien diferenciados para todas las

combinaciones de (125 y 1000) y u (0,6 y 0,8) consideradas. En el panel D, y por la misma

razón explicada para el panel C, el efecto de u desaparece al pasar a una red con grado medio

k = 4.

5.5 Ejemplo de aplicación

A fin de ilustrar una posible aplicación de la metodología desarrollada en el capítulo 5 de esta

tesis, se presenta el siguiente ejemplo de aplicación. Consideremos una empresa multinacional

que está por introducir un nuevo producto en mercados diferentes (podría querer introducirlo

en varios países, por lo que cada uno de ellos puede considerarse un mercado).

Asumiremos también que la innovación ya ha sido introducida en algunos mercados, de los

cuales uno de ellos (M0) tiene características socioeconómicas similares al mercado M,

considerado para nuestro estudio. Más aún, asumiremos que los mercados M0 y M están

aislados (es decir, no existe interacción entre los decisores de ambos mercados).

La empresa desea mejorar las ganancias acumuladas producto de las ventas, desde la

introducción hasta un tiempo específico, mediante una inversión adicional en publicidad. Para

alcanzar este objetivo, la empresa debería seguir los siguientes pasos:

Dada la similitud de los mercados M0 y M, es razonable asumir que la difusión del producto en

el nuevo mercado M será análoga a la acontecida en M0 [82]. Esto significa, que bajo las mismas

circunstancias (condiciones iniciales y parámetros), los valores de los parámetros de Bass

asociados al proceso de difusión en el mercado M (p, q) son iguales a aquellos que caracterizan

la curva de adopción en M0 (p0, q0).



Si asumimos que los valores de (p0, q0) caen dentro de una de las regiones de coincidencia

indicadas en la Fig. 25, entonces es posible hallar una combinación de parámetros

microscópicos asociada a la curva de adopción de M0.

A fin de mejorar el proceso de difusión, es necesario establecer una asociación entre una

posible variable de control (la inversión adicional en publicidad denominada I) y los

micro-parámetros cuya modificación tiene impacto en los parámetros de Bass. En este ejemplo

nos enfocaremos en el micro-parámetro (la tasa de introducción de innovadores) dado que es

razonable asociarlo a la inversión en publicidad. Está fuera del alcance de este trabajo la

determinación de la expresión analítica = (I) que caracterizaría a la tasa de generación de

innovadores, asunto que debería ser abordado por expertos en marketing. De todos modos, y

sin pérdida de generalidad, podemos aseverar que es una función creciente de I.

Otra variable que necesita ser definida es el tiempo t* en el cual se evaluarán las ganancias

acumuladas por la venta del producto introducido. Asumiremos que t* > tTO sea cual fuere el

patrón de difusión, dado que no sería razonable esperar recuperar la inversión antes de que la

difusión del producto haya despegado.

De la Fig. 26, se deduce que si < I, entonces tTO( > tTO(I); los subíndices I y 0 indican los

procesos de adopción con y sin inversión adicional respectivamente. Luego, es posible

demostrar haciendo una análisis de la función de proporción de adoptadores que n+(I,t*) >

n+(0,t*) para cualquier valor de t* > tTO. Sin embargo, todavía nos queda determinar este

impacto de este incremento en las ventas en las ganancias netas.

Definimos a G como las ganancias netas acumuladas luego de haber deducido la inversión

adicional en publicidad. Es razonable asumir que G es una función de n+(,t*) conocida por la

empresa, que a su vez está parametrizada por y t*. El procedimiento descripto permite a la

empresa determinar si la ganancia neta esperada es suficiente para recuperar la inversión

adicional y además obtener un retorno de la inversión aceptable. En otras palabras, el empresa

puede establecer si

0 min, , ,IG t G t ROI (46)

donde ROImin es el mínimo retorno de la inversión aceptable en el tiempo t* que justifique

haberla realizado. La Ec. (46) define el criterio para estimar si la inversión adicional a realizar

será rentable o no.



Conclusiones

En el presente trabajo se explicaron diversos modelos de difusión de innovaciones, de los cuales

se implementó uno basado en el conocido modelo de Ising aplicado a contextos sociales, el cual

fue explicado en detalle en el capítulo 2. La implementación de este modelo fue llevada a cabo

mediante una metodología conocida como modelación basada en agentes, la cual a su vez, fue

explicada en el capítulo 3.

Para nuestro caso de estudio, una vez implementado el modelo mencionado, en el capítulo 4 se

analizó el efecto de diversas variables microscópicas lo que permitió una mejor comprensión de

los mecanismos globales y comportamientos individuales y la identificación de los parámetros

más relevantes y sus rangos de valores a ser utilizados para establecer un vínculo con el modelo

de Bass.

De las primeras secciones del capítulo 4 se desprende que la percepción individual de la utilidad,

la topología de la red (caracterizada por el grado medio y la probabilidad de reconexión) y la

distribución inicial de adoptadores tempranos tienen un efecto importante en la forma de la

curva de adopción y en el tiempo de saturación. Por este motivo éstas fueron utilizadas en el

capítulo 5 para establecer asociaciones entre los modelos anteriormente mencionados.

De las últimas secciones se desprenden algunos resultados interesantes los cuales muestran el

potencial de análisis que nos permite el modelo desarrollado para asociar patrones emergentes

a partir de variables microscópicas, a saber:

Temperatura como indicador de incertidumbre en la decisión: A medida que la

temperatura del sistema aumenta, la toma de decisión de los agentes se vuelve cada vez

más aleatoria producto del ambiente volátil en que se encuentra inserto. Por este

motivo, cuando hay temperatura no se alcanza una saturación total del mercado sino

que se produce un equilibrio dinámico en una proporción específica la cual tiene relación

con el valor de temperatura y que ha sido descripta analíticamente. Esta proporción de

equilibrio tiende a 0,5 cuando la temperatura tiende a infinito. Además, la misma se

alcanza más rápidamente cuanto mayor es la temperatura. Esto se debe a que en las

primeras etapas, la cantidad de no adoptadores son una gran mayoría, los cuales a

temperatura cero no llegarían a adoptar debido a que al no alcanzar el umbral de

adopción, la probabilidad sería nula. Sin embargo, cuando la temperatura es distinta de

cero, esta probabilidad pasa a tener un valor positivo que acelera el proceso.

Propiedades de escala: Se encontró que para topologías de red que contienen a los

mundos pequeños existe un comportamiento cuasi invariante en cuanto al tiempo de

saturación a medida que aumenta la escala (cantidad de agentes). En particular, para el

conjunto de condiciones iniciales escogidas para este ensayo, a partir de una cantidad de



nodos igual a 40.000 (ver Fig. 15) aproximadamente se comienza a observar dicha

invariancia. Es sumamente importante que el sistema tenga dicha propiedad, dado que

sería posible sacar conclusiones para modelos de escalas mayores utilizando los

resultados obtenidos. También es interesante observar que cuando se alcanza cierto

valor de probabilidad de reconexión, esta invariancia se pierde (ver Fig. 17). La

investigación de este fenómeno puede ser motivo de futuros trabajos.

Ejemplo de opciones en competencia: En la sección 4.6 se implementó un sencillo

modelo de opciones en competencia en donde la ventaja del producto existente

aumenta hasta igualar al de la innovación cuando esta alcanza una cierta penetración en

el mercado. Para una red regular, con adoptadores tempranos espacialmente

concentrados la estrategia de marketing de la empresa que ha lanzado la innovación

debería apuntar a alcanzar rápidamente el 50% del mercado. En este caso, el efecto

producido por la mejora del producto existente no disminuye el mercado ganado por la

innovación durante el período donde su percepción individual de la utilidad fue superior.

Por otro lado, si la distribución de adoptadores tempranos es dispersa, la probabilidad

de que la innovación mantenga su inserción disminuye con la dispersión de dichos

adoptadores. Finalmente, para mercados donde los agentes están vinculados por una

red de mundos pequeños la distribución inicial de adoptadores tempranos deja de

presentar el efecto observado.

Una vez comprendido el funcionamiento del modelo basado en agentes, en el capítulo 5 se

introdujo con mayor detalle el modelo de Bass, modelo macroscópico ampliamente utilizado y

validado con gran cantidad de datos empíricos. El objetivo de este capítulo fue la realización de

un alineamiento [83] de ambos modelos con el fin de explorar las asociaciones existentes entre

los mismos y poder establecer un vínculo entre patrones emergentes y variables de control

plausibles de intervención.

Como se dijo anteriormente, los modelos macroscópicos no son capaces de describir los

procesos individuales ni las interacciones sociales que pueden inducir la adopción. La alineación

de modelos realizada no busca invalidar el ampliamente utilizado modelo de Bass, sino ampliar

su perspectiva de procesos plausibles dentro del dominio de coincidencia entre ambos. De la

misma forma, la mecánica estadística no invalida la termodinámica sino que intenta explicar sus

fundamentos.

Este alineamiento fue realizado exitosamente para distintas combinaciones de parámetros

microscópicos, para los que se logró obtener un ajuste muy preciso entre las curvas de adopción

resultantes del modelo de agentes y del modelo de Bass. Esto permitió establecer una relación

con los parámetros p y q que caracterizan dicho modelo, los cuales pueden inducirse mediante

el proceso descripto en 5.4.2 y 5.4.3.



Desde un punto de vista global, la implicación más importante que se desprende es que

cualquier combinación de valores de p y q que pertenezca al dominio de coincidencia descripto

en 5.4.3 y 5.4.4 está asociada a un conjunto de microparámetros. Luego, esto permite la

exploración de patrones emergentes resultantes de modificaciones en los microparámetros a

través de intervenciones en los mismos.

Desde una perspectiva particular, las asociaciones de p y q más destacables con los parámetros

microscópicos son las siguientes: (1) p aumenta no sólo con la cantidad de innovadores sino

también con la tasa a la cual son introducidos; (2) q aumenta con la probabilidad de reconexión

a medida que se pasa de una red regular a una red de mundos pequeños, dado que la longitud

característica se acorta dentro de un rango en el cual el coeficiente de clustering aún se

mantiene alto; (3) el incremento de la percepción individual de la utilidad aumenta tanto el

valor de p como de q.

El tiempo de takeoff tTO es un indicador macroscópico que permite medir la inserción de la

innovación en el mercado. Dado que su valor es función de los parámetros p y q, también es

posible establecer una asociación entre éste y los microparámetros. Se encontró que el tiempo

de takeoff se ve fuertemente afectado principalmente por tres parámetros: la percepción

individual de la utilidad (u), la tasa de introducción de innovadores () y el grado medio de la

red (k).

Comprender qué factores acortan el tiempo de takeoff tiene implicaciones prácticas muy

importantes, dado que una adopción rápida requiere estrategias de producción, distribución y

marketing adecuadas que requieren montos de inversión considerables [16].

Desde el punto de vista de la aplicación, comprender los vínculos entre lo micro y lo macro

permitiría a los expertos en marketing diseñar estrategias de intervención sobre los

microparámetros que optimicen los procesos de adopción de futuros productos o tecnologías.

En este sentido, se ilustró con el ejemplo de aplicación descripto en la sección 5.5.

Una intervención tal como la disminución del precio inicial de una innovación puede ayudar a la

aparición de adoptadores tempranos. Otra estrategia plausible para optimizar la aparición de

innovadores puede involucrar a una fuerte inversión inicial en publicidad la cual puede ir

disminuyendo a medida que el producto o tecnología se va insertando en el mercado [84].

En conclusión, los microparámetros pueden ser utilizados para replicar efectos individuales de

distintas alternativas de marketing con sus respectivas respuestas por parte de los agentes, las

cuales deben ser incorporadas en sus reglas de decisión [16]. Luego, los resultados agregados

pueden ser utilizados para evaluar la performance de éstas estrategias sobre el conjunt o total

de la población.



Referencias

[1] E. M. Rogers, Diffusion of Innovations, 4th ed.: The Free Press, 1995. [2] L. A. Fourt and J. W. Woodlock, "Early prediction of early success of new grocery products,"

Journal of Marketing, vol. 25, pp. 31-38, 1960. [3] E. Mansfield, "Technical change and the rate of imitation," Econometrica, vol. 29, pp. 741-766,

1961. [4] A. Floyd, "Trend forecasting: A methodology for figure of merit.," Technological forecasting for

industry and government pp. 95-105, 1962. [5] G. C. Chow, "Technological change and demand for consumers," American Economic Review, vol.

57, pp. 1117-1130, 1967. [6] F. M. Bass, "A new product growth for model consumer durables," Management Science, vol. 15,

pp. 215-227, 1969. [7] N. Meade and T. Islam, "Modelling and forecasting the diffusion of innovation - A 25-year

review," International Journal of Forecasting, p. 519, 2006. [8] B. Robinson and C. Lakhani, "Dynamic pricing models for new product planning," Management

Science, pp. 1113-1122, 1975. [9] H. Gatignon, et al., "Modeling Multinational Diffusion Patterns: An Efficient Methodology,"

Marketing Science, vol. 8, pp. 231-247, 1989. [10] J. A. Norton and F. M. Bass, "Evolution of technological generations: The law of capture," Sloan

Management Review, pp. 66-77, 1992. [11] C. A. Martín, Modelos de difusión: Una revisión vol. 11: Universidad de Valladolid, 1996. [12] S. A. Delre, et al., "Will It Spread or Not? The Effects of Social Influences and Network Topology

on Innovation Diffusion," Product and Innovation Management, pp. 267-282, 2010. [13] S. A. Delre, et al., "Targeting and timing promotional activities: An agent-based model for the

takeoff of new products," Journal of Business Research vol. 60, pp. 826-835, 2007. [14] D. J. Watts, Small Worlds, The Dynamics of Networks between Order and Randomness: Princeton

Studies in Complexity, 2004 [15] E. Kiesling, et al., "Agent-based simulation of innovation diffusion: a review," Central European

Journal of Operations Research, vol. 20, pp. 183-230, 2012. [16] R. Peres, et al., "Innovation diffusion and new product growth models: A critical review and

research directions," International Journal of Research in Marketing, vol. 27, pp. 91-106, 2010. [17] G. Fibich and R. i. Gibori, "Aggregate Diffusion Dynamics in Agent-Based Models with a Spatial

Structure," Operations Research, vol. 58, pp. 1450-1468, July 14, 2010 2010. [18] C. Van den Bulte and S. Stremersch, "Social Contagion and Income Heterogeneity in New Product

Diffusion: A Meta-Analytic Test," Marketing Science, vol. 23, pp. 530-544, Fall 2004 2004. [19] Z. Katona, et al., "Network Effects and Personal Influences: The Diffusion of an Online Social

Network," in Journal of Marketing Research, ed, 2011, pp. 425-443. [20] D. J. Watts and S. H. Strogatz, "Collective dynamics of ‘small-world’ networks," Nature, vol. 393,

pp. 440-442, 1998. [21] M. Newman, et al., The Structure and Dynamics of NETWORKS: Princeton Univ. Press 2006. [22] R. Albert and A.-L. Barabási, "Statistical mechanics of complex networks," Reviews of Modern

Physics, vol. 74, pp. 47-97, 2002. [23] V. Latora and M. Marchiori, "Efficient Behavior of Small -World Networks," in Physical Review

Letters, ed, 2001, pp. 1-4. [24] N. Gilbert, "Agent-Based Models," ed: Sage Publications, 2007.



[25] M. J. North and C. M. Macal, "Managing Business Complexity: Discovering Strategic Solutions with Agent-Based Modeling and Simulation," ed: Oxford University Press, 2007.

[26] A. Olaru and A. M. Florea, "Emergence in Cognitive Multi-Agent Systems," presented at the International Conference on Control Systems and Computer Science, Bucarest, Romania, 2009.

[27] M. E. Schramm, et al., "An Agent-Based Diffusion Model with Consumer and Brand Agents," in Decision Support Systems, ed, 2010, pp. 234-242.

[28] N. Baxter, et al., "Agent-Based Modelling - Intelligent Customer Relationship Management," in BT Technology Journal vol. 21, ed, 2003, pp. 126-132.

[29] Z. Sun, "Multi-Agent Based Modeling: Methods and Techniques for Investigating Human Behaviors," in International Conference on Mechatronics and Automation , ed, 2007, pp. 779-783.

[30] J. Goldenberg, et al., "The role of hubs in the adoption process," Journal of Marketing, vol. 73, pp. 1-13, 2009.

[31] C. Castellano, et al., "Statistical physics of social dynamics," Reviews of Modern Physics, vol. 81, pp. 591-646, 2009.

[32] C. Laciana and S. Rovere, "Ising-like agent-based techonology diffusion model: Adoption patterns vs. seeding strategies," Physica A, vol. 390, pp. 1139-1149, 2011.

[33] C. Laciana, et al., "Exploring associations between micro-level models of innovation diffusion and emerging macro-level adoption patterns," Physica A, vol. 392, pp. 1873-1884, 2013.

[34] E. Ising, "Beitrag zur Theorie des Ferromagnetismus," Zeitschrift für Physik vol. 31, pp. 253-258, 1925.

[35] F. Vega-Redondo, Complex Social Networks, Cambridge University Press. ed.: Cambridge University Press., 2007.

[36] M. Ozman, "Interactions in economic models: Statistical mechanics and networks," Mind & Society, vol. 4, pp. 223-238, 2005.

[37] H. Haken, Synergetics. An Introduction, 2nd ed.: Springer-Verlag, 1978. [38] W. Weidlich, "The use of stochastic models in sociology " Collective Phenomena, vol. 1, pp.

51-59, 1972 [39] A. Grabowski and R. A. Kosinski, "Ising-based model of opinion formation in a complex network

of interpersonal interactions," Physica A, vol. 361, pp. 651-664, 2006. [40] S. Galam, "Rational Group Decision Making: A Random Field Ising Model at T = 0," in Physica A,

ed, 1997, pp. 66-80. [41] G. Weisbuch and G. Boudjema, "Dynamical aspects in the adoption of agri -environmental

measures," Advances in Complex Systems, vol. 2, pp. 11-36, 1999. [42] R. Albert, et al., "Diameter of the world-wide web," Nature, vol. 401, pp. 130-131, 1999. [43] J. M. Kleinberg, et al., "The Web as a graph: Measurements, models and methods " in

International Conference on Combinatories and Computing, 1999, pp. 1-18. [44] R. Pastor-Santorras and A. Vespignani, "Epidemic dynamics in finite size scale-free networks,"

Phys. Rev. E vol. 65, pp. (035108-1)-(035108-4). 2002. [45] R. K. Pan and S. Sinha. The small world of modular networks [Online]. [46] J. W. Pratt, "Risk Aversion in the Small and in the Large," Econometrica, vol. 32, pp. 122-136,

1964. [47] A. D. Tversky and D. Kahneman, "Advances in Prospect Theory: Cummulative Representation of

Uncertainty," Journal of Risk and Uncertainty, vol. 5, pp. 297-323, 1992. [48] M. J. Machina, "Choice Under Uncertainty: Problems Solved and Unsolved," The Journal of

Economic Perspectives, vol. 1, No1, pp. 121-154, 1987. [49] T. W. Valente, "Social network thresholds in the diffusion of innovations," Social Networks, pp.

69-89, 1996.



[50] J. D. Bohlmann, "The Effects of Market Network Heterogeneity on Innovation Diffusion: An Agent-Based Modelling Approach," Journal of Product Innovation Management, pp. 741-760, 2010.

[51] M. E. J. Newman, "Models of the Small World," Journal of Statistical Physics, p. 23, 2000. [52] F. Schweitzer and J. A. Holyst, "Modelling collective opinion formation by means of active

Brownian particles," European Physical Journal B, vol. 15, No 4, pp. 723-732., 2000. [53] A. Grabowski, "Opinion formation in a social network: The role of human activity," Physica A, vol.

388, pp. 961-966, 2009. [54] C. M. Macal and M. J. North, "Tutorial on agent-based modelling and simulation," Journal of

Simulation, vol. 4, pp. 151-162, 2010. [55] J. Casti, Would-Be Worlds: How Simulation is Changing the World of Science. New York: Wiley,

1997. [56] U. Wilensky. NetLogo. Available: http://ccl.northwestern.edu/netlogo/ [57] Argonne, "RePAST." [58] AnyLogic. AnyLogic. Available: http://www.anylogic.com/ [59] S. A. Delre, et al., "Diffusion dynamics in small-world networks with heterogeneous consumers,"

Comput. Math. Organiz. Theor. , vol. 13, pp. 185-202, 2007. [60] B. Libai, et al., "The role of seeding in multi-market entry " Inter. J. of Research in Marketing,

vol. 22 pp. 375-393, 2005. [61] M. A. Janssen and W. Jager, "Simulating market dynamics: Interactions between consumer

psychology and social networks," Artificial Life, vol. 9, pp. 343-356, 2003. [62] V. Bala and S. Goyal, "Learning from neighbours," The Review of Economic Studies, vol. 65, No 3,

pp. 595-621, 1998. [63] R. Chatterjee and J. Eliasberg, "The Innovation Diffusion Process in a Heterogeneous Population:

A Micromodeling approach," MANAGEMENT SCIENCE, vol. 36, pp. 1057-1079, 1990. [64] J. Goldenberg and S. Efroni, "Using cellular automata modeling of the emergence of

innovations," Technological Forecasting and Social Change, vol. 68, pp. 293-308, 2001. [65] H. Rahmandad and J. Sterman, "Heterogeneity and Network Structure in the Dynamics of

Diffusion: Comparing Agent-Based and Differential Equation Models," MANAGEMENT SCIENCE, vol. 54, pp. 998-1014, 2008.

[66] N. I. Shaikh, et al., "Title," unpublished|. [67] J. Goldenberg, et al., "The chilling effects of network externalities: Perspectives and conclusions,"

International Journal of Research in Marketing, vol. 27, pp. 22-24, 2010. [68] F. Sultan, et al., "A Meta-Analysis of Applications of Diffusion Models," in Journal of Marketing

Research, ed, 1990, pp. 70-77. [69] F. M. Bass, et al., "Why the Bass Model Fits Without Decision Variables," Marketing Science, vol.

13, pp. 203-223, 1994. [70] I. R. Bellón and I. C. Roche, "El Proceso de Difusión de Nuevos Productos: Aplicación al

Microondas Y Compact Disc En España," in Estudios sobre consumo, ed, 2000. [71] V. Weissmann, "Difusión de nuevas tecnologías y estimación de nuevos productos: un análisis

comparativo entre Argentina y EE.UU.," in Palermo Business Review, ed, 2008. [72] R. Guseo and M. Guidolin, "Modelling a dynamic market potential: A class of automata networks

for diffusion of innovations," Technological Forecasting & Social Change, vol. 76, pp. 806-820, 2009.

[73] P. N. Golder and G. J. Tellis, "Will It Ever Fly? Modeling the Takeoff of Really New Consumer Durables," Marketing Science, vol. 16, No 3, pp. 256-270, 1997.

http://ccl.northwestern.edu/netlogo/

http://www.anylogic.com/



[74] B. L. Lim, et al., "The Late Take-Off Phenomenon in the Diffusion of Telecommunication Services: Network Effect and the Critical Mass," in Information Economics and Policy vol. 15, ed, 2003, pp. 537-557.

[75] P. N. Golder and G. J. Tellis, "Going, Going, Gone: Cascades, Diffusion, and Turning Points of the Product Life Cycle," in Marketing Science vol. 23, ed, 2004, pp. 207-218.

[76] V. Mahajan and E. Muller, "Innovation Diffusion and New Product Growth Models in Marketing," in Journal of Marketing, ed, 1979, pp. 55-68.

[77] Z. Xu and D. Z. Sui, "Effect of Small-World Networks on Epidemic Propagation and Intervention," in Geographical Analysis, ed, 2009, pp. 263-282.

[78] D. Schmittlein and V. Mahajan, "Maximum Likelihood Estimation for an Innovation Diffusion Model of New Product Acceptance," in Marketing Science, ed, 1982, pp. 57-58.

[79] V. Srinivasan and C. Mason, "Technical Note - Nonlinear Least Squares Estimation of New Product Diffusion Models," in Marketing Science vol. 5, ed, 1986, pp. 169-178.

[80] R. Venkatesan, et al., "Evolutionary Estimation of Macro-Level Diffusion Models Using Genetic Algorithms," in Marketing Science vol. 23, ed, 2004, pp. 451-464.

[81] S. Wolfram. Mathematica. Available: http://www.wolfram.com/mathematica/ [82] F. M. Bass, "Comments on 'A New Product Growth for Model Consumer Durables'," in

Management Science vol. 50, ed, 2004, pp. 1833-1840. [83] R. Axtell, et al., "Aligning Simulation Models: A Case Study and Results," Computational and

Mathematical Organization Theory, pp. 123-141, 1996. [84] G. E. Fruchter and C. Van den Bulte, "Why the Generalized Bass Model leads to odd optimal

advertising policies," International Journal of Research in Marketing, vol. 28, pp. 218-230, 2011.

http://www.wolfram.com/mathematica/


Tesista: Santiago L. Rovere | Director: Dr. Carlos E. Laciana A-1

Apéndice I

k Pr p q R² Takeoff

8 0,6 COMPACTA 0 125 0,00729 0,31879 0,99982 7,54911

8 0,6 COMPACTA 0 200 0,01001 0,36610 0,99985 6,06808

8 0,6 COMPACTA 0 250 0,01347 0,33682 0,99990 5,43008

8 0,6 COMPACTA 0 500 0,02227 0,33854 0,99994 3,89274

8 0,6 COMPACTA 0 1000 0,03252 0,33144 0,99996 2,75989

8 0,6 COMPACTA 0,0025 125 0,00477 0,38789 0,99991 7,84932

8 0,6 COMPACTA 0,0025 200 0,00797 0,41029 0,99984 6,27339

8 0,6 COMPACTA 0,0025 250 0,01094 0,39261 0,99994 5,60780

8 0,6 COMPACTA 0,0025 500 0,02246 0,35300 0,99996 3,82901

8 0,6 COMPACTA 0,0025 1000 0,02925 0,37359 0,99989 3,05402

8 0,6 COMPACTA 0,005 125 0,00408 0,40906 0,99994 7,96789

8 0,6 COMPACTA 0,005 200 0,00728 0,44333 0,99992 6,19811

8 0,6 COMPACTA 0,005 250 0,00919 0,45117 0,99988 5,59752

8 0,6 COMPACTA 0,005 500 0,02054 0,38881 0,99997 3,96631

8 0,6 COMPACTA 0,005 1000 0,02728 0,40588 0,99994 3,19299

8 0,6 COMPACTA 0,01 125 0,00269 0,49030 0,99988 7,88568

8 0,6 COMPACTA 0,01 200 0,00535 0,49364 0,99988 6,42695

8 0,6 COMPACTA 0,01 250 0,00655 0,51365 0,99988 5,85294

8 0,6 COMPACTA 0,01 500 0,01637 0,47682 0,99988 4,16628

8 0,6 COMPACTA 0,01 1000 0,02348 0,46408 0,99981 3,41896

8 0,6 COMPACTA 0,02 125 0,00181 0,56405 0,99959 7,82194

8 0,6 COMPACTA 0,02 200 0,00369 0,59452 0,99963 6,29264

8 0,6 COMPACTA 0,02 250 0,00526 0,58641 0,99973 5,74131

8 0,6 COMPACTA 0,02 500 0,01061 0,60259 0,99978 4,43960

8 0,6 COMPACTA 0,02 1000 0,01822 0,56063 0,99962 3,64420

8 0,6 COMPACTA 0,04 125 0,00079 0,72232 0,99863 7,61010

8 0,6 COMPACTA 0,04 200 0,00215 0,71027 0,99903 6,29017

8 0,6 COMPACTA 0,04 250 0,00321 0,72987 0,99915 5,60439

8 0,6 COMPACTA 0,04 500 0,00812 0,69597 0,99916 4,45121

8 0,6 COMPACTA 0,04 1000 0,01331 0,70298 0,99869 3,69917

8 0,6 INTERMEDIA 0 125 0,00476 0,37927 0,99992 7,97021

8 0,6 INTERMEDIA 0 200 0,01051 0,34645 0,99983 6,10212

8 0,6 INTERMEDIA 0 250 0,01499 0,32972 0,99973 5,14692

8 0,6 INTERMEDIA 0 500 0,02397 0,35126 0,99992 3,64561

8 0,6 INTERMEDIA 0 1000 0,03250 0,33137 0,99996 2,76239

8 0,6 INTERMEDIA 0,0025 125 0,00461 0,39912 0,99993 7,78971



8 0,6 INTERMEDIA 0,0025 200 0,00819 0,41843 0,99992 6,13230

8 0,6 INTERMEDIA 0,0025 250 0,01235 0,39648 0,99988 5,26440

8 0,6 INTERMEDIA 0,0025 500 0,02137 0,36783 0,99994 3,92762

8 0,6 INTERMEDIA 0,0025 1000 0,02934 0,37187 0,99990 3,04723

8 0,6 INTERMEDIA 0,005 125 0,00321 0,45094 0,99983 7,99027

8 0,6 INTERMEDIA 0,005 200 0,00784 0,43198 0,99989 6,12053

8 0,6 INTERMEDIA 0,005 250 0,00996 0,43335 0,99994 5,54026

8 0,6 INTERMEDIA 0,005 500 0,01869 0,44269 0,99992 4,00494

8 0,6 INTERMEDIA 0,005 1000 0,02728 0,40550 0,99993 3,19332

8 0,6 INTERMEDIA 0,01 125 0,00228 0,51189 0,99982 7,96732

8 0,6 INTERMEDIA 0,01 200 0,00628 0,48921 0,99983 6,13215

8 0,6 INTERMEDIA 0,01 250 0,00825 0,49684 0,99990 5,50586

8 0,6 INTERMEDIA 0,01 500 0,01450 0,48277 0,99980 4,40028

8 0,6 INTERMEDIA 0,01 1000 0,02346 0,46538 0,99982 3,41721

8 0,6 INTERMEDIA 0,02 125 0,00186 0,55972 0,99964 7,81342

8 0,6 INTERMEDIA 0,02 200 0,00369 0,59583 0,99967 6,28271

8 0,6 INTERMEDIA 0,02 250 0,00563 0,58583 0,99961 5,62768

8 0,6 INTERMEDIA 0,02 500 0,01188 0,56663 0,99965 4,40352

8 0,6 INTERMEDIA 0,02 1000 0,01824 0,56350 0,99962 3,63359

8 0,6 INTERMEDIA 0,04 125 0,00085 0,68882 0,99884 7,79457

8 0,6 INTERMEDIA 0,04 200 0,00206 0,72069 0,99888 6,28540

8 0,6 INTERMEDIA 0,04 250 0,00303 0,72202 0,99884 5,73107

8 0,6 INTERMEDIA 0,04 500 0,00729 0,72383 0,99884 4,48793

8 0,6 INTERMEDIA 0,04 1000 0,01340 0,70194 0,99865 3,69335

8 0,6 UNIFORME 0 125 0,00543 0,34668 0,99992 8,06445

8 0,6 UNIFORME 0 200 0,01094 0,35358 0,99977 5,92279

8 0,6 UNIFORME 0 250 0,01462 0,34442 0,99985 5,13175

8 0,6 UNIFORME 0 500 0,02390 0,35133 0,99992 3,65390

8 0,6 UNIFORME 0 1000 0,03269 0,33097 0,99996 2,74406

8 0,6 UNIFORME 0,0025 125 0,00520 0,38221 0,99988 7,69367

8 0,6 UNIFORME 0,0025 200 0,00858 0,40066 0,99993 6,17319

8 0,6 UNIFORME 0,0025 250 0,00989 0,41103 0,99990 5,72532

8 0,6 UNIFORME 0,0025 500 0,02194 0,35179 0,99995 3,90053

8 0,6 UNIFORME 0,0025 1000 0,02921 0,37356 0,99990 3,05792

8 0,6 UNIFORME 0,005 125 0,00382 0,42874 0,99992 7,86953

8 0,6 UNIFORME 0,005 200 0,00670 0,45242 0,99988 6,30727

8 0,6 UNIFORME 0,005 250 0,00867 0,46904 0,99994 5,59805

8 0,6 UNIFORME 0,005 500 0,01725 0,42430 0,99991 4,27110

8 0,6 UNIFORME 0,005 1000 0,02718 0,40705 0,99993 3,20007

8 0,6 UNIFORME 0,01 125 0,00288 0,47347 0,99988 7,94940

8 0,6 UNIFORME 0,01 200 0,00514 0,50821 0,99973 6,38258



8 0,6 UNIFORME 0,01 250 0,00833 0,47320 0,99988 5,65446

8 0,6 UNIFORME 0,01 500 0,01560 0,46790 0,99986 4,30962

8 0,6 UNIFORME 0,01 1000 0,02349 0,46531 0,99981 3,41499

8 0,6 UNIFORME 0,02 125 0,00148 0,58839 0,99958 7,91325

8 0,6 UNIFORME 0,02 200 0,00381 0,59108 0,99969 6,26770

8 0,6 UNIFORME 0,02 250 0,00555 0,59061 0,99980 5,62014

8 0,6 UNIFORME 0,02 500 0,01158 0,57305 0,99962 4,42151

8 0,6 UNIFORME 0,02 1000 0,01807 0,56439 0,99961 3,64703

8 0,6 UNIFORME 0,04 125 0,00084 0,71243 0,99872 7,61244

8 0,6 UNIFORME 0,04 200 0,00210 0,71378 0,99905 6,30229

8 0,6 UNIFORME 0,04 250 0,00295 0,72106 0,99885 5,77805

8 0,6 UNIFORME 0,04 500 0,00769 0,71020 0,99911 4,46985

8 0,6 UNIFORME 0,04 1000 0,01332 0,70463 0,99872 3,69304

8 0,8 COMPACTA 0 125 0,03204 0,62940 0,99987 2,51089

8 0,8 COMPACTA 0 200 0,03738 0,79680 0,99989 2,08890

8 0,8 COMPACTA 0 250 0,05076 0,75653 0,99984 1,71524

8 0,8 COMPACTA 0 500 0,08711 0,84702 0,99994 1,02512

8 0,8 COMPACTA 0 1000 0,15112 0,75078 0,99999 0,31719

8 0,8 COMPACTA 0,0025 125 0,01856 0,88086 0,99985 2,82736

8 0,8 COMPACTA 0,0025 200 0,02789 0,96662 0,99996 2,24079

8 0,8 COMPACTA 0,0025 250 0,03507 0,98717 0,99997 1,97653

8 0,8 COMPACTA 0,0025 500 0,07293 0,98653 0,99992 1,21551

8 0,8 COMPACTA 0,0025 1000 0,13336 0,89230 0,99987 0,56922

8 0,8 COMPACTA 0,005 125 0,01630 1,00000 0,99974 2,75453

8 0,8 COMPACTA 0,005 200 0,02930 1,00000 0,99948 2,15023

8 0,8 COMPACTA 0,005 250 0,03832 1,00000 0,99955 1,87296

8 0,8 COMPACTA 0,005 500 0,07821 0,99999 0,99964 1,14206

8 0,8 COMPACTA 0,005 1000 0,12342 1,00000 0,99983 0,69007

8 0,8 COMPACTA 0,01 125 0,02074 1,00000 0,99808 2,50684

8 0,8 COMPACTA 0,01 200 0,03309 1,00000 0,99836 2,02456

8 0,8 COMPACTA 0,01 250 0,04391 1,00000 0,99793 1,73259

8 0,8 COMPACTA 0,01 500 0,08665 1,00000 0,99819 1,03890

8 0,8 COMPACTA 0,01 1000 0,13461 0,99999 0,99916 0,60676

8 0,8 COMPACTA 0,02 125 0,02784 1,00000 0,99427 2,20283

8 0,8 COMPACTA 0,02 200 0,04378 1,00000 0,99298 1,73554

8 0,8 COMPACTA 0,02 250 0,05399 1,00000 0,99365 1,51989

8 0,8 COMPACTA 0,02 500 0,09772 1,00000 0,99485 0,91891

8 0,8 COMPACTA 0,02 1000 0,15049 0,99998 0,99744 0,50144

8 0,8 COMPACTA 0,04 125 0,03784 1,00000 0,98644 1,88601

8 0,8 COMPACTA 0,04 200 0,05541 1,00000 0,98378 1,49332

8 0,8 COMPACTA 0,04 250 0,06593 1,00000 0,98551 1,31542



8 0,8 COMPACTA 0,04 500 0,11429 1,00000 0,99084 0,76470

8 0,8 COMPACTA 0,04 1000 0,17419 1,00000 0,99215 0,36677

8 0,8 INTERMEDIA 0 125 0,03204 0,62940 0,99987 2,51089

8 0,8 INTERMEDIA 0 200 0,03738 0,79680 0,99989 2,08890

8 0,8 INTERMEDIA 0 250 0,05076 0,75653 0,99984 1,71524

8 0,8 INTERMEDIA 0 500 0,08711 0,84702 0,99994 1,02512

8 0,8 INTERMEDIA 0 1000 0,15112 0,75078 0,99999 0,31719

8 0,8 INTERMEDIA 0,0025 125 0,01854 0,90023 0,99991 2,79279

8 0,8 INTERMEDIA 0,0025 200 0,02687 0,98652 0,99995 2,25583

8 0,8 INTERMEDIA 0,0025 250 0,03559 0,97126 0,99994 1,97602

8 0,8 INTERMEDIA 0,0025 500 0,07293 0,98652 0,99992 1,21553

8 0,8 INTERMEDIA 0,0025 1000 0,13336 0,89249 0,99987 0,56928

8 0,8 INTERMEDIA 0,005 125 0,01571 1,00000 0,99978 2,79249

8 0,8 INTERMEDIA 0,005 200 0,02995 1,00000 0,99963 2,12753

8 0,8 INTERMEDIA 0,005 250 0,03810 1,00000 0,99951 1,87899

8 0,8 INTERMEDIA 0,005 500 0,07781 0,99999 0,99976 1,14720

8 0,8 INTERMEDIA 0,005 1000 0,12333 1,00000 0,99982 0,69075

8 0,8 INTERMEDIA 0,01 125 0,02066 1,00000 0,99801 2,51067

8 0,8 INTERMEDIA 0,01 200 0,03426 1,00000 0,99768 1,98854

8 0,8 INTERMEDIA 0,01 250 0,04319 1,00000 0,99801 1,74967

8 0,8 INTERMEDIA 0,01 500 0,08607 1,00000 0,99823 1,04565

8 0,8 INTERMEDIA 0,01 1000 0,13467 0,99999 0,99915 0,60629

8 0,8 INTERMEDIA 0,02 125 0,02824 1,00000 0,99395 2,18812

8 0,8 INTERMEDIA 0,02 200 0,04425 1,00000 0,99480 1,72468

8 0,8 INTERMEDIA 0,02 250 0,05408 1,00000 0,99356 1,51821

8 0,8 INTERMEDIA 0,02 500 0,09780 1,00000 0,99480 0,91805

8 0,8 INTERMEDIA 0,02 1000 0,15022 0,99999 0,99749 0,50311

8 0,8 INTERMEDIA 0,04 125 0,03861 1,00000 0,98646 1,86525

8 0,8 INTERMEDIA 0,04 200 0,05562 1,00000 0,98372 1,48943

8 0,8 INTERMEDIA 0,04 250 0,06505 1,00000 0,98545 1,32923

8 0,8 INTERMEDIA 0,04 500 0,11498 1,00000 0,98604 0,75877

8 0,8 INTERMEDIA 0,04 1000 0,17381 1,00000 0,99220 0,36872

8 0,8 UNIFORME 0 125 0,03204 0,62940 0,99987 2,51089

8 0,8 UNIFORME 0 200 0,03738 0,79680 0,99989 2,08890

8 0,8 UNIFORME 0 250 0,05076 0,75653 0,99984 1,71524

8 0,8 UNIFORME 0 500 0,08711 0,84702 0,99994 1,02512

8 0,8 UNIFORME 0 1000 0,15112 0,75078 0,99999 0,31719

8 0,8 UNIFORME 0,0025 125 0,01853 0,88225 0,99987 2,82680

8 0,8 UNIFORME 0,0025 200 0,02734 0,98070 0,99996 2,24484

8 0,8 UNIFORME 0,0025 250 0,03450 0,99795 0,99996 1,98331

8 0,8 UNIFORME 0,0025 500 0,07289 0,98696 0,99992 1,21592



8 0,8 UNIFORME 0,0025 1000 0,13336 0,89226 0,99987 0,56915

8 0,8 UNIFORME 0,005 125 0,01571 1,00000 0,99971 2,79259

8 0,8 UNIFORME 0,005 200 0,02964 1,00000 0,99940 2,13844

8 0,8 UNIFORME 0,005 250 0,03834 1,00000 0,99953 1,87259

8 0,8 UNIFORME 0,005 500 0,07815 0,99999 0,99964 1,14285

8 0,8 UNIFORME 0,005 1000 0,12332 1,00000 0,99983 0,69082

8 0,8 UNIFORME 0,01 125 0,02077 1,00000 0,99800 2,50522

8 0,8 UNIFORME 0,01 200 0,03331 1,00000 0,99829 2,01786

8 0,8 UNIFORME 0,01 250 0,04396 1,00000 0,99783 1,73148

8 0,8 UNIFORME 0,01 500 0,08665 1,00000 0,99821 1,03889

8 0,8 UNIFORME 0,01 1000 0,13458 0,99999 0,99916 0,60698

8 0,8 UNIFORME 0,02 125 0,02829 1,00000 0,99388 2,18647

8 0,8 UNIFORME 0,02 200 0,04406 1,00000 0,99315 1,72899

8 0,8 UNIFORME 0,02 250 0,05430 1,00000 0,99356 1,51407

8 0,8 UNIFORME 0,02 500 0,09768 1,00000 0,99476 0,91926

8 0,8 UNIFORME 0,02 1000 0,15050 0,99998 0,99746 0,50135

8 0,8 UNIFORME 0,04 125 0,03857 1,00000 0,98017 1,86646

8 0,8 UNIFORME 0,04 200 0,05534 1,00000 0,98852 1,49458

8 0,8 UNIFORME 0,04 250 0,06551 1,00000 0,98521 1,32206

8 0,8 UNIFORME 0,04 500 0,11552 1,00000 0,98584 0,75421

8 0,8 UNIFORME 0,04 1000 0,17379 1,00000 0,99219 0,36887

4 0,6 COMPACTA 0 125 0,02044 0,53819 0,99989 3,49756

4 0,6 COMPACTA 0 200 0,02796 0,59976 0,99993 2,78614

4 0,6 COMPACTA 0 250 0,03636 0,58476 0,99983 2,35169

4 0,6 COMPACTA 0 500 0,06493 0,55653 0,99996 1,33778

4 0,6 COMPACTA 0 1000 0,09235 0,55339 0,99999 0,73328

4 0,6 COMPACTA 0,0025 125 0,01747 0,59144 0,99999 3,62167

4 0,6 COMPACTA 0,0025 200 0,02441 0,65888 0,99998 2,89597

4 0,6 COMPACTA 0,0025 250 0,03092 0,65416 0,99997 2,53273

4 0,6 COMPACTA 0,0025 500 0,05482 0,66986 0,99997 1,63677

4 0,6 COMPACTA 0,0025 1000 0,08489 0,61500 0,99996 0,94780

4 0,6 COMPACTA 0,005 125 0,01437 0,65567 0,99993 3,73619

4 0,6 COMPACTA 0,005 200 0,02247 0,69114 0,99999 2,95587

4 0,6 COMPACTA 0,005 250 0,02821 0,69880 0,99998 2,60366

4 0,6 COMPACTA 0,005 500 0,05277 0,68972 0,99996 1,68800

4 0,6 COMPACTA 0,005 1000 0,08084 0,65036 0,99993 1,05043

4 0,6 COMPACTA 0,01 125 0,01234 0,71794 0,99980 3,76138

4 0,6 COMPACTA 0,01 200 0,01891 0,76750 0,99992 3,03494

4 0,6 COMPACTA 0,01 250 0,02342 0,77199 0,99991 2,73847

4 0,6 COMPACTA 0,01 500 0,04719 0,75486 0,99991 1,81473

4 0,6 COMPACTA 0,01 1000 0,07415 0,71135 0,99986 1,20184



4 0,6 COMPACTA 0,02 125 0,00861 0,85656 0,99957 3,79510

4 0,6 COMPACTA 0,02 200 0,01423 0,89535 0,99977 3,10566

4 0,6 COMPACTA 0,02 250 0,01855 0,89954 0,99983 2,79301

4 0,6 COMPACTA 0,02 500 0,03901 0,87476 0,99976 1,96239

4 0,6 COMPACTA 0,02 1000 0,06433 0,81875 0,99957 1,38919

4 0,6 COMPACTA 0,04 125 0,00634 0,99636 0,99928 3,72953

4 0,6 COMPACTA 0,04 200 0,01202 1,00000 0,99947 3,06778

4 0,6 COMPACTA 0,04 250 0,01581 1,00000 0,99944 2,78579

4 0,6 COMPACTA 0,04 500 0,03158 0,99583 0,99960 2,07714

4 0,6 COMPACTA 0,04 1000 0,05282 0,96517 0,99953 1,56047

4 0,6 INTERMEDIA 0 125 0,02044 0,53819 0,99989 3,49756

4 0,6 INTERMEDIA 0 200 0,02796 0,59976 0,99993 2,78614

4 0,6 INTERMEDIA 0 250 0,03636 0,58476 0,99983 2,35169

4 0,6 INTERMEDIA 0 500 0,06493 0,55653 0,99996 1,33778

4 0,6 INTERMEDIA 0 1000 0,09235 0,55339 0,99999 0,73328

4 0,6 INTERMEDIA 0,0025 125 0,01555 0,62542 0,99998 3,70878

4 0,6 INTERMEDIA 0,0025 200 0,02409 0,65891 0,99998 2,91629

4 0,6 INTERMEDIA 0,0025 250 0,03128 0,65312 0,99996 2,51583

4 0,6 INTERMEDIA 0,0025 500 0,05496 0,67289 0,99997 1,63230

4 0,6 INTERMEDIA 0,0025 1000 0,08500 0,61296 0,99995 0,94380

4 0,6 INTERMEDIA 0,005 125 0,01354 0,67611 0,99991 3,76078

4 0,6 INTERMEDIA 0,005 200 0,02360 0,67544 0,99998 2,91448

4 0,6 INTERMEDIA 0,005 250 0,02765 0,70813 0,99997 2,61777

4 0,6 INTERMEDIA 0,005 500 0,05206 0,69293 0,99994 1,70682

4 0,6 INTERMEDIA 0,005 1000 0,08183 0,64034 0,99995 1,02529

4 0,6 INTERMEDIA 0,01 125 0,01189 0,73105 0,99978 3,77172

4 0,6 INTERMEDIA 0,01 200 0,01804 0,78833 0,99990 3,05135

4 0,6 INTERMEDIA 0,01 250 0,02466 0,74970 0,99991 2,70869

4 0,6 INTERMEDIA 0,01 500 0,04703 0,75709 0,99990 1,81776

4 0,6 INTERMEDIA 0,01 1000 0,07332 0,71805 0,99986 1,21904

4 0,6 INTERMEDIA 0,02 125 0,00886 0,85415 0,99958 3,76791

4 0,6 INTERMEDIA 0,02 200 0,01439 0,88914 0,99973 3,10663

4 0,6 INTERMEDIA 0,02 250 0,01844 0,90629 0,99977 2,78784

4 0,6 INTERMEDIA 0,02 500 0,03980 0,86015 0,99976 1,95145

4 0,6 INTERMEDIA 0,02 1000 0,06425 0,81725 0,99955 1,39102

4 0,6 INTERMEDIA 0,04 125 0,00644 0,99679 0,99933 3,71327

4 0,6 INTERMEDIA 0,04 200 0,01205 1,00000 0,99948 3,06479

4 0,6 INTERMEDIA 0,04 250 0,01590 1,00000 0,99952 2,78054

4 0,6 INTERMEDIA 0,04 500 0,03194 0,99998 0,99959 2,06114

4 0,6 INTERMEDIA 0,04 1000 0,05164 0,97894 0,99950 1,57700

4 0,6 UNIFORME 0 125 0,02044 0,53819 0,99989 3,49756



4 0,6 UNIFORME 0 200 0,02796 0,59976 0,99993 2,78614

4 0,6 UNIFORME 0 250 0,03636 0,58476 0,99983 2,35169

4 0,6 UNIFORME 0 500 0,06493 0,55653 0,99996 1,33778

4 0,6 UNIFORME 0 1000 0,09235 0,55339 0,99999 0,73328

4 0,6 UNIFORME 0,0025 125 0,01609 0,61164 0,99999 3,69777

4 0,6 UNIFORME 0,0025 200 0,02380 0,67644 0,99998 2,89909

4 0,6 UNIFORME 0,0025 250 0,03052 0,66450 0,99997 2,53747

4 0,6 UNIFORME 0,0025 500 0,05532 0,66860 0,99996 1,62329

4 0,6 UNIFORME 0,0025 1000 0,08490 0,61135 0,99995 0,94391

4 0,6 UNIFORME 0,005 125 0,01388 0,66791 0,99992 3,75057

4 0,6 UNIFORME 0,005 200 0,02273 0,68859 0,99998 2,94403

4 0,6 UNIFORME 0,005 250 0,03003 0,66447 0,99997 2,56254

4 0,6 UNIFORME 0,005 500 0,05370 0,68171 0,99997 1,66480

4 0,6 UNIFORME 0,005 1000 0,08144 0,64358 0,99994 1,03476

4 0,6 UNIFORME 0,01 125 0,01148 0,74839 0,99984 3,76378

4 0,6 UNIFORME 0,01 200 0,01882 0,77243 0,99993 3,03038

4 0,6 UNIFORME 0,01 250 0,02317 0,77843 0,99991 2,74144

4 0,6 UNIFORME 0,01 500 0,04668 0,75968 0,99992 1,82635

4 0,6 UNIFORME 0,01 1000 0,07310 0,72250 0,99985 1,22408

4 0,6 UNIFORME 0,02 125 0,00921 0,84070 0,99966 3,76159

4 0,6 UNIFORME 0,02 200 0,01401 0,90644 0,99978 3,09942

4 0,6 UNIFORME 0,02 250 0,01863 0,90087 0,99981 2,78595

4 0,6 UNIFORME 0,02 500 0,03985 0,86078 0,99979 1,94936

4 0,6 UNIFORME 0,02 1000 0,06479 0,81342 0,99967 1,38141

4 0,6 UNIFORME 0,04 125 0,00622 0,99778 0,99947 3,74586

4 0,6 UNIFORME 0,04 200 0,01181 1,00000 0,99950 3,08564

4 0,6 UNIFORME 0,04 250 0,01587 1,00000 0,99947 2,78228

4 0,6 UNIFORME 0,04 500 0,03174 0,99028 0,99959 2,07772

4 0,6 UNIFORME 0,04 1000 0,05227 0,97041 0,99950 1,56868

4 0,8 COMPACTA 0 125 0,02044 0,53819 0,99989 3,49756

4 0,8 COMPACTA 0 200 0,02796 0,59976 0,99993 2,78614

4 0,8 COMPACTA 0 250 0,03636 0,58476 0,99983 2,35169

4 0,8 COMPACTA 0 500 0,06493 0,55653 0,99996 1,33778

4 0,8 COMPACTA 0 1000 0,09235 0,55339 0,99999 0,73328

4 0,8 COMPACTA 0,0025 125 0,01679 0,61299 0,99999 3,62111

4 0,8 COMPACTA 0,0025 200 0,02323 0,69346 0,99998 2,90144

4 0,8 COMPACTA 0,0025 250 0,02953 0,68513 0,99998 2,55677

4 0,8 COMPACTA 0,0025 500 0,05690 0,65047 0,99995 1,58242

4 0,8 COMPACTA 0,0025 1000 0,08417 0,63069 0,99995 0,97509

4 0,8 COMPACTA 0,005 125 0,01378 0,68126 0,99996 3,71713

4 0,8 COMPACTA 0,005 200 0,02059 0,73984 0,99997 2,97812



4 0,8 COMPACTA 0,005 250 0,02692 0,72957 0,99998 2,62077

4 0,8 COMPACTA 0,005 500 0,05275 0,69544 0,99995 1,68689

4 0,8 COMPACTA 0,005 1000 0,08056 0,66738 0,99993 1,06610

4 0,8 COMPACTA 0,01 125 0,01096 0,78796 0,99984 3,70333

4 0,8 COMPACTA 0,01 200 0,01697 0,83546 0,99986 3,02643

4 0,8 COMPACTA 0,01 250 0,02312 0,81870 0,99995 2,67288

4 0,8 COMPACTA 0,01 500 0,04624 0,79189 0,99990 1,81789

4 0,8 COMPACTA 0,01 1000 0,07229 0,76196 0,99982 1,24445

4 0,8 COMPACTA 0,02 125 0,00830 0,92659 0,99968 3,63563

4 0,8 COMPACTA 0,02 200 0,01349 0,96971 0,99976 3,00825

4 0,8 COMPACTA 0,02 250 0,01773 0,96534 0,99977 2,72663

4 0,8 COMPACTA 0,02 500 0,03775 0,94468 0,99976 1,93700

4 0,8 COMPACTA 0,02 1000 0,06378 0,88790 0,99959 1,38323

4 0,8 COMPACTA 0,04 125 0,00925 1,00000 0,99889 3,33561

4 0,8 COMPACTA 0,04 200 0,01667 1,00000 0,99884 2,73181

4 0,8 COMPACTA 0,04 250 0,02140 1,00000 0,99915 2,47457

4 0,8 COMPACTA 0,04 500 0,04117 1,00000 0,99917 1,79905

4 0,8 COMPACTA 0,04 1000 0,06310 1,00000 0,99937 1,36027

4 0,8 INTERMEDIA 0 125 0,02044 0,53819 0,99989 3,49756

4 0,8 INTERMEDIA 0 200 0,02796 0,59976 0,99993 2,78614

4 0,8 INTERMEDIA 0 250 0,03636 0,58476 0,99983 2,35169

4 0,8 INTERMEDIA 0 500 0,06493 0,55653 0,99996 1,33778

4 0,8 INTERMEDIA 0 1000 0,09235 0,55339 0,99999 0,73328

4 0,8 INTERMEDIA 0,0025 125 0,01679 0,61299 0,99999 3,62111

4 0,8 INTERMEDIA 0,0025 200 0,02323 0,69346 0,99998 2,90144

4 0,8 INTERMEDIA 0,0025 250 0,02953 0,68513 0,99998 2,55677

4 0,8 INTERMEDIA 0,0025 500 0,05690 0,65047 0,99995 1,58242

4 0,8 INTERMEDIA 0,0025 1000 0,08417 0,63069 0,99995 0,97509

4 0,8 INTERMEDIA 0,005 125 0,01378 0,68126 0,99996 3,71713

4 0,8 INTERMEDIA 0,005 200 0,02059 0,73984 0,99997 2,97812

4 0,8 INTERMEDIA 0,005 250 0,02692 0,72957 0,99998 2,62077

4 0,8 INTERMEDIA 0,005 500 0,05275 0,69544 0,99995 1,68689

4 0,8 INTERMEDIA 0,005 1000 0,08056 0,66738 0,99993 1,06610

4 0,8 INTERMEDIA 0,01 125 0,01096 0,78796 0,99984 3,70333

4 0,8 INTERMEDIA 0,01 200 0,01697 0,83546 0,99986 3,02643

4 0,8 INTERMEDIA 0,01 250 0,02312 0,81870 0,99995 2,67288

4 0,8 INTERMEDIA 0,01 500 0,04624 0,79189 0,99990 1,81789

4 0,8 INTERMEDIA 0,01 1000 0,07229 0,76196 0,99982 1,24445

4 0,8 INTERMEDIA 0,02 125 0,00830 0,92659 0,99968 3,63563

4 0,8 INTERMEDIA 0,02 200 0,01349 0,96971 0,99976 3,00825

4 0,8 INTERMEDIA 0,02 250 0,01773 0,96534 0,99977 2,72663



4 0,8 INTERMEDIA 0,02 500 0,03775 0,94468 0,99976 1,93700

4 0,8 INTERMEDIA 0,02 1000 0,06378 0,88790 0,99959 1,38323

4 0,8 INTERMEDIA 0,04 125 0,00925 1,00000 0,99889 3,33561

4 0,8 INTERMEDIA 0,04 200 0,01667 1,00000 0,99884 2,73181

4 0,8 INTERMEDIA 0,04 250 0,02140 1,00000 0,99915 2,47457

4 0,8 INTERMEDIA 0,04 500 0,04117 1,00000 0,99917 1,79905

4 0,8 INTERMEDIA 0,04 1000 0,06310 1,00000 0,99937 1,36027

4 0,8 UNIFORME 0 125 0,02044 0,53819 0,99989 3,49756

4 0,8 UNIFORME 0 200 0,02796 0,59976 0,99993 2,78614

4 0,8 UNIFORME 0 250 0,03636 0,58476 0,99983 2,35169

4 0,8 UNIFORME 0 500 0,06493 0,55653 0,99996 1,33778

4 0,8 UNIFORME 0 1000 0,09235 0,55339 0,99999 0,73328

4 0,8 UNIFORME 0,0025 125 0,01679 0,61299 0,99999 3,62111

4 0,8 UNIFORME 0,0025 200 0,02323 0,69346 0,99998 2,90144

4 0,8 UNIFORME 0,0025 250 0,02953 0,68513 0,99998 2,55677

4 0,8 UNIFORME 0,0025 500 0,05690 0,65047 0,99995 1,58242

4 0,8 UNIFORME 0,0025 1000 0,08417 0,63069 0,99995 0,97509

4 0,8 UNIFORME 0,005 125 0,01378 0,68126 0,99996 3,71713

4 0,8 UNIFORME 0,005 200 0,02059 0,73984 0,99997 2,97812

4 0,8 UNIFORME 0,005 250 0,02692 0,72957 0,99998 2,62077

4 0,8 UNIFORME 0,005 500 0,05275 0,69544 0,99995 1,68689

4 0,8 UNIFORME 0,005 1000 0,08056 0,66738 0,99993 1,06610

4 0,8 UNIFORME 0,01 125 0,01096 0,78796 0,99984 3,70333

4 0,8 UNIFORME 0,01 200 0,01697 0,83546 0,99986 3,02643

4 0,8 UNIFORME 0,01 250 0,02312 0,81870 0,99995 2,67288

4 0,8 UNIFORME 0,01 500 0,04624 0,79189 0,99990 1,81789

4 0,8 UNIFORME 0,01 1000 0,07229 0,76196 0,99982 1,24445

4 0,8 UNIFORME 0,02 125 0,00830 0,92659 0,99968 3,63563

4 0,8 UNIFORME 0,02 200 0,01349 0,96971 0,99976 3,00825

4 0,8 UNIFORME 0,02 250 0,01773 0,96534 0,99977 2,72663

4 0,8 UNIFORME 0,02 500 0,03775 0,94468 0,99976 1,93700

4 0,8 UNIFORME 0,02 1000 0,06378 0,88790 0,99959 1,38323

4 0,8 UNIFORME 0,04 125 0,00925 1,00000 0,99889 3,33561

4 0,8 UNIFORME 0,04 200 0,01667 1,00000 0,99884 2,73181

4 0,8 UNIFORME 0,04 250 0,02140 1,00000 0,99915 2,47457

4 0,8 UNIFORME 0,04 500 0,04117 1,00000 0,99917 1,79905

4 0,8 UNIFORME 0,04 1000 0,06310 1,00000 0,99937 1,36027

Tabla 1: Tabla de valores de (p, q) correspondientes a los resultados calculados en la sección 5.4 [33]

Documents

Propuesta y análisis de un modelo de difusión de ...materias.fi.uba.ar/7500/Rovere.pdf(2) el rol de los canales de comunicación como transmisores de la innovación; (3) la forma