MÉTODOS NUMÉRICOSMÉTODOS NUMÉRICOSRaíces de ecuacionesRaíces de ecuaciones

Gustavo RochaGustavo Rocha

2005-22005-2

MÉTODO DE BISECCIÓNMÉTODO DE BISECCIÓN

f(x)

x

MÉTODO DE BISECCIÓNMÉTODO DE BISECCIÓN

Consiste en considerar un intervalo (xConsiste en considerar un intervalo (xii, x, xss) en el que se ) en el que se

garantice que la función tiene raíz. garantice que la función tiene raíz.

MÉTODO DE BISECCIÓNMÉTODO DE BISECCIÓN

xi xs

f(x)

x

f(xi)

f(xs)

MÉTODO DE BISECCIÓNMÉTODO DE BISECCIÓN

Consiste en considerar un intervalo (xConsiste en considerar un intervalo (xii, x, xss) en el que se ) en el que se

garantice que la función tiene raíz. garantice que la función tiene raíz.

El segmento se bisecta, tomando el punto de bisección El segmento se bisecta, tomando el punto de bisección

xxrr como aproximación de la raíz buscada. como aproximación de la raíz buscada.

MÉTODO DE BISECCIÓNMÉTODO DE BISECCIÓN

xi xsxr

f(x)

x

f(xi)

f(xs)

f(xr)

MÉTODO DE BISECCIÓNMÉTODO DE BISECCIÓN

Consiste en considerar un intervalo (xConsiste en considerar un intervalo (xii, x, xss) en el que se ) en el que se

garantice que la función tiene raíz. garantice que la función tiene raíz.

El segmento se bisecta, tomando el punto de bisección El segmento se bisecta, tomando el punto de bisección

xxrr como aproximación de la raíz buscada. como aproximación de la raíz buscada.

Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está la Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está la

raíz.raíz.

MÉTODO DE BISECCIÓNMÉTODO DE BISECCIÓN

xi xsxr

f(x)

x

f(xi)

f(xs)

f(xr)

rxx i

MÉTODO DE BISECCIÓNMÉTODO DE BISECCIÓN

Consiste en considerar un intervalo (xConsiste en considerar un intervalo (xii, x, xss) en el que se ) en el que se

garantice que la función tiene raíz. garantice que la función tiene raíz.

El segmento se bisecta, tomando el punto de bisección El segmento se bisecta, tomando el punto de bisección

xxrr como aproximación de la raíz buscada. como aproximación de la raíz buscada.

Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está la Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está la

raíz.raíz.

El proceso se repite n veces, hasta que el punto de El proceso se repite n veces, hasta que el punto de

bisección xbisección xrr coincide prácticamente con el valor exacto coincide prácticamente con el valor exacto

de la raíz.de la raíz.

MÉTODO DE BISECCIÓNMÉTODO DE BISECCIÓN

xi xsxr

f(x)

x

f(xi)

f(xs)

f(xr)

MÉTODO DE LA REGLA FALSAMÉTODO DE LA REGLA FALSA

f(x)

x

MÉTODO DE LA REGLA FALSAMÉTODO DE LA REGLA FALSA

Consiste en considerar un intervalo (xConsiste en considerar un intervalo (xii, x, xss) en el que se ) en el que se

garantice que la función tiene raíz.garantice que la función tiene raíz.

MÉTODO DE LA REGLA FALSAMÉTODO DE LA REGLA FALSA

xi xs

f(x)

x

f(xi)

f(xs)

MÉTODO DE LA REGLA FALSAMÉTODO DE LA REGLA FALSA

Consiste en considerar un intervalo (xConsiste en considerar un intervalo (xii, x, xss) en el que se ) en el que se

garantice que la función tiene raíz.garantice que la función tiene raíz.

Se traza una recta que une los puntos (xSe traza una recta que une los puntos (xii, f(x, f(xii)), (x)), (xss, f(x, f(xss)).)).

MÉTODO DE LA REGLA FALSAMÉTODO DE LA REGLA FALSA

xi xs

f(x)

x

f(xi)

f(xs)

MÉTODO DE LA REGLA FALSAMÉTODO DE LA REGLA FALSA

Consiste en considerar un intervalo (xConsiste en considerar un intervalo (xii, x, xss) en el que se ) en el que se

garantice que la función tiene raíz.garantice que la función tiene raíz.

Se traza una recta que une los puntos (xSe traza una recta que une los puntos (xii, f(x, f(xii)), (x)), (xss, f(x, f(xss)).)).

Se obtiene el punto de intersección de esta recta con el Se obtiene el punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas: (xeje de las abscisas: (xrr, 0); se toma x, 0); se toma xrr como como

aproximación de la raíz buscada.aproximación de la raíz buscada.

MÉTODO DE LA REGLA FALSAMÉTODO DE LA REGLA FALSA

xi xsxr

f(x)

x

f(xi)

f(xs)f(xr)

MÉTODO DE LA REGLA FALSAMÉTODO DE LA REGLA FALSA

Consiste en considerar un intervalo (xConsiste en considerar un intervalo (xii, x, xss) en el que se ) en el que se

garantice que la función tiene raíz.garantice que la función tiene raíz.

Se traza una recta que une los puntos (xSe traza una recta que une los puntos (xii, f(x, f(xii)), (x)), (xss, f(x, f(xss)) ))

y se obtiene el punto de intersección de esta recta con el y se obtiene el punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas: (xeje de las abscisas: (xrr, 0); se toma x, 0); se toma xrr como como

aproximación de la raíz buscada.aproximación de la raíz buscada.

Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está la Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está la

raíz.raíz.

MÉTODO DE LA REGLA FALSAMÉTODO DE LA REGLA FALSA

xi xsxr

f(x)

x

f(xi)

f(xs)f(xr)

rxx s

MÉTODO DE LA REGLA FALSAMÉTODO DE LA REGLA FALSA

Consiste en considerar un intervalo (xConsiste en considerar un intervalo (xii, x, xss) en el que se ) en el que se garantice que la función tiene raíz.garantice que la función tiene raíz.

Se traza una recta que une los puntos (xSe traza una recta que une los puntos (xii, f(x, f(xii)), (x)), (xss, f(x, f(xss))))

Se obtiene el punto de intersección de esta recta con el Se obtiene el punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas: (xeje de las abscisas: (xrr, 0); se toma x, 0); se toma xrr como como aproximación de la raíz buscada.aproximación de la raíz buscada.

Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está la Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está la

raíz.raíz.

El proceso se repite n veces, hasta que el punto de El proceso se repite n veces, hasta que el punto de

intersección xintersección xrr coincide prácticamente con el valor coincide prácticamente con el valor

exacto de la raíz.exacto de la raíz.

MÉTODO DE LA REGLA FALSAMÉTODO DE LA REGLA FALSA

xi xsxr

f(x)

x

f(xi)

f(xs)f(xr)

)x(f)x(f

)xx)(x(fxx

si

sissr

MÉTODO DE NEWTON RAPHSONMÉTODO DE NEWTON RAPHSON

f(x)

x

MÉTODO DE NEWTON RAPHSONMÉTODO DE NEWTON RAPHSON

Consiste en elegir un punto inicial cualquiera xConsiste en elegir un punto inicial cualquiera x11 como como

aproximación de la raíz.aproximación de la raíz.

MÉTODO DE NEWTON RAPHSONMÉTODO DE NEWTON RAPHSON

x1

f(x)

x

f(x1)

MÉTODO DE NEWTON RAPHSONMÉTODO DE NEWTON RAPHSON

Consiste en elegir un punto inicial cualquiera xConsiste en elegir un punto inicial cualquiera x11 como como

aproximación de la raíz y obtener el valor de la función aproximación de la raíz y obtener el valor de la función por ese punto.por ese punto.

Trazar una recta tangente a la función por ese punto.Trazar una recta tangente a la función por ese punto.

MÉTODO DE NEWTON RAPHSONMÉTODO DE NEWTON RAPHSON

x1

f(x)

x

f(x1)

x2

MÉTODO DE NEWTON RAPHSONMÉTODO DE NEWTON RAPHSON

Consiste en elegir un punto inicial cualquiera xConsiste en elegir un punto inicial cualquiera x11 como como

aproximación de la raíz.aproximación de la raíz.

Obtener el valor de la función por ese punto y trazar una Obtener el valor de la función por ese punto y trazar una recta tangente a la función por ese punto.recta tangente a la función por ese punto.

El punto de intersección de esta recta con el eje de las El punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas (xabscisas (xrr, 0), constituye una segunda aproximación , 0), constituye una segunda aproximación

de la raíz.de la raíz.

MÉTODO DE NEWTON RAPHSONMÉTODO DE NEWTON RAPHSON

x1

f(x)

x

f(x1)

x2

f(x2)

MÉTODO DE NEWTON RAPHSONMÉTODO DE NEWTON RAPHSON

Consiste en elegir un punto inicial cualquiera xConsiste en elegir un punto inicial cualquiera x11 como como

aproximación de la raíz.aproximación de la raíz.

Obtener el valor de la función por ese punto y trazar una Obtener el valor de la función por ese punto y trazar una recta tangente a la función por ese punto.recta tangente a la función por ese punto.

El punto de intersección de esta recta con el eje de las El punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas (xabscisas (xrr, 0), constituye una segunda aproximación , 0), constituye una segunda aproximación

de la raíz.de la raíz.

El proceso se repite n veces hasta que el punto de El proceso se repite n veces hasta que el punto de intersección xintersección xnn coincide prácticamente con el valor coincide prácticamente con el valor

exacto de la raíz.exacto de la raíz.

MÉTODO DE NEWTON RAPHSONMÉTODO DE NEWTON RAPHSON

x1

f(x)

x

f(x1)

x2

f(x2)

MÉTODO DE NEWTON RAPHSONMÉTODO DE NEWTON RAPHSON

Aunque el método trabaja bien, no existe garantía de convergencia.

MÉTODO DE LAS SECANTESMÉTODO DE LAS SECANTES

Consiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera xConsiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera x00, x, x11

para los cuales se evalúan los valores de la función:para los cuales se evalúan los valores de la función:

f(xf(x00) = f(x) = f(x11))

MÉTODO DE LAS SECANTESMÉTODO DE LAS SECANTES

Consiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera xConsiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera x00, x, x11

para los cuales se evalúan los valores de la función:para los cuales se evalúan los valores de la función:

f(xf(x00) = f(x) = f(x11))

Se traza una recta secante a la función por esos dos Se traza una recta secante a la función por esos dos puntos.puntos.

MÉTODO DE LAS SECANTESMÉTODO DE LAS SECANTES

Consiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera xConsiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera x00, x, x11

para los cuales se evalúan los valores de la función:para los cuales se evalúan los valores de la función:

f(xf(x00) = f(x) = f(x11))

Se traza una recta secante a la función por esos dos Se traza una recta secante a la función por esos dos puntos.puntos.

El punto de intersección de esta recta con el eje de las El punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas (xabscisas (x22, 0) constituye una segunda aproximación , 0) constituye una segunda aproximación

de la raíz.de la raíz.

MÉTODO DE LAS SECANTESMÉTODO DE LAS SECANTES

Consiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera xConsiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera x00, x, x11

para los cuales se evalúan los valores de la función:para los cuales se evalúan los valores de la función:

f(xf(x00) = f(x) = f(x11))

Se traza una recta secante a la función por esos dos Se traza una recta secante a la función por esos dos puntos.puntos.

El punto de intersección de esta recta con el eje de las El punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas (xabscisas (x22, 0) constituye una segunda aproximación , 0) constituye una segunda aproximación

de la raíz.de la raíz.

El proceso se repite n veces hasta que el punto de El proceso se repite n veces hasta que el punto de intersección xintersección xnn coincide prácticamente con el valor coincide prácticamente con el valor

exacto de la raíz.exacto de la raíz.

MÉTODO DEL PUNTO FIJOMÉTODO DEL PUNTO FIJO

Considera la descomposición de la función f(x) en una Considera la descomposición de la función f(x) en una diferencia de dos funciones: una primera g(x) y la diferencia de dos funciones: una primera g(x) y la segunda, siempre la función x.segunda, siempre la función x.

MÉTODO DEL PUNTO FIJOMÉTODO DEL PUNTO FIJO

Considera la descomposición de la función f(x) en una Considera la descomposición de la función f(x) en una diferencia de dos funciones: una primera g(x) y la diferencia de dos funciones: una primera g(x) y la segunda, siempre la función x.segunda, siempre la función x.La raíz de la función f(x) se da cuando f(x) = 0, es decir, La raíz de la función f(x) se da cuando f(x) = 0, es decir, cuando g(x) – x = 0, por lo que g(x) = x.cuando g(x) – x = 0, por lo que g(x) = x.

MÉTODO DEL PUNTO FIJOMÉTODO DEL PUNTO FIJO

Considera la descomposición de la función f(x) en una Considera la descomposición de la función f(x) en una diferencia de dos funciones: una primera g(x) y la diferencia de dos funciones: una primera g(x) y la segunda, siempre la función x.segunda, siempre la función x.La raíz de la función f(x) se da cuando f(x) = 0, es decir, La raíz de la función f(x) se da cuando f(x) = 0, es decir, cuando g(x) – x = 0, por lo que g(x) = x.cuando g(x) – x = 0, por lo que g(x) = x.El punto de intersección de las dos funciones, da El punto de intersección de las dos funciones, da entonces el valor exacto de la raíz.entonces el valor exacto de la raíz.

MÉTODO DEL PUNTO FIJOMÉTODO DEL PUNTO FIJO

Considera la descomposición de la función f(x) en una Considera la descomposición de la función f(x) en una diferencia de dos funciones: una primera g(x) y la diferencia de dos funciones: una primera g(x) y la segunda, siempre la función x.segunda, siempre la función x.La raíz de la función f(x) se da cuando f(x) = 0, es decir, La raíz de la función f(x) se da cuando f(x) = 0, es decir, cuando g(x) – x = 0, por lo que g(x) = x.cuando g(x) – x = 0, por lo que g(x) = x.El punto de intersección de las dos funciones, da El punto de intersección de las dos funciones, da entonces el valor exacto de la raíz.entonces el valor exacto de la raíz.

El método consiste en considerar un valor inicial xEl método consiste en considerar un valor inicial x00, , como aproximación a la raíz, evaluar el valor de esta como aproximación a la raíz, evaluar el valor de esta función g(xfunción g(x00), considerando éste como una aproximación ), considerando éste como una aproximación de la raíz.de la raíz.

MÉTODO DEL PUNTO FIJOMÉTODO DEL PUNTO FIJO

Considera la descomposición de la función f(x) en una Considera la descomposición de la función f(x) en una diferencia de dos funciones: una primera g(x) y la diferencia de dos funciones: una primera g(x) y la segunda, siempre la función x.segunda, siempre la función x.La raíz de la función f(x) se da cuando f(x) = 0, es decir, La raíz de la función f(x) se da cuando f(x) = 0, es decir, cuando g(x) – x = 0, por lo que g(x) = x.cuando g(x) – x = 0, por lo que g(x) = x.El punto de intersección de las dos funciones, da El punto de intersección de las dos funciones, da entonces el valor exacto de la raíz.entonces el valor exacto de la raíz.

El método consiste en considerar un valor inicial xEl método consiste en considerar un valor inicial x00, , como aproximación a la raíz, evaluar el valor de esta como aproximación a la raíz, evaluar el valor de esta función g(xfunción g(x00), considerando éste como una aproximación ), considerando éste como una aproximación de la raíz.de la raíz.El proceso se repite n veces hasta que g(x) coincide El proceso se repite n veces hasta que g(x) coincide prácticamente con x.prácticamente con x.