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Segundo parcial

ContenidosArtículos

Primer momento de área 1Tensión cortante 3Segundo momento de área 6

ReferenciasFuentes y contribuyentes del artículo 9Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 10

Licencias de artículosLicencia 11

Primer momento de área 1

Primer momento de áreaEl primer momento de área (también momento estático o de primer orden) es una magnitud geométrica que sedefine para un área plana. Normalmente aparece en el contexto del cálculo de vigas en ingeniería estructural, enparticular la tensión cortante media dada por la fórmula de Collignon, que es proporcional al primer momento deárea de una subsección de la sección transversal de la viga. El primer momento de área coincide con el producto delárea total multiplicado por la distancia entre el punto considerado al centroide del área.

Primer momento de áreaLos momentos de primer orden de un área, se designan por la letra S o Q. Dado un eje o recta se define el primermomento de área de el área respecto a un eje de ecuación viene dado por laintegral sobre el área de la distancia al eje fijado:

Si consideramos coordenadas x e y centradas en el centro de masas y se calculan los primeros momentos de árearespecto a los ejes coordenados, por la propia definición de centro de masas:

Eso implica que para cualquier otro eje que pase por el centro de gravedad de la sección se tiene:

El cálculo respecto a un eje cualquiera que no pase por en centro de masas es trivial ya que:

Donde resulta que c coincide con la distancia de ese eje al centro de gravedad y el resultado anterior es el equivalentedel teorema de Steiner para el primer momento de área.

Primer momento de área parcial

Área parcial para el cálculo de la tensión cortante.

Como se ha visto en la sección anterior el primer momento de área calculado respecto al centro de gravedad de lasección es siempre nulo. Sin embargo, si se considera un área parcial de una sección y se calcula el primer momentode área respecto al centro de gravedad de la sección completa el resultado no es cero. Designaremos a este primermomento de área parcial por la letra y su valor vendrá dado por:

Primer momento de área 2

Para una sección rectangular de dimensiones 2h x b se tiene:

El cálculo de este momento se requiere para el cálculo de la tensión cortante sobre la línea punteada (ver figura) deacuerdo con la fórmula de Collignon-Jourawski (o Collignon-Zhuravski).

Segundo momento de áreaAnálogamente al primer momento de área se define el segundo momento de área, o momento de inercia, como:

Que puede expresarse en función de los segundos momentos de área respecto al centro de masas como:

Este último resultado de demostración inmediata se conoce como teorema de Steiner.

Momentos de área de orden superiorEn general se definen los n-ésimos momento de área de una área plana como las integrales del tipo:

Donde la integral se extiende sobre sobre todo el dominio plano A de ℝ² y donde la distancia r es la distancia a un ejecontenido en el mismo plano que contiene al área. En particular se definen los dos momentos n-ésimos de áreacomo:

Véase también• Fibra neutra

Tensión cortante 3

Tensión cortante

Fig 1. Esquema del esfuerzo cortante.

La tensión cortante o tensión de corte es aquellaque, fijado un plano, actúa tangente al mismo. Sesuele representar con la letra griega tau (Fig 1).En piezas prismáticas, las tensiones cortantesaparecen en caso de aplicación de un esfuerzocortante o bien de un momento torsor.[1] [2]

En piezas alargadas, como vigas y pilares, elplano de referencia suele ser un paralelo a lasección transversal (i.e., uno perpendicular al ejelongitudinal). A diferencia del esfuerzo normal, esmás difícil de apreciar en las vigas ya que suefecto es menos evidente.

Tensión cortante promedio

Fig 2. Esfuerzo cortante sobre tornillos.

Un problema que se presenta en su cálculo se debe a que las tensiones no se distribuyen uniformemente sobre unárea, si se quiere obtener la tensión media es usada la fórmula:

donde V (letra usada habitualmente para designar esta fuerza) representa la fuerza cortante y A representa el área dela sección sobre la cual se está aplicando. En este caso, el esfuerzo cortante, como su nombre lo indica, corta unapieza. En esta imagen (Fig 2.), el tornillo y el perno presentan esfuerzo cortante al ser cortados por las piezas queunen (línea verde).

Tensión cortante 4

Fórmula de Collignon-JourawskiSi se requiere encontrar la tensión cortante debida fuerza cortante en un punto específico, lo cual es común en vigas,se usa la siguiente fórmula, conocida como fórmula de Collignon (1877):

donde Vy representa la fuerza cortante, Qy el producto del centroide y el área que se abarca desde un extremo hasta elpunto donde se quiere encontrar el esfuerzo, Iz el momento de inercia de la sección total respecto a un ejeperpendicular a la dirección del cortante y tz el espesor de la figura a lo largo de un eje perpendicular a la direccióndel cortante.Aunque esta fórmula fue publicada por Collignon en 1877 y se conoce con su nombre, previamente había sidoutilizada en 1844 por el ingeniero ruso D. J. Jourawski[3] para calcular tensiones en vigas de madera, publicando estafórmula en 1856.Puntos importantes:• El esfuerzo cortante en el cordón superior y el inferior es cero.• El esfuerzo cortante en la línea neutra de la pieza (coincidente con el centro de gravedad) es máximo.• El momento de inercia y el centroide de las figuras es con respecto al eje neutro de la pieza.

Deducción de la fórmula de Collignon-JourawskiLa fórmula de Collignon anterior no proporciona el valor exacto de la tensión tangencial, sino sólo el promedio a lolargo de una línea que divida en dos la sección transversal. Para comprender ese hecho conviene examinar ladeducción de la misma. Para la deducción partiremos de las ecuaciones de equilibrio elástico cuando no existenfuerzas másicas, la primera de ellas para la componente X es igual a:

(1)

Si se presupone que sólo el esfuerzo cortante está dirigido según el eje Y (y que esta dirección coincide con una delas direcciones principales de inercia), y que el eje X coincide con el eje de la pieza y, además, que las tensionesestán provocadas únicamente por un esfuerzo normal constante y un momento flector y un esfuerzo cortantevariables, tenemos:

Substituyendo estas dos últimas ecuaciones en la ecuación de equilibrio (1), se tiene la relación entre la tensióntangencial y el esfuerzo cortante:

(1')

Integrando directamente esa última ecuación se llega a:

La anterior ecuación resulta incómoda porque depende de la coordenada C(z) situada sobre una vertical donde el cortante se anula (puede comprobarse que coincide que es la coordenada de un punto sobre el contorno de la sección, usando las condiciones de contorno que acompañan a las ecuaciones de equilibrio elástico). Sin embargo, se puede

Tensión cortante 5

definir la tensión cortante media como:

Esta última coincide (salvo signo) con la fórmula de Collignon usada para calcular la distribución media de tensionescortantes a lo largo de la sección que se mencionaba en el apartado anterior. Cabe señalar que hemos introducido elllamado primer momento de área parcial definido como:

Tensión cortante máximaLa anterior ecuación puede usarse para calcular la tensión tangencial máxima para diferentes tipos de sección ycomparar su valor con el de la tensión promedio. Puede probarse que para cualquier tipo de sección transversal secumple que:

Sección rectangularPara una sección rectangular de medidas b x h sometida a un esfuerzo cortante paralelo a uno los lados de la misma,la distribución de tensiones cortantes y la tensión cortante máximas vienen dadas por:

Donde es la altura del punto donde se calculan las tensiones respecto al centro de la sección.Eso significa que para las secciones rectangulares .

Sección circularPara una sección circular maciza de radio R sometida a un esfuerzo cortante paralelo a uno los lados de la misma, ladistribución de tensiones cortantes y la tensión cortante máximas son: Eso significa que para las secciones circulares

.

Referencia[1] Ortiz Berrocal, pp. 196-202 y pp. 553-555[2] Monleón Cremades, S. pp. 400[3] A veces transcrito también, D. J. Zhuravski

Bibliografía• Hibbeler, R. C. (2005): Mechanics of materials, sexta edición. Prentice Hall.• Monleón Cremades, S., Análisis de vigas, arcos, placas y láminas, Ed. UPV, 1999, ISBN 84-7721-769-6.• Ortiz Berrocal, L., Elasticidad, McGraw-Hill, 1998, ISBN 84-481-2046-9.

Véase también• Esfuerzo interno• Esfuerzo cortante• centro de cortante y torsión• Tensión mecánica

Segundo momento de área 6

Segundo momento de áreaEn ingeniería estructural, el segundo momento de área, también denominado segundo momento de inercia omomento de inercia de área, es una propiedad geométrica de la sección transversal de elementos estructurales.Físicamente el segundo momento de inercia está relacionado con las tensiones y deformaciones máximas queaparecen por flexión en un elemento estructural y, por tanto, junto con las propiedades del material determina laresistencia máxima de un elemento estructural bajo flexión.El segundo momento de área es una magnitud cuyas dimensiones son longitud a la cuarta potencia (que no debe serconfundida con el concepto físico relacionado de inercia rotacional cuyas unidades son masa por longitud alcuadrado). Para evitar confusiones, algunos ingenieros denominan "momento de inercia de masa" al momento conunidades de masa descrito en este artículo.

DefiniciónDada una sección plana transversal Σ de un elemento estructural, el segundo momento de inercia se define para cadaeje de coordenadas contenido en el plano de la sección Σ mediante la siguiente fórmula:

Donde:• Ieje, es el segundo momento de inercia alrededor del eje escogido.• dA, es el diferencial de área, de la sección Σ.• r, es la mínima distancia del elemento dA al eje escogido.

Momentos de inercia principalesSi consideramos nuevamente una sección transversal plana Σ y la parametrizamos mediante coordenadasrectangulares (x,y), entonces podemos definir dos momentos de inercia asociados a la flexión según X o según Yademás del momento de inercia mediante:

Los ejes se dice que son ejes principales de inercia si Ixy = 0, y en ese caso podemos escribir la tensión perpendicularasociada a la flexión esviada simple del elemento estructural sobre cada punto de la sección Σ estudiada como:

Siendo Mx y My las componentes del momento flector total sobre la sección Σ. Las unidades en el SistemaInternacional de Unidades para el segundo momento de inercia son longitud a la cuarta potencia, en la práctica lamayoría de secciones de uso en ingeniería se dan en (cm 4).

Segundo momento de área 7

Teorema de ejes paralelosEl teorema de Steiner o de ejes paralelos permite, conocidos los momentos respecto a ejes que pasen por el centro degravedad, calcular muy fácilmente los momentos de inercia respecto a ejes paralelos que no pasen por el centro degravedad. Este "traslado" del segundo momento de inercia, se hace mediante la fórmula:

Donde:• Ieje - Segundo momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa.• I(CM)

eje - Segundo momento de inercia para el eje que pasa por el centro de gravedad.• A - Área de la sección transversal.• d - Distancia entre el nuevo eje y el eje que pasa por el centro de gravedad.

Momentos de inercia de figuras planas[1]

• Rectángulo de altura h y ancho b, respecto a los ejes que, siendo paralelos a los lados del mismo, pasan por sucentro de gravedad:

• Triángulo isósceles de base b y altura h, respecto a los ejes que, siendo paralelos a base y altura, pasan por sucentro de gravedad:

• Triángulo rectángulo de base b y altura h, respecto a los ejes que, siendo paralelos a los lados del mismo, pasanpor su centro de gravedad:

• Círculo de radio R, respecto de cualquier eje que pase por su centro de gravedad:

• Semicírculo de radio R, respecto de los ejes que pasan por su centro de gravedad (el eje X paralelo al lado plano):

• Cuadrante (Cuarto de círculo) de radio R, respecto a los ejes que, siendo paralelos a los lados planos, pasan porsu centro de gravedad:

Segundo momento de área 8

Referencias[1] Estática y Estructuras Isostáticas (http:/ / libreriacompas. com/ Estática-y-estructuras-isostáticas_84-95434-23-7. html), de Vicente Viana

Véase también• primer momento de área• Radio de giro• Momento flector

Fuentes y contribuyentes del artículo 9

Fuentes y contribuyentes del artículoPrimer momento de área  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=40581468  Contribuyentes: Davius, Humberto, Tano4595, 8 ediciones anónimas

Tensión cortante  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=47532805  Contribuyentes: C.lingg, Daniel De Leon Martinez, Davius, Feministo, Fluxor, Hispa, Ignacio Icke, JMCC1,Kved, Lampsako, Numbo3, Taka 470, Tano4595, 18 ediciones anónimas

Segundo momento de área  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=38294697  Contribuyentes: 3coma14, Daniel De Leon Martinez, Davius, Ecron, GermanX, Muro de Aguas,Tano4595, 22 ediciones anónimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 10

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentesArchivo:FirsMomAr.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FirsMomAr.png  Licencia: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported  Contribuyentes:DaviusArchivo:Shear scherung.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Shear_scherung.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: User:c.linggArchivo:Abscherung.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Abscherung.png  Licencia: desconocido  Contribuyentes: Liftarn, Ra'ike, Stefan-Xp, WikipediaMaster

Licencia 11

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