Falla Estatica

Tema III

Teorías de fallas estáticas

1) Teoría del “Esfuerzo normal” para materiales frágiles y la teoría del “Esfuerzo Normal Máximo” para materiales dúctiles propuestas por Rankine.

2) Teoría de la “Deformación Unitaria Máxima” para materiales dúctiles propuesta por Saint-Venant.

3) Teoría del “Esfuerzo Cortante Máximo” para materiales dúctiles propuesta por coulomb en 1773 y por Tresca en 1868.

Teorías fundamentales de fallaTeorías fundamentales de falla

Mecánica de materiales – Falla estática

4) Teoría de la “Fricción Interna” para materiales frágiles establecida por Mohr y Coulomb.

5) Teoría de la “Energía Máxima de Deformación” para materiales dúctiles propuesta por Beltrami.

6) Teoría de la “Energía Máxima de Distorsión” para materiales dúctiles, establecida por Huber, Von mises y Hencky.

7) Teoría del “Esfuerzo Cortante Octaédrico” para materiales dúctiles de Von Mises y Henky.

teorías fundamentales de fallateorías fundamentales de falla


Teoría del Esfuerzo Normal Teoría del Esfuerzo Normal (materiales frágiles) y Normal Máximo (materiales frágiles) y Normal Máximo

(materiales dúctiles)(materiales dúctiles)

“La falla en una muestra, sometida a cualquier combinación de cargas (biaxial o triaxial), es alcanzada cuando el Esfuerzo Normal o Normal Máximo en un punto cualquiera de la muestra se hace mayor o igual al esfuerzo de falla axial, determinado por una prueba de tensión o compresión del mismo material”.


Esta teoría afirma que la falla para materiales dúctiles ocurre siempre que:

ffcfft

ffcfft

ffcfft

33

22

11

Y para materiales frágiles:

ucut

ucut

ucut

33

22

11

teoría del esfuerzo normalteoría del esfuerzo normal


Teoría del Esfuerzo Normal para falla Teoría del Esfuerzo Normal para falla por esfuerzos triaxiales (frágil)por esfuerzos triaxiales (frágil)


Superficie de

Falla FS=1

Región de no

falla FS>1

Teoría del Esfuerzo Normal Máximo Teoría del Esfuerzo Normal Máximo para falla por esfuerzos triaxiales para falla por esfuerzos triaxiales

(dúctil)(dúctil)


Teoría del Esfuerzo Normal para falla Teoría del Esfuerzo Normal para falla por esfuerzos biaxiales (frágil)por esfuerzos biaxiales (frágil)


Teoría del Esfuerzo Normal Máximo Teoría del Esfuerzo Normal Máximo para falla por esfuerzos biaxiales para falla por esfuerzos biaxiales

(dúctil)(dúctil)


11

fcft FSFS

Si el criterio de falla es la fluencia se tiene:

Si el criterio de falla es la ruptura

11

ucut FSFS


teoría del esfuerzo normalteoría del esfuerzo normal

Teoría de la Deformación Unitaria Teoría de la Deformación Unitaria Máxima (materiales dúctiles)Máxima (materiales dúctiles)

“La falla de una muestra, sometida a cualquier combinación de cargas (biaxial o triaxial es alcanzada cuando la deformación unitaria máxima en un punto cualquiera de la muestra se hace mayor o igual a la deformación unitaria de falla (σf/E), determinada por una prueba de tensión o compresión del mismo material”.


Deformación unitaria en el punto Deformación unitaria en el punto de fallade falla

Haciendo una prueba de esfuerzo axial, la deformación unitaria en el punto de falla sería

Ef

f


Según esta teoría la falla se produce cuando:

ff

ff

ff

33

22

11

Expresando estas ecuaciones en función de los esfuerzos principales

ff

ff

ff

213323

312312

321321


teoría deformación unitariateoría deformación unitaria

Deformación limitadora en la Deformación limitadora en la dirección de los ejes (1) y (2)dirección de los ejes (1) y (2)

menterespectiva

dondede

EEEE

ff

ff

1313

132311

1

11


Teoría de la Deformación Unitaria Teoría de la Deformación Unitaria Máxima para falla por esfuerzos Máxima para falla por esfuerzos

triaxiales (dúctil)triaxiales (dúctil)


Teoría de la Deformación Unitaria Teoría de la Deformación Unitaria Máxima para falla por Esfuerzos Máxima para falla por Esfuerzos

biaxiales (dúctil)biaxiales (dúctil)


turnoporkjidonde

FSkji

f

3,2,1:

Según esta teoría existe seguridad siempre que:

El esfuerzo de corte límite viene dado por:

1

ff


Factor de seguridad según la teoría de la deformación unitaria máxima

Teoría del Esfuerzo de Corte Máximo Teoría del Esfuerzo de Corte Máximo (materiales dúctiles)(materiales dúctiles)

“La falla de una muestra, sometida a cualquier combinación de cargas (biaxial o triaxial) es alcanzada cuando el esfuerzo cortante máximo en un punto cualquiera de la muestra se hace mayor o igual al esfuerzo de corte máximo de falla (f), determinado por una prueba de tensión o compresión del mismo material”


Para que la falla por fluencia ocurra según la Teoría del Esfuerzo de Corte Máxima debe ocurrir que:

222 321fff

De la misma forma, en función de los esfuerzos principales se tiene que:

fff 213132


teoría del esfuerzo de corte máximoteoría del esfuerzo de corte máximo

Teoría del Esfuerzo de Corte Máximo Teoría del Esfuerzo de Corte Máximo para falla por esfuerzos triaxiales para falla por esfuerzos triaxiales

(dúctil)(dúctil)


Teoría del Esfuerzo de Corte Máximo Teoría del Esfuerzo de Corte Máximo para falla por esfuerzos biaxiales para falla por esfuerzos biaxiales

(dúctil)(dúctil)


σ3-σ1= σf

σ1=-σf

σ3=-σf

σ1=- σ3

σ1-σ3= σf

σ1= σf

σ3=σf

f

ff

f

ff

IVCuadrante

yIIICuadrante

IICuadrante

yICuadrante

31

31

13

31



Combinación de las teorías del Combinación de las teorías del esfuerzo normal máximo y la del esfuerzo normal máximo y la del

esfuerzo de corte máximoesfuerzo de corte máximo

σf

σf

σf

σfσ1

σ3

σ1

σ3


31

31

13

31

f

ff

f

ff

FSIVCuadrante

FSyFSIIICuadrante

FSIICuadrante

FSyFSICuadrante

Combinación de teorías normal máximo y Combinación de teorías normal máximo y corte máximocorte máximo


En el caso de corte puro σ1= -σ3, todas las combinaciones caen sobre la línea diagonal a 45º que pasa por el origen. El esfuerzo de corte límite ocurre en un punto sobre la superficie en el cuadrante II y IV

2f

f



Teoría de Falla de la Fricción Interna Teoría de Falla de la Fricción Interna (Mohr-Coulomb) (materiales frágiles)(Mohr-Coulomb) (materiales frágiles)

“La falla de una muestra, sometida a cualquier combinación de cargas (biaxial o triaxial), es alcanzada cuando el mayor círculo de Mohr asociado con el estado de esfuerzos en un punto cualquiera de la muestra, se hace tangente o mayor al contorno de la envolvente de los círculos de prueba, determinado en un ensayo de tensión axial, compresión axial y torsión del mismo material”.


Región de falla para la teoría de Mohr-Región de falla para la teoría de Mohr-Coulomb (frágil)Coulomb (frágil)


El círculo O – σut, se obtiene a partir del ensayo de tensión uniaxial; el círculo O – σuc, se obtiene del ensayo de compresión uniaxial y el círculo O – u se obtiene del ensayo de corte puro. Con estos círculos se origina una envolvente a partir de los tres círculos de prueba, una en la parte superior y otra en la parte inferior. De esta forma la región de falla esta ubicada en la parte exterior de la envolvente de los círculos sobre el plano σ - como se muestra en la figura siguiente


teoría de la fricción internateoría de la fricción interna



Para el caso de un estado de esfuerzo biaxial, cuando σ1 es de tensión y σ3 es a compresión, el máximo esfuerzo de corte y el esfuerzo normal están dados por:

2

2

31

31max1



Si sustituimos la ecuación de la recta = aσ+b con las ecuaciones anteriores obtendríamos:

baa 211 31

0

0

13

31

cuando

cuando

uc

ut

Para evaluar las constantes a y b se deben tomar las siguientes condiciones de borde



Valores de las constantes a y bValores de las constantes a y b

Si resolvemos teniendo en cuenta las condiciones de borde anteriores obtendríamos:

ucut

ucut

ucut

ucut bya


Si estas constantes son sustituidas se puede determinar completamente la ecuación de la envolvente de falla por fractura

1

1

13

31

utut

utut

IICuadrante

IVCuadrante



Para los cuadrantes I y III, estas relaciones se hallan directamente de la figura siguiente

Teoría de falla de Mohr-Coulomb con Teoría de falla de Mohr-Coulomb con teoría de falla del Esfuerzo Normal teoría de falla del Esfuerzo Normal

superpuestasuperpuesta


σ1 = σuc

σ3 = σuc

σ1 = -σ3

uc

ut

ut

ucuc

uc

ut

ut

utut

FSIVCuadrante

FSyFSIIICuadrante

FSIICuadrante

FSyFSICuadrante

31

31

13

31


teoría de la fricción interna con teoría del teoría de la fricción interna con teoría del esfuerzo normalesfuerzo normal

La resistencia última al corte se obtiene como sigue:

uc

ut

utu

1

teoría de la fricción interna con teoría del teoría de la fricción interna con teoría del esfuerzo normalesfuerzo normal


Teoría de falla de la Energía Máxima Teoría de falla de la Energía Máxima de Deformación (materiales dúctiles)de Deformación (materiales dúctiles)

“La falla de una muestra, sometida a cualquier combinación de cargas (triaxial o biaxial), es alacanzada cuando la energía de deformación por unidad de volumen en un punto cualquiera de la muestra, se hace mayor o igual a la energía de deformación por unidad de volumen de falla, determinada por una prueba de tensión o compresión del mismo material”.


Energía de deformaciónEnergía de deformación

Para expresar matemáticamente la teoría, es necesario desarrollar una expresión para la energía elástica total de deformación por unidad de volumen en un estado general de esfuerzos. Esta energía es igual al área situada debajo de la curva esfuerzo-deformación.

FU2

1


Energía de deformación en el cubo Energía de deformación en el cubo elementalelemental

En un cubo elemental que esté sometido sólo a esfuerzo de tracción a lo largo del eje X, la energía de deformación viene dada por:

dAdxU xx2

1


La ecuación anterior describe la energía elástica total absorbida por el elemento. Puesto que el volumen del elemento es (dAdx), la energía de deformación por unidad de volumen está dada por:

EdAdx

UU x

xxT

2

2

1

2

1


teoría de la energía de deformaciónteoría de la energía de deformación

Energía de deformación para un Energía de deformación para un elemento sometido a corteelemento sometido a corte

De igual manera, la energía de deformación por unidad de volumen de un elemento sometido a corte puro está dada por:

GU xy

xyxyT

2

2

1

2

1


Energía de deformación para un Energía de deformación para un estado general de esfuerzosestado general de esfuerzos

Las relaciones de la deformación uniaxial pura y de corte puro se pueden combinar por el principio de superposición para dar la energía de deformación elástica en una distribución general de un estado de esfuerzo en tres dimensiones.

yzyzxzxzxyxyzzyyxxTU 2

1


Energía de deformación en función de Energía de deformación en función de los esfuerzos principaleslos esfuerzos principales

13322123

22

21 2

2

1 E

UT

En función de los esfuerzos y deformaciones principales tendríamos:

3322112

1 TU


Para una prueba de tensión uniaxial, el único esfuerzo principal que no es cero, es aquel que se hace igual a la resistencia a la fluencia σf en el punto de fluencia, y la energía total de deformación por unidad de volumen que le corresponde es:

ff TTfT UUE

U 2

2

1


energía de deformaciónenergía de deformación

Teoría de la Energía Máxima de Teoría de la Energía Máxima de Deformación para falla por esfuerzos Deformación para falla por esfuerzos

triaxiales (dúctil)triaxiales (dúctil)


Factor de seguridad para estado de Factor de seguridad para estado de esfuerzo triaxial según teoría de la esfuerzo triaxial según teoría de la


13322123

22

21 2

fFS


Teoría de la Energía Máxima de Teoría de la Energía Máxima de Deformación para esfuerzos biaxiales Deformación para esfuerzos biaxiales

(dúctil)(dúctil)


Factor de seguridad para estado de Factor de seguridad para estado de esfuerzo biaxial según teoría de esfuerzo biaxial según teoría de


2331

21 2

fFS

La resistencia límite al corte sería:

12f

f


Teoría de falla de la Energía de Teoría de falla de la Energía de distorsión (materiales dúctiles)distorsión (materiales dúctiles)

“La falla de una muestra, sometida a cualquier combinación de cargas (triaxial o biaxial), es alcanzada cuando la energía de distorsión por unidad de volumeb en un punto cualquiera de la muestra, se hace igual o mayor a la energía de distorsión por unidad de volumen de falla, determinada por una prueba de tensión o compresión axial del mismo material”.


La teoría de la energía de distorsión se originó a partir de observación de que los materiales pueden soportar presiones hidrostáticas muy elevadas sin producir ningún efecto sobre la fluencia. Así se postuló que la fluencia no era de ninguna manera, un fenómeno de tensión o de compresión simple, sino, mas bien que estaba relacionada de algún modo con la distorsión del elemento esforzado. Debido a esto, en el desarrollo de esta teoría, la energía total de deformación elástica puede ser dividida en dos componentes:


teoría de la energía de distorsiónteoría de la energía de distorsión

La energía de distorsión o de cambio de forma.

La energía de variación de volumen.

UT=U’T+U’’T

teoría de la energía de deformaciónteoría de la energía de deformación


Energía asociada con la variación de Energía asociada con la variación de volumenvolumen

216

1''

2

1''

2321

EU

VU

T

mT


Energía de distorsiónEnergía de distorsión

213

232

221

'

6

1

EUT

216

12

2

1''

'''

2321313221

23

22

21

.

EEU

UUU

T

TTT


Energía de distorsión para un estado Energía de distorsión para un estado de esfuerzo uniaxialde esfuerzo uniaxial

''

3

1' 2

f

f

TT

fT

UU

EU


Teoría de la Energía de Distorsión Teoría de la Energía de Distorsión para falla por esfuerzos triaxiales para falla por esfuerzos triaxiales

(dúctil)(dúctil)


Factor de seguridad para un estado Factor de seguridad para un estado de esfuerzo triaxial según teoría de de esfuerzo triaxial según teoría de

energía de distorsiónenergía de distorsión

213

232

2212

1

fFS


Teoría de la Energía de Distorsión Teoría de la Energía de Distorsión para falla por esfuerzos biaxiales para falla por esfuerzos biaxiales

(dúctil)(dúctil)


σ1 = -σ3

Factor de seguridad para un estado de esfuerzo biaxial según teoría de

energía de distorsión

2331

21

fFS

El límite a la fluencia por corte puro viene dada por:

ff

f

577,03


Teoría de falla del Esfuerzo Cortante Teoría de falla del Esfuerzo Cortante Octaédrico de Von Mises y Hencky Octaédrico de Von Mises y Hencky

(materiales dúctiles)(materiales dúctiles)

“La falla de una muestra, sometida a cualquier combinación de cargas (triaxial o biaxial), es alcanzada cuando el esfuerzo de corte octaédrico en un punto cualquiera de la mustra, se hace igual o mayor al esfuerzo octaédrico de falla, determinada por un prueba de tensión o compresión axial del mismo material”.


foct

oct

oct

3

2

3

1

3

213

232

221

321


Esfuerzos octaédricosEsfuerzos octaédricos

Planos de corte octaédricos guiados Planos de corte octaédricos guiados a la teoría de falla de Mises-Henckya la teoría de falla de Mises-Hencky


Factor de seguridad para un estado Factor de seguridad para un estado de esfuerzo triaxial según teoría del de esfuerzo triaxial según teoría del

esfuerzo octaédricoesfuerzo octaédrico

213

232

2212

1

fFS


Comparación de las teorías de falla Comparación de las teorías de falla para un estado de esfuerzo biaxialpara un estado de esfuerzo biaxial

Dos planteamientos pueden ser empleados para comparar las teorías de falla, uno de ellos es el siguiente:

Teoría de esfuerzo de corte máximo. f=1,00 σf

Teoría de la deformación unitaria máxima f=0,74 σf

Teoría de la energía de deformación. f=0,608 σf

Teoría de la energía de distorsión f=0,577 σf

Teoría del esfuerzo cortante máximo f=0,50 σf


Comparación de las teorías de falla gráficamente sobre un sistema

coordenado normalizado:


La evaluación de las teorías de falla, con clara evidencia experimental llevan a las observaciones siguientes:

Para materiales isotrópicos que fallan por fractura frágil, la mejor teoría a usar es la teoría del Esfuerzo Normal.

Para materiales que fallan por fractura frágil pero que presentan una resistencia última en compresión, la mejor teoría a usar es la de Mohr-Coulomb.


Observaciones acerca de las Observaciones acerca de las teorías de fallateorías de falla

Para materiales isotrópicos que fallen por fluencia o ruptura dúctil, la mejor teoría a usar es la teoría de la Energía de Distorsión.

Para materiales isotrópicos que fallen por fluencia o ruptura dúctil, la teoría del esfuerzo de corte máximo es tan valida como la teoría de la energía de distorsión.

observaciones acerca de las teorías de observaciones acerca de las teorías de fallafalla


Como un método práctico, puede ser usada la teoría de Mohr-Coulomb en aquellos materiales isotrópicos que presenten una ductilidad menor al 5% de elongación sobre una longitud calibrada de 2 pulgadas.

Como un método práctico, puede ser usada la teoría de la energía de distorsión o la del esfuerzo de corte máximo en aquellos materiales isotrópicos que presenten un ductilidad de 5% o mas en 2 pulgadas de su longitud calibrada.

Donde sea posible debe ser llevado a cabo un análisis de mecánica de la fractura.

Mecánica de materiales – Falla estáticaobservaciones acerca de las teorías de observaciones acerca de las teorías de fallafalla

Comparación de las teorías para una Comparación de las teorías para una variedad de materiales dúctilesvariedad de materiales dúctiles


Comparación de las teorías para una Comparación de las teorías para una variedad de materiales frágilesvariedad de materiales frágiles


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