REGLA DE LA CADENA

Una potencia se puede escribir como una función compuesta. Si f ( x )=xᶰ y u=g (x), entonces f (u )=f (g ( x ) )=〔 g(x )〕 ᶰ . La regla de la potencia es un caso especial de la rgla de la cadena para diferenciar funciones compuestas.

REGA DE LA CADENA

Si y=f (u) es una función diferenciable de u y u=g (x) es una función diferenciable de x, entonces

( dydx )❑

=( dydu ) .( dudy )= f (g ( x ) ) . g (x)

DEMOSTRACION DE LA REGLA DE LA POTENCIA PARA FUNCIONES

Como se señaló previamente, una potencia de una función puede escribirse como y=uᶰ , en donde n es un entero y u=g ( x ) .Puesto que dydu

=nu ᶰ ‾ ¹ y dudy

= g(x ) , por la regla de la cadena puede verse que

dydx

=dydu.dudx

=nuᶰ ‾ 1 g(x )

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Las derivadas de las funciones trigonométricas compuestas con una función diferenciable g , se obtiene como otra consecuencia directa de la regla de la cadena. Por ejemplo

si y=senu , en donde u=g (x) , entonces dydu

=cosu .Por lo tanto,

implica que

dydx

=dydu.dudx

=cosudydx

O, en forma equivalente,

ddxsen〔u〕=cos〔u〕 d

dx〔u〕

EJEMPLO

Diferenciar y=(9 x3+1 )2 sen5x

Solución primero se utiliza la regla del producto,

dydx

=¿¿

Y en seguida la regla de la potencia

dydx

=¿¿

dydx

=(9 x3+1 )2(453cos5 x+54 x2 sen5 x+5cos5 x)

EJEMPLO 2

Derivar (o diferenciar) y=tan (6 x2+1)

SOLUCION

dydx

=se c2 (6x2+1 ) · ddx

(6 x2+1 )=12xsec ² (6 x2+1)

Ejemplo :

Obtener dydx para las exresiones indicadas:

1.- x5+x2 y3− y6+7=0

d

dx (x5 )+ ddx

(x2 y3 )− ddx

( y6 )+ ddx

(7 )= ddx

(0 ) , ddy

( y6) · dydx

5 x4+x2 ddx

( y3 )+ ddxy ³ ( x2 )−6 y5 dy

dx+0=0

5 x4+x2 (3 y2 ) dydx

+2 xy ³−6 y5 dydx

=0

dydx

(3 x2 y2−6 y5 )=−5 x4−2xy ³ , dydx=−5 x4−2xy ³3 x2 y2−6 y ⁵