Radio de Giro-Estatica

7/24/2019 Radio de Giro-Estatica

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RADIO DE GIRO DE UN AREA

El radio de giro es una cantidad que tiene por unidad una longitud, que mide la

distribucin del rea desde un eje; se emplea a menudo en el diseo de

miembros estructurales solicitados por comprensin. Considrese un rea A

, como la que se ilustra en la fgura a . SeanIx e

Iy los momentos de

inercia de esta rea respecto a los ejes x y y , respectiamente. Si se

coloca una tira o !ranja delgada que tenga la misma rea A , paralela al eje

x a una distanciakx como se muestra en la fgura b , de tal !orma que

Ix=A kx2

entonces, para el rea A , se dice que el parmetrokx es el

radio de giro con respecto al eje x , o sea

kx

=

Ix

A

El radio de giro es muy "til en el mbito de la ingenier#a ciil ya que est

presente en di!erentes situaciones tales como el clculo de las !allas en las

columnas. $recisando de esta manera que interiene en el anlisis del pandeo

de una columna. Esta es la relacin que interiene en dic%o anlisis & '(r )

donde *+r++ es el radio de giro y *+l++ la longitud del elemento.


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e modo semejante, si se coloca una tira angosta de rea A a una distancia

ky del eje y , de tal !orma que Iy=A ky2

, entonces el parmetroky

ser el radio de giro con respecto al eje y para el rea A , osea-

ky=IyA

Ejemplo:

eterm#nese el radio de girokx .con respecto a su base.


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kx2=

IxA=

1

3b h

3

bh =

h2

3 kx=

h

3

En la fgura se muestra el radio de girokx del rectngulo. El radio de giro no

debe con!undirse con la ordenada y=h /2 del centroide del rea. ientras

quekx depende del segundo momento, o momento de inercia del rea, la

ordenada y est relacionada con el primer momento del rea.

Problema 1:

$ara el rea sombreada que muestra cada fgura, determine el momento de

inercia y el radio de giro respecto al eje /.


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Solucin:


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x=a , y=b ; b=k1 a4

b=k2 a1

4

k1=

b

a4

k2=

b

a

1

4

0acemos los clculos de 12 y 13-

y1=

b

a4

x4

yy

2=

b

a1

4

x1

4

4%ora A= (y2y1 ) dx=b0

a

(x

1

4

a

1

4

x

4

a4)dx

b[ 45 x5

4

a

1

4

1

5

x5

a4 ]

0

a

=3

5ab

Ix=y2

dA dA=(x1x2)dy

Ix=

0

b

y2( ab14 y

1

4a

b4y

4)dy

a[ 413 y13

4

b

1

4

1

7

y7

b4 ]

0

b


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a b3( 41317 )

Ix=15

91

a b3

kx=Ix

A=

15

91a b

3

3

5ab

=2591 b2=0.52414b

kx=0.524b

Problema 2:

eterminar el momento de inercia y el radio de giro del rea sombreada

respecto al eje /.


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Solucin:

$rimero calculamos las reas- A=A1+A2+A3

(1.2. ) (0.3. )+(2.4. ) (0.4. )+(2.4. ) (0.3. )

(0.36+0.96+1.72 )2

2.04 2

Ix=(Ix )1+(Ix )2+(Ix )3


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1.36

(0.362 )

(Ix)1= 1

12(1.2. ) (0.3. )3+

(Ix )2= 1

12(0.4. ) (2.4. )3=0.46084

(Ix )3= 1

12(2.4. ) (0.3. )3+(0.72 2 )(1.35. )2=1.31764

Ix=0.6588 4+0.4608 4+1.3176 4=2.4372 4

Ix=2.44 4

kx2=

Ix

A=

2.4372 4

2.042 =1.1947

2

kx=1.093.

Problema 3:


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eterminar el momento de inercia u el radio de giro del rea sombreada

respecto al eje /

Solucin-

x=a , y

1=y

2=b

y1:b=k a3

k=b

a3

y2:b=ma

m=b

a

y1=

b

a3x

3

y2=

b

ax


10/20

dA=(y2y1) dx=(baxba3x3)dx

A= dA=2 ba0

a

(xx3

a2 )dx=2 ba [ 12x2 14a2x 4]0

a

2b

a[a2

2

1

4a2a

4]=12 ab

d Iy=x2

dA=b

a [(x3x5

a 2)dx ]

Iy=0

a

d Iy=2b

a0

a

(x

3

x

5

a2

)dx

2b

a [ 14 x4 16a2x 6]0a

=2b

a (a4

4

1

6

a6

a2 )

1

6 a

3

b Iy=

1

6 a

3

b


11/20

ky2=

IyA=

1

6a3

b

1

2ab

=1

3a

2 ky=

a

3

MOMENO PO!AR

El momento polar de inercia es una cantidad utili5ada para predecir el objeto

%abilidad para resistir la torsin, en los objetos &o segmentos de los objetos)

con un inariante circular de seccin transersal y sin de!ormaciones

importantes o !uera del plano de de!ormaciones. Se utili5a para calcular

despla5amiento angular de un objeto sometido a un par. Es anlogo a la 5ona


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de momento de inercia que caracteri5a la capacidad de un objeto para resistir

la 6e/in y es necesario para calcular el despla5amiento.

Consideramos un eje perpendicular al plano del rea y que interseque el plano

en el origen 7. El momento de inercia con respecto a este eje perpendicular se

denomina momento polar de inercia y se denota con el s#mboloJo .

El momento polar de inercia con respecto a un eje en el punto 7 perpendicular

al plano de la fgura se defne por la integral.

Jo= r2

dA

onde r es la distancia desde 7 %asta el rea elemental dA . Esta integral

tiene !orma similar a la de los momentos de inerciaIx e

Iy

El momento polar de inercia de un rea dada puede calcularse a partir de los

momentos rectangulares de inerciaIx e

Iy del rea, si dic%as cantidades

ya son conocidas. e %ec%o, si se obsera que r2=x2+y2 , se puede escribir-

Jo= r2dA= (x2+y2 ) dA=y2 dA+x2 dA

4si obtenemos la relacion importante-

Jo=Ix+Iy

Ejm:


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etermine el momento polar centroidal de inercia de un rea circular por

integracin directa.

Solucin:

Seleccionamos dA como un elemento di!erencial de rea.

d Jo=u2

dA dA=2u du

Jo= d Jo=0

r

u2 (2 udu )=2

0

r

u3

du

Jo=

2r4


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Problema 1:

$ara el rectngulo mostrado en la fgura, determine el momento polar de

inercia u el radio de giro polar respecto al punto medio de su lado ms largo.

Solucin:

d Ix=1

3a3

dx

Ix=1

3a

3a

a

dx=a3

3(2a )=2

3a4

d Iy=x2

dA=x2adx


15/20

Iy=aa

a

x2

dx=a[x3

3]aa

=23

a4

Jo=I

x+I

y=

2

3

a4+

2

3

a4

Jo=4

3a4

Jo=k02A

k2= Jo

A=

4

3

a4

2a2=2

3a2

ko=a 23

Problema 2:

$ara el rea sombreada que muestra la fgura, determine el momento polar de

inercia y el radio de giro polar respecto al punto $.


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Solucin:

x=a , y=2b :2b=ma

m=2

ba

y1=

2b

a x


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x=0,y=b :b=k(0 )+c c=b

x=a , y=2b :2b=k a2+b

k=ba2

y2=

b

a2x

2+b=

b

a2(x2+a2 )

A= (y2y1 ) dx=0

a

[ ba2(x2+a2 )2b

a x] dx

[ ba2(13 x3+a2x )bax2]0

a

b

a2 ( 13 a3+a3)baa2=13 ab

Iy=x2dA=0

a

x2(y 2y1 ) dx

0

a

x2[ ba2(x2+a2 ) 2

b

a x] dx

b

a2 [(15 x5+ 13 a2x3)2ba x

4

4]0a

b

a2

(a

5

5

+ 1

3

a5

)2

b

a

a4

4

= 1

30

a3

b

Ix=d Ix=(13 y231

3y

1

3)dx


18/20

1

30

a

[b3

a6(x2+a2 )

3

8b

3

a3 x

3]dx

1

3

b3

a3

0

a

[ 1

a3(x6+3x4 a2+3x2a4+a6 )8x3

]dx

Ix=1

3

b3

a3 [ 1a3 (x

7

7+3

5a

2x

5+3

3a

4x

3+a

6x)84 x4]

0

a

1

3

b3

a3 [ 1a3( a

7

7+3

5a7+a7+a7)2a4]= 26105 a b3

Jo=Ix+Iy= 26

105a b

3+ 130

a3

b

Jo=ab

210(7a2+52b2 )

kp=Jo

A=

ab

210(7a2+52b2 )

1

3 ab

kp=7a

2+52b2

70

Problema 3:


19/20

etermine por integracin directa el momento polar de inercia del rea que

muestra la fgura respecto al punto 7.

Solucin-

Jo=Io= r2

dA

dA=3

2rdr


20/20

Jo=R

1

R2

r2(3 2 r )dr

3

8

r4R

1

R2=

3

8

(R24R

1

4 )

Jo=3

8 (R2

4R

1

4 )

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