PSU_MA_02

Curso: Matemática

ENSAYO PSU Nº 2

MATEMÁTICA

PSU MATEMÁTICA

INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS

1. Esta prueba consta de 70 preguntas. Usted dispone de 2 horas y 15 minutos para

responderla. 2. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el

desarrollo de los ejercicios. 3. Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala. 4. Antes de responder las preguntas N° 64 a la N° 70 de esta prueba, lea atentamente

las instrucciones que aparecen a continuación de la pregunta N° 63.

ESTAS INSTRUCCIONES LE FACILITARÁN SUS RESPUESTAS

SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

es menor que es congruente con es mayor que es semejante con es menor o igual a es perpendicular a es mayor o igual a es distinto de ángulo recto es paralelo a ángulo trazo AB logaritmo en base 10 pertenece a conjunto vacío valor absoluto de x función parte entera de x

≤

>

≥

< ≅

∼

⊥

≠

//

AB

log ∈

φ |x|

[x]

2

1.

11 +

11 +

22

=

A) 1

B) 13

C) 53

D) 56

E) 12

2. 0,9 + 1,9 =

A) 3 B) 4 C) 3,9

D) 4,9

E) 5,27 3. En una tienda de artículos electrónicos, el precio de un televisor es de $ 180.000 y el de

un reproductor de DVD es de $ 100.000. Al comprar los dos artículos, se ofrecen las siguientes ofertas:

1) 15% de descuento sobre el precio del televisor y se mantiene el precio del

reproductor. 2) 20% de descuento sobre el precio del reproductor y se mantiene el precio del

televisor. 3) 10% de descuento sobre el precio de cada uno de los dos productos.

Con respecto a estas tres ofertas, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) Con la alternativa (2) se paga menos que en la alternativa (1). II) Con la alternativa (1) se paga más que con la alternativa (3).

III) La alternativa 3 es la más barata.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III

3

4. (5-3 + 5-2) · 5-5 =

A) 52 + 53 B) 515 + 510 C) 6 · 5-8 D) 2 · 5 · 52 E) 3 · 52

5. Si a : b = 3 : 2 y a : c = 5 : 4, entonces a : b : c =

A) 15 : 10 : 12 B) 15 : 12 : 10 C) 10 : 12 : 15 D) 12 : 10 : 15 E) 12 : 15 : 10

6. Si n · p es un múltiplo de 5, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre

verdadera(s)?

I) Si p es primo y n es compuesto, entonces p = 5. II) Si n y p son primos, uno de ellos al menos debe ser 5.

III) Si n y p no son primos, entonces n · p no puede ser igual a 10.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III

7. Si n + 1 es un entero no negativo, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son siempre

verdaderas?

I) n + 2 es mayor que 1. II) n es menor que -1.

III) n + 1 ≠ 0.

A) Sólo I y II B) Sólo I y III C) Sólo II y III D) I, II, III E) Ninguna de ellas.

4

8. Si el antecesor del sucesor de t es cero, entonces (t + 1) · (t – 1) =

A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2

9. Dadas las variables a y b de modo que a · b = 5, entonces ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) verdadera(s)?

I) a y b son inversamente proporcionales. II) Si a = 5 , entonces b = 5 .

III) Si a < 0, entonces b < 0.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

10. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) El antecesor primo de un número primo es impar. II) Al sumar 2 números primos el resultado es un número primo.

III) El producto de 2 números primos es primo.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Ninguna de ellas.

11. El valor de m2 – m3 + 2mn, cuando m = -3 y n = 3, es

A) 18 B) 27 C) 36 D) -36 E) -18

5

12. Considerando todos los valores posibles para t y n que verifican tn = 16, con t y n enteros positivos, es falso que

A) t + n = 6 B) t – n = 15 C) nt = 16 D) t + n = 3 E) t · n = 8

13. Si a < b y b < c entonces, ⎜a – b⎥ + ⎜c – b⎥ =

A) a + c – 2b B) -a + c C) 2b D) c + a E) 2b – a – c

14. Si 5x + 3y4y

= 2, entonces es falso que

A) x + yy

= 2

B) x yy−

= 0

C) x yx + y− = -1

D) x + 2yy

= 3

E) 3x + yx 2y−

= -4

15. 2

2

3x + 11x 4

3x + 5x 2

−

− =

A) 73

B) 2

C) x + 4x 2−

D) x + 4x + 2

E) x 4x 2−−

6

16. Cierta compañía de telefonía móvil, ofrece a sus clientes un plan de 390 minutos, para efectuar todo tipo de llamadas por $ 19.500, y por sobre los 390 minutos se cobra cada minuto a $ 120, ambos valores sin IVA. El mes recién pasado, un cliente recibió la cuenta que fue de $ 27.489, incluido el IVA (19%). ¿Cuántos minutos extras al plan habló el cliente?

A) 20 B) 30 C) 300 D) 310 E) 320

17. Si a ⊗ b = (a + b)2 y a Δ b = a2 – b, entonces 5 Δ [2 ⊗ a] =

A) (7 + a)(3 – a) B) (7 + a)(3 + a) C) 25 + (2 – a) D) 25 – (2 – a) E) (7 + a)(a – 3)

18. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado cuyas diagonales miden 2 ?

A) 1 B) 2 C) 4 D) 2 2 E) 4 2

19. ¿Cómo se representa la expresión: “el quíntuplo de la raíz quinta de cinco veces un

número x es igual a cinco veces dicho número”?

A) 515x

5 = 5x

B) 55( 5x) = 5x

C) 515x

5 = 5 + x

D) 55 5x = 5x

E) 515 + x

5 = 5 + x

7

20. Si x ≥ 0, ¿cuál de las siguientes alternativas es siempre verdadera?

A) x > 0 B) x2 = -x2 C) x3 > x2 D) (x – 2)2 ≥ 0 E) (1 – x)2 ≤ (1 – x)3

21. La expresión 4x : 2x -1 es igual a

A) 2-1 B) 2x + 1 C) 21 – x D) 2x –1 E) 23x – 1

22. 3 2 2− =

A) 3 2 2− B) 1 – 2 C) 2 – 1 D) 2 – 3 2 E) 2 2 – 3

23. Si n es número impar, ¿cuál de las siguientes alternativas es equivalente a la expresión:

“el sucesor de dos elevado a n, dividido por el antecesor de cuatro elevado a n”?

A) 21 – n

B) n

1

2 1−

C) n 1

n + 1

2

3

−

D) n + 1

n 1

2

4 −

E) n 1

1

2 −

8

24. Si 7825 = 16,7185 , entonces

3825 =

A) 3,3437 B) 0,33437 C) 16,7185 D) 1,67185 E) No se puede calcular.

25. El sistema 2x 1 > 02 x > 0−−

tiene como conjunto solución

A) 1, 2

2⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣

B) 1-2,

2⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣

C) ]0, 1[ D) ]-1, 0[

E) 1, 1

2⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

26. Si f(x) es una función lineal definida en el conjunto de los números reales tal que

f(2) = -1 y f(-2) = 1, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)

I) f(x) no tiene coeficiente de posición. II) f(-1) < f(1)

III) f(0) = 0

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo I y III

9

27. Sean L1 la recta de ecuación f(x) = (a + 3)x – 5, y L2 otra recta de ecuación g(x) = -2x + a, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) verdadera(s)?

I) f(2) ≠ g(-1) para todo valor de a.

II) El sistema f(x) = (a + 3)x 5g(x) = -2 x + a

− tiene solución si a = -5.

III) Si a = -52

, entonces L1 ⊥ L2.

A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) Todas ellas.

28. Respecto a la función f(x) = x . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

falsa(s)?

I) f(4) = f(-4) II) f(9) = 3 ó f(9)= -3

III) f(0) = 0

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III

29. El gráfico I de la figura 1 corresponde a f(x) = x2. ¿Cuál es la función que corresponde al

gráfico II?

A) f(x) = x2 – 6x + 9

fig. 1

1

II

x 3 2

1 2

y

x

y I B) f(x) = x2 – 3

C) f(x) = (x – 3)2 D) f(x) = x2 – 6x + 11 E) f(x) = x2 – 6x + 7

10

30. En la figura 2, las rectas L1 y L2 tienen por ecuaciones 2x – 3y – 6 = 0 y 3x – y + 5 = 0, respectivamente. Si las rectas se intersectan en el punto (-3, -4), entonces el área del triángulo formado por L1, L2 y el eje y es

x

y L2

L1

A) 21 fig. 2 B) 1,5 C) 10,5 D) 9,5 E) 8

31. ¿Cuál es el dominio de la función 1

f(x) = 2 x−

?

A) ]-∞, -2[ ∪ ]-2, +∞[ B) [0, 4[ ∪ ]4, +∞[ C) ]0, 4[ ∪ ]4, +∞[ D) ]-∞, 4[ E) ]4, ∞[

32. ¿Cuál de las siguientes funciones representa mejor al gráfico de la figura 3?

y

1

2

fig. 3

x

A) f(x) = -(x + 2)2 + 1 B) f(x) = (x + 2)2 – 1 C) f(x) = (x – 2)2 – 1 D) f(x) = -[(x – 2)2 + 1] E) f(x) = -(x – 2)2 + 1

33. Con respecto de la función f(x) = - 12

x2 – 1, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es (son) falsa(s)?

I) La función es decreciente. II) Intersecta al eje y en el punto (0, -2).

III) Tiene 2 soluciones irracionales.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III

11

34. Si log 5 = 0,7, entonces log 18

=

A) -2,1 B) -0,21 C) -0,9 D) -0,8 E) No se puede determinar.

35. Un canal de regadío cuadruplica su caudal cada 10 minutos. Si inicialmente el caudal era

de 1 m3 por minuto, ¿cuál es el caudal esperado a los 45 minutos?

A) Menos de 4 m3 B) De 4 m3 a 10 m3 C) Entre 10 m3 y 32 m3 D) De 32 m3 a 64 m3 E) Más de 64 m3

36. Una cantidad D de dinero se coloca a un interés de 2% compuesto semestral. Si después

de transcurrido un año se retira el dinero y de él se gasta un 4,04%, la cantidad que queda es

A) 1,02 D B) 1,04 D C) 0,4 D D) 0,2 D E) D

37.En la circunferencia de la figura 4, CE // AD . Si DC = x + 6 y AB = 42º, entonces la

medida del x es

C

B

D

x E

A fig. 4

A) 21º B) 42º C) 48º D) 138º E) No se puede determinar.

38. ¿Cuál es el área del cuadrado cuya diagonal mide 20 cm?

A) 20 cm2 B) 40 cm2 C) 80 cm2 D) 200 cm2 E) 400 cm2

12

39. Si los vértices de un rombo son los puntos A(-4,-2), B(6,-2), C(12,6) y D(2,6), ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) ΔABD es equilátero.

II) El área del rombo es 50 3 . III) El perímetro del rombo es 40.

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

40. Si la recta L1 corta a los ejes coordenados en los puntos (0,2) y (-3,0), entonces la

recta L2, perpendicular a L1 en el punto (0,2), corta al eje X en el punto

A) 4, 0

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

B) -4, 0

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

C) 40,

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

D) (4, 0) E) (2, 0)

41. El cuadrado ABCD de la figura 5, está dividido en 16 cuadrados equivalentes y el

cuadrilátero PQRS está inscrito en dicho cuadrado. Si el cuadrilátero es rotado en 90º, en sentido horario y con centro O, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El perímetro no varía.

II) El área no varía. III) El vértice R coincide con el vértice P y el vértice S coincide con el vértice Q.

A) Sólo I R

B

C D B) Sólo I y II C) Sólo I y III

S D) Sólo II y III fig. 5 E) I, II y III

Q

O A P

13

42. En el plano cartesiano, ¿cuál es el punto simétrico del punto (5,4) respecto al punto (2,2)?

A) (-5, 4) B) (5, -4) C) (-5, -4) D) (-4, -5) E) (-1, 0)

43. ¿Con cuál polígono no es posible teselar el plano?

A) Con un triángulo cualquiera. B) Con un cuadrado. C) Con un rectángulo. D) Con un pentágono regular. E) Con un hexágono regular.

44. Sean P, Q y R puntos colineales tales que PR > PQ > QR . Si 2

PQ = PR QR⋅ , entonces

PQPR

=

A) 1 + 5

B) 1 + 52

C) 1 52−

D) 5 12−

E) 5 – 1 45. En el trapecio ABCD de la figura 6, AD // EF // BC . Si AE : BE = 1 : 2, AD = 3 y

BC = 9, entonces EF =

B C

E F

A D

fig. 6

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

14

46. En la figura 7, el ΔABC es isósceles de base AB , la cual es tangente en T a la circunferencia de centro O y radio 10. Si C, P y Q son puntos de la circunferencia y

PC = 2PB – 2, entonces el área de la región achurada es C

fig. 7 A) 48

B) 96 C) 135 O D) 240 P Q E) Imposible determinar el área.

T A B

47. En la circunferencia de centro O de la figura 8, AB = 18 cm y AC = CB . Si CD = 3 cm, entonces el radio de la circunferencia mide

fig. 8

D

C

O

B A

A) 24 cm B) 20 cm C) 18 cm D) 15 cm E) 14 cm

48. En la circunferencia de centro O (figura 9), AB BO≅ , entonces ABO =

A) 30º B B) 45º A

fig. 9 C) 60º D) 90º O E) No se puede determinar.

49. En la figura 10, ΔABC equilátero y los puntos P y Q son tales que ΔABQ ≅ ΔBAP. Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) BAP = 30º

fig. 10

B

P

C

QII) BP = PC

III) BQ AC⊥

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III A D) Sólo I y III E) Ninguna de ellas.

15

50. Si los puntos A(2,1), B(4,-1) y C(7,4) son los vértices del ΔABC, ¿cuál es el área del triángulo?

A) 8 B) 16 C) 4 2 D) 8 2 E) 16 2

51. Si la altura de un triángulo equilátero es h, entonces su perímetro es

A) h 3 B) 3h C) 3h 3

D) 23

h 3

E) 2h 3 52. ¿Cuál es el área del rombo cuyas diagonales miden 6 cm y 8 cm?

A) 24 cm2 B) 40 cm2 C) 48 cm2 D) 96 cm2 E) 100 cm2

53. En la circunferencia de la figura 11, APC = 50º y AQC = 100º. Si AD y BC son

cuerdas, entonces DAB = A

Q B fig. 11

D P

C

A) 20º B) 25º C) 50º D) 75º E) 100º

54. ¿Cuál es el volumen del paralelepípedo de aristas 3, 4 y 5?

A) 60 B) 30 C) 12 D) 6 E) Ninguno de los valores anteriores.

16

55. La diagonal de la cara de un cubo es 2 2 . ¿Cuál es su volumen?

A) 8 B) 4 3 C) 4 2 D) 6 3 E) 8 3

56. En un lugar de la Antártica se encontró una colonia de pingüinos “rey” y otra de

pingüinos “emperador”, según se muestra en la tabla adjunta. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir un pingüino al azar, éste sea emperador o hembra?

A) 1550

B) 2250

C) 2850

D) 3750

E) 4350

57. Al lanzar 2 monedas al aire una a una, ¿cuál es la probabilidad de obtener primero una

cara y después un sello?

A) 12

B) 13

C) 14

D) 23

E) 1

HEMBRAS MACHOS

12 13 REY

EMPERADOR 10 15

17

58. Se tienen una tómbola con los dígitos del 0 al 9, ¿cuál es la probabilidad de escoger un número compuesto?

A) 19

B) 110

C) 410

D) 510

E) 610

59. ¿Cuánto mide el área de un ΔABC, rectángulo e isósceles de base AB = 6 cm?

A) 6 2 cm2 B) 9 cm2 C) 9 2 cm2 D) 18 cm2 E) 36 cm2

60. Las notas de Pepe en biología son 6,7; 6,9; 6,9. ¿Cuál debe ser la nota mínima en la

4a prueba para que su promedio final no sea menor que 6,7?

A) 6,2 B) 6,3 C) 6,4 D) 6,5 E) 6,6

61. En una semana de diciembre la temperatura mínima fue de 29 ºC y la máxima fue de

35 ºC. Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) falsa(s)?

I) El promedio semanal fue de 32 ºC. II) La mediana y el promedio fueron iguales en esa semana.

III) La moda en esa semana fue 35 ºC.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) Todas ellas.

18

62. Al lanzar un dado no cargado, ¿cuál es probabilidad de obtener un divisor de 24?

A) 16

B) 26

C) 36

D) 46

E) 56

63. Al lanzar una moneda al aire 100 veces, se obtienen 45 caras y el resto sello. Entonces,

respecto de la muestra, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La probabilidad de sello es 12

.

II) La probabilidad de cara es 12

.

III) En el experimento se obtuvieron más sellos que caras.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Ninguna de ellas.

19

Evaluación de Suficiencia de Datos

Instrucciones Para las Preguntas N° 64 a la N° 70

En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución.

Usted deberá marcar la letra:

A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la

pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es. B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la

pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es. C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes

para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente.

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para

responder a la pregunta. E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes

para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.

Ejemplo: P y Q en conjunto tiene un capital de $ 10.000.000, ¿cuál es el capital de Q? (1) Los capitales de P y Q están en razón de 3 : 2.

(2) P tiene $ 2.000.000 más que Q.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

En este ejemplo, usted puede observar que con los datos proporcionados en el

enunciado más los indicados en la condición (1) es posible llegar a la solución, en efecto:

P : Q = 3 : 2, luego (P + Q) : Q = 5 : 2, de donde

$ 10.000.000 : Q = 5 : 2 Q = $ 4.000.000

Sin embargo, también es posible resolver el problema con los datos proporcionados en el enunciado (P + Q = $ 10.000.000) y en la condición (2) (P = Q + $ 2.000.000). Por lo tanto, usted debe marcar la clave . Cada una por sí sola, (1) ó (2). D

20

64. Se puede determinar el porcentaje que representa un sector de un gráfico circular si se conoce :

(1) El ángulo del centro determinado por el sector.

(2) La cantidad de elementos que cumplen la condición ilustrada en dicho sector.


65. En la figura 12, el ΔABC es isósceles de base AB . Se puede determinar el perímetro del

ΔABC si :

A D B

E

C

fig. 12

(1) DE es mediana del ΔABC.

(2) CD = 8 cm.


66. El cuadrilátero circunscrito a la circunferencia de la figura 13, es un cuadrado si :

A P B

Q

C R D

S

fig. 13

(1) P, Q, R y S son puntos de tangencia.

(2) AC BD y AC = BD⊥


67. En un colegio el 4º A está compuesto por 25 hombres y 15 mujeres. Se puede

determinar que la probabilidad de escoger un hombre en el 4º B es la misma que en el 4º A si :

(1) Los hombres del 4º B son 15.

(2) El total de alumnos del 4º B son 24.


21

68. Se puede determinar el valor numérico de la altura de un triángulo si :

(1) La razón entre la base y la altura es 23

, respectivamente.

(2) La base del triángulo es conocida.


69. En la circunferencia de la figura 14, las cuerdas AC y DB forman el ángulo α = 30º. Se

puede determinar la medida del arco CD si :

(1) AB = 30º

D A

B C

fig. 14 α (2) AB CD≅


70. Se puede determinar el área de un triángulo equilátero ABC si :

(1) Su mediana mide 5 3 cm.

(2) Su transversal de gravedad mide 15 cm.


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