Resolución numérica de Ecuaciones en Derivadas Parciales ...+/uploads/Main/curso_freefem.pdf · METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Richard Courant (1943) SIGLO XXI: Método Científico

Francisco Periago Esparza

Resolución numérica de Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP) con Elementos Finitos usando

FreeFem++

Dpto. Matemática Aplicada y Estadística

Universidad Politécnica de Cartagena. Spain

IV Escuela conjunta UVEG-UASL-UPCT. Aplicaciones modernas de las matemáticas.

Universidad Autónoma de San Luís Potosí. México. Julio 2012

Esquema del curso ¿ Qué problemas queremos resolver ?

Implementación numérica con FreeFem++

Análisis Numérico:El Método de los Elementos Finitos

•  Mecánica de fluidos, difusión de calor, elasticidad, electromagnetismo, etc..

•  Todos estos problemas están modelizados matemáticamente a través de una ecuación en derivadas parciales (EDP)

•  Software libre de elementos finitos para problemas 2D y 3D

•  Algunos ejemplos concretos

•  Formulación variacional o débil de una EDP •  Descripción del Método

•  Control del Error

¿QUÉ PROBLEMAS QUEREMOS RESOLVER?

Mecánica de Fluidos

VΩΓ


Ecuaciones de Navier-Stokes. Fluidos viscosos incompresibles

Claude-Louis Navier(1827) Georges Stokes (1845)


Difusión de Calor

qD

κ

2500

350 450 550 650

50100150200250300350400

temperatura ºK

cobrealuminio

acero


Ecuación del Calor

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)


Electrostática


Ecuaciones de Maxwell del Electromagnetismo en el vacío

James Clerk Maxwell (1862)


Membrana Elástica Sujeta en el Borde

Cuerda Elástica Sujeta en los Extremos

L

u(x)

xf

0

f


Elasticidad Lineal. Caso Estático

Robert Hooke (1678)


Más modelos….. y ecuaciones en derivadas parciales

Etc, etc, etc….

UN POCO DE HISTORIA

El Laplaciano

Sir Isaac Newton (1643-1727)

Pierre-Simon Laplace (1749-1827)

CONCLUSIONES I

La Filosofía está escrita en ese gran libro del universo, que está continuamente abierto para que lo observemos.

Pero el libro no puede comprenderse sin que antes aprendamos el lenguaje y alfabeto en que está compuesto.

Está escrito en el lenguaje de las matemáticas y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es humanamente imposible entender una sola de sus palabras. Sin ese lenguaje, navegamos en un oscuro laberinto.

Galileo Galilei (1564-1642)

CONCLUSIONES II

1. La Modelización Matemática es la mejor herramienta de la que disponemos para entender buena parte de fenómenos físicos que interesan a la Ciencia y la Tecnología.

2. Estos modelos matemáticos se componen de sistemas enormemente complejos de Ecuaciones en Derivadas Parciales que fueron formulados hace muchos pero aún hoy día sigue siendo un reto resolverlos satisfactoriamente.

3. El Método de los Elementos Finitos es uno de los métodos numéricos más usados por la comunidad científica y por la industria para poder resolver numéricamente dichos modelos.

SIGLO XX: AÑO 1946

Laurent Schwartz (1915-2002)

Teoría de las Distribuciones (1946).

Nuevos conceptos de Soluciones de las Ecuaciones en derivadas Parciales

John P. Eckert y Johnn W. Mauchly contruyeron en 1946 el ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Computer), primer ordenador de la historia

METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

Richard Courant (1943)

SIGLO XXI: Método Científico

1. Modelización Matemática

2. Análisis Matemático

3. Análisis y Simulación Numérica

4. Control, Diseño, etc…

ANÁLISIS MATEMÁTICO

Cuerda Elástica Sujeta en los Extremos

( PM )

( PM ) NO TIENE SOLUCIÓN CLÁSICA!!

L /2

¿QUÉ SE PUEDE HACER ENTONCES?

( PM )

Trabajo virtual de las fuerzas exteriores Trabajo virtual interno de deformación

( PV )

L /2


L /2

Paul Dirac (1902-1984)


Teoría de Distribuciones


Teoría de Distribuciones


Ejemplos de Distribuciones


La derivación es una operación válida para cualquier distribución !!!


( PM ) L /2

( PV )


( PM )

( PV )

a(u,v) < f,v >

L /2



Formulación en Mínima Energía

Principio de Mínima Energía

Principio de los Trabajos Virtuales

Ecuación de Euler-Lagrange

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

Idea General del MEF


Construcción de los Espacios de Aproximación


Construcción de los Espacios de Aproximación


El Problema Variacional en los Espacios de Aproximación


A modo de Resumen

MEF

Sistema de ecuaciones algebraico


Estructura de la Matriz de Rigidez


Simulación Numérica con Matlab

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0


Ensamblado de la Matriz de Rigidez

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0...0000

0...00000...00000...00000...0000

Ah

Ah1

Ah2

Ah3


Control del Error en el MEF

( PV )

• Regularidad de la malla • Regularidad de la solución débil • Grado de los polinomios de interpolación


El caso de las dimensiones 2 y 3

Fórmula de integración por partes (Teorema de Green)

1D

2D

ND

D


Forma Clásica de la EDP

Fórmulación Variacional de la EDP

Multiplicar la EDP por v e integrar

Integrar por partes

Condiciones de frontera

Forma variacional de la EDP

Función de forma en dimensión 2


Discretización de la forma variacional de la EDP de forma similar al caso 1D ……. y llegamos a un sistema lineal de ecuaciones algebráico

Función de forma para elementos finitos de Lagrange P1 en 2D


INTRODUCCIÓN A FreeFem++

¿Qué es FreeFem++?

Software libre para resolver EDP usando el Método de los Elementos Finitos. Funciona bajo Windows, Linux y Mac OS

Se puede bajar de la página http://www.freefem.org

Ha sido desarrollado en el Laboratoire Jacques-Luis Lions de la Université Pierre et Marie Curie (Paris, Francia)

¿Cómo funciona?, ¿cómo se maneja?

Veamos un primer ejemplo sencillo en la versión gráfica FreeFem++-cs 12.4 32



border C(t=0,2*pi){x=cos(t);y=sin(t);} // frontera

Forma variacional:

La ecuación de Poisson en el disco unidad (2D)

mesh Th = buildmesh(C(100)); // malla. 100 puntos en el borde plot(Th,ps=“malla1.eps”); //dibujamos y grabamos la malla fspace Vh(Th,P1); // espacio de elementos finitos Lagrange P1

Vh uh,vh; // uh,vh pertenecen a Vh

solve Poisson(uh,vh)= // definimos el problema

int2d(Th)(dx(uh)*dx(vh)+dy(uh)*dy(vh))

-int2d(Th)(f*vh)

+on(C,uh=0);

func f=1; // término de la derecha

plot(uh); // gráfica de la solución



control del error

Forma variacional:

La ecuación de Poisson en el disco unidad (2D)

func u=0.25*(1-x^2-y^2); // solución exacta real L2error; //variable real L2error=sqrt(int2d(Th)(u-uh)^2); // error en norma L^2

cout<<“L2error = “<<L2error<<endl; // imprimir en pantalla



Forma variacional:

La ecuación de Poisson en el cubo unidad (3D)


Problemas Evolutivos. Ecuación del Calor

Concepto de solución débil. Se ha de cumplir:

Solución del problema discretizado con elementos finitos:


Tras sustituir la solución del problema discretizado en la formulación variacional obtenemos el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:

incógnita

matriz de masa

matriz de rigidez

término independiente


Finalmente, se ha de discretizar la variable temporal. Por ejemplo con un esquema de Euler implícito.

Veamos un ejemplo concreto:

Forma variacional discretizada con un esquema de Euler implícito:




Forma variacional:

El sistema de la elasticidad lineal 2D





Forma variacional:

Skin effect in AC Power electromagnetics





Lubricación hidrodinámica. Ecuación de Reynolds

Forma variacional:

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