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Gabriel Cramer “Metodo”

Editorial

Materia:Álgebra Lineal

Autor: Leonel PeñaC.I.: 17.265.669

Ginebra, Suiza, 1704-Bagnols-sur-Cèze, Francia, 1752) Matemático suizo. Fue catedrático de matemáticas (1724-1727) y de filosofía (1750-1752) en la Universidad de Ginebra. En 1750 expuso en Introducción al análisis de las curvas algebraicas la teoría newtoniana referente a las curvas algebraicas, clasificándolas según el grado de la ecuación. Reintrodujo el determinante, algoritmo que Leibniz ya había utilizado al final del siglo XVII para resolver sistemas de ecuaciones lineales con varias incógnitas. Editó las obras de Jakob Bernoulli y parte de la correspondencia de Leibniz.

Gabriel Cramer

En las matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático consistente en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores numéricos (o más generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se plantean las ecuaciones), mientras que en una ecuación diferencial las incógnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto definido de antemano. Una solución de dicho sistema es por tanto, un valor o una función que substituida en las ecuaciones del sistema hace que éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.

Sistema de ecuaciones

Resolver el sistema de ecuaciones usando la regla de Cramer

2x + y - z = 3 -x +2y +4z =

−3 x- 2y - 3z = 4

Hallamos el determinante de los coeficientes de las variables, que esDet=

Solución Resolvemos:Det =[(2)(2)(−3) + (1)(4)(1) +(−1)(−1)(−2) - ( (1)(2)(−1)+(−2)(4)(2) + (−3)(−1)(1)) Det=-12+4-2 –(-2-16+3) Det= −10 + 15 Det = 5

X= Detx/DetDet= Detx = ((3)(2)(−3) + (1)(4)(4) +(-1)(−3)(−2)) –((4)(2)(−1) + (−2)(4)(3) + (−3)(−3)(1)) Detx= −18 +16 −6 –(−8 - 24 + 9) Detx= −8 - (−23) Detx = 15 X= 15/5 X=3

Luego se calcula el valor de X

Luego se calcula el valor de YY= Dety/DetDet= Dety =( (-3)(2)(−3) + (1)(4)(3) +(-1)(−1)(4)) –((-1)(-3)(1) + (2)(4)(4) + (3)(−3)(-1)) Dety= 18 +12 +4 –(3 + 32 + 9) Dety= 34 - (+44) Dety = 10 Y= 10/5 Y=2

Luego se calcula el valor de ZZ= Detz/DetDet= Detz = ((2)(2)(4) + (1)(−3)(1) + (3)(−1)(−2) - [(1)(2)(3) + (−2)(−3)(2) + (4)(−1)(1) Detz =16 −3 +6 - [6 + 12 - 4] Detz = 19 – 14 Detz = 5 Z=5/5 Z=1

Ejercicio

Det=

Det =[(1)(1)(−1) + (-1)(1)(2) +(7)(−3)(−1) - ( (-1)(1)(2)+(−1)(7)(-1) + (1)(−3)(1)) Det=-1 - 2 +21 –(-2 + 7-3) Det= 18 -2 Det = 16

Solución

Luego se calcula el valor de X

X= Detx/DetDet= Dx = ((6)(1)(−1) + (-1)(1)(4) +(34)(−3)(−1)) –((-1)(1)(4) + (1)(-3)(6) + (−1)(34)(-1)) Dx= −6 -4 + 102 –(−4 - 18 + 34) Detx= −92- (12) Detx = 80X= 80/16 X=5

Luego se calcula el valor de Y Y= Dety/DetDety= Dety =( (1)(34)(−1) + (6)(1)(2) +(4)(7)(-1)) –((-1)(34)(2) + (1)(4)(1) + (6)(7)(-1)) Dety= -34 +12 -28 – (-68 +4 -42) Dety= -50 - (-106) Dety = -50+106 Dety = 56 Y= 56/16 Y=7/2

Luego calculamos el valor de ZZ= Detz/Det Det= Detz = ((1)(1)(4) + (-1)(34)(2) + (7)(−3)(6) - [(6)(1)(2) + (34)(−3)(1) + (-1)(7)(4) Detz = 4 -68 - 126 - [12 -102 - 28] Detz = -190 -118 Detz = 72 Z=72/16 Z=9/2

Discutir y resolver el sistema cuando sea compatible

Hallamos el determinante de los coeficientes de las variables, que esDet=

Solución

Det =[(2)(0)(1) + (1)(1)(1) +(1)(1)(A) - ( (A)(0)(1)+(1)(1)(2) + (1)(1)(1)) Det= 0 +1+A – (0 +2 +1)Det= 1+A -3Det = A-2

Luego se calcula el valor de X X= Detx/DetDet= Detx = ((3)(0)(1) + (1)(1)(2) +(2)(1)(A)) –((A)(0)(2) + (1)(1)(3) + (1)(2)(1)) Detx= 0 + 2 +2A – ( 0 +3 +2) Detx= 2 + 2A -5 Detx = 2A -3 X= (2A-3)/ (A-2)

Luego se calcula el valor de YY= Dy/DDet= 23A121121Dety =( (2)(2)(1) + (3)(1)(1) +(1)(2)(A)) –((A)(2)(1) + (1)(2)(2) + (3)(1)(1))Dety= 4 +3 +2A – ( 2A +4 +3)Dety= 7 + 2A – 2A -7Dety = 0Y= 0/ (A-2)Y=0

Luego se calcula el valor de ZZ= Detz/DetDet= 213102112Detz = ((2)(0)(2) + (1)(2)(1) +

(1)(1)(3) - [(3)(0)(1) + (2)(1)(2) + (1)(1)(2)

Detz =0 +2 +3 - [0 + 4 + 2]Detz = 5 -6Detz = -1Z=-1/ (A-2)

Detz = -1 Z=-1/ (A-2)

Sustituimos en una ecuación x+ z =2 2A-3 - 1 = 2 A-2 A-22A – 3 - 1= 2 (A -2) 2 A – 4 = 2 A – 4

Solución: Sistema Incompatible

Resolver el sistema homogéneo

Intercambiamos fila 1 con fila 2

F2= F2 + 2f3

F3= f3 + f1

F1= f1 + f3

F2= f2 -4 f3

F3= f3 – f2