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8/19/2019 prueba1_1deoctubre2013
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Cálculo Infinitesimal. Grupos D107 y M107
Prueba 1 de evaluación continua - 1 de octubre de 2013
Apellidos y nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Número de matŕıcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La duracíon de la prueba es de 1 hora y 15 minutos.
Los teléfonos móviles deben estar apagados y guardados.
Los resultados que no estén justificados obtendrán muy poca o ninguna puntuación.
Pregunta 1. (2.5 puntos) Sea f (x) = 2cos2 x − x2, x ∈ [0, π]. Determinar los intervalos de convexidad,intervalos de concavidad y los puntos de inflexión.
Pregunta 2. (2.5 puntos) Un polinomio cúbico puede tener un máximo y un mı́nimo local o no tener ningunode los dos. Hallar las condiciones sobre los coeficientes a y b de
f (x) = 1
3 x3 +
1
2 ax2 + bx + c
que aseguren que f tiene un máximo y un mı́nimo local. Para a y b verificando dichas condiciones, determinarla abscisa del mı́nimo local y la abscisa del máximo local.
Pregunta 3. (1 punto) Calcular las siguientes integrales
x
3
x2 − 11 dx
x + 3√
1− x2 dx
Pregunta 4. (2 puntos)
1. Integración por partes: expresión y demostración.
2. Calcular
6x5
cos(x3
+ 1) dx
Pregunta 5. (2 puntos) Calcular
3x3 + x2 + x− 10
x2 + 2x + 3 dx.
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Cálculo Infinitesimal. Grupos D107 y M107
Prueba 1 de evaluación continua - 1 de octubre de 2013
Pregunta 1. (2.5 puntos) Sea f (x) = 2cos2 x − x2, x ∈ [0, π]. Determinar los intervalos de convexidad,intervalos de concavidad y los puntos de inflexión.
Solución: f tiene derivada de orden 1 y orden 2 en todo el intervalo. Para determinar los intervalos de concavidad
y convexidad aśı como los puntos de inflexión estudiamos el signo de la derivada de orden 2 en el intervalo.f (x) = −4sen x cos x− 2xf (x) = 4sen2 x− 4cos2 x− 2 = 4 sen2 x− 4(1− sen2 x)− 2 = 8sen2 x− 6 = 2(4sen2 x− 3)
4sen2 x− 3 > 0 → sen2 x > 34 → sen x < −
√ 3
2 o sen x >
√ 3
2 → x ∈ (π/3, 2π/3) (condición en [0, π])
4sen2 x− 3 < 0 → sen2 x < 34 → −
√ 3
2 0.
Al ser −a−
√ a2 − 4b
2 <
−a +√
a2 − 4b2
se tiene
f > 0 ↔ x ∈−∞, −a−
√ a2 − 4b
2
−a +√ a2 − 4b2
, +∞
(f es creciente)
f
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Pregunta 3. (1 punto) Calcular las siguientes integrales
x
3
x2 − 11 dx
x + 3√
1− x2 dx
Solución: Ambas integrales son inmediatas.
x
3
x2 − 11 dx =
x(x2 − 11)1/3 dx = 1
2
3
4(x2 − 11)4/3 + C = 3
83
(x2 − 11)4 + C
x + 3√
1− x2 dx =
x√ 1− x2 dx +
3√
1− x2 dx = −
1− x2 + 3arcsen x + C
Pregunta 4. (2 puntos)
1. Integración por partes: expresión y demostración.
2. Calcular
6x5 cos(x3 + 1) dx
Solución:
1. Teoŕıa desarrollada en clase.
2. Se aplica una integración por partes con:
f
(x) = 3x2
cos(x3
+ 1) f (x) = sen(x3
+ 1)g(x) = 2x3 g(x) = 6x2
6x5 cos(x3 + 1) dx =
2x3 3x2 cos(x3 + 1) dx =
= 2x3 sen(x3 + 1) −
6x2 sen(x3 + 1) dx
= 2x3 sen(x3 + 1) + 2 cos(x3 + 1) + C
Pregunta 5. (2 puntos) Calcular
3x3 + x2 + x− 10
x2 + 2x + 3 dx.
Solución: Realizando la división de polinomios y descomponiendo en sumandos se obtiene:
3x3 + x2 + x−
10
x2 + 2x + 3 = 3x− 5 + 2x + 5
x2 + 2x + 3
= 3x− 5 + 2x + 2x2 + 2x + 3
+ 3
2 + (x + 1)2
= 3x− 5 + 2x + 2x2 + 2x + 3
+ 3√
2
1√ 2
1 +
x + 1√
2
2Por tanto, la integral pedida queda
3x3 + x2 + x− 10
x2 + 2x + 3 dx =
3
2x2 − 5x + ln(x2 + 2x + 3) + 3√
2arc tg
x + 1√
2
+ C