Prof. Gustavo Gómez Año escolar 2014 - 2015

Inecuaciones

Inecuaciones.

Material de trabajo para estudiantes de 5to año de la U.E.N. ELADIO DEL CASTILLO

M.Sc. Gustavo Gómez Marzo de 2015

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Inecuaciones

DESIGUALDADES EN R Se llama desigualdad a toda relación entre expresiones numéricas o algebraicas unidas por uno de los cuatro signos de desigualdad, , , , ; Por ejemplo:

841 ; 02x1x ; 1064 , etc. ...

Las desigualdades, al igual que las igualdades pueden ser ciertas o falsas, así, en los ejemplos:

la primera 1064 es falsa, la segunda 021 xx depende del valor que le demos a x, y

la tercera 841 es verdadera.

Las desigualdades en las que interviene una variable se denominan inecua-ciones. Propiedades de las desigualdades: Se denominan también transformaciones de equivalencia.

Suma: si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta una misma expresión o cantidad, la desigualdad no varía:

cbcaba

Transposición: consiste en restar a ambos miembros de la desigualdad una misma cantidad, pero de modo que uno de los términos de uno de los miembros desaparezca del mismo y aparezca en el otro miembro:

iónTransposicOrigen

bcabcbbacba

Producto: Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por

una cantidad positiva, la desigualdad no varia, pero si la cantidad es negativa, entonces cambia el sentido de la desigualdad:

baba , al multiplicar por una cantidad negativa cambia el sentido de la desigualdad.

cbca0c ,ba , si la cantidad es positiva se conserva el

sentido original de la desigualdad.

Simplificación: si se dividen los dos miembros de una desigualdad por una cantidad no negativa y distinta de cero, la desigualdad no varía:

bac

cb

c

ca0cy ,cbca

ba7

b7

7

a7b7a7ba

3232 que ya , baba

, si el divisor

es negativo entonces cambia el sentido de la desigualdad.

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Inecuaciones

INTERVALOS EN R Dado dos números cualesquiera a y b (a < b) de la recta real, se define intervalo de extremos a y b, al conjunto de los números reales comprendidos entre a y b.

TIPOS DE INTERVALOS

INTERVALOS NOTACIÓN GRAFICA ABIERTOS: Conjunto de números reales mayores que a y menores que b

(a,b) = {x R / a < x < b}

CERRADOS: Conjunto de números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b

[a,b] = {x R / a x b}

SEMIABIERTO A LA IZQUIERDA: Conjunto de números reales mayores a y menores o iguales que b

(a,b] = {x R / a < x b}

SEMIABIERTO A LA DERECHA: Conjunto de números reales mayores o iguales que a y menores que b

[a,b) = {x R / a x < b}

INFINITO POR LA DERECHA: Conjunto de números reales mayores que a

(a,+ ) = {x R / x > a}

INFINITO POR LA IZQUIERDA: Conjunto de números reales menores que b

(- ,b) = {x R / x < b}

LA RECTA COMPLETA ES LA TOTALIDAD DE LOS NÚMEROS REALES Y SE CONSIDERA COMO EL INTERVALO ABIERTO (- ,+ )

(- ,+ ) = { x R} = R

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Inecuaciones

INCECUACIONES EN R Inecuaciones: son desigualdades en las que se encuentra presente en uno cualquiera de los miembros, o en ambos, una o más variables, o incógnitas.

Una inecuación se verifica solo para algunos valores de las variables.

Los valores numéricos para los cuales se verifica la desigualdad son las soluciones de la misma.

Resolver una inecuación consiste en hallar los valores numéricos para los cuales la desigualdad es verdadera.

Ejercicios para practicar en clases y en el hogar. Encuentre el conjunto solución de las siguientes desigualdades lineales y dibuje el

intervalo en la recta numérica

1) 3(x – 1) – 8 < 2 – 5 ( x + 1)

2) 5x – (2 – 7x) > 7 – 3 (8x -3)

3) 3x (2 – x ) ≥ ( 3x – 1) ( 2 – x )

4) x ( x – 8 ) + 3x² < 2 ( x – 2) ( 2x + 1 )

5) 3x – 2x (x + 2 ) ≥ ( 1 + 2x ) ( 4 – x )

6) ( 2x + 1 ) ( 3x – 2 ) – ( 6x – 1 ) ( x + 2 ) > 0

7) ( 3x – 1 ) ( x + 2 ) – ( 3x + 2) ( x – 1 ) < 0

8) ( x – 2 )² - ( x + 3 )² ≤ 3x – 2 ( 1 – x )

9) (6x + 7)² - ( 4x + 3 )² ≥ 10x ( 2x + 3 )

10) 2

3 -

2

1x >

7

1x +

14

11

11) 8

7x -

6

5 <

4

3x - 1

12) 12

7x -

18

11x < 1 -

8

3x

13) 3

3x -

8

14 x <

8

1

14) 3

12 x -

4

)2(3 x <

6

5

15) 6

)2(5 x -

9

)3(2 x >

18

7

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EJERCICIOS DE MATEMÁTICA

Nombre y Apellido: ______________________________________#______ 5to “___”

VERDADERO O FALSO: Dada algunas proposiciones: Coloca una V si es verdadera o

una F se es falsa en el paréntesis correspondiente 1. La expresión es una inecuación ( )

2. La expresión es una ecuación ( )

3. La expresión es una expresión algebraica ( )

4. La expresión es una expresión numerica ( )

5. La expresión es verdadera ( )

6. La expresión es una inecuación ( )

7. La expresión es una desigualdad ( )

8. La expresión es una desigualdad ( )

9. Un ejemplo de intervalo abierto es [2,6] ( )

10. Un ejemplo de intervalo cerrado es [-10,0] ( )

11. Un ejemplo de intervalo semiabierto es [2,+∞] ( )

12. Un ejemplo de intervalo al infinito es (-∞,0) ( )

13. Un ejemplo de intervalo semiabierto es [-3,4) ( )

14. Un ejemplo de intervalo abierto es (-5,3) ( )

15. Un ejemplo de intervalo cerrado es [-10,0] ( )

16. Un ejemplo de intervalo semiabierto es (2,4] ( )

17. Un ejemplo de intervalo semiabierto es (-3,7) ( )

18. Un ejemplo de intervalo semiabierto es (2,9) ( )

19. Un ejemplo de intervalo cerrado es [2,6] ( )

20. Un ejemplo de intervalo al infinito es [-10,0] ( )

SELECCIÓN SIMPLE: A continuación se presentan una serie de proposiciones con cuatro

alternativas. Seleccione con un círculo la letra de la alternativa correcta.

1. La expresión es un ejemplo de

a Ecuación b Inecuación c Desigualdad d Polinomio

2. La expresión es un ejemplo de

a Ecuación b Polinomio c Igualdad d Inecuación

3. La expresión es un ejemplo de

a Ecuación b Igualdad c Desigualdad d Inecuación

4. La expresión es un ejemplo de

a Ecuación b Inecuación c Desigualdad d Igualdad

5. Conjunto de números reales mayores que a y menores que b

a Intervalo

abierto

b Intervalo

cerrado

c Intervalo al

infinito

d Intervalo

semiabierto

6. Conjunto de números reales mayores que a a Intervalo

abierto

b Intervalo

cerrado

c Intervalo al

infinito

d Intervalo

semiabierto

7. Conjunto de números reales mayores o iguales que a y menores que b

a Intervalo

abierto

b Intervalo

cerrado

c Intervalo al

infinito

d Intervalo

semiabierto

8. Conjunto de números reales mayores o iguales que a y menores o iguales

que b

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a Intervalo

abierto

b Intervalo

cerrado

c Intervalo al

infinito

d Intervalo

semiabierto

9. Conjunto de números reales menores que b

a Intervalo

abierto

b Intervalo

cerrado

c Intervalo al

infinito

d Intervalo

semiabierto

10. El conjunto {x R / a x < b}, corresponde a un a Intervalo

abierto

b Intervalo

cerrado

c Intervalo al

infinito

d Intervalo

semiabierto

11. El conjunto {x R / a < x < b}, corresponde a un

a Intervalo

cerrado

b Intervalo

semiabierto

c Intervalo

abierto

d Intervalo al

infinito

12. El conjunto {x R / x < b}, corresponde a un

a Intervalo

semiabierto

b Intervalo

cerrado

c Intervalo al

infinito

d Intervalo

abierto

13. El conjunto {x R / a x < b}, corresponde a un

a Intervalo

semiabierto

b Intervalo al

infinito

c Intervalo

abierto

d Intervalo

cerrado

14. El conjunto {x R / x > b}, corresponde a un

a Intervalo

abierto

b Intervalo

cerrado

c Intervalo al

infinito

d Intervalo

semiabierto

15. El conjunto {x R / a x b}, corresponde a un

a Intervalo

abierto

b Intervalo

cerrado

c Intervalo al

infinito

d Intervalo

semiabierto

Graficar en una sola recta cada par de intervalos

a) [-3,5) (1,8)

b) (-∞,5) [-3,+∞)

c) (-2,6) [0,8)

d) [-5,5] [0,8]

e) (-6,6) (-∞,0